【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.3.1二倍角的三角函数课堂达标1 北师大版必修4

《3.2.1倍角公式》教学设计22.5= 22.53.2.1倍角公式学情分析：学生在前面第一章已经学习过同角三角函数关系式、诱导公式、三角函数等相关内容，已经掌握了一些公式并能对公式进行简单的应用.虽然学生的观察具有一定的目的性，系统性，但是全面性欠精确，逻辑思维能力尚属经验型，在学习过程中存在着一定的随意性和盲目性，于是我通过导学案上的层层设问，引导学生用正确的方式发现问题解决问题，培养逻辑推理能力和独立思考的能力.结合教材的内容和学生的年龄特点及认识水平，在本堂课的教学中，我指导学生采取多质疑、自主学习、合作探究的方法进行学习.充分尊重学生自主选择学习内容、学习伙伴、学习方式的权利；充分发挥学生的积极性和主动性，让学生通过自主学习，理解倍角公式，并在自学实践中逐步提高解决问题的能力.3.2.1倍角公式效果分析：新课程提倡自主、合作、探究的学习方式,课堂教学是学生学习科学文化知识的主阵地,也是对学生进行思想品德教育的主渠道. 教师应着力构建自主的课堂，让学生在生动、活泼的状态中高效率地学习.我觉得这节课还是非常成功的，通过小组合作探究，使学生清晰的认识到倍角公式的发生、发展的过程.在问题的探究过程中，让学生进一步加深了对倍角公式的认识，并强化了学生分析问题的能力，同时也加强了学生合作交流的意识.总的来说，本节课达到了预期的目标.1、课前预习效果学生通过对导学案的充分学习，让学生能够在自己的认知基础上，通过对基础的把握，和自身思维的发挥，让学生发现问题，推广结论，让学生成为课堂学习的主题，老师只是作为引入的桥梁.2、课堂学习效果检测大部分学生掌握的不错，有个别同学计算能力差，做题速度要慢些，需要课下再加强练习.学生对学习始终表现出浓厚的兴趣，极大的热情，这正是新课标提倡的建立“自主、合作、探究的学习方式”的前提.在课堂教学中，我始终引导学生去感受，去发现.然后根据相关知识对学案中的练习题进行求解.总之，课堂教学是教师与学生的双边活动. 要提高中学数学课堂教学质量，必须以学生为本，凭借数学思维性强、 灵活性强、 运用性强的特点，精心设计，给学生一些机会，让他自己去体会; 给学生一点困难,让他自己去解决;给学生一个问题,让他自己找答案;给学生一种条件,让他 自己去锻炼; 给学生一片空间，让他自己去开拓. 注重学生优秀思维品质的培养，变被动为主动，变学会为会学,这样就一定能达到传授知识,培养能力的目的,收到事半功倍的效果.3.2.1倍角公式教材分析：教材的地位和作用：二倍角的正弦、余弦、正切是学生在已经学习了两角和、差的正、余弦和正切的公式的基础上的进一步延伸，推导出倍角公式，是三角函数的重要公式 ，应用这组公式也是本章的重点内容。

高中数学 3.2 二倍角的三角函数教材梳理素材 苏教版必修4知识·巧学 1.二倍角公式在两角和三角公式中，令α=β就可以得到下面的结论： sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos 2α-sin 2α, tan2α=αα2tan 1tan 2-,由于sin 2α+cos 2α=1，所以公式cos2α=cos 2α-sin 2α还可以变形为cos2α=2cos 2α-1,cos2α=1-2sin 2α.上面的几个等式称为倍角公式.倍角公式是和角公式的特例.记忆要诀 在两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式的推导的基础上进行记忆. 深化升华 倍角公式的推导，是化一般为特殊的化归思想的具体运用. 对于倍角公式应注意以下几点： (1)在二倍角的正、余弦公式中，角α的取值范围可以是全体实数，在二倍角的正切公式中，α≠2πk +4π,α≠kπ+2π(k ∈Z ).特别地，当α=2π+kπ(k∈Z )时，显然tanα的值不存在，但tan 2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(2π+kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0.公式中的角可以是具体的数，也可以是字母和代数式.(2)二倍角只是一个相对的概念，如：4α是8α的倍角，α±β是2βα±的倍角，在公式中角α可以是数、字母或代数式,是一个不可分割的整体.在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例sin 3α=2sin 6αcos 6α，cos3α=cos26α-sin26α=2cos26α-1=1-2sin 26α；sin3α·cos3α=21(2sin3αcos3α)=21sin6α；cos 22α-sin 22α=cos4α；21sin 63αcos 63α=41sin3α；tan3x=23tan123tan22x x -；︒-︒35tan 135tan 22=tan70°等.应熟悉倍角公式的结构特点，加强训练.(3)二倍角公式的几种变形形式：(sinα±cosα)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos 2α；1-cos2α=2sin 2α；cos 2α=22cos 1α+；sin 2α=22cos 1α-. 其中升幂换半角公式是1+cosα=2cos 22α，1-cosα=2sin 22α，利用该公式能消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；降幂换倍角公式是cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式. 深化升华 由二倍角公式及同角三角函数的基本关系式，可得sin2α=αα2tan 1tan 2+、cos2α=αα22tan 1tan 1+-，利用这两个公式我们可以用单角的正切表示二倍角的三角函数. 2.二倍角公式的应用利用倍角公式可以求值、证明三角恒等式和化简三角函数式.在运用公式时，要注意审查公式成立的条件，要做到三会：会正用；会逆用；会变形应用.公式的正用是常见的，但逆用和变形使用往往容易被忽视，而公式的逆用和变形使用更能开拓思路.只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才真正掌握了公式的应用.学法一得 运用二倍角公式的先决条件是认识它的本质，要善于避开表面的东西，正确捕捉公式的原形，更好地运用公式. 典题·热题知识点1 二倍角公式 例1 已知sinα=135,α∈(2π,π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值. 思路分析：本题是倍角公式、同角三角函数基本关系的应用及已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法.思路一：可根据已知条件求出cosα，再利用倍角公式求出sin2α，cos2α，进而利用同角三角函数基本关系求出tan2α.此外，也可以求出tanα的值利用倍角公式求tan2α.思路二：也可以只求出sin2α，cos2α，tan2α中的一个,其余的利用同角三角函数基本关系求解.解：方法一∵sinα=135,α∈(2π,π), ∴cosα=-α2sin 1-=-1312.∴sin2α=2sinαcosα=-169120,cos2α=1-2sin 2α=169119,tan2α=-119120. 方法二∵sinα=135,∴cos2α=1-2sin 2α=169119.又∵α∈(2π,π)，∴2α∈(π,2π).∴sin2α=-α2cos 12-=-169120，tan2α=-119120.方法归纳 在三角部分经常用到“凑公式”的方法解题，但要注意已知条件和所求式子中角之间的关系.当已知一个三角函数值而求其他的三角函数值时，一定要注意角的范围，若角的范围没给，这就需要分类讨论. 例2 求证：θθθtan 24cos 4sin 1-+=θθθ2tan 14cos 4sin 1-++.思路分析：可将等式进行等价变形，再利用倍角公式进行证明.证明：原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 44cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+=tan2θ, 左边=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=++-+ =tan2θ=右边.方法归纳 在三角恒等式的证明中，如果原等式不易证明时，可将等式进行适当的等价变形，转化为较易证明的等式. 例3 若23π＜x ＜2π，化简x 2cos 21212121++. 思路分析：本题的关键是将根号下的式子化为完全平方式以便于去掉根号.根据本题的式子特点，可重复利用二倍角余弦公式的变形. 解：由于23π＜x ＜2π，则43π＜2x ＜π. 所以原式=2cos 2cos cos 212122cos 121212xx x x -==+=++. 方法归纳 解答这类题，在实施脱根号的过程中要注意对符号的选取.深化升华 对于三角函数式的化简，要明确化简的目标和标准.化简的最后结果，三角函数的个数应最少，次数应尽可能地低，能化为常数的一定要化为常数，能不用分式就尽可能地不用分式.例4 求sin6°cos24°sin78°cos48°的值.思路分析：将78°的正弦值化为12°的余弦值，重复利用二倍角公式化简求值. 解：由于sin78°=cos12°，所以原式=sin6°cos12°cos24°cos48°=︒︒︒︒︒︒6cos 48cos 24cos 12cos 6cos 6sin=21·︒︒︒︒︒6cos 48cos 24cos 12cos 12sin =41·︒︒︒︒6cos 48cos 24cos 24sin =161·︒︒6cos 96sin =161. 方法归纳 形如cos αcos2αcos4α…cos2n-1α(n ∈N 且n ＞1)或能够化为cos αcos2αcos4α…cos2n-1α(n ∈N 且n ＞1)的三角函数式，由于它们的角是2倍关系，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简. 例5 求(tan10°-3)sin40°的值.思路分析：利用切割化弦，再逆用差角公式和倍角公式. 解法一：(tan10°-3)sin40°=(︒︒-︒10cos 10cos 310sin )sin40°=︒︒-=︒︒︒-=︒︒︒︒-︒︒10cos 80sin 10cos 40sin 50sin 210cos 40sin )60sin 10cos 60cos 10(sin 2=-1.解法二：(tan10°-3)sin40°=(tan10°-tan60°)sin40°=(︒︒-︒︒60cos 60sin 10cos 10sin )sin40°=︒︒︒︒-︒︒60cos 10cos 60sin 10cos 60cos 10sin ·sin40° =︒︒-=︒︒︒-10cos 80sin 10cos 2140sin 50sin =-1. 方法归纳 (1)根据本题的特点，采用切割化弦是解答本题的关键一步，它为逆用差角公式和倍角公式铺平了道路.(2)在三角函数式的化简或求值的过程中，还要注意利用和、差的三角函数公式，它可将三角函数式化为一个角的三角函数式，为化简或求值提供方便. 例6 已知tanα=71，tanβ=31，α、β均为锐角，求α+2β的值. 思路分析：根据已知条件选择正切函数，先求出α+2β的正切值，再根据题设条件求出α+2β的范围，并使正切函数在此范围内只有一个值，然后即可求α+2β的值.解：∵tanα=71，tanβ=31，α、β均为锐角， ∴0＜α,β＜4π.∴0＜α+2β＜43π.又∵tan2β=ββ2tan 1tan 2-=43，∴tan(α+2β)=βαβα2tan tan 12tan tan -+=437114371⨯-+=1.∴α+2β=4π. 方法归纳 在给值求角时，一般是选择一个适当的三角函数，根据题设确定角的范围，利用三角函数的值求出角的大小，其中确定角的范围是一个关键，一定要使角在此范围内和三角函数值是一一对应的.此外也可根据角的范围来选择三角函数的名称. 问题·探究 交流讨论探究问题 是否存在三个内角都适合方程cos2x+2sinxsin2x=2cosx 的三角形？ 探究过程：师：这是一个探索性问题，解决这类题时可先假设结论存在，然后再利用所学知识进行推理，探求结论.如果能求出，则结论存在，否则不存在.对于这个问题考查的知识是什么？ 学生甲：由于所给的等式中既有单角又有倍角，则用到了二倍角公式.处理这个问题可先从已知条件cos2x+2sinxsin2x=2cosx 入手，将二倍角的正弦展开建立关于x 的三角方程，再结合三角形三个内角和是π这一性质即可. 师：处理这个问题的具体操作步骤是怎样的？学生乙：我知道，显然方程可化为cos2x+4sin 2xcosx=2cosx, 即cos2x(2cosx-1)=0，解得cos2x=0或cosx=21. 但接下来怎样求x 的值我还不清楚.学生丙：可以三角形这一前提条件，在这一前提下可得x 的取值只能是4π，43π，3π.而在这些值中只有3π+3π+3π=π，所以存在三个内角都适合cos2x+2sinxsin2x=2cosx 的三角形，它是一个正三角形.探究结论:存在，它是一个正三角形. 思维陷阱探究问题 在处理问题“已知cos(x+4π)=53,2π≤x＜23π,求cos(2x+4π)的值”时，一个同学给出了下面的解题过程： 因为cos(x+4π)=53，所以cos(2x+4π)=2cos 2(2x+4π)-1=2×259-1=-257.上述解法是否正确？探究过程:二倍角只是一个相对的概念，在公式中角α可以是数、字母或代数式，是一个不可分割的整体.在上面的解题过程中以为2x 是x 的二倍，则2x+4π也是x+4π的两倍了，说明片面地理解了二倍角的概念.而事实上x+4π的二倍应是2x+2π. 探究结论:上面的解法不正确，正确的解法如下： cos(2x+4π)=cos2xcos 4π-sin2xsin 4π=22(cos2x-sin2x). 因为2π≤x＜2π,则43π≤x+4π＜47π,又cos(x+4π)=53＞0，则sin(x+4π)=-54,则cos2x=sin(2x+2π)=2sin(x+4π)cos(x+4π)=-2524， sin2x=-cos(2x+2π)=2cos 2(x+4π)-1=257,所以cos(2x+4π)=22(cos2x-sin2x)=-50231.。

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第5课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式第四章 (对应学生用书(文)、(理)49～50页)1. (必修4P 105例1改编)已知sin α＝－45，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则sin2α＝__________．答案：－2425解析：∵ sin α＝－45，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴ α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝35.∴ sin2α＝2sin αcos α＝－2425.2. (必修4P 108习题3.2第5(2)题改编)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝________．答案：－53解析：∵ sin α＋cos α＝33， ∴ (sin α＋cos α)2＝13，∴ 2sin αcos α＝－23，即sin2α＝－23.∵ α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0， ∴ 2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )，∴ 4k π＋π<2α<4k π＋32π(k ∈Z )，∴ 2α为第三象限角，∴ cos2α＝－1－sin 22α＝－53.3. (必修4P 108习题3.2第3题改编)若sin(π2＋θ)＝35，则cos2θ＝________．答案：－725解析：∵ sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，∴ cos θ＝35，∴ cos2θ＝2cos 2θ－1＝－725. 4. (必修4P 106练习第1(1)题改编)函数f(x)＝sinxcosx 的最小正周期是________． 答案：π解析：∵ f(x)＝sinxcosx ＝12sin2x ，∴ T ＝2π2＝π.5. (必修4P 108习题 3.2第5(3)题改编)若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α＝________．答案：－2sin α2解析：∵ 5π2≤α≤7π2，∴ 5π4≤α2≤7π4. ∴1＋sin α＋1－sin α＝1＋2sin α2cos α2＋1－2sin α2cos α2＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝－⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2－⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2＝－2sin α2.1. 二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan2α＝2tanα1－tan 2α．2. 降幂公式 sin 2α＝1－cos2α2；cos 2α＝1＋cos2α2；sin αcos α＝sin2α2．[备课札记]题型1 化简求值例1 计算：(tan10°－3)·sin40°. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin10°－3cos10°cos10°·sin40°＝2（sin10°cos60°－cos10°sin60°）sin40°cos10°＝－2sin50°sin40°cos10°＝－2sin40°cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.变式训练计算：sin50°(1＋3tan10°)． 解：原式＝sin50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin10°cos10°＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°＝2sin50°·sin30°cos10°＋cos30°sin10°cos10°＝2sin50°·sin40°cos10°＝2cos40°sin40°cos10°＝sin80°cos10°＝1.题型2 给值求值例2 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求：(1) tan2α的值； (2) sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值．解：(1) 因为tan α＝12，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝43. (2) 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α∈(0，π)．又tan2α>0，所以sin2α＝45，cos2α＝35.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin2αcos π3＋cos2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310.备选变式（教师专享）已知α＋β＝3π4，则cos 2α＋cos 2β＋2cos αcos β＝________．答案：12解析：原式＝1＋cos2α2＋1＋cos2β2＋2c osαcosβ＝1＋12(cos2α＋cos2β)＋2cos αcos β＝1＋cos(α＋β)cos(α－β)＋22[cos(α＋β)＋cos(α－β)] ＝1－22cos (α－β)＋22×⎝⎛⎭⎫－22＋22cos (α－β)＝12. 题型3 给值求角例3 已知α、β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．解：∵ tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴ 0<α<π2.∵ tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0， ∴ 0<2α<π2，∴ tan (2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵ tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴ 2α－β＝－3π4.备选变式（教师专享）已知θ是第三象限角，|cos θ|＝m ，且sin θ2＋cos θ2>0，求cos θ2.解：∵θ为第三象限角，|cosθ|＝m ， ∴θ2为第二或四象限角，cos θ＝－m.∵sin θ2＋cos θ2>0，∴θ2为第二象限角，∴cos θ2＝－1＋cosθ2＝－1－m2. 题型4 二倍角公式的应用例4 (2013·盐城二模)已知函数f(x)＝4sinxcos(x ＋π3)＋ 3.(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值．解：(1) f(x)＝4sinx(cosxcos π3－sinxsin π3)＋3＝2sinxcosx －23sin 2x ＋3＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.所以T ＝2π2＝π.(2) 因为－π4≤x ≤π6，所以－π6≤2x ＋π3≤2π3，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，所以－1≤f(x)≤2，当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f(x)min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f(x)max ＝2.备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝－2sin 2x ＋23sinxcosx ＋1. (1) 求f(x)的最小正周期及对称中心；(2) 若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，求f(x)的最大值和最小值．[审题视点] 逆用二倍角公式，化为正弦型函数再求解．解：(1) f(x)＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.令sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0，则x ＝k π2－π12(k ∈Z )，所以f(x)的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z )．(2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以－1≤f(x)≤2.所以当x ＝－π6时，f(x)的最小值为－1；当x ＝π6时，f(x)的最大值为2.1. (2013·四川)设sin2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan2α＝________． 答案：3解析：由sin2α＝－sin α，得2sin αcos α＝－sin α. 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12， 进而sin α＝32，于是tan α＝－3， ∴ tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×（－3）1－3＝ 3.2. 已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(3，－4)，若a ∥b ，则tan2θ＝__________． 答案：－247解析：∵ a ∥b ，∴ －4sin θ－3cos θ＝0，∴ tan θ＝－34，从而tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247. 3. 设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin (2α＋π12)＝__________．答案：17250解析：设α＋π6＝θ，cos θ＝45，sin θ＝35，sin2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos2θ＝2cos 2θ－1＝725，sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝sin2θ·cos π4－cos2θ·sin π4＝17250.4. (2013·贵州)已知sin2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．答案：16解析：因为sin2α＝23，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12×⎣⎡⎦⎤1＋cos2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12(1－sin2α)＝16.1. 已知sinθ＋cosθ＝15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ＝________．答案：－725解析：将sinθ＋cosθ＝15两边平方，得sinθcosθ＝－1225，所以(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝4925，则sinθ－cosθ＝±75.又π2≤θ≤3π4， 所以cosθ＜0，sin θ＞0，所以sinθ－cosθ＝75，故cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ)＝－725.2. 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝________． 答案：－79解析：由sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13，得cos2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝79，即cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝79， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π－⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝－79. 3. 若cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，1712π＜x ＜74π，求sin2x ＋2sin 2x 1－tanx 的值． 解：由1712π＜x ＜74π，得53π＜x ＋π4＜2π.又cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45. cosx ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4＝－210， 从而sinx ＝－7210，tanx ＝7.故原式＝2sinxcosx ＋2sin 2x1－tanx＝2⎝⎛⎭⎫－7210·⎝⎛⎭⎫－210＋2⎝⎛⎭⎫－721021－7＝－2875.4. 已知函数f(x)＝sin 2ωx ＋3sin ωxsin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2(ω＞0)的最小正周期为π2.(1) 写出函数f(x)的单调递增区间；(2) 求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的取值范围．解：(1) f(x)＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋12.因为T ＝π2，所以2π2ω＝π2(ω＞0)，所以ω＝2，f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6＋12.于是由2k π－π2≤4x －π6≤2k π＋π2，解得k π2－π12≤x ≤k π2＋π6(k ∈Z )．所以f(x)的增区间为⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋π6(k ∈Z )．(2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以4x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以f(x)∈⎣⎡⎦⎤0，32. 故f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，32.1. 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1) 先化简所求式子；(2) 观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3) 将已知条件代入所求式子，化简求值．2. 应用倍角公式，一是要选择合适的公式，二是要注意正用和逆用．3. 降幂公式是解决含有cos 2x 、sin 2x 式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧．请使用课时训练(B)第5课时(见活页)．[备课札记]。

3.3 二倍角的三角函数一、复习回首： 1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：2、提出问题：公式中假如，公式会变得怎样？二、学生演板：sin 2 2 sin cos cos2cos2sin 2 2 cos2 1 1 2 sin 2tan 22 tan1tan2这组公式有何特色？应注意些什么？三、公式剖析： 1．每个公式的特色，嘱记：特别是“倍角”的意义是相对的，如：是的48倍角 .2 ．熟习“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）3．特别注意公式的三角表达形式，且要擅长变形：cos21cos2,sin 21cos2这两个形式此后常用 .例 1. 求值：22①． sin2230’cos2230’=1sin 452 24②． 2 cos21cos4282③． sin 2cos28cos4282④．8 sin cos cos cos4sin cos cos2sin cossin162 484824122424121212例2.化简①． (sin 5cos5)(sin5cos5)sin 25cos25cos53 12121212121262②．cos42sin 4(cos22sin 2)(cos2sin 2)cos 2222③．11 2 tan tan 2tan1tan1tan 21④． 1 2 cos2cos212cos2 2 cos212例 3、已知sin 5 ,(,) ，求sin2， cos2， tan2的值。

132解：∵ sin5 , (, )∴ cos1 sin 212 132120 13∴ sin2= 2sincos=169cos2=1 2 sin 2119120169tan2=1191 例 4.cos20 cos40 cos80 = sin 20 cos 20 cos 40 cos80sin 40 cos 40 cos802sin 20sin 201 1sin 1604sin 80 cos8018sin 20sin 208例 5. 求函数 y cos 2xcos xsin x 的值域 .解： y1 cos 2x 1 sin 2x2sin( 2x4) 1 ————降次2222四、公式变形：sin21cos ,cos 21cos , tan 2 2 1 cos 22221 cos[ 展现投影 ] 这组公式有何特色？应注意些什么？7 ，求 sin, cos , tan 的值 .例 6. 已知 cos252 22例 7. 已知 sin4 ，( ,3) ，求 sin, cos , tan 的值 .522 22五、稳固小结 ：1．公式的特色要嘱记：特别是“倍角”的意义是相对的，如：是 的倍角 .482．熟习“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次） .3．特别注意公式的三角表达形式，且要擅长变形：cos 21 cos2 ,sin 21 cos2这两个形式此后常用 .224. 半角公式左侧是平方形式，只需知道角终边所在象限，就能够开平方；公式的“实质”2是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切 .25．注意公式的构造，特别是符号 .六、评论设计七、课后反省：。

格一课堂教学方案章节：课时： 2 备课人：二次备课人：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

高一数学下学期第三章《二倍角的三角函数》知识点梳理知识积存的越多，把握的就会越熟练，查字典数学网为大伙儿编辑了精选二倍角的三角函数知识点梳理，期望对大伙儿有关心。

注: ⑴对与以上高中数学三角函数公式我们务必要明白其推导思路，从而清晰地“看出”三角函数之间的联系，了解三角函数公式的变化形式.如那个三角函数公式等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做预备.⑶三角函数恒等变形的差不多策略。

①常值代换：这中方法是三角函数公式中差不多的专门是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

②项的分拆与角的配凑。

也是三角函数公式解题比较常见的一种方法如分拆项：还有一种使用三角函数公式的解题策略确实是:配凑角(常用角变换):等.③降次与升次。

即三角函数中倍角公式降次与半角公式升次。

④化弦(切)法。

将三角函数利用同角三角函数差不多关系化成弦(切)。

⑤引入辅助角。

三角函数会经常看到如此的公式asinθ+bcosθ=sin(θ+)，那个地点辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。

让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。

如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。

事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。

不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。

高中三角函数公式大全三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB-1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB1tanB tanA +- cot(A+B) =cotAcotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =Atan 12tanA 2- Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=AA cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a -cosa+cosb = 2cos2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2b a - tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式sin(-a) = -sinacos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sina sin(π-a) = sinacos(π-a) = -cosasin(π+a) = -sinacos(π+a) = -cosa tgA=tanA =aa cos sin 万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +-tana=2)2(tan 12tan2a a- 其它公式 a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] a•sin(a)-b•cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=ba ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2 其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec(a) =acos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α）= tanαcot （2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinαcos （π＋α）= -cosαtan （π＋α）= tanαcot （π＋α）= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （-α）= -sinαcos （-α）= cosαtan （-α）= -tanαcot （-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinαcos （π-α）= -cosαtan （π-α）= -tanαcot （π-α）= -co tα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinαcos （2π-α）= cosαtan （2π-α）= -tanαcot （2π-α）= -cotα公式六：2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanα sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα tan （2π-α）= cotα cot （2π-α）= tanα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα tan （23π+α）= -cotα cot （23π+α）= -tanα sin （23π-α）= -cosαcos （23π-α）= -sinα tan （23π-α）= cotα cot （23π-α）= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin)cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）2009-07-08 16:13公式表达式乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h-----------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1) tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。

3.3 二倍角的三角函数一、课题引入：cos 22cos αα=吗？请说明理由二、引入新课2222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin αααααααα==-=-=-ααα2tan 1tan 22tan -= 这组公式有何特点？应注意些什么？三、公式分析：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：4α是8α的倍角.2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用. 例1.求值：①．sin22︒30’cos22︒30’=4245sin 21= ②．=-π18cos 22224cos =π ③．=π-π8cos 8sin 22224cos -=π- ④．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin 8216sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例2.化简 ①．=π-ππ+π)125cos 125)(sin 125cos 125(sin 2365cos 125cos 125sin 22=π-=π-π ②．=α-α2sin 2cos 44α=α-αα+αcos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 ③．=α+-α-tan 11tan 11α=α-α2tan tan 1tan 22 ④．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+例3、已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。

解：∵),2(,135sin ππ∈α=α ∴1312sin 1cos 2-=α--=α ∴sin2α = 2sin αcos α = 169120- cos2α = 169119sin 212=α- tan2α = 119120- 例4. cos20︒cos40︒cos80︒ =20sin 80cos 40cos 20cos 20sin20sin 80cos 40cos 40sin 21= 8120sin 160sin 8120sin 80cos 80sin 41=== 例5.求函数x x x y sin cos cos 2+=的值域.解：21)42sin(222sin 2122cos 1+π+=++=x x x y ————降次 四、公式变形：α+α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？例6.已知cos 257=α，求2tan ,2cos ,2sin ααα的值.例7.已知sin 54-=α，)23,(ππα∈，求2tan ,2cos ,2sin ααα的值. 五、巩固小结：1．公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：4α是8α的倍角. 2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）.3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用. 4.半角公式左边是平方形式，只要知道2α角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本质”是用α角的余弦表示2α角的正弦、余弦、正切. 5．注意公式的结构，尤其是符号.六、评价设计七、课后反思：。