2023届山西省太原市高三上学期1月第一次联考数学试题一、单选题1．已知集合{}28xA x =<，集合{}B x x a =>，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,3]-∞D ．[3,)+∞【答案】D【分析】先求出集合A ，B ，再由A B ⋂=∅求出实数a 的取值范围.【详解】{}{}{}{}328223,x x A x x x x B x x a =<=<=<=>.又A B ⋂=∅，所以a 的取值范围为[3,)+∞. 故选：D2．若复数z 满足()()112i,z z +-=+i 是虚数单位,则z =（ ）A ．1 BC D ．2【答案】C【分析】先设复数i z a b =+,代入()()112i,z z +-=+即可得关于,a b 的等式,进而可求z . 【详解】解:由题知不妨设()i ,z a b a b =+∈R , 因为()()112i,z z +-=+所以()()()22i 1i 11i a b a b a b ++--=-+ 2212i a b b =+--2i =+,所以2212a b +-=，21b -=, 故223a b +=,12b =-,所以z =故选:C3．抛物线24y x =的焦点为F ,抛物线上一点P 在其对称轴的上方,若3PF =,则点P 的坐标是（ ）A ．()4,4B ．(3,C ．(2,D ．()1,2【答案】C【分析】先设出P 点坐标,根据抛物线定义列出等式,即可得点P 坐标.【详解】解:由题设点P 的坐标为(),x y , 根据抛物线的定义知13PF x =+=, 所以2,x =代入抛物线中可得22y =, 故点P 的坐标为()2,22. 故选:C4．地震的震级越大,以地震波的形式从震源释放出的能量就越大,震级M 与所释放的能量E 的关系如下: 4.81.510M E +=（焦耳）()10 3.16≈,那么6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的（ ）A ．3.16倍B ．31.6倍C ．100倍D ．1000倍【答案】D【分析】分别设出4级地震释放的能量和6级地震释放的能量,列出各自等式,将两等式相除进行化简,即可得出结果.【详解】解:由题设4级地震释放的能量为1,6E 级地震释放的能量为2E , 所以 4.8 1.5410.8 4.8 1.5613.8121010,1010E E +⨯+⨯====,所以13.83210.811010100010E E ===, 即6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的1000倍. 故选:D5．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为2π，则该球的表面积为（ ）A ．20πB ．16πC ．12πD ．8π【答案】A【分析】设截面圆半径为r ，球的半径为R ，根据截面圆的周长求得1r =，再利用2222R r 求解.【详解】设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2， 根据截面圆的周长可得22r ππ=，则1r =， 由题意知2222R r ，即222125R =+=，∴该球的表面积为2420R ππ=． 故选：A6．2020年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样.某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数为（ ） A ．48 B ．72 C ．120 D ．240 【答案】C【解析】根据甲、乙2个家庭的5张票是否连号分类计算.【详解】若甲、乙2个家庭的5张票连号，则有142448A A ⋅=种不同的分配方法，若甲、乙2个家庭的5张票不连号，则有323472A A ⋅=种不同的分配方法，综上，这8张门票共有4872120+=种不同的分配方法， 故选：C.【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．7．在矩形ABCD 中,2AB AD ==,点E 满足23DE DC =,则AE BD ⋅=（ ）A ．14-B ．14C ．16-D ．-【答案】A【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系,找到各个点的坐标,根据23DE DC =,求出E 点坐标,代入AE BD ⋅中即可得出结果.【详解】解:由题不妨以A 为坐标原点,,AB AD 方向分别为,x y 轴建立如图所示直角坐标系,则()()()()0,0,23,0,23,2,0,2,A B C D 所以()23,0DC =,()23,2BD =-, 因为23,DE DC = 设(),E x y ,所以()(),2223,03x y -=, 解得()33,2E , 所以()33,2AE =,所以()()33,223,214AE BD =⋅-⋅=-. 故选:A8．已知1a b >>,若1e e e a a b b a a ++=+,则（ ） A ．()ln 1a b +> B ．()ln 0a b -< C ．333a b -+<D ．133a b -<【答案】A【分析】化简1e e eaab b a a ++=+为1e e 111a b a b b +-=++,构造函数()e (1)xf x x x=>,求导求单调性,即可得12a b >+>,即13e a b b b +>++>>,两边取对数即可判断选项A 正误;根据12a b >+>,可得1a b ->即可得选项B 正误;根据12a b >+>,可得233323,a b -+>>即可判断选项C 正误;根据1a b ->,即可得选项D 正误.【详解】解:由题知1e e e a a b b a a ++=+,()()11e e 1a b b a ++=+,即1e e 11++=+a b a b ,即1e e 111a b a b b +-=++, 令()e (1)xf x x x=>,所以()()21e 0x x f x x -'=>, 故()f x 在()1,+∞上单调递增, 因为1a b >>, 所以101b >+, 由1e e 1011a b a b b +-=>++可知:()()1f a f b >+, 根据单调性可得12a b >+>, 所以1a b ->, 故()ln ln10,a b ->= 故选项B 错误;因为13e a b b b +>++>>. 所以()ln 1,a b +> 故选项A 正确; 因为12a b >+>,所以2333a b -+>> 故选项C 错误; 因为1a b ->, 所以133,a b -> 故选项D 错误. 故选:A二、多选题9．2022年北京冬奥会给中国冰雪产业带来快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，并引领相关户外用品行业市场增长.下面是2013年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中正确的是（ ）A ．2013年至2020年，2019年中国雪场滑雪人次最多B ．2013年至2020年，2015年中国雪场滑雪人次的同比增长率最高C ．2013年到2020年，中国雪场滑雪人次在2020年首次出现负增长D ．2013年至2020年，中国雪场滑雪人次的年增加量相近 【答案】ABC【分析】根据折线图以及条形图，结合选项即可逐一求解.【详解】由条形图知，2013年至2020年，2019年中国雪场滑雪人次达2000万人次，故滑雪人次最多，故A 正确，根据同比增长率折线图可知2015年中国雪场滑雪人次的同比增长率最高，中国雪场滑雪人次在2020年首次出现负增长，故B ，C 正确，中国雪场滑雪人次的年增加量不相近，故D 错误. 故选：ABC10．将函数π()2sin(2)2cos26=+-f x x x 的图象向左平移π6个单位长度，得到()y g x =的图象,则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 的最小正周期为πB ．函数()g x 的最小值为1-C ．函数()g x 的图象关于直线π6x =对称 D ．函数()g x 在2π[,π]3上单调递减 【答案】AC【分析】根据两角和的正弦以及辅助角公式，将()f x 化为正弦型函数，再由图象平移关系求出()g x 的解析式，结合正弦函数性质，逐项验证，即可得出结论.【详解】π()2sin(2)2cos23sin2cos22sin(2)66f x x x x x x π=+--=-，()()2sin[2()]2sin(2)6666g x f x x x ππππ=+=+-=+，()g x 的周期为π，选项A 正确；()g x 的最小值为2-，选项B 错误；()2sin(2)2666g πππ=⨯+=为()g x 的最大值， 所以直线π6x =是()g x 的一条对称轴，选项C 正确； 2π37[,π],2[,],()3626x x g x πππ∈+∈单调递增，选项D 错误. 故选：AC.【点睛】本题考查三角恒等变换化简、三角函数平移变换求解析式，以及三角函数图象性质，属于基础题.11．直线240x y --=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)5x y +-=上，则PAB 面积的可能值是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】ABC【分析】先确定弦长||AB 的长，再利用点到直线距离公式求出圆心到直线240x y --=的距离0d ，则点P 到直线240x y --=的距离的最大值为圆心到直线240x y --=的距离加上一个半径，最小值为圆心到直线240x y --=的距离减去一个半径，再结合三角形面积公式即可求出ABP 面积的取值范围，结合选项得答案．【详解】解：由题意可知：()()2,0,0,4A B -，则AB圆22(2)5x y +-=的圆心为()0,2，半径r =则圆心()0,2到直线240x y --=的距离为0d = 设点P 到直线240x y --=的距离为d ，则min0max 0d d r d d r =-===+=，即d ∈⎣⎦，又12ABPSAB d =⨯⨯=，[]1,11ABPS ∴∈结合选项可知，PAB 面积的可能取值是2或4或8. 故选：ABC.12．已知直三棱柱111ABC A B C 中，1,2AB BC AB BC BB ⊥===，点P 是线段1BC 上一点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）A ．点1B 到平面11ACC A 2B ．异面直线1BB 与1A P 所成角的余弦值为定值C ．若P 是1BC 中点，则直线1A P 与平面111A B C 25D ．ACP △的面积S 的取值范围为2622⎡⎢⎣ 【答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.【详解】如图，1,D D 分别为11,AC A C 中点，易证1,,BD CD DD 两两垂直，建立如图所示直角坐标系，则))12,0,0,2,0,2BB ，()()()()112,2,0,2,0,0,2,2,2,0C A A C -，()112,2,0A B =，由题意可知平面11ACC A 的一个法向量为()1,0,0m =，所以点1B 到平面11ACC A 的距离为112A B m d m⋅==A 正确；设()101BP BC λλ=≤≤，则))()11112121,22A A BP BC P A B B λλλλ==-++=+-，()10,0,2BB =，1111211cos ,21BB A P BB A P BB A Pλλ⋅==-+B 不正确；若P 是1BC 中点，则22P ⎫⎪⎪⎝⎭，123212A P ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, 易知平面111A B C 的一个法向量为()0,0,1n =， 设直线1A P 与平面111A B C 所成的角为θ，则1116sin 6A P n A P nθ⋅===，所以5tan θ=，C 不正确；))()()2121,2,0,1,0AC AP ACλλλμ=-+==，点P 到直线AC 的距离2221423()6,2333d AP AP μλ⎡⎤⎛⎫=-⋅=-+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以ACP △的面积S 的取值范围为26,223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 正确. 故选：AD.三、填空题13．若函数()ln f x x ax =-的图象在()()1,1f 处的切线斜率为12，则实数=a __________.【答案】12##0.5【分析】求出函数()f x 的导数，再利用导数的几何意义及直线斜率的定义可求 【详解】因为()ln f x x ax =-，所以()1f x a x'=-，所以()f x 在1x =处的切线斜率()1112k f a ==-='，解得12a =．故答案为：12．14．写出一个最小正周期为3的偶函数__________. 【答案】()2πcos3f x x =（答案不唯一） 【分析】通过题意可联想到余弦型函数()()cos 0f x A x A ω=≠，根据周期求出对应参数即可 【详解】由最小正周期为3，可考虑三角函数中的余弦型函数()()cos 0f x A x A ω=≠， 满足()()cos f x A x f x ω-==，即是偶函数； 根据最小正周期2π3T ω==，可得2π3ω=. 故令1A =，()2πcos3f x x =，故答案为：()2πcos3f x x =（答案不唯一） 15．高斯是德国著名的数学家，有“数学王子”之称，以其名字命名的成果有110个.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，若用{}[]x x x =-表示x的非负纯小数，如1=，已知数列{}n a满足[]{}111n n n a a a a +==+，则2021a =__________.【答案】30303030【分析】根据题意求出12345,,,,a a a a a ，找出规律，即可求出2021a 的值.【详解】13a =，2312a ∴==3622a ==+4942a ==51252a ==+， 由此可得到规律：当n为奇数时，132n n a -=⨯，202120211330302a -∴=⨯=故答案为：20213030a =16．已知12,F F 为椭圆22164x y +=的左､右焦点，若动直线l 垂直于y 轴，交此椭圆于,A B 两点，P 为l上满足3PA PB ⋅=的点，则点P 的轨迹方程为__________.【答案】221(22)32x y y +=-<<或221(22)96x y y +=-<<【分析】设点P 的坐标为(),x y ，依题意得()()00,,,A x y B x y -，由3PA PB ⋅=，求出点P 的坐标关系式，代入椭圆方程求出P 点的轨迹方程.【详解】设点P 的坐标为(),x y ，依题意得()()00,,,A x y B x y -，因为PA PB ⋅=3，所以2222000033x x x x x x x x -⋅+=-=⇒=±，代入椭圆的方程得223164x y ±+=，即22132x y +=与221(22)96x y y +=-<<. 故答案为：221(22)32x y y +=-<<或221(22)96x y y +=-<<.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足132,15n n a a S +-==. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令1111n n n b a a =⋅+-,求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)21n a n =+ (2)44n nT n =+【分析】(1)根据12n n a a +-=可得{}n a 是等差数列,且公差为2,代入315S =中,即可得首项,即可得数列{}n a 的通项公式;(2)根据(1)中结果,写出{}n b 通项公式,再利用裂项相消法即可得出结果. 【详解】（1）解:由题知,因为12n n a a +-=, 所以数列{}n a 是公差2d =的等差数列, 因为315S =, 所以13315a d +=, 解得13a =,所以数列{}n a 的通项公式是()1121n a a n d n =+-=+; （2）由(1)得21,n a n =+ 所以()11114141n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,故12n n T b b b =+++111111142231n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭()1114141n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭, 所以数列{}n b 的前n 项和44n nT n =+.18．如图，在ABC 中，已知π3,6,,,3AB AC BAC BC AC ==∠=边上的两条中线,AM BN 相交于点P .(1)求BC 的长度； (2)求MPN ∠的余弦值. 【答案】(1)33BC = (2)714【分析】（1）根据余弦定理求解即可； （2）根据ABC 的三边关系可得π2ABC ∠=，结合直角三角形与三角形重心结论，求解,AP BP 的长，再利用余弦定理即可得MPN ∠的余弦值.【详解】（1）解：在ABC 中，由余弦定理知2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅⋅∠，整理得21936236272BC =+-⨯⨯⨯=，解得33BC =. （2）解：因为22292736AB BC AC +=+==，则AB BC ⊥，所以π2ABC ∠=. 所以221373,22BN AC AM AB BM ===+=， 由于,BC AC 边上的两条中线,AM BN 相交于点P ，则点P 为ABC 的重心，所以227,233AP AM BP BN ====，由余弦定理得2227cos 214AP BP AB APB AP BP +-∠==⋅. 所以MPN ∠的余弦值为714. 19．如图，已知四边形ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，60BAD ∠=︒，平面ADEF 平面BCEF =直线EF ，FO ⊥平面ABCD ，22BC CE DE EF ====（1）求证：//EF DA ；（2）求二面角A EF B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）35．【分析】（1）根据四边形ABCD 为菱形，得到//AD BC ，利用线面平行的判定定理得到//AD 平面BCEF ，然后利用线面平行的性质定理证明.（2）以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，取CD 中点M ，连EM ，OM ，分别求得平面ADEF 一个法向量为(,,)m x y z =，平面BCEF 一个法向量为(,,)n x y z =，然后由cos ,|||,|m nm n m n ⋅<>=求解.【详解】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以//AD BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF //AD ∴平面BCEF ，因为平面ADEF 平面BCEF =直线,EF AD ⊂平面ADEF ，所以//EF AD ；（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，因为OF ⊥平面ABCD ，所以以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 取CD 中点M ，连EM ，OM ，60BAD ︒∠=，23,1BC OA OC OB OD =∴====，2BC CD CE DE CDE ====∴为正三角形，3EM11//,=,//,=22OM BC OM BC EF BC EF BC ，//,=//,=EF OM EF OM OF EM OF EM ∴∴，从而31(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(3)2A B C D E ---， 设平面ADEF 一个法向量为(,,)m x y z =，则00m DA m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令11,(1,x y z m =∴===-， 设平面BCEF 一个法向量为(,,)n x y z =，则00n BC n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102y y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令11,(1,3,1)x y z n =∴==-=--，3cos ,5|||,|m n m n m n ⋅∴<>==，因此二面角A EF B --的余弦值为35.【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20．某品牌汽车4S 店对2020年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用y 表示2020年第x 月份该店汽车成交量，得到统计表格如下：（1）求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，并预测该店9月份的成交量；（ˆa，ˆb 精确到整数） （2）该店为增加业绩，决定针对汽车成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获2千元奖金；抽中“祝您平安”则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为13，没有获得奖金的概率为16．现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X （千元）的分布列及数学期望．参考数据及公式：81850i i i x y ==∑，821204ii x ==∑，()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆ=-ay bx ．【答案】（1）ˆ212y x =+；预计9月份的成交量为30辆；（2）分布列见解析；期望为193． 【分析】(1)先分别求出i x ，i y 的平均数,x y ，再利用最小二乘法计算即可得回归直线方程，取x =9可得成交量的预测值；(2)写出随机变量X 的所有可能值，再计算出X 取各个值时的概率，列出分布列即可得解. 【详解】（1）由题意得：1+2+3+4+5+6+7+89=82x =，14+12+20+20+22+24+30+26=218y =，∴81822219885082194229422048()82i ii i i x y x yb x x==-⋅-⨯⨯===≈-⨯-∑∑，∴12a y b x =-⋅= 所以，回归直线方程为ˆ212yx =+， ∴当9x =时，ˆ2912=30y=⨯+，即预计9月份的成交量为30辆； （2）由题意得：获得“一等奖”的概率为12， 所以X 的可能取值为0，2，4，5，7，10，∴()11106636P X ==⨯=，()11111236639P X ==⨯+⨯=，()1114339P X ==⨯=，()11111526626P X ==⨯+⨯=，11111723323P X，()11110224P X ==⨯=， 所以X 的分布列为：∴()11111119024571036996343E X =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=. 21．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>与双曲线22123x y -=有相同的焦点；且C 的一条渐近线与直线220x y 平行. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 与双曲线C 右支相切（切点不为右顶点），且l 分别交双曲线C 的两条渐近线于,A B 两点，O 为坐标原点，试判断AOB 的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.【答案】(1)2214x y -=(2)是，2【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ，即可得方程；（2）设直线:l y kx m =+，联立方程由Δ0=可得2214k m -=-，根据题意求,A B 的坐标，即可求AOB 的面积，化简整理即可. 【详解】（1）设双曲线C 的焦距为()20c c >，由题意可得：22212c c a b b a ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩，则21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，则双曲线C 的方程为2214x y -=.（2）由于直线l 与双曲线C 右支相切（切点不为右顶点），则直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y kx m =+，则2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y 得：()222418440k x kmx m -+++=， 则()()2222Δ64441440k m k m =--+=，可得：2214k m -=-①设l 与x 轴交点为,0m D k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则11222OAB AOD BOD A B A BA B m mS S S OD y y k x x x x k --=+=⨯-=⋅⋅-=⋅-△△△， ∵双曲线两条渐近线方程为：12y x =±，联立12y kx m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得21212m x km y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，即2,1212m m A k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 同理可得：2,2121mm B k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，则22224422212122142AOB A B m m m m m m mm S x x k k k m ----=⋅-=⋅+=⋅=⋅=-+--△（定值）. 22．已知函数()2e sin x f x x ax =-．（e 是自然对数的底数） (1)若0a =，求()f x 的单调区间；(2)若06a <<，试讨论()f x 在(0,)π上的零点个数．（参考数据：2e 4.8π≈） 【答案】(1)单调递增区间为32,2()44k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，单调递减区间为372,2()44k k k ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭Z (2)答案见解析【分析】（1）求出导函数()f x '，令()0f x '>可得增区间，()0f x '<可得减区间；（2）利用导数判断()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又(0)2f a '=-，02f π⎛⎫'> ⎪⎝⎭，()0f π'<，从而分02a <和26a <<两种情况讨论，根据函数零点存在定理及函数()f x '的单调性，求出()f x 的单调区间，从而即可求解.【详解】（1）解：0a =，则()2e sin x f x x =，定义域为R ，()2e (sin cos )sin 4x xf x x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭， 由()0f x '>，解得sin 04x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，可得22()4k x k k ππππ<+<+∈Z ，解得322()44k x k k ππππ-<<+∈Z ， 由()0f x '<，解得sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，可得222()4k x k k πππππ+<+<+∈Z ，解得3722()44k x k k ππππ+<<+∈Z ， ()f x ∴的单调递增区间为32,2()44k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，单调递减区间为372,2()44k k k ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭Z ； （2）解：由已知()2e sin x f x x ax =-，()2e (sin cos )x f x x x a '∴=+-，令()()h x f x '=，则()4e cos x h x x '=．(0,)x π∈，∴当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，即()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．(0)2f a '=-，22e 02f a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()2e 0f a ππ'=--<．①当20a -时，即02a <时，(0)0f '， 0,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，∴当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,x x π∈时，()0f x '<， ()f x ∴在()00,x 上单调递增，()0,x π上单调递减．(0)0f =，()00f x ∴>，又()0f a ππ=-<，∴由函数零点存在性定理可得，此时()f x 在(0,)π上仅有一个零点； ②若26a <<时，(0)20f a =-<'，又()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，而22e 02f a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，10,2x π⎫⎛∴∃∈ ⎪⎝⎭，2,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=，()20f x '=，且当()10,x x ∈、()2,x x π∈时，()0f x '<；当()12,x x x ∈时，()0f x '>．()f x ∴在()10,x 和()2,x π上单调递减，在()12,x x 上单调递增．(0)0f =，()10∴<f x ，222e 2e 3022f a πππππ⎛⎫=->-> ⎪⎝⎭，()20f x ∴>，又()0f a ππ=-<，∴由零点存在性定理可得，()f x 在()12,x x 和()2,x π内各有一个零点，即此时()f x 在(0,)π上有两个零点．综上所述，当02a <时，()f x 在(0,)π上仅有一个零点；当26a <<时，()f x 在(0,)π上有两个零点． 【点睛】关键点点睛：本题（2）问的解题关键是根据函数零点存在定理及()f x '的单调性，求得函数()f x 的单调区间.。
