平面向量在解析几何中的应用

2.4 向量的应用

2.4.1 向量在几何中的应用

2.4.2 向量在物理中的应用

基础知识 基本能力

1．掌握用向量的方法解决实际问题的步骤．(重点)

2．熟记平面向量的相关概念及运算法则．(重点、难点) 1．会用向量的方法计算或证明平面几何和解析几何的相关问题．(重点)

2．会用向量的方法处理物理中有关力、速度等矢量的合成与分解问题．(难点)

1．向量在平面几何中的应用

(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等，求线段的长，转化为求向量的长度；

(2)证明线段、直线平行，转化为证明向量共线；

(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量的数量积为零；

(4)平面几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；

(5)对于与长方形、正方形、直角三角形等平面几何图形有关的问题，通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，通过代数(坐标)运算解决平面几何问题．

【自主测试1－1】在四边形ABCD中，若AB→＝13CD→，则四边形ABCD是( )

A．平行四边形 B．梯形

C．菱形 D．矩形

解析：由AB→＝13CD→⇒AB∥CD，且AB≠CD，故四边形ABCD为梯形，故选B．

答案：B

【自主测试1－2】在△ABC中，已知|AB→|＝|AC→|＝4，且AB→·AC→＝8，则这个三角形的形状是__________．

解析：∵AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos∠BAC＝8，∴4×4×cos∠BAC＝8，∴∠BAC＝60°.又|AB→|＝|AC→|，

∴△ABC为等边三角形．

答案：等边三角形 2．向量在解析几何中的应用

(1)设直线l的倾斜角为α，斜率为k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，向量a＝(m，n)平行于l，则k＝y－y1x－x1＝nm＝tan α；反之，若直线l的斜率k＝nm，则向量(m，n)一定与该直线平行．

(2)向量(1，k)与直线l：y＝kx＋b平行．

专题5.4 平面向量的综合应用

一、考情分析

1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.

二、经验分享

考点一 向量在平面几何中的应用

(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：

问题类型 所用知识 公式表示

线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，

其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0

垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，

其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量

夹角问题 数量积的定义 cos θ＝a·b|a||b|(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量

长度问题 数量积的定义 |a|＝a2＝x2＋y2，

其中a＝(x，y)，a为非零向量

(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤

平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题。

考点二 向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体。

考点三 向量与相关知识的交汇

平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题。

三、题型分析

重难点题型突破1 平行与垂直

例1、.已知单位向量a,b的夹角为45°，kab与a垂直，则k=__________.

【答案】22

【解析】由题意可得：211cos452ab，

由向量垂直的充分必要条件可得：0kaba，

即：2202kaabk，解得：22k.

故答案为：22．

【变式训练1-1】、（山东省德州一中2018-2019学年期中）若，且，则实数的值是（ ）

1 平面向量在解析几何中的应用与求解策略

一、利用向量,可以很方便地解决有关平行、垂直、距离等相关问题，其基本理论是：

(一）、直线的方向向量:直线L的方向向量为错误!=（a，b）,则该直线的斜率为k= 错误!

（二）、利用向量处理平行问题：对非零向量错误!=（x1,y1),错误!=（x2,y2）,错误!∥错误!的充要条件是：有且仅有一个实数,使得错误! = 错误!；亦即a∥b (b0)的充要条件是⇔x1y2-x2y1=0；

（三）、利用向量求角：设错误!=(x1，y1），错误!=（x2,y2)， 则两向量错误!、错误!的夹角：cos = cos〈错误!，错误!〉 = 错误! = 错误!  其特殊情况即为垂直问题：对非零向量错误!=（x1,y1),错误!=(x2，y2),错误!⊥错误!的充要条件是错误!·错误!=0⇔x1x2- y1y2=0；

（四)、利用向量求距离：设错误!=（x,y)，则有|错误!|=错误!=错误!;若),,(),,(2211yxByxA则|→，AB｜=221212()()xxyy

二、典例分析：

★【题1】、点P（-3，1）在椭圆22221(0)xyabab的左准线上。过点P且方向为错误!=（2，—5）的光线,经直线y=—2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为：（ ）

（A）33 （B）13 (C)22 （D）12

●[解析]：如图,过点P（—3，1）的方向向量→，a=（2，-5);所以)3(251;,25xylKPQPQ则;即1325;yxLPQ;联立:)2,59(21325Qyyx得, 由光线反射的对称性知：251QFK

所以)59(252;1xyLQF，即0525:1yxLQF;令y=0，得F1（-1，0）；综上所述得:

1 浅谈向量在中学几何中的应用

摘要：向量是新教材中的新增内容，以向量为载体的解中学几何问题是新课程高考中出现的新趋势，本文就有关向量在中学几何中的应用谈谈自己的看法。

关键词：向量；向量的模；向量的加法和减法；向量与解析几何；向量与立体几何

一.平面向量在解析几何中的应用

1.向量坐标与点的坐标

向量坐标与点的坐标是不同的，设1122,,,AxyBxy，则2121,ABxxyy，但当向量是以坐标原点为起点时，向量坐标就是点的坐标，即1,1OAxy.

例1（01天津）设坐标原点为O，抛物线22yx与过焦点的直线交于A、B两点，则OBOA

解：设11,Axy、22,Bxy，则11,OAxy，22,OBxy

22121212124yyOAOBxxyyyy，又抛物线22yx的焦点为1,02F，可设直线AB方程为12xmy代入22yx得2210ymy，

121yy，故13144OAOB。

2.利用向量的数量积求夹角

由cos,ababab可知,向量的数量积在解决与长度、角度有关的问题时非常有效.

例2．（04全国）给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于AB两点，设l的斜率为1，求OA与OB的夹角的大小；

解：抛物线的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为1yx

将1yx，代入方程24yx，并整理得 2610xx

设1122,,,AxyBxy，则有126xx，121xx

112,212121212,213OAOBxyxyxxyyxxxx

22221122121212||||[4()16]41OAOBxyxyxxxxxx

∴314cos,41OAOBOAOBOAOB 2 ∴OAOB与夹角的大小为314arccos41