云南省2020届高三数学 等差数列单元测试 理 新人教A版

新人教A 版数学高三单元测试5【等差数列】本卷共100分，考试时间90分钟一、选择题 (每小题4分，共40分)1. 数列 ,1,0,1,0,1的一个通项公式是 （ ）A. ()2111+--=n n a B. ()2111+-+=n n a C. ()211--=n na D. ()211nna ---=2. 已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是 （ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列3. 数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是 （ ）A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项4. 设}{n a 是公差为正数的等差数列，若321321,15a a a a a a =++=80，则131211a a a ++=（A ）120（B ）105（C ）90（D ）755. 等差数列{}n a 中，前n 项23122n a S n n =+，则3a 的值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 66. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）A.3B.4C.5D.27. 等差数列}{n a 中，=-=++10915812,1203a a a a a 则 （ ）A ．24B ．22C ．20D ．-88. 已知等差数列{}n a 中，72=a ，154=a ，则前10项和10S =（A ）100（B ）210（C ）380（D ）4009. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若S 7=35，则a 4=（A ）8（B ）7（C ）6（D ）510. 已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A.21B.20C.19D.18 二、填空题 (每小题4分，共16分)11. 数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则n a = 。

第二章 统 计(B) (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( ) A ．都可以分析出两个变量的关系B ．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C ．都可以作出散点图D ．都可以用确定的表达式表示两者的关系2．一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( ) A ．40.6,1.1 B ．48.8,4.4 C ．81.2,44.4 D ．78.8,75.63．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如右图，则下面结论中错误的一个是( )A ．甲的极差是29B ．乙的众数是21C ．甲罚球命中率比乙高D ．甲的中位数是244．某学院A ，B ，C 三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取的学生人数为( ) A ．30 B ．40 C ．50 D ．605．在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4、8.4、9.4、9.9、9.6、9.4、9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ) A ．9.4,0.484 B ．9.4,0.016 C ．9.5,0.04 D ．9.5,0.016 6．两个变量之间的相关关系是一种( )A ．确定性关系B ．线性关系C ．非确定性关系D ．非线性关系7．如果在一次实验中，测得(x ，y )的四组数值分别是A (1,3)，B (2,3.8)，C (3,5.2)，D (4,6)，则y 与x 之间的回归直线方程是( )A.y ^＝x ＋1.9 B.y ^＝1.04x ＋1.9C.y ^＝0.95x ＋1.04 D.y ^＝1.05x －0.9 8．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈． ③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是( )A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样9．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9 A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47 D ．0.3710．某校对高一新生进行军训，高一(1)班学生54人，高一(2)班学生42人，现在要用分层抽样的方法，从两个班中抽出部分学生参加4×4方队进行军训成果展示，则(1)班，(2)班分别被抽取的人数是( )A ．9人，7人B ．15人，1人C ．8人，8人D ．12人，4人11.右图是根据《山东统计年鉴2010》中的资料作成的2000年至2009年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字．从图中可以得到2000年至2009年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为( )A ．304.6B ．303.6C ．302.6D ．301.612．甲、乙、三人的测试成绩如表所示：甲的成绩环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5乙的成绩环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6丙的成绩环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4s 1、s 2、s 3分别表示甲，则有( ) A ．s 3>s 1>s 2 B ．s 2>s 1>s 3 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知一个回归直线方程为y ^＝1.5x ＋45(x i ∈{1,5,7,13,19})，则y ＝________. 14．若a 1，a 2，…，a 20这20个数据的平均数为x ，方差为0.21，则a 1，a 2，…，a 20，x 这21个数据的方差为________．15．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．16．某公司有员工49人，其中30岁以上的员工有14人，没超过30岁的员工有35人，为了解员工的健康情况，用分层抽样方法抽一个容量为7的样本，其中30岁以上的员工应抽取________人．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：广告支出x(单位：万元)1234销售收入y(单位：万元)12284256(1)(2)求出y对x的回归直线方程；(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？18．(12分)炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据如下表所示：x(0.01%)104180190177147134150191204121y(min)100200210185155135170205235125(1)(2)求回归直线方程；(3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？19．(12分)甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．20．(12分)随着我国经济的快速发展，城乡居民的生活水平不断提高，为研究某市家庭平家庭编号12345678910x i收入)0.8 1.1 1.3 1.5 1.5 1.8 2.0 2.2 2.4 2.8千元y i(支出)0.7 1.0 1.2 1.0 1.3 1.5 1.3 1.7 2.0 2.5千元(1)(2)若二者线性相关，求回归直线方程．21．(12分)某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样方法(按A类，B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)．(1)A类工人中和B类工人中各抽查多少工人？(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.表1生产能[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)力分组人数48x 53表2生产能[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)力分组人数6y 3618异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)图1A类工人生产能力的频率分布直方图图2B类工人生产能力的频率分布直方图②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．22．(12分)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10(1)y与x是否具有线性相关关系？(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；(3)根据求出的回归直线方程，预测加工200个零件所用的时间为多少？第二章 统 计(B)1．C [给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，但不一定能分析出两个变量的关系，更不一定符合线性相关或有函数关系．] 2．A 3．D [甲的极差是37－8＝29；乙的众数显然是21；甲的平均数显然高于乙，即C 成立；甲的中位数应该是22＋242＝23.]4．B [由题知C 专业有学生1 200－380－420＝400(名)，那么C 专业应抽取的学生数为120×4001 200＝40名．]5．D [去掉一个最高分9.9后再去掉一个最低分8.4，剩余的分值为9.4、9.4、9.6、9.4、9.7.求平均值9.4＋9.4＋9.6＋9.4＋9.75＝9.5，代入方差运算公式可知方差为0.016.]6．C 7.B8．A [①总体较少，宜用简单随机抽样；②已分段，宜用系统抽样；③各层间差距较大，宜用分层抽样，故选A.]9．A [1100(13＋5＋6＋18＋11)＝0.53.]10．A [高一(1)班与(2)班共有学生96人，现抽出16名学生参加方队展示，所以抽取(1)班人数为1696×54＝9(人)，抽取(2)班人数为1696×42＝7(人)．]11．B12．B [∵s 21＝1n(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2， ∴s 21＝120(5×72＋5×82＋5×92＋5×102)－8.52＝73.5－72.25＝1.25＝54， ∴s 1＝2520.同理s 2＝2920，s 3＝2120，∴s 2>s 1>s 3，故选B.]13．58.5解析 回归直线方程为y ^＝1.5x ＋45经过点(x ， y )，由x ＝9，知y ＝58.5. 14．0.215．0.030 3解析 因5个矩形面积之和为1，即(0.005＋0.010＋0.020＋a ＋0.035)×10＝1， ∴0.070×10＋10a ＝1，∴a ＝0.030.由于三组内学生数的频率分别为：0.3,0.2,0.1，所以三组内学生的人数分别为30,20,10.因此从[140,150]内选取的人数为1060×18＝3.16．217．解 (1)作出的散点图如图所示(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下表：序号 xy x 2 xy 1 1 12 1 12 2 2 28 4 56 3 3 42 9 126 4 4 56 16 224 ∑10 138 30 418易得x ＝52，y ＝692，所以b ^ ＝∑4i ＝1x i y i －4x y ∑4i ＝1x 2i －4x 2＝418－4×52×69230－4×⎝⎛⎭⎫522＝735，a ^＝y －b ^x ＝692－735×52＝－2. 故y 对x 的回归直线方程为y ^ ＝735x －2.(3)当x ＝9时，y ^ ＝735×9－2＝129.4.故当广告费为9万元时，销售收入约为129.4万元．18．解 (1)以x 轴表示含碳量，y 轴表示冶炼时间，可作散点图如图所示：从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关． i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y i 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125 x i y i 10 400 36 000 39 900 32 745 22 785 18 090 25 500 39 155 47 940 15 125x ＝159.8，y ＝172，∑10i ＝1x 2i ＝265 448，∑10i ＝1y 2i ＝312 350，∑10i ＝1x i y i ＝287 640 设所求的回归直线方程为y ＝b x ＋a ， b ^＝∑10i ＝1x i y i －10x y ∑10i ＝1x 2i －10x 2≈1.267，a ^ ＝y －b ^x ≈－30.47.所求回归直线方程为 y ^＝1.267x －30.47.(3)当x ＝160时，y ^＝1.267×160＋(－30.47)＝172.25. 即当钢水含碳量为160时，应冶炼约172.25分钟．19．解 (1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分．x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13，x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13，s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s 2甲>s 2乙可知乙的成绩较稳定． 从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高． 20．解 (1)作出散点图：观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈线性相关关系．(2)x ＝110(0.8＋1.1＋1.3＋1.5＋1.5＋1.8＋2.0＋2.2＋2.4＋2.8)＝1.74，y ＝110(0.7＋1.0＋1.2＋1.0＋1.3＋1.5＋1.3＋1.7＋2.0＋2.5)＝1.42，∑10i ＝1x i y i ＝27.51，∑10i ＝1x 2i ＝33.72， b ^ ＝∑10i ＝1x i y i －10x y ∑10i ＝1x 2i －10x 2≈0.813 6，a ^＝1.42－1.74×0.813 6≈0.004 3，∴回归方程为y ^＝0.813 6x ＋0.004 3.21．解 (1)A 类工人中和B 类工人中分别抽查25名和75名．(2)①由4＋8＋x ＋5＋3＝25，得x ＝5，6＋y ＋36＋18＝75，得y ＝15. 频率分布直方图如下：图1 A 类工人生产能力的频率分布直方图图2 B 类工人生产能力的频率分布直方图从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小．②x A ＝425×105＋825×115＋525×125＋525×135＋325×145＝123，x B ＝675×115＋1575×125＋3675×135＋1875×145＝133.8，x ＝25100×123＋75100×133.8＝131.1.A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1. 22．解 (1)作出如下散点图：由图可知，y 与x 具有线性相关关系． (2)列出下表 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y i 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 x i y i 620 1 360 2 250 3 240 4 450 5 700 7 140 8 640 10 350 12 200x ＝55，y ＝91.7，∑10i ＝1x 2i ＝38 500，∑10i ＝1y 2i ＝87 777，∑10i ＝1x i y i ＝55 950， 设所求的回归直线方程为y ^ ＝b ^ x ＋a ^，则有b ^ ＝∑10i ＝1x i y i －10x y ∑10i ＝1x 2i －10x 2＝55 950－10×55×91.738 500－10×552≈0.668，a ^＝y －b ^x ＝91.7－0.668×55＝54.96，因此，所求的回归直线方程为y ^＝0.668x ＋54.96.(3)这个回归直线方程的意义是当x 每增加1时，y 的值约增加0.668，而54.96是y 不随x 变化而变化的部分，因此，当x ＝200时，y 的估计值为 y ^＝0.668×200＋54.96＝188.56≈189，因此，加工200个零件所用的时间约为189分．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

新人教A 版数学高三单元测试4【简易逻辑】本卷共100分，考试时间90分钟一、选择题 (每小题4分，共40分)1. “sin α=21”是“212cos =α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. 下列命题中，是正确的全称命题的是（ ）Ａ．对任意的,a b R ∈，都有222220a b a b +--+<；Ｂ．菱形的两条对角线相等；Ｃ．2,x x x ∃=；Ｄ．对数函数在定义域上是单调函数。

3. 条件x x p =|:|，条件x x q -≥2:，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 4. 命题“对任意的”的否定是（ ） A. 不存在B. 存在C. 存在D. 对任意的5. （2020天津卷理）命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是 A.不存在0x ∈R, 02x >0 B.存在0x ∈R, 02x ≥0C.对任意的x ∈R, 2x ≤0D.对任意的x ∈R, 2x >06. 已知命题2:"[1,2],1"p x x a ∀∈+≥命题2:",2210"q x R x ax ∃∈++-=，当命题""p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．21a a ≤-≥或B ．212a a ≤-≤≤或C ．1a ≥D ．21a -≤≤7. 己知命题2:"[1,2],0",P x x a ∀∈-≥命题:",q x R ∃∈使2220"x ax a ++-=，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A.{}212≤≤-≤a a a 或B.{}1≥a a C .{}12=-≤a a a 或 D.{}12≤≤-a a8. 命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ） A.存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根；B.不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根；C.对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根；D.至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根； 9. 已知命题p ：使；命题q ：，都有，下列命题为真命题的是 （ ）A.B ．C. D ． 10. 条件:|4|1P x ->，条件1:13Q x>-，则P ⌝是Q ⌝的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件二、填空题 (每小题4分，共16分)11. 已知下列两个命题：p ：[0,)x ∀∈+∞，不等式1ax x 恒成立；q ：1是关于x 的不等式(x a)(x a 1)0---≤的一个解．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是 ．12. 若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 .13. 已知命题p:“[]21,2,0x x a ∀∈-≥”，命题q:“2,220x R x ax a ∃∈++-=”若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是___________.14. 已知二次函数22()2(2)2f x x a x a a =----，若在区间[0，1]内至少存在一个实数b ，使()0f b >，则实数a 的取值范围是 。

第六章 单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．若{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝ ( )A ．－2B ．－12C.12 D ．2答案 B解析 由等差中项的定义结合已知条件可知2a 4＝a 5＋a 3，∴2d ＝a 7－a 5＝－1，即d ＝－12.故选B. 2．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3答案 D解析 由等比数列性质可知a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，所以得a 7＝3，又a 29a 11＝a 7a 11a 11＝a 7，故选D.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 5＝12S 5，且a 9＝20，则S 11＝( )A ．260B ．220C ．130D ．110答案 D 解析 ∵S 5＝a 1＋a 52×5，又∵12S 5＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝0.∴a 3＝0，∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 3＋a 92×11＝0＋202×11＝110，故选D.4．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 009等于 A ．0 B ．2 C ．2 009 D ．4 018答案 D解析 各项均不为零的等差数列{a n }，由于a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则a 2n －2a n＝0，a n ＝2，S 2 009＝4 018，故选D.5．数列{a n }是等比数列且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20答案 A解析 由于a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，所以a 2·a 4＋2a 3·a 5＋a 4·a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25.所以a 3＋a 5＝±5.又a n >0，所以a 3＋a 5＝5.所以选A.6．首项为1，公差不为0的等差数列{a n }中，a 3，a 4，a 6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是( )A ．8B ．－8C ．－6D ．不确定答案 B解析 a 24＝a 3·a 6⇒(1＋3d )2＝(1＋2d )·(1＋5d ) ⇒d (d ＋1)＝0⇒d ＝－1，∴a 3＝－1，a 4＝－2，∴q ＝2. ∴a 6＝a 4·q ＝－4，第四项为a 6·q ＝－8.7．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2f n ＋n 2(n ∈N *)，且f (1)＝2，则f (20)＝( )A ．95B ．97C ．105D ．192答案 B解析 f (n ＋1)＝f (n )＋n 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 20＝f 19＋192，f 19＝f 18＋182，……f 2＝f 1＋12.累加，得f (20)＝f (1)＋(12＋22＋…＋192)＝f (1)＋19×204＝97.8．若a x －1，a y，a－x ＋1(a >0，且a ≠1)成等比数列，则点(x ，y )在平面直角坐标系内的轨迹位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 ∵成等比，∴(a y )2＝ax －1·a－x ＋1.即2y ＝x －1－x ＋1，x －1>0，∴x >1.x －1<x ＋1，∴y <0，∴位于第四象限．9．已知等比数列{a n }的公比q <0，其前n 项的和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是 A ．a 9S 8>a 8S 9 B ．a 9S 8<a 8S 9 C ．a 9S 8≥a 8S 9 D ．a 9S 8≤a 8S 9答案 A解析 a 9S 8－a 8S 9＝a 9a 11－q 81－q －a 8a 11－q 91－q ＝a 8a 1q －q 9－1＋q 91－q＝－a 1a 8＝－a 21q 7，因为a 21>0，q <0，所以－a 21q 7>0，即a 9S 8>a 8S 9，故选A.10．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 2 011＝－2 011，a 1 007＝3，则S 2 012的值为 A ．1 006 B ．－2 012 C ．2 012 D ．－1 006答案 C解析 方法一 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意可得， ⎩⎪⎨⎪⎧S 2 011＝2 011a 1＋2 011× 2 011－12d ＝－2 011，a 1 007＝a 1＋1 006d ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1 005d ＝－1，a 1＋1 006d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4 021，d ＝4.所以，S 2 012＝2 012a 1＋2 012× 2 012－12d＝2 012×(－4 021)＋2 012×2 011×2 ＝2 012×(4 022－4 021)＝2012. 方法二 由S 2 011＝2 011a 1＋a 2 0112＝2 011a 1 006＝－2 011， 解得a 1 006＝－1，则S 2 012＝2 012a 1＋a 2 0122＝2 012a 1 006＋a 1 0072＝2 012×－1＋32＝2 012.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．若m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，m ·n 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n＝1的离心率为________．答案22解析 由题意知2n ＝m ＋m ＋n ，∴n ＝2m .又n 2＝m ·m ·n ，∴n ＝m 2，∴m 2＝2m . ∴m ＝2，∴n ＝4，∴a 2＝4，b 2＝2，c 2＝2. ∴e ＝c a ＝22. 12．数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 100b 100＝________.答案199299解析a 100b 100＝a 1＋a 1992b 1＋b 1992＝S 199T 199＝199299. 13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于________． 答案 2 解析 ∵S 3＝a 1＋a 3×32＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0.∴d ＝a 3－a 12＝2.14．某人从2012年1月份开始，每月存入银行100元，月利率是3‰(不计复利)，到2012年12月底取出的本利和应是________元．答案 1 223.4解析 应为1 200＋0.3×12＋0.3×11＋…＋0.3＝1 200＋0.3×12×132＝1 223.4(元)．15．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n＋2>19的最大正整数n 的值为________． 答案 4解析 设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 23＝a 2·a 4＝4.又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝12，a 1＝8，a n ＝8×(12)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n＋2＝29－3n.由于2－3＝18>19，因此要使29－3n >19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足a n ·a n ＋1·a n＋2>19的最大正整数n 的值为4. 16．等比数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________．答案 －12解析 因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝31－3232＝－132，即q 5＝(－12)5，所以q ＝－12. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，求数列{b n }的前n 项和S n .答案 S n ＝nn ＋1解析 ∵a n ，a n ＋1是x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两根，∴a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，a n ·a n ＋1＝1b n.∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋3. ∴a n ＋2－a n ＝2. ∴a 3－a 1＝2，a 5－a 3＝2，……a 2n －1－a 2n －3＝2.∴a 2n －1－a 1＝2(n －1)．∴a 2n －1＝2n －1，∴当n 为奇数时，a n ＝n . 同理可得当n 为偶数时a n ＝n . ∴a n ＝n . ∴b n ＝1a n ·a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1. ∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 18．(本小题满分12分)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．答案 (1)b n ＝54·2n －1＝5·2n －3(2)略解析 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n1－2＝5·2n －2－54， 即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．19．(本小题满分12分)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列，求：(1)p ，q 的值；(2)数列{x n }的前n 项的和S n 的公式．解析 (1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1. (2)S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n n ＋12.20．(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＋a 5＝64(1a 3＋1a 4＋1a 5)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1a n)2，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 6＝64.又a 1>0，故q ＝2，a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2.因此，T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n ＝1－4n1－4＋1－14n 1－14＋2n ＝13(4n －41－n)＋2n ＋1.21．(本小题满分12分)某企业2010年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2011年起每年比上一年纯利润减少20万元，2011年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年(2011年为第一年)的利润为500(1＋12n )万元(n 为正整数)．(1)设从2011年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(须扣除技术改造资金)，求A n ，B n 的表达式；(2)依上述预测，从2011年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？思路 (1)A n 是一个等差数列的前n 项和，B n 是一个常数数列和一个等比数列的组合的前n 项和，根据数列的求和公式，就可以求出A n ，B n 的表达式．(2)建模B n >A n ，解这个关于n 的不等式．解析 (1)依题意知，A n 是一个以480为首项，－20为公差的等差数列的前n 项和，所以A n ＝480n ＋n n －12×(－20)＝490n －10n 2，B n ＝500(1＋12)＋500(1＋122)＋…＋500(1＋12n )－600＝500n ＋500(12＋122＋…＋12n )－600＝500n ＋500×12[1－12n]1－12－600＝500n －5002n －100.(2)依题意得，B n >A n ，即500n －5002n －100>490n －10n 2，可化简得502n <n 2＋n －10.∴可设f (n )＝502n ，g (n )＝n 2＋n －10.又∵n ∈N *，∴可知f (n )是减函数，g (n )是增函数． 又f (3)＝508>g (3)＝2，f (4)＝5016<g (4)＝10.则当n ＝4时不等式成立，即4年．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n －22n －1>2 010的n的最小值．解析 (1)因为S n ＋n ＝2a n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)．两式相减，得a n＝2a n －1＋1.所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n ＋1}为等比数列． 因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1得a 1＝1.a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，所以b n ＝(2n ＋1)·2n. 所以T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n，① 2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n＋(2n ＋1)·2n ＋1，②①－②，得－T n ＝3×2＋2(22＋23＋ (2))－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22－2n ＋11－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1.所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1.若T n －22n －1>2 010， 则2＋2n －1·2n ＋12n －1>2 010，即2n ＋1>2 010.由于210＝1 024,211＝2 048，所以n ＋1≥11，即n ≥10.所以满足不等式T n －22n －1>2 010的n 的最小值是10.1．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有 A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定 答案 B解析 记等比数列{a n }的公比为q ，由数列{b n }为等差数列可知b 4＋b 10＝2b 7.又数列{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 3＋a 9＝a 3(1＋q 6)＝a 6(1＋q6q3)＝b 7(1＋q6q3)，又1＋q6q3＝1q3＋q 3≥2，当且仅当q ＝1时，等号成立，∴a 3＋a 9≥b 4＋b 10.故选B.2．已知a n ＝32n －11(n ∈N ＋)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值是A ．5B ．6C ．10D ．11答案 D解析 令f (x )＝32x －11知f (x )关于(112，0)对称，∴a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝0， 且a 6>a 7>a 8>a 9>a 10>…>0. ∴S 10＝0，S 11>0，选D.3．数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)，则此数列为( )A ．等差数列B ．等比数列C ．从第二项起为等差数列D ．从第二项起为等比数列 答案 D解析 S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0， ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1，∴a n ＋1＝2a n . 又a 1＝1，a 2＝1，∴从第二项起为等比数列．4．已知数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ，则a nn 等于A.12 B.23 C.32 D ．2答案 B解析 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ，即a n ＋1－a n ＝a 1＝23，可知数列{a n }是首项为a 1＝23，公差为d ＝23的等差数列，于是a n ＝23＋(n －1)·23＝23n ，即a n n ＝23.故选B.5．设a 1，a 2，…，a 50是以－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有A ．11个B ．12个C ．15个D ．25个答案 A解析 (a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11个，故选A.6．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有 ( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 100<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51答案 C解析 由题意，得a 1＋a 2＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝0.7．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10＝________.答案 64解析 a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n， ∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1.∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2. ∴a 2n ＝2n，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)．∴b 10＝a 10＋a 11＝64.8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为________．答案 {5,6}解析 等差数列中由S 10>0，S 11＝0，得S 10＝10a 1＋a 102>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0，S 11＝11a 1＋a 112＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知，等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，即k ＝5或6.∴集合为{5,6}．9．(2013·衡水调研)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，函数f (x )＝12px2－(p ＋q )x ＋q ln x (其中p 、q 均为常数，且p >q >0)，当x ＝a 1时，函数f (x )取得极小值，点(a n,2S n )(n ∈N *)均在函数y ＝2px 2－q x＋f ′(x )＋q 的图像上．(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)记b n ＝4S n n ＋3·q n，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)由题易得f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝px －(p ＋q )＋q x ＝px 2－p ＋q x ＋q x ＝x －1px －qx.令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝qp. ∵p >q >0，∴0<q p<1.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：(0，q p ) q p(q p，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值1(2)依题意，y ＝2px 2－q x＋f ′(x )＋q ＝2px 2＋px －p ， 2S n ＝2p ·a 2n ＋p ·a n －p (n ∈N *)．∴2a 1＝2p ·a 21＋pa 1－p . 由a 1＝1，得p ＝1. ∴2S n ＝2a 2n ＋a n －1.①∴当n ≥2时，2S n －1＝2a 2n －1＋a n －1－1. ②①－②得2a n ＝2(a 2n －a 2n －1)＋a n －a n －1. ∴2(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0. ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－12)＝0.由于a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝12(n ≥2)．∴{a n }是以a 1＝1为首项，12为公差的等差数列．∴a n ＝1＋(n －1)×12＝n ＋12.(3)S n ＝n ＋n n －12·12＝n 2＋3n 4，∴b n ＝4S n n ＋3·q n ＝nq n .∴T n ＝q ＋2q 2＋3q 3＋…＋(n －1)qn －1＋nq n.③已知p >q >0，而由(2)知p ＝1，则q ≠1. ∴qT n ＝q 2＋2q 3＋3q 4＋…＋(n －1)q n ＋nqn ＋1.④由③－④，得(1－q )T n ＝q ＋q 2＋q 3＋…＋q n －1＋q n－nq n ＋1＝q 1－q n 1－q－nq n ＋1.∴T n ＝q 1－q n 1－q 2－nq n ＋11－q. 10．将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…已知表中的第一列数a 1，a 2，a 5，…构成一个等差数列，记为{b n }，且b 2＝4，b 5＝12.表中每一行正中间一个数a 1，a 3，a 7，…构成数列{c n }，其前n 项和为S n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a 13＝1.①求S n ；②记M ＝{n |(n ＋1)c n ≥λ，n ∈N *}，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围． 解析 (1)设数列{b n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋d ＝4，b 1＋4d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，d ＝2，所以b n ＝2n .(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q .由于前n 行共有1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2个数，且 32<13<42，所以a 10＝b 4＝8.所以a 13＝a 10q 3＝8q 3，又a 13＝1，解得q ＝12.由已知可得c n ＝b n qn －1，因此c n ＝2n ·(12)n －1＝n2n －2.所以S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝12－1＋220＋321＋…＋n2n －2. 12S n ＝120＋221＋…＋n －12n －2＋n2n －1. 因此12S n ＝12－1＋120＋121＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1.解得S n ＝8－n ＋22n －2.②由①知，c n ＝n2n －2，不等式(n ＋1)c n ≥λ，可化为n n ＋12n －2≥λ.设f (n )＝n n ＋12n －2，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12－n2n －1，所以当n ≥3时，f (n ＋1)<f (n )．计算得f (1)＝4，f (2)＝f (3)＝6，f (4)＝5，f (5)＝154.因为集合M 的元素个数为3，所以λ的取值范围是(4,5]． 11．已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λa n －1＋λ－2(n ≥2)．(1)当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式； (2)若λ＝3，令b n ＝a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和S n .解析 (1)a 2＝λa 1＋λ－2＝2λ－2，a 3＝λa 2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2.∵a 1＋a 3＝2a 2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)， 得2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝32.当λ＝32时，a 2＝2×32－2＝1，a 1＝a 2，故λ＝32不合题意舍去；当λ＝1时，代入a n ＝λa n －1＋λ－2可得a n －a n －1＝－1. ∴数列{a n }构成首项为a 1＝1，d ＝－1的等差数列． ∴a n ＝2－n .(2)当λ＝3时，a n ＝3a n －1＋1， 即a n ＋12＝3(a n －1＋12)，即b n ＝3b n －1.∴数列{b n }构成首项为b 1＝32，公比为3的等比数列．∴b n ＝32×3n －1＝3n2.∴S n ＝321－3n1－3＝34(3n－1)． 12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＋a 2＝2S 3，等比数列{b n }满足b 1＝a 2，b 2＝a 4.(1)求证：{b n }中的每一项均为{a n }中的项；(2)若a 1＝12，数列{c n }满足：b n ＋1·c n ＝(－1)n(1＋2log 2b n )，求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 4＋a 2＝2S 3得4a 1＋6d ＋a 1＋d ＝6a 1＋6d ，∴a 1＝d .则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1.∴b 1＝2a 1，b 2＝4a 1，等比数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2. 则b n ＝2a 1·2n －1＝2na 1.∵2n∈N *，∴{b n }中的每一项均为{a n }中的项． (2)解析：∵a 1＝12，∴b n ＝2n×12＝2n －1.由b n ＋1·c n ＝(－1)n(1＋2log 2b n )，得2n·c n ＝(－1)n[1＋2(n －1)]＝(－1)n(2n －1)． ∴c n ＝－1n2n －12n＝(2n －1)(－12)n.T n ＝(－12)＋3(－12)2＋5(－12)3＋…＋(2n －1)(－12)n ，－2T n ＝1＋3(－12)＋5(－12)2＋…＋(2n －1)(－12)n －1.两式相减，得－3T n ＝1＋2(－12)＋2(－12)2＋…＋2(－12)n －1－(2n －1)(－12)n＝1－2＋2·[1＋(－12)＋(－12)2＋…＋(－12)n －1]－(2n －1)(－12)n＝－1＋2·1－－12n1－－12－(2n －1)(－12)n＝－1＋43－43(－12)n －(2n －1)(－12)n＝13－6n ＋13(－12)n ，∴T n ＝6n ＋19(－12)n －19. 13．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n －2n －2＝0，(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋1a n ＋3＋…＋1a 2n，若对任意的正整数n ，当m ∈[－1,1]时，不等式t 2－2mt ＋16>b n 恒成立，求实数t 的取值范围．解析 (1)由题意得a n －a n －1＝2n (n ≥2)， 累差叠加，得a n ＝n (n ＋1)(n ≥2)． 又a 1＝2，所以a n ＝n (n ＋1)，(n ∈N *)． (2)b n ＝1n ＋1n ＋2＋1n ＋2n ＋3＋…＋12n2n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝nn ＋12n ＋1＝n2n 2＋3n ＋1，b n ＝12n ＋1n＋3，b n 的最大值为b 1＝16， 所以t 2－2mt ＋16>16恒成立，m ∈[－1,1]．构造g (m )＝－2tm ＋t 2，即g (m )>0恒成立m ∈[－1,1]． 当t ＝0，不成立； 当t ≠0，g (m )是一次函数，⎩⎪⎨⎪⎧g －1>0，g1>0，解得t ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．14．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .答案 (1)a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2) (2)T n ＝n4n ＋1解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26， 所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26， 解得a 1＝3，d ＝2. 由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n a 1＋a n2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)．(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)． 因此b n ＝14nn ＋1＝14(1n －1n ＋1)． 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝14(1－1n ＋1)＝n4n ＋1. 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n4n ＋1. 15．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n ，若S 4≥10，S 5≤15，求a 4的最大值． 解析 方法一 a 5＝S 5－S 4≤5，S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝5a 3≤15，a 3≤3，则a 4＝a 3＋a 52≤4，a 4的最大值为4.方法二 ∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋6d ≥10，S 5＝5a 1＋10d ≤15⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a 1－3d ≤－5，a 1＋2d ≤3⇒d ≤1.又∵S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3≤15，∴a 3≤3. ∴a 4≤4.故a 4的最大值为4.方法三 本题也可利用线性规划知识求解．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ≥10，5a 1＋10d ≤15⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.a 4＝a 1＋3d .画出可行域⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3，求目标函数a 4＝a 1＋3d 的最大值，即当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内(1,1)点时截距最大，此时a 4＝4.16．(2012·天津)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明：T n ＋12＝－2a n ＋10b n (n ∈N *)． 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2.所以a n ＝3n －1，b n ＝2n，n ∈N *. (2)方法一 由(1)得T n ＝2a n ＋22a n －1＋23a n －2＋…＋2n a 1，① 2T n ＝22a n ＋23a n －1＋…＋2n a 2＋2n －1a 1.②由②－①，得T n ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝121－2n －11－2＋2n ＋2－6n ＋2＝10×2n－6n －10.而－2a n ＋10b n －12＝－2(3n －1)＋10×2n －12＝10×2n－6n －10，故T n ＋12＝－2a n ＋10b n ，n ∈N *.方法二 (1)当n ＝1时，T 1＋12＝a 1b 1＋12＝16，－2a 1＋10b 1＝16，故等式成立； (2)假设当n ＝k 时等式成立，即T n ＋12＝－2a k ＋10b k ，则当n ＝k ＋1时，有T k ＋1＝a k ＋1b 1＋a k b 2＋a k －1b 3＋…＋a 1b k ＋1＝a k ＋1b 1＋q (a k b 1＋a k －1b 2＋…＋a 1b k ) ＝a k ＋1b 1＋qT k＝a k ＋1b 1＋q (－2a k ＋10b k －12) ＝2a k ＋1－4(a k ＋1－3)＋10b k ＋1－24 ＝－2a k ＋1＋10b k ＋1－12. 即T k ＋1＋12＝－2a k ＋1＋10b k ＋1. 因此n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)和(2)，可知对任意n ∈N *，T n ＋12＝－2a n ＋10b n 成立．17．(2012·陕西)设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的公比；(2)证明：对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． 解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)， 由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4. 即2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3.由a 1≠0，q ≠0，得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，所以q ＝－2.(2)方法一 对任意k ∈N ＋，S k ＋2＋S k ＋1－2S k ＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k )＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1 ＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2) ＝0，所以，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． 方法二 对任意k ∈N ＋，2S k ＝2a 11－q k1－q，S k ＋2＋S k ＋1＝a 11－q k ＋21－q ＋a 11－q k ＋11－q＝a 12－q k ＋2－q k ＋11－q，2S k －(S k ＋2＋S k ＋1)＝2a 11－q k1－q－a 12－q k ＋2－q k ＋11－q＝a 11－q[2(1－q k)－(2－qk ＋2－q k ＋1)]＝a 1q k 1－q(q 2＋q －2)＝0， 因此，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．18．(2012·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.解析 (1)∵a 1，a 2＋5，a 3成等差数列， ∴2(a 2＋5)＝a 1＋a 3.又∵2a 1＝2S 1＝a 2－22＋1,2(a 1＋a 2)＝2S 2＝a 3－23＋1， ∴a 2＝2a 1＋3，a 3＝6a 1＋13.因此4a 1＋16＝7a 1＋13，从而a 1＝1.(2)由题设条件知，n ≥2时，2S n －1＝a n －2n＋1， 2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1.∴2a n ＝a n ＋1－a n －2n，于是a n ＋1＝3a n ＋2n (n ≥2)．而由(1)知，a 2＝2a 1＋3＝5＝3a 1＋2， 因此对一切正整数n ，有a n ＋1＝3a n ＋2n. 所以a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n)．又∵a 1＋21＝3，∴{a n ＋2n}是以3为首项，3为公比的等比数列． 故a n ＋2n＝3n，即a n ＝3n－2n. (3)∵a n ＝3n－2n＝3·3n －1－2n ＝3n －1＋2(3n －1－2n －1)≥3n －1，∴1a n ≤13n －1. ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋132＋…＋13n －1＝1－13n1－13<32. 19．(2012·湖北)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和． 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋d a 1＋2d ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列的通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋n －2[2＋3n －7]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式． 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.20．(2012·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n－k (其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3.(1)求a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n .解析 (1)由S n ＝kc n －k ，得a n ＝S n －S n －1＝kc n －kcn －1(n ≥2)．由a 2＝4，a 6＝8a 3，得kc (c －1)＝4，kc 5(c －1)＝8kc 2(c －1)．解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，k ＝2，所以a 1＝S 1＝2，a n ＝kc n －kcn －1＝2n (n ≥2)，于是a n ＝2n.(2)T n ＝∑i ＝1nia i ＝∑i ＝1ni ·2i，即T n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ，T n ＝2T n －T n ＝－2－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1＝－2n ＋1＋2＋n ·2n ＋1＝(n －1)2n ＋1＋2.21．(2012·安徽)数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c (n ∈N *)． (1)证明：{x n }是递减数列的充分必要条件是c <0； (2)求c 的取值范围，使{x n }是递增数列．解析 (1)先证充分性，若c <0，由于x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c ≤x n ＋c <x n ，故{x n }是递减数列； 再证必要性，若{x n }是递减数列，则由x 2<x 1，可得c <0. (2)(ⅰ)假设{x n }是递增数列． 由x 1＝0，得x 2＝c ，x 3＝－c 2＋2c . 由x 1<x 2<x 3，得0<c <1. 由x n <x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c 知， 对任意n ≥1都有x n <c ，①注意到c －x n ＋1＝x 2n －x n －c ＋c ＝(1－c －x n )(c －x n )，②由①式和②式可得1－c －x n >0，即x n <1－c . 由②式和x n ≥0还可得，对任意n ≥1都有c －x n ＋1≤(1－c )(c －x n )．③21 反复运用③式，得c －x n ≤(1－c )n －1(c －x 1)<(1－c )n －1.x n <1－c 和c －x n <(1－c )n －1两式相加，知 2c －1<(1－c )n －1对任意n ≥1成立．根据指数函数y ＝(1－c )n 的性质，得2c －1≤0，c ≤14.故0<c ≤14. (ⅱ)若0<c ≤14，要证数列{x n }为递增数列，即 x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0，即证x n <c 对任意n ≥1成立．下面用数学归纳法证明：当0<c ≤14时，x n <c 对任意n ≥1成立． (1)当n ＝1时，x 1＝0<c ≤12，结论成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即x k <c .因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间(－∞，12]内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k )<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 故x n <c 对任意n ≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列．由(ⅰ)(ⅱ)知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是(0，14]．。

云南省2020届高三适应性考试数学试题（A 卷）（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|0}A x x x =+≤，{|ln(21)}B x y x ==+，则A B =（ ）A ．1(,0]2-B ．1[,0]2-C ．1[0,)2D ．1[1,]2--2．已知i 是虚数单位，复数2(12i)-的共轭复数虚部为（ ） A ．4iB ．3C ．4D ．4-3．已知向量(3,2)=a ，(1,1)=-b ，若()λ+⊥a b b ，则实数λ=（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．14．已知(1)n x +的展开式的各项系数和为32，则展开式中4x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．15D ．205．已知命题:0p x ∀≥，1x e ≥或sin 1x ≤，则p ⌝为（ ） A ．0x ∃<，1x e <且sin 1x > B ．0x ∃<，1x e ≥或sin 1x ≤ C ．0x ∃≥，1x e <且sin 1x >D ．0x ∃≥，1x e <或sin 1x >6．已知函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，当(,1]x ∈-∞时，函数()f x 单调递减，设41lo ()g 2a f =，13lo ()g 3b f =，3lo (9)gc f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<7．已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.4＋12π 12π+ D.4+ 8．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭。

高三年 级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队 吃饭的不同安排方案共有（ ） A ．240种B ．188种C ．120种D ．156种9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断中正确的是（ ）①平面1PB D ⊥平面1ACD ②．1A P ∥平面1ACD③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是π(0,]3④．三棱锥1D APC -的体积不变 A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ③④ 10．若函数)2,0)(sin(2)(πθπωθω<<>+=x x f 的图象过点)(,30x f ），（在 ），（π0 只有两个零点，则ω的最值情况为 A ．最小值为31，最大值为34B ．无最小值，最大值为34C ．无最小值，最大值为37D ．最小值为31，最大值为37 11．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果 是奇数，则乘3加1，如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终 总能够得到1。

第2课时等差数列的性质及应用课后篇巩固探究A组1.在等差数列{a n}中,a1+a3+a5=π,则cos a3=()A. B. C.- D.解析因为{a n}是等差数列,所以a1+a3+a5=(a1+a5)+a3=3a3=π,所以a3=,故cos a3=cos.答案D2.设数列{a n},{b n}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则由a n+b n所组成的数列的第37项的值为()A.0B.37C.100D.-37解析设c n=a n+b n,{c n}也是等差数列,设其公差为d,则c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100.故d=c2-c1=0.故c n=100(n∈N*).从而c37=100.答案C3.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若a m=8,则m等于()A.8B.4C.6D.12解析因为a3+a6+a10+a13=4a8=32,所以a8=8,即m=8.答案A4.(2021·江西九江一中月考)已知等差数列{a n}满足a m-1+a m+1--1=0,且m>1,则a1+a2m-1=()A.10B.9C.3D.2解析由等差数列的性质知, a m-1+a m+1=2a m,则2a m--1=0,即(a m-1)2=0,解得a m=1.所以a1+a2m-1=2a m=2,故选D.答案D5.已知等差数列{a n},{b n}的公差分别为2和3,且b n∈N*,则数列{}是()A.等差数列,且公差为5B.等差数列,且公差为6C.等差数列,且公差为8D.等差数列,且公差为9解析依题意,得=a1+(b n-1)×2=2b n+a1-2=2b1+2(n-1)×3+a1-2=6n+a1+2b1-8,故=6,即数列{}是等差数列,且公差为6,故选B.答案B6.在等差数列{a n}中,a3,a8是方程x2-3x-5=0的两个根,则a1+a10=.解析依题意,得a3+a8=3,所以a1+a10=a3+a8=3.答案37.已知等差数列{a n}共有10项,其奇数项之和为10,偶数项之和为30,则公差是.答案48.若数列{a n}是等差数列,a3+a4+a5=12,则a1+a2+…+a7=.解析∵a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4,∴a1+a2+…+a7=7a4=28.答案289.已知等差数列2,6,10,…,190,…和等差数列2,8,14,…,200,…,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{a n},则数列{a n}的通项公式a n=.解析两个等差数列的公共项为2,14,26,…,即新数列的首项为2,公差为12,故a n=2+(n-1)×12=12n-10.答案12n-1010.导学号04994031在数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n+2n.设b n=,证明{b n}是等差数列,并求数列{a n}的通项公式.解由a n+1=2a n+2n,得b n+1=+1=b n+1.又b1=a1=1,所以{b n}是首项为1,公差为1的等差数列,所以=n,故a n=n·2n-1.B组1.在等差数列{a n}中,若a13=3,a2+a42=21,则a19=()A.11B.10C.9D.8解析因为a13+a2+a42=a13+a17+a27=a17+a19+a21=3a19=24,所以a19=8.答案D2.(2021·广东中山一中月考)已知等差数列{a n},a2=2,a4=8,若=3n-1,则b2 017=()A.2 016B.2 017C.2 018D.0解析由a2=2,a4=8,得数列{a n}的公差d==3,所以a n=2+(n-2)×3=3n-4,所以a n+1=3n-1.又数列{a n}的公差不为0,所以数列{a n}为单调数列,所以结合=3n-1,可得b n=n+1,故b2 017=2 018.故选C.答案C3.设等差数列{a n}的公差为d.若数列{}为递减数列,则()A.d>0B.d<0C.a1d>0D.a1d<0解析设b n=,则b n+1=,由于{}是递减数列,因此b n>b n+1,即.∵y=2x是单调增函数,∴a1a n>a1a n+1,∴a1a n-a1(a n+d)>0,∴a1(a n-a n-d)>0,即a1(-d)>0,∴a1d<0.答案D4.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为.解析不妨设角A=120°,c<b,则a=b+4,c=b-4,于是cos 120°==-,解得b=10,所以a=14,c=6.所以S△ABC=bc s in 120°=15.答案155.若x≠y,数列x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y各自成等差数列,则=.解析由题意,得a1-a2=,b1-b2=,所以.答案6.已知中位数为 1 010的一组数构成等差数列,其末项为 2 017,则该数列的首项为.解析设等差数列为{a n},若这组数有(2m+1)个,则a m+1=1 010,a2m+1=2 017.又a1+a2m+1=2a m+1,即a1+2 017=2×1 010,所以a1=3;若这组数有2m个,则a m+a m+1=1 010×2=2 020,a2m=2 017.又a1+a2m=a m+a m+1,即a1+2 017=2 020,所以a1=3.综上,该数列的首项为3.答案37.古代中国数学辉煌灿烂,在《张丘建算经》中记载:“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更给.问:各得金几何及未到三人复应得金几何?”求该问题中未到三人共得金多少斤.解由题意,得{a n}为等差数列,则解得所以a4+a5+a6=a1+a2+a3+9d=4+9×.故未到三人共得金斤.8.导学号04994032已知{a n}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若从数列{a n}中,依次取出第2项、第4项、第6项、…、第2n项,按原来顺序组成一个新数列{b n},试求出{b n}的通项公式.解(1)∵a1+a2+a3=12,∴a2=4.∵a8=a2+(8-2)d,∴16=4+6d,∴d=2,∴a n=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n.(2)a2=4,a4=8,a6=12,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.当n>1时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.∴{b n}是以4为首项,4为公差的等差数列.∴b n=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。

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第二章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列3，5，9，17,33，…的通项公式a n等于（)A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1答案B解析由于3＝2＋1，5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是a n＝2n＋1．(或特值法，当n＝1时只有B项符合．)2．记等差数列的前n项和为S n，若S2＝4，S4＝20,则该数列的公差d＝（）A．2 B．3 C．6 D．7答案B解析S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3．3．在数列｛a n｝中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( ）A．49 B．50 C．51 D．52答案D解析∵2a n＋1－2a n＝1，∴a n＋1－a n＝错误!．∴数列{a n}是首项a1＝2，公差d＝12的等差数列．∴a101＝2＋错误!×(101－1)＝52．4．在等差数列{a n}中,若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝（)A．45 B．50 C．75 D．60答案B解析∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a12＋a13＝3a12＝118，∴3(a2＋a12）＝150，即a2＋a12＝50，∴a4＋a10＝a2＋a12＝50．5．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于（）A．18 B．24 C．60 D．90答案C解析由a错误!＝a3a7得（a1＋3d)2＝(a1＋2d）（a1＋6d）,即2a1＋3d＝0．①又S8＝8a1＋错误!d＝32,则2a1＋7d＝8．②由①②,得d＝2，a1＝－3．所以S10＝10a1＋902d＝60．故选C．6．等比数列{a n｝的通项为a n＝2·3n－1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n}，那么162是新数列{b n}的（）A．第5项 B．第12项 C．第13项 D．第6项答案C解析162是数列｛a n}的第5项，则它是新数列｛b n}的第5＋（5－1）×2＝13项．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为( ) A．错误!钱 B．错误!钱 C．错误!钱 D．错误!钱答案B解析依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d,a，a＋d，a＋2d，则由题意可知，a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d,又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，∴a＝1，则a－2d＝a－2×错误!＝错误!a＝错误!．故选B．8．已知｛a n｝是等差数列，a3＝5,a9＝17，数列｛b n}的前n项和S n＝3n，若a m＝b1＋b4，则正整数m等于( ）A．29 B．28 C．27 D．26答案A解析因为{a n}是等差数列，a9＝17，a3＝5,所以6d＝17－5，得d＝2,a n＝2n－1．又因为S n ＝3n ,所以当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，S n －1＝3n －1，b n ＝3n －3n －1＝2·3n －1,由a m ＝b 1＋b 4,得2m －1＝3＋54，得m ＝29,故选A ．9．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，记S n 是数列{a n ｝的前n 项和,则S 5＝（ )A ．32B ．62C ．27D ．81 答案 B解析 设各项均为正数的等比数列｛a n ｝的公比为q ， 又a 1＝2，则a 2＝2q ,a 4＋2＝2q 3＋2，a 5＝2q 4， ∵a 2，a 4＋2，a 5成等差数列,∴4q 3＋4＝2q ＋2q 4， ∴2(q 3＋1）＝q （q 3＋1），由q ＞0，解得q ＝2, ∴S 5＝错误!＝62．故选B ．10．已知数列｛a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋（－1）n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( )A ．13B ．－76C ．46D ．76 答案 B解析 ∵S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋ （－1)n －1（4n －3），∴S 14＝7×（1－5）＝－28，a 15＝60－3＝57，S 22＝11×(1－5)＝－44， S 30＝15×（1－5）＝－60， a 31＝124－3＝121，∴S 15＝S 14＋a 15＝29，S 31＝S 30＋a 31＝61． ∴S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76．故选B ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1x ≤0，f x －1＋1x 〉0，把方程f (x ）＝x 的根按从小到大的顺序排列成一个数列{a n },则该数列的通项公式为( ）A ．a n ＝错误!（n ∈N ＊）B．a n＝n(n－1)(n∈N＊)C．a n＝n－1(n∈N＊)D．a n＝n－2（n∈N＊)答案C解析令2x－1＝x（x≤0）,易得x＝0．当0〈x≤1时，由已知得f（x－1）＋1＝x，即2x－1－1＋1＝2x－1＝x，则x＝1．当1<x≤2时,由已知得f（x）＝x，即f(x－1）＋1＝x,即f(x－2)＋1＋1＝x，故2x－2＋1＝x，则x＝2．因此,a1＝0,a2＝1，a3＝2，结合各选项可知该数列的通项公式为a n＝n－1（n∈N＊)．故选C．12．已知数列｛a n｝满足a n＋1＋（－1）n a n＝2n－1，S n为其前n项和，则S60＝（) A．3690 B．1830 C．1845 D．3660答案B解析①当n为奇数时,a n＋1－a n＝2n－1，a n＋a n＋1＝2n＋1,两式相减得＋2a n＋a n＝2；＋2②当n为偶数时,a n＋1＋a n＝2n－1，a n－a n＋1＝2n＋1，两式相加得＋2a n＋a n＝4n，故S60＝a1＋a3＋a5＋…＋a59＋（a2＋a4＋a6＋…＋a60)＋2＝2×15＋（4×2＋4×6＋…＋4×58)＝30＋4×450＝1830．故选B．第Ⅱ卷(非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{a n}中，a1＝10，a n＋1＝a n－错误!，则它的前n项和S n的最大值为________．答案105解析∵a n＋1－a n＝－错误!，∴d＝－错误!,又a1＝10,∴a n＝－错误!＋错误!(n∈N＊)．∵a1＝10〉0,d＝－错误!<0，设从第n项起为负数，则－错误!＋错误!〈0(n∈N*)．∴n〉21，于是前21项和最大，最大值为S21＝105．14．已知等比数列｛a n｝为递增数列，若a1＞0，且2（a n＋a n＋2)＝5a n＋1，则数列｛a n｝的公比q＝________．答案2解析∵{a n｝是递增的等比数列，且a1＞0，∴q＞1．又∵2(a n＋a n＋2）＝5a n＋1，∴2a n＋2a n q2＝5a n q．∵a n≠0，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝错误!（舍去),∴公比q为2．15．在数列{a n｝中，a1＝1，a2＝2，且a n＋2－a n＝1＋(－1)n(n∈N*），则a1＋a2＋…＋a51＝________．答案676解析当n为正奇数时，a n＋2－a n＝0，又a1＝1，则所有奇数项都是1；当n为正偶数时，a n－a n＝2,又a2＝2，则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a51＝＋2(a1＋a3＋…＋a51）＋(a2＋a4＋…＋a50）＝26a1＋25a2＋错误!×2＝676．16．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n（n∈N*)年后,盈利总额达到最大值（盈利总额等于总收入减去总成本)，则n等于________．答案7解析设该设备第n年的运营费用为a n万元，则数列{a n｝是以2为首项，3为公差的等差数列,则a n＝3n－1．设该设备使用n年的运营费用总和为T n，则T n＝错误!＝错误!n2＋错误!n．设n年的盈利总额为S n,则S n＝21n－错误!－9＝－错误!n2＋错误!n－9．由二次函数的性质可知，当n＝错误!时，S n取得最大值，又n∈N＊，故当n＝7时,S n取得最大值．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分)设a,b，c是实数，3a，4b，5c成等比数列，且错误!，错误!，错误!成等差数列，求错误!＋错误!的值．解∵3a，4b，5c成等比数列，∴16b2＝15ac．①∵错误!，错误!，错误!成等差数列,∴错误!＝错误!＋错误!．②由①，得错误!·15ac＝64．③将②代入③，得错误!＋错误!2·15ac＝64，∴错误!＋错误!＋错误!ac＝错误!．∴错误!＋错误!＝错误!．18．(本小题满分12分）数列{a n｝的前n项和为S n,数列{b n｝中，b1＝a1,b n＝a n－a n－1(n≥2），若a n＋S n＝n，c n＝a n－1．(1)求证：数列｛c n}是等比数列；（2）求数列{b n｝的通项公式．解(1)证明:∵a1＝S1，a n＋S n＝n, ①∴a1＋S1＝1，得a1＝错误!．又a n＋1＋S n＋1＝n＋1, ②由①②两式相减得2(a n＋1－1)＝a n－1，即错误!＝错误!，也即错误!＝错误!，故数列{c n}是等比数列．（2)∵c1＝a1－1＝－错误!，∴c n＝－错误!，a n＝c n＋1＝1－错误!,a n＝1－错误!．－1故当n≥2时，b n＝a n－a n－1＝错误!－错误!＝错误!．又b1＝a1＝错误!也适合上式,∴b n＝错误!．19．（本小题满分12分）已知数列{a n｝满足a1＝1，a2＝3,a n＋2＝3a n＋1－2a n（n∈N*）．(1)证明：数列{a n＋1－a n}是等比数列；(2）求数列{a n}的通项公式．解(1）证明:∵a n＋2＝3a n＋1－2a n，∴a n＋2－a n＋1＝2（a n＋1－a n），∴错误!＝2．∵a1＝1，a2＝3，∴{a n＋1－a n}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列．（2）由(1）得a n＋1－a n＝2n,∴a n＝(a n－a n－1）＋(a n－1－a n－2)＋…＋（a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1．故数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1．20．（本小题满分12分)2010年4月14日，冰岛南部艾雅法拉火山喷发，弥漫在欧洲上空多日的火山灰严重影响欧洲多个国家的机场正常运营．由于风向，火山灰主要飘落在该火山口的东北方向与东南方向之间的地区．假设火山喷发停止后，需要了解火山灰的飘散程度，为了测量的需要，现将距离火山喷口中心50米内的扇形面记为第1区、50米至100米的扇环面记为第2区、…、50(n－1)米至50n米的扇环面记为第n区，若测得第1区的火山灰每平方米的平均质量为1吨、第2区每平方米的平均质量较第1区减少了2%、第3区较第2区又减少了2％，依此类推，问：（1)离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米多少千克？(结果精确到1千克）（2）第几区内的火山灰总质量最大？提示：当n较大时，可用(1－x）n≈1－nx进行近似计算．解(1）设第n区的火山灰为每平方米a n千克，依题意,数列｛a n｝为等比数列，且a1＝1000（千克）,公比q＝1－2％＝0．98，∴a n＝a1×q n－1＝1000×0．98n－1．∵离火山口1225米处的位置在第25区，∴a25＝1000×（1－0．02)24≈1000×（1－24×0．02)＝520,即离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米520千克．（2)设第n区的火山灰总质量为b n千克，且该区的火山灰总质量最大．依题意，第n区的面积为错误!π{（50n)2－[50(n－1)］2}＝625π（2n－1）,∴b n＝625π(2n－1)×a n．依题意得错误!解得49．5≤n≤50．5．∵n∈N＊，∴n＝50，即第50区的火山灰总质量最大．21．(本小题满分12分）设数列｛a n}的前n项和为S n＝2n2，数列{b n}为等比数列，且a1＝b1,b2（a2－a1)＝b1．(1）求数列｛a n}和｛b n}的通项公式;（2）设c n＝错误!，求数列｛c n｝的前n项和T n．解（1）当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，a n＝S n－S n＝2n2－2(n－1）2＝4n－2，－1∵当n＝1时，a1＝4－2＝2也适合上式，∴｛a n｝的通项公式为a n＝4n－2，即{a n｝是a1＝2，公差d＝4的等差数列．设{b n｝的公比为q，则b1qd＝b1,∴q＝错误!．故b n＝b1q n－1＝2×错误!．即｛b n｝的通项公式为b n＝错误!．(2）∵c n＝错误!＝错误!＝(2n－1)4n－1，∴T n＝c1＋c2＋…＋c n＝1＋3×41＋5×42＋…＋（2n－1）4n－1,4T n＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋（2n－3）4n－1＋(2n－1)4n．两式相减,得3T n＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n－1）＋(2n－1）4n＝错误![(6n－5）4n＋5]，∴T n＝错误!［(6n－5）4n＋5］．22．（本小题满分12分）已知a1＝2，点（a n,a n＋1)在函数f(x）＝x2＋2x的图象上，其中n ＝1,2，3，…．(1）证明：数列｛lg （1＋a n)}是等比数列；（2)设T n＝（1＋a1)·(1＋a2）…(1＋a n),求T n；(3)记b n＝错误!＋错误!，求数列｛b n}的前n项和S n，并证明S n<1．解（1）证明：由已知a n＋1＝a错误!＋2a n，∴a n＋1＋1＝(a n＋1)2，∴lg （1＋a n＋1)＝2lg （1＋a n），∴｛lg (1＋a n）}是公比为2的等比数列．（2)由(1)知lg （1＋a n）＝2n－1·lg （1＋a1)＝2n－1·lg 3＝lg 32n－1，∴1＋a n＝32n－1，∴T n＝(1＋a1)(1＋a2）…（1＋a n）＝320·321·322·…·32n－1＝31＋2＋22＋…＋2n－1＝32n－1．（3)∵点（a n,a n＋1）在函数f（x)＝x2＋2x的图象上，∴a n＋1＝a错误!＋2a n，∴a n＋1＝a n（a n＋2）．∴错误!＝错误!错误!,∴错误!＝错误!－错误!,∴b n＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!－错误!＝2错误!．∴S n＝b1＋b2＋…＋b n＝2（1a1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!＝2错误!．∵a n＝32n－1－1，a1＝2，a n＋1＝32n－1,∴S n＝1－错误!．32n－1>32－1＝8〉2，∴0<232n－1<1．∴S n<1．。

模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x｜x<3｝，B＝{x|2x>4}，则A∩B＝( )A．∅B．{x|0〈x〈3｝C．｛x|1<x〈3｝D．{x|2<x<3｝解析：依据函数y＝2x是增函数，可得B＝｛x｜2x〉4｝＝｛x|x>2｝，则A∩B＝｛x｜2<x<3｝．答案：D2．对于实数x，y，若p：x＋y≠4,q：x≠3或y≠1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：考虑该命题的逆否命题．綈q:x＝3且y＝1，綈p：x＋y＝4,显然綈q⇒綈p，但綈p⇒綈q,所以綈q是綈p的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件．答案：A3．函数y＝错误!的定义域为（)A．（－∞，1］B．［－1，1]C．[1,2）∪(2，＋∞）D。

错误!∪错误!解析：由函数y＝错误!得错误!解得错误!即－1≤x≤1且x≠－错误!，所以所求函数的定义域为错误!∪错误!.答案：D4．已知0<a<b,且a＋b＝1,则下列不等式中正确的是（）A．log2a〉0 B．2a－b<错误!C．log2a＋log2b<－2 D．2+a bb a⎛⎫⎪⎝⎭<错误!解析：特殊值法，令a＝错误!,b＝错误!代入检验只有C正确，故选C。

答案：C5．关于x的不等式ax－b<0的解集是（1，＋∞），则关于x的不等式（ax＋b)（x－3)>0的解集是( ）A．（－∞，－1）∪（3，＋∞) B．(1,3）C．(－1，3）D．（－∞，1)∪(3，＋∞）解析：关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax〈b的解集是(1,＋∞),∴a＝b〈0，∴不等式（ax＋b)·(x－3)>0可化为(x＋1）（x－3)〈0，解得－1<x〈3，∴所求解集为（－1,3)．答案：C6．已知sinα－cosα＝错误!，α∈（0，π)，则sin2α＝（)A．－1 B．－错误!C.错误!D．1解析：∵（sinα－cosα)2＝2,∴2sinαcosα＝－1,即sin2α＝－1。

2020届高三数学数列检测试卷试卷总分100分一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共3 6分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案填入题中括号中.)1．等差数列{b n }中，b 1＝1, b 1＋b 2＋b 3＋……＋b 10＝145, 则数列{b n }的通项公式b n 是 （ ）（A ）3n －2 （B ）4－3n （C ）16n －15 （D ）37310-n 2．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{a n }中，若a n －3·a n ＋1＝a k 2(n , k 均为自然数)，则a k 为 （ ）（A ）a 1qn －1（B ）a 1qn －2（C ）a 1qn －3（D ）以上答案都不正确3．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝8, a 11－a 4＝4, 记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋……＋a n ，则S 13等于 （ ）（A ）168 （B ）156 （C ）78 （D ）152 4．等差数列{a n }的前n 项和是S n ，a 3＋a 8>0, S 9<0, 则S 1, S 2, S 3, ……,S n 中最小的是（ ）（A ）S 9 （B ）S 8 （C ）S 5 （D ）S 45．已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 30＝13S 10, S 10＋S 30＝140，则S 20的值是（ ）（A ）90 （B ）70 （C ）50 （D ）40 6．等比数列{a n }中，公比q ＝21，且a 3＋a 6＋a 9＋……＋a 99＝60，那么a 1＋a 2＋a 3＋……＋a 99的值等于 （ ）（A ）300 （B ）420 （C ）90 （D ）100二、填空题：(本大题共5小题，每小题6分，共30分。

把答案填在题中横线上。

) 7．在等比数列{a n }中，记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋……＋a n ，已知a 5＝2S 4＋3,a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q 的值是 .8．等差数列{a n }的首项a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值是4.6，则抽去的这一项是第 项. 9．已知x ＝11，则1102112311222++++++++x x x x x x ΛΛ＝ . 10．某产品，计划每年成本降低q %，若三年后的成本是a 元，则现在的成本是 元.11．数列{a n }中，若a 1＝5, a n ＝S n －1 (n ≥2)，则a n = . 三、解答题：(本大题共2小题，共34分，解答应写出文字说明，或演算步骤)12、（本小题满分14分）已知三数成等比数列，若把第二个数增加4，则三数成等差数列，若再把第三个数增加32，则它们又成了等比数列，求这三个数。

章末质量检测(三) 函数的概念与性质一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )解析：由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意． 答案：D2．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2－2x ＋1 B ．y ＝x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞)) C ．y ＝1x 2＋2x ＋1(x ∈N ) D ．y ＝1|x ＋1|解析：在选项A 中y 可等于零，选项B 中y 显然大于1，选项C 中x ∈N ，值域不是(0，＋∞)，选项D 中|x ＋1|>0，即y >0.答案：D3．函数f (x )＝1＋x －2x的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1,0)∪(0，＋∞) D．R解析：要使函数有意义，x 的取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，x ≠0，解得x ≥－1，且x ≠0，则函数的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：C4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >10，f (f (x ＋5))，x ≤10，则f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．16解析：f (5)＝f (f (10))＝f (f (f (15)))＝f (f (18))＝f (21)＝24. 答案：A5．下列各组函数相等的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 0C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t |D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1解析：选项A ，B ，D 中两函数定义域不同，只有C 项符合． 答案：C6．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－35解析：f (2)＝22－122＋1＝4－14＋1＝35.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝14－114＋1＝－35.∴f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1.答案：B7．若函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (1)<f (2)<f (3)，则函数f (x )在(0，＋∞)上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．单调性不能确定解析：函数单调性的定义突出了x 1，x 2的任意性，仅凭区间内有限个函数值的关系，不能作为判断函数单调性的依据，A ，B ，C 错误，D 正确．答案：D8．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0且f (x )＝1，则x ＝( )A ．1B ．－1C ．±1 D．0解析：当x ≥0时，f (x )＝1⇒x ＝1，当x <0时，f (x )＝1⇒－x ＝1，即x ＝－1. 答案：C9．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2) 解析：由已知f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (3)<f (－2)<f (1)，故选A. 答案：A10．函数f (x )＝ax 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a 的取值范围为( )A ．0<a ≤15B ．0≤a ≤15C ．0<a <15D ．a >15解析：当a ≠0时，函数f (x )的对称轴为x ＝－a －1a， ∵f (x )在(－∞，4]上为减函数， ∴图象开口朝上，a >0且－a －1a ≥4，得0<a ≤15. 当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，显然在(－∞，4]上为减函数． 答案：B11．如果奇函数f (x )在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f (x )在区间[－5，－1]上是( )A ．增函数且最小值为3B ．增函数且最大值为3C ．减函数且最小值为－3D ．减函数且最大值为－3解析：当－5≤x ≤－1时1≤－x ≤5， ∴f (－x )≥3，即－f (x )≥3. 从而f (x )≤－3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同， 故f (x )在[－5，－1]是减函数．故选D. 答案：D12．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )>0都成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(1，＋∞) D．(－∞，1)解析：因为对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )>0都成立，所以a >2x －1x 2＝2x －1x2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1，又－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12＋1≤1，所以a >1，所以实数a 的取值范围为(1，＋∞)． 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知函数f (x )在[－1,2]上的图象如图所示，则f (x )的解析式为________．解析：当x ∈[－1,0]时，y ＝x ＋1；当x ∈(0,2]时，y ＝－12x ，故f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，－12x ，0<x ≤2.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，－12x ，0<x ≤2.14．函数f (x )＝－(x ＋2)2＋1的单调递减区间为________．解析：函数f (x )＝－(x ＋2)2＋1的图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2，在对称轴右侧函数单调递减，所以函数f (x )＝－(x ＋2)2＋1的单调递减区间为[－2，＋∞)．答案：[－2，＋∞)15．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥t ，x ，0<x <t(t >0)是区间(0，＋∞)上的增函数，则t 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥t ，x ，0<x <t (t >0)的图象如图：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥t ，x ，0<x <t(t >0)是区间(0，＋∞)上的增函数，所以t ≥1.答案：t ≥116．对于定义在R 上的函数f (x )，有下述结论：①若f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称；②若对x ∈R ，有f (x ＋1)＝f (x －1)，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ③若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，则f (x )为偶函数； ④函数f (1＋x )与函数f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确结论的序号为________．解析：若f (x )为奇函数，则f (x －1)＝－f (1－x )，故①正确．令t ＝x －1，则由f (x ＋1)＝f (x －1)可知，f (t )＝f (t ＋2)，即f (x )＝f (x ＋2)，其图象不一定关于直线x ＝1对称．例如，函数f (x )＝x 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2(其中[x ]表示不超过x 的最大整数)，其图象如图所示，满足f (x ＋1)＝f (x －1)，但其图象不关于直线x ＝1对称，故②不正确．若g (x )＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，则有g (x ＋1)＝g (－x ＋1)，即f (x )＝f (－x )，∴③正确．对于④，不妨令f (x )＝x ，则f (1＋x )＝1＋x ，f (1－x )＝1－x ，二者图象关于x ＝0对称，故④错误．答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4. (1)求函数f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (12)的值．解析：(1)根据题意知x －1≠0且x ＋4≥0， ∴x ≥－4且x ≠1，即函数f (x )的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)． (2)f (－1)＝6－2－－1＋4＝－3－ 3.f (12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811. 18．(12分)画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间．解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0.函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．19．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x，x >1，x 2＋1，－1≤x ≤1，2x ＋3，x <－1.(1)求f (f (f (－2)))的值； (2)若f (a )＝32，求a .解析：(1)∵－2<－1，∴f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1， ∴f (f (－2))＝f (－1)＝2， ∴f (f (f (－2)))＝f (2)＝1＋12＝32.(2)当a >1时，f (a )＝1＋1a ＝32，∴a ＝2>1；当－1≤a ≤1时，f (a )＝a 2＋1＝32，∴a ＝±22∈[－1,1]；当a <－1时，f (a )＝2a ＋3＝32，∴a ＝－34>－1(舍去)．综上，a ＝2或a ＝±22. 20．(12分)已知f (x )＝1x －1， (1)判断f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明． (2)求f (x )在[2,6]上的最大值和最小值．解析：(1)函数f (x )在(1，＋∞)上是减函数． 证明：任取x 2>x 1>1， 则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)， 因为x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(1，＋∞)上是减函数． (2)由(1)可知f (x )在(1，＋∞)上是减函数， 所以f (x )在[2,6]上是减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝1，f (x )min ＝f (6)＝15，即f (x )min ＝15，f (x )max ＝1.21．(12分)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x (吨)．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解析：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，此时乙的用水量也不超过4吨，y ＝(5x ＋3x )×1.8＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x ≤4且5x >4，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8；当乙的用水量超过4吨时，即3x >4，显然甲的用水量也超过4吨，y ＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ， 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均为单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.4； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.4； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4， 解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝7.5，付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．答：甲户用水量7.5吨，付费17.70元；乙户用水量4.5吨，付费8.70元． 22．(12分)已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (t －1)＋f (2t )<0. 解析：(1)因为f (x )＝ax ＋bx 2＋1是定义在(－1,1)上的奇函数， 则f (0)＝0，得b ＝0.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，则12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝25⇒a ＝1，所以f (x )＝xx 2＋1.(2)因为定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是增函数， 由f (t －1)＋f (2t )<0得f (t －1)<－f (2t )＝f (－2t )．11 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ －1<t －1<1，－1<－2t <1，t －1<－2t ，⎩⎪⎨⎪⎧ 0<t <2，－12<t <12，t <13. 解得0<t <13.故不等式f (t －1)＋f (2t )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪0<t <13.。

第三章单元质量测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分，考试时间１20分钟.第Ⅰ卷 (选择题，共６0分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共6０分)1．复数ｚ=1i-1的模为()A．错误!未定义书签。

B.错误! C。

错误!Ｄ．2答案B解析ｚ＝错误!＝错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

＝-错误!-错误!ｉ，｜z|=错误!=错误!,故选Ｂ.2.“m＝1”是“复数z＝(1＋m i)(１＋i)（m∈R，i为虚数单位)为纯虚数”的（)Ａ．充分不必要条件Ｂ.必要不充分条件C.充要条件ﻩD．既不充分也不必要条件答案C解析z＝(1＋m i)（1+i)=1＋i+ｍi－m=(1－m)＋(1＋ｍ)i，若m＝1,则z＝２i为纯虚数；若ｚ为纯虚数,则ｍ=1.故选C.3．若z＝cosθ+ｉsｉｎθ(i为虚数单位）,则使z2=－１的θ值可能是( )A。

错误!未定义书签。

Ｂ.＼f(π,4) C.错误!未定义书签。

D.错误!未定义书签。

答案Ｄ解析z２＝(cｏsθ＋isｉnθ)2＝(coｓ2θ-ｓｉｎ2θ）+2isｉｎθcoｓθ＝cｏs2θ＋isｉn２θ＝－1,∴错误!∴2θ=2ｋπ+π（ｋ∈Ｚ),∴θ=kπ＋＼f(π,２)（k∈Z）,令ｋ＝0知选D.４.已知m1+ｉ=1－nｉ，其中m，n是实数，ｉ是虚数单位，则ｍ＋ｎi等于(）A.1＋2i B.1-2i Ｃ．２+i D.2-ｉ答案C解析ｍ1＋i＝１－n i,所以ｍ＝(1+n)＋(１-n)i,因为m,n∈R，所以错误!所以错误!即ｍ+n i=2＋i。

５.若z＝x＋y i(x，ｙ∈R)是方程z2＝－3＋4i的一个根,则z=（）A．1－２ｉB．-1+2i C.－1-2ｉ D．2+i答案C解析利用完全平方公式,代入验证：(-1－2ｉ）2＝（1＋2i)2＝1-４+4ｉ＝－3＋4i.6.设复数z１，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z１＝２＋i,则z１z2=（)A.-５B.5C.－4＋i Ｄ.－4－iﻬ答案A解析由题意知ｚ2＝－２+i.所以z1z２=(２＋ｉ)(-２＋ｉ)＝ｉ2-4＝-5。

章末质量检测(一) 数列一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 9＝50，a 4＝13，则S 10＝( ) A ．170 B ．190 C ．180 D ．1892．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10：S 5＝1：2，则S 15：S 5＝( ) A ．3：4 B ．2：3 C ．1：2 D ．1：33．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ＋1，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝－2n －1B ．a n ＝2n －1C ．a n ＝2n －3D ．a n ＝2n －1－24．在正项等比数列{a n }中，若3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 2018－a 2019a 2016－a 2017＝( )A ．3或－1B ．9或1C ．3D ．95．我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷(ɡuǐ )长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为9916分；且“冬至”时日影长度最大，为1 350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．则“立春”时日影长度为( )A ．95313分B ．1 05212分C ．1 15123分D ．1 25056分6．按照下列图形中的规律排下去，第6个图形中包含的点的个数为( )A ．108B ．128C ．148D ．1687．数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n .若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k ＝( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 58．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列{a n }是等积数列且a 1＝3，前41项的和为103，则这个数列的公积为( )A ．2B ．3C ．6D ．8二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 3＋a 8＋a 13是一个定值，则下列各数也为定值的有( )A ．a 7B ．a 8C ．S 15D ．S 1610．在递增的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2＋a 3＝12，则下列说法正确的是( )A ．q ＝1B ．数列{S n ＋2}是等比数列C ．S 8＝510D ．数列{lg a n }是公差为2的等差数列11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n2＋3a n(n ∈N *)，则下列结论正确的有( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋3为等比数列 B ．{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1－3C ．{a n }为递增数列 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ＝2n ＋2－3n －4 12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是( )A ．a 6＝8B ．S 7＝33C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2020D.a 21＋a 22＋……＋a 22019a 2019＝a 2020三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m 倍，那么该单位此年的月平均增长率是________．14．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________.15．设S n 是数列{a n }的前n 项和且a 1＝2，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S n ＝________.16．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }中，a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .18．(本小题满分12分)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m .19．(本小题满分12分)已知数列{a n }为等差数列，a 7－a 2＝10，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n ＝225，求n 的值．20．(本小题满分12分)已知在等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n＋2log 2a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .21．(本小题满分12分)在①b 1＋b 3＝a 2，②a 4＝b 4，③S 5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，________，b 1＝a 5，b 2＝3，b 5＝－81，是否存在k ，使得S k >S k ＋1且S k ＋1<S k ＋2?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }前n 项和为S n ，a 1＝2，且满足S n ＝12a n ＋1＋n ，(n ∈N *)．(1)证明：n ≥2，n 是整数时，数列{a n －1}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(4n －2)a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .章末质量检测(一) 数列1．解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ， ∵a 5＋a 9＝50，a 4＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋12d ＝50a 1＋3d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4.∴S 10＝10×1＋10×(10－1)2×4＝190，故选B 项．答案：B2．解析：在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10S 5＝12，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15S 5＝34，故选A. 答案：A3．解析：∵S n ＝2a n ＋1，∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，化为：a n ＝2a n －1. n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. ∴数列{a n }为等比数列，公比为2 ∴a n ＝－2n －1，故选A. 答案：A4．解析：设等比数列{a n }的公比为q >0，因为3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，故a 3＝3a 1＋2a 2⇒a 1q 2＝3a 1＋2a 1q ⇒q 2－2q －3＝0⇒(q －3)(q ＋1)＝0.因为q >0故q ＝3.故(a 2016－a 2017)q 2a 2016－a 2017＝q 2＝9.故选D. 答案：D5．解析：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为9916分，且“冬至”时日影长度最大，为1 350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．∴1 350＋12d ＝160，解得d ＝－119012，∴“立春”时日影长度为：1350＋⎝⎛⎭⎫－1 19012×3＝1 05212(分)． 故选B.答案：B6．解析：观察图形可知第1个图形中包含点的个数为：3＝3×1＝3×12， 第2个图形中包含点的个数为：12＝3×(1＋3)＝3×22， 第3个图形中包含点的个数为：27＝3×(1＋3＋5)＝3×32， 第4个图形中包含点的个数为：48＝3×(1＋3＋5＋7)＝3×42， …第6个图形中包含点的个数为：48＝3×(1＋3＋5＋7＋9＋11)＝3×62＝108. 故选A. 答案：A7．解析：由a m ＋n ＝a m a n ，令m ＝1可得a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴数列{a n }是公比为2的等比数列，∴a n ＝2×2n －1＝2n .则a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝2k ＋1＋2k ＋2＋…＋2k ＋10＝2k ＋1(1－210)1－2＝2k ＋11－2k ＋1＝215－25，∴k ＝4.故选C.答案：C8．解析：由题可知等积数列的各项以2为一个周期循环出现，每相邻两项的和相等，前41项的和为103，则(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 39＋a 40)＋a 41＝103，即20(a 1＋a 2)＋a 1＝103，解得a 2＝2 所以公积是2×3＝6故选C. 答案：C9．解析：由等差中项的性质可得a 3＋a 8＋a 13＝3a 8为定值，则a 8为定值，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8为定值，但S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 8＋a 9)不是定值．故选BC. 答案：BC10．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1a 4＝32，a 2＋a 3＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 3＝32a 2＋a 3＝12，解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4a 3＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8a 3＝4，因为{a n }递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4a 3＝8，因此q ＝2，故A 错；所以a 1＝a 2q＝2，因此a n ＝2n，S n ＝2×(1－2n )1－2＝2n ＋1－2，所以S 8＝29－2＝510，S n ＋2＝2n ＋1，所以数列{S n ＋2}是等比数列，故BC 正确； 又lg a n ＝lg 2n ＝n ·lg 2，因此数列{lg a n }是公差为lg 2的等差数列，故D 错；故选BC. 答案：BC 11．解析：因为1a n ＋1＝2＋3a n a n ＝2a n ＋3，所以1a n ＋1＋3＝2⎝⎛⎭⎫1a n ＋3，又1a 1＋3＝4≠0， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋3是以4为首项，2为公比的等比数列，1a n ＋3＝4×2n －1即a n ＝12n ＋1－3，{a n }为递减数列， ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n ＋1－3)＝2(21＋22＋…＋2n )－3n ＝2×2×(1－2n )1－2－3n ＝2n ＋2－3n －4.故选ABD. 答案：ABD12．解析：对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，S 7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33，故B 正确；对C ，由a 1＝a 2，a 3＝a 4－a 2，a 5＝a 6－a 4，……，a 2019＝a 2020－a 2018，可得：a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2020.故a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019是斐波那契数列中的第2020项，故C 项正确；对D ，斐波那契数列总有a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，则a 21＝a 2a 1，a 22＝a 2(a 3－a 1)＝a 2a 3－a 2a 1，a 23＝a 3(a 4－a 2)＝a 3a 4－a 2a 3，……，a 22018＝a 2018(a 2019－a 2017)＝a 2018a 2019－a 2017a 2018， a 22019＝a 2019a 2020－a 2019a 2018.a 21＋a 22＋a 23＋……＋a 22019＝a 2019a 2020，故D 正确；故选ABCD. 答案：ABCD13．解析：由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利用a 12a 1＝m ，所以月平均增长率为11m －1.答案：11m －114．解析：由题意，知a 2－a 1＝－1－(－7)3＝2，b 22＝(－4)×(－1)＝4.又因为b 2是等比数列中的第三项，所以b 2与第一项同号，即b 2＝－2，所以a 2－a 1b 2＝2－2＝－1.答案：－115．解析：由已知可知S n ＋1－S n ＝S n ·S n ＋1，两边同时除以S n ·S n ＋1，可得1S n －1S n ＋1＝1⇒1S n ＋1－1S n ＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝12为首项，－1为公差的等差数列，所以1S n ＝12＋(n －1)×(－1)＝32－n ，整理为S n ＝23－2n.答案：23－2n16．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝－10，所以a 3＝－2，又因为a 2＝－3，所以d ＝a 3－a 2＝1，所以a 1＝a 2－d ＝－4， a 5＝a 3＋2d ＝0，S n ＝－4n ＋12n (n －1)＝12n 2－92n＝12⎝⎛⎭⎫n －922－818， 又n ∈N *，故当n ＝4或5时，S n 取得最小值－10. 答案：0 －1017．解析：(1)依题意，设等差数列{a n }的公差为d ， 因为S 3＝3a 2＝－15，所以a 2＝－5，又a 1＝－7， 所以公差d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－7＋2(n －1)＝2n －9. (2)由(1)知a 1＝－7，d ＝2，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－7n ＋n (n －1)2×2＝n (n －8)．18．解析：(1)设{a n }的公比为q ， 由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.19．解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，，因为a 7－a 2＝10，所以5d ＝10，解得d ＝2.因为a 1，a 6，a 21依次成等比数列，所以a 26＝a 1a 21，即(a 1＋5×2)2＝a 1(a 1＋20×2)，解得a 1＝5.所以a n ＝2n ＋3.(2)由(1)知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋3)(2n ＋5)， 所以b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋5，所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫15－17＋⎝⎛⎭⎫17－19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋5＝n 5(2n ＋5)，由n 5(2n ＋5)＝225，得n ＝10. 20．解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q . ∵a 1，a 2，a 3－2成等差数列，a 1＝2， ∴2a 2＝a 1＋(a 3－2)＝2＋(a 3－2)＝a 3，∴q ＝a 3a 2＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n (n ∈N *)(2)b n ＝1a n ＋2log 2a n －1＝⎝⎛⎭⎫12n＋2log 22n－1 ＝⎝⎛⎭⎫12n ＋2n －1则S n ＝⎝⎛⎭⎫12＋1＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122＋3＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫123＋5＋…＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n ＋(2n －1) ＝⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)] ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋n [1＋(2n －1)]2＝n 2－⎝⎛⎭⎫12n ＋1(n ∈N *)21．解析：方案一：选条件①.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 5b 2＝－27，即q ＝－3.所以b n ＝－(－3)n －1.从而a 5＝b 1＝－1，a 2＝b 1＋b 3＝－10，由于{a n }是等差数列，所以a n ＝3n －16. 因为S k >S k ＋1且S k ＋1<S k ＋2等价于a k ＋1<0且a k ＋2>0，所以满足题意的k 存在当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3(k ＋1)－16<03(k ＋2)－16>0，即k ＝4.方案二：选条件②.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 5b 2＝－27，即q ＝－3，所以b n ＝－(－3)n －1.从而a 5＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝27， 所以{a n }的公差d ＝－28.因为S k >S k ＋1且S k ＋1<S k ＋2等价于a k ＋1<0且a k ＋2>0， 此时d ＝a k ＋2－a k ＋1>0，与d ＝－28矛盾， 所以满足题意的k 不存在． 方案三：选条件③.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 5b 2＝－27，即q ＝－3，所以b n ＝－(－3)n －1从而a 5＝b 1＝－1，由{a n }是等差数列得S 5＝5(a 1＋a 5)2，由S 5＝－25得a 1＝－9. 所以a n ＝2n －11.因为S k >S k ＋1且S k ＋1<S k ＋2等价于a k ＋1<0且a k ＋2>0， 所以满足题意的k 存在当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2(k ＋1)－11<02(k ＋2)－11>0，即k ＝4. 22．解析：(1)⎩⎨⎧S n ＝12a n ＋1＋nSn －1＝12a n＋(n －1)(n ≥2)，a n ＝12a n ＋1－12a n ＋1，即a n ＋1＝3a n －2(n ≥2)，即(a n ＋1－1)＝3(a n －1)， 当a 1＝2时，a 2＝2，a 2－1a 1－1＝1≠3，{a n －1}是以a 2－1＝1为首项，3为公比的等比数列， ∴a n －1＝1·3n －2，即a n ＝3n －2＋1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝13n －2＋1，n ≥2.(2)b n ＝(4n －2)a n ＋1＝(4n －2)·(3n －1＋1)＝(4n －2)3n －1＋(4n －2)， 记S n ＝2·30＋6·31＋10·32＋…＋(4n －2)3n －1，① 3S n ＝2·31＋6·32＋…＋(4n －6)3n －1＋(4n －2)3n ② ①－②得－2S n ＝2＋4(31＋32＋33＋…＋3n －1)－(4n －2)3n ∴S n ＝2＋(2n －2)·3n∴T n ＝2＋(2n －2)·3n＋n (2＋4n －2)2＝2＋(2n －2)·3n ＋2n 2.。