山东省聊城市第四中学学年高二数学上学期期中试题理

2023-2024学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．设a ∈R ，则“直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行”是“a ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．经过两条直线l 1：x +y ＝2，l 2：2x ﹣y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v →=(−6，4) 的直线方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣3＝0C ．3x ﹣2y ﹣5＝0D ．2x +3y ﹣5＝03．已知SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，SA ＝AB ＝1，BC =√5，则空间的一个单位正交基底可以为（ ） A ．{AB →，12AC →，AS →} B ．{AB →，AC →，AS →} C ．{AB →，12AC →，12AS →} D ．{AS →，AB →，√55BC →}4．椭圆x 216+y 24=1和x 236+y 224=1（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．顶点相同5．已知圆M ：x 2+y 2﹣2ay ＝0（a ＞0）截直线x +y ＝0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是（ ）A ．14B ．12C ．√22D ．√327．已知圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝64，F （﹣2，0）为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F （如图），然后将纸片展开，得到一条折痕l ，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（ ）A ．x 216+y 212=1B ．x 24+y 2=1C ．x 24+y 23=1D ．x 216+y 24=18．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33] B ．[13，12]C ．[√34，√33] D ．[14，13]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得О分.9．若直线过点A （1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为（ ） A ．x ﹣y +1＝0B ．x +y ﹣3＝0C ．2x ﹣y ＝0D ．x ﹣y ﹣1＝010．已知点P 在圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0上，直线AB ：y ＝x +2，则（ ） A ．直线AB 与圆C 相交 B ．直线AB 与圆C 相离C ．点P 到直线AB 距离最大值为2√2+2D ．点P 到直线AB 距离最小值为2√2−111．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，已知平面α⊥AC 1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）A ．截面形状可能为正三角形B ．截面形状可能为正方形C ．截面形状可能为正六边形D ．截面面积最大值为√312．已知椭圆C ：x 225+y 29=1，F 1，F 2分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A ．存在P 使得∠F 1PF 2=π2 B ．cos ∠F 1PF 2的最小值为−18C ．直线P A 与直线PB 斜率乘积为定值925D ．PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．与圆x 2+y 2﹣2x +4y +3＝0同圆心，且过点（1，1）的圆的方程是 ．14．如图，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 在线段AP 上，AC 与BD 交于点O ，P A ＝AB ＝2，若OG ∥平面EFC ，则AG ＝ ．15．点P （﹣2，﹣1）到直线l ：（2+λ）x +λy ﹣2﹣λ＝0（λ为任意实数）的距离的最大值是 ． 16．2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度|AB |＝100米，拱高|OP |＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是 米．（注意：√10≈3.162)四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其它每题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或 17．（10分）已知直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0和圆C ：x 2+（y ﹣1）＝5． （1）求证：对任意实数m ，直线l 和圆C 总有两个不同的交点； （2）设直线l 和圆C 交于A ，B 两点．若|AB|=√17，求l 的倾斜角．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝2，P A ＝BC ＝1．（1）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）求平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +9＝0． （1）过点P （3，5）作圆C 的切线l ，求l 的方程；（2）若圆C 2：x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣4＝0与圆C 相交于A 、B 两点，求|AB |． 20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，上顶点为A （0，1）． （1）求E 的方程；（2）过点P(0，√3)斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于不同的两M 、N ，且MN =8√27，求k 的值． 21．（12分）如图，四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB ＝2A 1B 1＝4，E 、F 分别为DC 、BC 的中点，上下底面中心的连线O 1O 垂直于上下底面，且O 1O 与侧棱所在直线所成的角为45°． （1）求证：BD 1∥平面C 1EF ；（2）线段BF 上是否存在点M ，使得直线A 1M 与平面C 1EF 所成的角的正弦值为3√2222，若存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(−√2，0)和F 2(√2，0)，Γ的下顶点为A ，直线l ：x +y −4√2=0，点M 在l 上． （1）若a ＝2，线段AM 的中点在x 轴上，求M 的坐标；（2）椭圆Γ上存在一个点P （a cos θ，b sin θ）（θ∈[0，2π]），P 到l 的距离为d ，使|PF 1|+|PF 2|+d ＝6，当a 变化时，求d 的最小值．2023-2024学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．设a ∈R ，则“直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行”是“a ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：若直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行，则{a 2−1=0a +1≠0⇒a =1； 若a ＝1，则直线x +y ﹣1＝0与直线x +y +1＝0平行，∴直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行是a ＝1的充分必要条件． 故选：B ．2．经过两条直线l 1：x +y ＝2，l 2：2x ﹣y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v →=(−6，4) 的直线方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣3＝0C ．3x ﹣2y ﹣5＝0D ．2x +3y ﹣5＝0解：根据题意，{x +y =22x −y =1，解可得{x =1y =1，即两直线的交点为（1，1），设A （1，1），设直线上任意一点为M ，其坐标为（x ，y ）， 直线的一个方向向量v →=(−6，4)，则MA →∥v →，则有4（x ﹣1）＝﹣6（y ﹣1），即4x +6y ﹣10＝0，变形可得2x +3y ﹣5＝0， 故要求直线的方程为2x +3y ﹣5＝0． 故选：D ．3．已知SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，SA ＝AB ＝1，BC =√5，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）A ．{AB →，12AC →，AS →}B ．{AB →，AC →，AS →} C ．{AB →，12AC →，12AS →}D ．{AS →，AB →，√55BC →}解：由于SA ⊥平面ABC ， 所以：SA ⊥AB ，SA ⊥AC ， 由于AB ⊥AC ，AB ＝1，BC =√5， 所以AC ＝2．所以空间的一个单位正交基底可以为{AB →，12AC →，AS →}．故选：A ．4．椭圆x 216+y 24=1和x 236+y 224=1（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．顶点相同解：椭圆x 216+y 24=1中a 2＝16，b 2＝4，故c 2＝16﹣4＝12，x 236+y 224=1中a 2＝36，b 2＝24，故c 2＝36﹣24＝12，故两个椭圆的a ，b 都不相等，而c 相等，故焦距相等． 故选：C ．5．已知圆M ：x 2+y 2﹣2ay ＝0（a ＞0）截直线x +y ＝0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解：圆的标准方程为M ：x 2+（y ﹣a ）2＝a 2（a ＞0）， 则圆心为（0，a ），半径R ＝a ， 圆心到直线x +y ＝0的距离d =a2， ∵圆M ：x 2+y 2﹣2ay ＝0（a ＞0）截直线x +y ＝0所得线段的长度是2√2， ∴2√R 2−d 2=2√a 2−a 22=2√a22=2√2，即√a 22=√2，即a 2＝4，a ＝2，则圆心为M （0，2），半径R ＝2，圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的圆心为N （1，1），半径r ＝1，则MN =√12+12=√2， ∵R +r ＝3，R ﹣r ＝1，∴R ﹣r ＜MN ＜R +r ，即两个圆相交． 故选：B ．6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是（ ）A ．14B ．12C ．√22D ．√32解：建立空间直角坐标系如图，则A （1，1，0），C （0，2，0），G （0，0，2），Q （1，0，2）， GQ →=(1，0，0)，GC →=(0，2，−2)，CA →=(1，−1，0)， 设平面QGC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅GQ →=x =0n →⋅GC →=2y −2z =0，取z ＝1，得n →=(0，1，1)， ∴点A 到平面QGC 的距离是|n →⋅CA →||n →|=√2=√22． 故选：C ．7．已知圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝64，F （﹣2，0）为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F （如图），然后将纸片展开，得到一条折痕l ，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（ ）A ．x 216+y 212=1B ．x 24+y 2=1C ．x 24+y 23=1D ．x 216+y 24=1解：F （﹣2，0），C （2，0），点F 关于折痕l 的对称点A 在圆周上，折痕l 为线段AF 的垂直平分线，折痕l 与AC 相交于点P ，如图所示：则有|P A |＝|PF |，可知|PF |+|PC |＝|P A |+|PC |＝|AC |＝8＞|FC |＝4，所以点P 的轨迹是以F ，C 为左、右焦点的椭圆，其中长轴2a ＝8，焦距2c ＝4， 所以点P 的轨迹方程为x 216+y 212=1，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为x 216+y 212=1．故选：A ．8．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33] B ．[13，12]C ．[√34，√33] D ．[14，13]解：设正方体棱长为1，A 1P A 1C 1=λ（0≤λ≤1）．以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为坐标轴建立空间直角坐标系， 则O （12，12，0），P （1﹣λ，λ，1），∴OP →=（12−λ，λ−12，1），∵易证DB 1⊥平面A 1BC 1，∴DB 1→=（1，1，1）是平面A 1BC 1的一个法向量． ∴sin θ＝|cos ＜OP →，DB 1→＞|=1√3√2(λ−12)2+1，当λ=12时sin θ取得最大值√33，当λ＝0或1时，sin θ取得最小值√23． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得О分.9．若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（）A．x﹣y+1＝0B．x+y﹣3＝0C．2x﹣y＝0D．x﹣y﹣1＝0解：当直线经过原点时，斜率为k=2−01−0=2，所求的直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A（1，2）代入可得1﹣2＝k，或1+2＝k，求得k＝﹣1，或k＝3，故所求的直线方程为x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0；综上知，所求的直线方程为2x﹣y＝0、x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0．故选：ABC．10．已知点P在圆C：x2+y2﹣4x＝0上，直线AB：y＝x+2，则（）A．直线AB与圆C相交B．直线AB与圆C相离C．点P到直线AB距离最大值为2√2+2D．点P到直线AB距离最小值为2√2−1解：圆C：x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，圆心为C（2，0），半径r＝2，则圆心C到直线AB的距离d=|2+2−0|√1+(−1)2=2√2＞r，所以直线AB与圆C相离，又点P在圆C上，所以点P到直线AB距离最大值为2√2+2，点P到直线AB距离最小值为2√2−2，故正确的有B、C．故选：BC．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（）A．截面形状可能为正三角形B．截面形状可能为正方形C．截面形状可能为正六边形D．截面面积最大值为√3解：如图所示，当截面为B 1CD 1时，截面为正三角形，选项A 正确；当截面过棱A 1B 1，B 1B ，BC ，CD ，DD 1，D 1A 1的中点时，截面为正六边形，选项C 正确； 当截面为正六边形时，面积最大，因为MN =√2，GH =√22，OE =√(12)2+(√24)2=√64， 所以S ＝2×12×（√22+√2）×√64=3√34，选项D 错误； 与AC 1垂直的截面不可能是正方形，选项B 错误． 故选：AC ．12．已知椭圆C ：x 225+y 29=1，F 1，F 2分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A ．存在P 使得∠F 1PF 2=π2B ．cos ∠F 1PF 2的最小值为−18C ．直线P A 与直线PB 斜率乘积为定值925D ．PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为9解：由椭圆的方程可得a ＝5，b ＝3，所以c ＝4，由题意可得A （﹣5，0），B （5，0），F 1（﹣4，0），F 2（4，0），设上顶点为D （0，3），A 中，DF 1→•DF 2→=（﹣4，﹣3）•（4，﹣3）＝﹣16+9＝﹣7＜0，所以∠F 1PF 2的最大角为钝角， 所以存在P 使得∠F 1PF 2为直角，所以A 正确；B 中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由椭圆的定义可得m +n ＝2a ＝10，cos ∠F 1PF 2=m 2+n 2−(2c)22mn =(m+n)2−2mn−642mn =36−2mn 2mn =18mn−1， 因为mn ≤（m+n 2）2＝25，当且仅当m ＝n 时取等号，所以cos ∠F 1PF 2≥1825−1=−725，即cos ∠F 1PF 2的最小值为−725，所以B 不正确； C 中，设P （x 0，y 0），则x 0225+y 029=1，所以y 02=9（1−x 0225），可得k P A •k PB =y 0x 0+5•y 0x 0−5=y 02x 02−25=9(1−x 0225)x 02−25=−925，所以C 不正确；D 中，PF 1⊥PF 2，由B 选项及由勾股定理可得：m 2+n 2＝（2c ）2＝64，即（m +n ）2﹣2mn ＝64， 即2mn ＝100﹣64＝36，所以mn ＝18，所以S △F 1PF 2=12mn ＝9，所以D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．与圆x 2+y 2﹣2x +4y +3＝0同圆心，且过点（1，1）的圆的方程是： （x ﹣1）2+（y +2）2＝9 ． 解：圆x 2+y 2﹣2x +4y +3＝0的标准方程为（x ﹣1）2+（y +2）2＝2， 则圆心C （1，﹣2）， ∵圆过点A （1，1）， ∴半径R ＝|AC |＝3，则圆的标准方程为（x ﹣1）2+（y +2）2＝9． 故答案为：（x ﹣1）2+（y +2）2＝9．14．如图，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 在线段AP 上，AC 与BD 交于点O ，P A ＝AB ＝2，若OG ∥平面EFC ，则AG ＝23．解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系， A （0，0，0），因为P A ＝AB ＝2，C （2，2，0），B （2，0，0），D （0，2，0），P （0，0，2），O （1，1，0），因为E ，F 分别是PD ，PB 中点，设G （0，0，b ），设平面EFC 的法向量为n →=（x ，y ，z ）， 因为OG ∥平面EFC ，所以OG →•n →=0，OG →=（﹣1，﹣1，b ）， 所以E （0，1，1），F （1，0，1），则EF →=（1，﹣1，0）， CE →=（﹣2，﹣1，1），则{n →⋅EF →=0n →⋅CE →=0，即{x −y =0−2x −y +z =0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝3，所以n →=（1，1，3）， 所以OG →•n →=−1﹣1+3b ＝0，解得b =23， 所以AG ＝b =23． 故答案为：23．15．点P （﹣2，﹣1）到直线l ：（2+λ）x +λy ﹣2﹣λ＝0（λ为任意实数）的距离的最大值是 √10 ． 解：直线l ：（2+λ）x +λy ﹣2﹣λ＝0（λ为任意实数）， 整理得：λ（x +y ﹣1）+（2x ﹣2）＝0， 故{x +y −1=02x −2=0，解得{x =1y =0，故直线l 恒过点Q （1，0），故点P （﹣2，﹣1）到直线l 的最大距离d =√(−2−1)2+(−1−0)2=√10． 故答案为：√10．16．2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度|AB |＝100米，拱高|OP |＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是 6.48 米．（注意：√10≈3.162)解：以O 为原点，以AB 所在直线为x 轴，以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系， 设圆心坐标（0，a ），P （0，10），A （﹣50，0）， 则圆拱所在圆的方程为x 2+（y ﹣a ）2＝r 2，所以{(10−a)2=r 2(−50)2+a 2=r 2，解得a ＝﹣120，r 2＝16900， 所以圆的方程为x 2+（y +120）2＝16900．将x ＝﹣30代入圆方程，得：900+（y +120）2＝16900， 因为y ＞0，所以y ＝40√10−120≈40×3.162﹣120＝6.48， 所以MN 的高度是6.48米． 故答案为：6.48．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其它每题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或 17．（10分）已知直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0和圆C ：x 2+（y ﹣1）＝5． （1）求证：对任意实数m ，直线l 和圆C 总有两个不同的交点； （2）设直线l 和圆C 交于A ，B 两点．若|AB|=√17，求l 的倾斜角．（1）证明：由直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0，得m （x ﹣1）﹣y +1＝0，由{x −1=0−y +1=0，得{x =1y =1，∴直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0过定点p （1，1），代入圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝5，得12+（1﹣1）2＝1＜5，∴点p （1，1）在圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝5内部， ∴对任意的m ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点．（2）解：直线l 的斜率存在，由|AB|=√17，圆的半径为√5，得圆心到直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0的距离为√5−174=√32． 则√m 2+1=√32，解得：m =±√3．∴直线l 为y =√3x +1−√3或y =−√3x +1−√3．直线l 的倾斜角为60°或120°．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝2，P A ＝BC ＝1． （1）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）求平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值．解：（1）∵P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，又∠BAD ＝90°， ∴AB ⊥AD ，∵为PB 与底面所成的角为45°， ∴∠PBA ＝45°，故AB ＝P A ＝1，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz ， 则B （1，0，0），D （0，2，0），P （0，0，1），C （1，1，0）， 则PC →=（1，1，﹣1），PB →=（1，0，﹣1），PD →=（0，2，﹣1）， 设平面PBD 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅PB →=0m →⋅PD →=0，即{x −z =02y −z =0，取z ＝2，则x ＝2，y ＝1，此时m →=（2，1，2）， 设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos ＜m →，PC →＞|＝|m →⋅PC→|PC →||m →|||√3×3|√39． 所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为√39． （2）平面P AB 的一个法向量j →=（0，1，0） 设平面PCD 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅PC →=0n →⋅PD →=0，即{x +y −z =02y −z =0， 取y ＝l ，则z ＝2，x ＝l ，此时n →=（1，1，2）， cos ＜n →，j →＞=n →⋅j→|n →||j →|=6×1=√66， 所以平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为√66．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +9＝0． （1）过点P （3，5）作圆C 的切线l ，求l 的方程；（2）若圆C 2：x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣4＝0与圆C 相交于A 、B 两点，求|AB |．解：（1）圆C 1方程可化为（x ﹣2）2+（y ﹣3）＝4，则圆心C 1（2，3），半径为2， 由 （3﹣2）2+（5﹣3）2＞4，可知点P 在圆外， 设l 的方程为y ﹣5＝k （x ﹣3），即kx ﹣y +5﹣3k ＝0， 则圆心C 1到直线l 的距离为√1+k 2=2，解得k ＝0或k =−43，∴l 的方程为4x +3y ﹣27＝0或y ＝5．（2）把两圆的方程相减可得直线AB 的方程为6x +2y ﹣13＝0， 则圆心C 到直线AB 的距离d =|6×2+2×3−13|√36+4=√104＜2，直线与圆相交，所以|AB |＝2√4−1016=3√62． 20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，上顶点为A （0，1）．（1）求E 的方程；（2）过点P(0，√3)斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于不同的两M 、N ，且MN =8√27，求k 的值． 解：（1）由离心率e =c a =√22，则a =√2c ， 又上顶点A （0，1），知b ＝1，又b 2＝a 2﹣c 2＝1，可知c ＝1，a =√2， ∴椭圆E 的方程为x 22+y 2=1；（2）设直线l ：y =kx +√3，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则{y =kx +√3x 22+y 2=1，整理得：(1+2k 2)x 2+4√3kx +4=0，Δ=(4√3k)2−4×4×(1+2k 2)＞0，即k 2＞1， ∴x 1+x 2=−4√3k 1+2k2，x 1x 2=41+2k2，∴|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√(1+k 2)(k 2−1)1+2k2=8√27， 即17k 4﹣32k 2﹣57＝0，解得：k 2＝3或−1917（舍去）， ∴k =±√3．21．（12分）如图，四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB ＝2A 1B 1＝4，E 、F 分别为DC 、BC 的中点，上下底面中心的连线O 1O 垂直于上下底面，且O 1O 与侧棱所在直线所成的角为45°． （1）求证：BD 1∥平面C 1EF ；（2）线段BF 上是否存在点M ，使得直线A 1M 与平面C 1EF 所成的角的正弦值为3√2222，若存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：因为OO 1⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，DA ，OF →，OO 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为侧棱所在直线与上下底面中心的连线OO 1所成的角为45°，则B （2，2，0），D 1(−1，−1，√2)，C 1(−1，1，√2)，F （0，2，0），E （﹣2，0，0），A 1(1，−1，√2)，所以BD 1→=(−3，−3，√2)，CE 1→=(−1，−1，√2)，EF →=(2，2，0)， 设平面C 1EF 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅EF →=x +y =0n →⋅C 1E →=x +y +√2z =0，令x ＝1，则n →=（1，﹣1，0）， 因为BD 1→=（﹣3，﹣3，√2），所以n →•BD 1→=0，所以n →⊥BD 1→， 又因为BD 1⊂平面C 1EF ，所以BD 1∥平面 C 1EF ；（2）假设边BC 上存在点M （x ，2，0）满足条件，x ∈[﹣2，2]， 则A 1M →=（x ﹣1，3，−√2），设直线A 1M 与平面C 1EFF 所成角为θ，由题意可得sin θ＝|cos ＜A 1M →，n →＞|=|A 1M →⋅n →||A 1M →|⋅|n →|=|x−4|√2⋅√x 2−2x+12=3√2222， 化简得x 2﹣35x +34＝0，则x ＝1或x ＝34（舍去），即存在点M 符合题意，此时BM ＝1． 22．（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(−√2，0)和F 2(√2，0)，Γ的下顶点为A ，直线l ：x +y −4√2=0，点M 在l 上． （1）若a ＝2，线段AM 的中点在x 轴上，求M 的坐标；（2）椭圆Γ上存在一个点P （a cos θ，b sin θ）（θ∈[0，2π]），P 到l 的距离为d ，使|PF 1|+|PF 2|+d ＝6，当a 变化时，求d 的最小值．解：（1）由题意可得a =2，b =c =√2，所以Γ：x 24+y 22=1，A(0，−√2)，因为AM 的中点在x 轴上， 所以点M 的纵坐标为√2， 将y =√2代入x +y −4√2=0中， 解得x ＝3√2， 则M(3√2，√2)； （2）易知d =|acosθ+bsinθ−42|2=6−2a ，因为椭圆在直线的左下方， 所以acosθ+bsinθ−422=6−2a ，即4√2−√a 2+b 2sin(θ+φ)=6√2−2√2a ， 又a 2＝b 2+2，可得√2a 2−2sin(θ+φ)=2√2a −2√2， 此时√a 2−1sin(θ+φ)=2a −2，|sin(θ+φ)|=√a 2−1≤1，整理得（a ﹣1）（3a ﹣5）≤0， 即1≤a ≤53，所以d =6−2a ≥6−2×53=83． 故d 的最小值为83．。

山东省聊城市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合M={x|0≤x＜3}，N={x|x2﹣3x﹣4＜0}，则集合M∩N等于（）A . {x|0≤x＜1}B . {x|0≤x≤1}C . {x|0≤x＜3}D . {x|0≤x≤3}2. （2分）(2017·青岛模拟) 已知 x＞1，y＞1，且 lg x，，lg y 成等比数列，则 xy 有（）A . 最小值10B . 最小值C . 最大值10D . 最大值3. （2分） (2017高二下·河北开学考) 某产品在某销售点的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计数据如表所示：x16171819y50344131由表可得回归直线方程中的，根据模型预测零售价为20元时，每天的销售量约为（）A . 30B . 29C . 27.5D . 26.54. （2分）一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO 的面积是（）A .B .C .D . 25. （2分）直线3x﹣4y﹣4=0被圆x2+y2﹣6x=0截得的弦长为（）A . 2B . 4C . 4D . 26. （2分）(2018·栖霞模拟) 如图所示的程序框图中，输出的值是（）A .B .C .D .7. （2分）已知直线3x+my﹣3=0与6x+4y+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）A . 4B .C .D .8. （2分） (2019高三上·宁波月考) 已知函数f（x），g（x）＝f（）+1（k∈R，k≠0），则下列关于函数y＝f[g（x）]+1的零点个数判断正确的是（）A . 当k＞0时，有2个零点；当k＜0时，有4个零点B . 当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有2个零点C . 无论k为何值，均有2个零点D . 无论k为何值，均有4个零点9. （2分）(2017·广西模拟) 下列命题正确的是（）A . 的最小值是2B . 的最小值是2C . 的最大值是2D . 的最大值是210. （2分）(2018·广元模拟) 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题中正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则11. （2分） (2016高一下·天全期中) 已知三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5，b=8，C=60°，则• =（）A . ﹣20B . ﹣20C . 20D . 2012. （2分） (2018高一下·濮阳期末) 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体放入体积为，则为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·济南期末) 已知sin（ +x）= ，则sin2x的值为________．14. （1分） (2017高三上·襄阳期中) 若函数在区间（﹣2，2）上有两个零点，则实数a的取值范围为________．15. （1分）(2017·成都模拟) 若实数x，y满足约束条件，则的最小值为________．16. （1分）设正三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，则该球的表面积为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高二上·赣州期中) 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2C﹣3cos （A+B）=1（1）求角C的大小；（2）若c= ，求△ABC周长的最大值．18. （5分） (2017高一上·陵川期末) 假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30﹣7：30之间把报纸送到小明家，小明父亲离开家去工作的时间在早上7：00﹣8：00之间，问小明父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？19. （10分） (2015高二上·福建期末) 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1= ，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1 ．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．20. （10分） (2017高二下·衡水期末) 已知数列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*）．（1）求证：{ + }为等比数列，并求{an}的通项公式an；（2）数列{bn}满足bn=（3n﹣1）• •an，求数列{bn}的前n项和Tn．21. （10分） (2017高三上·惠州开学考) 已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M、N两点．（1）求k的取值范围；（2）若• =12，其中O为坐标原点，求|MN|．22. （10分）解下列不等式：（1） |2x+1|﹣2|x﹣1|＞0．（2） |x+3|﹣|2x﹣1|＜ +1．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

山东省聊城市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）复数（是虚数单位）的虚部是（）A . iB . -iC . 1D . -12. （2分）抛物线的焦点坐标是（）A . （2，0）B . （0，2）C . （1，0）D . （0，1）3. （2分）(2017·鹰潭模拟) 下列说法正确的是（）A . 若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0，则￢p：∀x∉R，x2﹣x+1≥0B . 已知相关变量（x，y）满足回归方程 =2﹣4x，若变量x增加一个单位，则y平均增加4个单位C . 命题“若圆C：（x﹣m+1）2+（y﹣m）2=1与两坐标轴都有公共点，则实数m∈[0，1]为真命题D . 已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X＜a）=0.32，则P（X＞4﹣a）=0.684. （2分）如图，椭圆的四个顶点A、B、C、D构成的四边形为菱形，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二上·城关期中) 在中，“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）(2016·四川文) 抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A . （0，2）B . （0，1）C . （2，0）D . （1，0）7. （2分）复数的虚部为（）A . 2B . -28. （2分）已知F是双曲线的左焦点，E是双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A . (1,3)B . (1,)C . (1,2)D .9. （2分） (2015高二上·天水期末) 如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，．设点F在线段CC'上，直线EF与平面A'BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）(2020·达县模拟) 过抛物线焦点的直线交该抛物线于点，，与抛物线的准线交于点．若点到轴距离为2，则C . 8D . 1811. （2分）如图，已知点S（0，3），SA，SB与圆C：x2+y2﹣my=0（m＞0）和抛物线x2=﹣2py（p＞0）都相切，切点分别为M，N和A，B，SA∥ON，=λ，则实数λ的值为（）A . 4B . 2C . 3D . 312. （2分）(2017·兰州模拟) 已知F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P 为双曲线C右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·通州期中) 已知 ( 为虚数单位， )，则 ________．14. （1分）已知函数f（x）=﹣x2+4x+a，x∈[0，1]，若f（x）有最小值﹣2，则f（x）的最大值为________．15. （1分）(2020·海南模拟) 已知P为双曲线C：右支上一点，，分别为C的左、右焦点，且线段，分别为C的实轴与虚轴.若，，成等比数列，则 ________.16. （1分） (2018高二下·台州期中) 已知单位向量满足，向量使得，则的最小值为________，的最大值为________．三、解答题 (共6题；共52分)17. （10分） (2019高二下·上海月考) 已知复数满足: 且是纯虚数,求复数18. （10分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是AA1的中点．（Ⅰ）求异面直线AB和C1D所成角的余弦值；（Ⅱ）若E为AB上一点，试确定点E在AB上的位置，使得A1E⊥C1D；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点D到平面B1C1E的距离．19. （10分）如图，命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b 在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”．（1）写出上述命题的逆否命题并判断其真假；（2）写出上述命题的逆命题，判断其真假并证明．20. （2分）(2017·柳州模拟) 在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．21. （10分） (2017·江苏) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ，过点F2作直线PF2的垂线l2 ．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．22. （10分） (2019高二下·上海月考) 已知椭圆的左、右两个顶点分别为、，曲线是以、两点为顶点，焦距为的双曲线，设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点 .（1）求曲线的方程；（2）设、两点的横坐标分别为、，求证为一定值；（3）设△ 与△ （其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共52分) 17-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、22-3、。

山东省聊城市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知直线l,m，平面，且，给出四个命题：①若∥，则；②若，则∥；③若，则l∥m；④若l∥m，则．其中真命题的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 12. （2分）已知直线，则直线l的倾斜角为（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·黑龙江期末) 正方体中，直线与所成的角为（）A . 30oB . 45oC . 60oD . 90o4. （2分） (2017高一上·石嘴山期末) 若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A . cm3B . cm3C . cm3D . cm35. （2分）设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l， m（）A . 若l，则B . 若，则l mC . 若l//，则//D . 若//，则l//m6. （2分）若P(2,-1)为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A . 2x-y-5=0B . 2x+y-3=0C . x+y-1=0D . x-y-3=07. （2分）点A（2，5）到直线l：x﹣2y+3=0的距离为（）A . 2B .C .D .8. （2分）不等式x+y﹣1＞0表示的区域在直线x+y﹣1=0的（）A . 左上方B . 左下方C . 右上方D . 右下方9. （2分）如图，设F2是双曲线的左、右焦点，过F2作与渐近线平行的直线分别交y轴和双曲线右支于点P,Q，过F1作直线PQ的垂线，垂足为M，若|PM|=|MQ|=|QF2|，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D . 310. （2分）函数f(x)=ex+x-2的零点所在的区间为（）A . (-2，-l)B . (-1，0)C . (0，1)D . (1，2)11. （2分）在△ABC中，A=60°，B=75°，a=10，则c等于（）A . 5B . 10C .D . 512. （2分） (2017高一下·株洲期中) △ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A .B .C . 1D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·镇江期中) 函数的定义域为________．14. （1分） (2017高一下·赣榆期中) 函数y=sin（2x﹣）的最小正周期是________．15. （1分） (2017高二上·汕头月考) 已知圆的圆心位于直线上，且圆过两点,则圆的标准方程为________．16. （1分）过点作圆的两条切线，切点分别为，则·= ________ .三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2018高二上·浙江月考) 已知等差数列的前n项和为，且，数列满足，且．Ⅰ 求数列的通项公式；Ⅱ 求数列的通项公式．18. （10分） (2019高一下·南通月考) 已知圆：与直线：，动直线过定点 .（1）若直线与圆相切，求直线的方程；（2）若直线与圆相交于、两点，点M是PQ的中点，直线与直线相交于点N．探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=5，E是CD 的中点．（1）证明：CD⊥平面PAE；（2）若∠PBA=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．20. （5分） (2016高一下·鹤壁期末) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC1∥平面CDB1（2）求证：AC⊥BC1（3）求直线AB1与平面BB1C1C所成的角的正切值．21. （10分） (2016高一下·滑县期末) 如图，已知AB是半圆O的直径，O是半圆圆心，AB=8，M、N、P是将半圆圆周四等分的三个分点．（1）从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，求这3个点组成等腰三角形的概率；（2）在半圆内任取一点S，求△SOB的面积大于4 的概率．22. （10分）直线l1经过点A(m，1)，B(-3，4)，直线l2经过点C(1，m)，D(-1，m+1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、。

山东省聊城市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高二上·慈溪期中) 已知点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A，点A关于y轴的对称点为B，则|AB|=（）A . 2B .C .D . 52. （2分）(2017·天津) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A .B . 1C .D . 33. （2分）已知直线，平面，且，，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中真命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） (2015高三上·天津期末) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最小值为（）A . ﹣3B . ﹣2C .D . 15. （2分）直线与直线平行,则（）A .B .C . 或D . 或6. （2分） (2016高二上·绥化期中) 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1 C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·甘肃模拟) 已知a，b是实数，若圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1与直线（a+1）x+（b+1）y﹣2=0相切，则a+b的取值范围是（）A . [2﹣2 ，2+ ]B . （﹣∞，2﹣2 ]∪[2+2 ，+∞）C . （﹣∞，﹣2 ]∪[2 ，+∞）D . （﹣∞，﹣2]∪[2+2 ，+∞）8. （2分）若直线=1与图x2+y2=1有公共点，则（）A . +≤1B . +≥1C .D .9. （2分）关于直线及平面，下列命题中正确的是（）A . 若，则B . 若则C . 若则D . 若则10. （2分）已知圆的方程为，过点的直线被圆所截，则截得的最短弦的长度为（）.A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2018高一下·伊通期末) 若三点共线，则实数的值为________．12. （1分）过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，且与直线2x+3y=0垂直的直线方程为________13. （1分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=2a，则该球的体积是________14. （1分） (2016高一下·姜堰期中) 若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=________．15. （1分） (2019高三上·葫芦岛月考) 若，满足约束条件，则的最小值为________.16. （1分） (2017高二上·玉溪期末) 已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为________．17. （1分） (2016高一上·舟山期末) 正三棱锥V﹣ABC的底面边长为2，E，F，G，H分别是VA，VB，BC，AC的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围是________三、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2019高二下·上海月考) 已知两直线，，当为何值时，和（1）平行；（2）垂直？19. （10分）(2017·杨浦模拟) 如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=AB=1．AA1=CD=2．E 为棱DD1的中点．（1）证明：B1C1⊥平面BDE；（2）求二面角D﹣BE﹣C1的大小．20. （10分）(2020·内江模拟) 在平面直角坐标系中，圆的参数方程（为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴）中，直线的方程为 .（Ⅰ）求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆心到直线的距离等于2，求的值.21. （15分）(2018·临川模拟) 如图所示，在四棱锥中，平面是的中点,.（1）证明：平面；（2）若是上的点，且，求二面角的正弦值.22. （5分） (2018高一下·三明期末) 已知圆过点，且与圆关于直线对称.（1）求两圆的方程；（2）若直线与直线平行，且截距为7，在上取一横坐标为的点，过点作圆的切线，切点为，设中点为 .（ⅰ）若，求的值；（ⅱ）是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共50分)18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

数学考试时间：100分钟 满分：120分第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题只有一个正确选项。

每小题4分，共48分) 1．全称命题“x R ∀∈，254x x +=”的否定是（ ）A ．x R ∃∈，254x x += B ．x R ∀∈，254x x +≠ C ．x R ∃∈，254x x +≠ D ．以上都不正确2．等比数列{}n a 中,2a =4,1617=a ,则5463a a a a +的值是（ ） A.1 B.2 C .21 D.413. 若不等式0)(2>--=c x ax x f 的解集为)1,2-（，则函数)(x f y =的图像为( )A B C D4．在△ABC 中,已知 45,2,2===A b a ,则B ＝( )A ．45°B ．30°C ．90°D ．45°或135° 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） A ．4- B ．9 C ．9- D ．6496．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2-=x ，则抛物线的方程是( )． A ．x y 82-= B ．x y 82= C ．x y 42-= D ．x y 42= 7．若b a R c b a >∈且、、,，则下列不等式成立的是( )A.b a 11< B ．22b a > C . 1122+>+c bc a D ．||||c b c a >8．若m 是2和8的等比中项，且0<m ，则圆锥曲线122=+my x 的离心率是（ ）A.23B . 5 C.23 或 25 D. 23或5错误！未找到引用源。

9. 已知△ABC 中cos cos A aB b=，则△ABC 一定是( ) A .等腰三角形 B.直角三角形 C. 等腰直角三角形 D.等边三角形10．已知变量y x ,满足，⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥0311y x y x 目标函数是y x z +=2，则有 ( ) A ．3,5min max ==z zB ．5max =z ，z 无最小值C ．z z ,3min =无最大值D ．z 既无最大值，也无最小值11. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，若6,11641-=+-=a a a ，则当n s 取最小值时n 的值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．612. 如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。

山东省聊城市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 填空题 (共 12 题；共 13 分)1. （2 分） (2020 高一下·宁波期中) 在等差数列 中，，________.，则________，2.（1 分）(2019 高二上·湘潭月考) 等比数列 中，，，则________．3. （1 分） (2017·扬州模拟) x＞1 是的________条件．4. （1 分） (2019 高一下·广州期中) 已知在中，角 ， ，则下列四个论断中正确的是________．（把你认为是正确论断的序号都写上）的对边分别为 ， ， ，①若，则；②若，，，则满足条件的三角形共有两个；③若 ， ， 成等差数列，，，成等比数列，则为正三角形；④若，，的面积，则.5. （1 分） (2018·河北模拟) 已知向量 ， 的夹角为 ，且6. （1 分） (2019 高二上·滕州月考) 设数列 的通项 ＝________.满足，则________．，，则数列7. （1 分） (2018 高三上·河南期中) 已知向量 ， 间的夹角为 ________．，若，，则8. （1 分） (2016 高二下·新洲期末) 用数学归纳法证明命题“当 n 为正奇数时，xn+yn 能被 x+y 整除”，第 二步假设 n=2k﹣1（k∈N+）命题为真时，进而需证 n=________时，命题亦真．第 1 页 共 14 页9. （1 分） (2018 高二上·大连期末) 如图，在直三棱柱中，，端点）．若，已知 G 与 E 分别是棱和的中点， D 与 F 分别是线段 AC 与 AB 上的动点（不包括，则线段 DF 的长度的取值范围是________．10. （1 分） 已知数列{an}和{bn}的通项公式分别是，若,， 且 a，b，c 成等差数列，则 c 的值是________11. （1 分） (2019 高三上·丽水月考) 已知数列 满足：， 其中 a、b 是实常数， ，用[x]表示不超过 x 的最大整数，则的值等于________12.（1 分）(2015 高二下·登封期中) 在圆中有“圆心与弦（非直径）的中点的连线垂直于弦所在的直线”．比 上述性质，相应地：在球中有________．二、 选择题 (共 4 题；共 8 分)13.（2 分）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n+1-2，等差数列{bn}中，b2=a2 ，且 bn+3+bn-1=2bn+4,(n 2,n N+), 则 bn=（ ）A . 2n+2B.2C . n-2D . 2n-214. （2 分） (2016 高二下·洛阳期末) 已知数列{an}为等差数列，a1=1，公差 d≠0，a1、a2、a5 成等比数 列，则 a2015 的值为（ ）第 2 页 共 14 页A . 4029 B . 4031 C . 4033 D . 4035 15. （2 分） 如图所示，点 D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量 =（ ）A.B.C.D.16. （2 分） 设 是公差为正数的等差数列，则A . 40B . 50C . 60D . 70三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)17. （5 分） 在等差数列{an}中，a4+a5+a6+a7=56，a4•a7=187，求 a1 和 d．（）18. （10 分） (2017 高一上·保定期末) 已知，且 与 为不共线的平面向量．（1） 若，求 k 的值；第 3 页 共 14 页（2） 若∥，求 k 的值．19. （10 分） (2016·湖南模拟) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 常数 λ＞0，且 λa1an=S1+Sn 对一切正 整数 n 都成立．（1） 求数列{an}的通项公式；（2） 设 a1＞0，λ=100，当 n 为何值时，数列的前 n 项和最大？20. （10 分） (2018 高一下·瓦房店期末) 已知数列 为等差数列，其前 项和为 ， 若，.（1） 求数列 的通项公式；（2） 求数列 前 项和 .21. （10 分） 祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在 11 个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农 民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商在第一 年初到大陆创办一座 120 万元的蔬菜加工厂 M，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年初 M 的 价值比上年初减少 10 万元；从第七年开始，每年初 M 的价值为年初的 75%．（1） 求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式；（2） 设 An= 第九年初对 M 更新．，若 An 大于 80 万元，则 M 继续使用，否则须在第 n 年初对 M 更新，证明：必须在第 4 页 共 14 页一、 填空题 (共 12 题；共 13 分)参考答案答案：1-1、 考点：解析： 答案：2-1、 考点： 解析：答案：3-1、 考点：第 5 页 共 14 页解析： 答案：4-1、 考点： 解析：答案：5-1、 考点：解析：第 6 页 共 14 页答案：6-1、 考点： 解析：答案：7-1、 考点： 解析：答案：8-1、 考点：第 7 页 共 14 页解析：答案：9-1、 考点： 解析：答案：10-1、 考点： 解析：第 8 页 共 14 页答案：11-1、 考点：解析： 答案：12-1、 考点：第 9 页 共 14 页解析：二、 选择题 (共 4 题；共 8 分)答案：13-1、 考点： 解析：答案：14-1、 考点：解析： 答案：15-1、 考点： 解析：第 10 页 共 14 页答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共45分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。

2015-2016学年山东省聊城四中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题．（每小题4分，共40分）1．在△ABC中，若=，则B的值为（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．8 B．﹣8 C．±8D．3．在数列{a n}中，a1=2，2a n+1﹣2a n=1，则a101的值为（）A．49 B．50 C．51 D．524．已知三角形的边长分别为3、6、3，则它的最大内角的度数是（）A．90° B．120°C．135°D．150°5．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．16．已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比q≠1，设，，则P与Q 的大小关系是（）A．P＞Q B．P＜Q C．P=Q D．无法确定7．若b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值为（）A．18 B．6 C．2 D．28．已知等比数列{a n}的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A．15 B．17 C．19 D．219．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．910．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75二.填空题.（每小题4分，共20分）11．已知等比数列{a n}的前n项和S n=x•3n﹣1﹣，则x= ．12．已知0＜x＜2，求函数y=x（8﹣3x）的最大值．13．已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣2n，则a2+a18= ．14．设x，y∈R+且x+y=2，则+的最小值为．15．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为．三.解答题. （共60分）16．设函数f（x）=mx2+2mx+1．（1）当m=1时，求不等式f（x）＞﹣x﹣2的解集．（2）若f（x）＞0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．17．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=﹣（n∈N*），求数列{a n}的前n项和T n．18．在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且有bcosC+ccosB=2acosB．（1）求B的大小；（2）若△ABC的面积是，且a+c=5，求b．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=25，a7=13，数列{b n}的前n项和为T n，T n=2b n ﹣1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和Q n．20．投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）=前n年的总收入一前n年的总支出一投资额）．（1）该厂从第几年开始盈利？（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以10万元出售该厂，问哪种方案更合算？2015-2016学年山东省聊城四中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题．（每小题4分，共40分）1．在△ABC中，若=，则B的值为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理列出关系式，结合已知等式得到sinA=cosA，即tanA=1，即可求出B 的度数．【解答】解：由正弦定理得： =，即=，∵=，∴sinB=cosB，即tanB=1，则B=45°．故选：B【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．2．已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．8 B．﹣8 C．±8D．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题．【分析】先由已知条件和等差数列以及等比数列的性质求得，再利用等比数列中的第三项与第一项同号即可求出答案．【解答】解：由题得，又因为b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2=﹣3∴b2（a2﹣a1）=﹣8．故选 B．【点评】本题是对等差数列以及等比数列性质的综合考查．在做关于等差数列以及等比数列的题目时，其常用性质一定要熟练掌握．3．在数列{a n}中，a1=2，2a n+1﹣2a n=1，则a101的值为（）A．49 B．50 C．51 D．52【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由数列递推式得到数列是等差数列并求得公差，代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在数列{a n}中，a1=2，由2a n+1﹣2a n=1，得．∴数列{a n}是首项为2，公差为的等差数列，∴．故选：D．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的通项公式，是基础题．4．已知三角形的边长分别为3、6、3，则它的最大内角的度数是（）A．90° B．120°C．135°D．150°【考点】余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】三角形中，由大边对大角可得3对的角为最大角，设为θ，由余弦定理可得cosθ=0，从而得到θ的值．【解答】解：由于三角形的边长分别是3、6、3，再由大边对大角可得对的角为最大角，设为θ，由余弦定理可得cosθ==﹣，∴θ=135°，故选：C．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，以及大边对大角，根据三角函数的值求角，属于中档题．5．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．1【考点】余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB 的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比q≠1，设，，则P与Q 的大小关系是（）A．P＞Q B．P＜Q C．P=Q D．无法确定【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】由等比数列的通项公式知=，再由均值不等式知=．【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，公比q≠1，∴=，故选A．【点评】本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比数列的通项公式和均值不等式的合理运用．7．若b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值为（）A．18 B．6 C．2 D．2【考点】基本不等式．【分析】3a+3b中直接利用基本不等式，再结合指数的运算法则，可直接得到a+b．【解答】解：∵a+b=2，∴3a+3b故选B【点评】本题考查基本不等式求最值和指数的运算，属基本题．8．已知等比数列{a n}的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A．15 B．17 C．19 D．21【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】由已知q=2，a1+a2+a3+a4=1可得a5+a6+a7+a8=（a1+a2+a3+a4）q4，从而可求等比数列的前8项和【解答】解：由题意可得，q=2，a1+a2+a3+a4=1由等比数列的通项公式可得，a5+a6+a7+a8=（a1+a2+a3+a4）q4=16所以，S8=1+16=17故选：B【点评】本题主要考查了等比数列的性质：a n=a m q n﹣m，解决本题时利用该性质可以简化基本运算．9．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．9【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；数形结合．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y 的最小值．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3，故选B【点评】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．10．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75【考点】等差数列．【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B．【点评】本题主要考查等差数列的运算．二.填空题. （每小题4分，共20分）11．已知等比数列{a n}的前n项和S n=x•3n﹣1﹣，则x= ．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由，求出数列的前3项，再利用等比数列的性质能求出x．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和S n=x•3n﹣1﹣，∴，，a3=S3﹣S2==6x，∴由等比数列的性质得，解得x=或x=0（舍），∴x=．故答案为：．【点评】本题考查等比数列中实数值的求法，是基础题，解题时要注意公式由和等比数列的性质的合理运用．12．已知0＜x＜2，求函数y=x（8﹣3x）的最大值．【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】变形函数y=x（8﹣3x）=×3x（8﹣3x），利用基本不等式的性质即可得出；【解答】解：∵0＜x＜2，∴函数y=x（8﹣3x）=×3x（8﹣3x）≤（）2=，当且仅当x=时取等号，∴函数y=x（8﹣3x）的最大值为：，故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的性质、变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣2n，则a2+a18= 34 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用公式求解．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=n2﹣2n，∴a2+a18=（S2﹣S1）+（S18﹣S17）=[（4﹣4）﹣（1﹣2）]+（（182﹣2×18）﹣（172﹣2×17）]=34．故答案为：34．【点评】本题考查数列的两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．14．设x，y∈R+且x+y=2，则+的最小值为．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x，y∈R+且x+y=2，∴+===，当且仅当=时取等号．∴+的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．15．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为 4 ．【考点】简单线性规划的应用．【专题】压轴题．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（1，4），由图易得目标函数在（1，4）取最大值8，即8=ab+4，∴ab=4，∴a+b≥2=4，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．故答案为：4【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．三.解答题.（共60分）16．设函数f（x）=mx2+2mx+1．（1）当m=1时，求不等式f（x）＞﹣x﹣2的解集．（2）若f（x）＞0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）当m=1时，代入可得f（x）=x2+2x+1．整理得x2+3x+3＞0，根据二次函数的判别式得解集为R；（2）对二次项系数分类讨论，当是二次函数时，利用性质判断即可．【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=x2+2x+1．∴x2+2x+1＞﹣x﹣2，∴x2+3x+3＞0，∴解集为R；（2）若f（x）＞0对任意x∈R恒成立，当m=0时，f（x）=1，符合题意；当m≠0时，m＞0，△=m（m﹣1）＜0，∴0＜m＜1，故m的范围为[0，1）．【点评】考查了二次函数的性质和对二次项系数分类讨论问题．属于基础题型，应熟练掌握．17．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=﹣（n∈N*），求数列{a n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（2）a n=2n+1，可得b n=﹣=﹣=﹣，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，∴a1+2d=7，2a1+10d=26，解得a1=3，d=2．∴a n=a1+（n﹣1）d=2n+1，S n==n2+2n．（2）∵a n=2n+1，∴b n=﹣=﹣=﹣=﹣，因此T n=b1+b2+…+b n=﹣+…+=﹣=﹣．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且有bcosC+ccosB=2acosB．（1）求B的大小；（2）若△ABC的面积是，且a+c=5，求b．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）由已知及正弦定理得：sinA=2sinAcosB，又0＜A＜π．可求cosB=，结合范围0＜B＜π，即可求B的值．（2）由三角形面积公式可求ac=3，又a+c=5，利用余弦定理及平方和公式即可求b的值．【解答】解：（1）由bcosC+ccosB=2acosB，及正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，即sin（B+C）=2sinAcosB，又A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，从而sinA=2sinAcosB，又0＜A＜π．故cosB=，又0＜B＜π，所以B=．（2）又S=acsin=，所以ac=3，又a+c=5，从而b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=25﹣9=16，故b=4．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=25，a7=13，数列{b n}的前n项和为T n，T n=2b n ﹣1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和Q n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由S5=25，a7=13，可得，解出即可得出；数列{b n}的前n项和为T n，T n=2b n﹣1，利用递推式与等比数列的通项公式即可得出．（2）c n=a n b n=（2n﹣1）•2n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S5=25，a7=13，∴，解得，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；∵数列{b n}的前n项和为T n，T n=2b n﹣1，∴当n=1时，b1=2b1﹣1，解得b1=1，当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=2b n﹣1﹣（2b n﹣1﹣1）=2b n﹣2b n﹣1，化为b n=2b n﹣1，∴数列{b n}是等比数列，首项为1，公比为2，∴b n=2n﹣1．（2）c n=a n b n=（2n﹣1）•2n﹣1．∴数列{c n}的前n项和Q n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，2Q n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）×2n，∴﹣Q n=1+2×2+2×22+…+2×2n﹣1﹣（2n﹣1）×2n=﹣1﹣（2n﹣1）×2n=（3﹣2n）×2n﹣3，∴Q n=（2n﹣3）×2n+3．【点评】本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）=前n年的总收入一前n年的总支出一投资额）．（1）该厂从第几年开始盈利？（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以10万元出售该厂，问哪种方案更合算？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；等差数列与等比数列．【分析】（1）根据第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，可知每年的支出构成一个等差数列，故n年的总支出函数关系可用数列的求和公式得到；再根据f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额，可得前n年的纯利润总和f（n）关于n的函数关系式；令f（n）＞0，并解不等式，即可求得该厂从第几年开始盈利；（2）对两种决策进行具体的比较，以数据来确定那一种方案较好．【解答】解：（1）由题意，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，可知每年的支出构成一个等差数列，用g（n）表示前n年的总支出，∴g（n）=12n+×4=2n2+10n（n∈N*）…∵f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额∴f（n）=50n﹣（2n2+10n）﹣72=﹣2n2+40n﹣72．…由f（n）＞0，即﹣2n2+40n﹣72＞0，解得2＜n＜18．…由n∈N*知，从第三年开始盈利．…（2）方案①：年平均纯利润为=40﹣2（n+）≤16，当且仅当n=6时等号成立．…故方案①共获利6×16+48=144（万元），此时n=6．…方案②：f（n）=﹣2（n﹣10）2+128．当n=10时，[f（n）]max=128．故方案②共获利128+10=138（万元）．…比较两种方案，选择方案①更合算．…【点评】本题以实际问题为载体，考查数列模型的构建，考查解一元二次不等式，同时考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．。

山东省聊城市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=，则这个三角形是（）A . 钝角三角形B . 锐角三角形C . 不等腰的直角三角形D . 等腰直角三角形2. （2分）下列命题中正确的是（）A . 命题“∃x∈R，使得x2﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣1＞0”B . 命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题：C . 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题D . 命题”若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”3. （2分） (2020高一下·开鲁期末) 数列中，已知且则（）A . 19B . 21C . 99D . 1014. （2分） (2019高三上·抚州月考) 设数列的前n项和为，且满足，，用表示不超过x的最大整数，设，数列的前2n项和为，则使成立的最小正整数n是（）A . 5B . 6C . 7D . 85. （2分） (2020高一下·高安期中) 设为实数，且，则下列不等式正确的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一上·河北期中) 当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高一下·长春期末) 已知等差数列中，则（）A . 10B . 16C . 20D . 248. （2分） (2018高二上·湘西月考) 若变量满足约束条件，则的最大值为（）A . 4B . 2C . 3D . 19. （2分） (2017高一下·河北期末) 已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn ，且Sn ， an ，成等差数列，则数列{an}的通项公式为（）A . 2n﹣3B . 2n﹣2C . 2n﹣1D . 2n﹣2+110. （2分）数列等比数列，，，则数列的前项的和为（）A .B .C .D .11. （2分）下列命题中的真命题是（）A . 对于实数，若，则B . 是x＞1的充分而不必要条件C . ，使得成立D . ，成立12. （2分）各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则的值为（）A .B .C .D . 或二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在中，，，的角平分线，则________ 。

山东省聊城市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知双曲线的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e 为（）A . 2B . 3C .D .2. （2分）(2020·天津模拟) 抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p的值为（）A .B .C .D .3. （2分）(2012·全国卷理) 椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二下·肇庆期末) 已知x，y的取值如下表所示：x234y645如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为，则b=（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一上·嘉峪关期末) 圆x2+y2﹣6x=0与圆x2+y2+8y+12=0的位置关系是（）A . 相离B . 相交C . 外切D . 内切6. （2分）甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为、，则下列判断正确的是（）A . ，甲比乙成绩稳定B . ，乙比甲成绩稳定C . ，甲比乙成绩稳定D . ，乙比甲成绩稳定7. （2分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s，k的值依次为（）A . 32，63B . 64，63C . 63，32D . 63，648. （2分）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（）A . ﹣3＜m＜2或m＞3B . m＜﹣3或m＞3C . ﹣2＜m＜3D . ﹣3＜m＜3或m＞39. （2分） (2016高二下·马山期末) 已知F1,F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A .B .C .D .10. （2分）已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则常数p的值为（）A .B .C .D .11. （2分）已知双曲线的顶点恰好是椭圆的两个顶点，且焦距是，则此双曲线的渐近线方程是（）A .B .C .D .12. （2分）以双曲线（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M 点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（）A . -1B .C . +1D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那全班学生中“喜欢”摄影的比全班学生人数的一半还多________人.14. （1分）(2016·兰州模拟) 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2 ，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2 是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2 ，则e1•e2 的取值范围为________．15. （1分） (2019高三上·新疆月考) 已知、是抛物线上的两点，直线垂直于轴，为抛物线的焦点，射线交抛物线的准线于点，且，的面积为，则的值为________．16. （1分） (2015高二上·莆田期末) 命题“∃x∈R，x2﹣3ax+9＜0”为真命题，求a的取值范围________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）已知两直线l1：3x+y+1=0，l2：x+y﹣1=0相交于一点P，（1）求交点P的坐标．（2）若直线l过点P且与直线l1垂直，求直线l的方程．18. （5分）经过A（6，5），B（0，1）两点，并且圆心在直线3x+10y+9=0上，求圆的方程．19. （15分）(2018高二上·泸县期末) 某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.（1）求直方图中x的值;（2）求月平均用电量的众数和中位数;（3）在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?20. （10分） (2016高二上·六合期中) 在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB=8，BC=6，其中A（﹣4，0）、B（4，0）．（1）若A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，求该椭圆的方程；（2）若A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，求双曲线的方程．21. （15分） (2016高三上·成都期中) 如图，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．22. （10分） (2019高二上·大庆月考) 已知椭圆方程 ,左右焦点分别为（1）求椭圆焦点坐标及离心率;（2）过的直线与椭圆交于两点 ,若，求直线方程.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

2021-2022学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷一、单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．若直线ax +（2a ﹣3）y ＝0的倾斜角为45°，则a 等于（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．1 D ．﹣12．若向量a →=（1，λ，0），b →=（2，﹣1，2），且a →与b →的夹角余弦值为23，则实数λ等于（ ）A ．0B ．−43C ．0或−43D ．0或433．直线2x +y +5＝0与直线kx +2y ＝0互相垂直，则它们的交点坐标为（ ） A ．（﹣1，﹣3） B ．（﹣2，﹣1）C ．(−12，−1)D ．（﹣1，﹣2）4．直线y ＝x +3与曲线y 29−x|x|4=1（ ）A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点D ．有三个交点5．已知空间向量a →=（2，﹣2，1），b →=（3，0，4），则向量b →在向量a →上的投影向量是（ ） A ．109（3，0，4） B ．25（3，0，4）C ．109（2，﹣2，1） D ．25（2，﹣2，1）6．已知直线l ：x +2y ﹣3＝0与圆（x ﹣2）2+y 2＝4交于A 、B 两点，求线段AB 的中垂线方程（ ） A ．2x ﹣y ﹣2＝0 B ．2x ﹣y ﹣4＝0C ．2√5x −√5y ﹣1＝0D ．2√5x −√5y −√19=07．设椭圆x 216+y 212=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→•PF 2→=9，则|PF 1→|•|PF 2→|的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．158．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，A 1，A 2是双曲线C 的左、右顶点，点P 在过F 1且斜率为√34的直线上，△P A 1A 2为等腰三角形，∠A 1A 2P ＝120°，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．32B ．2C ．3D ．4二、多选题本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），则下列结论正确的有（ ） A ．AB →与AC →是共线向量B ．与AB →共线的单位向量是（1，1，0）C ．AB →与BC →夹角的余弦值是−√5511D ．平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5）10．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A （﹣4，0），B （0，4），其欧拉线方程为x ﹣y +2＝0，则顶点C 的坐标可以是（ ） A ．（2，0） B ．（0，2） C ．（﹣2，0） D ．（0，﹣2）11．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，以下结论正确的是（ ） A ．异面直线A 1D 与AB 1所成的角为60° B ．直线A 1D 与BC 1垂直 C ．直线A 1D 与BD 1平行 D ．直线B 1C ∥平面A 1BD12．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1和F 2，P 为椭圆C 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．a =√2b ，满足∠F 1PF 2＝90°的点P 有两个B ．a ＜√2b ，满足∠F 1PF 2＝90°的点P 有四个C ．△PF 1F 2的面积的最大值a 22D ．△PF 1F 2的周长小于4a三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m−y 2m 2+4=1的离心率为√5，则m 的值为 ．14．过点（3，1）作圆（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4的弦，其中最短的弦长为 ．15．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF =12AD =a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为 ．16．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a ＞1)的两个焦点，且椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2=2π3，则椭圆C 的离心率的最小值为 ．若点M ，N 分别是圆D ：x 2+（y ﹣3）2＝3和椭圆C 上的动点，当椭圆C 的离心率取得最小值时，|MN |+|NF 2|的最大值是 ．四、解答题本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，设AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．（1）用向量a →，b →，c →表示D 1B →，EF →；（2）若D 1F →=x a →+y b →+z c →，求实数x ，y ，z 的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，P A⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3．（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；（2）求点D到平面PBC的距离．19．已知圆C经过A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5）两点，圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过原点的直线l与圆C交于M，N两点，若|MN|＝6，求直线l的方程．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF1O＝45°．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1：y＝kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y＝kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|＝|CD|，如图所示．（ⅰ）证明：m1+m2＝0；（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底边长和侧棱长都为2，点D在棱BB1上运动（不包括端点）．（1）若D为BB1的中点，证明：CD⊥AC1；（2）设平面AC1D与平面ABC所成的二面角大小为θ（θ为锐角），求cosθ的取值范围．22．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F （﹣c ，0），右顶点为A ，点E 的坐标为（0，c ），△EF A的面积为b 22．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，若|FQ|=32c ，求直线FQ 的斜率．2021-2022学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．若直线ax +（2a ﹣3）y ＝0的倾斜角为45°，则a 等于（ ） A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣1解：当直线ax +（2a ﹣3）y ＝0的倾斜角为45°时，直线l 的斜率k ＝tan45°＝1；∴a +（2a ﹣3）＝0，解得a ＝1． 故选：C ．2．若向量a →=（1，λ，0），b →=（2，﹣1，2），且a →与b →的夹角余弦值为23，则实数λ等于（ ）A ．0B ．−43C ．0或−43D ．0或43解：向量a →=（1，λ，0），b →=（2，﹣1，2），且a →与b →的夹角余弦值为23，所以a →•b →=|a →|×|b →|×cos ＜a →，b →＞，即2﹣λ=√1+λ2×3×23，解得λ＝0或λ=−43； 所以实数λ等于0或−43． 故选：C ．3．直线2x +y +5＝0与直线kx +2y ＝0互相垂直，则它们的交点坐标为（ ） A ．（﹣1，﹣3）B ．（﹣2，﹣1）C ．(−12，−1)D ．（﹣1，﹣2）解：∵直线2x +y +5＝0与直线kx +2y ＝0互相垂直，∴2k +1×2＝0，求得k ＝﹣1， 故两直线即 直线2x +y +5＝0与直线﹣x +2y ＝0，由{2x +y +5=0−x +2y =0 求得{x =−2y =−1，可得两直线的交点为（﹣2，﹣1），故选：B ． 4．直线y ＝x +3与曲线y 29−x|x|4=1（ ）A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点D ．有三个交点解：当x ≥0时，曲线y 29−x|x|4=1方程可化为：y 29−x 24=1…①将y ＝x +3代入①得：5x 2﹣24x ＝0，解得x ＝0或，x =245， y 2x|x|当x ＜0时，曲线y 29−x|x|4=1方程可化为：y 29+x 24=1…①将y ＝x +3代入①得：13x 2+24x ＝0，解得x ＝0（舍去）或，x =−2413， 即此时直线y ＝x +3与曲线y 29−x|x|4=1有一个交点； 综上所述直线y ＝x +3与曲线y 29−x|x|4=1有三个交点故选：D ．5．已知空间向量a →=（2，﹣2，1），b →=（3，0，4），则向量b →在向量a →上的投影向量是（ ） A ．109（3，0，4） B ．25（3，0，4）C ．109（2，﹣2，1）D ．25（2，﹣2，1）解：∵空间向量a →=（2，﹣2，1），b →=（3，0，4）， ∴|a →||b →|cos ＜a →，b →＞=a →⋅b →=2×3+1×4＝10， |a →|=√22+(−2)2+12=3，∴向量b →在向量a →上的投影向量是：|b →|cos ＜a →，b →＞•a→|a →|=a →⋅b→|a →|2|a →|=109（2，﹣2，1）．故选：C ．6．已知直线l ：x +2y ﹣3＝0与圆（x ﹣2）2+y 2＝4交于A 、B 两点，求线段AB 的中垂线方程（ ） A ．2x ﹣y ﹣2＝0 B ．2x ﹣y ﹣4＝0C ．2√5x −√5y ﹣1＝0D ．2√5x −√5y −√19=0解：由直线l ：x +2y ﹣3＝0与圆（x ﹣2）2+y 2＝4交于A 、B 两点， 得线段AB 的中垂线方程必过圆心，且斜率与直线l 的斜率互为负倒数， ∵k l =−12，∴AB 的中垂线的斜率为2，又过（2，0），∴AB 的中垂线方程为y ＝2（x ﹣2），即2x ﹣y ﹣4＝0． 故选：B ． 7．设椭圆x 216+y 212=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→•PF 2→=9，则|PF 1→|•|PF 2→|的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．15解：∵P 是椭圆x 216+y 212=1一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，∴|PF 1|+|PF 2|＝8，|F 1F 2|＝4，PF 1→•PF 2→=9，即|PF 1→|•|PF 2→|cos θ＝9， 16＝|PF 1→|2+|PF 2→|2﹣2|PF 1→|•|PF 2→|cos θ＝（|PF 1→|+|PF 2→|）2﹣2|PF 1|•|PF 2|﹣18＝64﹣2|PF 1|•|PF 2|﹣18＝16， ∴|PF 1|•|PF 2|＝15， 故选：D ．8．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，A 1，A 2是双曲线C 的左、右顶点，点P 在过F 1且斜率为√34的直线上，△P A 1A 2为等腰三角形，∠A 1A 2P ＝120°，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．32B ．2C ．3D ．4解：由C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)，可得A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），F 1（﹣c ，0），因为∠A 1A 2P ＝120°，所以|A 1A 2|＝|A 2P |＝2a ，∠P A 2F 2＝60°， 过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，则|PH|=2asin60°=√3a ，|A 2H|=2acos60°=a ，即P(2a ，√3a)， 代入点P(2a ，√3a)的坐标，可得√3a =√34(2a +c)，整理得4a ＝2a +c ，即2a ＝c ， 所以双曲线的离心率为e =ca =2． 故选：B ．二、多选题本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），则下列结论正确的有（ ）A ．AB →与AC →是共线向量B ．与AB →共线的单位向量是（1，1，0） C ．AB →与BC →夹角的余弦值是−√5511D ．平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5）解：空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1）， 对于A ，AB →=（2，1，0），AC →=（﹣1，2，1），AB →与AC →不平行， ∴AB →与AC →不是共线向量，故A 错误；对于B ，与AB →共线的单位向量是±AB→|AB →|=±（√5，√5，0），故B 错误；对于C ，BC →=（﹣3，1，1）， ∴AB →与BC →夹角的余弦值是： cos ＜AB →，BC →＞=AB →⋅BC→|AB →|⋅|BC →|=−6+15⋅11=−√5511，故C 正确；对于D ，设平面ABC 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AB →=2x +y =0n →⋅AC →=−x +2y +z =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣2，5），故D 正确． 故选：CD ．10．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A （﹣4，0），B （0，4），其欧拉线方程为x ﹣y +2＝0，则顶点C 的坐标可以是（ ） A ．（2，0）B ．（0，2）C ．（﹣2，0）D ．（0，﹣2）解：设C （a ，b ），由欧拉线的定义知重心在x ﹣y +2＝0上， 重心可以有三角形三个顶点坐标表示，即为(−4+a3，4+b3)，∴−4+a 3−4+b 3+2=0，∴a ﹣b ﹣2＝0， 故选：AD ．11．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，以下结论正确的是（ ）A ．异面直线A 1D 与AB 1所成的角为60° B ．直线A 1D 与BC 1垂直 C ．直线A 1D 与BD 1平行D ．直线B 1C ∥平面A 1BD解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则D （0，0，0），A （a ，0，0），B （a ，a ，0），C （0，a ，0），A 1（a ，0，a ），B 1（a ，a ，a ），C 1（0，a ，a ），D 1（0，0，a ），对于A 1，A 1D →=(−a ，0，−a)，AB 1→=(0，a ，a)，异面直线A 1D 与AB 1所成的角θ， cosθ=|cos〈A 1D →，AB 1→〉=|A 1D →⋅AB 1→|A 1D →||AB 1→||=a 22a⋅2a=12，则θ＝60°，A 正确；对于B ，BC →1=(−a ，0，a)，则A 1D →⋅BC 1→=−a ⋅(−a)−a ⋅a =0，A 1D →⊥BC →1，即直线A 1D 与BC 1垂直，B 正确；对于C ，BD →1=(−a ，−a ，a)，则A 1D →⋅BD →1=−a ⋅(−a)−a ⋅a =0，A 1D →⊥BD →1，即直线A 1D 与BD 1不平行，C 不正确；而B 1C ⊄平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ，于是得直线B 1C ∥平面A 1BD ，D 正确． 故选：ABD ． 12．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1和F 2，P 为椭圆C 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．a =√2b ，满足∠F 1PF 2＝90°的点P 有两个B ．a ＜√2b ，满足∠F 1PF 2＝90°的点P 有四个C ．△PF 1F 2的面积的最大值a 22D ．△PF 1F 2的周长小于4a解：记椭圆C 的上、下定点分别为B 1，B 2，易知∠F 1PF 2≤∠F 1B 1F 2＝∠F 1B 2F 2， 选项A 中，a =√2b ，所以b ＝c ，∠F 1B 1F 2＝∠F 1B 2F 2＝90°，故A 正确；选项B 中，a ＜√2b ，所以c ＜b ，∠F 1B 1F 2＝∠F 1B 2F 2＜90°，满足∠F 1PF 2＝90°的点P 不存在，故B 错误；选项C 中，△PF 1F 2的面积S ≤12•2c •b ＝bc ≤b 2+c 22=a 22，当且仅当b ＝c 时取等号，故C 正确；选项D 中，△PF 1F 2的周长C ＝2c +2a ＜4a ，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m−y 2m 2+4=1的离心率为√5，则m 的值为 2 ．解：∵m 2+4＞0 ∴双曲线x 2m−y 2m 2+4=1的焦点必在x 轴上因此a 2＝m ＞0，b 2＝m 2+4 ∴c 2＝m +m 2+4＝m 2+m +4 ∵双曲线x 2m−y 2m 2+4=1的离心率为√5，∴ca =√5，可得c 2＝5a 2，所以m 2+m +4＝5m ，解之得m ＝2 故答案为：214．过点（3，1）作圆（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4的弦，其中最短的弦长为 2√2 ． 解：根据题意得：圆心（2，2），半径r ＝2，∵√(3−2)2+(1−2)2=√2＜2，∴（3，1）在圆内， ∵圆心到此点的距离d =√2，r ＝2， ∴最短的弦长为2√r 2−d 2=2√2． 故答案为：2√215．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF =12AD =a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为√63．解：∵ABCD 是正方形，∴CB ⊥AB ，∵面ABCD ⊥面ABEF 且交于AB ，∴CB ⊥面ABEF ． ∵AG ，GB ⊂面ABEF ，∴CB ⊥AG ，CB ⊥BG ， 又AD ＝2a ，AF ＝a ，ABEF 是矩形，G 是EF 的中点， ∴AG ＝BG =√2a ，AB ＝2a ，∴AB 2＝AG 2+BG 2，∴AG ⊥BG ，∵BG ∩BC ＝B ，∴AG ⊥平面CBG ，而AG ⊂面AGC ，故平面AGC ⊥平面BGC ．在平面BGC 内作BH ⊥GC ，垂足为H ，则BH ⊥平面AGC ，∴∠BGH 是GB 与平面AGC 所成的角． 在Rt △CBG 中，BH =BC⋅BG CG =2√33a ，BG =√2a ，∴sin ∠BGH =BH BG=√63． 故答案为：√63．16．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a ＞1)的两个焦点，且椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2=2π3，则椭圆C 的离心率的最小值为√32．若点M ，N 分别是圆D ：x 2+（y ﹣3）2＝3和椭圆C 上的动点，当椭圆C 的离心率取得最小值时，|MN |+|NF 2|的最大值是 4+3√3 ． 解：如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角∠F 1PF 2渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点P 0处时， 张角∠F 1PF 2达到最大值．由椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2=2π3，可得△P 0F 1F 2中，∠F 1P 0F 2≥2π3，可得Rt △P 0OF 2中，∠OP 0F 2≥π3，sin ∠OP 0F 2≥sinπ3=√32，即c a ≥√32， 椭圆离心率e 的最小值为√32， 由b ＝1，a 2﹣c 2＝1，ca=√32，解得a ＝2，c =√3， 圆D ：x 2+（y ﹣3）2＝3的圆心D （0，3），半径r =√3， |NF 1|+|NF 2|＝2a ＝4，|MN |+|NF 2|＝4+|MN |﹣|NF 1|， 而|MN |﹣|NF 1|的最大值，可求|DN |﹣|NF 1|的最大值，当D ，F 1，N 共线时，|MN |﹣|NF 1|取得最大值4+√3+|DF 1|＝4+√3+2√3=4+3√3， 故答案为：√32，4+3√3．四、解答题本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，设AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点． （1）用向量a →，b →，c →表示D 1B →，EF →；（2）若D 1F →=x a →+y b →+z c →，求实数x ，y ，z 的值．解：（1）如图，D 1B →=D 1D →+DB →=−AA 1→+AB →−AD →=a →−b →−c →EF →=EA →+AF →=12D 1A →+12AC →=−12（AA 1→+AD →）+12（AB →+AD →）=12（a →−c →）．（2）D 1F →=12（D 1D →+D 1B →）=12（−AA 1→+D 1B →） =12（−c →+a →−b →−c →）=12a →−12b →−c →， ∴x =12，y =−12，z ＝﹣1．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，AB ⊥BC ，∠ADC ＝45°，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝AP ＝1，AD ＝3．（1）求异面直线PB 与CD 所成角的大小； （2）求点D 到平面PBC 的距离．解：（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则P （0，0，1），B （1，0，0），C （1，2，0）D （0，3，0）， ∴PB →=（1，0，﹣1），CD →=（﹣1，1，0），……（3分） 设异面直线PB 与CD 所成角为θ， 则cos θ=|PB →⋅CD →||PB →|⋅|CD →|=12，……（6分）所以异面直线PB 与CD 所成角大小为π3．……（7分） （2）设平面PBC 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），PB →=（1，0，﹣1），BC →=（0，2，0），CD →=（﹣1，1，0），则{n →⋅PB →=x −z =0n →⋅BC →=2y =0，取x ＝1，得n →=（1，0，1），……（4分） ∴点D 到平面PBC 的距离d =|n →⋅CD →||n →|=√22．……（7分）19．已知圆C 经过A （2，﹣3）和B （﹣2，﹣5）两点，圆心在直线x ﹣2y ﹣3＝0上． （1）求圆C 的方程；（2）过原点的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若|MN |＝6，求直线l 的方程． 解：（1）因为k AB =12，AB 中点为（0，﹣4）， 所以AB 中垂线方程为y +4＝﹣2x ，即2x +y +4＝0，解方程组{2x +y +4=0，x −2y −3=0，得{x =−1，y =−2，所以圆心C 为（﹣1，﹣2）．根据两点间的距离公式，得半径r =√10， 因此，所求的圆C 的方程为（x +1）2+（y +2）2＝10．（2）①当直线率不存在时，方程x ＝0，代入圆C 方程得1+（y +2）2＝10， 解得y ＝﹣5或y ＝1，此时|MN |＝|1﹣（﹣5）|＝6，符合．②当直线l 斜率存在时，设方程为y ＝kx ，则圆心（﹣1，﹣2）到直线l 的距离d =|−k+2|√1+k ，又因为|MN|=2√r 2−d 2=6，所以d 2＝1， 即√1+k 2=1，解得k =34，直线方程为y =34x ，综上，直线l 方程为x ＝0或y =34x ．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1（﹣1，0），P 为椭圆G 的上顶点，且∠PF 1O ＝45°．（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）已知直线l 1：y ＝kx +m 1与椭圆G 交于A ，B 两点，直线l 2：y ＝kx +m 2（m 1≠m 2）与椭圆G 交于C ，D 两点，且|AB |＝|CD |，如图所示．（ⅰ）证明：m 1+m 2＝0；（ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值．（Ⅰ）解：设椭圆G 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)．因为F 1（﹣1，0），∠PF 1O ＝45°，所以b ＝c ＝1． 所以，a 2＝b 2+c 2＝2．…（2分） 所以，椭圆G 的标准方程为x 22+y 2=1．…（3分）（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）． （ⅰ）证明：由{y =kx +m 1x 22+y 2=1.消去y 得：(1+2k 2)x 2+4km 1x +2m 12−2=0．则Δ=8(2k 2−m 12+1)＞0，{ x 1+x 2=−4km11+2k 2x 1x 2=2m 12−21+2k 2.⋯ 所以|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(−4km 11+2k2)2−4⋅2m 12−21+2k2=2√2√1+k 2√2k 2−m 12+11+2k2．同理 |CD|=2√2√1+k 2√2k 2−m 22+11+2k2．…（7分）因为|AB |＝|CD |，所以 2√2√1+k 2√2k 2−m 12+11+2k2=2√2√1+k 2√2k 2−m 22+11+2k2．因为 m 1≠m 2，所以m 1+m 2＝0．…（9分）（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线AB ，CD 间的距离为d ，则 d =12√1+k ．因为 m 1+m 2＝0，所以 d =1√1+k ．…（10分）所以 S =|AB|⋅d =2√2√1+k 2√2k 2−m 12+11+2k21√1+k=4√2√(2k 2−m 12+1)m 121+2k2≤4√22121221+2k2=2√2．（或S =4√2√(2k 2+1)m 12−m 14(1+2k 2)2=4√2√−(m 121+2k 2−12)2+14≤2√2） 所以 当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值为2√2．…（12分）21．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底边长和侧棱长都为2，点D 在棱BB 1上运动（不包括端点）． （1）若D 为BB 1的中点，证明：CD ⊥AC 1；（2）设平面AC 1D 与平面ABC 所成的二面角大小为θ（θ为锐角），求cos θ的取值范围．（1）证明：分别取AB ，A 1B 1的中点O ，E ， 以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底边长和侧棱长都为2，D 为BB 1的中点， 所以A(−1，0，0)，C(0，√3，0)，D(1，0，1)，C 1(0，√3，2)， 故CD →=(1，−√3，1)，AC 1→=(1，√3，2)， 则CD →⋅AC 1→=1−3+2=0， 所以CD ⊥AC 1；（2）设BD ＝t （0＜t ＜2），则点D （1，0，t ），所以AD →=(2，0，t)， 设平面AC 1D 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AC 1→=0n →⋅AD →=0，即{x +√3y +2z =02x +tz =0， 令z ＝2，则x ＝﹣t ，y =3故n →=(−t t−432)， 又平面ABC 的一个法向量为m →=(0，0，1)，所以cos θ=|cos ＜n →，m →＞|=|n →⋅m →||n →||m →|=√t 2+(t−4)3+4=√3√(t−1)+6， 因为0＜t ＜2， 则√6＜√(t −1)2+6＜√7，所以√32∈(√217，√22]． 故cos θ的取值范围为(√217，√22]．22．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F （﹣c ，0），右顶点为A ，点E 的坐标为（0，c ），△EF A 的面积为b 22．（1）求椭圆的离心率； （2）设点Q 在线段AE 上，若|FQ|=32c ，求直线FQ 的斜率．解：（1）设椭圆的离心率为e ， 由已知，可得12(c +a)c =b 22，又由b 2＝a 2﹣c 2可得2c 2+ac ﹣a 2＝0，即2e 2+e ﹣1＝0， 又因为0＜e ＜1，解得e =12，所以椭圆的离心率为12． （2）解法一：依题意，设直线FQ 的方程为x ＝my ﹣c （m ＞0），则直线FQ 的斜率为1m ， 由（1）知a ＝2c ，则直线AE 的方程为x 2c +y c =1，即x +2y ﹣2c ＝0， 与直线FQ 方程联立，可解得x =(2m−2)c m+2，y =3c m+2， 即点Q 的坐标为((2m−2)c m+2，3c m+2)，由已知|FQ|=32c ，有[(2m−2)c m+2+c]2+(3c m+2)2=(3c 2)2， 整理得3m 2﹣4m ＝0，所以m =43，即直线FQ 的斜率为34． 解法二：依题意设直线FQ 的斜率为k ，则直线FQ 的方程为y ＝k （x +c ）， 由（1）知a ＝2c ，则直线AE 的方程为x 2c +y 2c =1，即x +2y ﹣2c ＝0， 由{y =k(x +c)x +2y −2c =0，得{x =(1−2k)c 1+2k y =3kc 1+2k， ∴点Q 坐标为((1−2k)c 1+2k ，3kc 1+2k )，由已知|FQ|=32c ，有[(1−2k)c 1+2k +c]2+(3kc 1+2k )2=(32c)2，整理得4k ＝3，即k =34，即直线FQ 的斜率为34．。

山东省聊城市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角为120°，则这个三角形的周长为（）A . 15B . 18C . 21D . 242. （2分）若变量满足约束条件，则的最小值为（）A .B .C .D .3. （2分）(2016·柳州模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2，sinA= sinB，则△ABC面积的最大值为（）A .B .C .D . 24. （2分）数列的前项和，则（）A .B .C .D .5. （2分）(2019高一下·吉林期末) 在中，内角所对的边分别为，若，且，则的形状是（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 等腰直角三角形D . 不确定6. （2分）在R上定义运算：x y=x(1-y),若不等式（x-a）(x+a)<1对任意实数x都成立，则（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高一上·大庆月考) 函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A .B . a2＞b2C . a（c2+1）＞b（c2+1）D . a|c|＞b|c|9. （2分） (2020高二下·鹤壁月考) 已知数列中，为其前项和，的值为（）A . 63B . 61C . 62D . 5710. （2分） (2016高一上·虹口期末) 设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=3，a+b=6，则 + 的最大值为（）A .B .C . 1D . 211. （2分） (2016高三上·呼和浩特期中) 已知不等式组表示的平面区域为D，点集T={（x0 ，y0）∈D|x0 ，y0∈Z．（x0 ， y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}则T中的点的纵坐标之和为（）A . 12B . 5C . 10D . 1112. （2分）定义数列：；数列：；数列：；若的前n项的积为，的前n项的和为，那么（）A .B . 2C . 3D . 不确定13. （2分）在中，内角所对的边分别是，若，则（）A .B .C .D .14. （2分）已知数列{an}（n=1，2，3，4，5）满足a1=a5=0，且当2≤k≤5时，（ak﹣ak﹣1）2=1，令S=，则S不可能的值是（）A . 4B . 0C . 1D . -415. （2分）如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，则等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）(2019·永州模拟) 在三角形中，角的对边分别为，，，，点是平面内的一个动点，若，则面积的最大值是________．17. （1分）已知等比数列{an}中，a1＋a3＝10，前4项和为40.求数列{an}的通项公式：________18. （1分） (2017高一下·湖北期中) 在正项等差数列{an}中a1和a4是方程x2﹣10x+16=0的两个根，若数列{log2an}的前5项和为S5且S5∈[n，n+1]，n∈Z，则n=________．19. （1分）(2018·成都模拟) 已知函数，则满足的实数的取值范围是________.20. （1分） (2016高一上·南昌期中) 对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.1]=1，[﹣2.1]=﹣3．定义在R上的函数f（x）=[2x]+[4x]+[8x]，若A={y|y=f（x），0＜x＜1}，则A中所有元素之和为________．三、解答题 (共4题；共45分)21. （10分）(2020·聊城模拟) 已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若求的前n项和Tn22. （15分） (2016高二上·嘉兴期中) 设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．23. （10分） (2016高二上·郑州期中) “城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC，长度为100 米，另外两边AB，AC使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y （x，y单位均为米）．（1）求x，y满足的关系式（指出x，y的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？24. （10分） (2019高一下·哈尔滨期中) 已知等差数列前项和为，等比数列前项和为，且满足（1）求数列及数列的通项公式；（2）若，若数列前项和为，求参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共4题；共45分) 21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、24-1、24-2、第11 页共11 页。