解析几何教学中平面向量的渗透

解析几何教学中应渗透平面向量方法武山县第三高级中学 王建华平面向量是高中数学教材改革新增加的内容之一，它是既有大小，又有方向的一个几何量.也就是说，平面向量既能像实数一样进行运算，也有直观的几何意义，是数与形的有机结合，可灵活实现形与数的相互转化.平面向量理论渗透在解析几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题，其方法是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理、求解问题转化为向量运算，完全变成了代数问题.一、确定直线的两个重要向量 1、直线的方向向量我们已经知道，两点确定一条直线，把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1，由P 1（x 1 , y 1）、P 2（x 2 , y 2）确定直线P 1P 2 的方向向量是P 1P 2 =（x 2 - x 1 , y 2 - y 1）.当直线P 1P 2与x 轴不垂直时有x 2≠x 1 , 这时直线的斜率为1212x x y y k --=而向量121x x - P 1P 2也是直线P 1P 2的方向向量，它的坐标是121x x （x 2 - x 1 , y 2 - y 1）. 即(1,k) 就是直线P 1P 2的方向向量,其中k 是直线P 1P 2的斜率. 2、直线的法向量和直线垂直的向量都称为该直线的法向量.如图2,设直线l 有法向量n =(A,B),且经过点P 0(x o ,y o ),取直线l 上任一点P(x,y),满足n ⊥P 0P,因为P 0P=（x – x o , y – y o ）,根据向量垂直的充要条件得A （x – x o ）+B( y – y o ) = 0 这个二元一次方程由直线l 上 一点P 0(x o ,y o ) 及直线的法向量n =(A,B) 确定,称为直线的点法式方程.反过来,如果直线l 有一般方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）,（1）若A ≠0时，该方程可化为A(x +AC)+B(y - 0) = 0 这是过点(-AC,0),且法向量为n =(A,B) 的点法式直线方程； （2）若B ≠0时，该方程可化为A(x -0)+B(y +BC) = 0 这是过点(0,-BC),且法向量为n =(A,B) 的点法式直线方程. 因此,n =(A,B)就是直线Ax+By+C=0的法向量. 设向量a =(-B,A),由a 与n 的数量积a ·n = -B ×A+A ×B=0所以a ⊥n ,从而向量a =(-B,A)是直线Ax+By+C=0的方向向量.由于直线的方向向量、法向量可以从直线的一般式直接写出,应用这两个重要向量解决某些问题比较便捷.二、平面向量与直线间的位置关系设直线l1与l2的方程分别是l1 :A1x+B1y+C1=0l2 :A2x+B2y+C2=0那么，n1=( A1, B1)和n2=( A2, B2)分别是直线l1与l2的法向量.2,那么n1∥n2,而n1∥n2的充要条件是n1=λn2得，消去λ得A1B2-A2B1=0由此可知, A1B2-A2B1=0是直线l1∥l2的充要条件.当A2 B2≠0时可表示为2121BBAA=，即对应坐标成比例.(2) 如果l1⊥l2 ,那么n1⊥n2,反过来也正确.而n1⊥n2的充要条件是n1·n2=0, 得A1 A2+B1 B2=0,所以直线l1⊥l2的充要条件是A1 A2+B1 B2=0.例1（1998年上海高考卷16题）设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与直线bx-sinB·y+sinC=0的位置关系是A平行B重合C垂直D相交但不垂直解析：易知两直线的法向量分别是n1=( sinA,a)和n2=( b,-sinB)由正弦定理知BbAasinsin=，即bsinA+a(-sinB)=0∴n1·n2=0有n1⊥n2，所以两直线是垂直的，选C.(3)更一般地,由直线的法向量可求两直线的夹角.设直线l1与l2的夹角为α,其法向量的夹角为θ,则α=θ或α=π-θ,所以cos α=|cos θ|. 由向量的夹角公式||||cos 2121n n n n ⋅⋅=θ,及n 1·n 2 =A 1 A 2+B 1 B 2 、| n 1|=2121B A +、| n 2|=2222B A +得两直线的夹角公式为222221211221||cos BA BA B A B A +++=α例2(2000年全国高考文科8题)已知两直线l 1:y=x,l 2:ax-y=0,其中a 为实数,当这两条直线的夹角在(0,12π)内变动时,a 的取值范围是 A(0,1) B(33,3) C(33,1)⋃(1, 3) D(1, 3)解析:两直线的法向量分别为(1,-1)、（a,-1）,由夹角公式得12|1|cos 2++=a a α=)1(2)1(22++a a ，夹角α在(0,12π)变动时， 有)1,426(cos -∈α,于是得426-<)1(2)1(22++a a <1， 解这个不等式得33<a<1或1<a<3，故选C. 三、平面向量与解析几何中角的问题任意两个不共线的非零向量a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2)，由夹角公式222221212121||||cos yx yx y y x x b a ba +++=⋅⋅=θ知, cos θ的正负直接由分子x 1 x 2+y 1 y 2来确定，于是得到如下结论：（1） 若θ为锐角⇔ x 1 x 2+y 1 y 2>0 ,即a ·b>0 （2） 若θ为直角⇔ x 1 x 2+y 1 y 2=0 ,即a ·b=0 （3） 若θ为钝角⇔ x 1 x 2+y 1 y 2<0 ,即a ·b<0因此，两个向量夹角的范围由它们的数量积的正负所确定.例3（1994年全国高考8题）设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1P F 2=90°，则△F 1P F 2的面积是A 1B 23C 2D 5解析：易知F 1（-5,0）和F 2（5,0），设P 点坐标为（x o ,y o ）, ∴ F 1 P=( x o +5, y o ), F 2 P=( x o -5, y o ). 由∠F 1P F 2=90°知F 1P · F 2 P=0于是得( x o +5)( x o -5)+2o y =0 即 2o x +2o y -5=0 ①又点P （x o ,y o ）在双曲线上， 有1422=-o oy x ②联立①②可得 55||=o y ， ∴S △F1P F2=1555221||||2121=⋅⋅=⋅o y F F ,故选A 例4（2000年全国高考14题）椭圆14922=+y x 的焦点为F 1 、F 2，点P 为其上一动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是_______.解析：易知a=3,b=2，故c=52322=-. ∴F 1（-5,0）,F 2（5,0）,设P(x,y)，则P F 1=（-5-x ,y ）, P F 2=（-5+x ,y ） 由∠F 1P F 2是钝角得 P F 1·P F 2 <0 ∴2)5)(5(y x x +---<0 即x 2+y 2-5<0①又点P(x,y)在椭圆上, 得14922=+y x ②联立①②得 592<x ∴-553 < x < 553 四、平面向量与解析几何中共线问题三点共线是解析几何中常见问题之一，用向量法解决共线问题思路显得直接了当.一般方法是根据向量共线的充要条件,只要在三点中任意两点的向量间存在倍数关系就行了.就是说三点A 、B 、C 共线,仅要AB=λAC 或AB=λBC （λ∈R ） 成立. 用坐标表示 , 如果A(x 1, y 1) , B(x 2 , y 2), C(x 3 , y3)三点共线 , 有(x 2 -x 1, y 2 -y 1) =λ(x 3 -x 1, y 3 -y 1)，消去λ得 (x 2 -x 1) (y 3 -y 1) -(x 3 -x 1) (y 2 -y 1)=0 或13121312y y y y x x x x --=--( x 3≠x 1 ，y 3 ≠y 1). 例5(2001年全国高考19题) 设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，求证：直线AC 经过原点O. 解析：设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），F （2p ,0）由BC ∥x 轴得C （-2p , y 2）∴FA=（x 1-2p , y 1），FB =（x 2-2p ,y 2）OA=（x 1,y 1）， OC =（-2p , y 2）∵FA 与 FB 共线∴（x 1-2p ）y 2 -（x 2-2p ）y 1=0，而x 1=p y221， x 2=py 222代入上式得y 1 y 2= -p 2又∵0222222)2(1111211221121=+-=+=+=--y py p y p y p y y y p y p y y p y x∴OA 与OC 是共线向量，即A 、O 、C 三点共线 ∴直线AC 经过原点O.例6(2003年全国高考22题)已知常数a>0，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图4）， 问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离和若不存在，请说明理由。

向量知识在平面解析几何中的应用近年来，向量知识在平面解析几何中的应用受到越来越多的关注。

解析几何是研究二维空间上的几何图形，其中向量知识通常是帮助理解和解决几何问题的重要工具。

举例来说，本文将重点介绍平面解析几何中向量知识的三个典型应用，包括表示几何对象、分析基本性质和构造几何图形。

首先，表示几何对象是平面解析几何中最基础、最重要的应用。

在几何学中，我们往往会用向量来表示一个几何对象，其中向量可以表示一个点、一条直线或一个平面。

例如，我们可以用向量P = (x, y)表示一个平面上的点P，而用向量A = (a, b, c)表示一条直线A，用向量N = (n1, n2, n3)表示一个平面N。

不仅如此，我们还可以用向量来表示几何对象之间的位置关系，其中向量和运算可以表示平面上点与点、点与直线、直线与直线的距离或垂直关系。

其次，分析基本性质是平面解析几何中常用的应用。

在平面解析几何中，我们可以利用向量知识来分析几何对象的基本性质，比如线段的长度、平行线间的距离或者大圆弧的弧长等等。

计算这些基本性质往往要求我们掌握向量的加减运算以及向量的点积与叉积。

同时，我们可以利用向量知识来确定点与点之间的距离、点在直线上的坐标、直线与直线的位置关系等等，这些知识的应用可以大大提高我们的解决能力。

最后，构造几何图形也是向量知识在平面解析几何中的重要应用。

一般来说，在解析几何中，我们往往要根据给定的构造要求绘制几何图形，这要求我们充分运用向量知识来确定各个图形的位置关系和几何性质。

例如，我们可以根据给定点P、Q和R，通过运用向量知识来构造三角形PQR，或者根据给定的直线ABC点，通过运用向量知识来构造向量AB和向量AC的夹角等等。

综上所述，向量知识在平面解析几何中有着重要的应用。

它不仅可以帮助我们更好地表示几何对象，分析基本性质，还可以用来构造几何图形，有效地指导我们解决几何问题。

因此，学习和掌握向量知识对于掌握平面解析几何是至关重要的。

向量方法在解析几何问题中的运用及其解题策略
向量方法是解析几何中非常重要的工具。

向量本身是一个有方向和大小的量，可以用来表示空间中的点，直线，平面等等。

在解析几何中，向量一般用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。

通过向量的定义和性质，我们可以很方便地解决解析几何中的各种问题。

在解析几何中，向量常常被用来表示空间中的点，直线，平面等等。

例如，在平面直角坐标系中，我们可以用向量表示点A和点B的坐标，然后通过向量的减法，计算出AB的向量，从而求出AB的中点，AB的长度等等。

此外，在解析几
何中，向量还可以表示直线的方向向量和法向量，从而可以求出两条直线的夹角，直线的距离等等。

对于平面与平面之间的相交问题，向量方法也比较简单直观，只需要求出两个平面的法向量，然后计算它们的夹角，就可以得出它们的交线。

在解析几何中，使用向量方法解题，需要注意一些策略。

首先要熟练掌握向量的基本定义和运算规律，理解向量的几何意义。

其次，要注意在选择坐标系的时候，应选择一个合适的坐标系，便于计算。

例如，一些问题可以通过建立三角形的重
心坐标系、中线坐标系等等来简化计算。

还要注意，在使用向量方法解决问题时，要善于联立方程，理清思路，从而得到正确的答案。

总之，向量方法在解析几何中具有重要的应用价值，通过掌握向量的定义和运算规律，以及注意解题策略，可以很方便地解决各种解析几何中的问题。

１ －＂ ，ｃ ： ４
两 平 得２ｉ ｃ ＝亩 ， 边 方 。 一 ｓ ｓ ｎ
．
２ ｉ ２ｔ ｉ ２ ｓ ｎ ｏ ＋ｓ ｎ ａ
＝
２ｓ ｎ ｏ ＋２ｓｎｔｃ ｓ ｉ ２ｔ ｉ ￣ ｏ ａ
～ ＝
１ ａ ａ ＋ｔ ｎ
已 知 向 量 ， ， ， 及 实 数 ，， 足 ｌ ｌ ｌ ｌ ，满 ： ： ４ （ｚ ） ， － 一３ ｄ＝ ＋ ， －－ ｌ 上 ， ￣ ａ＂＿ － Ｋ，
（） ａ ． ２ 由－ ｇ － ：０得 ３ｏ （ｃｓ ４ ＋３ｉ ． ， ｃｓ ３ｏ ａ 一 ） ｓ 删
．
（ ｓｎ 一４）＝０， ｓｎ ＋ｃ ｓ ＝ ４ ３ ｉ 得 ｉ ｏ
ｊ
、
平面 向量在 函数 中的渗 透
向量 与 函数 的结合 ．是 以 向量 为 载体 来 考查 函数 的 ． 以本 质 上 仍 然 是 函 数 题 ． 所
．
．
ｙ４ ４ （ — ３ 易 ＂ － ） ＝０ ．
又
・ ｌ ＝ ｌ ｌ １． ． ｌ 易 ： ・４
‘ ． ．
Ｉ ／ ＝、
・ ．
可
：ｌ ｌ
， ：、 ． ／ ／
。０≤ ｌ ｌ ．
Ｙ＝ 。 ３ 一 ．
・
．
．
又 ‘ ｃ２ ｃＩ ＂ （ ２ ） ‘＝１＂ （ ２ ） ≤ １ ． ＝Ｉ ＝４ ２－ —３ ２易２ ‘ ２ ４ ４ —３ ２ － ０，
，
当 １＜ ＜２时 ， ）＜０， ｘ）在 （ ， ） 减 函 数 ． ｇ（ ｇ（ １２ 为 当 ２＜ ＜ 、 时 ， ）＞０， ） （ 、 ） ／ ｇ（ ｇ（ 在 ２， ／ 上 为 增 函数 ． ＝２时 ， ｘ） ＝ｇ（ ）＝４ ＋８＝ １ ， ｇ（ ２ ２