届高三数学第一轮复习简易逻辑

高考数学一轮总复习：第一章集合与简易逻辑第1课时集合1．下列各组集合中表示同一集合的是( )A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{2，3}，N＝{3，2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}答案 B2．若A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B＝( ) A．{1，2} B．{0，1}C．{0，3} D．{3}答案 C解析B＝{x|x＝3a，a∈A}＝{0，3，6，9}，所以A∩B＝{0，3}．3．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝( ) A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案 A解析集合M＝{0，1}，集合N＝{x|0<x≤1}，M∪N＝{x|0≤x≤1}，所以M∪N＝[0，1]．4．若A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1x≤1}，则A∩B＝( )A．(0，1) B．(0，2) C．(1，2) D．[1，2) 答案 D解析因为A＝{x|x2－2x<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|1x≤1}＝{x|x≥1或x<0}，所以A∩B＝{x|1≤x<2}．5．已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2b＋1，b∈Z}，C＝{x|x＝4c＋1，c∈Z}，则有( )A．m＋n∈A B．m＋n∈BC．m＋n∈C D．m＋n不属于A，B，C中任意一个集合答案 B解析∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又n∈B，∴设n＝2b1＋1，b1∈Z，∴m＋n＝2(a1＋b1)＋1，而a1＋b1∈Z，∴m＋n∈B，故选B.6．已知集合A＝{x∈N|πx<16}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则A∩(∁R B)的真子集的个数为( )A．1 B．3C．4 D．7答案 B解析因为A＝{x∈N|πx<16}＝{0，1，2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1<x<4}，故∁R B＝{x|x≤1或x≥4}，故A∩(∁R B)＝{0，1}，故A∩(∁R B)的真子集的个数为22－1＝3，故选B.7．设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝( ) A．[0，2] B．(1，3)C．[1，3) D．(1，4)答案 C解析|x－1|<2⇔－2<x－1<2，故－1<x<3，即集合A＝(－1，3)．根据指数函数的性质，可得集合B＝[1，4]．所以A∩B＝[1，3)．8．已知实数集R，集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x∈Z|x2＋4≤5x}，则(∁R A)∩B ＝( )A．[2，4] B．{2，3，4}C．{1，2，3，4} D．[1，4]答案 B解析由log2x<1，解得0<x<2，故A＝(0，2)，故∁R A＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，由x2＋4≤5x，即x2－5x＋4≤0，解得1≤x≤4，又x∈Z，所以B＝{1，2，3，4}．故(∁R A)∩B＝{2，3，4}．故选B.9．若全集U＝R，集合A＝{x|1<2x<4}，B＝{x|x－1≥0}，则A∩(∁UB)＝( )A．{x|1<x<2} B．{x|0<x≤1}C．{x|0<x<1} D．{x|1≤x<2}答案 C解析由题意知，A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，∁UB＝{x|x<1}，所以A∩(∁UB)＝{x|0<x<1}．10．已知全集U为R，集合A＝{x|x2<16}，B＝{x|y＝log3(x－4)}，则下列关系正确的是( )A．A∪B＝R B．A∪(∁UB)＝RC．(∁U A)∪B＝R D．A∩(∁UB)＝A答案 D解析因为A＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x>4}，所以∁UB＝{x|x≤4}，所以A∩(∁UB)＝A，故选D.11．已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<2m，m∈R}且A⊆∁R B，那么m的值可以是( )A．1 B．2C．3 D．4答案 A解析由B＝{x|x<2m，m∈R}，得∁R B＝{x|x≥2m，m∈R}．因为A⊆∁R B，所以2m≤2，m≤1，故选A.12．已知集合A＝{x|1<x<k}，集合B＝{y|y＝2x－5，x∈A}，若A∩B＝{x|1<x<2}，则实数k的值为( )A．5 B．4.5C．2 D．3.5答案 D解析B＝(－3，2k－5)，由A∩B＝{x|1<x<2}，知k＝2或2k－5＝2，因为k＝2时，2k－5＝－1，A∩B＝∅，不合题意，所以k＝3.5，故选D.13．已知函数f(x)的图像如图所示，设集合A＝{x|f(x)>0}，B＝{x|x2<4}，则A∩B＝( )A．(－2，－1)∪(0，2) B．(－1，1)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(－∞，3)答案 C解析 由题意可得A ＝(－∞，－1)∪(1，3)，B ＝(－2，2)，所以A∩B＝(－2，－1)∪(1，2)．14． 集合A ＝{0，|x|}，B ＝{1，0，－1}，若A ⊆B ，则A∩B＝________，A ∪B ＝________，∁B A ＝________．答案 {0，1} {1，0，－1} {－1}解析 因为A ⊆B ，所以|x|∈B，又|x|≥0，结合集合中元素的互异性，知|x|＝1，因此A ＝{0，1}，则A∩B＝{0，1}，A ∪B ＝{1，0，－1}，∁B A ＝{－1}．15．设全集U ＝A∪B＝{x∈N *|lgx<1}，若A∩(∁U B)＝{m|m ＝2n ＋1，n ＝0，1，2，3，4}，则集合B ＝________．答案 {2，4，6，8}解析 U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A ∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，∴B ＝{2，4，6，8}．16． 已知集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x|0<x<c}，(c>0)．若A∪B＝B ，则c 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 A ＝{x|0<x<2}，由数轴分析可得c≥2.17．已知集合P ＝{x|a ＋1≤x≤2a＋1}，Q ＝{x|x 2－3x≤10}． (1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q；(2)若P∪Q＝Q ，求实数a 的取值范围． 答案 (1){x|－2≤x<4} (2)(－∞，2]解析 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x|4≤x≤7}，∁R P ＝{x|x<4或x>7}．又Q ＝{x|x 2－3x －10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，所以(∁R P )∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x<4}．(2)由P∪Q＝Q ，得P ⊆Q.当P≠∅时，有⎩⎨⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a＋1，解得0≤a≤2；当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a<0.综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．18．已知集合A ＝{x|1<x<3}，集合B ＝{x|2m<x<1－m}． (1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若A∩B＝(1，2)，求实数m 的取值范围； (3)若A∩B＝∅，求实数m 的取值范围．答案 (1)(－∞，－2] (2)m ＝－1 (3)[0，＋∞)解析(1)由A ⊆B ，得⎩⎨⎧1－m>2m ，2m ≤1，1－m≥3，得m≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (2)由已知，得⎩⎨⎧2m≤1，1－m ＝2⇒⎩⎨⎧m ≤12，m ＝－1，∴m ＝－1.(3)由A∩B＝∅，得①若2m≥1－m ，即m≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m<1－m ，即m<13时，需⎩⎨⎧m<13，1－m≤1或⎩⎨⎧m<13，2m ≥3，得0≤m<13或∅，即0≤m<13.综上知m≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．第2课时 命题及其关系、充分条件与必要条件1． 命题“若x 2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x≥1或x≤－1 B ．若－1<x<1，则x 2<1 C ．若x>1或x<－1，则x 2>1 D ．若x≥1或x≤－1，则x 2≥1 答案 D解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1<x<1”的否定是“x≥1或x≤－1”．2．命题“若m>－1，则m>－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m>－4，则m>－1”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.3．命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是( )A．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0答案 B解析否命题既否定条件又否定结论．4．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x2≤1，则x≤1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2－x＝0”的否命题D．命题“若a>b，则1a<1b”的逆否命题答案 A解析A中原命题的逆命题是“若x>|y|，则x>y”，由x>|y|≥y可知其是真命题；B中原命题的否命题是“若x2>1，则x>1”，是假命题，因为x2>1⇔x>1或x<－1；C中原命题的否命题是“若x≠1，则x2－x≠0”，是假命题；D中原命题的逆命题是“若1a≥1b，则a≤b”是假命题，举例：a＝1，b＝－1，故选A.5．若命题p的否命题是命题q的逆否命题，则命题p是命题q的( ) A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．p与q是同一命题答案 A解析设p：若A，则B，则p的否命题为若綈A，则綈B，从而命题q为若B，则A，则命题p是命题q的逆命题，故选A.6．设有下面四个命题：p 1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；p 4：若复数z∈R，则z－∈R.其中的真命题为( )A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 B解析对于p1，由1z∈R，即z－z·z－∈R得z－|z|2∈R，∴z－∈R，∴z∈R.故p1为真命题．对于p2，显然i2＝－1，但i∉R.故p2为假命题．对于p3，若z1＝1，z2＝2，则z1z2＝2，满足z1z2∈R，而它们的实部不相等，不是共轭复数．故p3为假命题．对于p4，z∈R，则z－∈R.故p4为真命题，故选B.7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析p⇒q，而q p，∴选A.8．“α＝π6＋2kπ(k∈Z )”是“cos2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由α＝π6＋2kπ(k∈Z )，知2α＝π3＋4kπ(k∈Z )，则cos2α＝cosπ3＝12成立， 当cos2α＝12时，2α＝2kπ±π3，即α＝kπ±π6(k∈Z )，故选A.9． “1x >1”是“e x －1<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵1x >1，∴x ∈(0，1)．∵e x －1<1，∴x<1.∴“1x>1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．10． 设a ，b ∈R ，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R 上为奇函数．因为f(x)＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以a>b ⇔f(a)>f(b)⇔a|a|>b|b|.选C.11． “(m－1)(a －1)>0”是“log a m>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎨⎧m<1，a<1，而log a m>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎨⎧0<m<1，0<a<1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m>0，故选B.12． 命题“对任意x∈[1，2)，x 2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a>4C ．a ≥1D ．a>1答案 B解析 由题意知a≥x 2，对x∈[1，2)恒成立，当x∈[1，2)时，1≤x 2<4，则a≥4.从而a>4是命题为真的一个充分不必要条件．13．若不等式13<x<12的必要不充分条件是|x －m|<1，则实数m 的取值范围是( )A ．[－43，12]B ．[－12，43]C ．(－∞，12)D ．(43，＋∞)答案 B解析 由|x －m|<1，解得m －1<x<m ＋1.因为不等式13<x<12的必要不充分条件是|x －m|<1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，12≤m ＋1，且等号不能同时取得，解得－12≤m ≤43，故选B.14． 若“x>1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a>3B ．a<3C ．a>4D ．a<4 答案 A解析 若2x >a －x ，即2x ＋x>a.设f(x)＝2x ＋x ，则函数f(x)为增函数．由题意知“2x ＋x>a 成立，即f(x)>a 成立”能得到“x>1”，反之不成立．因为当x>1时，f(x)>3，∴a>3.15．(1)“x>y>0”是“1x <1y ”的________条件．(2)“tanθ≠1”是“θ≠π4”的________条件．答案 (1)充分不必要 (2)充分不必要 解析 (1)1x <1y ⇒xy ·(y －x)<0，即x>y>0或y<x<0或x<0<y. (2)题目即判断θ＝π4是tanθ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件． 16． 下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为________． 答案 ②③④17．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．答案 [0，12]解析 2x －1x －1<0⇒(2x －1)(x －1)<0⇒12<x<1，x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1， 由题意得(12，1)[a ，a ＋1]，故⎩⎨⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a≤12.第3课时 逻辑联结词与量词1．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，e x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，lnx<1 D．∃x∈R，tanx＝2答案 B解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.2．命题“∃x0∈∁RQ，x3∈Q”的否定是( )A．∃x0∉∁RQ，x3∈Q B．∃x∈∁RQ，x3∈QC．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q答案 D解析该特称命题的否定为“∀x∈∁RQ，x3∉Q”．3．命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是( )A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0 B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x)＝0且g(x)＝0 D．∃x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0答案 D解析根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x)＝0或g(x)＝0”．故选D.4．若命题p：x∈A∩B，则綈p：( )A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B答案 B5．下列命题的否定是真命题的是( )A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B6．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出綈p为真．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．7．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则( )A．綈p：∀x∈A，2x∉B B．綈p：∀x∉A，2x∉BC．綈p：∃x∉A，2x∈B D．綈p：∃x∈A，2x∉B答案 D解析因全称命题的否定是特称命题，故命题的否定为綈p：∃x∈A，2x∉B.故选D.8．已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{x|y＝lg x－3}，则下列命题中真命题的个数是( )①∃m∈A，m∉B；②∃m∈B，m∉A；③∀m∈A，m∈B；④∀m∈B，m∈A.A．4 B．3C．2 D．1答案 C解析因为A＝{y|y＝x2＋2}，所以A＝{y|y≥2}，因为B＝{x|y＝lg x－3}，所以B＝{x|x>3}，所以B是A的真子集，所以①④为真，②③为假命题，所以真命题的个数为2，故选C.9．下列4个命题中，其中的真命题是( )p 1：∃x∈(0，＋∞)，(12)x<(13)xp2：∃x∈(0，1)，log12x>log13xp 3：∀x∈(0，＋∞)，(12)x<log12xp 4：∀x∈(0，13)，(12)x<log13xA．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 D解析 p 1，p 2为存在性命题，所以只要找到符合条件的x 即可．p 1可作出y ＝(12)x ，y ＝(13)x 的图像，通过观察发现找不到符合条件的x ；p 2同样作图可得∀x ∈(0，1)，log 12x>log 13x ，所以p 2正确；p 3通过作图可发现图像中有一部分(12)x <log 12x ，所以p 3错误；在p 4中，可得当x∈(0，13)时，(12)x <(12)0＝1，log 13x>log 13(13)＝1，所以(12)x<1<log 13x ，p 4正确．综上可得：p 2，p 4正确．10．已知命题p ：∃x 0∈R ，mx 02＋1≤0；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．{m|m ≥2}B ．{m|m ≤－2}C ．{m|m ≤－2或m≥2}D ．{m|－2≤m≤2}答案 A解析 由p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，可得m<0；由q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，可得Δ＝m 2－4<0，解得－2<m<2.因为p∨q 为假命题，所以p 与q 都是假命题，若p 是假命题，则有m≥0；若q 是假命题，则有m≤－2或m≥2，故实数m 的取值范围为{m|m≥2}．故选A.11． 已知命题p ：∃x ∈R ，lnx ＋x －2＝0，命题q ：∀x ∈R ，2x ≥x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p∧qC ．p ∧(綈q)D ．綈p∧(綈q) 答案 C解析 分别判断p ，q 真假，令f(x)＝lnx ＋x －2，可得f(1)f(2)<0.由零点存在性定理可知∃x ∈(1，2)，使得f(x)＝lnx ＋x －2＝0，p 为真；通过作图可判断出当x∈(2，4)时，2x <x 2，故q 为假：结合选项可得：p∧(綈q)为真．12． 不等式组⎩⎨⎧x ＋y≥1，x －2y≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D，x ＋2y≥－2； p 2：∃(x ，y)∈D，x ＋2y≥2； p 3：∀(x ，y )∈D，x ＋2y≤3；p 4：∃(x ，y )∈D，x ＋2y≤－1.其中的真命题是( )A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3答案 C解析画出可行域如图所示中阴影部分，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，z取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.13．若命题p的否定是“对所有正数x，x>x＋1”，则命题p是________．答案∃x0∈(0，＋∞)，x≤x＋114．已知p：1x2－x－2>0，则綈p对应的x的集合为________．答案{x|－1≤x≤2}解析p：1x2－x－2>0⇔x>2或x<－1，∴綈p：－1≤x≤2.注：本题若利用綈p：1x2－x－2≤0求解会致误．15．已知命题“∀x∈R，sinx－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．答案(－∞，－1]解析由题意，对∀x∈R，a≤sinx成立．由于对∀x∈R，－1≤sinx≤1，所以a≤－1.16．若命题“∃x0∈R，x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为________．答案(－1，3)解析由“∃x0∈R，x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，得“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4<0，解得－1<a<3，所以a的取值范围为(－1，3)．x－a≥0”，q：“存在x∈R，x2 17．已知p：“对任意的x∈[2，4]，log2＋2ax＋2－a＝0”．若p，q均为命题，而且“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．答案a≤－2或a＝1解析p：a≤1，q：4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1.因为p且q是真命题，所以a≤－2或a＝1.。

知识点总结1 集合与简易逻辑一、集合(一)元素与集合1.集合的含义某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2.集合元素的特征(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．(3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关．3.元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种．4.集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．5.常用数集的表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 NN ∗或N + Z Q R (二)集合间的基本关系1.集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.(2)真子集：若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）. 读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(3)相等：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A =B ．(4)空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；(三)集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂， 即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．(2) 并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，(3) 即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．(四)集合的运算性质(1)集合的运算性质：①交换律：A ∪B ＝B ∪A ；A ∩B ＝B ∩A ；②结合律：(A ∪B )∪C ＝A ∪(B ∪C )；(A ∩B )∩C ＝A ∩(B ∩C )；③分配律：(A ∩B )∪C ＝(A ∪C )∩(B ∪C )；(A ∪B )∩C ＝(A ∩C )∪(B ∩C )；【集合常用结论】1.子集个数：含有n个元素的有限集合M，其子集个数为2n；其真子集个数为2n－1；其非空子集个数为2n－1；其非空真子集个数为2n－2.2. 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；4.A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A.5.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.二、简易逻辑(一).全称命题、特称(存在性)命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题：¬p：∃x0∈M，¬p(x0).(2)特称(存在性)命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题：¬p：∀x∈M，¬p(x).(二).充分条件与必要条件的判定方法(1)定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).(2)集合法：利用集合间的包含关系。

第一轮复习数学集合与简易逻辑检测题一、选择题（每小题6分，共60分）1. 设{}22355M a a =-+，，，{}216103N a a =-+，，，且{}23M N = ，则a 的值是（ ） Ａ．1或2Ｂ．2或4 Ｃ．2 Ｄ．12. 已知集合{}21M y y x x ==-∈R ，，{N x y ==，则M N = （ ）Ａ．()){}Ｂ．1⎡-⎣Ｃ．0⎡⎣Ｄ．∅3. 已知全集U =｛非零整数｝，集合{}24A x x x U =+>∈，，则U A =ð（ ） Ａ．{}654321012------，，，，，，，， Ｂ．{}65432112------，，，，，，， Ｃ．{}5432101-----，，，，，，Ｄ．{}543211-----，，，，， 4. 已知集合{}5A x x =∈N ≤，{}1B x x =∈>N ，那么A B 等于（ ） Ａ．{}12345，，，， Ｂ．{}2345，，，Ｃ．{}234，， Ｄ．{}15x x x <∈R ，≤5. 已知集合{}A B a b c d = ，，，，{}A a b =，，则集合B 的子集最多可能有（ ） Ａ．8个 Ｂ．16个 Ｃ．4个Ｄ．2个6. 下面四个命题正确的是（ ） Ａ．10以内的质数集合是{}0357，，， Ｂ．“个子较高的人”不能构成集合 Ｃ．方程2210x x -+=的解集是{}11，Ｄ．偶数集为{}2x x k k =∈N ，7. 设集合A={x |x 2+x －6=0},B={x |m x +1=0} ,则B 是A 的真子集的一个充分不必要的条件是（ ）A ．11,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭B ．m=21- C ．110,,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭D ．10,3m ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭8. 命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ） A ．存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根； B ．不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根；C ．对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根； D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根； 9. 已知函数f(x)=2743kx kx kx +++，若x ∈R ，则k 的取值范围是 （ ）A ．0≤k<43 B ．0<k<43 C ．k<0或k>43 D ．0<k ≤4310. 若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零, 另一根小于零,则A 是B 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11. 设α、β、γ为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是（ ） A. l m l ⊥=⋂⊥,,βαβαB. γβγαγα⊥⊥=⋂,,mC. αγβγα⊥⊥⊥m ,,D. αβα⊥⊥⊥m n n ,,12. 已知23:,522:>=+q p ,则下列判断中，错误的是（ ） A. p 或q 为真，非q 为假 B. p 或q 为真，p 为假 C. p 且q 为假，非p 为假 D. p 且q 为假，非p 为真集合与简易逻辑（答题卡）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 设p ：514x ->；2210231x x x x ++³-+，则非p 是非q 的______ ___条件．14. 命题“2230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是_______。

第十一章简易逻辑1．理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．2．学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力．1．简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题．2．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．第1课时逻辑联结词和四种命题一、逻辑联结词1．可以的语句叫做命题．命题由两部分构成；命题有之分；数学中的定义、公理、定理等都是命题．2．逻辑联结词有，不含的命题是简单命题．由的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：，(其中p，q都是简单命题)．3．判断复合命题的真假的方法—真值表：“非p”形式的复合命题真假与p的当p 与q都真时，p且q形式的复合命题，其他情形；当p与q都时，“p或q”复合形式的命题为假，其他情形．二、四种命题1．四种命题：原命题：若p则q；逆命题：、否命题：逆否命题： .2．四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题、否命题、逆否命题．原命题与它的逆否命题同、否命题与逆命题同．3．反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否定其出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法．例1. 下列各组命题中，满足“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真的是 （ ） A ．p :0＝∅；q :0∈∅B ．p ：在∆ABC 中，若cos2A ＝cos2B ，则A ＝B ； :q y ＝sin x 在第一象限是增函数 C ．),(2:R b a ab b a p ∈≥+；:q 不等式x x >的解集为()0,∞-D ．p ：圆()1)2(122=-+-y x 的面积被直线1=x 平分；q ：椭圆13422=+y x 的一条准线方程是x ＝4 解：由已知条件，知命题p 假且命题q 真.选项(A)中命题p 、q 均假，排除；选项(B)中，命题p 真而命题q 假，排除；选项(D)中，命题p 和命题q 都为真，排除；故选(C)． 变式训练1：如果命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题.那么（ ） A ．命题p 和命题q 都是假命题 B ．命题p 和命题q 都是真命题 C ．命题p 和命题“非q ”真值不同 D ．命题q 和命题p 的真值不同 解： D例2. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:(1) 若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根； (2) 若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(3) 若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为零.解：(1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ＜1，为假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，为真命题．(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题． 否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，为真命题． 逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，为真命题．(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2＋y 2＝0，为真命题．否命题：若x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为零，为真命题．逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，为真命题．变式训练2：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假： （1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等； （2）矩形的对角线互相平分且相等； （3）相似三角形一定是全等三角形. 解：（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.原命题为真命题，否命题也为真命题. （2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等” 原命题是真命题，否命题是假命题. （3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”. 原命题是假命题，否命题是真命题.例3. 已知p ：012=++mx x 有两个不等的负根，q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．典型例题分析：由p 或q 为真，知p 、q 必有其一为真，由p 且q 为假，知p 、q 必有一个为假，所以，“p 假且q 真”或“p 真且q 假”.可先求出命题p 及命题q 为真的条件，再分类讨论． 解：p ：012=++mx x 有两个不等的负根．⎪⎩⎪⎨⎧>⇔<->-=∆⇔200421m m m q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．⇔31016)2(1622<<⇔<--=∆m m 因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反．(ⅰ) 当p 真且q 假时，有⎩⎨⎧≥⇒≥≤>3312m m m m 或；(ⅱ) 当p 假且q 真时，有⎩⎨⎧≤<⇒<<≤21312m m m ．综合，得m 的取值范围是{21≤<m m 或3≥m }．变式训练3：已知a>0,设命题p:函数y=a x在R 上单调递减，q ：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围.解 ： 由函数y=a x在R 上单调递减知0<a<1，所以命题p 为真命题时a 的取值范围是0<a<1,令y=x+|x-2a|, 则y=⎩⎨⎧<≥-).2(2),222a x aa x a x （不等式x+|x-2a|>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a>1，即a>.21即q 真⇔a>.21若p 真q 假,则0<a ≤;21若p 假q 真，则a ≥1,所以命题p 和q 有且只有一个命题正确时a 的取值范围是0<a ≤21或a ≥1. 例4. 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋2π，b ＝y 2－2z ＋3π，c ＝z 2－2x ＋6π．求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．证明：假设c b a ,,都不大于0，即,0≤a ,0≤b 0≤c ，则0≤++c b a 而623222222πππ+-++-++-=++x z z y y x c b a ＝3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x0)1()1()1(222≥-+-+-z y x ，03>-π．00≤++>++∴c b a c b a 这与相矛盾．因此c b a ,,中至少有一个大于0．变式训练4：已知下列三个方程：①x 2＋4ax －4a ＋3＝0，②x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，③x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围. 解：设已知的三个方程都没有实根．则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=∆<--=∆<-+=∆08)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a解得123<<-a ．故所求a 的取值范围是a ≥－1或a ≤－23．1．有关“p 或q ”与“p 且q ”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p 或q ”还是“p 且q ”形式．2．当一个命题直接证明出现困难时，通常采用间接证明法，反证法就是一种间接证法． 3．反证法的第一步为否定结论，需要掌握常用词语的否定（如“至少”等），而且推理过程中，一定要把否定的结论当条件用，从而推出矛盾．用反证法证明命题的一般步骤为：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定所证命题正确．第2课时 充要条件1．充分条件：如果p q ⇒则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件． 2．必要条件：如果q p ⇒则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件． 3．充要条件：如果p q ⇒且q p ⇒则p 叫做q 的 条件． 例1．在下列各题中，判断A 是B 的什么条件，并说明理由． 1． A ：R p p ∈≥,2，B ：方程+++p px x 203=有实根； 2． A ：)(,2Z k k ∈=+πβα，B ：)sin(βα+βαsin sin +=； 3．A ：132>-x ；B ：0612>-+x x ；4．A ：圆222r y x =+与直线++by ax 0=c 相切，B ：.)(2222r b a c +=分析：要判断A 是B 的什么条件，只要判断由A 能否推出B 和由B 能否推出A 即可． 解：(1) 当2≥p ，取4=p ，则方程0742=++x x 无实根；若方程+2x 03=++p px 有实根，则由0>∆推出20)3(42-≤⇒≥+-p p p 或≥p 6，由此可推出2≥p ．所以A 是B 的必要非充分条件． (2)若πβαk 2=+则βαsin sin +αααπαsin sin )2sin(sin -=-+=k 02sin )sin(,0==+=πβαk 又 所以βαβαsin sin )sin(+=+成立若βαβαsin sin )sin(+=+成立 取απβ==,0，知πβαk 2=+不一定成立， 故A 是B 的充分不必要条件． (3) 由21132><⇒>-x x x 或，由0612>-+x x 解得23>-<x x 或，所以A 推不出B ，但B 可以推出A ，故A 是B 的必要非充分条件．(4) 直线0=++c by ax 与圆22y x +2r =相切⇔圆(0，0)到直线的距离r d =，即22b a c +＝2c r ⇔＝222)(r b a +.所以A 是B 的充要条件.变式训练1：指出下列命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. （1）在△ABC 中，p ：∠A=∠B ，q ：sinA=sinB ； （2）对于实数x 、y ，p ：x+y ≠8,q:x ≠2或y ≠6; （3）非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B ；（4）已知x 、y ∈R ，p ：（x-1）2+（y-2）2=0，q ：（x-1）（y-2）=0.解： （1）在△ABC 中，∠A=∠B ⇒sinA=sinB ，反之，若sinA=sinB ，因为A 与B 不可能互补（因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p 是q 的充要条件.(2)易知: ⌝p:x+y=8, ⌝q:x=2且y=6,显然⌝q ⇒⌝p.但⌝p ⌝q,即⌝q 是⌝p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是q 的充分不必要条件.(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B,但x ∈B 一定有x ∈A ∪B,所以p 是q 的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以p ⇒q 但q p,故p 是q 的充分不必要条件.例2. 已知p ：－2＜m ＜0，0＜n ＜1；q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.解：若方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1、x 2． 则0＜x 1＜1、0＜x 2＜1，∵x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ∴0＜－m ＜2，0＜n ＜1 ∴－2＜m ＜0，0＜n ＜1 ∴p 是q 的必要条件．又若－2＜m ＜0，0＜n ＜1，不妨设m ＝－1，n ＝21．则方程为x 2－x ＋21＝0，∵△＝(－1)2－4×21＝－1＜0． ∴方程无实根 ∴p 是q 的非充分条件．综上所述，p 是q 的必要非充分条件．变式训练2：证明一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明：充分性：若ac<0,则b 2-4ac>0,且ac<0,∴方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：若一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根，则∆=b 2-4ac>0,x 1x 2=ac<0,∴ac<0. 综上所述，一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 例3. 已知p ： |1－31-x |≤2，q ：:x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.解： 由题意知：命题：若┒p 是┑q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.p : |1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q : x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0*∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)解集的子集 又∵m >0，∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1＋m ∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9310121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞)变式训练3：已知集合{||1||3|8}M x x x =++->和集合2{|(8)80}P x x a x a =+--≤，求a 的一个取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M 的一个必要不充分条件. 解：}53|{>-<=x x x M 或，}0)8)((|{≤-+=x a x x P 由,}85|{时≤<=x x P M ,3,35≤≤≤-a a 此时有}85|{3≤<=≠>≤x x P M a 但所以}85|{3≤<=≤x x P M a 是是必要但不充分条件. 说明：此题答案不唯一.例4. “函数y ＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是什么？解：函数的图象全在x 轴上方，若)(x f 是一次函数，则10)1(40542=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+a a a a若函数是二次函数，则：[]⎪⎩⎪⎨⎧<-+--->-+0)54(12)1(4054222a a a a a 191<<⇒a 反之若19|<≤a ，由以上推导，函数的图象在x 轴上方，综上，充要条件是19|<≤a ． 变式训练4：已知P ＝{x | |x －1| | >2}，S ＝{x | x2＋}(1)0a x a ++>，P x ∈且的充要条件是S x ∈，求实数a 的取值范围．分析：P x ∈的充要条件是S x ∈，即任取S x P x ∈⇒∈S P ⊆∴，反过来，任取P x S x ∈⇒∈P S P S =∴⊆∴据此可求得a 的值．解： P x ∈的充要条件是S x ∈.S P =∴∵P ＝{x || x －1|＞2}}＝),3()1,(+∞--∞S ＝{x | x2＋(a ＋1)x ＋a ＞0)}＝{x | (x ＋a)(x ＋1)＞0}1．处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断．不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念． 2．确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．3．等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系．4．对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形（换）而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性．5．对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．简易逻辑章节测试题一、选择题1．设集合{2},{3},M x x P x x =>=<""x M x P ∈∈那么或""x MP ∈是的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（2009·合肥模拟）已知条件p ：（x+1）2>4，条件q:x>a,且q p ⌝⌝是的充分而不必要条件，则a 的取值范围是 （ ） A.a ≥1 B.a ≤1 C.a ≥-3 D.a ≤-34.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.设集合M={x|x>2}，P={x|x<3},那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.在下列电路图中，表示开关A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件的线路图是 （ ）7.(2008·浙江理，3)已知a,b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a>b ”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.（2008·北京海淀模拟）若集合A={1，m 2}，集合B={2，4}，则“m=2”是“A ∩B={4}”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.若数列{a n }满足221nn a a +=p （p 为正常数，n ∈N *），则称{a n }为“等方比数列”.甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则 ( ） A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件10.命题p:若a 、b ∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件.命题q:函数y=2|1|--x 的定义域是(][)∞+--∞，，31 ，则 （ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真 二、填空题11．已知数列}{n a ，那么“对任意的n ∈N*，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的 条件．12.设集合A={5,log 2（a+3）}，集合B={a ，b}，若A ∩B={2}，则A ∪B= .13.已知条件p ：|x+1|>2,条件q:5x-6>x 2，则非p 是非q 的 条件. 14.不等式|x|<a 的一个充分条件为0<x<1,则a 的取值范围为 .15.已知下列四个命题： ①a 是正数；②b 是负数；③a+b 是负数；④ab 是非正数.选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题 . 三、解答题16．设命题p ：（4x-3）2≤1;命题q:x 2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17．求关于x 的方程ax 2-(a 2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.18．设p ：实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a<0；q ：实数x 满足x 2-x-6≤0，或x 2+2x-8＞0，且q p ⌝⌝是 的必要不充分条件，求a 的取值范围.19．(1)是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；（2）是否存在实数p ，使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围.20．已知0>c ，设:p 函数x c y =在R 上单调递减，q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．简易逻辑章节测试题答案1．B 2.A 3.A 4.C 5.B 6.B 7. D 8.A 9.B 10. D11．充分而不必要条件 12.{1，2，5} 13.充分不必要 14.a ≥115.若①③则②（或若①②则④或若①③则④）16．解 设A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x 2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}, 易知A={x|21≤x ≤1},B={x|a ≤x ≤a+1}.由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴,1121⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤a a故所求实数a 的取值范围是［0，21］.17．解方法一 若a=0，则方程变为-x+1=0,x=1满足条件，若a ≠0，则方程至少有一个正根等价于01<+a a 或⎪⎩⎪⎨⎧>++=+01012a a a a 或⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+-++=∆>+>++0)1(4)1(0101222a a a a aa a a a -1<a<0或a>0.综上：方程至少有一正根的充要条件是a>-1. 方法二 若a=0，则方程即为-x+1=0, ∴x=1满足条件；若a ≠0，∵Δ=(a 2+a+1)2-4a(a+1)=(a 2+a)2+2(a 2+a)+1-4a(a+1) =(a 2+a)2-2a(a+1)+1=(a 2+a-1)2≥0，∴方程一定有两个实根.故而当方程没有正根时，应有,01012⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤++aa a a a 解得a ≤-1,∴至少有一正根时应满足a>-1且a ≠0,综上：方程有一正根的充要条件是a>-1.18．解 设A={x|p}={x|x 2-4ax+3a 2<0,a<0}={x|3a<x<a,a<0},B={x|q}={x|x 2-x-6≤0或x 2+2x-8>0}={x|x 2-x-6≤0}∪{x|x 2+2x-8>0} ={x|-2≤x ≤3}∪{x|x<-4或x>2}={}.24|-≥-<x x x 或方法一 ∵q p ⌝⌝是的必要不充分条件,∴p p q ⌝⌝⇒⌝且,q ⌝. 则{}q x ⌝|{}.|p x ⌝而{}=⌝q x |R B={}{}p x x x ⌝-<≤-|,24|=R A={},0,3|<≥≤a a x a x x 或 ∴{}24|-<≤-x x {},0,3|<≥≤a a x a x x 或 则⎩⎨⎧<-≤⎩⎨⎧<-≥.0,4,0,23a a a a 或综上可得-.4032-≤<≤a a 或 方法二 由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，∴a ≤-4或3a ≥-2,又∵a<0, ∴a ≤-4或-32≤a<0. 19．解（1）当x>2或x<-1时，x 2-x-2>0,由4x+p<0,得x<-,4p 故-4p≤-1时， “x<-4p ”⇒“x<-1”⇒“x 2-x-2>0”. ∴p ≥4时，“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件. （2）不存在实数p 满足题设要求. 20．解：函数x c y =在R 上单调递减10<<⇔c 不等式||2|>-+c x x 的解集为⇔R 函数 |2|c x x y -+=，在R 上恒大于1⎩⎨⎧<≥-=-+∴c x c cx c x c x x 2,22,22|2| ∴函数|2|c x x y -+=在R 上的最小值为c 2∴不等式1|2|>-+c x x 的解集为R2112>⇔>⇔c c ，如果p 正确，且q 不正确 则210≤<c ，如果p 不正确，且q 正确，则1≥c ，所以c 的取值范围为[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛,121,0． 五年高考荟萃 2009年高考题一、选择题1.（2009浙江理）已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C解析 对于“0a >且0b >”可以推出“0a b +>且0ab >”，反之也是成立的 2.（2009浙江文）“0x >”是“0x ≠”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度． 解析 对于“0x >”⇒“0x ≠”；反之不一定成立，因此“0x >”是“0x ≠”的充分而不必要条件．3.（2009安徽卷文）“”是“且”的A. 必要不充分条件B.充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件答案 A解析 易得a b c d >>且时必有a c b d +>+.若a c b d +>+时，则可能有a d c b >>且，选A 。

重点列表：重点1：集合的概念【要点解读】1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素.2、集合中元素的三个特性： 确定性、互异性、无序性．(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性；(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性；(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性． 3、元素与集合之间只能用“∈”或“∉”符号连接． 4、集合的表示常见的有四种方法．（1）自然语言描述法：用自然的文字语言描述.如：英才的所有团员组成一个集合. （2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上.如：{0,1,2,3}（3）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法.它的一般格式为)}(|{x P x ，“|”前是集合元素的一般形式，“|”后是集合元素的公共属性.如2{|230}x x x --=、 2{|23}x y x x =--、2{|23}y y x x =--、2{(,)|23}x y y x x =--.（4）Venn 图法：如：75315、常见的特殊集合：（1）非负整数集（即自然数集）N （包括零）（2）正整数集N*或+N (3)整数集Z (包括负整数、零和正整数) （4）有理数集Q (5)实数集R6、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合.（2）无限集：含有无限个元素的集合.（3）空集 ：不含任何元素的集合 【考向】集合的含义【例题】【2017届山东潍坊临朐县高三10月月考数学】已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“理想集合”.给出下列4个集合：①1{(,)|}M x y y x==； ②{(,)|sin }M x y y x ==； ③{(,)|2}xM x y y e ==-； ④{(,)|lg }M x y y x ==.其中所有“理想集合”的序号是（ ） A.①③ B.②③ C.②④ D.③④ 【答案】B 【解析】【名师点睛】1、用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；2、集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．重点2：集合间的基本关系【要点解读】 1、表格比较：AB （1）子集对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集.记为A B ⊆或B A ⊇． （2）真子集对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集.记为A B ⊂≠．（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n个，真子集个数为21n-． 【考向】集合间的基本关系【例题】设集合254{|}M x x a a a R ∈＝＝－＋，，2{|442}N y y b b b R ∈＝＝＋＋，，则下列关系中正确的是( )A ．M N ＝B ．M N ⊂≠C ．M N ⊆D ．M N ∈ 【答案】A【解析】集合254{|}M x x a a a R ∈＝＝－＋，＝2{|()2}1x x a a R ∈＝－＋，＝{}1|x x ≥，2{|442}N y y b b b R ∈＝＝＋＋，＝221{|(}1)y y b b R ∈＝＋＋，＝{}1|y y ≥． ∴M N ＝．【名师点睛】1、判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2、已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析．重点3：集合的运算【要点解读】 1、集合的基本运算2、交集与并集的性质A A A =， A ∅=∅ ， AB B A = ， A A A =， A A ∅=， A B B A =．3、补集的性质(C A)A U U C =，U C U =∅，U C U ∅=．4、重要结论A B A A B =⇔⊆, A B A B A =⇔⊆, ()U U U C A B C A C B =,()U U U C A B C A C B =．【考向一】求交集 【例题】【2017届宁夏石嘴山三中高三10月月考数学】已知集合}11|{≤≤-=x x M ，},|{2M x x y y N ∈==，则=N M （ ）A.]1,1[-B.),0[+∞C.)1,0(D.]1,0[ 【答案】D 【解析】试题分析：{|01}N y y =≤≤⇒=N M ]1,0[,故选D. 【考向二】求并集 【例题】【2017届河北定州高三高补班上月考二数学试卷】已知集合，1,2,3}{=A 则满足A B A =⋃的非空集合B 的个数是（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 【答案】C 【解析】【考向三】集合的角、并、补的综合运算 【例题】 【2017届山东枣庄三中高三10月学情调查数学】已知集合{}{}2ln(1),x A x y x B y y e ==-==，则集合R C AB =（ ）A.(]0,1B.[1,)+∞C.(][),11,-∞-+∞D.(](),10,-∞-+∞【答案】D 【解析】 试题分析：2{|ln(1)}{|10}{|11}A x y x x x x x ==-=->=-<<，R C {|1x 1}x x A =≤-≥或，集合{|}{|0}x B y y e y y ===>，{|10}R C AB x x x ∴=≤->或，故答案为D.【考向四】利用集合的基本运算求参数的取值（范围） 【例题】【2017届江西玉山县一中高三上月考二数学（理）试卷】设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若AB =∅，则实数a 的取值范围是（ ）A.(,1]-∞-B.(,1]-∞C.[1,)-+∞D.[1,)+∞ 【答案】A 【解析】试题分析：1,12,},2{},1|{-≤≤+=+=>=a a B A a B x x A 则φ ,故选A. 【名师点睛】1、集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用.2、涉及集合（交、并、补）运算，不要遗忘了空集这个特殊的集合.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．难点列表：难点详解：难点1：如何破解集合间的关系类问题【要点解读】1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．3．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．4．子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1.【考向】集合间的关系类问题方法一、韦恩图:一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解．【例题】【2017湖南省长沙市长郡高三入学考试】已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．【答案】{－1，4}【解析】∵B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N }＝{0，1，2，3}．而图中阴影部分表示的为属于A 且不属于B 的元素构成的集合，故该集合为{－1，4}．方法二、数轴图示法：若给定集合的元素连续，则用数轴图示法求解，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 【例题】【2017山西省怀仁县第一高三月考】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |a ＋1<x <2a －1}，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是________．【答案】(,4]-∞方法三、正难则反:对于一些比较复杂、条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知、未知的关系.这样能起到化难为易的作用，而是问题得以解决．【例题】已知集合2{4260,},{0}A x x mx m x R B x x =-++=∈=<，},若AB ≠∅，求实数m 的取值范围.【答案】{|1}m m ≤-【解析】由题意知A ≠∅，故设全集2{|(4)4(26)0}{|1U m m m m m =--+≥=≤-或1.5}m ≥假设A B =∅，则有：040260m m ∆≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，解得32m ≥，若AB ≠∅，则集合{| 1.5}m m ≥在U 中补集{|1}m m ≤-即为所求.难点2：新定义集合问题新定义题型是近几年高考命题中经常出现的一种命题方式，考查考生阅读、迁移能力和继续学习的潜能．当题目的条件中提供一种信息，需要解题者很好地把握这种信息，并恰当地译成常见数学模型，然后按通常数学模型的求解方法去解决．这种信息常常用定义的方式给出，有时规定一种运算，有时把一些未学过的知识内容拿来用定义方式给出．因此，解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算.以集合为背景的创新性问题是命题的一个热点，这类题目常以问题为核心，考查考生探究，发现的能力，常见的命题形式有：新定义、新运算与性质等． 【考向一】定义新运算 【例题】【2017江西省新余市第一高三调研】设,A B 是非空集合, 定义{}|,A B x x A x B =∈∉且,已知{}2|20,|A x x xB x y ⎧=--≤==⎨⎩,则A B =（ ）A ．∅B ．[]1,2-C ．[]1,2D ．(]1,2 【答案】C【解析】由题意可知()R A B AB Θ=ð，A=-1,2],B=(,1)-∞,故[1,)R B =+∞ð，所以()[1,2].R A B A B Θ==ð【考向二】定义新概念 【例题】【2017四川省成都市高三摸底】设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A ．A ＝N *，B ＝N B ．A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0＜x ≤10}C ．A ＝{x |0＜x ＜1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q【答案】D（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．（3）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解. 【趁热打铁】1．【2017届宁夏石嘴山三中高三10月月考数学（文）】已知集合}11|{≤≤-=x x M ，},|{2M x x y y N ∈==，则=N M （ ）A.]1,1[-B.),0[+∞C.)1,0(D.]1,0[2．【2016届高三（亮剑快乐考生）三轮冲刺猜题（三）】已知集合{|21,}x A y y x R ==-∈，2{|20}B x x x =--<，则（ ）A ．1A -∈B BC ．()R AC B A =D ．A B A =3．【2017届湖南长沙长郡高三上第三次月考模拟文数试卷】若集合},2|{R x y y A x ∈==，},|{2R x x y y B ∈==，则=B A （ ）A ．AB B ．B AC ．B A =D ．∅=B A4．【2017届江西抚州七校高三上期联考理数试卷】若集合{}|6M x N x =∈<，{}2|11180N x x x =-+<，则MN 等于（ ）A ．{}3,4,5B ．{}|26x x <<C ．{}|35x x ≤≤D ．{}2,3,4,55．【2017届河北武邑高三周考8.28数学（理）试卷】已知:2sin f x x →是集合[]()0,2A A π⊆到集合B 的一个映射，若10,2B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A 中的元素个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．【2016届广东省华南师大附中高三5月测试理科数学】非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a ，G b ∈，都有G a b ⊕∈；（2）存在G e ∈，使得对一切G a ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①{}G =非负整数，⊕为整数的加法；②{}G =偶数，⊕为整数的乘法；③{}G =平面向量，⊕为平面向量的加法；④{}G =二次三项式，⊕为多项式的加法；⑤{}G =虚数，⊕为复数的乘法．其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①⑤D ．②③④ 7．【2016届浙江省温州市十校联合体高三上学期期初联考】设集合{}1,2,3,,n S n =，若Z是n S 的子集，把Z 中的所有数的和称为Z 的“容量”（规定空集的容量为0）．若Z 的容量为奇（偶）数，则称Z 为n S 的奇（偶）子集． 命题①：n S 的奇子集与偶子集个数相等；命题②：当3n ≥时，n S 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等 则下列说法正确的是（ ）A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立8．【2016届上海市七宝高三模拟考试数学】已知{}2,M y y x x R ==∈，{}222,,N x x y x y R =+=∈，则MN =_____．9．【2017届湖北襄阳一中高三10月月考数学】已知集合(){}(){}222,y |,,1,,|,,41A x x y R x y B x y x y R y x =∈+==∈=-，则A B 的元素个数是____________．10．【2017届江西玉山县一中高三上月考二数学】已知集合}2733|{≤≤=xx A ，}1log |{B 2>=x x .（1）分别求B A ，()R C B A ；（2）已知集合{}a x x C <<=1，若A C ⊆，求实数a 的取值范围.。

【复习方法】高三数学一轮复习知识点5：简易逻辑课题：简易逻辑学习目标：理解命题的概念和构成；理解逻辑连词“或”、“不”的含义；理解四个命题及其关系；反证在证明过程中的应用学习重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系．学习过程：（一）主要知识：1.理解由“或”、“不”组成的复合命题；2．由真值表判断复合命题的真假；3.四个命题之间的关系（二）主要方法：1.逻辑连接词“or”、“and”、“not”与集合中的并、交、补关系密切。

解决问题时注意类比；2．通常复合命题“或”的否定为“且”、“且”的否定为“或”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；3.有时命题的叙述方式相对简单。

此时，首先要区分条件和结论，以“如果，那么”的形式书写；4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾．（三）示例分析：例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假：（1）菱形对角线垂直等分（2）“”例2。

写出命题“如果，那么都是零”的逆命题、无命题和逆无命题例3．命题“若，则有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．例4。

已知命题：方程有两个不相等的实负根，命题：方程没有实根；如果或为真或假，则查找实数的值范围例5．已知函数对其定义域内的任意两个数，当时，都有，证明：至多有一个实根．例6。

用反证法证明这个命题：如果整系数一元二次方程有有理根，那么其中至少有一个是偶数，下列假设中正确的一个是（）a.假设都是偶数b.假设都不是偶数c、假设最多一个是偶数（四）高考回顾：测试1（2022江西）如果金字塔的四边相等，则称为“等腰金字塔”，四边称为其腰。

在以下四个命题中，假命题是（）ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等b、等腰金字塔的侧面和底部形成的两边的角度相等或互补ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆d、等腰金字塔的顶点必须在同一个球体上考题2（2021全国）已知设p：函数在r上单调递减.q：不等式的解集是r，如果P和q有且只有一个是正确的，求的取值范围（五）巩固工作：1．命题“若不正确，则不正确”的逆命题的等价命题是（）a、如果不是，那就是不对的。

高三数学第一轮复习（1）—集合和简易逻辑第I 卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、定义}|{B x A x x B A ∉∈=-且，若}6,3,2{},5,4,3,2,1{==N M ，则N －M 等于（ ） A ．M B ．N C ．{1，4，5} D ．{6}2、全集U ={x ∈N |1≤x ≤9},A ={1,3,5,7,8}，则满足A ∩B ={1，3，5，7}的集合B 的个数为A . 1B . 4C . 15D . 16 （ ） 3、下列四组条件中，p 是q 的充分非必要条件是 （ ）A . p ：x ≠0，q ：xy ≠0B . p ：a >b ，q ：ba 11< C . p ：a =b ，q ：a ＋b =2ab D . p ：⎩⎨⎧<<<<1010b a ，q ：⎩⎨⎧<-<-<+<1120b a b a4、命题“M ∩N =M 则M ⊆N ”的否命题是 （ ）A . 如果M ⊆N 则M ∩N =MB . 如果M ⊆N 则M ∩N ≠MC . 如果M ∩N ≠M 则M ⊄ND . 如果M ∩N ≠M 则N ⊆M5、若非空集S ⊆{1,2,3,4,5},且若a ∈S,必有(6－a)∈S,则所有满足上述条件的集合S 共有 A ．6个 B ．7个 C ．8个 D ．9 个 （ ）6、命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等.”的逆否命题是（ ） A ．“若△ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角相等” B ．“若△ABC 任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形” C ．“若△ABC 有两个内角相等，则它是等腰三角形”D ．“若△ABC 任何两个角相等，则它是等腰三角形” 7、（05年高考天津卷）给出下列三个命题： ① 若1->≥b a ,则bba a +≥+11； ② 若正整数m 和n 满足n m ≤,则2)(n m n m ≤-； ③ 设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1.当1)()(2121=-+-y b x a 时,圆1O 与圆2O 相切；其中假命题的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38、两个集合A 与B 之差记作“/A B ”定义为：/{|,}A B x x A x B =∈∉，如果集合2{|log 1,}A x x x R =<∈，集合{||2|1,}B x x x R =-<∈，那么/A B 等于 （ ）A.{|1}x x ≤B. {|3}x x ≥C. {|12}x x ≤<D. {|01}x x <≤ 9、已知集合M={直线的倾斜角}，集合N={两条异面直线所成的角}，集合P={直线与平面所成的角}，则下面结论中正确的个数为 （ ）① (0,]2M N P π=； ② [0,)MN P π=；③ ()[0,]2MN P π=； ④ ()(0,)2MN P π=.A. 4B. 3C. 2D. 1 10、（06年江西）若0,0a b >>，则不等式1b a x-<<等价于 （ ）A. 10x b -<<或10x a <<B. 11x a b-<<C. 1x a <-或1x b >D. 1x b <-或1x a>11、（06年山东）设1232,()log (1),x e f x x -⎧=⎨-⎩ 2.2.x x <≥，则不等式()2f x >的解集为（ ） A. (1,2)(3,)+∞B. )+∞C. (1,2)(10,)+∞D. (1,2)12、(06年湖北) 有限集合S 中元素的个数记作()card S ，设A 、B 都为有限集合，给出下列命题： ① AB =∅的充要条件是()()()card A B card A card B =+；② A B ⊆的必要条件是()()card A card B ≤； ③ A B ⊄的充分条件是()()card A card B ≤； ④A B =的充要条件是()()card A card B =.其中真命题的序号是 （ ）A. ③、④B. ①、②C. ①、④D. ②、③高三数学第一轮复习（1）—集合和简易逻辑姓名： 得分：第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上）13、设集合A= {x |x 2+x －6=0}，B={x |m x +1= 0}，则B 是A 的真子集的一个充分不必要的条件是___ ____. 14、已知{}1(,)|3,(,)|31y A x y B x y y kx x -⎧⎫====+⎨⎬+⎩⎭，全集{}(,)|,U x y x R y R =∈∈。

简易逻辑 知识点归纳12、逻辑联结词包括 ；3、简单命题 ；4、复合命题 ；5、复合命题三种形式 ；6、复合命题真假判断 p 或q ： ；p 且q ： ； 非p ；7、命题的四种形式：原命题 ；逆命题 ；否命题 ；逆否命题 ；其中互为逆否的两个命题是 和 及 和 ，它们的真假关系是 ；8、反证法步骤是 （1） （2） （3） 。

9、充要条件 条件p 成立⇒结论q 成立，则称条件p 是结论q 的 条件， 结论q 成立⇒条件p 成立，则称条件p 是结论q 的 条件，条件p 成立⇔结论q 成立，则称条件p 是结论q 的 条件，一、四种命题之间的关系例1、判断命题“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”的逆否命题的真假。

例2、（1）与命题“若a M ∈，则b M ∉”等价的命题是 。

（2）若命题:2p x =且3y =，则:p ⌝ 。

例3、若命题:p x A B ∈，则:p ⌝ 。

A 、x A ∈且xB ∉ B 、x A ∉或x B ∉C 、x A ∉且x B ∉D 、x A B ∉例4、若“p 且q ”与“p ⌝或q ”均为假命题，则A 、p 真q 假B 、p 假q 真C 、p 与q 均为真D 、p 与q 均为假二、充分条件与必要条件例1、已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 例2、条件:11p x x ->-，条件:q x a >，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是A 、1a >B 、1a ≥C 、1a <D 、1a ≤例3、“a b =”是“直线2y x =+与圆22()()2x a y b +++=相切”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件三、反证法的应用例1、若,,x y z 均为实数，且2222,2,2,236a x y b y z z z x πππ=-+=-+=-+，求证：,,a b c 中至少有一个大于0。

004简易逻辑(一）1.已知条件:|1|2,:,p x q x a +>>条件且p q ⌝⌝是的充分不必要条件，则a 的取围是2.已知,m n 是平面α外的两条直线，且m n ，则“m α”是“n α”的 条件3.设集合{}30,01<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=x x B x x x A ，那么“A m ∈”是“B m ∈”的 条件4.已知命题01,:≤+∈∃m R m p ，命题01,:2>++∈∀mx x R x q 恒成立。

若q p ∧为假命题，则实数m 的取值范围为5. “1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交”的 条件 6．已知集合、},02|{},02|{2≤-=≤-=x x x N x x x M 则“M x ∈”是“N x ∈”的条件 。

7．已知p ：不等式 220x x m ++的解集为R ；q ：指数函数()14xf x m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 为增函数．则p 是q 的 条件8.在∆ABC 中，sin A ＝sin B 是△ABC 为等腰三角形的 条件9.已知命题“a ∀，b ∈R ，如果0ab >，则0a >”，则它的否命题是10.“|x|<2”是“x2-x-6<0”的 条件.11.“12a <<”是“对任意的正数x ，21a x x +≥”的 条件12.已知条件p : k =3，条件q ：直线2+=kx y 与圆122=+y x 相切，则p 是q 的 条件13.已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，命题2320q x x -+<：的解集是{|12}x x <<，下列结论：①命题“p q ∧”是真命题； ②命题“p q ∧⌝”是假命题；③命题“p q ⌝∨”是真命题； ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题其中正确的是14.已知平面⊥α平面ββα =c ，直线,α⊂a 直线,β⊂b a 、c 不垂直，且a 、b 、c 交于同一点P ，则“b ⊥c ”是“b ⊥a ”的 条件15.给出定义：若2121+≤<-m x m (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作}{x ，即m x =}{. 在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题： 则其中真命题是 ．①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是[0，21]；②函数)(x f y =的图像关于直线)(2Z k k x ∈=对称；③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④ 函数)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数； 16.命题p ：∀x ∈R ，f(x)≥m.则命题p 的否定⌝P 是＿＿＿＿＿＿＿17.已知命题:p R x ∈∃，022≤++a ax x ．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 ．18.以下四个命题中，正确命题的序号是______________①△ABC 中，A>B 的充要条件是sin sin A B >；②函数()y f x =在区间（1，2）上存在零点的充要条件是(1)(2)0f f ⋅<;③等比数列{a n }中,1531,164a a a ===±，则；④把函数sin(22)y x =-的图象向右平移2个单位后，得到的图象对应的解析式为 sin(42)y x =-19.命题“若20,0m x x m >+-=则方程有实数根”的逆命题是二、解答题: 20. 已知函数12cos 32)4(sin 4)(2--+=x x x f π，且给定条件p:“24ππ≤≤x ”,（1）求)(x f 的最大值及最小值（2）若又给条件"2|)(|:"<-m x f q 且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围。

第05课时：第一章 集合与简易逻辑——简易逻辑 一．课题：简易逻辑 二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．三．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系．四．教学过程：（一）主要知识：1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题；2．由真值表判断复合命题的真假；3．四种命题间的关系．（二）主要方法：1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；2．通常复合命题“或”的否定为“且”、“且”的否定为“或”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若，则”的形式；4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾．（三）例题分析：例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假：（1）菱形对角线相互垂直平分．（2）“”解：1这个命题是“且”形式，菱形的对角线相互垂直；菱形的对角线相互平分， ∵为真命题，也是真命题 ∴且为真命题．（2）这个命题是“或”形式，；，∵为真命题，是假命题 ∴或为真命题．注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假，再由真值表判断复合命题的真假．例2．分别写出命题“若220x y +=，则全为零”的逆命题、否命题和逆否命题． 解：否命题为：若220x y +≠，则不全为零逆命题：若全为零，则220x y +=逆否命题：若不全为零，则220x y +≠注：写四种命题时应先分清题设和结论．例3．命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题吗证明你的结论． 解：方法一：原命题是真命题，∵0m >，∴140m ∆=+>，因而方程20x x m +-=有实根，故原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”是真命题； 又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题．方法二：原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是“若20x x m +-=无实根，则0m ≤”．∵20x x m +-=无实根∴140m ∆=+<即104m <-≤，故原命题的逆否命题是真命题． 例4．（考点6智能训练14题）已知命题：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题：方程244(2)10x m x +-+=无实根；若或为真，且为假，求实数的取值范围．分析：先分别求满足条件和的的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．解：由命题可以得到：2400m m ⎧∆=->⎨>⎩ ∴2m >由命题可以得到：2[4(2)]160m ∆=--< ∴26m -<<∵或为真，且为假 有且仅有一个为真当为真，为假时，262,6m m m orm >⎧⇒≥⎨≤-≥⎩当为假，为真时，22226m m m ≤⎧⇒-<≤⎨-<<⎩所以，的取值范围为{|6m m ≥或22}m -<≤．例5．（《高考A 计划》考点5智能训练第14题）已知函数对其定义域内的任意两个数，当时，都有()()f a f b <，证明：()0f x =至多有一个实根．解：假设()0f x =至少有两个不同的实数根，不妨假设12x x <，由方程的定义可知：12()0,()0f x f x ==即12()()f x f x =由已知12x x <时，有12()()f x f x <这与式①矛盾因此假设不能成立故原命题成立．注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．例6．（《高考A 计划》考点5智能训练第5题）用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）A 假设,,a b c 都是偶数B 假设,,a b c 都不是偶数C 假设,,a b c 至多有一个是偶数D 假设,,a b c 至多有两个是偶数（四）巩固练习：1．命题“若不正确，则不正确”的逆命题的等价命题是 （ ）A 若不正确，则不正确B 若不正确，则正确C 若正确，则不正确D 若正确，则正确2．“若240b ac -<，则20ax bx c ++=没有实根”，其否命题是（ ） A 若240b ac ->，则20ax bx c ++=没有实根B 若240b ac ->，则20ax bx c ++=有实根C 若240b ac -≥，则20ax bx c ++=有实根D 若240b ac -≥，则20ax bx c ++=没有实根。

高考数学一轮复习专题1.2常用逻辑用语1.与函数、不等式、解析几何等知识结合考查充分条件与必要条件的判断及应用,凸显逻辑推理的核心素养；2.以函数、不等式为载体考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用,凸显逻辑推理、数学运算的核心素养.1.充分条件、必要条件与充要条件的概念2.全称量词与存在量词1.全称量词与全称命题1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.2)含有全称量词的命题，叫做全称命题.核心考点(3)全称命题“对M 中任意一个兀，有成立”可用符号简记为V x G M ,p (x ),读作“对任意兀属于M ,有成立”. 2. 存在量词与特称命题(1) 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“3”表示.(2) 含有存在量词的命题，叫做特称命题.(3) 特称命题“存在M 中的一个％，使“(％)成立”可用符号简记为3x 0G M ,p (x 0)，读作“存在M 中的元素％使“(％)成立”.3. 全称命题与特称命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题. (2)含有一个量词的命题的否定命题命题的否定V x G M ,p (x )3x G M ,「p (x )003x G M ,p (x )00V x G M >p (x )考点充分条件、必要条件的判断【方法储备】充要关系的几种判断方法：(1) 定义法：①若paq,q 令p,则p 是q 的充分而不必要条件； ② 若p 令q,qap ，则p 是q 的必要而不充分条件； ③ 若p aq,qap ，则p 是q 的充要条件；④ 若p 令q,q 令卩，则p 是q 的既不充分也不必要条件. (2) 等价转化法：即利用paq 与-qa-p ；qnp 与-pa —q ；poq 与-q^-p 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价转化法.（3）集合关系法：从集合的观点理解，根据使P ，q 成立的对象的集合之间的包含关系.【精研题型】1.已知a W R，则“a>l”是“二V I”的aA•充分非必要条件B•必要非充分条件C•充要条件D•既非充分又非必要条件2.（多选）下列命题中为真命题的是A.“a-b=O”的充要条件是“：=1”B.“a>b，堤“-V.”的既不充分也不必要条件a4C.命题“：x Z R,--<o”的否定是o”D.“a>2,b>2”是“ab>4”的必要条件3•某班从A，B，C，D四位同学中选拔一人参加校艺术节展演，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教师预测如下：甲说：“C或D被选中，”乙说：“B被选中，”丙说：“A,D均未被选中，”丁说：“C被选中.”若这四位教师中只有两位说的话是对的，则被选中的是A.ABB C.CD.D【思维升华】5.设a,b w R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的A•充分不必要条件B.必要不充分条件C•充要条件D.既不充分又不必要条件考点充分条件、必要条件的应用【方法储备】1.求参数的取值范围：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，由集合之间的关系列不等式（或不等式组）求解；（2）要注意区．间．端．点．值．的．检．验．，不等式是否能够取等号决定端点值得取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.2.探求某结论成立的充分、必要条件：（1）准确化简条件，即求出每个条件对应的充要条件；（2）问题的形式：①“P是q的……”，②“P的……是q”，②要转化为①，再求解；（3）准确判断两个条件之间的关系：①转化为两个命题关系的判断；②借助两个集合之间的关系来判断.【精研题型】6.设p：2X2-3X+1S0,q：x2-（2a+l）x+a（a+1）<0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是A』：；寸B.■C.…-D.i••--亍—1”为真命题的一个充分不必要条件是A.儿•iiB.丨C.八•■-D../-'［思维升华】8.“关于的方程门“―工忻（心山有解”的一个必要不充分条件是D J>.'■■l-l考占全称命题与特称命题A.wUC.>f{-丨一LI9•已知函数T］门［「-孙引的定义域是」，不等式JUSm的解集是再(1)若Vi0，求实数辽的取值范围；(2)若f—I们―"，且尸是9的充分不必要条件，求“的取值范围.【特别提醒】对于不等式问题：小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围【方法储备】1•全称(或特称)命题的否定：①将全称(或存在)量词改为存在(或全称)量词;②结论否定；即全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题2.全称命题与特称命题真假的判断：【精研题型】10•命题“m x W R,”的否定是xA.H x^R,T'「B.B x e R,T1■-?XXC.H x^R,T'〉D.B x e R,•、:'；xx11.(多选)若“H x^M,lxl>x”为真命题，“m x^M,x>3”为假命题，则集合M可以是A.{xlx V-5}B.{xl-3V x V-1}C.{xlx>3}D.{x|0<x<3}12•公元1637年前后，法国学者费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幕分成两个四次幕之和，或者一般地将一个高于二次的幕分成两个同次幕之和，这是不可能的”.被提出后，经历许多著名数学家猜想论证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁•怀尔斯彻底证明•其中“一般地，将一个高于二次的幕分成两个同次幕之和，这是不可能的”，这句话用数学语言可以表示为A.V x,y,z,n,m,p^Z且n>2,x n+y m^z p恒成立B.V x,y,z,n,p^Z且n>2,x n+y n^z p恒成立C.V x,y,z,n^Z且n>2,x n+y n^z n恒成立C.■-'1+cos2JC'J—2—二沁都是真D.V x,y,z,n^Z且n>2,x n+y n^z n恒成立［思维升华】13.(多选)下列四个关于三角函数的全称量词命题与存在量词命题，其中真命题A..「二N,sin-COSA-?B.二什,sin5—sin iD.寸工丘片，—,sin x>cos xk.24丿14.在①m x^R,x2+2x+2-a=0,②存在集合A={xl2V x V4}，非空集合B={xla V xV3a}，使得A A B=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数a．问题：求解实数a,使得命题p：V x^{x|1<x<2},x2-a>0,命题q：命题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．考'点全称(存在)量词命题的综合应用四方法储备】含有量词的命题求参数的问题是恒成立或有解问题：(1)全称量词命题V x G M,a>f(x)(或a<f(x))为真：不等式恒成立问题，通常转化为求f(x)的最大值(或最小值)，即a>f(x)(或a<f(x));maxmin(2)存在量词命题3x G M,>f(x)(或a<f(x))为真：不等式能成立问题，通常转化为求f(x)的最小值(或最大值)，即a>f(x)(或a<f(x))•minmax【精研题型】15.若"五E专•2，使得柠成立”是假命题，则实数人的取值范围是-16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+/(-%)=2,且在［0,+Q上单调递减，若对任意的x^R,f(x2-a)+f(x)<2恒成立，则实数a的取值范围为A.、•"B.(①，-1)C."-、D.(1，+44417.若mx0W R，■‘I'为假，则实数a的取值范围为•【思维升华】18.已知函数fx)=x，g(x)=-x2+2x+b，若对任意的X］三［1，2］，总存在x2三［1，9］,使得g(x1)=f(x2)，则b的取值范围是•19.(多选)已知p:「■--I，q:--，则下列说法正确的是A.p的否定是：■■1■■-■'-I-B.q的否定是：1..■-ii,.C.p为真命题时，::1D.q为真命题时，；，V"。

高考数学一轮复习集合简单逻辑公式归纳集合(简称集)是数学中一个差不多概念，它是集合论的研究对象。

以下为查字典数学网整理的集合简单逻辑公式归纳，期望对考生复习有关心。

任一xA xB，记作A BA B，B A A=BA B={x|xA，且xB}A B={x|xA，或xB}card(A B)=card(A)+card(B)-card(A B)(1)命题原命题若p则q逆命题若q则p否命题若p则q逆否命题若q，则p(2)四种命题的关系(3)A B，A是B成立的充分条件B A，A是B成立的必要条件A B，A是B成立的充要条件1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性2.集合表示方法①列举法②描述法③韦恩图④数轴法3.集合的运算⑴AC)=(A(AC)⑵Cu(AB)=CuACuBCu(AB)=CuACuB家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情形及时传递给家长，要求小孩回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高专门快。

4.集合的性质⑴n元集合的子集数：2n真子集数：2n-1;非空真子集数：2n-2那个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

要求学生抽空抄录同时阅读成诵。

其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,因此内容要尽量广泛一些,能够分为人一辈子、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探究、环保等多方面。

如此下去,除假期外,一年便能够积存40多则材料。

假如学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?集合简单逻辑公式归纳的全部内容确实是这些，更多杰出内容请考生连续关注查字典数学网。