1.1.1 基本概念[共2页]

(4）任意一个正整数，能否被5整除是确定的，所以能被5整除的正整数能组成集合.
解(1）能；(2）不能；(3）能；(4）能．
合作交流
同桌两人，其中一人举出一个集合的例子，另一人
说出这个集合中的两个元素，再交换练习，看谁的正确率高.
完成“合作交流”中问题
活动四：
课堂小结
作业布置
（一）课堂小结
（二）作业布置
完成课本中P4 ——练习1./2./3./4.
活动五：板书设计
1.1.1 集合与元素
一、集合与元素概念及其表示方法练习小结
二、集合与元素关系练习作业
三、集合中元素的特征
活动六：教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。

所谓教学反思，是指。

常微分方程第二版答案第一章【篇一：常微分方程第一章】程1.1学习目标：1. 理解微分方程有关的基本概念, 如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分方程的三种主要方法: 解析方法, 定性方法和数值方法.2. 掌握变量分离法，用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程的猜测检验法, 常数变易法和积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解和掌握一阶线性方程的通解结构和性质.3. 能够大致描述给定一阶微分方程的斜率场, 通过给定的斜率场描述方程解的定性性质; 理解和掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单的近似计算.4. 理解和掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解的存在性与唯一性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念.5. 理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定自治方程的相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解的渐近行为.6. 理解和掌握一阶单参数微分方程族的分歧概念, 掌握发生分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族的分歧图解, 利用分歧图解分析解的渐近行为随参数变化的状况.7. 掌握在给定的假设条件下, 建立与实际问题相应的常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型的各种分析.1.2基本知识： (一) 基本概念1. 什么是微分方程:联系着自变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（一般是指等式），称之为微分方程. 2. 常微分方程和偏微分方程:(1) 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程,dy2dyd2ydy()?t?y?0. ?b?cy?f(t)例如 , dtdtdtdt2(2) 如果在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分方程为偏?2t?t?2t?2t?2t?4微分方程. 例如 , . ???02222?t?x?x?y?z本书在不特别指明的情况下, 所说的方程或微分方程均指常微分方程.3. 微分方程的阶数: 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数.例如，d2ydy?b?cy?f(t) 是二阶常微分方程； 2dtdt?2t?t?2t?2t?2t?4与是二阶偏微分方程. ???02222?t?x?x?y?z4. n阶常微分方程的一般形式：dydnyf(t,y,,...,n)?0,dtdtdydnydydnydnyn)是t,y,,...,n的已知函数，而且一定含有n的这里f(t,y,dtdtdtdtdt 项；y是未知函数，t是自变量. 5. 线性与非线性：dydnydydny,...,n)?0的左端是y及,...,n的一次有理式，（1）如果方程f(t,y,dtdtdtdtdydny,...,n)?0为n阶线性微分方程. 则称f(t,y,dtdt（2）一般n阶线性微分方程具有形式：dnydn?1ydy?a(t)?...?a(t)?an(t)y?f(t)1n?1nn?1dtdtdt这里a1(t),…, an(t),f(t)是t的已知函数.（3）不是线性方程的方程称为非线性方程. （4）举例：d2ydy?cy?f(t)是二阶线性微分方程；方程2?bdtdtd2?g方程2?sin??0是二阶非线性微分方程；ldt方程(dy2dy)?t?y?0是一阶非线性微分方程. dtdt6. 解和隐式解：dydny,...,n)?0后，能使它变为恒等式，则如果将函数y??(t)代入方程f(t,y,dtdt）?0决定的隐函数y??(t)是称函数y??(t)为方程的解. 如果关系式?（t,y方程的解，则称?（t,y）?0为方程的隐式解. 7. 通解与特解：把含有n个独立的任意常数c1,c2,...,cn的解 y??(t,c1,c2,...,cn)称为n阶方程dydnyf(t,y,,...,n)?0的通解. 其中解对常数的独立性是指，对?及其 n?1阶导数dtdtd?dn?1?,...,n?1关于n个常数 c1,c2,...,cn的雅可比行列式不为0, 即 dtdt ???c1????c1???(n?1)?c1???c2????c2???(n?1)?c2??????cn????cn??0.??(n?1)??cn为了确定微分方程一个特定的解，通常给出这个解所必须满足的条件，称为定解条件.dydny,...,n)?0的初始条件是常见的定解条件是初始条件, n阶微分方程f(t,y,dtdtdydn?1y(1)(n?1)?y0,...,n?1?y0指如下的n个条件：t?t0，y?y0,，这里dtdt(1)(n?1)是给定的n+1个常数. 求微分方程满足定解条件的解，就是所谓t0,y0,y0,...,y0定解问题. 当定解条件为初始条件时，相应的定解问题称为初值问题. 把满足初始条件的解称为微分方程的特解. 初始条件不同，对应的特解也不同.(二) 解析方法1．变量分离方程形如dy?f(t)?(y)的方程为变量分离方程，其中f(t),?(y)分别为t,y的连续函数.dt方程解法如下：若?(y)?0，则dy?f(t)dt?(y)dy??(y)??f(t)dt?c上式确定方程的隐式通解. 如果存在y0，使得??y0??0，则y?y0也是方程的解. 2. 可化为变量分离方程的方程(1) 齐次方程dyy?g()的方程为齐次方程，g?u?为u的连续函数. dttydydu?t?u，从而原方程变为解法如下：做变量替换u?，即y?ut，有tdtdtdudug(u)?ut?u?g(u)，整理有?，此为变量分离方程，可求解. dtdtt形如 (2) 形如dya1t?b1y?c1的方程, 其中a1??a2,?b1,?b2,?c1,?c2为常数. ?dta2t?b2y?c2?a1b1c1???k的情形. a2b2c2此时方程化为dy?k,可解得y?kt?c. dt?a1a2b1b2?0,即a1b1??k的情形: a2b2ku?c1dudy?a2?b2?a2?b2dtdtu?c2令 u?a2t?b2y, 则有此为变量分离方程. ?a1b1a2b2?0的情形y. t对c1?c2?0的情况, 直接做变量替换u?当c1,c2不全为零, 求 ? ?a1t?b1y?c1?0的解为?a2t?b2y?c2?0?t??. ??y???t?t??令 ? , 则方程组化为y?y???原方程化为3．一阶线性微分方程?a1t?by1?0. ?at?by?0?22dya1t?byy??g()的齐次方程可求解. dta2t?byt(1) 一般形式：a(t)dydy?p(t)y?qt(的形式). dtp(t)dtdy,?c为任意常数. ?p(t)y，通解为ce?(2) 一阶齐次线性微分方程：dtdy?p(t)y?q(t)，q(t)?0. (3) 一阶非齐次线性微分方程：dt性质1 必有零解 y?0;性质2 通解等于任意常数c与一个特解的乘积; 性质3 任意两个解的线性组合也是该微分方程的解. (5) 非齐次线性微分方程的性质性质1 没有零解;性质2 非齐次方程的解加上对应齐次方程的解仍为非齐次方程的解; 性质3 任意两个非齐次方程的解的差是相应齐次方程的解. (6) 一阶非齐次线性微分方程的解法：(i) 猜测-检验法对于常系数的情形，即 p(t) 为常数, 此时方程为(4) 齐次线性微分方程的性质dy?ay?q(t), a为常数. dt对应齐次方程的通解为ce, 只需再求一个特解, 这时根据q(t)为特定的函数,bt可猜测不同的形式特解. 事实上, 当q(t)?ae, a,b为给定常数, 且b?a 时at可设待定特解为ce, 而当b?a时, 可设特解形式为cte, 后代入方程可确定待定常数c. 当q(t)为cosat,??sinat或它们的线性组合时, 其中a为给定常数. 这时可设待定特解为bcosat?csinat代入方程后确定b,?c的值. 当btbtq(t)具有多项式形式a0tn?a1tn?1???an?1t?an, 其中a0,?a1,??an 为给定常数且a0?0, 这时可设待定特解为b0t?bt1nn?1???bn?1t?bn代入方程可求得bi,?i?0,1?,??,n的值. 对于q(t)有上述几种线性组合的形式, 则可设待定特解是上述形式特解的线性组合. (ii) 常数变易法: 令y?c(t)e?p(t)dt，代入方程，求出c(t)后可求得通解为【篇二：微分方程数值解法(戴嘉尊_第二版)习题讲解】答杨韧吴世良(编)成都信息工程学院数学学院二o一o年四月编写目录第一章常微分方程数值解 ......................................................................3 第二章抛物型方程的差分方法 ..............................................................8 第三章椭圆型方程的差分方法 ............................................................16 第四章双曲型方程的差分方法 (25)第一章常微分方程数值解1．解: 由欧拉公式得yn1 yn hf (xn, yn) yn h( 由梯形公式得 yn1 ynyn2 11 2 1x n2yn 2 ) yn 0.2yn20.1 1xn2h[ f (xn, yn)f (xn1, yn1)]1 2 1x n2 1h [(22yn 2 )(1x 11 2 1 2 h( 1xn 2 n12y 2 n1 )]1 1x 2n1yn hynhy 2 n1) )12 1 x n12hy n1 yn1 yn hyn2121 2 h( 1xn1 1x 2n1yn1欧拉公式计算结果xn114h(yn hyn2 2h12 1 2 h( 1xn))yn y(xn ) y(xn)yn0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10 0.1000 0.1970 0.2854 0.3609 0.4210 0.4656 0.4957 0.5137 0.5219 0.52270 0.0990 0.1923 0.2752 0.3448 0.4000 0.4412 0.4698 0.4878 0.4972 0.50000 0.0010 0.0047 0.0102 0.0160 0.0210 0.0244 0.0259 0.0259 0.0247 0.0227梯形公式计算结果xnyny(xn )y(xn)yn0 0 0 0【篇三：常微分方程习题】下列两个微分方程的公共解。

现代汉语导论第一节现代汉语概述1.现代汉语的含义见教材*第2页现代汉语指现代汉民族使用的共同语，是以北京语音为标准音，以北方话为基础方言，以典范的现代白话文著作为语法规范的普通话。

2.现代汉语的历史来源见教材第2-3页白话就是现代汉民族共同语书面形式的来源。

以北京话为代表的北方“官话”是现代汉民族共同语口头形式的源头。

3.现代汉语的地域变体——方言见教材第4-5页3.1.七大方言区：北方方言（北方话、官话）以北京话为代表，具体分布详教材。

北方方言可以分为四个次方言区：华北官话、西北官话、西南官话、江淮官话。

吴方言（江南话、江浙话）以上海话为代表，具体分布详教材。

赣方言（江西话）以南昌话为代表，具体分布详教材。

湘方言（湖南话）以长沙话为代表，具体分布详教材。

湘方言可以分为新湘语和老湘语两个方言片。

客家方言（客话）以广东梅县话为代表，具体分布详教材。

闽方言（福佬话）以福州话为代表，具体分布详教材。

闽方言可以分为五个次方言：闽南以厦门话为代表、闽东以福州话为代表、闽北以建瓯话为代表、闵中以永安话为代表、莆仙以话为代表。

粤方言（广东话）以广州话为代表，具体分布详教材。

3.2.九大方言区（新增）：徽语皖南徽州一带方言，原属江淮官话。

晋语山西保留入声调的地区，原属北方方言。

4.现代汉语规范化见教材第6-7页语言规范的两层含义：形成规范、遵守规范语言规范的必要性（为什么要制定语言规范）：保障人际交流和信息传递的有效性语言规范的可能性（实现语言规范的两个基本条件）：建立合适的规范化标准、加强语言规范化的研究和教育现代汉语规范化的标准：语音方面以北京音为基础，词汇方面以北方方言为基础，语法方面以典范的现代白话文著作为规范。

语言规范化的持续性第二节现代汉语课程第一章语音第一节现代汉语语音概述1.语音的属性1.1.语音的三种基本属性：物理属性（与语音四要素的关系，详下）、生理属性、社会属性（语音的本质属性）见教材第14页1.2.语音四要素见教材第14-15页音高主要取决于发音体振动的频率音强主要取决于发音体的振幅音长取决于发音体振动持续时间的长短以上属语音的韵律特征，与音色相对音色主要取决于声波振动的形式——音色又分绝对音色和相对音色，相对音色主要取决于发音方法和共鸣器形状（结合以下元音、辅音的发音原理）1.3.语音的社会属性——社会属性是语音区别于其它声音的本质属性见教材第17页语音的形式和意义的结合是约定俗成的，两者之间没有必然的联系。

集合的含义与表示【学习目标】一、知识与技能：（1）初步理解集合的含义，知道常用的数集及其记法。

（2）初步了解“属于”关系的意义。

（3）初步了解有限集、无限集、空集的意义。

二、过程与方法：（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合。

（2）观察关于集合的几组实例，并举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义。

（3）学会借助实例分析，探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性和无序性）。

三、情感、态度与价值观：（1）在学习运用集合语言过程中，增强认识事件的能力，初步培养实事求是，扎实严谨的科学态度。

（2）探索利用直观图示理解抽象概念，体会数形结合的思想。

【学习重难点】1．学习重点：集合的含义与表示方法，用集合语言表达数学对象或数学内容。

2．学习难点：区别元素与集合等概念及其符号表示。

【学习过程】一、集合的概念一般地，把一些__________不同的对象看成一个整体，就说这个__________是由这些对象的全体构成的集合。

1．集合是现代数学中不加定义的基本概念，学习这个概念应注意以下两点：（1）集合是一个“整体”（2）构成集合的对象必须是“确定”的且“不同”的。

“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不是模棱两可的。

一般地，判定一组对象a1，a2，a3，…，an能否构成集合，就是要看判定的对象a1，a2，a3，…，an是否具有一个确定的特性，如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合。

“不同”是指构成集合的各个对象互不相同，即相同的对象归入一个集合时，该对象只能出现一次。

例1：下列各组对象中，哪些能组成集合？哪些不能组成集合？ （1）参加2010年全国高考的山东考生。

（2）所有数学难题。

（3）数组2，2，4，6．（4）参加2010年广州亚运会的运动员。

（5）全国所有大湖。

2．元素的概念构成集合的每个对象叫做这个集合的元素。