第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件【高考会这样考】1．考查四种命题的意义及相互关系．2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解．3．考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题．【复习指导】复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判定．基础梳理1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若綈p，则綈q逆否命题若綈q，则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．一个区别否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假．三种方法充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．(2)等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．双基自测1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．解析①由2＞－3⇒/ 22＞(－3)2知，该命题为假；②a2＞b2⇒|a|2＞|b|2⇒|a|＞|b|，该命题为真；③a＞b⇒a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c⇒a＞b；∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．答案②③2．(2011·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()．\A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b解析“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．答案 D3．(2011·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y ＝f(x)是奇函数”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.答案 B4．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()．A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.答案 D5．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为.答案若a≤b，则有2a≤2b－1考向一命题正误的判断【例1】►(2011·海南三亚)设集合A、B，有下列四个命题：①A⃘B⇔对任意x∈A都有x∉B；②A⃘B⇔A∩B＝∅；③A⃘B⇔B⃘A；④A⃘B⇔存在x∈A，使得x∉B.其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)．[审题视点] 对于假命题，举出恰当的反例是一难点．解析①不正确，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，有A⃘B但2∈A且2∈B.②不正确，如A＝{1,2}，B＝{2,3}，有A⃘B而A∩B＝{2}．③不正确，如A＝{1,2}，B＝{2}，有A⃘B但B⊆A.④正确．答案④正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．【训练1】给出如下三个命题：①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；②设a，b∈R，且ab≠0，若ab＜1，则ba＞1；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中不正确命题的序号是()．A．①②③B．①②C．②③D．①③解析对于①，可举反例：如a，b，c，d依次取值为1,4,2,8，故①错；对于②，可举反例：如a、b异号，虽然ab＜1，但ba＜0，故②错；对于③，y＝f(|x|)＝log2|x|，显然为偶函数，故选B.答案 B考向二四种命题的真假判断【例2】►已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()．A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题[审题视点] 分清命题的条件和结论，理解四种命题间的关系是解题关键．解析f′(x)＝e x－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≤e x在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确，反之若m≤1，则f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D. 答案 D判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．【训练2】已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，如果f(x)、g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析由f(x)、g(x)均为奇函数，可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x)＝x2是偶函数，但函数f(x)＝x2e x，g(x)＝ex都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确．答案 C考向三充要条件的判断【例3】►指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[审题视点] 结合充分条件，必要条件的定义判断所给命题间的关系．解(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条件．(2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，显然綈q⇒綈p，但綈p⇒/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件．(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但q⇒/ p，故p是q的充分不必要条件．判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．【训练3】(2010·山东)设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析a1＜a2且a1＞0，则a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，则数列{a n}递增；反之亦然．答案：C难点突破2——高考中充要条件的求解从近几年课改区高考试题可以看出，高考主要以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查，一般难度不大，属中档题，常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查．考查形式主要有两种：一是判断指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件．判断充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题虽然属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分．一、充要条件与不等式的解题策略【示例】►(2011·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、充要条件与方程结合的解题策略【示例】►(2011·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.三、充要条件与数列结合的解题策略【示例】►(2010·山东)设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件四、充要条件与向量结合的解题策略【示例】►(2010·福建)若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件五、充要条件与三角函数结合的解题策略【示例】► (2010·上海)“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的()． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件。

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【最新考纲】1•理解命题的概念，了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2. 理解充分条件、必要条件与充要条件的含义..夯实双基I©|基础梳理用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题, 其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2. 四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系⑵四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3. 充分条件与必要条件(1) 如果p? q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2) 如果p? q,那么p与q互为充要条件.(3) 如果p? / q,且q ? / p,则p是q的既不充分也不必要条件.4. 集合与充要条件设集合A = {x|x满足条件p}, B= {x|x满足条件q}，则有(1)若A? B,则p是q的充分条件，若A B,则p是q的充分不必要条件.⑵若B? A，则p是q的必要条件，若 B —A，则p是q的必要不充分条件.(3) 若A = B,则p是q的充要条件；(4) 若A B,且B A，则p是q的既不充分也不必要条件.©I学情自测1. (质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“"”，错误的打“X” )(1)语句x2—3x+ 2= 0是命题.()⑵命题“若P,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( )(3) 命题“如果p不成立，则q不成立”等价于“如果q成立，则p成立”.()(4) “ p是q的充分不必要条件”与“ p的充分不必要条件是q”表达的意义相同.()解析：(1)变量x没有赋值，无法判断语句的真假，故不是命题.(2)若“p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”.(3)—个命题与其逆否命题同真假.(4)p是q的充分不必要条件是指p? q且q? / p; p的充分不必要条件是q，是指q? p且p? / q,因此它们表达的意义不同.答案：⑴x (2)x (3)V (4)xn2 .命题“若a= ~4，则tan a = 1”的逆否命题是()nA.若讣~4，贝y tan aM 1nB. 若a= ~4，贝S tan a M 1nC. 若tan a M 1，贝y aM 4D .若tan a M 1，则a=n解析：命题的条件是p：a= 4，结论是q：tan a=1•由命题的四种形式，可知命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p” ，n显然綈q：tan aM，綈p：a 4，所以该命题的逆否命题是“若tan naM，贝卩aM 4”.答案：C3. (2015 重庆卷)“x= 1” 是“ x2—2x+1 = 0” 的()A. 充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件解析：求出方程x2—2x+1 = 0的实数根后再作判断.因为x2—2x+ 1 = 0有两个相等的实数根，为x= 1,所以“x= 1” 是“x2—2x+1 = 0”的充要条件.答案：A4. 命题“若a>—3,则a> —6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a >—6,则a> —3”是假命题，从而其否命题也是假命题.所以假命题的个数为2个.答案：B5. （2014 •东卷）在厶ABC中，角A, B, C所对应的边分别为a, b, c,贝卩“ a< b” 是“ sin A< sin B” 的（）A .充分必要条件B.充分非必要条件C .必要非充分条件D .非充分非必要条件a b解析：由正弦定理孟=為 =2R（R为三角形外接圆半径）得，a= 2Rsin A, b = 2Rsin B,故a< b? 2Rsin A< 2Rsin B? sin A< sin B.答案：A■…［名师微博•通法领悟”…一个区别“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论；“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论.在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别.两条规律1. 逆命题与否命题互为逆否命题；2. 互为逆否命题的两个命题同真假.三种方法充分条件、必要条件的判断方法1. 定义法：直接判断“若p,则q”、“若q,则p”的真假.并注意和图示相结合，例如“ p? q”为真，则p是q的充分条件.2. 等价法：利用p? q与綈q?綈p, q? p与綈p?綈q, p? q 与綈q?綈p的等价关系.对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.3. 集合法：设集合A= {x|x满足p}, B = {x|x满足q},若A? B, 则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A= B,则p是q的充要条件.分展集训丨軍扯瓶甘谜扁刮邈■高效提能I一、选择题1.（2015安徽卷）设p：x v 3,q：—1v x v3,则p是q成立的（）A .充分必要条件B. 充分不必要条件C .必要不充分条件D.既不充分也不必要条件P11——o ------------------------------- ►■10 3 X 解析：将p, q对应的集合在数轴上表示出来如图所示，易知，当p 成立时，q不一定成立；当q成立时，p 一定成立，故p是q成立的必要不充分条件.答案：C2. （2015 山东卷）设m€ R，命题“若m>0,则方程x2+ x—m = 0有实根”的逆否命题是（）A .若方程x2+ x—m= 0有实根，则m>0B.若方程x2+ x—m= 0有实根，则m<0C .若方程x2+ x—m= 0没有实根，则m>0D .若方程x2+ x—m= 0没有实根，则m< 0解析：根据逆否命题的定义，命题“若m>0,则方程x2+ x—m =0有实根”的逆否命题是“若方程x2+ x—m= 0没有实根，则m< 0”.答案：D3. 已知条件p：x w 1条件q：x2—x>0,则p是綈q成立的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：由x2—x> 0得x v 0或x> 1,所以綈q：0< x< 1,由{x|0< x< 1} {x|x< 1}知，p是綈q的必要不充分条件.答案：B4. 已知集合A = {1, m2+1}, B={2, 4},贝S “ m = .3” 是“ A A B={4} ”的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：A A B = {4}? m2+ 1 = 4? m= ± 3,故“m = 3”是“ A A B= {4}”的充分不必要条件.答案：A5. 已知p：x> k, q：(x+ 1)(2 —x)v 0,如果p是q的充分不必要条件，贝S k的取值范围是()A. [2,+x )B. (2,+x )C. [1 ,+x )D. ( — x,—1]解析：由q：(x+1)(2 —x)v0,得x v — 1 或x>2,又p是q的充分不必要条件，所以k>2,即实数k的取值范围是(2,+工).答案：B6. (2015 陕西卷)“ sin a = COS a ”是“ cos2a = 0” 的()A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析：先将COS2 a=0等价转化，再利用充分条件、必要条件的定义进行判断.cos2a=0 等价于CoS a-sin2a=0,即COS a=^sin a由COS a = sin a可得到COS2 a=0，反之不成立.答案：A二、填空题7. 已知a, b, c都是实数，则在命题“若a>b,则ac2>bc2” 与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是■解析：由a>b? / ac2>bc2,但ac2>bc2? a>b,故原命题是假命题，逆命题是真命题，从而逆否命题是假命题，否命题是真命题.答案：218. “ m v4”是“一元二次方程x2+ x+ m= 0有实数解”的_______ 件.解析：x2+ x+ m= 0有实数解等价于△= 1 —4m > 0,1 11即m<4,因为m v4? m<反之不成立.故“m v；”是“一元二次方程x2+ x + m = 0有实数解”的充分不必要条件.答案：充分不必要9.已知集合A = {x|y= lg(4—x),集合B= {x|x v a},若“ x€ A”是“x€ B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 _________ .解析：A = {x|x v4},由题意知A工B，所以a>4.答案：(4,+x )三、解答题10 .已知函数f(x)是(一)上的增函数，a, b€ R，对命题“若 a + b》0,则f(a) + f(b)》f( —a) + f(—b)".写出否命题，判断其真假，并证明你的结论.解：否命题：已知函数f(x)在(一 = ,+ = )上是增函数，a, b取, 若a+ b v 0,贝S f(a) + f(b)v f( —a) + f( —b).该命题是真命题，证明如下：*«a + b v0,「a v —b, b v —a.又•/f(x)在(— x,+c)上是增函数.••f(a) v f(—b), f(b) v f(—a),因此f(a) + f(b) v f(—a)+ f( —b),f •否命题为真命题.11 .若x v m—1或x>m+ 1是x2—2x—3>0的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解：由已知易得{x|x2—2x—3>0}「{x|x v m—1 或x>m+ 1}, 又{x|x2—2x—3>0}= {x|x v —1 或x>3},—1< m—1 —1v m—1•••或，・g m< 2.m+ 1 v 3 m+ 1 < 3故实数m的取值范围是[0, 2].。

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件一、知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．常用结论1．充要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．2．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于1．(选修1-1P8A组T2改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是() A．“若x<y，则x2<y2”B．“若x>y，则x2>y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”解析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C.2．(选修1-1P10练习T3(2)改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区(1)不明确命题的条件与结论；(2)对充分必要条件判断错误；(3)含有大前提的命题的否命题易出错．1．命题“若△ABC有一内角为π3，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题()A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．2．已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：綈p：a≥0；綈q：a2≤a，即0≤a≤1，故綈p是綈q的必要不充分条件．答案：必要不充分3．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是____________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0.四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)(2020·长春质量检测(二))命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1【解析】命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D.【答案】 D(1)判断命题真假的两种方法(2)由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：选D.“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.2．(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)有下列四个命题，其中真命题是()①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．A．①②B．①②③④C．②③④D．①③④解析：选B.①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”，该命题为真命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直(b－c)”，由a·b≠a·c可得a(b－c)≠0，据此可知a不垂直(b－c)，该命题为真命题；③若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．综上可得，真命题是①②③④.故选B.充分条件、必要条件的判断(师生共研)(1)(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由x2－5x<0可得0<x<5，由|x－1|<1可得0<x<2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．(2)b＝0时，f(x)＝cos x，显然f(x)是偶函数，故“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋b sin(－x)＝cos x＋b sin x，又cos(－x)＝cos x，sin(－x)＝－sin x，所以cos x－b sin x＝cos x＋b sin x，则2b sin x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分必要条件，故选C.【答案】(1)B(2)C充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．1．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由A⊆C，B⊆∁U C，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁U C，如图所示，所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．2．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．3．已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q 的充分不必要条件．故选A.充分条件、必要条件的应用(典例迁移)已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m ≤x ≤1＋m }．若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围．【解】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}， 由p 是q 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎨⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，p 是q 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0，3]．【迁移探究1】 (变结论)若本例条件不变，问是否存在实数m ，使p 是q 的充要条件．解：若p 是q 的充要条件，则P ＝S ， 所以⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使p 是q 的充要条件．【迁移探究2】 (变结论)本例条件不变，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以p ⇒q 且q ⇒p .所以[－2，10][1－m ，1＋m ]． 所以⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10.所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解．(2)涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p ，綈q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系来求解．[注意] (1)注意对区间端点值的处理；(2)注意条件的等价变形．设p ：－m ＋12<x <m －12(m >0)；q ：x <12或x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为______．解析：因为p 是q 的充分不必要条件，又m >0，所以m －12≤12，所以0<m ≤2. 答案：(0，2]思想方法系列1 等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．已知条件p ：|x －4|≤6；条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)．若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则m 的取值范围为______．【解析】 条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤1＋m ，又綈p 是綈q的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件．故有⎩⎨⎧m >0，1－m ≥－21＋m ≤10，，所以0<m ≤3.【答案】 (0，3]本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．1．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C.法一：设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒/x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．2．(2020·宁夏银川一中模拟)王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选B.[基础题组练]1．已知命题p：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，则下列说法正确的是() A．命题p的逆命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”B．命题p的逆命题是“若x＜2ab，则x＜a2＋b2”C．命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x＜2ab”解析：选C.命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”，故C正确，D错误．2．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.a≠0⇒/ab≠0，但ab≠0⇒a≠0，因此p是q的必要不充分条件．3．已知a，b，c是实数，下列结论正确的是()A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件D．“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件解析：选C.对于A ，当a ＝－5，b ＝1时，满足a 2>b 2，但是a <b ，所以充分性不成立；对于B ，当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但是a 2<b 2，所以必要性不成立；对于C ，由ac 2>bc 2得c ≠0，则有a >b 成立，即充分性成立，故正确；对于D ，当a ＝－5，b ＝1时，|a |>|b |成立，但是a <b ，所以充分性不成立，当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但是|a |<|b |，所以必要性也不成立，故“|a |>|b |”是“a >b ”的既不充分也不必要条件．故选C.4．已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A ．①③B ．②C ．②③D ．①②③解析：选 A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．5．“(x ＋1)(y －2)＝0”是“x ＝－1且y ＝2”的________条件．解析：因为(x ＋1)(y －2)＝0，所以x ＝－1或y ＝2，所以(x ＋1)(y －2)＝0⇒/ x ＝－1且y ＝2，x ＝－1且y ＝2⇒(x ＋1)(y －2)＝0，所以是必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知命题p ：x ≤1，命题q ：1x <1，则綈p 是q 的______．解析：由题意，得綈p ：x >1，q ：x <0或x >1，故綈p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要条件7．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]8．已知命题p ：(x ＋3)(x －1)>0；命题q ：x >a 2－2a －2.若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：已知p ：(x ＋3)(x －1)>0，可知p ：x >1或x <－3，因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，得a 2－2a －2≥1，解得a ≤－1或a ≥3，即a ∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．[综合题组练]1．(创新型)(2020·抚州七校联考)A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．则下列四个命题中为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p 的逆否命题是若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.2．(2020·辽宁丹东质量测试(一))已知x ，y ∈R ，则“x ＋y ≤1”是“x ≤12且y ≤12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当“x ＋y ≤1”时，如x ＝－4，y ＝1，满足x ＋y ≤1，但不满足“x ≤12且y ≤12”．当“x ≤12且y ≤12”时，根据不等式的性质有“x ＋y ≤1”．故“x ＋y ≤1”是“x ≤12且y ≤12”的必要不充分条件．故选B.3．(2020·湖南雅礼中学3月月考)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4 ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a >3D ．a ≥3解析：选D.|x －1|<a ⇒－a <x －1<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，所以(0，4)⊆(1－a ，1＋a )，所以⎩⎨⎧1－a ≤0，1＋a ≥4⇒⎩⎨⎧a ≥1，a ≥3⇒a ≥3.故D 正确．4．下列命题中为真命题的序号是______．①若x ≠0，则x ＋1x ≥2；②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件； ④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．解析：当x <0时，x ＋1x ≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．答案：②④。

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且⇒/ pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3＜0”是命题．( )(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则﹁q”．( )(3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件．( )(5)q不是p的必要条件时,“p ⇒/q”成立．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√[教材衍化]1．(选修2－1P12A组T2改编)命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是________,是________命题(填“真”或“假”)解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”．答案：若x≤y,则x2≤y2假2．(选修2－1P12A组T3改编)设x∈R,则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________条件．解析：2－x≥0,则x≤2,(x－1)2≤1,则－1≤x－1≤1,即0≤x≤2,据此可知,“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．答案：必要不充分[易错纠偏](1)命题的条件与结论不明确；(2)对充分必要条件判断错误．1．命题“若a2＋b2＝0,a,b∈R,则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2＋b2≠02．条件p：x>a,条件q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________；(2)若p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是________．解析：设A＝{x|x>a},B＝{x|x≥2},(1)因为p是q的充分不必要条件,所以A B,所以a≥2；(2)因为p是q的必要不充分条件,所以B A,所以a<2.答案：(1)a≥2(2)a<2四种命题的相互关系及真假判断(1)(2020·浙江重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”,命题q：“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定(2)(2020·温州模拟)命题“若x2＋y2＝0,x,y∈R,则x＝y＝0”的逆否命题是( )A．若x≠y≠0,x,y∈R,则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0,x,y∈R,则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0,x,y∈R,则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2＋y2≠0【解析】 (1)命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数,则它的平方不等于0”,从而q 是p 的否命题,故选B.(2)将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可．由x ＝y ＝0知x ＝0且y ＝0,其否定是x≠0或y≠0. 【答案】 (1)B (2)D(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点 ①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写． ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性,一旦一个命题定为原命题,相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)判断命题真假的2种方法①直接判断：判断一个命题为真命题,要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题,只需举出一个反例即可．②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．1．命题“若a 2>b 2,则a>b”的否命题是( ) A ．若a 2>b 2,则a≤b B ．若a 2≤b 2,则a≤b C ．若a≤b ,则a 2>b 2D ．若a≤b ,则a 2≤b 2解析：选B.根据命题的否命题若“﹁p,则﹁q”知选B. 2．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1,则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y,则x ＞|y|”的逆命题 C ．命题“若x ＝1,则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x＞1,则x ＞1”的逆否命题解析：选B.对于A,命题“若x ＞1,则x 2＞1”的否命题为“若x≤1,则x 2≤1”,易知当x ＝－2时,x2＝4＞1,故为假命题；对于B,命题“若x ＞y,则x ＞|y|”的逆命题为“若x ＞|y|,则x ＞y”,分析可知为真命题；对于C,命题“若x ＝1,则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x≠1,则x 2＋x －2≠0”,易知当x ＝－2时,x2＋x －2＝0,故为假命题；对于D,命题“若1x ＞1,则x ＞1”的逆否命题为“若x≤1,则1x ≤1”,易知为假命题,故选B.充分条件、必要条件的判断(高频考点)充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点,常以选择题的形式出现,作为一个重要载体,考查的知识面很广,几乎涉及数学知识的各个方面．主要命题角度有：(1)判断指定条件与结论之间的关系； (2)与命题的真假性相交汇命题． 角度一 判断指定条件与结论之间的关系(1)(2019·高考浙江卷)设a>0,b>0,则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·高考浙江卷)已知平面α,直线m,n 满足m ⊄α,n ⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 (1)通解：因为a>0,b>0,所以a ＋b≥2ab,由a ＋b≤4可得2ab ≤4,解得ab≤4,所以充分性成立；当ab≤4时,取a ＝8,b ＝13,满足ab≤4,但a ＋b>4,所以必要性不成立,所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.优解：在同一坐标系内作出函数b ＝4－a,b ＝4a 的图象,如图,则不等式a ＋b≤4与ab≤4表示的平面区域分别是直线a ＋b ＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b ＝4a 及其左下方(第一象限中的部分),易知当a ＋b≤4成立时,ab ≤4成立,而当ab≤4成立时,a ＋b≤4不一定成立．故选A.(2)若m ⊄α,n ⊂α,m ∥n,由线面平行的判定定理知m ∥α.若m∥α,m ⊄α,n ⊂α,不一定推出m∥n ,直线m 与n 可能异面,故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.【答案】 (1)A (2)A角度二 与命题的真假性相交汇命题(2020·杭州模拟)下列有关命题的说法正确的是( ) A ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件 B ．p ：A∩B＝A ；q ：AB,则p 是q 的充分不必要条件C ．已知数列{a n },若p ：对于任意的n∈N *,点P n (n,a n )都在直线y ＝2x ＋1上；q ：{a n }为等差数列,则p 是q 的充要条件D ．“x<0”是“ln(1＋x)<0”的必要不充分条件【解析】 选项A ：当x ＝－1时,x 2－5x －6＝0,所以x ＝－1是x 2－5x －6＝0的充分条件,故A 错． 选项B ：因为A∩B＝A ⇒/AB(如A ＝B),而A B ⇒A ∩B ＝A,从而p ⇒/ q,q ⇒p,所以p 是q 的必要不充分条件,故B 错． 选项C ：因为P n (n,a n )在直线y ＝2x ＋1上． 所以a n ＝2n ＋1(n∈N *),则a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋1－(2n ＋1)＝2,又由n 的任意性可知数列{a n }是公差为2的等差数列,即p ⇒q.但反之则不成立,如：令a n ＝n,则{a n }为等差数列,但点(n,n)不在直线y ＝2x ＋1上,从而q ⇒/ p. 从而可知p 是q 的充分不必要条件,故C 错．选项D ：利用充分条件和必要条件的概念判断．因为ln(x ＋1)<0⇔0<x ＋1<1⇔－1<x<0,所以“x<0”是“ln(x ＋1)<0”的必要不充分条件．故D 正确．【答案】 D判断充要条件的3种常用方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与﹁B ⇒﹁A,B ⇒A 与﹁A ⇒﹁B,A ⇔B 与﹁B ⇔﹁A 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B,则A 是B 的充要条件．[提醒] 判断充要条件需注意3点 (1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时,可举出反例说明．1．(2020·杭州市富阳二中高三开学检测)若a,b 为实数,则“ 3a <3b”是“1|a|>1|b|”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.根据题意,若“3a <3b”,则有a<b,而“1|a|>1|b|”不一定成立,如a ＝－3,b ＝1；若“1|a|>1|b|”,则有|a|<|b|,“3a <3b ”不一定成立,如a ＝1,b ＝－3,故“3a <3b”是“1|a|>1|b|”的既不充分也不必要条件．2．(2020·“超级全能生”高考浙江省联考)已知函数f(x)＝sin x,x ∈[0,2π),则“f(x)≥0”是“f(x 2)≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.由f(x)≥0⇒x ∈[0,π],由f(x 2)≥0⇒x 2∈[0,π]⇒x ∈[0,π], 因为[0,π]⊆[0,π],由集合性质可知为必要不充分条件．充分条件、必要条件的应用(1)已知p ：|x ＋1|＞2,q ：x ＞a,且﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≤－3 C ．a ≥－1D ．a ≥1(2)已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0},非空集合S ＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件,则m 的取值范围为________．【解析】 (1)由|x ＋1|＞2,解得x ＞1或x ＜－3,因为﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,所以q 是p 的充分不必要条件, 从而可得(a,＋∞)是(－∞,－3)∪(1,＋∞)的真子集, 所以a≥1,故选D.(2)由x 2－8x －20≤0,得－2≤x≤10, 所以P ＝{x|－2≤x≤10},由x∈P 是x∈S 的必要条件,知S ⊆P. 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时,x ∈P 是x∈S 的必要条件, 即所求m 的取值范围是[0,3]． 【答案】 (1)D (2)[0,3](变问法)本例(2)条件不变,若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件,求实数m 的取值范围． 解：由例题知P ＝{x|－2≤x≤10},因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件, 所以P ⇒S 且S ⇒/ P.所以[－2,10][1－m,1＋m]．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m≥10.所以m≥9,即m 的取值范围是[9,＋∞)．利用充要条件求参数应关注2点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍．[提醒] 含有参数的问题,要注意分类讨论．(2020·金华一模)已知命题p：实数m满足m2＋12a2<7am(a>0),命题q：实数m满足方程x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆．若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为________．解析：由a>0,m2－7am＋12a2<0,得3a<m<4a,即命题p：3a<m<4a,a>0.由x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆,可得2－m>m－1>0,解得1<m<32,即命题q：1<m<32.因为p是q的充分不必要条件,所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥14a≤32,解得13≤a≤38,所以实数a的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38[基础题组练]1．下列命题是真命题的是( )A．若1x＝1y,则x＝y B．若x2＝1,则x＝1C．若x＝y,则x＝y D．若x＜y,则x2＜y2解析：选A.由1x＝1y得x＝y,A正确；由x2＝1得x＝±1,B错误；由x＝y,x,y不一定有意义,C错误；由x＜y不一定能得到x2＜y2,如x＝－2,y＝－1,D错误,故选A.2．命题“若x＞1,则x＞0”的逆否命题是( )A．若x≤0,则x≤1 B．若x≤0,则x＞1C．若x＞0,则x≤1 D．若x＜0,则x＜1解析：选A.依题意,命题“若x＞1,则x＞0”的逆否命题是“若x≤0,则x≤1”,故选A.3．设a,b 是实数,则“a＋b>0”是“ab>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.特值法：当a ＝10,b ＝－1时,a ＋b ＞0,ab ＜0,故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0；当a ＝－2,b ＝－1时,ab ＞0,但a ＋b ＜0,所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.故“a＋b ＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．4．(2020·金华市东阳二中高三调研)若“0<x<1”是“(x－a)[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞,0]∪[1,＋∞)D ．(－∞,－1]∪[0,＋∞)解析：选A.由(x －a)[x －(a ＋2)]≤0得a≤x≤a＋2,要使“0<x<1”是“(x－a)[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件,则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥1a≤0,所以－1≤a≤0.5．(2020·杭州中学高三月考)已知a,b ∈R,条件p ：“a>b”,条件q ：“2a >2b－1”,则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由条件p ：“a>b”,再根据函数y ＝2x是增函数,可得2a>2b,所以2a>2b－1,故条件q ：“2a>2b－1”成立,故充分性成立．但由条件q ：“2a>2b－1”成立,不能推出条件p ：“a>b”成立,例如由20>20－1成立,不能推出0>0,故必要性不成立．故p 是q 的充分不必要条件,故选A.6．已知a,b ∈R,则使|a|＋|b|>4成立的一个充分不必要条件是( ) A ．|a|＋|b|≥4 B ．|a|≥4C ．|a|≥2且|b|≥2D ．b<－4解析：选D.由b<－4可得|a|＋|b|>4,但由|a|＋|b|>4得不到b<－4,如a ＝1,b ＝5. 7．已知直线l,m,其中只有m 在平面α内,则“l∥α”是“l∥m”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当l∥α时,直线l 与平面α内的直线m 平行、异面都有可能,所以l∥m 不一定成立；当l∥m 时,根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α,即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件,故选B.8．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“sin A＞sin B”是“a＞b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.设△ABC外接圆的半径为R,若sin A＞sin B,则2Rsin A＞2Rsin B,即a＞b；若a＞b,则a2R＞b2R,即sin A＞sin B,所以在△ABC中,“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要条件,故选C.9．设向量a＝(1,x－1),b＝(x＋1,3),则“x＝2”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.依题意,注意到a∥b的充要条件是1×3＝(x－1)(x＋1),即x＝±2.因此,由x＝2可得a∥b,“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2,“x＝2”不是“a∥b”的必要条件,故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件,选A.10．下列选项中,p是q的必要不充分条件的是( )A．p：x＝1,q：x2＝xB．p：|a|>|b|,q：a2>b2C．p：x>a2＋b2,q：x>2abD．p：a＋c>b＋d,q：a>b且c>d解析：选D.A中,x＝1⇒x2＝x,x2＝x⇒x＝0或x＝1⇒/ x＝1,故p是q的充分不必要条件；B中,因为|a|>|b|,根据不等式的性质可得a2>b2,反之也成立,故p是q的充要条件；C中,因为a2＋b2≥2ab,由x>a2＋b2,得x>2ab,反之不成立,故p是q的充分不必要条件；D中,取a＝－1,b＝1,c＝0,d＝－3,满足a＋c>b ＋d,但是a<b,c>d,反之,由同向不等式可加性得a>b,c>d⇒a＋c>b＋d,故p是q的必要不充分条件．综上所述,故选D.11．对于原命题：“已知a、b、c∈R,若ac2＞bc2,则a＞b”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题,真命题的个数为________．解析：原命题为真命题,故逆否命题为真；逆命题：若a＞b,则ac2＞bc2为假命题,故否命题为假命题,所以真命题个数为2.答案：212．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．解析：已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称,则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.答案：m＝－213已知α：x≥a,β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件,则实数a的取值范围为________．解析：α：x≥a,可看作集合A＝{x|x≥a},因为β：|x－1|<1,所以0<x<2,所以β可看作集合B ＝{x|0<x<2}． 又因为α是β的必要不充分条件． 所以BA,所以a≤0.答案：(－∞,0]14．设平面α与平面β相交于直线m,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b⊥m ,则“a⊥b”是“α⊥β”的________条件(只填充分不必要、必要不充分、充分必要,既不充分也不必要)．解析：因为α⊥β,b⊥m ,所以b⊥α,又直线a 在平面α内,所以a⊥b；又直线a,m 不一定相交,所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件．答案：必要不充分15．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题,则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立,当a ＝0时,－3≤0成立；当a≠0时,得⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ＝4a 2＋12a≤0，解得－3≤a<0,故－3≤a≤0.答案：[－3,0]16．已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,q ：1－m≤x≤1＋m(m>0),且綈p 是綈q 的必要而不充分条件,则实数m 的取值范围为________．解析：法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,得－2≤x≤10, 所以綈p 对应的集合为{x|x>10或x<－2}, 设A ＝{x|x>10或x<－2}． 1－m≤x≤1＋m(m>0),所以綈q 对应的集合为{x|x>m ＋1或x<1－m,m>0}, 设B ＝{x|x>m ＋1或x<1－m,m>0}． 因为﹁p 是﹁q 的必要而不充分条件,所以B A,所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≤－2，1＋m≥10，且不能同时取得等号．解得m≥9,所以实数m 的取值范围为[9,＋∞)． 法二：因为﹁p 是﹁q 的必要而不充分条件, 所以q 是p 的必要而不充分条件． 即p 是q 的充分而不必要条件,因为q 对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m,m>0}, 设M ＝{x|1－m≤x≤1＋m,m>0},又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,得－2≤x≤10, 所以p 对应的集合为{x|－2≤x≤10},设N ＝{x|－2≤x≤10}．由p 是q 的充分而不必要条件知N M,所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≤－2，1＋m≥10，且不能同时取等号,解得m≥9.所以实数m 的取值范围为[9,＋∞)．答案：[9,＋∞)17．给出下列命题：①已知集合A ＝{1,a},B ＝{1,2,3},则“a＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件；②“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件；③“函数f(x)＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)解析：①因为“a＝3”可以推出“A ⊆B ”,但“A ⊆B ”不能推出“a＝3”,所以“a＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件,故①正确；②“x＜0”不能推出“ln(x ＋1)＜0”,但“ln(x ＋1)＜0”可以推出“x＜0”,所以“x＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件,故②正确；③f(x)＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax,若其最小正周期为π,则2π2|a|＝π⇒a ＝±1,因此“函数f(x)＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件,故③错误；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”可以推出“a·b＜0”,但由“a·b＜0”,得“平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角”,所以“a·b＜0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件,故④错误．正确命题的序号是①②.答案：①②[综合题组练]1．设θ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6, sin θ＜12⇔θ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6,k ∈Z,⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6,k ∈Z, 所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R ,B ＝{x|－1<x<m ＋1,x ∈R},若x∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A,则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x|－1<x<3},x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x∈A , 所以A B,所以m ＋1>3,即m>2.答案：m ＞23．已知函数f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,a,b ∈R,对命题“若a ＋b≥0,则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出否命题,判断其真假,并证明你的结论；(2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论．解：(1)否命题：已知函数f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,a,b ∈R,若a ＋b<0,则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．该命题是真命题,证明如下：因为a ＋b<0,所以a<－b,b<－a.又因为f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数．所以f(a)<f(－b),f(b)<f(－a),因此f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b),所以否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,a,b ∈R,若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b),则a ＋b<0.真命题,可通过证明原命题为真来证明它．因为a ＋b≥0,所以a≥－b,b ≥－a,因为f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,所以f(a)≥f(－b),f(b)≥f(－a),所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b),故原命题为真命题,所以逆否命题为真命题．4．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0,求两方程的根都是整数的充要条件．解：因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程,所以m≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0,且两方程都要有实根,所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16（1－m ）≥0，Δ2＝16m 2－4（4m 2－4m －5）≥0，解得m∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数,故其根的和与积也为整数,所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z. 所以m 为4的约数．又因为m∈错误!,所以m ＝－1或1.当m ＝－1时,第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数；而当m ＝1时,两方程的根均为整数,所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.5．已知p ：x 2－7x ＋12≤0,q ：(x －a)(x －a －1)≤0.(1)是否存在实数a,使﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,若存在,求实数a 的取值范围；若不存在,请说明理由．(2)是否存在实数a,使p 是q 的充要条件,若存在,求出a 的值；若不存在,请说明理由．解：因为p ：3≤x≤4,q ：a≤x≤a＋1.(1)因为﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,所以﹁p ⇒﹁q,且﹁q ⇒/﹁p,所以q ⇒p,且p ⇒/ q,即q 是p 的充分不必要条件,故{x|a≤x≤a＋1}{x|3≤x ≤4},所以⎩⎪⎨⎪⎧a>3，a ＋1≤4或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ＋1<4，无解, 所以不存在实数a,使﹁p 是﹁q 的充分不必要条件．(2)若p 是q 的充要条件,则{x|a≤x≤a＋1}＝{x|3≤x ≤4},所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＋1＝4， 解得a ＝3.故存在实数a ＝3,使p 是q 的充要条件．。

第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理·双基自测知识点一命题及四种命题之间的关系1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点二充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件pq且qp重要结论1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)．注意：不能将“若p ，则q”与“p ⇒q ”混为一谈，只有“若p ，则q”为真命题时，才有“p ⇒q ”，即“p ⇒q ”⇔“若p ，则q”为真命题．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)语句x 2－3x ＋2＝0是命题．( × )(2)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．( × ) (3)已知集合A ，B ，则A∪B＝A∩B 的充要条件是A ＝B ．( √ ) (4)“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件．( × ) (5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( √ )[解析] (4)当α＝β＝π2时，tan α、tan β都无意义．因此不能推出tan α＝tan β，当tan α＝tan β时，α＝β＋k π，k∈Z，不一定α＝β，因此是既不充分也不必要条件．题组二 走进教材2．(选修2－1P 8T3改编)下列命题是真命题的是( A ) A ．矩形的对角线相等 B ．若a>b ，c>d ，则ac>bd C ．若整数a 是素数，则a 是奇数 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题3．(选修2－1P 10T4改编)x 2－3x ＋2≠0是x≠1的充分不必要条件． [解析] x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件． 题组三 走向高考4．(2020·天津，2，5分)设a∈R，则“a>1”是“a 2>a ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 易知a>1⇒a 2>a ，而a 2>a ⇒a<0或a>1，所以“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件． 5．(2015·山东，5分)设m∈R，命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( D ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m>0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m>0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0 [解析] 由原命题和逆否命题的关系可知D 正确．6．(2018·北京，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)＝sin_x(答案不唯一)．[解析]这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一命题及其关系——自主练透例1 (1)(2021·新高考八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( A )A．甲B．乙C．丙D．丁(2)(2021·长春模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的( A )A．否命题B．逆命题C．逆否命题D．否定形式(3)(多选题)下列命题为真命题的是( CD )A．“若a2<b2，则a<b”的否命题B．“全等三角形面积相等”的逆命题C．“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题D．“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题(4)命题“若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零”的否定形式为若a＋b＝0，则a，b都大于零，否命题为若a＋b≠0，则a，b都大于零．[解析](1)若乙、丙、丁正确，显然x1＝－1，x2＝3，两根异号，x1＋x2＝2，故甲错，因此选A．(2)命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的否命题．(3)对于A ，否命题为“若a 2≥b 2，则a≥b”，为假命题；对于B ，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于C ，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故C 正确；对于D ，原命题正确，因此该命题的逆否命题也正确，D 正确．故选C 、D ．(4)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零．否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零． 名师点拨 MING SHI DIAN BO(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q”的形式，应先改写成“若p ，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点二 充分必要条件考向1 充分条件与必要条件的判断——师生共研 方法1：定义法判断例2 ( 2020·北京，9，4分)已知α，β∈R，则“存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ”是“sinα＝sin β”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)充分性：已知存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，(ⅰ)若k 为奇数，则k ＝2n ＋1，n∈Z，此时α＝(2n ＋1)π－β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β；(ⅱ)若k 为偶数，则k ＝2n ，n∈Z，此时α＝2n π＋β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β. 由(ⅰ)(ⅱ)知，充分性成立．(2)必要性：若sin α＝sin β成立，则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y 轴对称，即α＝β＋2m π或α＋β＝2m π＋π，m∈Z，即存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，必要性也成立，故选C ． 方法2：集合法判断例3 (2020·天津一中高三月考)设x∈R，则“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 解绝对值不等式可得－4<x －1<4，即－3<x<5， 将分式不等式变形可得x －5x －2<0，解得2<x<5，因为(2，5)(－3，5)，所以“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的必要而不充分条件．方法3 等价转化法判断例4 (1)给定两个条件p ，q ，若¬ p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为¬ p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒¬ p ，但¬pq ，其逆否命题为p ⇒¬q ，但¬qp ，所以p 是¬q 的充分不必要条件．(2) ¬p ：cos α＝12，¬q ：α＝π3，显然¬q ⇒¬p ，¬p ¬q ，∴¬q 是¬p 的充分不必要条件，从而p 是q 的充分不必要条件，故选A ．另解：若cos α≠12，则α≠2kπ±π3(k∈Z)，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q p.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ． 名师点拨 MING SHI DIAN BO有关充要条件的判断常用的方法(1)根据定义判断：①弄清条件p 和结论q 分别是什么；②尝试p ⇒q ，q ⇒p.若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；若p ⇒q ，qp ，则p 是q 的充分不必要条件；若pq ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．(2)利用集合判断 记法 A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)} 关系 ABBAA ＝BAB 且BA结论p 是q 的充分不必要条件p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件断¬q 是¬p 的什么条件．〔变式训练1〕(1)指出下列各组中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．①非空集合A ，B 中，p ：x∈(A∪B)，q ：x∈B；②已知x ，y∈R，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0； ③在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ； ④对于实数x ，y ，p ：x ＋y≠8，q ：x≠2或y≠6.(2)(2020·天津部分区期末)设x∈R，则“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)①显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B 一定有x∈(A∪B)，所以p 是q 的必要不充分条件．②条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但qp ，故p 是q 的充分不必要条件． ③在△ABC 中，A ＝B ⇒sin A ＝sin B ；反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A ＝B ，故p 是q 的充要条件．④易知¬p ：x ＋y ＝8，¬q ：x ＝2且y ＝6，显然¬q ⇒¬p ，但¬p ¬q ，所以¬q 是¬p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(2)解不等式x 2－2x<0得0<x<2，解不等式|x －1|<2得－1<x<3，所以“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的充分不必要条件．故选A ．考向2 充要条件的应用——多维探究 角度1 充要条件的探究例 5 (多选题)下列函数中，满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件的是( BC )A ．f(x)＝tan xB ．f(x)＝3x －3－xC ．f(x)＝x 3D ．f(x)＝log 3|x|[解析] 因为f(x)＝tan x 是奇函数，所以x 1＋x 2＝0⇒f(x 1)＋f(x 2)＝0，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0时，π4＋3π4≠0，不符合要求，所以A 不符合题意；因为f(x)＝3x －3－x 和f(x)＝x 3均为单调递增的奇函数，所以满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件，符合题意；对于选项D ，由f(x)＝log 3|x|的图象易知不符合题意，故选BC ．注：满足条件的函数是奇函数且单调． 角度2 利用充要条件求参数的值或取值范围例6 已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．若x ∈P 是x∈S 的必要条件，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x≤10， 所以P ＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P 是x∈S 的必要条件，知S ⊆P.则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，x∈P 是x∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．[引申1]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”改为“若x∈P 是x∈S 的必要不充分条件”，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 解法一：由(1)若x∈P 是x∈S 的必要条件，则0≤m ≤3，当m ＝0时，S ＝{1}，不充分；当m ＝3时，S ＝{x|－2≤x≤4}也不充分，故m 的取值范围为[0，3]．解法二：若x∈P 是x∈S 的必要且充分条件，则P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10⇒m 无解，∴m 的取值范围是[0，3]．[引申2]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，则m 的取值范围是[9，＋∞)．[解析] 由(1)知P ＝{x|－2≤x≤10)， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且SP. ∴[－2，10] [1－m ，1＋m]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－2，1＋m>10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． 名师点拨 MING SHI DIAN BO充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(3)注意区别以下两种不同说法：①p 是q 的充分不必要条件，是指p ⇒q 但qp ；②p 的充分不必要条件是q ，是指q ⇒p 但pq.(4)注意下列条件的等价转化：①p 是q 的什么条件等价于¬q 是¬p 的什么条件，②p 是¬q 的什么条件等价于q 是¬ p 的什么条件．〔变式训练2〕(1)(角度1)(多选题)(2020·江西赣州十四县市高三上期中改编)角A ，B 是△ABC 的两个内角．下列四个条件下，“A>B”的充要条件是( ABD )A ．sin A>sinB B ．cos A<cos BC ．tan A>tan BD ．cos 2A<cos 2B(2)(角度2)(2021·山东省实验中学高三诊断)已知p ：x≥k，q ：(x ＋1)(2－x)<0.如果p 是q 的充分不必要条件，那么实数k 的取值范围是( B )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1][解析] (1)当A>B 时，根据“大边对大角”可知，a>b ，由于a sin A ＝bsin B ，所以sin A>sin B ，则A 是“A>B”的充要条件；由于0<B<A<π，余弦函数y ＝cos x 在区间(0，π)内单调递减，所以cos A<cosB ，则B 是“A>B”的充要条件；当A>B 时，若A 为钝角，B 为锐角，则tan A<0<tan B ，则C 不是“A>B”的充要条件；当cos 2A<cos 2B ，即1－sin 2A<1－sin 2B ，所以sin 2A>sin 2B ，所以D 是“A>B”的充要条件；故选A 、B 、D ．(2)由q ：(x ＋1)(2－x)<0，可知q ：x<－1或x>2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以x≥k ⇒x<－1或x>2，即[k ，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，故k>2.故选B ．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG抽象命题间充要条件的判定例7 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分不必要条件；③r 是q 的必要不充分条件；④¬p 是¬s 的必要不充分条件；⑤r 是s 的充分不必要条件，则正确命题的序号是( B )A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤[分析] 本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．[解析] 由题意得p，显然q ⇒r 且r ⇒s ⇒q ，即q ⇔r ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q 且qp ，②正确；r⇔q ，③错误；由p ⇒s 知¬ s ⇒¬ p ，但sp ，∴¬ p ¬ s ，④正确；r ⇔s ，⑤错误．故选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然． 〔变式训练3〕若p 是r 的必要不充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是q 的必要不充分条件． [解析] 由题意可知q ⇒rp ，∴p 是q 的必要不充分条件．。

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题(1)命题的概念:数学中把用语言、符号或式子表达的,能够判断的陈述句叫作命题.其中的语句叫作真命题, 的语句叫作假命题.(2)四种命题及其相互关系图1-2-1特别提醒:若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性.2.充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q,则p是q的条件.(2)如果q⇒p,则p是q的条件.(3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的条件.常用结论1.充要条件的两个结论:(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;(2)若p是q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件.2.题组一常识题1.[教材改编]对于下列语句:①垂直于同一直线的两条直线必平行吗?②作△ABC∽△A'B'C'.③x2+2x-3<0.④四边形的内角和是360°.其中是命题的是.(填序号)2.[教材改编]有下面4个命题:①集合N中最小的数是1;②若-a不属于N,则a 属于N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④x2+1=2x的解集可表示为{1,1}.其中真命题的个数为.3.[教材改编]命题“若整数a不能被2整除,则a是奇数”的逆否命题是.4.[教材改编]“点P(x,y)在第一象限”是“x+y>1”的条件. 题组二常错题◆索引:命题的条件与结论不明确;含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况;真、假命题的推理考虑不全面;对充分必要条件判断错误.5.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是.6.已知命题“对任意a,b∈R,若ab>0,则a>0”,则它的否命题是.7.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是.8.条件p:x>a,条件q:x≥2.①若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是;②若p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是.9.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q 的条件.探究点一四种命题及其相互关系例1 (1)对于命题“单调函数不是周期函数”,下列说法正确的是( )A.逆命题为“周期函数不是单调函数”B.否命题为“单调函数是周期函数”C.逆否命题为“周期函数是单调函数”D.以上都不正确(2)给出以下四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;④若ab是正整数,则a,b都是正整数.其中为真命题的是.(写出所有真命题的序号)[总结反思](1)求一个命题的其他三种命题时,需注意:①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写为“若p,则q”的形式;②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.(3)当不易直接判断一个命题的真假时,根据互为逆否命题的两个命题同真同假,可转化为判断其等价命题的真假.变式题(1)已知命题p:正数a的平方不等于0,命题q:若a不是正数,则它的平方等于0,则q是p的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定(2)以下关于命题的说法正确的是.(填写所有正确说法的序号)①“若log2(a+1)>1,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数”是真命题;②命题“若a≠0,则a(b+1)≠0”的否命题是“若a=0,则a(b+1)=0”;③命题“若x,y都是偶数,则(x+1)(y+1)是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.探究点二充分、必要条件的判定例2 (1)[2018·北京卷]设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[总结反思]充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法适用于不同的类型:定义法适用于定义、定理的判断问题;集合法多适用于命题中涉及参数的取值范围的推断问题;等价转化法适用于条件和结论中带有否定性词语的命题.变式题(1)[2018·深圳一模]已知数列{a n}是等比数列,则“a2>a1”是“数列{a n}为递增数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件探究点三充分、必要条件的应用例3 方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是( )A.0<a≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<0[总结反思]充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上,解题时通常把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.解题过程中要注意检验区间端点值.变式题(1)下面四个条件中,使a>b成立的必要而不充分条件是( )A.a-1>bB.a+1>bC.|a|>|b|D.a3>b3(2)[2018·衡阳4月调研]已知p:实数m满足m2+12a2<7am(a>0),q:方程-+-=1表示焦点在y轴上的椭圆,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为.第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件考试说明 1.理解命题的概念;2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.【课前双基巩固】知识聚焦1.真假判断为真判断为假2.(1)充分(2)必要(3)充要对点演练1.④[解析]①是疑问句,不是命题;②是祈使句,不是命题;③不能判断真假,不是命题;④是命题.2.0[解析]①为假命题,集合N中最小的数是0;②为假命题,如a=不满足;③为假命题,如a=0,b=1,则a+b=1,比2小;④为假命题,所给集合中的元素不满足互异性.3.若整数a不是奇数,则a能被2整除[解析]以原命题结论的否定作条件、原命题条件的否定作结论得出逆否命题.4.既不充分也不必要[解析]取x=,y=,知充分性不成立;取x=-1,y=3,知必要性不成立.故为既不充分也不必要条件.5.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0[解析]“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”,又a=b=0的实质为a=0且b=0,故其否定为a≠0或b≠0.6.对任意a,b∈R,若ab≤0,则a≤0[解析]“对任意a,b∈R”是大前提,在否命题中不变,又因为ab>0,a>0的否定分别为ab≤0,a≤0,所以原命题的否命题为“对任意a,b∈R,若ab≤0,则a≤0”.7.[-3,0] [解析]由已知可得ax2-2ax-3≤0恒成立.当a=0时,-3≤0恒成立;当a≠0时,得解得-3≤a<0.故-3≤a≤0.8.①a≥2②a<2[解析]①因为p是q的充分不必要条件,所以{x|x>a}⫋{x|x≥2},则a的取值范围是a≥2.②因为p是q的必要不充分条件,所以{x|x≥2}⫋{x|x>a},则a的取值范围是a<2.9.充分不必要[解析]依题意有p⇒r,r⇒s,s⇒q,∴p⇒r⇒s⇒q.又∵r⇒/ p,∴q⇒/ p.故p是q的充分不必要条件.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)根据四种命题的构成判断即可.(2)对于①②,按照要求写出相应的逆命题、否命题,再判断真假;对于③,可直接利用原命题与逆否命题的等价性判断原命题的真假;对于④,直接判断.(1)D(2)①③[解析](1)根据四种命题的构成可知,选项A,B,C均不正确.故选D.(2)①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然为真命题;②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,而不全等的三角形的面积也可能相等,故为假命题;③原命题为真,所以它的逆否命题也为真,故③为真命题;④ab是正整数,但a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-2,故④为假命题.所以答案是①③.变式题(1)B(2)①②④[解析](1)“正数a的平方不等于0”即“若a是一个正数,则它的平方不等于0”,其否命题为“若a不是正数,则它的平方等于0”,所以选B.(2)①正确,由log2(a+1)>1,得a+1>2,所以a>1,所以f(x)=log a x在其定义域内是增函数.②正确,由命题的否命题的定义知,该说法正确.③不正确,原命题的逆命题为“若(x+1)(y+1)是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如(3+1)×(4+1)=20为偶数,但x=3,y=4.④正确,两者互为逆否命题,因此两命题等价.例2[思路点拨](1)将已知等式两边同时平方,可得出向量a,b的关系,从而得出结论;(2)通过研究单调性,求出函数存在零点的充要条件为a≤-1,从而得出结论.(1)C(2)B[解析](1)将|a-3b|=|3a+b|两边平方,得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2.∵a,b均为单位向量,∴a·b=0,即a⊥b.反之,由a ⊥b可得|a-3b|=|3a+b|.故为充分必要条件.(2)因为f'(x)=>0,所以若函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点,则f(e)≤0,即a≤-1,因此“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的必要不充分条件,故选B.变式题(1)B(2)A[解析](1)当a1=-1,a2=2,公比q=-2时,虽然有a1<a2,但是数列{a n}不是递增数列,所以充分性不成立;反之,当数列{a n}是递增数列时,必有a1<a2,因此必要性成立.故选B.(2)由sin 2α-cos 2α=1得sin-=,所以2α-=2kπ+,k∈Z或2α-=2kπ+,k∈Z,即α=kπ+,k∈Z或α=kπ+,k∈Z,所以“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的充分而不必要条件,故选A.例3[思路点拨]直接法,分情况讨论;特例法,结合选项取特殊值验证.C[解析]方法一(直接法):当a=0时,x=-,符合题意.当a≠0时,若方程的两根为一正一负,则-⇒ ⇒a<0;若方程的两根均为负,则--⇒ ⇒0<a≤1.综上所述,所求充要条件是a≤1.方法二(排除法):当a=0时,原方程有一个负实根,可以排除A,D;当a=1时,原方程有两个相等的负实根,可以排除B.所以选C.变式题(1)B(2)[解析](1)“a>b”不能推出“a-1>b”,故选项A不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a+1>b”,但“a+1>b”不能推出“a>b”,故满足题意;“a>b”不能推出“|a|>|b|”,故选项C不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a3>b3”,且“a3>b3”能推出“a>b”,故是充要条件,不满足题意.故选B.(2)由a>0,m2-7am+12a2<0,得3a<m<4a,即p:3a<m<4a,a>0.由方程-+-=1表示焦点在y轴上的椭圆,可得2-m>m-1>0,解得1<m<,即q:1<m<.因为p是q的充分不必要条件,所以或解得≤a≤,所以实数a的取值范围是.【备选理由】例1考查对命题真假的判断,是一个开放式命题,答案不唯一,有利于学生发散思维;例2强化了充分、必要条件的判断方法和余弦定理、基本不等式的应用;例3主要考查了充要条件的判断;例4是以简单不等式的方式考查充分、必要条件的应用.例1[配合例1使用][2018·北京通州区三模]能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a2>ab>c2”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.[答案] 1,0,-1(此题答案不唯一)[解析]当a=1,b=0,c=-1时,满足a>b>c,不满足a2>ab>c2,∴命题是假命题.故答案可以为1,0,-1.例2[配合例2使用][2018·武汉4月调研]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知条件p:a≤,条件q:A≤,那么p是q成立的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析] A由条件p:a≤,知cos A=-≥-=-≥-=,当且仅当b=c=a时取等号,又A∈(0,π),∴0<A≤,∴A≤,即q成立.取A=,C=,B=,满足条件q,但是a>.∴p是q成立的充分而不必要条件.故选A.例3[配合例2使用][2018·莆田六中三模]在等比数列{a n}中,a2=-2,则“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析] C因为a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根,所以a4a12=1,因此=1,又因为a2=-2<0,所以a8<0,即a8=-1.从而“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的充要条件,故选C.例4[配合例3使用][2018·南昌模拟]在实数范围内,使得不等式>1成立的一个充分而不必要条件是( )A.x>0B.x<1C.0<x<1D.0<x<[解析]D∵>1,∴-<0,∴0<x<1.∵ ⫋(0,1),∴0<x<为不等式>1成立的一个充分而不必要条件,故选D.。