八年级数学下册如果两条直线平行优秀课件
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八年级数学平行线与垂直线的性质在数学中,平行线和垂直线是基本的几何概念之一,它们在几何学和代数学的应用中起着重要的作用。
本文将讨论平行线和垂直线的性质,包括定义、判定方法以及它们之间的关系。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面内永远不相交的直线。
具体的性质如下:1. 定义:如果两条直线在同一个平面内,且它们的方向相同或是互补的,那么这两条直线就是平行线。
2. 判定方法:a. 直线与直线:如果两条直线的斜率相等,那么它们就是平行线。
b. 平行线与平行线:如果两组平行线的对应线段之间的比例相等,那么它们就是平行线。
c. 平行线与已知点:如果一条直线与已知平行线上的点连线与另一条直线垂直,那么它们就是平行线。
3. 性质:a. 平行线在同一平面内一直延伸,永不相交。
b. 平行线与同一直线相交的两个直角是相等的。
c. 平行线与同一平面内其他直线的夹角是相等的。
二、垂直线的性质垂直线是指在同一个平面内相交于一点,并且相交处的两条直线之间的夹角为90度。
以下是垂直线的相关性质:1. 定义:如果两条直线相交且相交处的两个相邻角是直角(即90度),那么这两条直线就是垂直线。
2. 判定方法:a. 直线与直线:如果两条直线的斜率互为相反数,那么它们就是垂直线。
b. 垂直线与已知点:如果一条直线通过一个已知点,并且与已知垂直线的斜率乘积为-1,那么这条直线就是垂直线。
3. 性质:a. 垂直线与平行线之间的夹角是90度。
b. 垂直线与同一平面内其他直线的夹角互不相等。
三、平行线与垂直线的关系平行线和垂直线是几何学中两种重要的直线关系,它们之间存在一些有趣的关联:1. 平行线与垂直线的关系:a. 平行线和垂直线不可能同时存在于同平面内。
b. 如果两条平行线中的一条与第三条线垂直相交,那么另一条平行线与第三条线也是垂直的。
2. 平行线与垂直线的判断方法:a. 基于角度:如果两条直线的夹角为0度或180度,那么它们是平行线;如果夹角为90度,那么它们是垂直线。
若,则,(或;或) 图1-1 定理的证明定理的证明过A 点作AN ∥DF ,交l 2于M ,交l 3于N 点,连接点,连接 BN 、CM(如图(1-2) 图1-2 ∵∴AM=DE MN=EF 在△ACN 中,有. ∵BM ∥CN ∴S △BCM =S △BMN∴ 亦即亦即如何理解定理结论中“所得对应线段成比例”呢?呢? “对应”是数学的基本概念,图1-1中,在的条件下,可分别推出如下结论之一:名师堂八年级数学第九讲 平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理是研究平行线分线段成比例定理是研究相似三角形相似三角形的最重要和最基本的理论.它一方面可直接判定线段成比例,另一方反面也可用辅助平行线转移比例. 1.平行线分线段成比例定理:平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条三条平行线截两条直线直线所得的对应线段成比例. 如图1-1(1) 简称“上比下”等于“上比下”(2) 简称“上比全”等于“上比全”. (3) 简称“下比全”等于“下比全”把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论. 2.平行于三角形一边的平行于三角形一边的直线直线的判定和性质(“A”、“X”型) 主要的基本图形:主要的基本图形:(图1) 平行线分线段成比例分线段成比例 (图2) 图1、2中,有定理:平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线,所得的对应线段成比例(可看作性质1).及其及其逆定理逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边(可看作判定). 以及定理:平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例(可看作性质2). 对“A”、“X”型的特征分析:A 点是两相交直线的点是两相交直线的交点交点,D 、E 和B 、C 是两平行线和相交直线的交点,(共5点),其中作比的三点在一条直线上(AD :AB=AE :AC 中,A 、D 、B 在一条直线上,A 、E 、C 在一条直线上.)在作辅助线的时候我们可以观察这些特征.而可以作比的六个点中如果有两个点是同一个点,那么过这个点作平行线往往可以一举多得. 注意点:(1)平行线分线段成比例没有逆定理(2)判断平行线的条件中,只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的被判断的 平行线本身不能参与作比例) (3)有些时候我们也要注意图3,DE//BC ,则DF :FE=BG :GC (4)由于平行线分线段成比例定理中,平行线本身没有参与作比例,因此,有关 平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中. 典型例题典型例题例1.如图2-1 已知△ABC 中AB=AC ,AD ⊥BC ,M 是AD 的中点,CM 交AB 于P ,DN ∥CP 交AB 于N ,若AB=6cm ,求AP 的值例2.(如图2-2)图2-3 已知已知直线直线截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点且AD=BE. 求证:EF :FD=CA :CB. 图2-2 证法(二) 过E 作EP ∥BA 交CA 的延长线于P 是解决此问题的第二种辅助线作法. 证法(三) 过D 作DN ∥BC 交AB 于N 也可解决此问题. 例3.AM 是△ABC 的中线,P 是AM 上任意一点,BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于E 、D 两点. 求证:DE ∥BC. 分析:如图2-3 练习1.选择题:.选择题:(1)如图,AB∥CD∥EF,则在图中下列关系式一定成立的是( ) A.B.C.DA.2 B.3C.DA.B.C.D.(4)在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,且DE∥BC ,,则等于( ) A.B.C.D..(2)如图,△ABC中,G是BC中点,E是AG中点,CE的延长线交AB于D,则EC:DE的值为( ) .(3)如图,在△ABC中,DE∥BC,则下列,则下列比例比例式成立的是( ) (5)如图,△ABC中,DE∥AC交AB、BC于D、E,如果AB=7cm,AC=5cm,AD=3cm,则DE=( ) A.B.C.DA.B.C.D的面积的,求EC的长. .(6)如图,在△ABC中,如果DE∥BC,DF∥AC,则下列,则下列比例比例式中不正确的是( ) .2.已知:如图,△ABC中,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC,AD:DB=2:3,AC=a,求DE的长. 3.已知:如图,△ABC为等边三角形,边长为2,DE∥BC,△BCD的面积是△ABC4.如图,△ABC中,AD是中线,点F在AD上,且AF:FD=1:2,BF的延长线交AC于E,求AE:EC=?能力提升例1 已知:如图5-195-19,,AD 为△ABC 的角平分线,求证:AB∶AC=BD∶DC.例2 求证:求证:等腰三角形等腰三角形底边上任意一点到两腰距离的和等于一腰上的高.即图5-20中,中,AB=AC AB=AC AB=AC,,P 为底边BC 上任意一点,PR⊥AB 于点R ,PQ⊥AC 于点Q ,BH 为腰上的高.求证:证:PQ+PR=BH PQ+PR=BH PQ+PR=BH..分析一 参阅例3的分析一.的分析一.分析二 如图5-225-22,△ACP ,△ACP 和△DCQ 应该全等,反之,只要证明了它们全等,问题就解决了.在这两个三角形中,个三角形中,AC=DC AC=DC AC=DC,∠ACP=60°,∠DCQ=180°-∠A ,∠ACP=60°,∠DCQ=180°-∠A CD CD-∠BCE=180°-60°-60°=60°,从而-∠BCE=180°-60°-60°=60°,从而例3 已知:如图5-215-21,△ABC ,△ABC 中,∠A 为直角.以AB AB,,AC 分别为边向外侧作分别为边向外侧作正方形正方形ABDE ABDE,,ACFG ACFG,线,线段CD CD,,BF 分别与AB AB,,AC 相交于点X ,Y .求证:.求证:AX=AY AX=AY AX=AY..分析一 如图5-215-21((a ),由于AX∥ED,AY∥GF,所以出现了两组成AX∥ED,AY∥GF,所以出现了两组成比例线段比例线段,在这些成比例的线段中,除AX AX,,AY 外,其余的线段都是两个已知正方形的边,因此AX=AY 应该能用应该能用平行线平行线分线段成比例定理得到证明.到证明.分析二 如图5-215-21((b ),连结线段EX EX,,GY GY,得到△CEX ,得到△CEX 和△BGY.这两个三角形的边CE=BG CE=BG,又,又AX 实际等于AY AY,所以△CEX ,所以△CEX 和△BGY 应该有相等的应该有相等的面积面积.反过来,如果证明了这两个三角形面积相等,问题也就解决了.而要证明这两个三角形面积相等,需要进行等积变形.这只要连结线段AD AD,,AF AF,,那么S △ACD =S △CEX ,S △BAF =S △BGY ,所以只需证明S △ACD =S △BAF .但这.但这很简单很简单了.了.例4 已知:如图5-225-22,,C 为线段AB 上任意一点,以AC AC,,BC 分别为边在AB 同侧作等边△ACD 和等边△BCE,线段AE AE,,CD 相交于点P ,线段BD BD,,CE 相交于点Q .求证:.求证:CP=CQ CP=CQ CP=CQ..。