【师说】高考数学文二轮复习高考大题标准练一含解析

高考大题标准练(二)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：________1．函数f (x )＝3sin ( 2x⎭⎫＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )的最小正周期为π.x 0＝7π6，y 0＝3. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0. 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3. 2．(2016·天津卷)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63. (1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q .由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2， 解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q＝63，知q ≠－1， 所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1) ＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12， 即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列． 设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n＝2n (b 1＋b 2n )2＝2n 2. 3．(2015·北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2. (2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3. (3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1， 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．4．(2016·四川卷如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD . (1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由；(2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .(1)解：取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：连接CM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ， 所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，所以CM ∥AB .又AB ⊂平面P AB ，CM ⊄平面P AB ，所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)证明：由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交， 所以P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ， 所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ，所以四边形BCDM 是平行四边形，所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB . 又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面P AB .又BD ⊂平面PBD ，所以平面P AB ⊥平面PBD .5．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83. 又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165. 6．(2015·四川卷)已知函数f (x )＝－2x ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0.(1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．(1)解：由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )，所以g ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．(2)证明：由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0，解得a ＝x －1－ln x .令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2＝(1＋ln x )2－2x ln x ，则φ(1)＝1>0，φ(e)＝2(2－e)<0.于是，存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0.令a 0＝x 0－1－ln x 0＝u (x 0)，其中u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)．由u ′(x )＝1－1x≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故0＝u (1)<a 0＝u (x 0)<u (e)＝e －2<1.即a 0∈(0,1)．当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝φ(x 0)＝0.再由(1)知，f ′(x )在区间(1，＋∞)上单调递增，当x ∈(1，x 0)时，f ′(x )<0，从而f (x )>f (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而f (x )>f (x 0)＝0；又当x ∈(0,1]时，f (x )＝(x －a 0)2－2x ln x >0.故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0.综上所述，存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．。

高考大题标准练(三)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：________1．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos2x ) ＝3cos x sin x －12cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝cos π6sin2x －sin π6cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2， ∴－π6≤2x －π6≤5π6. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12， 当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12. 因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 2．(2015·安徽卷)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)． 由a 4＝a 1q 3得公比为q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n －1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1. 3．(2015·湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．解：(1)所有可能的摸出结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}．(2)不正确．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23>13，故这种说法不正确． 4.(2015·北京卷)如图，在三棱锥V －ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ；(2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ；(3)求三棱锥V －ABC 的体积．(1)解：因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM ∥VB .又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .(2)证明：因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB .又因为OC ⊂面MOC .所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)解：在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，所以AB ＝2，OC ＝1，所以S △VAB ＝3，又因为OC ⊥平面VAB ，所以V C －VAB ＝13OC ·S △VAB ＝33. 又因为三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －VAB 的体积相等， 所以三棱锥V －ABC 的体积为33. 5．(2016·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率．解：(1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |， 即1c ＋1a ＝3c a (a －c )，可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4.所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3. 由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k 4k 2＋3. 由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3. 由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0， 解得y H ＝9－4k 212k. 因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k. 设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎨⎧ y ＝k (x －2)，y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912(k 2＋1). 在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔|MA |＝|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ， 化简得x M ＝1，即20k 2＋912(k 2＋1)＝1，解得k ＝－64或k ＝64. 所以直线l 的斜率为－64或64. 6．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln5.。

高考大题标准练(六)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：________1．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为1.2．设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)由题设可得，f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2·cos x .对任意n ∈N *，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1，所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n (n ＋1)2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n . 3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．A 地区用户满意度评分的频率分布直方图分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)解：(1)值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值； (3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .并求BD BC 1的值． 解：(1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0. 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625. 由题意知二面角A 1－BC 1－B 1为锐二面角，所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. (3)设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→.所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)．解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD →·A 1B →＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925. 因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .此时，BD BC 1＝λ＝925. 5．(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积；(2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0. 解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127. 因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449. (2)证明：设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k >0)，代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0. 由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2， 故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2. 由题意，设直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋2)， 故同理可得|AN |＝12k1＋k 23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |得23＋4k 2＝k 3k 2＋4， 即4k 3－6k 2＋3k －8＝0.设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点．f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)内单调递增．又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)内有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.6．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )。

高考小题标准练(九)时间：40分钟 分值：75分 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数2＋i－i＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i解析：2＋i －i ＝(2＋i )·i －i·i＝2i ＋i 2＝2i －1.故选C.答案：C2．给出以下三个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0 ②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．②③解析：对于命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对于命题②，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对于命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．故选B.答案：B3．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1 解析：由题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D. 答案：D4．函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f (x )≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z 解析：令3sin x －cos x ≥1，即sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，故选B. 答案：B5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ：sin B ：sin C ＝( )A ．：：2B ．：：7C ．：：3D ．：：4解析：由3b ＝20a cos A 及余弦定理得3b ＝20a ·b 2＋c 2－a 22bc ，化简得3b 2c ＝10a (b 2＋c 2－a 2)．又a ，b ，c 为连续的三个正整数，且A >B >C ，所以设a ＝m ＋1，b ＝m ，c ＝m －1.所以3m 2·(m －1)＝10(m ＋1)[m 2＋(m －1)2－(m ＋1)2]，解得m ＝5⎝⎛⎭⎫m ＝－87舍去.故a ＝6，b ＝5，c ＝4，由正弦定理得sin A ：sin B ：sin C ＝：：4，故选D.答案：D6．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经2 009次跳后它停在的点所对应的数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：按规则：从5开始经1次跳到达数2，经2次跳到达数1，经3次跳到达数3，经4次跳到达数5，…，故它是以4为周期．又2009＝4×502＋1，从而经过2009次跳后到达的数与第1次跳后到达的数是一样的，故对应的数为2.故选B.答案：B7．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ， B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，2 B.⎣⎡⎦⎤12，2＋2 C.⎝⎛⎭⎫12，2＋1 D ．(0，2＋1] 解析：当m <0时，集合A 是以(2,0)为圆心、以|m |为半径的圆，集合B 是在两条平行线之间的部分，A ∩B ≠∅等价于点(2,0)到直线x ＋y ＝2m ＋1的距离不大于半径|m |，因为2－2m －12＋m ＝(1－2)m ＋22>0，A ∩B ＝∅，不符合题意；当m ＝0时，A ＝{(2,0)}，B ＝{(x ，y )|0≤x ＋y ≤1}，A ∩B ＝∅，不符合题意；当m >0时，集合A 是以(2,0)为圆心、以 m2和|m |为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之间的部分，必有⎩⎪⎨⎪⎧|2－2m －1|2≥m ，|2－2m |2≤m ，解得2－2≤m ≤2＋2.又因为m 2≤m 2，所以12≤m ≤2＋2.故选B.答案：B 8．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数．下面关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数 ②f (x )的图象关于直线x ＝1对称 ③f (x )在[0,1]上是增函数 ④f (x )在[1,2]上是减函数 ⑤f (2)＝f (0)．其中正确判断的个数是( )A ．5B ．3C ．2D ．1解析：f (x ＋1)＝－f (x )＝f (x －1)＝f (1－x )，所以f (x )是周期为2的函数且图象关于直线x ＝1对称；偶函数f (x )在[－1,0]上是增函数，所以在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数．所以①②⑤正确，故选B.答案：B9．异面直线l 与m 所成角为π3，异面直线l 与n 所成角为π4，则异面直线m 与n 所成角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π12，π2B.⎣⎡⎦⎤π6，π2C.⎣⎡⎦⎤π12，7π12D.⎣⎡⎦⎤π6，7π12 解析：平移直线l ，m 到同一平面，故当n 也在同一平面，且在l ，m 之间时，异面直线m 与n 所成的角最小，为π3－π4＝π12.再根据异面直线的性质知，异面直线m 与n 所成的角的最大值为π2.所以异面直线m 与n 所成的角的范围是⎣⎡⎦⎤π12，π2.故选A. 答案：A10．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线x ＋2y ＋10＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．5B ．4 C.1155 D.115解析：点P 到抛物线准线的距离d 1等于点P 到焦点(1,0)的距离，所以d 1＋d 2的值等于焦点到点P 的距离加上从点P 到直线的距离，因此最小值是焦点到直线的距离，点P 是垂线段和抛物线的交点，即d 1＋d 2的最小值等于焦点到直线的距离115＝1155.故选C.答案：C二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点．若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为__________．解析：由题意，设AB ＝a ，AA 1＝b .由12BD ·DC 1＝6可得a 2＋b 24＝12.由BC 2＋CC 21＝BC 21，得a 2＋b 2＝24，可得a ＝22，b ＝4，所以V ＝34×(22)2×4＝8 3.答案：8 312．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，已知线段F 1F 2被点(b,0)分成两段，则此双曲线的离心率为__________．解析：双曲线的焦点坐标为(c,0)，(－c,0)，则c ＋b ＝5(c －b )，所以b ＝23c .则e ＝c 2a 2＝c 2c 2－b 2＝355. 答案：35513．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )．若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为__________．解析：点P 的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)．点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上(2≤n ≤5)，且事件C n 的概率最大．当n ＝3时，点P 可能是(1,2)，(2,1)，当n ＝4时，点P 可能是(1,3)，(2,2)，即事件C 3，C 4的概率最大．答案：3或414．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝x ＋yx的取值范围是__________． 解析：不等式表示的区域是一个三角形，顶点坐标为(3,1)，(1,2)，(4,2)，区域中任一点和原点连线的斜率最大为2，最小为13，u ＝x ＋y x ＝1＋yx＝1＋k ，k ∈⎣⎡⎦⎤13，2，故u ∈⎣⎡⎦⎤43，3. 答案：⎣⎡⎦⎤43，315．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)．如图，设点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1，A 2和B 1，B 2是“果圆”与x 轴，y 轴的交点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为__________．解析：由题意得点F 0(c,0)，F 1(0，－b 2－c 2)，F 2(0，b 2－c 2)，因为△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，所以OF 0＝32，OF 1＝OF 2＝12，故c ＝3×b 2－c 2＝32，解得b ＝1，c ＝32，所以a ＝b 2＋c 2＝72，a 2－c 2＝74－34＝1＝b 2，b ＝1.答案：72，1。

二、函数与导数小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________ 一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3,4]时，f (x )＝ln x ，则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫sin 12<f ⎝⎛⎭⎫cos 12B ．f ⎝⎛⎭⎫sin π3>f (cos π3)C ．f (sin1)<f (cos1)D ．f ⎝⎛⎭⎫sin 32>f ⎝⎛⎭⎫cos 32 解析：由题意得f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，∵f (x )在[3,4]上是增函数，∴函数f (x )在[－1,0]上是增函数，在[0,1]上是减函数，∵0<cos1<sin1<1，∴选C.答案：C2．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的图象大致是( )解析：要使函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 有意义，需满足x －1x>0，解得－1<x <0或x >1，所以排除A ，D ，当x >2时，x －1x一定大于1，所以ln ⎝⎛⎭⎫x －1x >0，故选B. 答案：B3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤(a ＋b )x －π3的最小正周期是( ) A ．6π B ．5π C ．4π D ．2π解析：∵函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，解得a ＝13，由f (x )＝f (－x )得，b ＝0，∴y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤(a ＋b )x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫13x －π3， ∴最小正周期T ＝2πω＝6π.答案：A4．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图1所示，得到函数h (x )的图象如图2所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．答案：C5．对于偶函数F (x )，当x ∈[0,2)时，F (x )＝e x ＋x ，当x ∈[2，＋∞)时，F (x )的图象与函数y ＝e x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则F (－1)＋F (e ＋1)＝( )A ．eB ．2eC ．e ＋ln(e ＋1)D ．e ＋2解析：∵F (x )为偶函数，∴F (－1)＝F (1)＝e ＋1，∵e ＋1>2且当x ∈[2，＋∞)时，F (x )的图象与函数y ＝e x ＋1的图象关于y ＝x 对称，∴e ＋1＝e x ＋1，∴x ＝1，∴F (e ＋1)＝1，∴F (－1)＋F (e ＋1)＝e ＋2.答案：D 6.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：由图象得，f (3)＝1，k ＝f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 答案：B7．设a ＝e 636，b ＝e 749，c ＝e 864，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b解析：设f (x )＝e xx 2，则a ＝f (6)，b ＝f (7)，c ＝f (8)，因为f ′(x )＝(x －2)e x x 3，所以当x >2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )＝e xx2在(2，＋∞)上单调递增，所以c >b >a .答案：C8．已知函数f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则y ＝f ′(x )的图象大致是( )解析：∵f (x )＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x ，f ′(x )是奇函数，故选项B ，D 不正确，当x ＝π6时，f ′(x )＝π12－12<0，故选A.答案：A9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1(x ≤0)e ax (x >0)在[－2,2]上的最大值为2，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12ln2，＋∞B.⎣⎡⎭⎫0，12ln2 C ．(－∞，0) D.⎝⎛⎦⎤－∞，12ln2 解析：设y ＝2x 3＋3x 2＋1(－2≤x ≤0)， 则y ′＝6x (x ＋1)(－2≤x ≤0)， 所以－2≤x <－1时y ′>0， －1<x <0时y ′<0，所以y ＝2x 3＋3x 2＋1在[－2,0]上的最大值为2，所以函数y ＝e ax 在(0,2]上的最大值不超过2，当a >0时，y ＝e ax 以(0,2]上的最大值e 2a ≤2，所以0<a ≤12ln2，当a ＝0时，y ＝1≤2，当a <0时，y ＝e ax 在(0,2]上的最大值小于1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12ln2. 答案：D10．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (3－x )＝f (x )，⎝⎛⎭⎫x －32f ′(x )<0，若x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，则有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)<f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小关系不确定解析：通解：∵⎝⎛⎭⎫x －32f ′(x )<0，∴当x >32时，f ′(x )<0， 当x <32时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是增函数， ∵f (3－x )＝f (x )，∴f (x 1)＝f (3－x 1)， 又x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，∴x 2>3－x 1.若x 1>32，则f (x 1)>f (x 2)，若x 1<32，则x 2>3－x 1>32，又f (x 1)＝f (3－x 1)>f (x 2)，所以f (x 1)>f (x 2)．优解：∵⎝⎛⎭⎫x －32f ′(x )<0， ∴当x >32时，f ′(x )<0，当x <32时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是增函数， ∵f (3－x )＝f (x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝32对称，不妨取f (x )＝－x 2＋3x ，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(3－x 1－x 2)， ∵x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知函数f (x )＝4x ＋1，g (x )＝4－x .若偶函数h (x )满足h (x )＝mf (x )＋ng (x )(其中m ，n 为常数)，且最小值为1，则m ＋n ＝__________.解析：由题意，h (x )＝mf (x )＋ng (x )＝m ·4x ＋m ＋n ·4－x ，h (－x )＝m ·4－x ＋m ＋n ·4x ，∵h (x )为偶函数，∴h (x )＝h (－x )，∴m ＝n ，∴h (x )＝m (4x ＋4－x )＋m ，∵4x ＋4－x ≥2，∴h (x )min ＝3m＝1，∴m ＝13，∴m ＋n ＝23.答案：2312．函数f (x )＝2sin(πx )＋11－x(x ∈[－2,4])的所有零点之和为______．解析：函数y ＝2sin(πx )和函数y ＝1x －1的图象均关于点(1,0)对称，作出两个函数的图象如图所示，得函数f (x )＝2sin(πx )＋11－x在[－2,4]上共有四个不同的零点，由对称性得所有零点之和为4.答案：4 13.已知f ′(x )为定义在R 上的函数f (x )的导函数，而y ＝3f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的单调递增区间是__________．解析：由y ＝3f ′(x )≥1，得f ′(x )≥0，由y ＝3f ′(x )的图象得y ＝3f ′(x )≥1的解集为(－∞，3]，即f ′(x )≥0的解集为(－∞，3]，所以y ＝f (x )的单调递增区间是(－∞，3]．答案：(－∞，3]14．曲线f (x )＝x －3x上任一点P 处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为__________．解析：通解：设点P (m ，n )，∵f ′(x )＝1＋3x2，∴曲线f (x )＝x －3x在点P 处的切线方程为y ＝⎝⎛⎭⎫1＋3m 2x －6m ， 切线与直线y ＝x 的交点为(2m,2m )，与直线x ＝0的交点为⎝⎛⎭⎫0，－6m ， ∴切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12×6|m |×2|m |＝6.优解：取点P (3,2)，因为f ′(x )＝1＋3x2，所以曲线f (x )＝x －3x 在点P 处的切线方程为y ＝43x －2，切线与直线y ＝x 的交点为(6,6)，与直线x ＝0的交点为(0，－2)，所以切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝6.答案：615．若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是__________．解析：因为f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，即f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，3上有一个解或者两个不相同的解．当有一解时，f ′⎝⎛⎭⎫12f ′(3)≤0，解得52≤a ≤103，经检验a ＝103时不成立，所以52≤a <103. 当有两解时，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧12<a 2<3f ′⎝⎛⎭⎫12>0f ′(3)>0f ′⎝⎛⎭⎫a 2<0，解得2<a <52.综上可得a ∈⎝⎛⎭⎫2，103. 答案：⎝⎛⎭⎫2，103。

y＋2<0
取原点代入，第一个不等式满足，第二个不等式不满足，故所在区域是虚线上方，实线下方．故选B.
俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为
．如图所示的程序框图，该算法的功能是(
＋22)＋…＋(n＋1＋
＋23)＋…＋(n＋2n)
0＋21＋22＋…＋2
1)]＋(20＋21＋22＋…＋
1次进入循环体，
；…；给定正整数
＋n＋2n－1，k＝n
＋…＋2n－1)．故选．某几何体的三视图如图所示，则其体积为(
由几何体的三视图知，该几何体上面是一个半球，球的半径为是一个倒放的四棱锥，其底面是边长为2的正方形，高为
1)．故选B.
是定义在[－1,1]上的奇函数，对于任意若对于任意a∈[－1,1]，存在
的取值范围是()
B．t≤－1－3或t≥3＋1
．t≥2或t≤－2或t＝0
部分．
条弦的交点均不在圆周上，且没有公共交点时，把圆分得的部条弦时，最多分成1＋1个部分；当画2条弦时，最多分成。

2025届高考数学二轮复习-数列题型解答题专项训练一、解答题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()113n n S a =-.（1）求1a ，2a ；（2）证明：数列{}n a 是等比数列.答案：（1）112a =-；214a =（2）数列{}n a 是首项和公比均为12-的等比数列解析：（1）当1n =时，()111113a S a ==-，所以112a =-.当2n =时，()22211123S a a =-+=-，所以214a =.（2）由()113n n S a =-，得()1111(2)3n n S a n --=-≥，所以()111(2)3n n n n n a S S a a n --=-=-≥，所以11(2)2n n a a n -=-≥.又112a =-，所以数列{}n a 是首项和公比均为12-的等比数列.所以数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）知()32121n a n n =+-=+.3．在数列{}n a 中,14a =,1431n n a a n +=-+,*n ∈N .（1）设n n b a n =-,求证：数列{}n b 是等比数列;（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .答案：（1）见解析（2）()1412n n n ++-解析：（1）证明：1431,n n a a n +=-+11(1)43114()4,n n n n n b a n a n n a n b ++∴=-+=-+--=-=又111413,b a =-=-=∴数列{}n b 是首项为3、公比为4的等比数列;（2）由（1）可知134n n a n --=⨯,即134n n a n -=+⨯,()()()31411412142n n n n n n n S -++∴=+=--.4．在数列{}n a 中,616a =,点()()1,n n a a n *+∈N 在直线30x y -+=上.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若2n n n b a =,求数列{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）32n a n =-（2）见解析解析：（1）依题意,130n n a a +-+=,即13n n a a +-=,因此数列{}n a 是公差为3的等差数列,则63(6)32n a a n n =+-=-,所以数列{}n a 的通项公式是32n a n =-.（2）由（1）得(32)2n n b n =-⋅,则132421242(32)2n n T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯,于是23121242(35)2(32)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯,两式相减得2123112(12))23(222(32)22(312)232n n n n n T n n ++--=+++⋅⋅⋅+--⋅--⋅-=+⋅-1(532)10n n +⋅=--,所以1(35)210n n T n +=-⋅+.5．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且636S =,1a ,3a ,13a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,若不等式4n kT <对任意的*n ∈N 都成立,求实数k的取值范围.答案：（1）21n a n =-（2）2k ≥.解析：（1）设等差数列{}n a 公差为d ,由题意1211161536(2)(12)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩,0d ≠,解得112a d =⎧⎨=⎩,所以12(1)21n a n n =+-=-;（2）由（1）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+,所以1111111111(1)()((12323522121221n T n n n =-+-++-=--++,易知n T 是递增的且12n T <,不等式4n k T <对任意的*n ∈N 都成立,则142k ≥,所以2k ≥.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足24(1)n S n =+,n +∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,若对任意的n +∈N ,不等式25n T a a <-恒成立,求实数a 的取值范围.答案：（1） 1, 1 21, 24n n a n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩（2）3a ≤-或4a ≥解析：（1）24(1)n S n =+当1n =时,214(11)a =+,即11a =当2n ≥时,由1n n n a S S -=-,故224(1)21n a n n n =+-=+,得214n n a +=.易见11a =不符合该式,故 1 121, 24n n a n n =⎧⎪=⎨+=⎪⎩，（2）由0n a >,易知n T 递增;112145T a a ==当2n ≥时,()()111611821232123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭.从而41111111281285577921235235n T n n n ⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪+++⎝⎭.又由25n T a a <-,故212a a ≤-,解得3a ≤-或4a ≥即实数a 的取值范围为3a ≤-或4a ≥7．记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知112a =,n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列.（1）求{}n a 的通项公式;（2）设()1nn n b a =-,求{}n b 的前2n 项和2n T .答案：（1）12n a n =（2）2n解析：（1）由n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列,且111S a =,则()11111222n n S n n a =+-⨯=+,即()21n n S n a =+,当2n ≥时,112n n S na --=,两式相减可得：()121n n n a n a na -=+-,整理可得11n n a na n -=-,故121121121121212n n n n n a a a n n a a n n a a a n ----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯-=-,将1n =代入上式,12n a =,故{}n a 的通项公式为12n a n =.（2）由()1nn n b a =-,则21212342221n n n n a a T b a a a a b b -=-+-+-+-+++=()()()()22121242132122n n n n n a a n a a a a a a a a --++=+++-+++=-()111122*********n nn n ⎡⎤=⨯+⨯-⨯-⨯⎢⎥⎦=-⎣.8．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,且11a =,34a =,数列{}n b 中()*221log log n n n b a a n +=+∈N .（1）求数列{}n b 的通项公式;（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ,数列{}n c 满足141n n c S =-,求数列{}n c 的前n 项和n T .答案：（1）21n b n =-（2）21n nT n =+解析：（1）正项等比数列{}n a 的公比为q ,由231a a q =,得24q =,而0q >,解得2q =,于是1112n n n a a q --==,由221log log n n n b a a +=+,得12222log o 21l g n n n n b -=+=-,所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-.（2）由（1）知,21n b n =-,显然数列{}n b 是等差数列,21(21)2n n S n n +-=⋅=,2111111(4141(21)(21)22121n n c S n n n n n ====----+-+,所以11111111[(1)()()](1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++.9．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,满足33a =,410S =.数列{}n b 满足12b =,112n n n nb a b a ++=,*n ∈N .（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;（2）设数列{}n c 满足()1(1)32n n n n n c a b +-+=,*n ∈N ,求数列{}n c 的前n 项和n T .答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ,11234610a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,解得11a =,1d =,n a n ∴=.()121n n n b b n ++=,112n n b n b n++∴=,且121b =,所以n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,2n nb n∴=,2n n b n ∴=⋅（2）()()()()1111(1)3211(1)(1)(1)12212212n n n nn n n n n n n c n n n n n n ++++⎛⎫-+--==-+=- ⎪ ⎪+⋅⋅+⋅⋅+⋅⎝⎭,()1111(1)212n n n T n ++∴=---+⋅10．已知各项为正的数列{}n a 的首项为2,26a =,22211122n n n n n n n n a a a a a a a a +++++-=--.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列{}n a 的前n 项和n S ,求数列{}28n n S a +-(其中*n ∈N )前n 项和的最小值.答案：（1）42n a n =-（2）最小值为38-解析：（1）因为22211122n n n n n n n n a a a a a a a a +++++-=--,所以有()()12120n n n n n a a a a a +++++-=,而0n a >,10n n a a +∴+≠,所以2120n n n a a a +++-=,则211121n n n n n n a a a a a a a a +++--=-=-=⋅⋅⋅=-,又12a =,26a =,∴214a a -=,由等差数列定义知数列{}n a 是以2为首项,4为公差的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为42n a n =-.（2）由（1）有2(1)=2+4=22n n n S n n -⨯,()()2282430253n n S a n n n n ∴+-=+-=+-,令280n n S a +->,有4,5,6,n =⋅⋅⋅;280n n S a +-<,有1,2n =;280n n S a +-=,有3n =.所以{}28n n S a +-前n 项和的最小值为()()()()215132252338+-++-=-,当且仅当2n =,3时取到.11．记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知2n S n =,等比数列{}n b 满足11b a =,35b a =.（1）求{}n a 的通项公式;（2）求{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）()*21n a n n =-∈N （2）当3q =时,3122n n T =-;当3q =-时,1(3)44n n T -=-.解析：（1）当1n =时,111a S ==,当2n ≥时,1n n n a S S -=-22(1)n n =--21n =-,因为11a =适合上式,所以()*21n a n n =-∈N .（2）由（1）得11b =,39b =,设等比数列{}n b 的公比为q ,则2319b b q =⋅=,解得3q =±,当3q =时,()113311322n n nT ⋅-==--,当3q =-时,11(3)1(3)1(3)44nn n T ⎡⎤⋅---⎣⎦==---.12．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+.（1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若4a ，7a ，9a 成等比数列，求n S 的最小值.答案：（1）证明见解析（2）12n =或13时，n S 取得最小值，最小值为-78解析：（1）由221nn S n a n+=+，得2n n 22S n a n n +=+，①所以2112(1)2(1)(1)n n S n a n n ++++=+++，②②-①，得112212(1)21n n n a n a n a n ++++=+-+，化简得11n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为1的等差数列.（2）由（1）知数列{}n a 的公差为1.由2749a a a =，得()()()2111638a a a +=++，解得112a =-.所以22(1)251256251222228n n n n n S n n --⎛⎫=-+==-- ⎪⎝⎭，所以当12n =或13时，n S 取得最小值，最小值为-78.13．已知数列{}n a 满足11a =，11,,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，数列{}n b 满足22n n b a =-.（1）求2a ，3a .（2）求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式.（3）已知12log n n c b =，求证：122311111n nc c c c c c -+++<.答案：（1）232a =，352a =-（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）由数列{}n a 的递推关系，知2113122a a =+=，325222a a =-⨯=-.（2）()12221212211112(21)2(21)4(21)12222n n n n n n b a a n a n a n n a ++++=-=++-=+-=-+-=-()211222n n a b =-=.因为12122b a =-=-，所以数列{}n b 的各项均不为0，所以112n n b b +=，即数列{}n b 是首项为12-，公比为12的等比数列，所以1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（3）由（2）知11221log log 2nn n c b n ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以12231111n nc c c c c c -+++1111223(1)n n =+++⨯⨯-1111112231n n=-+-++--11n=-1<.14．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21log nn na b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T ≤<.答案：（1）2n n a =（2）证明见解析解析：（1）因为2a ，3a ，44a -成等差数列，所以32424a a a =+-，又因为数列{}n a 的公比为2，所以2311122224a a a ⨯=+⨯-，即1118284a a a =+-，解得12a =，所以1222n n n a -=⨯=.（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n nn n a n b a +++===，所以2323412222n nn T +=++++，①231123122222n n n n n T ++=++++，②①-②得23111111122222n nn n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭212111111111122221111221122n n n n n n -+++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭=+-=+---11112133122222n n n n n +++++=+--=-.所以3332n nn T +=-<.又因为102n n n b +=>，所以{}n T 是递增数列，所以11n T T ≥=，所以13n T ≤<.15．在①221n n b b =+，②212a b b =+，③1b ，2b ，4b 成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=，公差不等于0的等差数列{}n b 满足__________，__________求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .答案：选①②；选②③解析：因为11a =，13n n a a +=，所以{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=.方案一：选①②.设数列{}n b 的公差为d ，因为23a =，所以123b b +=.因为221n n b b =+，所以1n =时，2121b b =+，解得123b =，273b =，所以53d =，所以533n n b -=，满足221n n b b =+，所以533n n n b n a -=，所以12123122712533333n n nn b b b n S a a a -=+++=++++，所以2341127125853333333n n n n n S +--=+++++，两式相减，得23111122111532515533109533333336233223n n n n n n n n n S ++++--+⎛⎫=++++-=+--=- ⎪⨯⨯⎝⎭，所以9109443n n n S +=-⨯.方案二：选②③.设数列{}n b 的公差为d ，因为2133a a ==，所以123b b +=，即123b d +=.因为1b ，2b ，4b 成等比数列，所以2214b b b =，即()()21113b d b b d +=+，化简得21d b d =.因为0d ≠，所以11d b ==，所以n b n =，所以13n n n b n a -=，所以120121121233333n n n n b b b n S a a a -=+++=++++，所以123111231333333n n nn n S --=+++++，两式相减，得1231211113132311333333233223n n n n n n n n n S -+⎛⎫=+++++-=--=- ⎪⨯⎝⎭，所以1923443n n n S -+=-⨯.方案三：选①③.设数列{}n b 的公差为d ，因为221n n b b =+，所以1n =时，2121b b =+，所以11d b =+.又1b ，2b ，4b 成等比数列，所以2214b b b =，即()()21113b d b b d +=+，化简得21d b d =.因为0d ≠，所以1b d =，此式与11d b =+矛盾.所以等差数列{}n b 不存在，故不符合题意.。

专题能力提升练(一) 函数 一、选择题(每小题5分)1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A ．y ＝2 015e x B ．y ＝sin 2 015xC ．y ＝－x 2 015D ．y ＝log 12 015x解析：令f(x)＝－x 2 015，由f(－x)＝－(－x)2 015＝x 2 015＝－f(x)，得y ＝－x 2 015为奇函数，又幂函数y ＝x 2 015为增函数，故y ＝－x 2 015是减函数，故选C .答案：C2．设a ＝1.10.9，b ＝0.91.1，c ＝log 1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．c<b<a C ．b<a<c D ．a<c<b解析：a ＝1.10.9>1，b ＝0.91.1∈(0,1)，c ＝log 1.10.9<0，故c<b<a ，故选B . 答案：B3．已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x 2－x ，则当x<0时，函数f(x)的最大值为( )A ．－14B .14C .12D ．－12 解析：通解：设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝x 2＋x ，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为14.故选B . 优解：当x>0时，f(x)＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为14.故选B .答案：B4．函数f(x)＝ln x －12x 2的大致图象是( )解析：易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x －x ＝1－x 2x .当0<x<1时，f ′(x)>0；当x>1时，f ′(x)<0.所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max ＝f(1)＝－12，故结合图象可知选B .答案：B5．已知偶函数f(x)满足f(x －1)＝f(x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，则关于x 的方程f(x)＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈[0,4]上的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由f(x －1)＝f(x ＋1)，知f(x ＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为2，又函数f(x)为偶函数，所以f(x －1)＝f(x ＋1)＝f(1－x)，即函数f(x)关于直线x ＝1对称，在同一坐标系内作出函数y ＝f(x)，y ＝⎝⎛⎭⎫110x的图象，由图象知在[0,4]内交点个数为4.选D .答案：D6．设函数f(x)＝1－x sin x 在x ＝x 0处取得极值，则(1＋x 20)·(1＋cos 2x 0)－1的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．2 D ．1解析：f ′(x 0)＝－sin x 0－x 0cos x 0＝0⇒x 0cos x 0＝－sin x 0，代入化简得(1＋x 20)(1＋cos 2x 0)－1＝(1＋x 20)·2cos 2x 0－1＝2cos 2x 0＋2sin 2x 0－1＝2－1＝1. 答案：D7．已知l 1，l 2是曲线C ：y ＝1x的两条互相平行的切线，则l 1与l 2的距离的最大值为( )A . 2B ．2C ．2 2D ．4解析：设第一象限的切点坐标为⎝⎛⎭⎫t ，1t ，根据曲线的对称性，曲线在第三象限的切点坐标为⎝⎛⎭⎫－t ，－1t .此时两条切线方程分别为y ＝－1t 2x ＋2t ，y ＝－1t 2x －2t ，两直线之间的距离d ＝4t 1＋1t 4＝4t 2＋1t 2≤42＝22，当且仅当t ＝1时等号成立．答案：C8．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，已知f (x ＋1)是偶函数，且(x －1)f ′(x )<0.若x 1<x 2，且x 1＋x 2>2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．不确定解析：由(x －1)f ′(x )<0可知，当x >1时，f ′(x )<0，函数单调递减．当x <1时，f ′(x )>0，函数单调递增．因为函数f (x ＋1)是偶函数，所以f (x ＋1)＝f (1－x )，f (x )＝f (2－x )，即函数f (x )图象的对称轴为x ＝1.所以，若1≤x 1<x 2，则f (x 1)>f (x 2)；若x 1<1，则x 2>2－x 1>1，此时有f (x 2)<f (2－x 1)，又f (2－x 1)＝f (x 1)，所以f (x 1)>f (x 2)．综上，必有f (x 1)>f (x 2)，选C. 答案：C9．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )在原点附近的图象大致是( )解析：因为f ′(x )＝2x －2sin x ，[f ′(x )]′＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，故选A.答案：A 10．已知f (x )是定义在R 上的函数，且函数f (x －3)的图象关于直线x ＝3对称，f (3)＝2 015，f (3)>f (0)，且在区间(0，＋∞)上，f ′(x )同号，则不等式f (x 2－2x )<2 015的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,0)C ．(0,3)D ．(－1,3)解析：因为函数f (x －3)的图象关于直线x ＝3对称，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称，所以函数f (x )是偶函数．因为在区间(0，＋∞)上，f ′(x )同号，故函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调的，又f (3)>f (0)，所以函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的．所以不等式f (x 2－2x )<2 015可化为f (|x 2－2x |)<f (3)，得|x 2－2x |<3，解得－1<x <3.答案：D二、填空题(每小题5分)11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >02x ，x ≤0则f (f (－2))＝__________.解析：因为f (－2)＝2－2>0，所以f (f (－2))＝f (2－2)＝log 22－2＝－2.答案：－212．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n ＋m ＝__________.解析：根据已知，结合函数f (x )＝|log 2x |的图象知，0<m <1<n ，所以0<m 2<m <1.根据函数图象易知函数在x ＝m 2时取得最大值，所以f (m 2)＝|log 2m 2|＝2，又0<m <1，所以m ＝12.再结合f (m )＝f (n )求得n ＝2，所以m ＋n ＝52.答案：5213．函数f (x )＝ln x －12x 2在⎣⎡⎦⎤12，2上的极大值是__________． 解析：f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1(x ＝－1舍去)，令f ′(x )>0解得12≤x <1，令f ′(x )<0，解得1<x ≤2.所以函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，1上是增函数，在[1,2]上是减函数，所以f (x )＝ln x －12x 2在⎣⎡⎦⎤12，2上的极大值是f (1)＝ln1－12＝－12. 答案：－1214．已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )在区间[2，e]上的最大值为__________．解析：因为f (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝1x ，则g (x )＝f (x )－f ′(x )＝ln x －1x ，函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1x ＋1x2>0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，所以函数g (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以g (x )在区间[2，e]上的最大值g (x )max ＝g (e)＝lne －1e ＝1－1e.答案：1－1e15．已知函数f (x )＝ax －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，∀x 2∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，x 1≠x 2，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围为__________．解析：已知条件等价于f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π3上单调递减，等价于f ′(x )＝a ＋sin x ≤0在⎣⎡⎦⎤π4，π3上恒成立，即a ≤－sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，π3上恒成立，a ≤(－sin x )min ＝－32，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－32三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20题13分，第21题14分)16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3ax ＋a 2－3(x <0)2e x －(x －a )2＋3(x >0)，a ∈R . (1)若函数y ＝f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值；(2)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点关于原点对称，求a 的取值范围．解：(1)当x >0时，f (x )＝2e x －(x －a )2＋3， f ′(x )＝2(e x －x ＋a )．因为y ＝f (x )在x ＝1处取得极值， 所以f ′(1)＝0，即2(e －1＋a )＝0， 解得a ＝1－e ，经验证满足题意，所以a ＝1－e.(2)由题意知y ＝f (x )的图象上存在两点关于原点对称，即y ＝2e x －(x －a )2＋3(x >0)图象上存在一点(x 0，y 0)(x 0>0)， 使得(－x 0，－y 0)在y ＝x 2＋3ax ＋a 2－3(x <0)的图象上，即有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝2e x 0－(x 0－a )2＋3－y 0＝x 20－3ax 0＋a 2－3，消去y 0，得2e x 0－(x 0－a )2＋3＝－x 20＋3ax 0－a 2＋3，化简得a ＝2e x 0x 0.y ＝f (x )的图象上存在两点关于原点对称，即关于x 0的方程a ＝2e x 0x 0在(0，＋∞)上有解．设h (x )＝2e xx (x >0)，则h ′(x )＝2e x(x －1)x 2.因为x >0，所以当x >1时，h ′(x )>0； 当0<x <1时，h ′(x )<0.所以h (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数． 所以h (x )≥h (1)＝2e ，且x →＋∞时，h (x )→＋∞； x →0时，h (x )→＋∞，即h (x )的值域为[2e ，＋∞)．所以当a ≥2e 时，方程a ＝2e x 0x 0在(0，＋∞)上有解．所以当a ≥2e 时，y ＝f (x )的图象上存在两点关于原点对称．17．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a ≠0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若{x |f (x )≤0}＝[b ，c ](其中b <c )，求a 的取值范围，并说明[b ，c ]⊆(0,1)． 解：(1)f ′(x )＝a x －1x 2＝ax －1x2(x >0)．(ⅰ)当a <0时，f ′(x )<0，则函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．(ⅱ)当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a .当x所以f (x )的单调递减区间是⎝⎭⎫0，1a ，单调递增区间是⎝⎛⎭1a ，＋∞. (2)由(1)知，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以函数f (x )至多存在一个零点，不符合题意．当a >0时，因为f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是增函数，所以在使{x |f (x )≤0}＝[b ，c ]，必需f ⎝⎛⎭⎫1a <0，即a ln 1a＋a <0. 所以a >e.当a >e 时，f ⎝⎛⎭⎫1a 2＝a ln 1a2＋a 2＝－2a ln a ＋a 2＝a ·(a －2ln a )．令g (x )＝x －2ln x (x ≥e)，则g ′(x )＝1－2x ＝x －2x (x ≥e)．当x >e 时，g ′(x )>0，所以g (x )在[e ，＋∞)上是增函数．所以当a >e 时，g (a )＝a －2ln a >g (e)＝e －2>0.所以f ⎝⎛⎭⎫1a 2>0.因为1a 2<1a<1，f ⎝⎛⎭⎫1a <0，f (1)＝1>0， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫1a 2，1a 上存在一个零点，不妨记为b ，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上存在一个零点，不妨记为c .因为f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是增函数， 所以{x |f (x )≤0}＝[b ，c ]．综上所述，a 的取值范围是(e ，＋∞)． 因为b ∈⎝⎛⎭⎫1a 2，1a ，c ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1， 所以[b ，c ]⊆(0,1)．18．已知函数f (x )＝e x －1－x .(1)若存在x 0∈⎣⎡⎦⎤－1，ln 43，使a －e x ＋1＋x <0成立，求a 的取值范围； (2)当x ≥0时，f (x )≥(t －1)x 恒成立，求t 的取值范围． 解：(1)由题知a <e x －1－x ，即a <f (x )， 令f ′(x )＝e x －1＝0，得x ＝0. ∵x >0时，f ′(x )>0，x <0时， f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．∴当x 0∈⎣⎡⎦⎤－1，ln 43时，f (x )在区间端点处取得最大值． 又f (－1)＝e －1－1＋1＝1e，f ⎝⎛⎭⎫ln 43＝43－1－ln 43， f (－1)－f ⎝⎛⎭⎫ln 43＝1e －43＋1＋ln 43＝1e －13＋ln 43>0. ∴f (－1)>f ⎝⎛⎭⎫ln 43， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－1，ln 43上的最大值为1e ，故a 的取值范围是a <1e . (2)由已知可得x ≥0时，e x －1－tx ≥0恒成立， 令g (x )＝e x －1－tx ，则g ′(x )＝e x －t ， 若t ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0， g (x )为增函数，g (0)＝0， 从而当x ≥0，g (x )≥0， 即f (x )≥(t －1)x 恒成立． 若t >1，则当x ∈(0，ln t )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0， 从而当x ∈(0，ln t )时，g (x )<0，即f (x )<(t －1)x ，所以t >1不符合题意，综上可得t 的取值范围为(－∞，1]．19．已知函数f (x )＝ax＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)如果存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(3)如果对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x＋x ln x ，f ′(x )＝－2x 2＋ln x ＋1，f (1)＝2，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－x ＋3. (2)存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立， 等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M ， 考察函数g (x )＝x 3－x 2－3，则g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝⎛⎭⎫x －23， 当x 由上表可知：g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫23＝－8527，g (x )max ＝g (2)＝1， [g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227，所以满足条件的最大整数M ＝4.(3)对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，等价于：在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )的最小值不小于g (x )的最大值，当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )＝ax ＋x ln x ≥1恒成立， 等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立，记h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，h ′(1)＝0，记m (x )＝1－2x ln x －x ，m ′(x )＝－3－2ln x ，由于x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，m ′(x )＝－3－2ln x <0，所以m (x )＝h ′(x )＝1－2x ln x －x 在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，h ′(x )>0，x ∈(1,2]时，h ′(x )<0，即函数h (x )＝x －x 2ln x 在区间⎣⎡⎭⎫12，1上单调递增，在区间(1,2]上单调递减， 所以h (x )max ＝h (1)＝1，所以a ≥1.20．(2016·郴州模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2x . (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若0<x 1<x 2<1，试比较f (x 1)x 1与f (x 2)x 2的大小．解：(1)由－x 2＋2x ≥0得0≤x ≤2， ∴函数f (x )的定义域为[0,2]， ∵0≤－x 2＋2x ≤1， ∴函数f (x )的值域为[0,1]，(2)当x >0时，f (x )x ＝－x 2＋2x x ＝－1＋2x 在区间(0,1)上是减函数，∴0<x 1<x 2<1时，f (x 1)x 1>f (x 2)x 2.21．设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －b .由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知， f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1)． (ⅰ)若a ≤12，则a1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1的充要条件为f (1)<aa －1，即1－a 2－1<aa －1， 解得－2－1<a <2－1. (ⅱ)若12<a <1，则a 1－a>1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )>0.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a <aa －1.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22(1－a )＋a a －1>a a －1，所以不合题意． (ⅲ)若a >1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．。

一、三角函数及解三角形(A 组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！ 姓名：________ 班级：________1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足⎝⎛⎭⎫54c －a cos B ＝b cos A .(1)若sin A ＝25，a ＋b ＝10，求a ； (2)若b ＝35，a ＝5，求△ABC 的面积S .解：∵⎝⎛⎭⎫54c －a cos B ＝b cos A ，∴由正弦定理得⎝⎛⎭⎫54sin C －sin A ·cos B ＝sin B cos A ，即有54sin C cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，则54sin C cos B ＝sin C .∵sin C >0，∴cos B ＝45. (1)由cos B ＝45，得sin B ＝35，∵sin A ＝25， ∴a b ＝sin A sin B ＝23， 又a ＋b ＝10，∴a ＝4.(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b ＝35，a ＝5，∴45＝25＋c 2－8c ，即c 2－8c －20＝0， 解得c ＝10或c ＝－2(舍去)，∴S ＝12ac sin B ＝15. 2．已知锐角△ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a 2＋b 2＝6ab cos C ，且sin 2C ＝2sin A sin B .(1)求角C 的值；(2)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－cos ωx (ω>0)，且f (x )图象上相邻两最高点间的距离为π，求f (A )的取值范围．解：(1)因为a 2＋b 2＝6ab cos C ，由余弦定理知a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，所以cos C ＝c 24ab，又sin 2C ＝2sin A sin B ，则由正弦定理得c 2＝2ab ， 所以cos C ＝c 24ab ＝2ab 4ab ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3，由已知可得2πω＝π，所以ω＝2，则f (A )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3， 因为C ＝π3，所以B ＝2π3－A ，因为0<A <π2，0<B <π2， 所以π6<A <π2， 所以0<2A －π3<2π3， 所以f (A )的取值范围是(0，3]．。

高考大题标准练(一 )满分 75 分，实战模拟， 60 分钟拿下高考客观题满分！姓名：________ 班级： ________11．(2015 ·重庆卷 )已知函数 f(x)＝2sin2x－ 3cos2x.(1)求 f(x)的最小正周期和最小值；(2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到本来的两倍，纵坐标不变，获得π函数 g(x)的图象．当 x∈2，π时，求 g(x)的值域．1 2解： (1)f(x)＝2sin2x－3cos x1 3＝2sin2x－2 (1＋cos2x)1 3 3＝2sin2x－2 cos2x－2π3＝sin 2x－3－2，2＋ 3所以 f(x)的最小正周期为π，最小值为－.2π3(2)由条件可知： g(x)＝sin x－3－2 .πππ 2π当 x∈2，π时，有 x－3∈6，3，π1进而 sin x－3∈2，1 ，那么 sin x－π 3 1－ 3 2－ 3. 3－2∈2，2故 g(x)在区间π1－32－3 ，π上的值域是2，.2 22．(2016 ·新课标全国卷Ⅱ )等差数列 { a n} 中， a3＋ a4＝4，a5＋ a7＝6.(1)求{a n} 的通项公式；(2)设 b n＝ [a n] ，求数列 { b n} 的前 10 项和，此中 [x] 表示不超出 x 的最大整数，如[0.9] ＝0，[2.6] ＝2.解： (1)设数列 { a n } 的首项为 a1，公差为 d，a1＝，1 12a ＋5d＝ 4，由题意有解得 2a1＋5d＝3，d＝5. 所以n}的通项公式为a n＝2n＋3 .{a 52n＋ 3.(2)由(1)知， b n＝52n＋3当 n＝ 1,2,3 时， 1≤5 <2，b n＝ 1；2n＋3当 n＝ 4,5 时， 2≤5 <3，b n＝ 2；2n＋3当 n＝ 6,7,8 时， 3≤5 <4，b n＝ 3；2n＋3当 n＝ 9,10 时， 4≤<5，b n＝4.5所以数列 { b n} 的前 10 项和为 1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.3．(2016 ·新课标全国卷Ⅱ )某险种的基本保费为 a(单位：元 )，持续购置该险种的投保人称为续保人，续保人今年度的保费与其上年度出险次数的关系以下：上年度出险次0 1 2 3 4 ≥5数保费 a 2a随机检查了该险种的200 名续保人在一年内的出险状况，获得以下统计表：出险次数0 1 2 3 4 ≥5频数60 50 30 30 20 10(1)记 A 为事件：“一续保人今年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的预计值；(2)记 B 为事件：“一续保人今年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求 P(B)的预计值；(3)求续保人今年度均匀保费的预计值．解：(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频次为60＋50＝，故200P(A)的预计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频次为30＋ 30200＝，故P(B)的预计值为0.3.(3)由所给数据得保费a2a频次检查的 200 名续保人的均匀保费为×＋a×＋×＋×＋×＋ 2a×＝ 1.192 5a.所以，续保人今年度均匀保费的预计值为 1.192 5a.4．(2016 ·新课标全国卷Ⅲ )如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA ＝BC＝ 4， M 为线段 AD 上一点， AM＝2MD ，N 为 PC 的中点．(1)证明 MN∥平面 PAB；(2)求四周体 N-BCM 的体积．2(1)证明：由已知得 AM ＝3AD ＝2.如图，取 BP 的中点 T ，连结 AT ， TN ， 由 N 为 PC 中点知 TN ∥BC ，1TN ＝2BC ＝ 2.又 AD ∥BC ，故 TN 綊 AM ，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN ∥AT.由于 AT? 平面 PAB ，MN?平面 PAB ，所以 MN ∥平面 PAB.(2)解：由于 PA ⊥平面 ABCD ， N 为 PC 的中点，1所以 N 到平面 ABCD 的距离为 2PA.如图，取 BC 的中点 E ，连结 AE.由 AB ＝ AC ＝ 3 得 AE ⊥BC ，AE ＝ AB 2－ BE 2＝ 5.由 AM ∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5，△ 1×4× 5＝2 5.故 S BCM ＝2所以四周体的体积1 ×S △ × PA ＝ 4 5 N-BCM N-BCM ＝323 . V BCM25．(2015 ·新课标全国卷Ⅰ )已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C ： (x －2) ＋ (y －3)2＝1 交于 M ，N 两点．(1)求 k 的取值范围；→ →(2)若OM ·ON ＝ 12，此中 O 为坐标原点，求 |MN|. 解： (1)由题设，可知直线 l 的方程为 y ＝kx ＋ 1.|2k －3＋1|由于 l 与 C 交于两点，所以<1.21＋ k4－7 4＋7解得3 <k< 3 .所以 k 的取值范围为4－74＋7. 3 ， 3(2)设 M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将 y ＝ kx ＋1 代入方程 (x － 2)2＋(y － 3)2＝ 1，2 2整理得 (1＋k )x －4(1＋k)x ＋7＝0.4 1＋ k7所以x1＋x2＝1＋k2，x1x2＝1＋k2.→→OM·ON＝ x1x2＋y1y2＝(1＋ k2)x1x2＋ k(x1＋x2)＋1 4k 1＋k＝1＋k2＋8.4k 1＋k由题设可得1＋k2＋8＝12，解得k＝1，所以 l 的方程为 y＝x＋1.故圆心 C 在 l 上，所以 |MN|＝2.6．(2016 ·新课标全国卷Ⅲ )设函数 f(x)＝ln x－ x＋ 1.(1)议论 f(x)的单一性；x－1(2)证明当 x∈ (1，＋∞ )时， 1< ln x <x；(3)设 c>1，证明当 x∈ (0,1)时， 1＋ (c－1)x>c x.1(1)解：由题设， f(x)的定义域为 (0，＋∞)， f′(x)＝x－1，令 f′(x)＝0，解得 x ＝1.当 0＜ x＜ 1 时， f′(x)＞ 0， f(x)单一递加；当 x＞ 1 时， f′(x)＜ 0， f(x)单一递减．(2)证明：由(1)知， f(x)在 x＝1 处获得最大值，最大值为 f(1)＝0.所以当 x≠1 时， ln x＜x－1.故当 x∈(1，＋∞)时， ln x＜x－1，1 1ln x＜x－1，x－ 1即 1＜ln x＜ x.(3)证明：由题设 c＞ 1，设 g(x)＝ 1＋ (c－1)x－c x，则 g′ (x)＝c－1－c x ln c.c－ 1lnln c令 g′ (x)＝0，解得 x0＝ln c .当 x＜ x0时， g′(x)＞0，g(x)单一递加；当 x＞ x0时， g′(x)＜0，g(x)单一递减．c－1由(2)知 1＜ln c＜c，故 0＜x0＜1.又 g(0)＝g(1)＝ 0，故当 0＜ x＜1 时， g(x)＞0.所以当 x∈(0,1)时， 1＋(c－ 1)x＞ c x.。

高考大题标准练 (五 )满分 75 分，实战模拟， 60 分钟拿下高考客观题满分！姓名：________ 班级： ________x x2 x1．(2015 ·福建卷 )已知函数 f(x)＝ 10 3sin 2cos 2＋10cos 2.(1)求函数 f(x)的最小正周期；π(2)将函数 f(x)的图象向右平移 6个单位长度，再向下平移 a(a ＞0)个单位长度后获取函数 g(x)的图象，且函数 g(x)的最大值为 2.①求函数 g(x)的分析式；②证明：存在无量多个互不同样的正整数 x 0，使得 g(x 0)＞0.x x 2x 解：由于 f(x)＝ 10 3sin 2cos 2＋ 10cos 2＝5 3sinx ＋5cosx ＋5π＝ 10sin x ＋ 6 ＋5，所以函数 f(x)的最小正周期 T ＝ 2 π.π(2)①将 f(x)的图象向右平移 6个单位长度后获取y ＝10sinx ＋ 5 的图象，再向下平移 a(a ＞0)个单位长度后获取 g(x)＝10sinx ＋5－a 的图象．已知函数 g(x)的最大值为 2，所以 10＋5－a ＝2，解得 a ＝13.所以 g(x)＝10sinx －8.②要证明存在无量多个互不同样的正整数x 0，使得 g(x 0)＞0，就是要证明存在无量多个互不同样的正整数x 0，使得 10sinx 0－48＞0，即 sinx 0＞5.4 3π4由5＜2 知，存在 0＜α0＜3，使得 sin α0＝ 5.4由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有 sinx ＞5.由于 y ＝sinx 的最小正周期为2 π，4所以当 x ∈(2k π＋α0,2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有 sinx ＞ 5.π由于对随意的整数 k ， (2k π＋π－ α0)－(2k π＋α0) ＝π－ 2α0＞3＞ 1，所以对随意的正整数 k ，都存在正整数 x k ∈ (2k π＋α0,2k π＋ π－ α0)，4使得 sinx k ＞5.亦即，存在无量多个互不同样的正整数 x 0，使得 g(x 0)＞0.2．已知 {a n } 是递加的等差数列， a 2，a 4 是方程 x 2 －5x ＋ 6＝ 0 的根．(1)求{a n } 的通项公式；a n(2)求数列 2n 的前 n 项和．解： (1)方程 x 2－5x ＋6＝0 的两根为 2,3，由题意得 a 2＝ 2，a 4＝3. 设数列 { a n } 的公差为 d ，则 a 4－a 2＝2d ，1 3故 d ＝ 2，从而 a 1＝2.1所以 {a n } 的通项公式为 a n ＝ 2n ＋1.a nnn ＋2(2)设2a2＋1，则的前 n 项和为 S ，由1)知 2＝n34n ＋1 n ＋ 2S n ＝22＋23＋ ＋ 2n＋n ＋1，21 3 4n ＋ 1 n ＋22S n ＝23＋ 24 ＋ ＋ 2n ＋1＋2n ＋2 .1311n ＋2两式相减得n ＝ ＋3＋ ＋ n 1 －n ＋22 2 ＋2S423 1 1 n ＋ 2＝4＋41－2n －1－ 2n ＋2 .n ＋4所以 S n ＝2－ n 1 .2 ＋3．(2016 ·北京卷 )某市居民用水拟推行阶梯水价，每人月用水量中不超出 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费， 高出 w 立方米的部分按 10 元 /立方米收费，从该市随机检查了 10000 位居民，获取了他们某月的用水量数据，整理获取如图频次散布直方图：(1)假如 w 为整数，那么依据此次检查，为使 80%以上居民在该月的用水价钱为 4 元/立方米， w 起码定为多少？(2)假定同组中的每个数据用该组区间的右端点值取代，当 w ＝ 3 时，预计该市居民该月的人均水费．解： (1)由频次散布直方图得：用水量在 [0.5,1)的频次为，用水量在 [1,1.5)的频次为，用水量在 [1.5,2)的频次为，用水量在 [2,2.5)的频次为，用水量在 [2.5,3)的频次为，用水量在 [3,3.5)的频次为，用水量在 [3.5,4)的频次为，用水量在 [4,4.5)的频次为，∵用水量小于等于 3 立方米的频次为85%，∴为使 80%以上居民在该用的用水价为 4 元 /立方米，∴w 起码定为 3 立方米．(2)当 w＝3 时，该市居民的人均水费为：×1＋×＋×2＋×＋×3)×4＋×3×4＋××10＋×3×4＋× 1× 10＋×3×4＋××10＝，∴当 w＝3 时，预计该市居民该月的人均水费为10.5 元．4．(2016 ·新课标全国卷Ⅰ )如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA＝6，极点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连结 PE 并延伸交 AB 于点 G.(1)证明： G 是 AB 的中点；(2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及原因 )，并求四周体PDEF 的体积．证明： (1)由于 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 AB⊥PD.由于 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 AB⊥DE. 由于 PD∩DE＝D，所以 AB⊥平面 PED，故 AB⊥ PG. 又由已知可得， PA＝PB，所以 G 是 AB 的中点．(2)解：在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F，F 即为 E 在平面PAC 内的正投影．原因以下：由已知可得 PB⊥PA，PB⊥ PC，又 EF∥PB，所以 EF⊥PA，EF⊥ PC. 又 PA∩PC＝ P，所以 EF⊥平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影．连结 CG，由于 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中2心．由 (1)知， G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD＝3CG.2由题设可得 PC⊥平面 PAB，DE⊥平面 PAB，所以 DE∥PC，所以 PE＝3PG，1DE＝3PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝ 6，可得 DE＝ 2， PE＝ 2 2.在等腰直角三角形EFP 中，可得 EF＝PF＝2，1 14 所以四周体 PDEF 的体积 V ＝3×2×2×2×2＝3.5．(2016 ·浙江卷 )如图，设抛物线 y 2＝2px(p>0)的焦点为 F ，抛物线上的点 A 到y 轴的距离等于 |AF|－ 1.(1)求 p 的值；(2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B ，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N ， AN 与 x 轴交于点 M ，求 M 的横坐标的取值范围．解： (1)由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x ＝－ 1 的距离，p由抛物线的定义得 2＝ 1，即 p ＝2.2,2t)， t ≠0，t ≠±1.(2)由(1)得，抛物线方程为 y 2＝4x ，，可设A(tF(1,0)由于 AF 不垂直于 y 轴，可设直线 AF ：x ＝sy ＋ 1(s ≠ 0)，由y 2＝4x ， 消去 x 得 y 2－4sy －4＝0，x ＝sy ＋11 2故 y 1y 2＝－ 4，所以 B t 2，－ t .又直线 AB 的斜率为 2t，故直线 FN 的斜率为－ t 2－ 12t ，t 2－ 1t 2－12t 2 ＋32 从而得直线 FN ：y ＝－2t (x －1)，直线 BN ： y ＝－ t ，所以 N ，－t.t 2 －12设 M(m,0)，由 A ， M ，N 三点共线得 22t2t ＋ t，＝2t －mt ＋3t 2－ 22t2t －1＝2＋ 2于是 m ＝ 22 ，t －1 t －1所以 m ＜0 或 m ＞2.经查验， m ＜ 0 或 m ＞2 知足题意．综上，点 M 的横坐标的取值范围是 (－∞， 0)∪(2，＋ ∞)．6．(2016 ·天津卷 )设函数 f(x)＝x 3－ ax －b ，x ∈R ，此中 a ，b ∈R .(1)求 f(x)的单一区间； 0，且 f(x 1 ＝，此中1≠x 0，求证： x 1＋2x 0＝0；(2) 若f(x) 存在极值点x )xf(x )1(3)设 a>0，函数 g(x)＝|f(x)|，求证： g(x)在区间 [－1，1]上的最大值不小于 . ．．．4解： (1)由 f(x)＝x 3－ax －b ，可得f ′ (x)＝ 3x 2－ a.下边分两种状况议论：①当 a ≤0 时，有 f ′(x)＝ 3x 2－ a ≥ 0 恒建立，所以 f(x)的单一递加区间为 (－∞，＋ ∞)．②当 a ＞0 时，令 f ′(x)＝ 0，解得 x ＝ 3a 3 或 x ＝－ 3a3 .当 x 变化时， f ′ (x)，f(x)的变化状况以下表：x3a3a3a3a 3a 3a－∞，－ 3－ 3－3，33 3 ，＋∞f ′ (x) ＋0 － 0＋ f(x) 单一递加极大值单一递减 极小值单一递加所以 f(x)的单一递减区间为－3a 3a3a 3a 3 ， 3，单一递加区间为－∞，－ 3 ， 3 ，＋ ∞.(2)证明：由于 f(x)存在极值点，0≠0. 所以由 (1)知 a ＞0，且 x2 2 a由题意，得 f ′ (x )＝ 3x － a ＝ 0，即 x ＝ 3，从而30－ ＝－2a0)＝ x 0－x 0－b.f(xaxb38a2a又－3 0－ ＝－x 0＋ 0－ ＝－0)，且－f( 2x ＝－8x ＋－＝f(x2axb3 2ax b 3b2x 0≠x 0，由题意及 (1)知，存在独一实数 x 1 知足 f(x 1)＝f(x 0)，且 x 1 ≠x 0 ，所以 x 1＝－ 2x 0，所以 x 1＋ 2x 0＝ 0.(3)证明：设 g(x)在区间 [ －1,1]上的最大值为 M ， max{ x ，y} 表示 x ，y 两数的最大值．下边分三种状况议论：3a 3a①当 a ≥3 时，－ 3 ≤－1＜1≤ 3 ，由(1)知， f(x)在区间 [ －1,1]上单一递减，所以 f(x)在区间 [－1,1] 上的取值范围为 [f(1)，f(－ 1)]，所以 M ＝max{| f(1)|，|f(－1)|}＝ m ax{|1－a －b|， |－1＋a －b|}＝ m ax{| a －1＋b|， |a －1－b|}a －1＋b ，b ≥0，＝a －1－b ，b ＜0.所以 M ＝a －1＋|b|≥ 2.3 2 3a3a 3a 2 3a②当 4≤ a ＜ 3 时，－3 ≤－1＜－ 3 ＜ 3 ＜1≤3.2 3a 3a由(1)和(2)知 f(－1)≥f －3 ＝ f3 ，2 3a3af(1)≤f 3 ＝f － 3 ，所以 f(x)在区间 [－1,1] 上的取值范围为 f 3a ，f － 3a 3 3 ，3a 3a所以 M ＝maxf 3 ， f － 32a2a ＝max － 9 3a －b ， 9 3a － b2a 2a＝max 9 3a ＋ b ， 9 3a －b ＝ 2a 2 3 3 1 9 3a ＋|b|≥ × × 3×＝.9 4 4 4 3 2 3a 2 3a ③当 0＜a ＜4时，－ 1＜－ 3＜ 3 ＜1.2 3a3a由(1)和(2)知 f(－1)＜f －3 ＝ f 3 ，2 3a 3af(1)＞f3 ＝f － 3 ，所以 f(x)在区间 [－1,1] 上的取值范围为 [f(－1)， f(1)] ．所以 M ＝max{| f(－ 1)|，|f(1)|}＝ m ax{| －1＋ a － b|， |1－a －b|}＝ m ax{|1－a ＋b|， |1－a －b|}1＝1－a ＋|b|＞ 4.1综上所述，当 a ＞0 时， g(x)在区间 [－ 1， 1]上的最大值不小于 4.。

高考小题标准练(十)时间：40分钟 分值：75分 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}＝( ) A ．M ∩N B ．M ∪NC ．∁R (M ∩N )D ．∁R (M ∪N )解析：M ＝{x |－3<x <1}，N ＝{x |x ≤－3}，所以M ∪N ＝{x |x <1}，∁R (M ∪N )＝{x |x ≥1}．故选D.答案：D2．已知复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(i 是虚数单位，x ∈R )，若z 1·z 2∈R ，则实数x ＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析：由z 1·z 2＝x －2＋(x ＋2)i ∈R ，可知x ＋2＝0，所以x ＝－2，故选B.答案：B3．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n解析：垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故选D.答案：D4．设函数f (x )＝x e x ，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析：f (x )＝x e x ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，e x >0恒成立．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1.当x <－1时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x >－1时，f ′(x )>0，函数单调递增，所以x ＝－1为f (x )的极小值点，故选D.答案：D5．如图是一个算法的程序框图．若该程序输出的结果为45，则判断框中应填入的条件是( )A ．t >4?B ．t <4?C ．t >3?D ．t <3?解析：执行循环如下：i ＝2，t ＝1，s ＝12；i ＝3，t ＝2，s ＝12＋16＝23；i ＝4，t ＝3，s ＝23＋112＝34；i ＝5，t ＝4，s ＝34＋120＝45，此时满足输出条件，故填“t <4？”．故选B. 答案：B6．从1,2,3,4,5这五个数中，随机取出两个数字，剩下三个数字的和是奇数的概率是( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.6解析：取出两个数字后剩下的数是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5，共10种情形，其中和是奇数的有1,2,4；1,3,5；2,3,4；2,4,5，共4种情形，所以所求概率为0.4.故选B.答案：B7．将函数f (x )＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( ) A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称 B ．在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，为奇函数 C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称解析：由条件可得g (x )＝cos2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝sin2x ，则其对称轴为2x ＝k π＋π2，即x ＝k 2π＋π4(k ∈Z )，故选项A 错误；由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，即k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )，且g (x )为奇函数，故选项B 正确，选项C 错误，又对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0，故选项D 错误．故选B.答案：B8．一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为( )A.32 B ．1 C.52 D.12解析：由三视图可知，该几何体是一个正六棱锥，其底面是边长为1的正六边形，侧棱长为2，高为22－12＝3，此即为侧视图三角形的高．又侧视图三角形的底边长为21－⎝⎛⎭⎫122＝3，故侧视图的面积为S ＝12×3×3＝32.故选A. 答案：A9．在四面体S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA ＝AB ＝AC ＝BC ＝2，则该四面体外接球的表面积是( )A ．7πB ．8π C.28π3 D.32π3解析：因为SA ＝AB ＝AC ＝BC ＝2，所以△ABC 为等边三角形，由正弦定理得△ABC 的外接圆的半径r ＝22sin60°＝233.又因为SA ⊥平面ABC ，SA ＝2，所以四面体外接球的半径的平方R 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋⎝⎛⎭⎫222＝73.其表面积是4πR 2＝28π3.故选C. 答案：C10．设f (x )是定义在R 上的增函数，且对于任意的x ，都有f (2－x )＋f (x )＝0恒成立．如果实数m ，n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (m 2－6m ＋23)＋f (n 2－8n )<0，m >3， 则m 2＋n 2的取值范围是( )A ．(3,7)B ．(9,25)C ．(13,49)D ．(9,49) 解析：因为对于任意的x ，都有f (2－x )＋f (x )＝0恒成立，所以f (x )＝－f (2－x )．因为f (m 2－6m ＋23)＋f (n 2－8n )<0，所以f (m 2－6m ＋23)<f (2－n 2＋8n )．因为f (x )是定义在R 上的增函数，所以m 2－6m ＋23<2－n 2＋8n ，即(m －3)2＋(n －4)2<4.又因为(m －3)2＋(n －4)2＝4表示圆心坐标为(3,4)，半径为2的圆，所以(m －3)2＋(n －4)2＝4(m >3)内的点到原点距离的取值范围为(32＋22，5＋2)，即(13，7)．又m 2＋n 2表示(m －3)2＋(n －4)2＝4内的点到原点距离的平方，所以m 2＋n 2的取值范围是(13,49)．故选C.答案：C二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知数列{a n }中，a n ＝－n 2＋λn ，且{a n }是递减数列，则实数λ的取值范围是__________．解析：由{a n }是递减数列⇒a n ＋1－a n <0对任意n ∈N *成立，所以有a n ＋1－a n ＝－(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＋n 2－λn ＝λ－2n －1<0，所以λ<2n ＋1对任意n ∈N *成立，故实数λ的取值范围是λ<3.答案：(－∞，3)12．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为__________．解析：因为正六边形周长为3，则边长为12，故其主对角线为1，从而球的直径2R ＝(3)2＋12＝2，所以R ＝1，所以球的体积V ＝4π3. 答案：4π313．设A ，B 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点．已知向量m ＝(1,0)，|AB →|＝6，AB →·m |m |＝3，则双曲线的离心率e ＝__________. 解析：由题意cos 〈m ，AB →〉＝m ·AB →|m |·|AB →|＝36＝12，所以直线AB 与x 轴正方向夹角为60°.当λ>0时，b a ＝tan60°＝3，即b ＝3a ，c ＝2a ，e ＝2；当λ<0时，a b＝tan60°＝3，即a ＝3b ，c ＝2b ，e ＝2b 3b＝233.答案：2或23314．设向量a 与b 的夹角为θ，若a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos θ＝__________.解析：b ＝a ＋(2b －a )2＝3×1＋2×32＝(1,2)，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝(3，3)·(1，2)32×5＝31010. 答案：3101015．已知圆C 与直线x －y －4＝0及x －y ＝0都相切，且圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为__________．解析：设圆心C 的坐标为C (a ，－a )，由题意知|a ＋a －4|2＝|2a |2，解得a ＝1，所以r ＝|2a |2＝2，所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2。

高考大题标准练(七)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：________1．(2015·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .(1)求sin ∠B sin ∠C；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 解：(1)利用正弦定理转化得：sin ∠Bsin ∠C ＝DC BD ＝12.(2)由诱导公式可得sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos ∠B ＋12sin ∠B .由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，∠B ＝30°. 2．(2015·浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1nb n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)． 由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1n ＋1＝b n n ，所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1， 所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．3．(2016·新课标全国卷Ⅲ)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17,i ＝17(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )i ＝1n (t i －t )2i ＝1n (y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )i ＝1n (t i －t )2，a ^＝y －b ^t .解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈2.892×2.646×0.55≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以，y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t . 将2016年对应的t ＝9代入回归方程得 y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨． 4．(2016·浙江卷)如图，在三棱台ABC -DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．证明：(1)延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ， 所以AC ⊥平面BCK ， 因此，BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK .所以BF ⊥平面ACFD . (2)解：因为BF ⊥平面ACK ，所以∠BDF 是直线BD 与平面ACFD 所成的角．在Rt △BFD 中，BF ＝3，DF ＝32，得cos ∠BDF ＝217，所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为217.5．(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解：由题意知F ⎝⎛⎭⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ， 则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D (1,0)重合．所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1. 6．(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x ＋1)·ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0.故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a (x －1)x ＋1>0.设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0.①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )>0；②当a >2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此g (x )<0.综上，a 的取值范围是(－∞，2]．。

高考大题标准练 (八 )分 75 分， 模 ， 60 分 拿下高考客 分！姓名：________ 班： ________1．(2015 ·天津卷 )在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所 的 分a ，b ， c.已知△1ABC 的面 3 15，b －c ＝2，cosA ＝－ 4.(1) 求 a 和 sinC 的 ；(2) 求 cos 2A ＋ π6 的 ．解： (1)在△ABC 中，由 cosA ＝－1154，可得 sinA ＝ 4 .1由 S △ABC ＝2bcsinA ＝3 15，得 bc ＝ 24，又由 b －c ＝2，解得 b ＝6，c ＝4.由 a 2＝b 2＋ c 2－2bccosA ，可得 a ＝ 8.ac 15由 sinA ＝sinC ，得 sinC ＝ 8 .2A ＋ ππ π32－1(2)cos 6 ＝ · － · ＝ 2 (2cos A 1) － × 2sinA ·cosA ＝cos2A cos 6 sin2A sin 62 15－7 316 .2．(2015 ·湖南卷 ) 数列 { a n } 的前 n 和 S n .已知 a 1＝1，a 2＝ 2，且 a n ＋ 2＝ 3S n－ S n ＋ 1＋3，n ∈N * .(1) 明： a n ＋2＝3a n ； (2)求 S n .明： (1)由条件， 随意 n ∈N * ， 有 a n ＋2＝3S n － S n ＋1 ＋3，因此 随意 n ∈N * ， n ≥ 2，有 a n ＋1＝3S n －1－S n ＋ 3.两式相减，得 a n ＋2－a n ＋1＝ 3a n － a n ＋ 1，即 a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又 a 1＝1，a 2＝ 2，所以 a 3＝ 3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1.故 全部 n ∈ N * ，a n ＋2＝3a n .a n ＋2(2)解：由 (1)知， a n ≠0，所以 a n ＝3.于是数列 { a 2n －1} 是首 a 1＝1，公比 3 的等比数列；数列 { a 2n } 是首 a 2＝2，公比 3 的等比数列．所以 a 2n －1＝3n －1，a 2n＝ 2× 3n－1.于是 S 2n ＝a 1 ＋a 2＋ ⋯＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋⋯ ＋a 2n －1)＋ (a 2＋a 4 ＋⋯＋a 2n )＝ (1＋ 3＋ ⋯＋3n －1)＋ 2(1＋ 3＋ ⋯＋3n －1)3 3n － 1＝3(1＋3＋⋯ ＋3n －1)＝，2进而 S 2n －1 ＝S 2n －a 2n ＝3 3n －1－ 2× 3n －123n 2 ＝2(5×3 －－1)． 综上所述，3n －32 5×3 2 －1 ，n 是奇数，S n ＝n 32 32－1 ， n 是偶数 .3．某高校共有学生 15 000 人，此中男生 10 500 人，女生 4 500 人，为检查该校学生每周均匀体育运动时间的状况，采纳分层抽样的方法，采集 300 位学生每周均匀体育运动时间的样本数据 (单位：小时 )．(1)应采集多少位女生的样本数据？(2)依据这 300 个样本数据，获得学生每周均匀体育运动时间的频次散布直方图(以下图 )，此中样本数据的分组区间为： [0,2] ，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周均匀体育运动时间超出4 小时的概率； (3)在样本数据中，有 60 位女生的每周均匀体育运动时间超出 4 小时，请达成每周均匀体育运动时间与性其他列联表， 并判断能否有 95%的掌握以为“该校学生 的每周均匀体育运动时间与性别相关”．n ad －bc 2附： K 2＝a ＋bc ＋d a ＋ c b ＋dP(K 2≥ k 0)0.100.050.010 0.005 k 0 2.7063.841 6.635 7.879解： (1)300× 4 500＝90，所以应采集 90 位女生的样本数据． 15 000(2)由频次散布直方图得 2× (0.150＋0.125＋ 0.075＋0.025)＝ 0.75，所以该校学生 每周均匀体育运动时间超出4 个小时的概率的预计值为 0.75.(3)由(2)知，300 位学生中有 300×0.75＝225 人的每周均匀体育运动时间超出 4小时，75 人的每周均匀体育运动时间不超出4 小时．又由于样本数据中有 210 份是对于男生的， 90 份是对于女生的．所以每周均匀体育运动时间与性别列联表以下：每周均匀体育运动时间与性别列联表男生女生 总计每周均匀体育运动时间不超出 4 小3075 时45每周均匀体育运动时间超出4 小时16560 225 总计210 90300联合列联表可算得K2的观察值300× 45×60－30× 1652100≈4.762＞3.841.k＝＝75× 225×210×9021所以在出错误的概率不超出 5%的前提下以为“该校学生的每周均匀体育运动时间与性别相关”．4．(2015 ·新课标全国卷Ⅰ )如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE⊥平面 ABCD.(1)证明：平面 AEC⊥平面 BED；6(2)若∠ ABC＝120°， AE⊥ EC，三棱锥 E－ACD 的体积为3，求该三棱锥的侧面积．证明： (1)由于四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD.由于 BE⊥平面 ABCD，所以 AC⊥BE，又由于 BE∩BD＝B，故AC⊥平面 BED.又AC? 平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 BED.(2)解：设 AB＝ x，在菱形 ABCD 中，由∠ABC＝120°，可得3xAG＝GC＝2 x， GB＝GD＝2.由于 AE⊥EC，所以在 Rt△AEC 中，3可得 EG＝2 x.由 BE⊥平面 ABCD，知△EBG 为直角三角形，2可得 BE＝2 x.由已知得，三棱锥E－ACD 的体积1 1V E－ACD＝3×2AC·GD·BE36＝24x ＝3 .故 x＝ 2.6进而可得 AE＝ EC＝ ED＝ 6.所以△EAC 的面积为 3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.故三棱锥 E－ ACD 的侧面积为 3＋ 2 5.5．(2015 ·北京卷 )已知椭圆 C： x2＋3y2＝3.过点 D(1,0)且可是点 E(2,1)的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，直线 AE 与直线 x＝ 3 交于点 M.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率；(3)试判断直线 BM 与直线 DE 的地点关系，并说明原因．2x 2解： (1)椭圆 C 的标准方程为 3 ＋ y ＝1.所以 a ＝ 3， b ＝ 1， c ＝ 2.c 6所以椭圆 C 的离心率 e ＝a ＝ 3 .(2)由于 AB 过点 D(1,0)且垂直于 x 轴，所以可设 A(1，y 1)， B(1，－ y 1)．直线 AE 的方程为 y －1＝(1－ y 1)(x － 2)．1)．令 x ＝ 3，得 M(3,2－ y2－y 1＋ 1所以直线 BM 的斜率 k BM ＝y＝1.3－ 1(3)直线 BM 与直线 DE 平行．证明以下：当直线 AB 的斜率不存在时，由 (2)可知 k BM ＝ 1.1－0又由于直线 DE 的斜率 k DE ＝ ＝1，所以 BM ∥DE.2－1当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y ＝k(x －1)(k ≠1)．y 1－1设 A(x 1，y 1)，B(x 2， y 2)，则直线 AE 的方程为 y －1＝(x －2)．x 1－2y 1＋x 1－ 3令 ＝ ，得点M 3，.x 31x － 2x2＋3y 2＝3，得(1＋3k 2)x 2－ 6k 2x ＋3k 2－3＝0.由y ＝k x －16k 22， x 1x 2＝3k 2－3所以 x 1＋x 2＝ 2.1＋ 3k 1＋3ky 1＋x 1－3－ y 2x 1 －2直线 BM 的斜率 k BM ＝ .3－x 2 由于 k BM －1＝k x 1－1 ＋x 1－3－k x 2－1 x 1－2 － 3－x 2 x 1－2 3－x 2 x 1－ 2k － 1 [－ x 1x 2＋2 x 1＋x 2 －3]＝3－ x 2 x 1－2 － 3k 2＋ 3 12k 2k －11＋3k 2＋1＋ 3k 2－3＝＝0，3－x 2 x 1－2所以 k BM ＝1＝k DE 所以∥. BM DE.综上可知，直线 BM 与直线 DE 平行．． ·四川卷 函数 21 e∈ ，＝⋯f(x)＝ax － a － ln x ，g(x)＝ － x ，此中6 (2016 )x ea R e2.718自然 数的底数．(1) f(x)的 性； (2) 明：当 x>1 ， g(x)>0； (3) 确立 a 的全部可能取 ，使得 f(x)>g(x)在区 (1，＋∞ )内恒建立．1 ＝ 2ax 2－1 解： (1)由 意得 f ′(x)＝2ax － x (x ＞0)． x当 a ≤ 0 ， f ′(x)＜ 0， f(x)在(0，＋ ∞)内 减．1当 a ＞ 0 ，由 f ′ (x)＝0 有 x ＝ 2a ，1 当 x ∈0，2a ， f ′(x)＜0，f(x) 减；1当 x ∈ 2a ，＋ ∞ ， f ′(x)＞0， f(x) 增． (2) 明：令 s(x)＝ex －1－x ， s ′(x)＝ex －1－ 1.当 x ＞ 1 ， s ′(x)＞ 0，所以 ex －1＞x ，1 1进而g(x)＝x －e x －1＞0.(3)解：由 (2)知，当 x ＞1 ， g(x)＞0.当 a ≤ 0， x ＞ 1 ， f(x)＝a(x 2－ 1)－ln x ＜0. 故当 f(x)＞g(x)在区 (1，＋ ∞)内恒建立 ，必有 a ＞0.1 1当 0＜ a ＜ 2 ，＞1.2a1 1由(1)有 f 2a ＜f(1)＝ 0，而 g 2a ＞ 0，所以此 f(x)＞ g(x)在区 (1，＋ ∞ )内不恒建立．1当 a ≥2 ，令 h(x)＝f(x)－g(x)(x ≥ 1)．x 3－ ＋x 2－ ＋1 11 x1 1 12x 12x 1当 x ＞ 1 ，h ′(x)＝ 2ax － x ＋ x 2 －e －＞ x － x ＋ x 2 － x ＝x 2＞ x 2＞0.所以， h(x)在区 (1，＋ ∞)内 增．又因 h(1)＝ 0，所以当 x ＞1 ， h(x)＝f(x)－g(x)＞0，即 f(x)＞g(x)恒建立．1上， a ∈ 2，＋ ∞ .。

一、集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、合情推理、不等式小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x|x 2－2x －3≥0}，B ＝{x|－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1,1]C ．[－1,2)D ．[1,2)解析：A ＝{x|x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]，选A .答案：A2．已知集合A ＝{0,1，m}，B ＝{x|0＜x ＜2}，若A ∩B ＝{1，m}，则m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,1)∪(1,2)D ．(0,2)解析：由A ∩B ＝{1，m}知0＜m ＜2，再根据集合中元素的互异性可得m ≠1，所以m 的取值范围是(0,1)∪(1,2)，故选C .答案：C3．“x ＜0”是“ln (x ＋1)＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：ln (x ＋1)＜0⇔0＜x ＋1＜1⇔－1＜x ＜0，而(－1,0)是(－∞，0)的真子集，所以“x ＜0”是“ln (x ＋1)＜0”的必要不充分条件．答案：B4．已知命题p ：若x>y ，则－x<－y ；命题q ：若x>y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q)；④(綈p)∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题，②p ∨q 为真命题，③綈q 为真命题，则p ∧(綈q)为真命题，④綈p 为假命题，则(綈p)∨q 为假命题，所以选C .答案：C5．已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：设a 与b 的夹角为θ，由已知可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2)，即4a ·b ＝a 2＋b 2，因为|a |＝|b |，所以a ·b ＝12a 2，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，θ＝60°，选C. 答案：C6．已知M 是△ABC 所在平面内一点，MB →＋MC →＋4MA →＝0，现将一个质点随机撒在△ABC 内，则质点落在△MBC 内的概率是( )A.14B.13C.23D.12解析：由MB →＋MC →＋4MA →＝0得MB →＋MC →＝－4MA →，设BC 边的中点为D ，则2MD →＝－4MA →，即MD →＝－2MA →，|AM →||MD →|＝12，S △MBC S △ABC ＝23，所以质点落在△MBC 内的概率是23，故选C. 答案：C7．设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝( ) A ．1＋i B ．2－iC ．－1－iD ．－1＋i解析：2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i ，故选A. 答案：A8．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为( )A ．a 1＋x 0[a 3＋x 0(a 0＋a 2x 0)]的值B ．a 3＋x 0[a 2＋x 0(a 1＋a 0x 0)]的值C ．a 0＋x 0[a 1＋x 0(a 2＋a 3x 0)]的值D ．a 2＋x 0[a 0＋x 0(a 3＋a 1x 0)]的值解析：由程序框图知，输出的S ＝a 0＋x 0[a 1＋x 0(a 2＋a 3x 0)]，故选C.答案：C9．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，…，则777的末两位数是( )A ．49B ．43C ．01D ．07解析：∵76＝117 649,77＝823 543，∴末两位数以4为周期循环出现，又77＝4×19＋1，∴777的末两位数与75＝16 807的末两位数相同，为07.答案：D10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为15，则M 处的条件可以是( )A ．k ≥16？B ．k ＜8？C ．k ＜16？D ．k ≥8?解析：循环前，S ＝0，k ＝1；第一次循环：S ＝1，k ＝2；第二次循环：S ＝3，k ＝4；第三次循环：S ＝7，k ＝8；第四次循环：S ＝15，k ＝16.故退出循环的条件可以是“k ≥16？”，故选A.答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n 个等式为 ________.解析：观察可知，第n 个等式的左边为(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )；右边为2n ×1×3×5×…×(2n －1)．所以第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)(n ∈N *)答案：(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)(n ∈N *)12．已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝4－i ，若z 1＋z 2，z 1－z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，且OA→⊥OB →，则|z 1|＝ ________.解析：z 1＋z 2＝(a ＋4)＋(b －1)i ，z 1－z 2＝(a －4)＋(b ＋1)i ，∴OA →＝(a ＋4，b －1)，OB →＝(a －4，b ＋1)．又OA →⊥OB →，∴(a ＋4)(a －4)＋(b －1)(b ＋1)＝0，得a 2＋b 2＝17，∴|z 1|＝a 2＋b 2＝17. 答案：1713在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是________．解析：由程序框图知，本题计算的是这8个数据的方差，因为a －＝100＋101＋103＋103＋104＋106＋107＋1088＝104，所以输出的S ＝18×(42＋32＋12＋12＋02＋22＋32＋42)＝7. 答案：714．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2≤4x －2y －4≤0，2x －y ＋2≥0则z ＝2x ＋y 的最大值为 ________.解析：x ，y 满足的平面区域如图中阴影部分所示，根据阴影部分可得，当直线z ＝2x ＋y 与圆相切于第一象限时，z 取最大值，此时|z |5＝2，所以z 的最大值为2 5.答案：2 515．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0，－1)，m ＝a ＋(2t 2＋3)b ，n ＝－k a ＋1tb ，k ，t 为正实数．若m ⊥n ，则k 的最小值为 ________.解析：由题知，m ＝(1，－2t 2－3)，n ＝⎝⎛⎭⎫－k ，－1t .由m ⊥n ，得－k ＋1t(2t 2＋3)＝0，整理得k ＝2t 2＋3t .因为k ，t 为正实数，所以k ＝2t ＋3t ≥26，当且仅当t ＝62时，取等号，故k 的最小值为2 6.答案：2 6。