第4讲 直线、平面平行的判定及性质

专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //nD ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）. （1）α、β都垂直于平面r ，那么α∥β. （2）α、β都平行于平面r ，那么α∥β. （3）α、β都垂直于直线l ，那么α∥β.（4）如果l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β，那么α∥β A ．0B ．1C ．2D ．3例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（ ） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥ 【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等． 题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ； ③//EN 平面1ADB ； ④1//A M 平面1ADB ， 错误的序号为___________.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A．B．C．D．例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，直线PC 平面ABC，,E F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l//平面PAC【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD 上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．证明：MN ∥平面C 1DE .例10.如图，在直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AD 上的任意一点(不包括A ，D 两点)，平面CEC 1∩平面BB 1D ＝FG .证明：FG ∥平面AA 1B 1B ．【总结提升】 1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识． (2)利用线面平行性质必须先找出交线． 2.易错提醒（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用. 题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______．例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 12AB AA ==.（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【规律方法】 1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //n D ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断A ，B ，C ；利用线面平行的性质判断D 作答. 【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，平面1111D C B A 视为平面α，对于A ，直线AB 视为m ，直线11A B 视为n ，满足m //α，m //n ，而n ⊂α，A 不正确；对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//α，n//α，而m与n相交，B不正确；A D视为n，满足m//α，n⊂α，显然m与n是异面直线，C不正确；对于C，直线AB视为m，直线11对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.故选：D例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）.（1）α、β都垂直于平面r，那么α∥β.（2）α、β都平行于平面r，那么α∥β.（3）α、β都垂直于直线l，那么α∥β.（4）如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥βA．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】【分析】由面面平行的判定定理及其相关结论分析可得结果.【详解】由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确.故选：D例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥【答案】A【解析】【分析】利用线面，面面位置关系逐项分析即得.【详解】对于A ，如图，n ⊂α，n n βαβ⊂⇒⋂=，结合m α，m β，可知m n ∥，故A 正确；对于B ，如图，m ，n 可能异面，故B 错误；对于C ，如图，α，β可能相交，故C 错误；对于D ，如图，αβ，可能相交，故D 错误.故选：A ．【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ；③//EN 平面1ADB ；④1//A M 平面1ADB ，错误的序号为___________.【答案】①②④【解析】【分析】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，证明出平面1//A CE 平面1AD B ，利用面面平行的性质结合假设法可判断①②③④的正误.【详解】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，在三棱柱111ABC A B C -中，因为11//BB CC 且11BB CC =，所以，四边形11BB C C 为平行四边形，则11//BC B C 且11BC B C =，D 、E 分别为BC 、11B C 的中点，则1//CD B E 且1CD B E =，故四边形1CDB E 为平行四边形，则1//CE B D ，CE ⊄平面1ADB ，1B D ⊂平面1ADB ，故//CE 平面1ADB ，同理可证四边形1BB ED 为平行四边形，则11////DE BB AA ，11DE BB AA ==，则四边形1AA ED 为平行四边形，所以，1//A E AD ，1A E ⊄平面1ADB ，AD ⊂平面1ADB ，则1//A E 平面1ADB ，1CE A E E =，故平面1//A CE 平面1AD B ，EN ⊂平面1A CE ，则//EN 平面1ADB ，③对；对于①，若//EF 平面1ADB ，EF EN E =，则平面//EFN 平面1ADB ，因为过点E 且与平面1ADB 平行的平面只有一个，矛盾，故①错，同理可知，②④均错.故答案为：①②④.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD【解析】【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；故选：BCD例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是PA ，PC 的中点.记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，求证：直线l //平面PAC【答案】证明见解析【解析】【分析】先通过//EF AC 可得出//EF 平面ABC ，再利用线面平行的性质即可证明.【详解】因为,E F 分别是,PA PC 的中点，所以//EF AC ，又因为AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以//EF 平面ABC ，又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以//EF l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以//l 平面P AC .【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可． 题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．【解析】【分析】根据直线与平面平行的性质定理可得//EF AC ,再根据E 为AD 的中点可得F 为CD 的中点,从而根据三角形的中位线可得.【详解】如图:因为//EF 平面1AB C ,EF ⊂平面DABC ,且平面1A C B 平面ABCD AC =,所以//EF AC ,又因为E 为AD 的中点,所以F 为CD 的中点, 所以12EF AC =,因为正方体的棱长为2.所以AC =所以EF =故答案为.例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.【答案】见解析【解析】证明:连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D．由题设知A1B1//=DC，可得B1C//=A1D，故ME//=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.例10.如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.证明：FG∥平面AA1B1B．【答案】见解析【解析】证明：在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D．又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B．【总结提升】1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．(2)利用线面平行性质必须先找出交线．（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用.题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6【答案】C【解析】【分析】由面面平行的性质结合题意可确定点M 所在的平面，再由平面几何的性质即可确定BM 的值为最大值时的位置，即可求解【详解】如图所示，取G ，H 分别为棱11B C 和11D C 的中点，连接11,,,BG DH BD B D ,由题意易知1111,BF B D GH B D ∥∥，所以BF GH ∥；又易知AF BG ∥，故可以证明平面BGHD ∥平面AEF ；又BM ∥平面AEF ，由面面平行的性质可知M ∈平面BGHD ，所以由题意可知M 在等腰梯形BGHD 四条边上运动，过点H 作HQ BD ⊥，交BD 于点Q ，由题意可知BD GH DH BG DQ ====所以HQ BQ BD DQ =-=所以BH又BD BH ==，所以故当M 与D 点重合时，BM 的值为最大值，此时BM BD ==例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______． 【答案】52【解析】【分析】根据面面平行的性质，证得//CD AB ，结合CD PC AB PA =，即可求解. 【详解】由题意，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ， 根据面面平行的性质，可得//CD AB ，所以CD PC AB PA =， 因为2PC =，3CA =，1CD =，所以15522CD PA AB PC ⋅⨯===.故答案为：52. 例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF【答案】证明见解析【解析】【分析】根据1//DF EC ，可证明1//EC 平面BDF ；又//BF AE ，可得//AE 平面BDF .进而根据线面平行证明面面平行.【详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点， 所以11111,22DE DD C F CC ==. 因为11CC DD =，且11//CC DD ，所以1DE C F =，且1//DE C F ，所以四边形1DEC F 是平行四边形，所以1//DF EC 又DF ⊂平面BDF ，1EC ⊄平面BDF ，所以1//EC 平面BDF .同理，//BF AE ，又BF ⊂平面BDF ，AE ⊄平面BDF ， 所以//AE 平面BDF .又1AE EC E ⋂=，1,AE EC ⊂平面1AEC ，所以平面1//AEC 平面BDF 例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 1AB AA =（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】【详解】试题分析：（1）要证明1A C ⊥平面11BB D D ，只要证明1A C 垂直于平面11BB D D 内的两条相交直线即可，由已知可证出1A C ⊥BD ，取11B D 的中点为1E ，通过证明四边形11A OCE 为正方形可证1A C ⊥1E O ．由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知1A O 是三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高，由此能求出三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积 试题解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=，由棱柱的性质可得BB 1和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等．而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，∴BD ∥平面CB 1D 1．同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ．（Ⅱ）由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高．三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A 1O===1，∴三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O=•A 1O=×1=1．【规律方法】1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．。

第4讲直线、平面平行的判定及性质◆高考导航·顺风启程◆[知识梳理]1．直线与平面平行的判定定理和性质定理则该直线与此平面平∵a∴则过这条⇒∵α∴与另一个平面平行，则这两个平∵b a a ∴如果两个平行平面同时和第三个交线[知识感悟]1．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．4．重要结论：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.[知识自测]1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.()(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×2．(2018·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α[解析]若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a ∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.[答案] D3．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．[解析] ∵平面ABFE ∥平面DCGH ， 又平面EFGH ∩平面ABFE ＝EF ， 平面EFGH ∩平面DCGH ＝HG ， ∴EF ∥HG .同理EH ∥FG ，∴四边形EFGH 的形状是平行四边形． [答案] 平行四边形题型一 直线与平面平行的判定与性质(高频考点题，多角突破) 考向一 证明直线与平面平行1．(2017·课标Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°.(1)证明：直线BC ∥平面P AD ；(2)若△P AD 面积为27，求四棱锥P -ABCD 的体积．[解析] (1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .又BC ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，故BC ∥平面P AD .(2)取AD 的中点M ，连结PM ，CM ，由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD . 因为侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD ，因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x .取CD 的中点N ，连结PN ，则PN ⊥CD ，所以PN ＝142x .因为△PCD 的面积为27，所以12×2x ×142x ＝27，解得x＝2(舍去)，x ＝2，于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝23，所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13×2(2＋4)2×23＝4 3.考向二 线面平行性质定理的应用2．(2018·长沙调研)如图，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．[解] (1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ， 且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC . 同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD . 又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD . 又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF . 所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.方法感悟1．证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形等证明两直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．2．判断或证明线面平行的常用方法： (1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． 【针对补偿】1．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，F 是AB 的中点，E 是PD 的中点． (1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)在PC 上求一点G ，使FG ∥平面AEC ，并证明你的结论． [解] (1)证明：连接BD ，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC . (2)PC 的中点G 即为所求的点．证明如下：连接GE ，FG ，∵E 为PD 的中点， ∴GE 綊12CD .又F 为AB 的中点，且四边形ABCD 为矩形，∴F A 綊12CD .∴F A 綊GE .∴四边形AFGE 为平行四边形，∴FG ∥AE . 又FG ⊄平面AEC ，AE ⊂平面AEC ， ∴FG ∥平面AEC .题型二 平面与平面平行的判定与性质(重点保分题，共同探讨)如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积．[解] (1)证明：由题设知，BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1.又BD ⊄平面CD 1B 1，B 1D 1⊂平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1，∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥D 1C .又A 1B ⊄平面CD 1B 1，D 1C ⊂平面CD 1B 1，∴A 1B ∥平面CD 1B 1.又∵BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.(2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD -A 1B 1D 1的高．又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1.又∵S △ABD ＝12×2×2＝1，∴VABD -A 1B 1D 1＝S △ABD ×A 1O ＝1. 方法感悟1．判定面面平行的方法2.(1)两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面． (2)若一平面与两平行平面相交，则交线平行． 【针对补偿】2．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG.题型三平行关系的综合应用(重点保分题，共同探讨)(2018·洛阳月考)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.[证明](1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG所以BD∥平面MNG，又DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.方法感悟空间平行关系的转化平行关系之间的转化如图所示：在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．【针对补偿】3．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：(1)BF ∥HD 1； (2)EG ∥平面BB 1D 1D ； (3)平面BDF ∥平面B 1D 1H .[证明] (1)如图所示，取BB 1的中点M ，连接MH ，MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1.又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ，则OE 綊12DC ，又D 1G 綊12DC ，∴OE 綊D 1G ，∴四边形OEGD 1是平行四边形，∴GE ∥D 1O . 又GE ⊄平面BB 1D 1D ，D 1O ⊂平面BB 1D 1D ， ∴EG ∥平面BB 1D 1D . (3)由(1)知BF ∥HD 1，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1，HD 1⊂平面B 1D 1H ，BF ， BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1＝D 1，DB ∩BF ＝B ， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .题型四 平行关系在作图中的应用(重点保分题，共同探讨)如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝4，AB ＝8，M ，N 分别是A 1D 1，AB 的中点．过MN 的截面α与BD 1平行，且平面α与长方体的面相交．(1)求作交线(只画出图，不要求证明或说明)．(2)求该截面将长方体分成的两部分的体积之比．[解] (1)如图，Q ，P 分别为A 1B 1与AD 的中点，则截面MPNQ 即为平面α，交线分别为MP ，PN ，NQ 和QM .(2)由(1)知，三棱柱ANP -A 1QM 的体积为V 1＝S △ANP ·AA 1＝12×12AB ·12AD ·AA 1＝18×8×4×4＝16.而长方体的体积V ＝S 矩形ABCD ·AA 1＝8×4×4＝128.∴截面将长方体分成的两部分体积比为V 1∶(V －V 1)＝16∶112＝17(7也可以)．方法感悟根据条件求作几何体截面的3个思想方法 (1)平面的确定公理；(2)线面平行与面面平行的判定与性质的应用； (3)作图的合理性(注意题目中隐含条件的挖掘和分析)． 【针对补偿】4．如图，L ，M ，N 分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN 与平面PQR 的位置关系是( )A ．垂直B ．相交不垂直C ．平行D ．重合[解析] 如图，分别取另三条棱的中点A ，B ，C ，将平面LMN 延展为平面正六边形AMBNCL ，因为PQ ∥AL ，PR ∥AM ，且PQ 与PR 相交，AL 与AM 相交，所以平面PQR ∥平面AMBNCL ，即平面LMN ∥平面PQR .[答案] C◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(三十七)[A 基础巩固练]1．(2018·保定月考)有下列命题：①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若直线a ∥b ，b ∥α，则a 平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 命题①：l 可以在平面α内，不正确；命题②：直线a 与平面α可以是相交关系，不正确；命题③：a 可以在平面α内，不正确；命题④正确，故选A.[答案] A2．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定[解析] 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以AC∥平面DEF .[答案] A3．下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④[解析] 由线面平行的判定定理知图①②可得出AB ∥平面MNP . [答案] A4．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形[解析] 由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF ∥BD ，且EF ＝15BD ，∴EF ∥平面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，∴HG ∥BD ，且HG ＝12BD ，∴EF ∥HG 且EF ≠HG .∴四边形EFGH是梯形．[答案] B5．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，且PQ ∥AC ，则下列命题中，错误的是( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°[解析] 由题意可知PQ ∥AC ，QM ∥BD ，PQ ⊥QM ，所以AC ⊥BD ，故A 正确；由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确，由PN ∥BD 可知，异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角，又四边形PQMN 为正方形，所以∠MPN ＝45°，故D 正确；而AC ＝BD 没有论证来源．[答案] C6．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD -A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ， ∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)．∴③是正确的； 对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC (定值)，即④是正确的，故选C.[答案] C7．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β； ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ； ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β；④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有______．(填写所有正确命题的编号)[解析] 当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.[答案] ②③④8．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为______．[解析] 如图1，∵AC ∩BD ＝P ，∴经过直线AC 与BD 可确定平面PCD .∵α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ， ∴AB ∥CD .∴P A AC ＝PB BD， 即69＝8－BD BD ，∴BD ＝245.如图2，同理可证AB ∥CD . ∴P A PC ＝PB PD ，即63＝BD －88， ∴BD ＝24，综上所述，BD ＝245或24.[答案]245或24 9．如图，空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是______．[解析] 设DH DA ＝GH AC ＝k ，∴AH DA ＝EHBD ＝1－k ，∴GH ＝5k ，EH ＝4(1－k )，∴周长＝8＋2k . 又∵0<k <1，∴周长的取值范围为(8,10)． [答案] (8,10)10．(2018·湖北武汉五月模拟)如图，四棱锥中P -ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 与△P AD 都是边长为2的等边三角形，E 是BC 的中点．(1)求证：AE∥平面PCD；(2)求四棱锥P-ABCD的体积．[解](1)证明：因为，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，E是BC的中点，所以AD∥CE，且AD＝CE，所以四边形ADCE是平行四边形，所以AE∥CD.因为AE⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AE∥平面PCD；(2)连接DE、BD，设AE交BD于O，连PO，则四边形ABED是正方形，所以AE⊥BD.因为PD＝PB＝2，O是BD中点，所以PO⊥BD.则PO＝PB2－OB2＝4－2＝ 2.又OA＝2，P A＝2，所以△POA是直角三角形，则PO⊥AO.因为BD∩AE＝O，所以PO⊥平面ABCD.则V P-ABCD＝13×2×12(2＋4)×2＝2 2.[B能力提升练]1．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是()A．MC⊥AN B．GB∥平面AMNC．平面CMN⊥平面AMN D．平面DCM∥平面ABN[解析] 显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(图略)，作AN 的中点H ，连接HB ，MH ，GB ，则MC ∥HB ，又HB ⊥AN ，所以MC ⊥AN ，所以A 正确；由题意易得GB ∥MH ，又GB ⊂平面AMN ，MH ⊂平面AMN ，所以GB ∥平面AMN ，所以B 正确；因为AB ∥CD ，DM ∥BN ，且AB ∩BN ＝B ，CD ∩DM ＝D ，所以平面DCM ∥平面ABN ，所以D 正确．[答案] C2．在三棱锥S -ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H ，且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )A.452B.4532C ．45D ．45 3[解析] 取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ， 故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形． 又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形， 其面积S ＝HF ·FD ＝12AC ·12SB ＝452.[答案] A3．如图所示，设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a3，过B 1，D 1，P 的平面交平面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝______.[解析] ∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥PQ .又∵B 1D 1∥BD ，∴BD ∥PQ ，设PQ ∩AB ＝M ，∵AB ∥CD ， ∴△APM ∽△DPQ .∴PQ PM ＝PDAP＝2，即PQ ＝2PM .又知△APM ∽△ADB ，∴PM BD ＝AP AD ＝13，∴PM ＝13BD ，又BD ＝2a ，∴PQ ＝223a .[答案]223a 4．如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于棱AB 和CD ，试问截面EFGH 的四个点在棱AD 、AC 、BC 、BD 的______时，面积最大．[解] ∵AB ∥平面EFGH ，平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG ，EH . ∴AB ∥FG ，AB ∥EH ，∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ， ∴截面EFGH 是平行四边形．设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α(α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)． 又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CGBC，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba(a －x )，∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α＝x ·b a ·(a －x )·sin α＝b sin αax (a －x )．∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值，∴b sin αa x (a －x )≤ab sin α4，当且仅当x ＝a －x 时等号成立．此时x ＝a 2，y ＝b2.即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大．5．平面内两正方形ABCD 与ABEF ，点M ，N 分别在对角线AC ，FB 上，且AM ∶MC ＝FN ∶NB ，沿AB 折起，使得∠DAF ＝90°.(1)证明：折叠后MN ∥平面CBE ；(2)若AM ∶MC ＝2∶3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN ∥平面CBE ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．[解析] (1)证明：如图，设直线AN 与直线BE 交于点H ，连接CH ，因为△ANF ∽△HNB ，所以FN NB ＝AN NH .又AM MC ＝FN NB ，所以AN NH ＝AMMC ，所以MN ∥CH .又MN⊄平面CBE ，CH ⊂平面CBE ，所以MN ∥平面CBE .(2)存在，过M 作MG ⊥AB ，垂足为G ，连接GN ，则MG ∥BC ，所以MG ∥平面CBE .又MN ∥平面CBE ，MG ∩MN ＝M ，所以平面MGN ∥平面CBE .所以点G 在线段AB 上，且AG ∶GB ＝AM ∶MC ＝2∶3.[C 尖子生专练]如图，几何体E -ABCD 是四棱锥， △ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . [解] (1)证明：如图①，取BD 的中点O ，连接CO ，EO .由于CB ＝CD ，所以CO ⊥BD ，图①又EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，CO ，EC ⊂平面EOC ，所以BD ⊥平面EOC ，因此BD ⊥EO ，又O 为BD 的中点，所以BE ＝DE .(2)证法一：如图②，取AB 的中点N ，连接DM ，DN ，MN ， 因为M 是AE 的中点，所以MN ∥BE .图②又MN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，∴MN ∥平面BEC .又因为△ABD 为正三角形，所以∠BDN ＝30°，又CB ＝CD ，∠BCD ＝120°，因此∠CBD ＝30°，所以DN ∥BC .又DN ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，所以DN ∥平面BEC .又MN ∩DN ＝N ，故平面DMN ∥平面BEC ，又DM ⊂平面DMN ，所以DM ∥平面BEC .证法二：如图③，延长AD ，BC 交于点F ，连接EF . 因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°，所以∠CBD ＝30°.因为△ABD 为正三角形，所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°，因此∠AFB ＝30°，所以AB ＝12AF .又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点，连接DM ，由点M 是线段AE 的中点，因此DM ∥EF .又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ，所以DM ∥平面BEC .。

第4讲直线、平面平行的判定及其性质【高考会这样考】1．考查空间直线与平面平行，面面平行的判定及其性质．2．以解答题的形式考查线面的平行关系．3．考查空间中平行关系的探索性问题．【复习指导】1．熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程中叙述的步骤要完整，避免因条件书写不全而失分．2．学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”．基础梳理1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．2．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；(3)其他判定方法：α∥β；a⊂α⇒a∥β.3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.4．两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；(3)推论：a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.5．两个平面平行的性质定理(1)α∥β，a⊂α⇒a∥β；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.6．与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.一个关系平行问题的转化关系：两个防范(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下面命题中正确的是()．①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．2．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是()．A．平行B．相交C．异面D．平行或异面3．(2012·银川质检)在空间中，下列命题正确的是()．A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a⊂α，则a∥β4．(2012·温州模拟)已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()．A．m∥n，m⊥α⇒n⊥αB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β5．(2012·衡阳质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．考向一直线与平面平行的判定与性质【例1】►(2011·天津改编)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．求证：PB∥平面ACM.【训练1】如图，若P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.考向二平面与平面平行的判定与性质【例2】►如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B；【训练2】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.考向三线面平行中的探索问题【例3】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．【训练3】如图，在四棱锥P ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．规范解答13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题【问题研究】高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几何知识，考查判定定理、性质定理等内容，难度为中低档题目.【解决方案】利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征，尤其注意对正棱柱、正棱锥等特殊几何体性质的灵活运用，进行空间线面关系的相互转化.【示例】►(本题满分12分)(2011·山东)如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB ＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.第(1)问转化为证明BD垂直A1A所在平面；第(2)问在平面A1BD内寻找一条线与CC1平行．[解答示范] 证明(1)因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以D1D⊥BD.(1分)又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB cos 60°＝3AD2，所以AD2＋BD2＝AB2，因此AD⊥BD.(4分)又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1⊂平面ADD1A1，故AA1⊥BD.(6分)(2)如图，连结AC，A1C1，设AC∩BD＝E，连结EA1，因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC＝12AC.(8分)由棱台定义及AB＝2AD＝2A1B1知A1C1∥EC且A1C1＝EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形，(10分)因此CC1∥EA1.又因为EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD.(12分)【试一试】(2010·安徽)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体BDEF的体积．。

直线、平面平行的判定及其性质一、知识概述本节内容主要学习的是空间直线和平面、平面和平面平行的判定及其性质，先通过直观感知和操作确认的方法，概括出直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，然后再对归纳出的直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质作出严密的逻辑论证．通过对图形的观察、实验和推理，使同学们进一步了解空间的直线、平面平行关系的基本性质及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题．二、重难点知识归纳1、平面(1)平面概念的理解直观的理解：桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直观的印象，但它们都不是平面，而仅仅是平面的一部分．抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄．(2)平面的表示法①图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时根据实际需要，也用其他的平面图形来表示平面．②字母表示：常用等希腊字母表示平面．(3)涉及本部分内容的符号表示有：①点A在直线l内，记作；②点A不在直线l内，记作；③点A在平面内，记作；④点A不在平面内，记作；⑤直线l在平面内，记作；⑥直线l不在平面内，记作；注意：符号的使用与集合中这四个符号的使用的区别与联系．(4)平面的基本性质公理1：如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．符号表示为：．注意：如果直线上所有的点都在一个平面内，我们也说这条直线在这个平面内，或者称平面经过这条直线．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．符号表示为：直线AB存在唯一的平面，使得．注意：“有且只有”的含义是：“有”表示存在，“只有”表示唯一，不能用“只有”来代替．此公理又可表示为：不共线的三点确定一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号表示为：．注意：两个平面有一条公共直线，我们说这两个平面相交，这条公共直线就叫作两个平面的交线．若平面、平面相交于直线l，记作．公理的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．空间直线(1)空间两条直线的位置关系①相交直线：有且仅有一个公共点，可表示为;②平行直线：在同一个平面内，没有公共点，可表示为a//b;③异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．(2)平行直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示为：设a、b、c是三条直线，．定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．(3)两条异面直线所成的角注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°]．②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出．③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法：(i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点．(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现．(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围．3．空间直线与平面直线与平面位置关系有且只有三种：(1)直线在平面内：有无数个公共点；(2)直线与平面相交：有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行：没有公共点．4．平面与平面两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：(1)两个平面平行：没有公共点；(2)两个平面相交：有一条公共直线．5．直线与平面平行的判定(1)直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，我们就说这条直线与这个平面平行．(2)直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号表示为：．注意：这个定理是证明直线与平面平行最常用的一个定理，也就是说欲证明一条直线与一个平面平行，一是说明这条直线不在这个平面内，二是要证明已知平面内有一条直线与已知直线平行．6．两个平面平行的判定(1)两个平面平行的定义：两个平面没有公共点，则两个平面平行．(2)平面与平面的平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．符号表示为：．注意：这个定理的另外一种表达方式为“如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行”．(3)平行于同一平面的两个平面互相平行．即．7．直线与平面平行的性质(1) 直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号表示为：．注意：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的无数条直线平行，但不能误解为“如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线就和平面内的任意一条直线平行”．(2)直线与平面平行的性质：过平面内一点的直线与该平面平行的一条直线平行，则这条直线在这个平面内．符号表示为：若，点，且，则．8．平面与平面平行的性质(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面．此结论可以作为定理用，可用来判定线面平行．(2)两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等．三、典型例题剖析例1．下列说法正确的是（）A．若直线a平行于面内的无数条直线，则B．若直线a在平面外，则C．若直线a//b，直线，则D．若直线a//b，直线，则直线a平行于平面内的无数条直线解析：本题主要考察直线与平面平行的定义、判定及其性质．对于A答案，根据直线与平面平行的判定，要使得直线与平面平行，则直线与平面内的所有直线都要平行，但无数条并不能代表所有条，故A错误．对于B答案，直线与平面的位置关系只有两种，直线在平面内和直线在平面外，直线与平面相交也称为直线在平面外，故B错误．对于C答案，要使得，必须还要，故C错误．D答案正确．例2．M、N、P为三个不重合的平面，a、b、c为三条不同直线，则下列命题中，不正确的是（）①②③④⑤⑥A．④⑥B．②③⑥C．②③⑤⑥D．②③解析：举反例，不正确的命题有②③⑤⑥．因为②中a、b可以相交，还可以异面，③中M、N可以相交，⑤中a可以在M内，⑥中a可以在M内，所以正确的命题有①④，可以从公理及公共点的角度解析．故选C．例3．如图，E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面过EH分别交BC、CD于F、G．求证：EH//FG.证明：如图所示，连接BD,E、H分别是AB、AD的中点，EH//BD.又BD面BCD，EH面BCD，EH//面BCD．又EH、面BCD＝FG，EH//FG.例4．如图所示，已知P为所在平面外一点，分别是的重心．求证：平面//平面ABC．证明：如图所示，延长分别与边AB,BC,AC交于点D,E,F．连接DE,EF,FD．则有，,．又不在平面ABC内，所以//平面ABC．同理//平面ABC．又因为，平面//平面ABC．点拨：证明两个平面平行的关键还是在与线面平行，在证明线面平行时，其关键就在于在已知的两个平面内找到两条互相平行的直线，而这两条直线必然在同一个平面内，或者说它们应当是某一个平面与两个已知平面的交线．例5．已知平面//平面，，直线AB与CD交于S，且AS=8，BS=9，CD=34，求CS的长．解析：(1)若S在之间，如图所示，连AC、BD,,AB、CD共面．，，AC//BD..设CS＝x，则，即．(2)若S不在之间，如图所示，, AB、CD共面,且．，AC//BD.，即．．故SC=16或272.。

直线、平面平行的判定与性质重点难点重点：掌握线线平行、线面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题.难点：线面平行与面面平行在判定中的相互转化使用.方法突破线面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找出一条直线与这条直线平行，就可断定这条直线必与这个平面平行. 线面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面与已知平面相交，其交线必与已知直线平行. 两个平面平行问题的判定与证明，是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，即“线面平行，则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面.1. 判定线线平行的三种方法（1）公理4：证明两直线同时平行于第三条直线.（2）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，且经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行.推理模式：l∥α，l∥β，α∩β=m？圯l∥m.（3）平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.推理模式：α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b？圯a∥b.2. 判定线面平行的三种方法（1）根据线面平行的判定定理：如果不在某个平面内的一条直线与该平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.推理模式：l？埭α，m？奂α，l∥m？圯l∥α.使用定理时，一定要说明“平面外的一条直线与平面内的一条直线平行”，若不注明该条件，则证明过程就不完备.（2）面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.推理模式：α∥β，a？奂α？圯a∥β.3. 判定面面平行的三种方法（1）根据面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.推理模式：a？奂β，b？奂β，a∩b=P，a∥α，b∥α？圯β∥α.（2）平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行.推理模式：a∩b=P，a？奂α，b？奂α，a′∩b′=P′，a′？奂β，b′？奂β，a∥a′，b∥b′？圯α∥β.（3）向量法：如果两个不同平面的法向量相互平行，那么就可以判定两个平面平行.典例精讲一、线线平行的判定■已知四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.思索若证四边形是平行四边形，只需证一组对边相等且平行或两组对边分别平行，选其一证出即可. 利用平行公理证明两条直线平行的思路就是要找准一条直线与这两条直线都平行的直线来传递.破解如图1，连结BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，EH=■BD. 又因为FG是△CBD的中位线，所以FG∥BD，FG=■BD. 根据公理4，FG∥EH且FG=EH，所以四边形EFGH是平行四边形.■图1二、线面平行的判定■如图2，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=■，AF=1，M是线段EF的中点. 求证：AM ∥平面BDE.■图2思索设AC与BD相交于G，连结EG，证明四边形AGEM 是平行四边形，可得EG∥AM，利用线面平行的判定定理可证.破解设AC与BD相交于G，连结EG，则G是AC的中点. 因为M是线段EF的中点，ACEF是矩形，所以EM∥AG，EM=AG，所以四边形AGEM是平行四边形，所以EG∥AM. 因为AM不在平面BDE内，EG在平面BDE内，所以AM∥平面BDE.三、面面平行的判定■如图3，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB. 过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是侧棱SA，SC的中点. 求证：平面EFG∥平面ABC.■图3思索证明平面EFG∥平面ABC，需要在平面EFG内找到两条相交直线与平面ABC平行，而线面平行的判定定理告诉我们，要证明线面平行，需要转化为证明线线平行. 因此，证明该题的关键是在平面内最为恰当的位置找出一条直线与该直线平行.破解（1）因为E，G分别是侧棱SA，SC的中点，所以EG∥AC.因为AC？奂平面ABC，EG？埭平面ABC，所以EG∥平面ABC. ？摇因为AS=AB，AF⊥SB，所以F为SB的中点，所以EF∥AB.因为AB？奂平面ABC，EF？埭平面ABC，所以EF∥平面ABC.因为EF∩EG=E，EF，EG？奂平面EFG，所以平面EFG∥平面ABC.四、线线平行、线面平行、面面平行的转化■如图4，已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为三角形SAB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.■图4思索一可判断SG∥平面DEF，要证明结论成立，只需证明SG与平面DEF内的一条直线平行，观察图形可以看出，转化成线线平行的证明.破解一连结CG交DE于点H，因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥AB. 在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，所以H为CG的中点，所以FH是△SCG的中位线，所以FH ∥SG. 又SG？埭面DEF，FH？奂面DEF，所以SG∥平面DEF. 思索二要证明SG∥平面DEF，只需证明平面SAB∥平面DEF，从而得到线面平行.破解二因为EF是△SBC的中位线，所以EF∥SB，又EF？埭面SAB，SB？奂面SAB，所以EF∥平面SAB. 同理，DF∥平面SAB.因为EF∩DF=F，所以可得面SAB∥面DEF. 又SG？奂面SAB，所以SG∥平面DEF.证法一直接应用线面平行的判定定理来证明；证法二是通过线线平行证面面平行，再由面面平行证线面平行. 在本题的证明过程中实现了线线平行、线面平行、面面平行的转化.变式练习1. 如图5，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点. 求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE.■图52. 如图6，在三棱锥S-ABC中，M，N，P分别为棱SA，SB，SC的中点，求证：平面MNP∥平面ABC.■图63. 如图7，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1.参考答案1. （1）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 因为AD？奂平面ABC，所以CC1⊥AD. 因为AD⊥DE，且CC1，DE？奂平面BCC1B1，CC1∩DE=E，所以AD⊥平面BCC1B1. 又因为AD？奂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.（2）因为A1B1=A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1. 因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F？奂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F. 因为CC1，？摇B1C1？奂平面BCC1B1，CC1∩B1C1=C1，所以A1F⊥平面BCC1B1. 由（1）知，AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又因为AD？奂平面ADE，？摇A1F？埭平面ADE，所以直线A1F∥平面ADE2. 因为M，N，P分别为棱SA，SB，SC的中点，所以MN∥AB，PN∥BC. 因为MN？埭平面ABC，AB？奂平面ABC，PN？埭平面ABC，BC？奂平面ABC，所以MN∥平面ABC，PN∥平面ABC. 因为MN∩PN=N，MN，PN？奂平面MPN. 所以平面MNP∥平面ABC.3. 证法一（利用线面平行的判定定理）：设C1B与CB1的交点为E，由已知得E为C1B的中点. 连结AC1，DE，则OE■■AC1. 又DE？奂平面CDB1，AC1？埭平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.证法二（利用共线向量定理证明线面平行）：因为直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以AC，BC，CC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由已知可得C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4），D■，2，0. 设CB1与C1B的交点为E，则E（0，2，2），因为■=-■，0，2，■=（-3，0，4），所以■=■■，所以■∥■. 因为DE？奂平面CDB1，AC1？埭平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.证法三（利用法向量证明线面平行）：因为直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以■，■，■为正交基底，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B■（0，4，4），D■，2，0，故■=（-3，0，4），■=（0，4，4），■=■，2，0. 设平面CDB1的法向量为n=（x，y，z），则4y+4z=0，■x+2y=0，故有n=（4，-3，3），所以■?n=0. 因此■⊥n. 又AC1不在平面CDB1内，从而有AC1∥平面CDB1. ■。

第4讲直线、平面平行的判定与性质[最新考纲]1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．知识梳理1．直线与平面平行的判定与性质学生用书第114页辨析感悟1．对直线与平面平行的判定与性质的理解(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(×)(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)(4)若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条．(×)2．对平面与平面平行的判定与性质的理解(5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(×)(6)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)(7)(教材练习改编)设l为直线，α，β是两个不同的平面，若l∥α，l∥β，则α∥β.(×) [感悟·提升]三个防范一是推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内，如(1)、(3)．二是推证面面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，如(5)．三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行，如(2)、(4)．考点一有关线面、面面平行的命题真假判断【例1】(1)(2013·广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()．A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β(2)设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是()．A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β解析(1)A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故D正确．(2)A错误，n有可能在平面α内；B错误，平面α有可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D正确，易知m∥β或m⊂β，若m⊂β，又n∥m，n⊄β，∴n∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，∴n∥l，又n⊄β，l⊂β，∴n∥β.答案(1)D(2)D规律方法线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现，处理方法是数形结合，画图或结合正方体等有关模型来解题．【训练1】(1)(2014·长沙模拟)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()．A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α(2)给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()．A．3 B．2 C．1 D．0解析(1)可以构造一草图来表示位置关系，经验证，当b与α相交或b⊂α或b ∥α时，均满足直线a⊥b，且直线a∥平面α的情况，故选D.(2)①中，当α与β相交时，也能存在符合题意的l，m；②中，l与m也可能异面；③中，l∥γ，l⊂β，β∩γ＝m⇒l∥m，同理l∥n，则m∥n，正确．答案(1)D(2)C考点二线面平行的判定与性质【例2】如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC的体积．(1)证明法一连接AB′，AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.法二取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，如图，而M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.(2)解法一连接BN，如图，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.又A′N＝12B′C′＝1，规律方法判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．【训练2】如图，在四面体A－BCD中，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.证明法一如图1，连接BH，BH与CF交于K，连接EK.∵F，H分别是AB，AC的中点，∴K是△ABC的重心，∴BKBH＝2 3.又据题设条件知，BEBG＝2 3，∴BKBH＝BEBG，∴EK∥GH.∵EK⊂平面CEF，GH⊄平面CEF，∴直线HG∥平面CEF.图1图2法二如图2，取CD的中点N，连接GN、HN. ∵G为DE的中点，∴GN∥CE.∵CE⊂平面CEF，GN⊄平面CEF，∴GN∥平面CEF.连接FH，EN∵F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，∴FH綉12BC，EN綉12BC，∴FH綉EN，∴四边形FHNE为平行四边形，∴HN∥EF.∵EF⊂平面CEF，HN⊄平面CEF，∴HN∥平面CEF.HN∩GN＝N，∴平面GHN∥平面CEF.∵GH⊂平面GHN，∴直线HG∥平面CEF.考点三面面平行的判定与性质【例3】(2013·陕西卷)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．审题路线 (1)判定四边形BB 1D 1D 是平行四边形⇒BD ∥B 1D 1⇒BD ∥平面CD 1B 1⇒同理推出A 1B ∥平面CD 1B 1⇒面A 1BD ∥面CD 1B 1.(2)断定A 1O 为三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高⇒用勾股定理求A 1O ⇒求S △ABD ⇒求.(1)证明 由题设知，BB 1綉DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⊄平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綉B 1C 1綉BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C . 又A 1B ⊄平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ， ∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)解 ∵A 1O ⊥平面ABCD ， ∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高． 又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1.又∵S △ABD ＝12×2×2＝1，规律方法 (1)证明两个平面平行的方法有： ①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明； ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明； ④借助“传递性”来完成．(2)面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用．【训练3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD.证明法一如图，连接B1D1，B1C.∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.法二如图，连接AC1，AC，且AC∩BD＝O，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴AC⊥BD，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面AC1C，∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B，∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN，∴平面PMN∥平面A1BD.1．平行关系的转化方向如图所示：2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．学生用书第116页答题模板8——如何作答平行关系证明题【典例】(12分)(2012·山东卷，文)如图1，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.图1图2[规范解答] (1)如图2，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.图3(2)法一如图3，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC.(7分) 又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.图4法二如图4，延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因此∠AFB＝30°，所以AB＝12AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.(11分)又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.[反思感悟] 立体几何解答题解题过程要表达准确、格式要符合要求，每步推理要有理有据，不可跨度太大，以免漏掉得分点．本题易忽视DM⊄平面EBC，造成步骤不完整而失分．答题模板证明线面平行问题的答题模板(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；第二步：证明线线平行；第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行；第四步：反思回顾．检查关键点及答题规范．证明线面平行问题的答题模板(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；第三步：证明所作平面与所证平面平行；第四步：转化为线面平行；第五步：反思回顾．检查答题规范．【自主体验】(2013·福建卷改编)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，AB ＝6，DC ＝3，若M 为P A 的中点，求证：DM ∥平面PBC .证明 法一 取PB 中点N ，连接MN ，CN .在△P AB 中，∵M 是P A 的中点，∴MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝3，又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN 綉CD ，∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM ∥CN .又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ，∴DM ∥平面PBC .法二 取AB 的中点E ，连接ME ，DE .在梯形ABCD 中，BE ∥CD ，且BE ＝CD ，∴四边形BCDE 为平行四边形，∴DE ∥BC ，又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴DE ∥平面PBC .又在△P AB 中，ME ∥PB ，ME ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，∴ME ∥平面PBC ，又DE ∩ME ＝E ，∴平面DME ∥平面PBC .又DM ⊂平面DME ，∴DM ∥平面PBC .对应学生用书P313基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知直线a，b，c及平面α，β，下列条件中，能使a∥b成立的是()．A．a∥α，b⊂αB．a∥α，b∥αC．a∥c，b∥c D．a∥α，α∩β＝b解析由平行公理知C正确，A中a与b可能异面．B中a，b可能相交或异面，D中a，b可能异面．答案 C2．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()．A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交解析∵AB∥CD，AB⊂α，CD⊄α⇒CD∥α，∴CD和平面α内的直线没有公共点．答案 B3．(2014·陕西五校一模)已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是()．A．存在一条直线b，a∥b且b⊂αB．存在一条直线b，a⊥b且b⊥αC．存在一个平面β，a⊂β且α∥βD．存在一个平面β，a∥β且α∥β解析在A，B，D中，均有可能a⊂α，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故C正确．答案 C4．(2014·汕头质检)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()．A．若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线B．若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线C．已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥βD．若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行解析A中，m，n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行β，也可以在β内；D中，m，n也可能异面．答案 B5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()．A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形解析如图，由题意知EF∥BD，且EF＝15BD.HG∥BD，且HG＝12BD.∴EF∥HG，且EF≠HG.∴四边形EFGH是梯形．又EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行．故选B. 答案 B二、填空题6．(2014·南京一模)下列四个命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．其中所有真命题的序号是________．解析根据空间点、线、面间的位置关系，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故①正确；过平面外一点有无数条直线与该平面平行，故②不正确；根据平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行，故③正确；根据两个平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内，故④正确．从而正确的命题有①③④.答案①③④7．(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为______．解析如图．连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案平行8．(2014·金丽衢十二校联考)设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案①或③三、解答题9．(2014·青岛一模)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A，N，D三点的平面交PC于M.(1)求证：PD∥平面ANC；(2)求证：M是PC中点．证明(1)连接BD，AC，设BD∩AC＝O，连接NO，∵ABCD是平行四边形，∴O是BD中点，在△PBD中，又N是PB中点，∴PD∥NO，又NO⊂平面ANC，PD⊄平面ANC，∴PD∥平面ANC.(2)∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，又∵BC⊄平面ADMN，AD⊂平面ADMN，∴BC∥平面ADMN，因平面PBC∩平面ADMN＝MN，∴BC∥MN，又N是PB中点，∴M是PC中点．10.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.证明(1)∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2，∴BG綉A1E，∴A1G綉BE.又同理，C1F綉B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形，∴FG綉C1B1綉D1A1，∴四边形A1GFD1是平行四边形．∴A1G綉D1F，∴D1F綉EB，故E、B、F、D1四点共面．(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝3 2.又B1G＝1，∴B1GB1H＝23.又FCBC＝23，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，∴△B1HG∽△CBF，∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.又由(1)知A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·蚌埠模拟)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()．A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α，又l1与l2相交，故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意．答案 B2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()．A．①③B．②③C．①④D．②④解析对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP，图形②，③都不可以，故选C.答案 C二、填空题3．(2014·陕西师大附中模拟)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.解析 如图，连接FH ，HN ，FN ，由题意知HN ∥面B 1BDD 1，FH ∥面B 1BDD 1.且HN ∩FH ＝H ，∴面NHF ∥面B 1BDD 1.∴当M 在线段HF 上运动时，有MN ∥面B 1BDD 1.答案 M ∈线段HF三、解答题4．(2014·长沙模拟)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M ，N 分别是AF ，BC 的中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ；(2)求多面体A －CDEF 的体积．解 由三视图可知：AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∠CBF ＝π2.(1)证明：取BF 的中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别为AF ，BC的中点可得，NG ∥CF ，MG ∥EF ，且NG ∩MG ＝G ，CF ∩EF ＝F ，∴平面MNG∥平面CDEF，又MN⊂平面MNG，∴MN∥平面CDEF.(2)取DE的中点H.∵AD＝AE，∴AH⊥DE，在直三棱柱ADE－BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF＝DE.∴AH⊥平面CDEF.∴多面体A－CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH＝ 2.S矩形CDEF＝DE·EF＝42，∴棱锥A－CDEF的体积为V＝13·S矩形CDEF·AH＝13×42×2＝83.学生用书第117页。

第4讲直线、平面平行的判定及性质基础知识整合1．直线与平面平行(1)判定定理(2)性质定理2．平面与平面平行(1)判定定理(2)性质定理1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.3．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.1．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线() A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，一定在平面α内D．有无数条，不一定在平面α内答案 B解析过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，因为点P在平面α内，所以这条直线也应该在平面α内．2．(2019·吉林普通中学模拟)已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由α∥β，m⊂α，可得m∥β；反过来，由m∥β，m⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件．3．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8,12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为()A．10 B．20C．8 D．4答案 B解析设截面四边形为EFGH，F，G，H分别是BC，CD，DA的中点，∴EF ＝GH＝4，FG＝HE＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.4．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出下列五个结论：①PD∥平面AMC；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，OM∥PD，则PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA，平面PBC相交．5．(2019·南通模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，P A⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面P AD的位置关系为________．答案 平行解析 取PD 的中点F ，连接EF ，AF ，在△PCD 中，EF 綊12CD .又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ，∴EF 綊AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB ∥AF .又∵EB ⊄平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，∴BE ∥平面P AD .6．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.答案223a解析 如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD .∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC . 又∵AP ＝a3， ∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23. ∴PQ ＝23AC ＝23×2a ＝223a .核心考向突破考向一 有关平行关系的判断例1 (1)(2019·湖南联考)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n答案 D解析A中，两直线可能平行、相交或异面；B中，两平面可能平行或相交；C中，两平面可能平行或相交；D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选D.(2)(2019·四川成都模拟)已知直线a，b和平面α，下列说法中正确的是()A．若a∥α，b⊂α，则a∥bB．若a⊥α，b⊂α，则a⊥bC．若a，b与α所成的角相等，则a∥bD．若a∥α，b∥α，则a∥b答案 B解析对于A，若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面，故A错误；对于B，利用线面垂直的性质，可知若a⊥α，b⊂α，则a⊥b，故B正确；对于C，若a，b 与α所成的角相等，则a与b相交、平行或异面，故C错误；对于D，由a∥α，b ∥α，得a，b之间的位置关系可以是相交、平行或异面，故D错误．触类旁通解决有关线面平行、面面平行的基本问题的注意点(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中，条件“线在面外”易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．即时训练 1.(2019·潍坊模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是() A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2答案 D解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.故选D.2．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 答案 B解析 由题可知，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错误；若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊥α或n 与α相交，故D 错误．考向二 直线与平面平行的判定与性质角度1 用线线平行证明线面平行例2 (1)在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN ∥平面OCD .证明 证法一：取OB 的中点E ，连接ME ，NE ，如图1，则ME ∥AB ，又AB ∥CD ，所以ME ∥CD ，又NE ∥OC ，且ME ∩NE ＝E ，OC ∩CD ＝C ，所以平面MNE ∥平面OCD ，所以MN ∥平面OCD .证法二：取OD 的中点F ，连接MF ，CF ，如图2，则MF 綊12AD ，又底面ABCD 是平行四边形，则NC 綊12AD ，所以MF 綊NC ，所以四边形MNCF 是平行四边形，所以MN ∥FC ，又MN ⊄平面OCD ，FC ⊂平面OCD ，根据直线与平面平行的判定定理可知，直线MN ∥平面OCD .(2)(2019·山东模拟)如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.证明证法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD.又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.角度2用线面平行证明线线平行例3如图，在多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∠BAD＝60°，AB＝2，DE＝EF＝1.(1)求证：BC ∥EF ；(2)求三棱锥B －DEF 的体积．解 (1)证明：∵AD ∥BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ，∴BC ∥平面ADEF . 又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF ∩平面ADEF ＝EF ，∴BC ∥EF .(2)过点B 作BH ⊥AD 于点H .∵DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥BH .∵AD ⊂平面ADEF ，DE ⊂平面ADEF ，AD ∩DE ＝D ，∴BH ⊥平面ADEF .∴BH 是三棱锥B －DEF 的高．在Rt △ABH 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，故BH ＝ 3.∵DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AD .由(1)知BC ∥EF ，且AD ∥BC ，∴AD ∥EF ，∴DE ⊥EF .∴三棱锥B －DEF 的体积V ＝13×S △DEF ×BH ＝13×12×1×1×3＝36.触类旁通判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β).(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．即时训练3．(2019·长春一调)如图所示，E是以AB为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面．(1)求证：EA⊥EC；(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.求证：EF∥AB.证明(1)∵E是半圆上异于A，B的点，∴AE⊥EB.又∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE.又∵AE⊂平面ABE，∴CB⊥AE.∵BC∩BE＝B，∴AE⊥平面CBE.又∵EC⊂平面CBE.∴AE⊥EC.(2)∵CD∥AB，AB⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，∴CD∥平面ABE.又∵平面CDE∩平面ABE＝EF.∴CD∥EF.又∵CD∥AB.∴EF∥AB.考向三面面平行的判定与性质例4(2018·云南模拟)如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.(1)求几何体ABCDFE的体积；(2)证明：平面ADE∥平面BCF.解(1)取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG.∵AO⊥BC，AO⊂平面ABC，平面BCED⊥平面ABC，∴AO⊥平面BCED.同理FG⊥平面BCED.∵AO ＝FG ＝3，∴V ABCDFE ＝13×4×3×2＝833.(2)证明：由(1)知AO ∥FG ，AO ＝FG ，∴四边形AOFG 为平行四边形，∴AG ∥OF ，又∵DE ∥BC ，DE ∩AG ＝G ，DE ⊂平面ADE ，AG ⊂平面ADE ，FO ∩BC ＝O ，FO ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴平面ADE ∥平面BCF .触类旁通判定面面平行的方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用).(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用).即时训练 4.如图，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ；(2)求三棱锥P －ABM 的体积．解 (1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点，∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ，∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ，∴∠ACN ＝60°. 又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB .∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，∴CN ∥平面P AB .又CN ∩MN ＝N ，∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离． ∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P －ABM 的体积V ＝V M －P AB ＝V C －P AB ＝V P －ABC ＝13×12×1×3×2＝33.。

线面平行的判定及其性质1.直线和平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.注:直线与平面相交和直线与平面平行统称为直线在平面外．(1)直线在平面内——有无数个公共点; (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点;(3) 直线与平面平行——没有公共点．①直线和平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 即,////a baa bααα⊄⊂⎫⇒⎬⎭②直线和平面平行的性质定理:如果一条直线与平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行. 即////ll l mmβααβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭2.两个平面的位置关系：平行、相交（垂直是相交的一种特殊情况）(1)两个平面相交———有一条公共直线．(2)两平面平行———没有公共点(Ⅰ)两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.即////a b a b Pa bαββααα⊂,⊂,=⎫⇒//⎬,⎭推论：①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. 即,,,,//,//a b a b A m n m n Ba mb nααββαβ⊂,⊂=⊂⊂=⎫⇒//⎬⎭②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.即,l lαβαβ⊥⊥⇒//; //αγβγαβ//,⇒//(Ⅱ)两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行. 即//,a ba bαβαγβγ//⎫⇒⎬==⎭注:平行问题常用平行转化的思想:B CDA 1B 1C 1D 1图２AFE G【例题精讲一】题型一 利用平行四边形证明线面平行例 正方体1AC 中，Ｅ、G 分别为BC 、11C D 的中点，求证：EG ∥平面11BDD B变式训练1、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB ，=3,=1EB EF ，=13BC ，且M 是BD 的中点.求证：EM//平面ADF ；CA FEBMD2.如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，//EF AB ，EF EA ⊥，2AB EF =，090AED ∠=，AE ED =，H 为AD 的中点．求证：//EH 平面FAC ；3.如图，PA⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点， 求证：AF⊥平面PCE.EDABCFH题型二 利用中位线证明线面平行1 如图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心.求证：PQ ∥平面BCC 1B 1.变式训练如图，在正方体1111ABCD A BC D 中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//AC 平面BDE 。

第4讲直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1.(2021·保定模拟)有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确.答案 A2.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也没必要要条件解析若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分没必要要条件. 答案 A3.(2021·长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.答案 B4.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P别离为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A.①③B.①④C.②③D.②④解析①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图).④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.答案 B5.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错.答案 B二、填空题6.在四面体A－BCD中，M，N别离是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.解析如图，取CD的中点E.连接AE，BE，由于M，N别离是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE别离过M，N，则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.因为AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.答案平面ABD与平面ABC7.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.解析在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2 2.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝12AC＝ 2.答案 28.(2021·承德模拟)如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H别离是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需知足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你以为正确的一个条件即可，没必要考虑全数可能情况)解析连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.答案点M在线段FH上(或点M与点H重合)三、解答题9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示用意如图所示.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的极点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.解(1)点F，G，H的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.10.(2021·全国Ⅱ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P－ABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距离.(1)证明设BD与AC的交点为O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点.又E为PD的中点，所以EO∥PB.又因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)解V＝16P A·AB·AD＝36AB.由V＝34，可得AB＝32.作AH⊥PB交PB于H.由题设知AB⊥BC，P A⊥BC，且P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB.又AH⊂平面P AB，所以BC⊥AH，又PB∩BC＝B，故AH⊥平面PBC.∵PB⊂平面PBC，∴AH⊥PB，在Rt△P AB中，由勾股定理可得PB＝13 2，所以AH ＝P A ·AB PB ＝31313.所以A 到平面PBC 的距离为31313.11.给出下列关于互不相同的直线l ，m ，n 和平面α，β，γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题的个数为( )A.3B.2C.1D.0解析 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l ，m ；②中l 与m 也可能异面；③中 ⎭⎪⎬⎪⎫ l ∥γ l ⊂αα∩γ＝n ⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确.答案 C12.在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的是( )A.AC ⊥BDB.AC ∥截面PQMNC.AC ＝BDD.异面直线PM 与BD 所成的角为45°解析 因为截面PQMN 是正方形，所以MN ∥QP ，又PQ ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，则MN ∥平面ABC ，由线面平行的性质知MN ∥AC ，又MN ⊂平面PQMN ，AC ⊄平面PQMN ，则AC ∥截面PQMN ，同理可得MQ ∥BD ，又MN ⊥QM ，则AC ⊥BD ，故A ，B 正确.又因为BD ∥MQ ，所以异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，即为45°，故D 正确.答案 C13.如图所示，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________.解析设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.答案 114.(2021·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC. 又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.。

第4讲 直线、平面平行的判定与性质, [学生用书P131])1．直线与平面平行的判定定理和性质定理1．辨明两个易误点(1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件． (2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件． 2．线面、面面平行的判定中所遵循的原则 一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，不可过于“模式化”．1．(2017·大连模拟)对于直线m ，n 和平面α，若n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] D2.教材习题改编 下列命题为真的是( ) A ．若直线l 与平面α有两个公共点，则l ⊄αB ．若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线C ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥βD ．若α∩β＝b ，a ⊂α，则a 与β一定相交C [解析] A 错误．直线l 和平面有两个公共点，则l ⊂α.B 错误．若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 异面或平行．C 正确．因为a 与β无公共点，则a ∥β.D 错误．a 与β有可能平行．故选C.3.教材习题改编 如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的( ) A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交 C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线都不相交D [解析] 因为a ∥平面α，直线a 与平面α无公共点，因此a 和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.4.教材习题改编 设m ，n 表示直线，α、β表示平面，则下列命题为真的是( )A ．⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αn ∥α⇒m ∥n B ．⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αα∥β⇒m ∥β C ．⎭⎪⎬⎪⎫α∩β＝m n ∥α n ∥β⇒m ∥n D ．⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ∥αn ∥β⇒m ∥n C [解析] A 错误，因为m 可能与n 相交或异面．B 错误，因为m 可能在β内．D 错误，m 、n 可能异面相交，故选C.线面平行的判定与性质(高频考点)[学生用书P131]平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题中．高考对线面平行的判定及性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)判断线面的位置关系； (2)线面平行的证明； (3)线面平行性质的应用．[典例引领](2016·高考全国卷丙)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N -BCM 的体积．【解】(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN ═ ∥AM ，四边形AMNT 为平行四边形， 于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE ， 由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC ，得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．[题点通关]角度一 判断线面的位置关系 1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．[解析] 如图，连接AC ，BD 交于O 点，连接OE ，因为OE ∥BD 1， 而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ， 所以BD 1∥平面ACE . [答案] 平行角度二 线面平行的证明2．如图，四棱锥P -ABCD 中AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面P AD .[证明] (1)连接EC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ═ ∥AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以O 为AC 的中点．又因为F 是PC 的中点， 所以FO ∥AP ，FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， 所以AP ∥平面BEF . (2)连接FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点， 所以FH ∥PD ，所以FH ∥平面P AD .又因为O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， 所以OH ∥AD ，所以OH ∥平面P AD . 又FH ∩OH ＝H ，所以平面OHF ∥平面P AD . 又因为GH ⊂平面OHF ， 所以GH ∥平面P AD .角度三 线面平行性质的应用3. 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH .[证明] 如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ， 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，所以P A ∥MO .又MO ⊂平面MBD ， 所以P A ∥平面MBD .因为平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， 且P A ⊂平面P AHG ， 所以AP ∥GH .面面平行的判定与性质[学生用书P132][典例引领]如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.【证明】(1)因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G═∥EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG.在本例条件下，线段BC1上是否存在一点M使得EM∥平面A1ACC1?[解] 存在．当M为BC1的中点时成立．证明如下：连接EM，AC1(图略)，在△ABC1中，E，M分别为AB，BC1的中点，所以EM═∥12AC1，又EM⊄平面A1ACC1，AC1⊂平面A1ACC1，所以EM∥平面A1ACC1.判定面面平行的方法(1)利用定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．[解] (1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.平行关系的综合应用[学生用书P133][典例引领](2017·洛阳月考)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.【证明】(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE 的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.空间平行关系的转化平行关系之间的转化如图所示：在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.[证明] (1)如图，连接SB，因为E、G分别是BC、SC的中点，所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，所以直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，因为F、G分别是DC、SC的中点，所以FG∥SD.又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1，又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.,[学生用书P134])——立体几何中的探索性问题的求解方法如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．【解】 点E 为AB 的中点时DE ∥平面AB 1C 1，证明如下：法一：取AB 1的中点F ，连接DE 、EF 、FC 1， 因为E 、F 分别为AB 、AB 1的中点，所以EF ∥BB 1且EF ＝12BB 1.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，DC 1∥BB 1且DC 1＝12BB 1，所以EF ═ ∥DC 1，四边形EFC 1D 为平行四边形，所以ED ∥FC 1.又ED ⊄平面AB 1C 1，FC 1⊂平面AB 1C 1，所以ED ∥平面AB 1C 1.法二：取BB 1的中点H ，连接EH ，DH ，DE ，因为E ，H 分别是AB ，BB 1的中点，则EH ∥AB 1.又EH ⊄平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1， 所以EH ∥平面AB 1C 1，又HD ∥B 1C 1，同理可得HD ∥平面AB 1C 1，又EH ∩HD ＝H ， 所以平面EHD ∥平面AB 1C 1，因为ED ⊂平面EHD ，所以ED ∥平面AB 1C 1.(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设．(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”．如图，在四棱锥S -ABCD 中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，tan ∠SDA ＝23.(1)求四棱锥S -ABCD 的体积；(2)在棱SD 上找一点E ，使CE ∥平面SAB ，并证明．[解] (1)因为SA ⊥底面ABCD ，tan ∠SDA ＝23，SA ＝2，所以AD ＝3.由题意知四棱锥S -ABCD 的底面为直角梯形，且SA ＝AB ＝BC ＝2，V S -ABCD ＝13×SA ×12×(BC ＋AD )×AB ＝13×2×12×(2＋3)×2＝103. (2)当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时，可使CE ∥平面SAB . 证明如下：取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近A 的三等分点为F ，连接CE ，EF ，BF ，则EF ═ ∥23AD ，BC ═ ∥23AD ， 所以BC ═ ∥EF ，所以CE ∥BF .又因为BF ⊂平面SAB ，CE ⊄平面SAB ， 所以CE ∥平面SAB ., [学生用书P273(独立成册)])1．设α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是( )A ．m ∥l 1且n ∥l 2B ．m ∥β且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且l 1∥αA [解析] 由m ∥l 1，m ⊂α，得l 1∥α，同理l 2∥α，又l 1，l 2相交，l 1，l 2⊂β，所以α∥β，反之不成立，所以m ∥l 1且n ∥l 2是α∥β的一个充分不必要条件．2．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④C [解析] 对于图形①，平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④，AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．3．已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b . 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3A [解析] 对于①，若a ∥b ，b ⊂α，则应有a ∥α或a ⊂α，所以①是假命题；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或b ⊂α，因此②是假命题；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．4. 如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形B [解析] 由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF ═ ∥15BD ，所以EF ∥平面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG ═ ∥12BD ，所以EF ∥HG 且EF ≠HG .所以四边形EFGH 是梯形．5．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m . 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B [解析] 由题易知①正确；②错误，l 也可以在α内；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例说明，故选B.6．已知直线a ，b 异面，给出以下命题： ①一定存在平行于a 的平面α使b ⊥α；②一定存在平行于a 的平面α使b ∥α； ③一定存在平行于a 的平面α使b ⊂α；④一定存在无数个平行于a 的平面α与b 交于一定点．则其中论断正确的是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．②③④D [解析] 对于①，若存在平面α使得b ⊥α，则有b ⊥a ，而直线a ，b 未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a ，b 外一点M 分别引直线a ，b 的平行线a 1，b 1，显然由直线a 1，b 1可确定平面α，此时平面α与直线a ，b 均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b 上的一点B 作直线a 2与直线a 平行，显然由直线b 与a 2可确定平面α，此时平面α与直线a 平行，且b ⊂α，因此③正确；对于④，在直线b 上取一定点N ，过点N 作直线c 与直线a 平行，经过直线c 的平面(除由直线a 与c 所确定的平面及直线c 与b 所确定的平面之外)均与直线a 平行，且与直线b 相交于一定点N ，因此④正确．综上所述，②③④正确．7．棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．[解析] 由面面平行的性质知截面与平面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为92.[答案] 928．设α，β，γ是三个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确条件的序都填上)．[解析] 由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故填入的条件为①或③.[答案] ①或③9．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉ β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．[解析] 如图1，因为AC ∩BD ＝P ，图1所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD . 因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ， β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD .所以P A AC ＝PBBD，即69＝8－BD BD ，所以BD ＝245. 如图2，同理可证AB ∥CD .图2所以P A PC ＝PB PD ，即63＝BD －88，所以BD ＝24.综上所述，BD ＝245或24.[答案] 245或2410. (2017·湖南省长沙一中高考模拟)如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a3，过B 1、D 1、P 的平面交底面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________．[解析] 因为平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥PQ .又因为B 1D 1∥BD ，所以BD ∥PQ ， 设PQ ∩AB ＝M ，因为AB ∥CD ， 所以△APM ∽△DPQ .所以PQ PM ＝PDAP＝2，即PQ ＝2PM .又知△APM ∽△ADB ，所以PM BD ＝AP AD ＝13，所以PM ＝13BD ，又BD ＝2a ，所以PQ ＝223a .[答案] 223a11．如图，在三棱台DEF -ABC 中，AB ＝2DE ，点G ，H 分别为AC ，BC 的中点．求证：BD ∥平面FGH .[证明] 如图，连接DG ，CD ，设CD ∩FG ＝O ，连接OH . 在三棱台DEF -ABC 中，AB ＝2DE ，点G 为AC 的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，所以点O为CD的中点．又因为点H为BC的中点，所以OH∥BD.又因为OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.12．如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是________．①|BM|是定值；②点M在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.[解析] 取DC中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，所以平面MNB∥平面A1DE，因为MB⊂平面MNB，所以MB∥平面A1DE，④正确；∠A1DE＝∠MNB，MN＝12A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以MB是定值．①正确；B是定点，所以M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，②正确；当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在，其他情况不存在，③不正确．所以①②④正确．[答案] ①②④13. 如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.(1)求几何体ABCDFE的体积；(2)证明：平面ADE∥平面BCF.[解] (1)取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG.因为AO ⊥BC ，AO ⊂平面ABC ，平面BCED ⊥平面ABC ， 所以AO ⊥平面BCED .同理FG ⊥平面BCED . 因为AO ＝FG ＝3，所以V ABCDFE ＝13×4×3×2＝833.(2)证明：由(1)知AO ∥FG ，AO ＝FG ，所以四边形AOFG 为平行四边形，所以AG ∥OF .又因为DE ∥BC ，DE ∩AG ＝G ，DE ⊂平面ADE ，AG ⊂平面ADE ，FO ∩BC ＝O ，FO ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，所以平面ADE ∥平面BCF .14. (2017·阜阳月考)如图，在三棱锥A -BOC 中，AO ⊥平面COB ，∠OAB ＝∠OAC ＝π6，AB ＝AC ＝2，BC ＝2，D ，E 分别为AB ，OB 的中点．(1)求证：CO ⊥平面AOB ；(2)在线段CB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ，若存在，试确定F 的位置，并证明此点满足要求；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：因为AO ⊥平面COB ， 所以AO ⊥CO ，AO ⊥BO ，即△AOC 与△AOB 为直角三角形．又因为∠OAB ＝∠OAC ＝π6，AB ＝AC ＝2，所以OB ＝OC ＝1.由OB 2＋OC 2＝1＋1＝2＝BC 2， 可知△BOC 为直角三角形． 所以CO ⊥ BO ，又因为AO ∩BO ＝O ，所以CO ⊥平面AOB .(2)在线段CB 上存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ，此时F 为线段CB 的中点． 证明如下，如图，连接DF ，EF ，因为D ，E 分别为AB ，OB 的中点，所以DE ∥OA . 又DE ⊄平面AOC ，所以DE ∥平面AOC .因为E ，F 分别为OB ，BC 的中点，所以EF ∥OC . 又EF ⊄平面AOC ，所以EF∥平面AOC，又EF∩DE＝E，EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面AOC.。

直线、平面平行的判定与性质知识点及题型归纳知识点精讲一、直线和平面平行1．定义直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面α平行，记作l∥α2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-9）表8-9文字语言图形语言符号语言线∥线⇒线∥面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行⇒线面平行11l ll llααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭∥∥面∥面⇒线∥面如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面aaαββα⎫⇒⎬⊂⎭∥∥3.性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-10）表8-10文字语言图形语言符号语言线∥面⇒线∥线如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行ll l llαβαβ⎫⎪'⊂⇒⎬⎪'=⎭∥∥二、两个平面平行1．定义没有公共点的两个平面叫作平行平面,用符号表示为:对于平面α和β,若αβφ=,则α∥β2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-11）表8-11文字语言图形语言符号语言判定定理线∥面⇒面∥面如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行,,a b a b Pαα⊂⊂=a bββαβ⇒∥，∥∥线⊥面⇒面∥面如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行llααβ⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥β3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-12）表8-12文字语言 图形语言符号语言面//面⇒ 线//面如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行⇒线面平行”）////.a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭面//面⇒线⊥面如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线//l l αββα⎫⇒⊥⎬⊥⎭题型归纳及思路提示题型1 证明空间中直线、平面的平行关系思路提示：线线平行、线面平行、面面平行的转换如图8-90所示.（1） 证明直线与平面平行的常用方法：○1利用定义，证明直线a 与平面α没有公共点，一般结合反证法证明； ○2利用线面平行的判定定理，即线线平行⇒线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ○3利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2） 证明面面平行的常用方法：○1利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ○2利用面面平行的判定定理； ○3利用两个平面垂直于同一条直线； ○4证明两个平面同时平行于第三个平面. （3） 证明线线平行的常用方法：○1利用直线和平面平行的判定定理；○2利用平行公理； 一、 线面平行的判定定理与线面平行的性质定理的应用 例8.24已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）性质 性质性质 判定判定 判定 线∥面 线∥线面∥面图 8-90A .若//,//,//m n m n αα则B . ,,//.αγβγαβ⊥⊥若则C .//,//,//m m αβαβ若则D .,,//m n m n αα⊥⊥若则解析:举反例排除,如图8-91正方体模型所示, AB //底面A 1C 1，AD //底面A 1C 1,但AB 和AD 不平行，A 选项错误，同理，1C BC A ⊥平面平面，11BC AB ⊥平面平面.故B 选项错误，AB //底面A 1C 1, AB //底面A 1C ,而两个平面为相交关系，故C 错，选D .评注：此类问题可以特殊化为一个长方体的；棱，面等，进而进行转化.变式1已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是二个不同的平面，给出下列四个命题：○1,//,.m m n n αα⊥⊥则 ○2//,,//.m n m n αβαβ⊂⊂则 ○3//,//,//.m m n n αα则 ○4//,//,,.m n m n αβαβ⊥⊥则 其中正确的序号是（ ） A .○1○3 B .○2○4 C .○1○4 D .○2○3 变式2给出以下四个命题：○1如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； ○2如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直； ○3如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线平行； ○4如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直. 变式3若平面//αβ，直线//a α，点B β∈，则在平面β内过点B 的直线中（ ） A .不一定存在与a 平行的直线. B .只有两条与a 平行的直线. C .存在无数条与a 平行的直线. D .只有一条与a 平行的直线.例8.25如图8-92所示，已知,,,E F G H 分别为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，若//EH FG ,求证：//EH BD .解析 因为//EH FG ,EH BCD ⊄平面, FG BCD ⊂平面,所以EH //平面BCD .又EH ABD,ABD BCD=BD ⊂平面平面平面,所以EH //BD .评注线面平行的性质定理是证明线线平行的首选方法，也是高考中使用的最多的证明方法.有时结合平行传递性来证明.变式1 如图8-93所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD//BC,E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点，证明：EF//A1D1.变式2 （2012北京海淀区一模理16（1））如图8-94所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,设平面P AB平面PCD=m,求证：CD//m.二、线面平行的证明方法：线面平行的证明方法主要有两种：（1）由线线平行⇒线面平行，其证明途径通过平面外的直线与平面内的直线平行，推得直线与平面平行，也可以作辅助线，构造相似三角形或平行四边形，得到线线平行，从而推出线面平行；（2）由面面平行⇒线面平行，由已知或构造直线所在的平面与已知平面平行，证明直线与平面平行.方法1：由线线平行和线面平行的相互转化，求证线面平行.例8-26如图8-95所示，圆锥顶点为P，底面圆心为O，AB和CD是底面圆O上的两条平行弦，证明：平面P AB与平面PCD的交线平行于底面.分析：本题是线面平行性质判定定理及性质定理的综合， 即线线平行⇒线面平行⇒线线平行.解析：设平面P AB 和平面PCD 的交线为l .因为AB //CD ,AB CD ⊄平面P ,CD CD ⊂平面P ,所以AB //平面PCD .又因为AB ⊂平面PAB ，ABCD=.l 平面P 平面P所以AB //l ,由直线AB 在底面上，l 在底面外，所以有 l 与底面平行.变式1 如图8-96所示，在三棱锥P -ABC 中，E ,F ,分别是P A ,PC 的中点，记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面P AC 的位置关系，并加以证明.方案二：平行进面法（同向进面法）思路提示：如图8-97所示，证明AB //α.分析过程：////AB AB CD α⇐⇐四边形ABCD 为平行四边形AC//BD ⇐.例8．27如图8-98所示，四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，E ,F 分别是AB 和PD 的中点，求证AF //平面PCE .解析：如图8-99所示，取PC 中点为G ，连接EG ,FG ,由F 为PD 的中点，则1FG//CD 2.由已知有1AE//CD AE//FG 2∴，，故四边形AEGF 为平行四边形，因此AF //EG , 又EG PCE ⊂平面，AF PCE ⊄平面，所以AF //平面PCE .评注：通过同向进面法能有效的在平面PCE 中找到与AF 平行的直线，点A 沿AE 方向进平面于点E ,点F 同向沿AE 进平面于点G ,连接EG ,构造平行四边形AEGF ，只要证明EG //AF 即可.变式1 如图8-100所示，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，求证:直线MN //平面OCD .变式2如图8-101所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF //AB ,AB =2EF ,H 为BC 的中点，求证：FH //平面EDB .例8.28如图8-102所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为CD 的中点，在棱AA 1上是否存在点P ,使得DP //平面B 1AE ,若存在，求1APAA 的值；若不存在，说明理由. 分析:先假设存在，推理出点P 的位置，再证明，根据平行进面法，点D 沿着DC 方向到达点E ,且DE =1DC 2,若存在,则点P 也可沿同样方向运动且等距离进入平面B 1AE ,从而易猜出P 为AA 1中点. 解析：在棱AA 1上存在点P 使得DP //平面B 1AE ,且1AP 1=.AA 2证明如下： 如图8-103所示，取AA 1中点P ，AB 1中点Q ,连接PQ ,PD ,QE ,则在11AA B 中，PQ 为中位线，即111//.2PQ A B 又长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为CD 中点，故11111DE//AB //A B 22. 故PQ//DE ，所以四边形PQED 为平行四边形，所以DP //EQ ,又1DP B AE ⊄平面，1EQ B AE ⊂平面，所以DP //平面B 1AE .变式1如图8-104所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AB //CD ,AB =2CD .在棱PB 上是否存在点M 使得CM //平面P AD ?若存在，求PMPB的值，若不存在，请说明理由.变式2如图8-105所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1中点，在棱C1D1上是否存在一点F,使得B1F//平面A1BE?证明你的结论.方法三：相交进面法（不同向进面法）思路提示：如图8-106（a）（b）所示，证明AB∥α。