北京市高考下午数学考试

北京高考数学导数题北京高考数学导数题一、题目背景和意义北京市高考是全国各地考生争先恐后的焦点，其中数学科目一直备受关注。

在这个充满竞争的考场上，导数是一道常见而又重要的题目。

导数作为微积分的基础概念之一，具有深远的理论意义和实际应用价值。

解题数量和质量是考查学生对导数的理解和运用能力的重要指标。

二、题目描述假定某城市的人口总数P（单位：万人）与时间t（单位：年）的关系满足函数表达式为P(t)=3t^3+5t^2-t+1。

1. 求在最近的10年（即t的取值范围为[0,10]）内，该城市人口的平均增长率。

2. 若该城市人口的增长速度最大值的时刻为t=3年，求此时的人口总数。

三、题目分析和解答1. 求在最近的10年内，该城市人口的平均增长率。

根据题意和函数表达式P(t)=3t^3+5t^2-t+1，我们需要求在[0,10]范围内函数P(t)的平均增长率。

首先，计算t=0时刻和t=10时刻的人口总数，分别代入函数表达式得到P(0)=1和P(10)=3311。

其次，计算[0,10]范围内人口总数的变化量，即P(10)-P(0)=3310。

最后，计算平均增长率，即(3310/10) = 331(单位：人/年)。

因此，在最近的10年内，该城市人口的平均增长率为331人/年。

2. 若该城市人口的增长速度最大值的时刻为t=3年，求此时的人口总数。

根据题意和函数表达式P(t)=3t^3+5t^2-t+1，我们需要求在t=3时刻的人口总数。

首先，代入t=3到函数表达式中得到 P(3) = 102。

因此，在t=3时刻，该城市的人口总数为102万人。

四、题目总结本题通过考查导数的相关概念和运用，旨在培养考生对数学知识的理解和应用能力。

通过计算平均增长率和最大增长速度对应的人口总数，考察学生的计算和推理能力。

同时，这道题目也暗示了人口增长问题在城市规划和社会预测中的重要性。

要成功解答本题，学生需要熟练掌握导数的求解方法和相关定理，并能够将其应用到实际问题中。

2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷02一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。

每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．设集合{}{}1,0,1,21,2,3M N =-=，，则M N ⋂=（）A ．{}1,2B ．{}1,2,3C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,1,2,3-【答案】A【分析】根据交集运算求解.【详解】由题意可得：M N ⋂={}1,2.故选：A.2．命题：“2,340x x x ∀∈-+<R ”的否定是（）A ．2,340x x x ∃∉-+≥RB ．2,340x x x ∃∈-+>RC ．2,340x x x ∃∈-+≥RD ．2,340x x x ∀∉-+≥R 【答案】C【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“2,340x x x ∀∈-+<R ”的否定为：“2,340x x x ∃∈-+≥R ”.故选：C.3．设32i z =-+，则在复平面内z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A B ．1C ．2D ．3，,2n x =，若//m n ，则（）A ．1BC ．D ．AB ．2C ．2D ．12A ．12B ．32C ．1D ．2【答案】C【分析】根据两角和的正弦公式求得正确答案.【详解】()sin30cos60cos30sin60sin 3060sin901︒︒+︒︒=︒+︒=︒=.故选：C8．要得到π3sin()6y x =+的图象只需将3sin y x =的图象（）A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π2个单位D ．向右平移π2个单位【答案】A【分析】根据给定条件，利用图象的平移变换求解即得.A ．2B ．1C ．0D ．2-【答案】D【分析】令()0f x =，求出方程的解，即可得到函数的零点.【详解】解：令()0f x =，即20x +=，解得2x =-，所以函数()2f x x =+的零点为2-；故选：D10．不等式24120x x +-<的解集为（）A ．{}62x x -<<B ．{}26x x -<<C ．{}62x x -<<-D ．{}25x x <<2A ．2B ．3C ．1D ．-3【答案】B【分析】直接化简即可.【详解】由322log 8log 23==.故选：B.12．若函数()1y k x b =-+在()∞∞-+，上是增函数，则（）.A ．1k >B ．1k <C ．1k <-D ．1k >-【答案】A【分析】根据函数是增函数，求解参数范围.【详解】因为()1y k x b =-+在()-∞+∞，上是增函数，则10k ->,即1k >.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A ．45-B ．45C．15D ．15-A ．()3f x x =+B ．2()3f x x =+C ．3()f x x =D ．1()f x x=16．已知函数()56,0f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩，若()6f a =，则=a （）A ．0B ．2C ．3-D ．2或3【答案】B【分析】由题意分类讨论0a ≥，a<0，解方程可求解a .【详解】当0a ≥时，则()26f a a a =+=，解得：2a =或3a =-（舍去）当0a <时，则()566f a a =+=，解得：0a =（舍去）综上所述：2a =故选：B.17．已知事件M 表示“3粒种子全部发芽”，事件N 表示“3粒种子都不发芽”，则M 和N （）A ．是对立事件B ．不是互斥事件C ．互斥但不是对立事件D ．是不可能事件【答案】C【分析】利用互斥事件和对立事件的定义求解即可.【详解】事件M 表示“3粒种子全部发芽”，事件N 表示“3粒种子都不发芽”，所以事件M 和事件N 不会同时发生，是互斥事件，因为3粒种子可能只发芽1粒，所以事件M 和事件N 可以都不发生，则M 和N 不是对立事件.故选：C18．若0x >，则9x x+有（）A ．最小值6B ．最小值8C ．最大值8D ．最大值319．一组数据：1,1,3,3,5,5,7,7,,x y ，其中,x y 为正整数，且x y ≠．若该组数据的40%分位数为2.5，则该组数据的众数为（）A ．1B ．3C ．5D ．7人，进行理论知识和实践技能两项测试（每项测试结果均分为A B C ､､三等），取得各等级的人数如下表：实践技能等级理论知识等级AB C A m124B 20202Cn65已知理论知识测试结果为A 的共40人．在参加测试的100人中，从理论知识测试结果为A 或B ，且实践技能测试结果均为C 的人中随机抽取2人，则这2人理论知识测试结果均为A 的概率是（）A ．35B ．25C ．12D ．34【答案】B【分析】由题知理论知识测试结果为A ，且实践技能测试结果为C 的有4人，记为,,,A B C D ，理论知识测试结果为B ，且实践技能测试结果为C 的有2人，记为,a b ，再根据古典概型列举基本事件，求解概率即可.【详解】解：由题知理论知识测试结果为A 的共40人，故12440m ++=，解得24m =，21．已知幂函数()f x x α=的图象过点()3,9P ，则α=【答案】2【分析】将点()3,9P 代入函数()f x x α=，即可求解.【详解】因为幂函数()f x x α=的图象过点()3,9P ，所以()339f α==，解得2α=.故答案为：2.22．能说明“若a b >，则11a b<”为真命题的一组,a b 的值依次为=a ;b =．1111则该直三棱柱的体积为.【答案】24【分析】根据直三棱柱的体积公式直接求解即可.．以下函数中，图象经过第二象限的函数有①．1y x-=②．ln()y x =-③．23y x =④．exy =25．（7分）已知函数()sin 2f x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)当x ∈[0,2π]时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的值.分别是PA ，PB 的中点，求证：(1)//MN 平面ABCD ；(2)CD ⊥平面PAD .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）根据三角形中位线性质和线面平行判定定理可证；（2）利用线面垂直的性质可知PA CD ⊥，然后由矩形性质和线面垂直的判定定理可证.【详解】（1）因为M ，N 分别是PA ，PB 的中点,所以//MN AB .又因为MN ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD .（2）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为四边形ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥.又AD PA A ⋂=，,AD PA ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD .27．（7分）阅读下面题目及其解答过程，并补全解答过程．已知函数()2()f x x b b =-+∈R ．（Ⅰ）当0b =时，判断函数()f x 的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数()f x 在R 上是减函数．解答：（Ⅰ）当0b =时，函数()f x 是奇函数．理由如下：因为()2f x x b =-+，所以当0b =时，()f x =①．因为函数()f x 的定义域是R ，所以x ∀∈R ，都有x -∈R ．所以()2()2f x x x -=--=．所以()f x -=②．所以函数()f x 是奇函数．（Ⅱ）证明：任取12,x x ∈R ，且12x x <，则③．因为()()11222,2f x x b f x x b =-+=-+，所以()()()()121222f x f x x b x b -=-+--+=④．所以⑤．所以()()12f x f x >．所以函数()f x 在R 上是减函数．以上解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的，并填写在答题卡的指定位置．空格序号选项①A ．2x -B ．2x ②A ．()f x B ．()f x -③A ．120x x -<B ．120x x ->④A ．()122x x -B ．()122x x --⑤A ．()()120f x f x -<B ．()()120f x f x ->【答案】①A ；②B ；③A ；④B ；⑤B ．【分析】根据选项一一判断即可．【详解】①中，当0b =时，()22f x x b x =-+=-，故选：A ；②中，()()2()2f x x x f x -=--==-，故选：B ；③中，12x x <，则120x x -<，故选：A ；④中，()()()()()1212121222222f x f x x b x b x x x x -=-+--+=-+=--，故选：B ；⑤中，()()()12122f x f x x x -=--，因为120x x -<，所以()()120f x f x ->，故选：B ．28．（7分）对于正整数集合{}()*12,,,,3n A a a a n n =⋅⋅⋅∈≥N ，如果去掉其中任意一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“平衡集”．(1)判断集合{}2,4,6,8,10Q =是否是“平衡集”并说明理由；(2)求证：若集合A 是“平衡集”，则集合A 中元素的奇偶性都相同；(3)证明：四元集合{}1234,,,A a a a a =，其中1234a a a a <<<不可能是“平衡集”．【答案】(1){}2,4,6,8,10Q =不是“平衡集”，利用见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据定义直接判断即可得到结论．（2）设12n a a a M ++⋯+=，由“平衡集”定义可知(1i M a i -=，2，⋯，)n 为偶数，所以(1i a i =，2，⋯，)n 的奇偶性相同．（3）依次去掉1a ，2a 可得12a a =，显然与12a a <矛盾，所以集合1{A a =，2a ，3a ，4}a 不可能是“平衡集”．【详解】（1）集合{}2,4,6,8,10Q =不是“平衡集”，理由如下：当去掉1或5或9时，满足条件，当去掉4时，21068+≠+，不满足条件，当去掉8时，21046+≠+，不满足条件，所以集合{}2,4,6,8,10Q =不是“平衡集”．（2）设集合1{A a =，2a ，⋯，}n a ，12n a a a M ++⋯+=，由于集合A 是“平衡集”，设去掉(N )i a i *∀∈,则{}12i A A A a =⋃⋃，其中12A A =∅ ，且12,A A 中的元素和相等，不妨设1A 中的元素和为,N n n ∈,所以i 2M n a =+，12(i M n a i -==，2，⋯，)n 为偶数，(1i a i ∴=，2，⋯，)n 的奇偶性相同，方可保证()i M a -一直为偶数，即集合A 中元素的奇偶性都相同．（3）若集合1{A a =，2a ，3a ，4}a 是“平衡集”，且1234a a a a <<<，去掉1a ，则234a a a +=，去掉2a ，则134a a a +=，12a a ∴=，显然与12a a <矛盾，∴集合1{A a =，2a ，3a ，4}a 不可能是“平衡集”．。

2024年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|41}M x x =-<≤,{|13}N x x =-<<,则M N = ()A.{|43}x x -<<B.{|11}x x -<≤ C.{0,1,2}D.{|14}x x -<<2.已知1,izi =-则z =().A.1i- B.i- C.1i-- D.l3.求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离()A.B.24.(4x -的二项展开式中3x 的系数为()A.15B.6C.-4D.-135.已知向量,a b ,则“()()0a b a b +-= ”是“a b = 或a b =- ”的()条件.A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知()()()()1212rin sin 0,1,1,,2f x x f x f x x x πωω=>=-=-=∣∣则ω=()A.1B.2C.3D.47.记水的质量为1ln S d n-=,并且d 越大,水质量越好.若S 不变,且122.1, 2.2,d d ==,则1n与2n 的关系为()A.12n n <B.12n n >C.若1S <,则12;n n <若1S >,则12;n n >D 若1S <,则12n n >;若1S >,则12n n <;8.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥,四条侧棱分别为4,4,则该四棱锥的高为()A.2B.2C.9.已知()()1122,,,x y x y 是函数2x y =图象上不同的两点,则下列正确的是()A.12122log 22y y x x ++> B.12122log 22y y x x ++<C.12212log 2y y x x +>+ D.12212log 2y y x x +<+10.若集合(){}2,(),01,12x y y x t x x t x =+-≤≤≤≤∣表示的图形中,两点间最大距离为d ,面积为S ,则()A.3d =,1S < B.3d =,1S > C.d =1S < D.d =1S >第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知抛物线216y x =,则焦点坐标为_______.12.已知,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,且α与β的终边关于原点对称,则cos β的最大值为_______.13.已知双曲线2214x y -=,则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为_______.14.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列.第一个圆柱的直径为65mm,第二、三个圆柱的直径为325mm,第三个圆柱的高为230mm,求前两个圆柱的高度分别为_______.15.已知{}k k M ka b ==∣,n a ,n b 不为常数列且各项均不相同,下列正确的是___________.①,n n a b 均为等差数列,则M 中最多一个元素；②,n n a b 均为等比数列,则M 中最多三个元素；③n a 为等差数列,n b 为等比数列,则M 中最多三个元素.④n a 单调递增,n b 单调递减,则M 中最多一个元素三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.在ABC ∆中,7,a A =为钝角,sin 2cos 7B B =.(1)求A ∠;(2)从条件①,条件②和条件③中选择一个作为已知,求ABC ∆的面积.①7b =,②13cos 14B =;③sin c A =注：如果选择条件①,条件②和条件③分别解答,按第一个解答计分.17.已知四棱锥,//P ABCD AD BC -,1AB BC ==,3AD =,2DE PE ==,E $是AD 上一点PE AD⊥.BF平面PCD.(1)若F是PE中点,证明：//(2)若AB⊥平面PED,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.18.已知某险种的保费为0.4万元,前3次出险每次赔付0.8万元,第4次赔付0.6万元赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单,以频率估计概率：(1)求随机抽取一单,赔偿不少于2次的概率.(2)(i)毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X,估计X的数学期望.(ü)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%,已赔偿过的增加20%.估计保单下一保险期毛利润的数学期望.19.已知椭圆方程()2222:10x y C a b a b+=>>,焦点和短轴端点构成边长为2的正方形,过((0,)t t >的直线l 与椭圆交于,,(0,1)A B C ,连接AC 交椭圆于D .(1)求椭圆的离心率和方程.(2)若直线BD 的斜率为0,求t .20.已知()()ln 1f x x k x =++在(,())(0)t f t t >处切线为l .(1)若l 的斜率1k =-,求()f x 单调区间.(2)证明：切线l 不经过()0,0O .(3)已知()1,,()k A t f t =,()0,()C f t ,()0,0O ,其中0t >,切线l 与y 轴交于点B 时.当215ACO ABO S S ∆= ,符合条件的A 的个数为？(参考数据：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)21.设集合{}(,,,)|{1,2},{3,4},{5,6},{7,8},2|().M i j s t i j s t i j s t =∈∈∈∈+++对于给定有穷数列:{}(18)n A a n ≤≤,及序列12:,,....,x ωωωΩ,(),,,k k k k k i j s t M ω=∈,定义变换:T 将数列A 的第1111,,,i j s t 项加1,得到数列1()T A ;将数列1()T A 的第2222,,,i j s t 列加1,得到数列21()T T A ⋯;重复上述操作,得到数列21..()s T T T A ,记为()A Ω,若1357a a a a +++为偶数,证明：“存在序列Ω,使得()A Ω为常数列”的充要条件为“12345673a a a a a a a a +=+=+=+”.2024年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学答案解析第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.【答案】A【解析】由题意得()4,3M N =- 故选：A.2.【答案】C【解析】由题意得()11, z i i i =-=--故选：C.3.【答案】C【解析】由题意得22260x y x y +-+=,即()()221310x y -++=则其圆心坐标为(1,3)-,则圆心到直线20x y -+==故选：C.4.【答案】B【解析】(4x的二项展开式为(()()442144C C 1,0,1,2,3,4r rrr rr r Txxr --+==-=令432r -=,解得2r =,故所求即为()2241 6.-= 故选：B.5.【答案】A【解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ,可得22a b = ,即a b= 可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b=若a b = 或a b =- ,可得a b = ,即()()0a b a b +⋅-=,可知必要性成立.若()()0a b a b +⋅-= ,即a b = ,无法得出a b = 或$a b=- 综上所述,“()()0a b a b +⋅-= ”是“a b ≠ 且a b ≠-”的必要不充分条件故选：A.6.【答案】B【解析】由题意可知：1x 为()f x 的最小值点,2x 为()f x 的最大值点则12min22T x x π-==,即T π=且0ω>,所以$22Tπω==.故选：B.7.【答案】C【解析】由题意可得11221 2.1ln 1 2.2ln S d n S d n -⎧==⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩解得12111222e eS S n n -⋅-⋅⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩若1S >,则112.1 2.2S S -->,可得112.1 2.2e e S S -->,即12n n >;若1S =,则1102.1 2.2S S --==,可得121;n n ==若1S <,则112.1 2.2S S --<,可得112.1 2.2e e S S --<,即12;n n <故选：C.8.【答案】D【解析】如图,底面PEF 为正方形当相邻的棱长相等时,不妨设4,PA PB AB PC PD =====分别取,AB CD 的中点,E F ,连接,,PE PF EF则,PE AB EF AB ⊥⊥,且PE EF E = ,,PE EF ⊂平面PEF 可知AB ⊥平面PEF ,且AB ⊂平面ABCD 所以平面PEF ⊥平面ABCD过P 作EF 的垂线,垂足为O ,即PO EF ⊥由平面PEF 平面,ABCD EF PO =⊂平面PEF 所以PO ⊥平面PEF由题意可得：2222,4,PE PF EF PE PF EF ===+=∴,即PE PF⊥则1122PE PF PO EF ⋅=⋅,可得PO =当相对的棱长相等时,不妨设4,PA PC PB PD ====因为BD PB PD ==+,此时不能形成三角形PBD ,与题意不符,这样情况不存在故选：D.9.【答案】A【解析】对于选项AB:可得121222222x x x x ++>=,即1212222x x y y++>>根据函数2log y x =是增函数,所以121212222log log 222x x y yx x +++>=,故A 正确,B 错误.对于选项C:例如120,1x x ==,则121,2y y ==可得()12223log log 0,122y y +=∈,即12212log 12y y x x +<=+,故C 错误对于选项D:例如121,2x x =-=-,则1211,24y y ==可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--,即12212log 32y y x x +>-=+,故D 错误故选：A.10.【答案】C【解析】对任意给定] [1,2x ∈则2(1)0x x x x -=-≥,且][0,1t ∈可知222()x x t x x x x x x ≤+-≤+-=,即2x y x ≤≤再结合x 的任意性,所以所求集合表示的图形即为平面区域212y x y xx ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩如图阴影部分所示,其中()1,1A ,()2,2B ,)(2,4C 可知任意两点间距离最大值10d AC ==阴影部分面积11212ABC S S <=⨯⨯= .故选:C二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.【答案】 (4,0)【解析】由题意抛物线的标准方程为216y x =,所以其焦点坐标为()4,0.12.【答案】12-【解析】由题意2,k k βαππ=++∈ ,从而()cos cos 2cos k βαππα=++=-因为,63ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦,所以cos α的取值范围是13,,cos 22β⎡⎢⎣⎦的取值范围是31,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦当且仅当3πα=,即423k πβπ=+,k Z ∈时,cos β取得最大值,且最大值为12-故答案为：1.2-13.【答案】12±【解析】联立3x =与2214x y -=,解得52y =±,这表明满足题意的直线斜率一定存在设所求直线斜率为k ,则过点(3,0)且斜率为k 的直线方程为()3y k x =-,联立()22143x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩,化简并整理得：()222214243640k x k x k -+--=,由题意得2140k -=或()()()2222244364140k k k ∆=++-=解得12k =±或无解,即12k =±,经检验,符合题意.故答案为：1.2±14.【答案】1152mm,23mm 【解析】设第一个圆柱的高为1h ,第二个圆柱的高为2h ,则222221232532523022106532522h h h ππππ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故223h =mm 1115,2h =mm,故答案为：1152mm,23mm.15.【答案】①③④【解析】对于①{},{}n n a b 均为等差数列,故它们的散点图分布在直线上而两条直线至多有一个公共点,故M 中至多一个元素,故①正确对于②,取()112,2n n n n a b --==--,则{}{},n n a b 均为等比数列,但当n 为偶数时,有()1122n n n n b α--===--,此时M 中有无穷多个元素,故②错误.对于③设()0,1nn b Aq Aq q =≠≠±,()0n a kn b k =+≠若M 中至少四个元素,则关于n 的方程n Aq kn b =+至少有4个不同的正数解若0,1q q >≠,则由n y Aq =和y kn b =+的散点图可得关于n 的方程n Aq kn b =+至多有两个不同的解,矛盾.若0,1q q <≠±,考虑关于n 的方程n Aq kn b =+奇数解的个数和偶数解的个数当n Aq kn b =+有偶数解,此方程即为nA q kn b =+方程至多有两个偶数解,且有两个偶数解时ln ||0Ak q >否则ln ||0Ak q <,因||,n y A q y kn b ==+单调性相反方程nA q kn b =+至多一个偶数解当n Aq kn b =+有奇数解,此方程即为||n A q kn b-=+方程至多有两个奇数解,且有两个奇数解时ln ||0Ak q ->即ln ||0Ak q <否则ln ||0Ak q >,因||,n y A q y kn b =-=+单调性相反方程n A q kn b =+至多一个奇数解因为ln ||0,ln ||0Ak q Ak q ><不可能同时成立故n Aq kn b =+不可能有4个不同的正数解,故③正确对于(4),因为{}n a 为单调递增,{}n b 为递减数列,前者散点图呈上升趋势后者的散点图呈下降趋势,两者至多一个交点,故④正确.故答案为：①③④三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.【答案】(1)2;3A π=(2)选择①无解；选择②和③ABC ∆面积均为153.4【小问1解析】由题意得2sin cos cos 7B B B =,因为A 为钝角则cos 0B ≠,则32sin 7B =,则7sin sin sin 37b a BA A ===,解得3sin 2A =因为A 为钝角,则23A π=由题意得32sin cos cos 7B B B =,因为A 为钝角则cos 0B ≠,则32sin 7B =,则7sin sin sin 37b a BA A ===,解得3sin 2A =因为A 为钝角,则23A π=【小问2解析】由题意得2sin cos cos 7B B B =,因为A 为钝角则cos 0B ≠,则32sin 7B =,则7sin sin sin 37b a BA A ===,解得3sin 2A =因为A 为钝角,则23A π=.选择①7b =,则333sin 714142B ===,因为23A π=,则B 为锐角,则3B π=此时A B π+=,不合题意,舍弃.选择②13cos 14B =,因为B 为三角形内角,则33sin 14B ==则代入32sin 7B =得3332147b ⨯=,解得3b =()222sin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B Bπππ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131********⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭则11sin 73.22144ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=选择③sin c A =则有2c ⨯=,解得5c =则由正弦定理得,sin sin a c A C=5,sin sin 1432C C ==⇒因为C 为三角形内角,则11cos 14C ==则()222sin sin sin sin cos sin 333B A C C C C πππ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭3111533321421414⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭则1133153sin 7522144ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=17.【答案】(1)见解析(2)3030【小问1解析】取PD 的中点为S ,连接,SF SC ,则1//,12SF ED SF ED ==而//,2ED BC ED BC =,故//,SF BC SF BC =,故四边形SFBC 为平行四边形故//BF SC ,而BF ⊄平面,PCD SC ⊂平面PCD 所以//BF 平面PCD 【小问2解析】因为2ED =,故1AE =,故//,AE BC AE BC=故四边形2ED =$AECB$为平行四边形,故//CE AB ,所以CE ⊥平面PAD而,PE ED ⊂平面PAD ,故,CE PE CE ED ⊥⊥,而PE ED ⊥故建立如图所示的空间直角坐标系则()()()()()0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2A B C D P --()()()()0,1,2,1,1,2,1,0,2,0,2,2,PA PB PC PD ∴=--=--=-=-设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =则由()0200,2,1,200m PA y z m x y z m PB ⎧⋅=--=⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩ 取()0,2,1m =- 设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =则由00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得20220a b b c -=⎧⎨-=⎩,取(2,1,1)n =30cos <,>30m n ==-故平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值为303018.【答案】(1)110(2)(i)0.122万元(ii)0.1252万元【小问1解析】设A 为“随机抽取一单,赔偿不少于2次”由题设中的统计数据可得()6030101.80010060301010P A ++==++++【小问2解析】(i)设ξ为赔付金额,则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3由题设中的统计数据可得()()800410010,0.810005100010P P ξξ======603( 1.6)100050P ξ===,303( 2.4)1000100P ξ===101(3)1000100P ξ===()4133100.8 1.6 2.430.27851050100100E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故()0.40.2780.122E X =-=(万元)(ii)由题设保费的变化为410.496%0.4 1.20.403255⨯⨯+⨯⨯=故()0.1220.40320.40.1252E Y =+-=(万元)19.【答案】(1)2221,422x y e +==(2)2t =【小问1解析】由题意b c ===,从而2a ==,所以椭圆方程为22142x y +=,离心率为2;2e =【小问2解析】显然直线AB 斜率存在,否则BD 重合,直线BD 斜率不存在与题意不符.同样直线AB 斜率不为0,否则直线AB 与椭圆无交点,矛盾.从而设(:,AB y kx t t =+>,()()1122,,,A x y B x y 联立()222221,12424042x y k x ktx t kx t ν⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩由题意()()()2222221682128420k t k t k t ∆=-+-=+->,即,k t 应满足22420k t +->所以2121222424,1221kt t x x x x k k --+==++若直线BD 斜率为0,由椭圆的对称性可设()22,D x y -所以()121113:y y AD y x x y x x -=-++,在直线方程AD 中令0x =,得()()()()2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x ktt-++++++===+==+++-所以2t =此时k 应满足222424200k t k k ⎧+-=->⎨≠⎩,即k 应满足22k <-或22k >综上所述,2t =满足题意,此时22k <-或2.2k >20.【答案】(1)单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,)+∞(2)证明见解析(3)2【小间1解析】1()ln(1),()11)11x f x x x f x x x x'=-+=-=>-++当(1,0)x ∈-时,()0;f x '<当(0,),()0x f x '∈+∞>()f x ∴在(-1,0)上单调递减,在(0,)+∞上单调递增则()f x 的单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,).+∞【小问2解析】.()11k f x x '=++,切线l 的斜率为11k t++则切线方程为()1()(0)1k y f t x t t t ⎛⎫-=+-> ⎪+⎝⎭将(0,0)代入则()1,()111k k f t t f t t t t ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭即ln(1)t k t t t++=+1k t +,则ln(1)1t t t +=+,ln(1)01t t t +-=+令()ln(1)1tF t t t=+-+假设l 过(0,0),则()F t 在(0,)t ∈+∞存在零点.()()2211()0,()111t t t F t F t t t t +-'=-=>∴+++在()0,+∞上单调递增,()(0)0F t F >=()F t ∴在(0,)+∞无零点,∴与假设矛盾,故直线l 不过(0,0)【小问3解析】1k =时,12()ln(1),()10.11x f x x x f x x x'+=++=+=>++1()2ACO S tf t ∆=,设l 与y 轴交点B 为(0,)q 0t >时,若0q <,则此时l 与()f x 必有交点,与切线定义矛盾由(2)知0q ≠.所以0q >则切线l 的方程为()()1ln 111y t t x t t ⎛⎫--+=+- ⎪+⎝⎭令0x =,$则$ln(1).1t y q y t t ===+-+215ACO ABO S S ∆= ,则2()15ln(1)1t tf t t t t ⎡⎤=+-⎢+⎣⎦13ln(1)21501t t t t ∴+--=+,记15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t =+-->+∴满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.()()()()()2222221313221151315294(21)(4)()211111t t t t t t t h t t t t t t '+-++-+--+-=--===+++++当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h t '<\,此时()h t 单调递减当1,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h t '>,此时()h t 单调递增;当()4,t ∈+∞时,()0h t '<,此时()h t 单调递减;因为1(0)0,0,(4)13ln 520131.6200.802(h h h ==-⨯-=>〈〉15247272(24)13ln 254826ln 548261.614820.540,2555h ⨯=--=--<⨯--=-<所以由零点存在性定理及()h t 的单调性,()h t 在1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上必有一个零点,在()4,24上必有一个零点.综上所述,()h t 有两个零点,即满足215ACO ABO S S =的A 有两个.21.【解析】我们设序列21...()k T T T A 为,{}(18)k n a n ≤≤,特别规定()0,18.n n a a n =≤≤若存在序列12:,,...,s ωωωΩ,使得()A Ω为常数列.则,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a =======所以,2,3,4,5,6,7,8,1.s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+根据21...()k T T T A 的定义,显然有,21,21,2,11,2k j k j k j k ja a a a ----+=+这里1,2,3,4,1,2,....j k ==所以不断使用该式就得到,12345678a a a a a a a a +=+=+=+,必要性得证.若12345678.a a a a a a a a +=+=+=+由已知,1357a a a a +++为偶数,而12345678a a a a a a a a +=+=+=+,所以()()24681213574a a a a a a a a a a +++=+-+++也是偶数我们设21...()s T T T A 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列()A Ω中,使得,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-最小的一个.上面已经证明,21,21,211,2k j k j k j k j a a a a ----+=+,这里1,2,3,4,1,2,....j k ==从而由12345678a a a a a a a a +=+=+=+可得,1,2,3,4,5,6,7,8.s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+同时,由于k k k k i j s t +++总是偶数,所以,1,3,5,7k k k k a a a a +++和,4,6,8,2k k k k a a a a +++的奇偶性保持不变从而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数.下面证明不存在1,2,3,4j =使得,21,22s j s j a a --≥.假设存在,根据对称性,不妨设1j =,,21,22s j s j a a --≥,即,1,22s s a a -≥情况1:若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a -+-+-=,则由,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,4,6,8,2s s s s a a a a +++都是偶数,知,1,2 4.s s a a -≥对该数列连续作四次变换(2,3,5,8),(2,4,6,8),(2,3,6,7),(2,4,5,7)后,新的4,14,24,34,44,54,64,74,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-减少4,这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.情况2:若,4,5,6,7,8,30s s s s s s a a a a a a -+-+->,不妨设,4,30s s a a ->情况2-1:如果,3,41s s a a -≥,则对该数列连续作两次变换(2,4,5,7),(2,4,6,8)后,新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2,这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.情况2-2:如果,4,31s s a a -≥,则对该数列连续作两次变换(2,3,5,8),(2,3,6,7)后,新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2,这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾这就说明无论如何都会导致矛盾,所以对任意的1,2,3,4j =都有,21,2 1.s j s j a a --≤假设存在1,2,3,4j =使得,21,21s j s j a a --=,则,21,2s j s j a a -+是奇数,所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+都是奇数,设为2 1.N +则此时对任意1,2,3,4j =,由,21,2,1s j s j a a --≤可知必有{}{},21,2,,1.s j s j a a N N -=+而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数,故集合{},|s m m N α=中的四个元素,,,i j s t 之和为偶数,对该数列进行一次变换(),,,i j s t ,则该数列成为常数列,新的1,11,21,31,41,51,61,71,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-等于零,比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-更小这与,2,3,4,5,6,7,1s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.综上,只可能(),21,201,2,3,4s j s j j αα--==而,2,3,4,5,6,7,8,1s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+,故{}(),s n a A =Ω是常数列.充分性得证.。

北京高考数学试题北京高考数学试题北京市高考数学考试试卷一直备受瞩目，每年考试题目都被各大媒体关注着。

今年的数学试题与往年相比，增加了很多实用性的考查内容，其中大多题型具有多个解法，极大考查了学生的逻辑思维和数学运算能力。

接下来，我们将会从试卷中挑选出几道难度较大，涉及面面广的题目进行讲解。

第一道题目：设第一象限内点O(0，0)，以OA右方水平线为轴，规定逆时针一定角度的旋转方向为正方向。

点P(x，y)绕0点旋转α角度后的点坐标为(P'X，P'Y)，向量OP→OP'的坐标分别为a，b。

（1）求a，b。

（2）设直线l过点P与原点的距离之比为k，求证：k=|a·x+b·y|/√(a²+b²)。

这一道题目考查了学生对于平面几何的理解和对向量的掌握，需要用到三角函数、向量投影等知识点。

来自北京考试院的解析人员指出，这一道题目存在多种解法，需要同学们认真读题，思考后再动手，避免因为一时冲动导致失误。

第二道题目：解方程组a|x-y|+b(x+y)=c，ax+by=1(a,b,c>0)。

这是一道考察学生代数方程应用和数学建模能力的题目，需要运用到绝对值、方程的解法等知识点。

难度较大的地方在于学生需要想到将|x-y|拆开，分成两个式子去考虑。

而且，这一道题目是以应用为主的题目，需要结合实际情况分析，摆脱死套路。

第三道题目：一个几何数列，前三项为k1、k2、k3，其和大于等于1，第四项为k4。

已知k4=2k1，k2×k3=k1²，且k1、k2、k3、k4都是正数，求第五项k5。

这一道题目需要学生具备对于数列的了解，同时还需要学生有较好的代数运算能力。

难度之所在就在于如何联想到均值不等式进行求解，这一题目可以引导学生进行思维拓展和思维创新，锻炼学生的反推能力。

以上三道数学题目代表了今年北京市高考数学试卷的难点所在，适当练习这些题目可以提高学生的数学水平和解题能力。

北京市2020-2024年普通高等学校招生全国统一考试真题汇编数学目录北京市2020年普通高等学校招生全国统一考试数学北京市2021年普通高等学校招生全国统一考试数学北京市2022年普通高等学校招生全国统一考试数学北京市2023年普通高等学校招生全国统一考试数学北京市2024年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案说明：本套资源为北京市2020-2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷的汇编，即北京市2020-2024年数学高考真题的汇编，含2020年，2021年，2022年，2023年，2024年数学高考真题各一套，共五套，附有参考答案，可供北京市高三学生总复习时参考。

北京市2020年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = （）．A.{1,0,1}- B.{0,1}C.{1,1,2}- D.{1,2}2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（）．A.12i+ B.2i-+ C.12i- D.2i--3.在52)-的展开式中，2x 的系数为（）．A.5-B.5C.10- D.104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A.6B.6+C.12+D.12+5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A.4B.5C.6D.76.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）．A.(1,1)-B.(,1)(1,)-∞-+∞C.(0,1)D.(,0)(1,)-∞⋃+∞7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP8.在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）．A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A.30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D.60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．12.已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．13.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．14.若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．17.在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）19.已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．20.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．21.已知{}n a 是无穷数列，给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k n la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n == ，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -== ，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.北京市2021年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B = （）A.()1,2- B.(1,2]- C.[0,1) D.[0,1]2.在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（）A.2i +B.2i -C.1i -D.1i +3.已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A.332+ B.4C.3D.25.双曲线2222:1x y C a b -=过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A.2213x y -= B.2213y x -=C.2213x -=D.2213y -=6.{}n a 和{}n b 是两个等差数列，其中()15kka kb ≤≤为常值，1288a =，596=a ，1192b =，则3b =（）A.64B.128C.256D.5127.函数()cos cos 2f x x x =-，试判断函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为98D.偶函数，最大值为988.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度．其中小雨（10mm <），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨9.已知圆22:4C x y +=，直线:l y kx m =+，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =（）A.2±B.C.D.10.数列{}n a 是递增的整数数列，且13a ≥，12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A.9B.10C.11D.12第二部分（非选择题共110分）二、填空题：5小题，每小题5分，共25分．11.341(x x-展开式中常数项为__________．12.已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且6FM =，则M 的横坐标是_______；作MN x ⊥轴于N ，则FMN S = _______．13.(2,1)a = ，(2,1)b =-，(0,1)c = ，则()a b c +⋅= _______；a b ⋅=_______．14.若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．15.已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，则()f x 有两个零点；②0k ∃<，使得()f x 有一个零点；③0k ∃<，使得()f x 有三个零点；④0k ∃>，使得()f x 有三个零点．以上正确结论得序号是_______．三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c =；②周长为4+；③面积为4ABC S ∆=；17.已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为11A D 中点，直线11B C 交平面CDE 于点F．（1）证明：点F 为11B C 的中点；（2）若点M 为棱11A B 上一点，且二面角M CF E --的余弦值为53，求111A M A B 的值．18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E (X )；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的期望为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)．19.已知函数()232xf x x a-=+．（1）若0a =，求()y f x =在()()1,1f 处切线方程；（2）若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值．20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．21.定义p R 数列{}n a ：对实数p ，满足：①10a p +≥，20a p +=；②414,n n n N a a *-∀∈<；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，,m n N *∈．（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是2R 数列吗？说明理由；（2）若{}n a 是0R 数列，求5a 的值；（3）是否存在p ，使得存在p R 数列{}n a ，对10,n n N S S *∀∈≥？若存在，求出所有这样的p ；若不存在，说明理由．北京市2022年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（）A.(2,1]-B.(3,2)[1,3)--C.[2,1)- D.(3,2](1,3)-- 2.若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A.1B.5C.7D.253.若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A.12B.12-C.1D.1-4.已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A.()()0f x f x -+= B.()()0f x f x --=C.()()1f x f x -+= D.1()()3f x f x --=5.已知函数22()cos sin f x x x =-，则（）A.()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 B.()f x 在,412ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增C.()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增6.设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A.当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B.当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C.当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D.当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态8.若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A.40B.41C.40-D.41-9.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（）A.34π B.πC.2πD.3π10.在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A.[5,3]- B.[3,5]- C.[6,4]- D.[4,6]-第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11.函数1()1f x x x=+-的定义域是_________．12.已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为33y x =±，则m =__________．13.若函数()sin 3cos f x A x x =-的一个零点为3π，则A =________；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．14.设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．15.己知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3；②{}n a 为等比数列；③{}n a 为递减数列；④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：共6小愿，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC中，sin 2C C =．（1）求C ∠；（2）若6b =，且ABC的面积为ABC 的周长．17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC的中点．（1）求证：MN ∥平面11BCC B ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19.已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A ，焦距为（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．20.已知函数()e ln(1)x f x x =+．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；（3）证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．21.已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．（1）判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；（2）若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；（3）若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．北京市2023年普通高等学校招生全国统一考试数学一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（）A.{21}xx -≤<∣ B.{21}xx -<≤∣C.{2}x x ≥-∣D.{1}xx <∣2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A.1+B.1-C.1-+D.1-3.已知向量a b ，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A.2- B.1- C.0 D.14.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A.()ln f x x =- B.1()2xf x =C.1()f x x=-D.|1|()3x f x -=5.512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（）．A.80- B.40- C.40 D.806.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）A.7B.6C.5D.47.在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A.π6B.π3C.2π3D.5π68.若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ===，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为5，则该五面体的所有棱长之和为（）A.102mB.112mC.117mD.125m10.已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+= ，则（）A.当13a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立B.当15a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数6M ≤，使得n a M <恒成立C.当17a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数6M >，使得n a M >恒成立D.当19a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭____________．12.已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)2，则C 的方程为____________．13.已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________，β=_________．14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ===，则7a =___________；数列{}n a 所有项的和为____________．15.设0a >，函数222,,(),,1,.x x a f x a x a x a x x a +<-⎧=--≤≤>⎪⎩，给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减；②当1a ≥时，()f x 存在最大值；③设()()()()()()111222,,,M x f x xa N x f x x a ≤>，则||1MN >；④设()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <-≥-．若||PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．17.设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭．（1）若(0)2f =-，求ϕ的值．（2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值．条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭；条件②：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天++---++++---+-+用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，||4AC =．（1）求E 的方程；（2）设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y =-交于点N ．求证：//MN CD ．20.设函数3()e ax b f x x x +=-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-+．（1）求,a b 的值；（2）设函数()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；（3）求()f x 的极值点个数．21.已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值；（2）若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；（3）证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+．北京市2024年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（）A.{}43x x -<< B.{}11x x -<≤C.{}0,1,2 D.{}14x x -<<2.已知i 1iz=-，则z =（）．A.1i- B.i- C.1i-- D.13.求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（）A. B.2C. D.4.(4x -的二项展开式中3x 的系数为（）A.15B.6C.4- D.13-5.已知向量a ，b ，则“()()·0a b a b +-= ”是“a b = 或a b =- ”的（）条件．A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =-，()21f x =，12min π||2x x -=，则ω=（）A.1B.2C.3D.47.记水的质量为1ln S d n-=，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且1 2.1d =，2 2.2d =，则1n 与2n 的关系为（）A.12n n <B.12n n >C.若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D.若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；8.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的高为（）A.2B.2C. D.9.已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（）A.12122log 22y y x x ++> B.12122log 22y y x x ++<C.12212log 2y y x x +>+ D.12212log 2y y x x +<+10.若集合(){}2,|(),01,12x y y x t xx t x =+-≤≤≤≤表示的图形中，两点间最大距离为d 、面积为S ，则（）A.3d =，1S <B.3d =，1S >C.d =，1S < D.d =，1S >第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.已知抛物线216y x =，则焦点坐标为________．12.已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为________．13.已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．14.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm ，第二、三个圆柱的直径为325mm ，第三个圆柱的高为230mm ，求前两个圆柱的高度分别为________．15.已知{}|k k M k a b ==，n a ，n b 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是______.①n a ，n b 均为等差数列，则M 中最多一个元素；②n a ，n b 均为等比数列，则M 中最多三个元素；③n a 为等差数列，n b 为等比数列，则M 中最多三个元素；④n a 单调递增，n b 单调递减，则M 中最多一个元素.三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在△ABC 中，7a =，A 为钝角，3sin 2cos 7B b B =．（1）求A ∠；（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．①7b =；②13cos 14B =；③sin c A =注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．17.已知四棱锥P -ABCD ，//AD BC ，1AB BC ==，3AD =，2DE PE ==，E 是AD 上一点，PE AD ⊥．（1）若F 是PE 中点，证明：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PED ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18.已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单，以频率估计概率：（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；（2）（i ）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X ，估计X 的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．19.已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b+=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．（1）求椭圆方程和离心率；（2）若直线BD 的斜率为0，求t ．20.已知()()ln 1f x x k x =++在()()(),0t f t t >处切线为l ．（1）若切线l 的斜率1k =-，求()f x 单调区间；（2）证明：切线l 不经过()0,0；（3）已知1k =，()(),A t f t ，()()0,C f t ，()0,0O ，其中0t >，切线l 与y 轴交于点B时．当215ACO ABO S S =△△，符合条件的A 的个数为？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21.设集合(){}{}{}{}(){},,,1,2,3,4,5,6,7,8,2M i j s t i j s t i j s t =∈∈∈∈+++．对于给定有穷数列{}():18n A a n ≤≤，及序列12:,,...,s ωωωΩ，(),,,k k k k k i j s t M ω=∈，定义变换T ：将数列A 的第1111,,,i j s t 项加1，得到数列()1T A ；将数列()1T A 的第2222,,,i j s t 列加1，得到数列()21T T A …；重复上述操作，得到数列()21...s T T T A ，记为()A Ω．若1357a a a a +++为偶数，证明：“存在序列Ω，使得()A Ω为常数列”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．参考答案北京市2020年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案一、选择题【答案】1.D 【解析】【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=I I ，故选：D.【答案】2.B 【解析】【详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-.故选：B.【答案】3.C 【解析】【详解】)52-展开式的通项公式为：()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-.故选：C.【答案】4.D 【解析】【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭.故选：D.【答案】5.A 【解析】【详解】设圆心(),C x y ，则1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345=+=，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.【答案】6.D 【解析】【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D.【答案】7.B 【解析】【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.【答案】8.B 【解析】【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<< ，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=.故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T .故选：B.【答案】9.C 【解析】【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.【答案】10.A 【解析】【详解】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n︒︒=⨯，每条边长为302sinn︒，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒，303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：A.二、填空题【答案】11.(0,)+∞【解析】【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【答案】12.()3,0【解析】【详解】在双曲线C中，a =，b =，则3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=.故答案为：()3,0.【答案】；1-【解析】【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =- ，因此，PD == ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.；1-.【答案】14.2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【答案】15.①②③【解析】【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③三、解答题【答案】16.（Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，1BC ⊄ 平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE = ，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z = ，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅.因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.【答案】17.选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==- ，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅- 8a ∴=（Ⅱ）213cos (0,)sin 1cos 77A A A A π=-∈∴=-=，由正弦定理得：873sin sin sin sin 2437a c C A C C===113sin (118)83222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，3757sin 816A B ∴===由正弦定理得：6sin sin 3757816a b a A B ==（Ⅱ）3795717sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=⨯+⨯=117157sin (116)62244S ba C ==-⨯⨯=【答案】18.（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1()(13433436C -+-=;（Ⅲ）01p p <【答案】19.（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11，由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅱ）显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t +=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==，由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==.【答案】20.（Ⅰ）设椭圆方程为：()222210x y a b a b +=>>，由题意可得：224112ab a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆方程为：22182x y +=.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++.直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++，令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++，同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到：()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯⎪++++⎝⎭，而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==.【答案】21.【详解】（Ⅰ）{}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴Q 不具有性质①；（Ⅱ）{}22*(2)1*2,,,2,2i j i i i j n j ja a i j N i j i j N a a a a ---∀∈>=-∈∴=∴Q 具有性质①；{}2*(2)11,3,1,2,22,k l n k n n la n N n k n l a n a a ---∀∈≥∃=-=-===∴Q 具有性质②；（Ⅲ）【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<，第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<< ，由①可知：存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<，由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤，另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知：0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23k la a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>，而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）由①可得：存在整数m ，满足211k k m k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥（*）由②得：存在s t >，满足：21s sk ss t ta a a a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+，由()111s s a a qs k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>=（**）由（**）和（*）式可得：211111ks t k a q a q a q ---≥>，结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-，注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--，。

2023年北京高考考试科目时间及科目分值(一览)2023年北京高考考试科目时间及科目分值北京市受教育部委托高考实行分省命题，考试和评卷工作按教育部有关规定执行。

2023年北京市普通高等学校招生考试包括统一高考和普通高中学业水平等级性考试(以下简称“学考等级考”)。

统一高考科目为语文、数学、外语3门。

学考等级考科目为思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，由考生自主选择3门参加考试。

外语考试分英语、俄语、日语、德语、法语、西班牙语六个语种，由考生任选一种。

统考英语听说考试与笔试分离，实行计算机考试，一年两次考试，第一次考试于2023年2月25日进行，第二次考试于2023年4月1日进行。

其他外语(非英语)考试使用全国卷，听力考试一年两考，第一次考试于2023年1月8日进行，第二次考试于2023年6月8日进行。

(三)评卷评卷工作分科目集中进行。

各科目评卷点分别成立评卷工作领导小组，在市高考评卷工作领导小组的统一领导下，按照有关规定组织实施。

各科目均实行网上评卷。

(四)成绩语文、数学、外语满分均为150分。

英语听说考试满分50分，其他外语(非英语)听力考试满分30分，取两次听说(听力)考试的最高成绩与其他部分试题成绩一同组成外语科目成绩计入高考总分。

学考等级考科目成绩按照《北京市教育委员会关于普通高中等级性学业水平考试成绩计入高考总成绩方式的通知》(京教计〔〕21号)要求进行折算，每科目满分100分。

(五)录取控制分数线划定本科批次按照语文、数学、外语以及学考等级考共六门科目总分划定录取最低控制分数线，专科批次按照语文、数学、外语三科总分划定录取最低控制分数线。

高考提分考试技巧高考要规范答题、平时训练物理答题的总体要求是：说理要充分，层次要清楚，逻辑要严密，语言要规范且具有学科特色，文字要简洁，字母符号要规范且符合学科习惯。

答题时表述的详略原则是，物理方面要详，数学方面要略。

书写方面，字迹要清楚，能单独辨认。

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！12021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B = （）A.()1,2- B.(1,2]- C.[0,1)D.[0,1]【答案】B 【解析】【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：{}|12A B x x =-<≤ ，即(]1,2A B =- .故选：B.2.在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（）A.2i + B.2i- C.1i- D.1i+【答案】D 【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+.故选：D.3.已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，比如()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件，故选：A.4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A.332+ B.4C.3D.2【答案】A 【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥O ABC -，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，故其表面积为21333311242+⨯⨯⨯+=，故选：A.5.双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A.2213y x -= B.2213x y -= C.22313x -= D.22313y -=【答案】A 【解析】【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a == ，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x ya a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：A.6.{}n a 和{}n b 是两个等差数列，其中()15k kak b ≤≤为常值，1288a=，596=a ，1192b =，则3b =（）A.64B.128C.256D.512【答案】B 【解析】【分析】由已知条件求出5b 的值，利用等差中项的性质可求得3b 的值.【详解】由已知条件可得5115a ab b =，则51519619264288a b b a ⨯===，因此，1531926412822b b b ++===.故选：B.7.函数()cos cos 2f x x x =-，试判断函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为98 D.偶函数，最大值为98【答案】D 【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98.故选：D.8.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度．其中小雨（10mm <），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨【答案】B【解析】【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详解】由题意，一个半径为()200100mm 2=的圆面内的降雨充满一个底面半径为()20015050mm 2300⨯=，高为()150mm 的圆锥，所以积水厚度()22150150312.5mm 100d ππ⨯⨯==⨯，属于中雨.故选：B.9.已知圆22:4C x y +=，直线:l y kx m =+，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =（）A.2±B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =，则弦长为则当0k =时，弦长取得最小值为2=，解得m =.故选：C.10.数列{}n a 是递增的整数数列，且13a ≥，12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】C 【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.【详解】若要使n 尽可能的大，则1a ，递增幅度要尽可能小，不妨设数列{}n a 是首项为3，公差为1的等差数列，其前n 项和为n S ，则2n a n =+，1131311881002S +=⨯=<，12314121021002S +=⨯=>，所以n 的最大值为11.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分．11.341()x x-展开式中常数项为__________．【答案】4-【解析】【详解】试题分析：431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项()()431241441C 1C ,rrr rr rr T xx x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令3r =得常数项为()33441C 4T =-=-.考点：二项式定理.12.已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且6FM =，则M 的横坐标是_______；作MN x ⊥轴于N ，则FMN S = _______．【答案】①.5②.【解析】【分析】根据焦半径公式可求M 的横坐标，求出纵坐标后可求FMN S .【详解】因为抛物线的方程为24y x =，故2p =且()1,0F .因为6MF =，62M px +=，解得5M x =，故M y =±，所以()1512FMN S =⨯-⨯ ，故答案为：5，13.(2,1)a = ，(2,1)b =-，(0,1)c = ，则()a b c +⋅= _______；a b ⋅=_______．【答案】①.0②.3【解析】【分析】根据坐标求出a b +，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=，()4,0a b ∴+= ，()40010a b c +⋅=⨯+∴⨯=，()22113a b ∴⋅=⨯+⨯-=.故答案为：0；3.14.若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【解析】【分析】根据,P Q 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解.【详解】 (cos ,sin )P θθ与cos ,sin 66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈，当0k =时，可取θ的一个值为512π.故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.15.已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，则()f x 有两个零点；②0k ∃<，使得()f x 有一个零点；③0k ∃<，使得()f x 有三个零点；④0k ∃>，使得()f x 有三个零点．以上正确结论得序号是_______．【答案】①②④【解析】【分析】由()0f x =可得出lg 2x kx =+，考查直线2y kx =+与曲线()lg g x x =的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当0k =时，由()lg 20f x x =-=，可得1100x =或100x =，①正确；对于②，考查直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<相切于点(),lg P t t -，对函数lg y x =-求导得1ln10y x '=-，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得100100lg e t k e e ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以，存在100lg 0k e e=-<，使得()f x 只有一个零点，②正确；对于③，当直线2y kx =+过点()1,0时，20k +=，解得2k =-，所以，当100lg 2e k e-<<-时，直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点，若函数()f x 有三个零点，则直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点，直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>有一个交点，所以，100lg 220e k e k ⎧-<<-⎪⎨⎪+>⎩，此不等式无解，因此，不存在0k <，使得函数()f x 有三个零点，③错误；对于④，考查直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>相切于点(),lg P t t ，对函数lg y x =求导得1ln10y x '=，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得100lg 100t ee k e =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以，当lg 0100ek e<<时，函数()f x 有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c =；②周长为4+；③面积为ABC S ∆=；【答案】（1）6π；（2）答案不唯一，具体见解析．【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1）2cos c b B = ，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =，23sin 2sin 32B π∴==，23C π= ，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin 21sin 2c Cb B===，与c =矛盾，故这样的ABC 不存在；若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2sin6a b R R π===，22sin 3c R π==，则周长24a b c R ++=+=+解得2R =，则2,a c ==，由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：=；若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211333sin 2224ABC Sab C a ==⨯= ，解得a=则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：2.17.已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为11A D 中点，直线11B C 交平面CDE 于点F ．（1）证明：点F 为11B C 的中点；（2）若点M 为棱11A B 上一点，且二面角M CF E --的余弦值为53，求111A M A B 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）11112A M A B =．【解析】【分析】(1)首先将平面CDE 进行扩展，然后结合所得的平面与直线11B C 的交点即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数λ的值.【详解】(1)如图所示，取11B C 的中点'F ，连结,','DE EF F C ，由于1111ABCD A B C D -为正方体，,'E F 为中点，故'EF CD ，从而,',,E F C D 四点共面，即平面CDE 即平面'CDEF ，据此可得：直线11B C 交平面CDE 于点'F ，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F 与点'F 重合，即点F 为11B C 中点.(2)以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方形，建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设正方体的棱长为2，设()11101A M A B λλ=≤≤，则：()()()()2,2,2,0,2,0,1,2,2,1,0,2M C F E λ，从而：()()()2,22,2,1,0,2,0,2,0MC CF FE λ=---==- ，设平面MCF 的法向量为：()111,,m x y z = ，则：()111112222020m MC x y z m CF x z λ⎧⋅=-+--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令11z =-可得：12,,11m λ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，设平面CFE 的法向量为：()222,,n x y z = ，则：2222020n FE y n CF x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令11z =-可得：()2,0,1n =- ，从而：5,m n m n ⋅===则：,5cos 3m n m n m n ⋅==⨯ ，整理可得：()2114λ-=，故12λ=（32λ=舍去）.【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E (X )；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的期望为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①20次；②分布列见解析；期望为32011；（2）见解析．【解析】【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X 的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出()E Y ，分类即可得解.【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X 可以取20，30，()12011P X ==，()1103011111P X ==-=，则X 的分布列:X2030P 1111011所以()1103202030111111E X =⨯+⨯=；（2）由题意，Y 可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p ，()25P Y p ==，()301P Y p ==-，则()()25301305E Y p p p =+-=-，若211p =时，()()E X E Y =；若211p >时，()()E X E Y >；若211p <时，()()E X E Y <.19.已知函数()232x f x x a -=+．（1）若0a =，求()y f x =在()()1,1f 处切线方程；（2）若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值．【答案】（1）450x y +-=；（2）函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-，最大值为1，最小值为14-.【解析】【分析】（1）求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由()10f '-=可求得实数a 的值，然后利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】（1）当0a =时，()232x f x x -=，则()()323x f x x-'=，()11f ∴=，()14f '=-，此时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()141y x -=--，即450x y +-=；（2）因为()232x f x x a-=+，则()()()()()()222222223223x a x x x x a f x x a x a -+----'==++，由题意可得()()()224101a f a -'-==+，解得4a =，故()2324x f x x -=+，()()()()222144x x f x x +-'=+，列表如下：x(),1-∞-1-()1,4-4()4,+∞()f x '+0-0+()f x 增极大值减极小值增所以，函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-.当32x <时，()0f x >；当32x >时，()0f x <.所以，()()max 11f x f =-=，()()min 144f x f ==-.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．【答案】（1）22154x y +=；（2）[3,1)(1,3]--⋃．【解析】【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b ，从而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，求出直线,AB AC 的方程后可得,M N 的横坐标，从而可得PM PN +，联立直线BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN +，从而可求k 的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =，因为四个顶点围成的四边形的面积为1222a b ⨯⨯=，即a =，故椭圆的标准方程为：22154x y +=.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠，故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N x x y =-+.直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=，故()22900100450k k∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >，所以0M N x x >又1212=22M N x x PM PN x x y y +=++++()()2212121222212121222503024545=5253011114545k k kx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k--++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤，综上，31k -≤<-或13k <≤.21.定义p R 数列{}n a ：对实数p ，满足：①10a p +≥，20a p +=；②414,n n n N a a *-∀∈<；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，,m n N *∈．（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是2R 数列吗？说明理由；（2）若{}n a 是0R 数列，求5a 的值；（3）是否存在p ，使得存在p R 数列{}n a ，对10,n n N S S *∀∈≥？若存在，求出所有这样的p ；若不存在，说明理由．【答案】（1）不可以是2R 数列；理由见解析；（2）51a =；（3）存在；2p =．【解析】【分析】(1)由题意考查3a 的值即可说明数列不是2R 数列；(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定5a 的值；(3)构造数列n n b a p =+，易知数列{}n b 是0R 的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数p 的值.【详解】(1)由性质③结合题意可知{}3121202,21{2,3}a a a a a =∈+++++=，矛盾，故前4项2,2,0,1-的数列，不可能是2R 数列.(2)性质①120,0a a ≥=，由性质③{}2,1m m m a a a +∈+，因此31a a =或311a a =+，40a =或41a =，若40a =，由性质②可知34a a <，即10a <或110a +<，矛盾；若4311,1a a a ==+，由34a a <有111a +<，矛盾.因此只能是4311,a a a ==.又因为413a a a =+或4131a a a =++，所以112a =或10a =.若112a =，则{}{}{}2111111110,012,211,2a a a a a a a a +=∈+++++=+=，不满足20a =，舍去.当10a =，则{}n a 前四项为:0，0，0，1，下面用纳法证明()444(1,2,3),1n i n a n i a n n N ++===+∈：当0n =时，经验证命题成立，假设当(0)n k k ≤≥时命题成立，当1n k =+时：若1i =，则()()4541145k k j k j a a a +++++-==，利用性质③：{}*45,144{,1}j k j a a j N j k k k +-+∈≤≤+=+∣，此时可得：451k a k +=+；否则，若45k a k +=，取0k =可得：50a =，而由性质②可得：{}5141,2a a a =+∈，与50a =矛盾.同理可得：{}*46,145{,1}j k j aa j N j k k k +-+∈≤≤+=+∣，有461k a k +=+；{}*48,246{1,2}j k j aa j N j k k k +-+∈≤≤+=++∣，有482k a k +=+；{}*47,146{1}j k j a a j N j k k +-+∈≤≤+=+∣，又因为4748k k a a ++<，有47 1.k a k +=+即当1n k =+时命题成立，证毕.综上可得：10a =，54111a a ⨯+==.(3)令n n b a p =+，由性质③可知：*,,m n m n m n N b a p ++∀∈=+∈{},1m n m n a p a p a p a p +++++++{},1m n m n b b b b =+++，由于11224141440,0,n n n n b a p b a p b a p a p b --=+≥=+==+<+=，因此数列{}n b 为0R 数列.由（2）可知:若444,(1,2,3),1n i n n N a n p i a n p ++∀∈=-==+-；11111402320a S S a p ⨯+-==-≥=，91010422(2)0S S a a p ⨯+-=-=-=--≥，因此2p =，此时1210,,,0a a a ⋯≤，()011j a j ≥≥，满足题意.【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。

北京市人大附中2024年高考信息卷（三）文科数学试题一、选择题:在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合,则( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式得集合A，再求并集的结果.【详解】因为，所以，选D.【点睛】本题考查一元二次不等式解集以及并集定义，考查基本分析求解实力，属基础题.2.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据奇偶性与单调性逐一推断选择.【详解】是奇函数在区间上单调递减；是偶函数在区间上单调递增；是偶函数在区间上单调递增；是偶函数又在区间上单调递减；综上选D.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性，考查基本分析推断实力，属基础题.3.设,为非零向量,则“”是“与方向相同”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】依据向量关系概念进行推断选择.【详解】因为,为非零向量,所以时与方向相同或相反，因此“”是“与方向相同”的必要而不充分条件，选B.【点睛】本题考查充要关系推断，考查基本分析推断实力，属基础题.4.在三角形ABC中,为中点,为中点,设,,若,则的值是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据条件将用,表示，再依据平面对量基本定理得值，即得结果.【详解】因为,所以，，选B.【点睛】本题考查平面对量基本定理，考查基本分析求解实力，属基础题.5.在平面直角坐标系中，不等式组表示平面区域的面积是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】先作可行域，再依据三角形面积公式求结果.【详解】作可行域，为如图所示等腰直角三角形OAB，所以其面积为，选C.【点睛】本题考查可行域，考查基本分析求解实力，属基础题.6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，该三棱锥底面是等腰三角形，底边长为4，底边上的高为4，三棱锥的高为2．7.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回来直线，若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是A. DB. EC. FD. A【答案】B【解析】分析：利用相关系数的定义性质分析得解.详解：因为相关系数的肯定值越大，越接近1，则说明两个变量的相关性越强.因为点E到直线的距离最远，所以去掉点E, 余下的个点所对应的数据的相关系数最大.点睛：本题主要考查回来直线和相关系数，相关系数的肯定值越大，越接近1，则说明两个变量的相关性越强.8.某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：记录时间累计里程（单位：公里）平均耗电量（单位：kW·h/公里）剩余续航里程（单位：公里）2019年1月1日4000 0.125 280 2019年1月2日4100 0126 146（注：累计里程指汽车从出厂起先累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂起先累计消耗的电量，，）下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是( )A. 等于12.5B. 12.5到12.6之间C. 等于12.6D. 大于12.6【答案】D【解析】【分析】依据题中定义计算行驶100公里的耗电量，即得结果.【详解】由题意得行驶100公里的耗电量为，所以选D. 【点睛】本题考查新定义，考查基本分析求解实力，属基础题.二、填空题.9.已知,且满意,则的最大值为_______【答案】【解析】分析：依据题意，由对数的运算性质可得，结合基本不等式的性质可得，进而结合对数的运算性质分析可得答案.详解：依据题意，，又，，且，则，则有，即得最大值为.故答案为：.点睛：基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，经常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．10.圆的圆心到直线的距离为_______【答案】【解析】【分析】依据点到直线距离公式求解.【详解】圆的圆心(2,1)到直线的距离为. 【点睛】本题考查点到直线距离公式，考查基本分析求解实力，属基础题.11.双曲线的焦距是_______;若圆与双曲线的渐近线相切,则_______【答案】 (1). 10 (2).【解析】【分析】依据双曲线标准方程求基本量，再依据直线与圆相切得圆心到渐近线距离等于半径得结果. 【详解】因为双曲线，所以焦距是10；因为渐近线方程为，即，因此圆心到渐近线距离为，因为圆与双曲线的渐近线相切,所以.【点睛】本题考查双曲线焦距、渐近线以及直线与圆相切，考查基本分析求解实力，属基础题.12.血药浓度（Serum Drug Concentration）是指药物汲取后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来探讨药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的改变状况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度其次次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值．（）①记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则中最大的是_______；②记为服用第种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则中最大的是_______【答案】 (1). (2).【解析】【分析】①依据平均的含义进行推断，②依据两次横坐标距离大小确定选择.【详解】①设,则，由于,,所以,,即最大；②依据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在其次次达到峰值一半时对应点，由图可知A3经验的时间最长，所以中最大的是【点睛】本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析推断实力，属基础题.13.已知集合，且下列三个关系：有且只有一个正确，则函数的值域是_______．【答案】【解析】分析：依据集合相等的条件，列出a、b、c全部的取值状况，再推断是否符合条件，求出a，b，c的值，结合的最值即可求出函数的值域．详解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下状况：当a=2时，b=3、c=4时，a≠3，b=3，c≠4都正确，不满意条件．当a=2时，b=4、c=3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满意题意；当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满意题意；当a=3时，b=4、c=2时，c≠4成立，此时满意题意；当a=4时，b=2，c=3时，a≠3，c≠4成立，此时不满意题意；当a=4时，b=3、c=2时，a≠3，b=3成立，此时不满意题意；综上得，a=3、b=4、c=2，则函数=，当x＞4时，f（x）=2x＞24=16，当x≤4时，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．点睛：本题主要考查函数的值域的计算，依据集合相等关系以及命题的真假条件求出a，b，c的值是解决本题的关键．三、解答题.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

史上最难高考题大全高考是众多学生人生中的一个重要节点，也是决定他们未来道路的一个关键考试。

而历年高考试题也因其难度屡屡引起各方的关注和热议。

下面就为大家盘点史上最难高考题大全，并提供相关参考内容。

1. 1999年北京市高考数学试题这道数学试题被评为高考历史上最难的试题之一。

试题要求考生在一个平行四边形中找出最大的圆和最小的正方形，同时还要求算出正方形的面积。

这道题难度极大，不仅考察了考生的数学知识，还要求考生有一定的几何思维能力。

参考内容：平行四边形中最大圆和最小正方形的面积可分别为(a+\sqrt{3} )^2 , \frac{(a+b)^2}{8}，正方形的面积可用底边边长为a的三角形的高h来计算，S=\frac{a^2}{2}h。

2. 2004年陕西高考语文试题这道试题被评为语文高考历史上最难的试题之一。

试题要求考生阅读一篇古文文章，并回答两个问题，其中一个问题要求考生对文章做出推测和猜测。

这种对阅读理解和推理能力的考察难度较高，因此被认为是有史以来最难的语文高考试题之一。

参考内容：这种试题需要考生花更多时间在文章的结构、情感、语言等方面进行深入剖析和理解。

在回答问题时，要准确理解问题的意义，注意对文章的分析和推理。

3. 2015年江苏高考数学试题这道数学试题被认为是近年来的数学高考难题之一。

试题要求考生在一个三角形中找出一个点，使其到三个角的余角的正弦值之和最小。

这种题目需要考生掌握求极值和函数极值的知识，同时也要求考生有一定的思维能力和数学逻辑推理能力。

参考内容：这种数学题目需要考生掌握极值的概念，使用导数或者就地求解的方法来解题。

同时也要注意数学逻辑推理，分类讨论等方法。

4. 2017年山东高考英语试题这道英语试题也被认为是近年来高考难题之一，试题要求考生在一个英语文章中识别并纠正文章中的语法错误。

这种题目需要考生在语法、词汇、逻辑思维等方面具有一定的能力和认知水平。

参考内容：这种英语试题需要考生在平时的学习过程中多进行语法练习，并对英语文章的结构、语言和逻辑进行深入理解和掌握。

一、北京高考考试概况2024年北京高考考试将于6月7日至11日举行，全市共设考点210个，考场1200个，预计参加考试的考生人数约为16万人。

本次高考考试由北京市教育委员会主办，旨在选拔优秀的高中毕业生进入本科教育阶段。

二、考试科目及时间安排本次考试包括语文、数学、外语、物理、化学、生物和政治7个科目的考试。

考试时间分为上午和下午两个时段，具体安排如下：1.第一天上午：语文2.第一天下午：数学3.第二天上午：外语4.第二天下午：物理5.第三天上午：化学6.第三天下午：生物7.第四天上午：政治三、考试安全和防范措施为确保考试的公平、公正和安全，考试期间将采取一系列的防范措施。

首先，考点周边将设置安全防护区，确保考点的安全环境。

其次，在考点的出入口设置安全检查处，对所有进出考点的人员进行身份核验和安全检查。

再次，考点内部将设立监控摄像头，对考场内的考生进行监督和录像，并建立考试违规举报渠道，鼓励考生和监考人员积极举报。

最后，教育考试机构将进行全程监考，确保考试的公正性。

四、考试规则和要求1.考试时间：每个科目的考试时间为120分钟，其中语文和数学科目设置文理分科，考生需按照自己所报考的科目进行答题。

2.考试形式：采用笔试形式，考生需携带2B铅笔、黑色签字笔和橡皮擦等考试用品，禁止携带任何与考试科目无关的物品进入考场。

3.答题方式：考生需按照试卷上的规定，正确填涂或书写答案。

试卷上出现涂改、修改或乱涂答案的情况将被认定为作弊行为。

4.考试违规：任何试图作弊、抄袭、传递答案或干扰考试秩序的行为，都将被认定为考试违规行为。

一经发现，将取消该科目成绩，并可能影响考生的总成绩。

五、成绩公布和查分方式六、高考后的志愿填报和录取考生可以根据自己的成绩和兴趣，自主选择填报志愿。

填报志愿的时间为成绩公布后的短暂时期，考生需要在规定时间内完成志愿的填报工作。

填报志愿后，将根据考生的成绩、志愿和招生计划进行录取工作。

录取结果将于7月下旬公布。

普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理工农医类）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．C 2．B 3．D 4．A 5．B 6．D 7．A 8．D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．i - 10．211n - 31112．(23)， 13．72514．12三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于21a a c -=， 322a a c -=，……1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=。

又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，． 当n=1时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+=，，16．（共14分）解法一：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角，又二面角B AO C --是直二面角，CO BO ∴⊥，又AO BO O =， CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ，∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==， 225CE CO OE ∴=+=又132DE AO ==∴在Rt CDE △中，515tan 3CE CDE DE ===． ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为15arctan3． （III ）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且2tan OC CDO OD OD==． 当OD 最小时，CDO ∠最大， 这时，OD AB ⊥，垂足为D ，3OA OBOD AB==，23tan CDO =， CD ∴与平面AOB 所成角的最大值为23arctan． 解法二：（I ）同解法一。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(北京卷)一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.(2021·北京市市辖区·历年真题)已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|0⩽x⩽2}，则A∪B=()A. [0,1)B. (−1,2]C. (1,2]D. (0,1)2.(2021·北京市市辖区·历年真题)在复平面内，复数z满足(1−i)z=2，则z=()A. 1B. iC. 1−iD. 1+i3.(2021·北京市市辖区·历年真题)已知f(x)是定义在[0,1]上的函数，则函数f(x)在[0,1]上单调递增，是函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.(2021·北京市市辖区·历年真题)某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为()A. 3+√32B. 2C. 2√3D. 1+3√325.(2021·北京市市辖区·历年真题)双曲线C：x2a2−y2b2=1过点(√2,√3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A. x2−y23=1 B. x23−y2=1 C. y23−x2=1 D. y2−x23=16.(2021·北京市市辖区·历年真题){a n}和{b n}是两个等差数列，其中a1b k(1⩽k⩽5)为常值，a1=288，a5=96，b1=192，则b3=()A. 32B. 48C. 64D. 1287.(2021·北京市市辖区·历年真题)函数f(x)=cosx−cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值()A. 奇函数，最大值为2B. 偶函数，最大值为2C. 奇函数，最大值为98D. 偶函数，最大值为988.(2021·北京市市辖区·历年真题)定义：将24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度；其中小雨(0mm−10mm)，中雨(10mm−25mm)，大雨(25mm−50mm)，暴雨(50mm−100mm)；小明用一个圆锥雉形容器接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级()A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨9.(2021·北京市市辖区·历年真题)已知圆C：x2+y2=4，直线l：y=kx+m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m=()A. ±2B. ±√2C. ±√3D. ±310.(2021·北京市市辖区·历年真题)数列{a n}是递增的整数数列，且a1≥3，a1+a2+⋯+a n=100，则n的最大值为()A. 9B. 10C. 11D. 12二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11.(2021·北京市市辖区·历年真题)(x3−1x)4的展开式中的常数项是．12.(2021·北京市市辖区·历年真题)已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|=6，则M的横坐标是，作MN⊥x轴于点N，则S△FMN=．13.(2021·北京市市辖区·历年真题)a⃗=(2,1)，b⃗ =(2,−1)，c⃗=(0,1)，则(a⃗+b⃗ )⋅c⃗=，a⃗⋅b⃗ =．14.(2021·北京市市辖区·历年真题)若点P(cosθ，sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ=．15.(2021·北京市市辖区·历年真题)已知f(x)=|lgx|−kx−2，给出下列四个结论：(1)若k=0，则f(x)有两个零点；(2)∃k<0，使得f(x)有一个零点；(3)∃k<0，使得f(x)有三个零点；(4)∃k>0，使得f(x)有三个零点；以上正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分） 16. (2021·北京市市辖区·历年真题)已知在中，c =2bcosB ，C =2π3．(Ⅰ)求B 的大小；(Ⅱ)在下列三个条件中选择一个作为已知，，使存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度． ①c =√2b ； ②周长为4+2 √3； ③面积为．17. (2021·北京市市辖区·历年真题)已知正方体A B C D −A 1B 1C 1D 1，点E 为A 1D 1中点，直线B 1C 1交平面CDE 于点F ．(Ⅰ)证明：点F 为B 1C 1的中点；(Ⅱ)若点M 为棱A 1B 1上一点，且二面角M −CF −E 的余弦值为√53，求A 1MA1B 1的值．18.(2021·北京市市辖区·历年真题)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采用k合1检测法，即将k个人的拭子样本合并检测；若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测；现有100人，已知其中2人感染病毒．(Ⅰ) ①若采用10合1检测法，且两名患者在同一组，求总检测次数； ②已知10人分一组，两名感染患者在同一组的概率为111，求检测次数X的分布列和数学期望E(X).(Ⅱ)若采用5合1检测法，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．19.(2021·北京市市辖区·历年真题)已知函数f(x)=3−2xx2+a．(Ⅰ)若a=0，求y=f(x)在(1，f(1))处切线方程；(Ⅱ)若函数f(x)在x=−1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值．20.(2021·北京市市辖区·历年真题)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过点A(0,−2)，以四个顶点围成的四边形面积为4 √5．(Ⅰ)求椭圆E的标准方程；(Ⅱ)过点P(0,−3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC 交y=−3于点M，N，直线AC交y=−3于点N，若|PM|+|PN|⩽15，求k的取值范围．21.(2021·北京市市辖区·历年真题)定义R p数列a n，对实数p满足：(1)a1+p≥0，a2+p=0；(2)∀n∈N∗，a4n−1<a4n；(3)a m+n∈{a m+a n+p，a m+a n+p+1}，m，n∈N∗．(Ⅰ)对于前4项2，−2，0，1的数列，可以是R2数列吗？说明理由；(Ⅱ)若{a n}是R0数列，求a5的值；(Ⅲ)是否存在p，使得存在R p数列a n，对∀n∈N∗，S n≥S10？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】B【知识点】并集及其运算、Venn 图表达集合的关系及运算【解析】【解析】由于求的是并集，所以AUB =( −1,2 ]，故选：B ．2.【答案】D【知识点】共轭复数、复数的四则运算、复数相等的充要条件 【解析】【解析】法一：z =21−i =2⋅(1+i)(1−i)⋅(1+i)； 法二：设z =a +bi ，则(a +b)+(b −a)i =2， 则有{a +b =2b −a =0，解得a =b =1，即z =1+i ； 故选：D ．3.【答案】A【知识点】函数的最值、特殊值法、必要条件、充分条件与充要条件的判断、函数的单调性与单调区间【解析】【解析】由于函数f(x)在[0,1]上单调递增，则函数f(x)在[0,1]上的最大值在区间的右端点x =1处取得，即f(1)， 若f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)，不一定成立，比如，开口向下且对称轴为x =14的二次函数，此时函数最大值为f(1)， 故选：A ．4.【答案】A【知识点】数形结合思想、几何体的侧面积、表面积、体积问题、空间几何体的三视图 【解析】【解析】如图所示，以1为棱长画正方体，由三视图可知，该三棱锥有三条棱有共同的顶点，且两两互相垂直， 取正方体的4个顶点作为三棱锥的顶点，依次连接，三棱锥的表面积=3个直角三角形的面积+1个等边三角形的面积，故选：A ．5.【答案】A【知识点】双曲线的概念及标准方程、消元法、双曲线的性质及几何意义 【解析】【解析】双曲线离心率e =ca =2，故c =2 a ，b =√3 a ， 将点(√2,√3)代入双曲线方程可得，2a 2−33 a 2=1a 2=1， 故a =1，b =√3，双曲线的方程为x 2−y 23=1，故选：A ．6.【答案】D【知识点】等差数列的通项公式、等差数列的应用、等差数列的性质【解析】【解析】由题意可得，a1b 1=a 5b s ，其中a 1=288，a 5=96，b 1=192，则b 5=64，因为{b n }是等差数列，所以b 3是b 1与b 5的等差中项， 故b 3=b 1+b 52=192+642=128，故选：D ．7.【答案】D【知识点】函数的奇偶性、函数的最值、三角函数的图象和性质、三角恒等变换 【解析】【解析】函数f(x)=cosx −cos2x ，定义域为R ， ∵f(−x)=cos(−x)−cos(−2x)=cosx −cos2x ， ∴f(−x)=f(x)，即函数f(x)是偶函数； 当x ∈R 时，−1⩽cosx ⩽1，令t =cosx ，f(x)=cosx −(2 cos 2x −1)=− 2 cos 2x +cosx +1， 故f(t)=− 2 t 2+t +1=−2(t −14)2+98， 当t =14时，的函数f(t)最大值为98； 故选：D ．8.【答案】B【知识点】几何体的侧面积、表面积、体积问题、化归与转化思想 【解析】【解析】圆锥的体积公式按相似，小圆锥的底面半径2002=50mm ，故小圆锥的体积V =13×π×502×150=503⋅πmm 3， 积水厚度ℎ=VS 大圆=503⋅ππ⋅1002=12.5mm ，所以属于中雨，故选：B ．9.【答案】C【知识点】数形结合思想、直线、圆的位置关系、圆有关的最值问题【解析】【解析】数形结合，m 为直线在y 轴上的截距，m =±√22−12=±√3，故选：C ．10.【答案】C【知识点】分析法与综合法、数列的综合应用、等差数列的求和 【解析】【解析】最有利情况分析要使首项及相邻两项差值最小，前n 项和S n 最小， 考虑通项a n =n +2的数列为满足条件的最优情况，则n的最大值满足S n=n2+5n2≤100，且S n+1=n2+7n+62>100，代入验证可得n=11，故选：C．11.【答案】−4．【知识点】组合与组合数公式、二项展开式的特定项与特定项的系数【解析】【分析】由三边成等差数列得2b=a+c，两边平方待用，由三角形面积用正弦定理得到ac=6，用余弦定理写出b2的表示式，代入前面得到的两个等式，题目变化为关于b2方程，解出变量开方即得．【解析】∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c，∴4b2=a2+c2+2ac，①∵，∴ac=6②∵b2=a2+c2−2accosB③由①②③得，∴，故答案为．【解析】二项式定理通项通项T r+1=C4r(x3)4−r(−1x)r=(−1)r C4r x2−4r，令12−4r=0，得r=3，故常数项为T4=(−1)3C43=−4，故答案为：−4．12.【答案】5；4√5．【知识点】数形结合思想、抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系、几何法【解析】【分析】本题考查诱导公式及和差角公式，先利用诱导公式将角统一为5π12与7π12，即可逆用和角的正弦公式，即可求解．【解答】解：原式=cos7π12sin5π12+(−sin7π12)(−cos5π12)=sin5π12cos7π12+cos5π12sin7π12=sin(5π12+7π12)=sinπ=0，故答案为0．【解析】利用抛物线的定义由题意|FM|=x M+1=6⇒x M=5，则M(5,±2√5)，此时N(5,0)，则S△FMN=12×4×2√5=4√5，故答案为：5；4√5．13.【答案】0；3．【知识点】向量坐标法、平面向量的坐标运算、数形结合思想、平面向量的基本定理及其应用【解析】【分析】由三边成等差数列得2b=a+c，两边平方待用，由三角形面积用正弦定理得到ac=6，用余弦定理写出b2的表示式，代入前面得到的两个等式，题目变化为关于b2方程，解出变量开方即得．【解析】∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c，∴4b2=a2+c2+2ac，①∵，∴ac=6②∵b2=a2+c2−2accosB③由①②③得，∴，故答案为．【解析】由于a⃗=(2,1)，b⃗ =(2,−1)，c⃗=(0,1)，故(a⃗+b⃗ )⋅c⃗=(4,0)⋅(0,1)=0，a⃗⋅b⃗ =(2,1)⋅(2,−1)=4−1=3，故答案为：0；3．14.【答案】5π．12【知识点】定义法、任意角的三角函数、函数y=A sin(ωx+φ)的图象与性质【解析】【分析】本题考查诱导公式及和差角公式，先利用诱导公式将角统一为5π12与7π12，即可逆用和角的正弦公式，即可求解．【解答】解：原式=cos7π12sin5π12+(−sin7π12)(−cos5π12)=sin5π12cos7π12+cos5π12sin7π12=sin(5π12+7π12)=sinπ=0，故答案为0．【解析】由题意可知，点P，Q都在单位圆上，要使两点关于y轴对称，则只需sinθ=sin(θ+π6)，则θ+θ+π6=π+2kπ，解得θ=5π12+kπ(k∈z)，故答案为：5π12．15.【答案】(1)(2)(4)．【知识点】函数的零点与方程根的关系、函数与方程思想、函数零点存在定理、图像法【解析】【分析】本题考查诱导公式及和差角公式，先利用诱导公式将角统一为5π12与7π12，即可逆用和角的正弦公式，即可求解．【解答】解：原式=cos7π12sin5π12+(−sin7π12)(−cos5π12)=sin5π12cos7π12+cos5π12sin7π12=sin(5π12+7π12)=sinπ=0，故答案为0．【解析】令f(x)=|lgx|−kx−2=0，可转化成两个函数y1=|lgx|与y2=kx+2的交点问题，对于(1)，当k=0时，|lgx|=2，两个交点，(1)正确；对于(2)，存在k<0，y1=|lgx|与y2=kx+2相切，(2)正确；对于(3)，若k<0，y1=|lgx|与y2=kx+2最多有2个交点，(3)错误；对于(4)，当k>0时，过点(0,2)存在函数g(x)=lgx(x>1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确；故答案为：(1)(2)(4)．16.【答案】(Ⅰ)B=π6；(Ⅱ)若选，AD=√7；若选 ③，AD=√212．【知识点】正余弦定理在解三角形计算中的综合应用、三角形面积公式、分类讨论思想【解析】本题主要考查分析法以及反证法证明等式与不等式的命题，考查基本方法分应用，注意命题的否定形式，是高考中常见的题型，属于中档题，只要学生认真审题，都能得分．【解析】(Ⅰ)由正弦定理bsinB =csinC，可得sinC=2sinBcosB=sin2B，所以C=2B(舍去)或C+2B=π，故B=A=π6；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，c=√3b，故不能选 ①；若选，设BC=AC=2x，则AB=2√3x，故周长为(4+2√3)x=4+2√3，解得x=1，即BC=AC=2，AB=2√3，设BC中点为D，则在中，由余弦定理，cosB=AB2+BD2−AD22×AB×BD =1+12−AD24√3=√32，解得AD=√7；若选 ③，设BC=AC=2x，则AB=2√3x，故S ABC=12×2x×2x×sin120∘=√3x2=3√34，解得x=√32，即BC=AC=√3，AB=3，设BC中点为D，则在中，由余弦定理，cosB=AB2+BD2−AD22×AB×BD =9+(√32)2−AD′3√3=√32，解得AD=√212；综上：若选，AD=√7；若选 ③，AD=√212．17.【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)A1MA1B1=12．【知识点】立体几何中的向量方法、平面的法向量、线面平行的判定、二面角【解析】本题考查了分式不等式的求解，分类讨论，由题意对不等式进行化简，分类讨论当a=0时，a≠0时，不等式的解集．【解析】(Ⅰ)证明：因为A B C D−A1B1C1D1为正方体，所以A1D1//B1C1，CD//C1D1，又因为CD⊂平面A1B1C1D1，C1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CD//平面A1B1C1D1，因为平面CDEF∩平面A1B1C1D1=EF，且CD⊂平面CDEF，所以CD//EF，故C1D1//EF，所以四边形EFC1D1为矩形，又点E为A1D1中点，故C1 F=D1 E=12A1D1=12C1B1，故点F为B1C1的中点；(Ⅱ)因为A B C D−A1B1C1D1为正方体，故DA，CD，DD1两两垂直，以D为坐标原点，分别以DA，CD，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，令正方体A B C D −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，设A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，则C(0,2，0)，E 1，0，2)，F(1,2，2)，M(2,2λ,2)，CE =(1,−2,2)，CF =(1,0，2)，CM =(2,2λ−2,2)，设平面CEF 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1， y 1， z 1)， 则{CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{x 1−2y 1+2z 1=0x 1+2z 1=0，故y 1=0，令z 1=−1，x 1=2，可取n 1⃗⃗⃗⃗ =( 2,0，−1)， 设平面CMF 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2， y 2， z 2)， 则{CM ⋅n ⃗ =0CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{2x 2+(2λ−2)y 2+2z 2=0x 2+2z 2=0, 令z 2=−1，则x 2=2，y 2=11−λ，可取n 2⃗⃗⃗⃗ =(2， 11−λ，−1)，设二面角M −CF −E 为θ，且θ为锐角， 故，解得λ=12∈[0,1]，故A 1MA 1B 1=12．18.【答案】(Ⅰ) ①共检测20次； ②E(X)=32011，X 的分布列为：X 20 30 p1111011(Ⅱ)E(X)<E(Y).【知识点】离散型随机变量及其分布、应用概率解决实际问题、化归与转化思想 【解析】(1)利用等差数列的通项公式列出关于首项和公差的方程组解出首项和公差，进而可得到其通项公式；(2)先利用条件求出等比数列{b n }的首项和公比，然后利用求和公式即可解决；【解析】(Ⅰ) ①共两轮检测，第一轮分10组检测10次，第二轮对患者组检测10次，共检测20次； ②由上述可知，若在同一组需要检测20次，不在同一组需要检测30次，即X可能取值为20，30，则P(X=20)=111，P(X=30)=1011；所以X的分布列为：则E(X)=20×111+30×1011=32011．(Ⅱ)E(X)<E(Y).19.【答案】(Ⅰ)y=4x+5；(Ⅱ)递增区间为(−∞,−1)和(4,+∞)，递减区间为(−1，4)；最大值为1，最小值为−14．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的极值、利用导数研究函数的单调性【解析】(1)利用等差数列的通项公式列出关于首项和公差的方程组解出首项和公差，进而可得到其通项公式；(2)先利用条件求出等比数列{b n}的首项和公比，然后利用求和公式即可解决；【解析】(Ⅰ)由a=0，可得f(x)=3−2xx2，故f(1)=3−21=1，f ′ (x)=−2x2−2x(3−2x)x4=−2x−6+4xx3=2x−6x3，从而k=f ′ (1)=2−61=−4，所以y=f(x)在(1，f(1))处切线方程为y−1=−4(x−1)，即y=4x+5；(Ⅱ)f ′ (x)=−2(x2+a)−2x(3−2x)(x2+a)2=2x2−6x−2a(x2+a)2，由f ′ (1)= 0，可得2+6−2a(1+a)2= 0，解得a =4，经检验符合题意，所以f(x)=3−2xx 2+4， 求导f ′ (x)=2x 2−6x−8(x 2+4)2=2(x−4)(x+1)(x 2+4)2，令f ′ (x)=0，则x = 4或x = −1， 令f ′ (x)>0，则x > 4或x < −1， 令f ′ (x)<0，则−1<x <4，所以函数f(x)的递增区间为(−∞,−1)和(4,+∞)，递减区间为(−1， 4)， 故函数f(x)在x = −1处取得极大值，即极大值为f(−1)=1， 函数f(x)在x = 4处取得极小值，即极小值为f(4)=−14， 又因为当x <32时，f(x)>0，当x >32时，f(x)<0，由此得知，函数f(x)的最大值为f(−1)=1，最小值为f(4)=−14．20.【答案】(Ⅰ)x 25+y 24=1；(Ⅱ) [−3,−1) U (1,3]．【知识点】圆锥曲线中的范围与最值问题、圆锥曲线中的面积问题、圆锥曲线中的综合问题、消元法【解析】本题考查了分式不等式的求解，分类讨论，由题意对不等式进行化简，分类讨论当a =0时，a ≠0时，不等式的解集．【解析】(Ⅰ)以四个顶点围成的四边形面积为4 √5，故12×2 a ×2 b =2 a b =4 √5， 联立{b =22ab =4√5a 2=b 2+c 2，解得{a =√5b =2c =1，故椭圆E 的标准方程为x 25+y 24=1；(Ⅱ)由题意可知，直线l 的斜率存在，且直线l 的方程为y =kx − 3， 设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，联立{y =kx −34x 2+5y 2=20, 消去y 理可得，(5 k 2+4)x 2−30k x +25=0，由Δ=(−30k)2−4×(5k 2+4)×25=400(k 2−1)>0，解得k >1或k <−1， x 1+x 2=−−30k 5k 2+4=30k 5k 2+4，x 1x 2=255k 2+4 ① y 1+y 2=k(x 1+x 2)−6=−245k 2+4，y 1y 2=(kx 1−3)(kx 2−3)=k 2x 1x 2−3 k(x 1+x 2)+9=36−20k 25k 2+4②直线AB 的方程为y +2=y 1+2x 1x ，令y =−3，则x =−x 1y1+2，故M(−x1y 1+2,−3)， 直线AC 的方程为y +2=y 2+2x 2x ，令y =−3，则x =−x 3y 2+2，故N(−x 2y2+2,−3)，|PM|+|PN|=|x 1|y 1+2|+|x 2y 2+2|=|x 1(y 2+2)+x 2(y 1+2)(y 1+2)(y 2+2)|，代入y 1=kx 1−3，y 2=kx 2−3，则|PM|+|PN|=|x 1(kx 2−1)+x 2(kx 1−1)y 1⋅y 2+2(y 1+y 2)+4|=|2kx 1x 2−(x 1+x 2)y 1⋅y 2+2(y 1+y 2)+4|代入①式和②式化简得，|PM|+|PN|=5|k|，由于 |PM|+|PN|⩽15，所以5|k|≤15，即−3⩽k ⩽3． 综上：k 的取值范围为[−3,−1) U (1,3]．21.【答案】(Ⅰ)以是R 2数列；(Ⅱ)a 5=1；(Ⅲ)存在p =2．【知识点】类比思想、数学归纳法、分析法与综合法、数列的综合应用【解析】本题考查了分式不等式的求解，分类讨论，由题意对不等式进行化简，分类讨论当a =0时，a ≠0时，不等式的解集． 【解析】(Ⅰ)不可以是R 2数列，当m =n =1时，a 2∉a 1+a 1+2，a 1+a 1+3，故不可以是R 2数列；(Ⅱ)若{a n }是R 0数列，则a 2+0=0，即a 2=0， 令m =n =1，a 2∈{2a 1， 2a 1+1}， 故a 1=0或a 1=−12(舍去)，则a 1=0， 令m =1，n =2，得到a 3∈{0,1}， 令m =n =2，得到a 4∈{0,1}， 又a 3<a 4，所以a 3=0，a 4=1，令m =2，n =3，a 5∈{0,1}，令m =1，n =4，a 5∈{1,2}，故a 5=1； (Ⅲ)存在p =2，使得存在R p 数列a n ，由题意a 2=−p ，则a 2∈{2a 1+p ， 2a 1+p +1}， 又a 1+p ≥a 2+p ，故a 1≥a 2，可得a 1=−p ， a 3∈{−p,−p +1}，a 3∈{−p,−p +1}，且a 4>a 3， 故a 3=−p ，a 4=−p +1，a 5∈{−p +1,−p +2}，a 5∈{−p,−p +1}，故a 5=−p +1， a 6∈{−p +1,−p +2}，a 6∈{−p,−p +1}，故a 6=−p +1， a 7∈{−p +1,−p +2}，a 8∈{−p +1,−p +2}， 又a 8>a 7，故a 7=−p +1，a 8=−p +2，a 9∈{−p +2,−p +3}，a 9∈{−p +1,−p +2}，故a 9=−p +2， a 10∈{−p +2,−p +3}，a 10∈{−p +1,−p +2}，故a 10=−p +2， a 11∈−p +2，−p +3}，a 12∈{−p +2,−p +3}， 又a 12>a 11，故a 11=−p +2，a 12=−p +3，故a 1=a 2=a 3=−p ，a 4=a 5=a 6=a 7=−p +1，a 8=a 9=a 10=a 11=−p +2，a 12=−p +3，假设a n =−p +k (4k ≤n ≤4k +3,k ∈N,n ∈N ∗)，再用数学归纳法即可证出． 联立{−p +2⩽0−p +2⩾0，解得p =2．。

数学（北京卷）第1页（共6页）2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合M ={x |－3＜x ＜1}，N ={x |－1≤x ＜4}，则M N（A ）{x |－1≤x ＜1}（B ）{x |x ＞－3}（C ）{x |－3＜x ＜4}（D ）{x |x ＜4}（2）已知z i=－1－i ，则z ＝（A ）－1－i （B ）－1＋i （C ）1－i（D ）1＋i（3）圆22260x y x y 的圆心到20x y 的距离为（A（B ）2（C ）3（D）（4）在 4x 的展开式中，3x 的系数为（A ）6（B ）－6（C ）12（D ）－12（5）设a ，b 是向量，则“(a +b )·(a －b )=0”是“a =－b 或a =b ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件数学（北京卷）第2页（共6页）（6）设函数 sin 0f x x ，已知 11f x ， 21f x ，|x 1－x 2|的最小值为，则（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（7）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中S ，N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（A ）3N 2=2N 1（B ）2N 2=3N 1（C ）N 22=N 13（D ）N 23=N 12（8）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PA=PB=4，PC=PD=22，则棱锥的高为（A ）1（B ）2（C ）2（D ）3（9）已知 11,x y ， 22,x y 是函数2x y 图象上两个不同的点，则（A ）12122log 22y y x x （B ）12122log 22y y x x （C ）12212log 2y y x x （D ）12212log 2y y x x （10）若M = 2,|(),01,12x y y x t x x t x 是平面直角坐标系中的点集．设d 是M中两点间的距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（A ）3d ，1S （B ）3d ，1S （C ）10d ，1S （D ）10d ，1S数学（北京卷）第3页（共6页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市高考模拟考试数学试卷及答案解析班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．已知集合{|10}M x x =->，集合{|20}N x x =-≥，则（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．M N ⋂=∅D ．M N ⋃=R2．若a b >，c d >则下列不等式一定正确的是（ ） A ．ac bd >B ．a c b d ->-C ．a bd c> D ．ac bd ad bc +>+ 3．6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为（ ）A ．1516B ．316C ．152D ．1544．若圆()()22:122C x y ++-=被直线260ax by ++=平分，由点(),P a b 向圆C 作切线，切点为A ，则PA 的最小值是（ ）A ．4B ．C ．3D ．65．已知数列{}n a 为等比数列，则“{}n a 为常数列”是“123,,a a a 成等差数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知椭圆221259x y +=与双曲线22217x y a -=焦点重合，该双曲线的离心率为（ ） A ．43 B ．34C ．49D ．1697．正方体中，点P ，Q ，R ，S 是其所在棱的中点，则PQ 与RS 是异面直线的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()[]sin 2,,f x x x a b =∈，则“πb a -≥”是“f （x ）的最大值为1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知a 为单位向量，则“||||1a b b +-=”是“存在0λ>，使得b a λ=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a m =且对任意的*n ∈N 都有121++=+n n a a n ，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（ ）①存在实数m ，使得{}n a 为等差数列； ②存在实数m ，使得{}n a 为等比数列；③若存在*k ∈N ，使得155k k S S +==，则实数m 唯一. A ．② B ．①C ．①③D ．①②③二、填空题11．设m 为实数，复数1212i,3i z z m =+=+（这里i 为虚数单位），若12z z ⋅为纯虚数，则12z z +的值为______．12．若分段函数()321,023,0x x x x f x x ⎧++<=⎨-≥⎩，将函数()()[],,y f x f a x m n =-∈的最大值记作[],a Z m n ，那么当22m -≤≤时，[]2,2Z m m +的取值范围是___________.13．已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.14．)221ln13log 4812lg123100-⎛⎫-++= ⎪⎝⎭________．三、双空题四、解答题16．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面ABC 为等腰直角三角形，侧面11AA C C ⊥底面,ABC D 为AC 中点1AB BC AA ==(1)求证1BD A D ⊥；(2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角1A CC B --的余弦值. 条件①111AC B C ⊥；条件②：11AA B C = 17．已知函数()()2sin cos sin 1f x x x x =-+ (1)求函数()f x 的单调递减区间； (2)若π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.18．某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：并整理得到频率分布直方图如图所示．(1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)40,50内的人数； (3)估计随机抽取的100名学生分数的众数，估计测评成绩的75%分位数；(4)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．19．已知函数()ln(1)sin cos f x x x x =+++. (1)当[0,π]x ∈时，求证()0f x >； (2)若()1f x ax ≤+恒成立，求a 的值.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过3(2,0),1,2A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭两点，设过点(2,1)P -的直线椭圆交E 于M ，N 两点，过M 且平行于y 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =． (1)求椭圆E 的方程： (2)证明：直线HN 过定点．21．已知数表11121221222n n n a a a A a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭中的项(1,2;1,2,,)ij a i j n ==互不相同，且满足下列条件：①{}1,2,,2ij a n ∈；②()112(1)0(1,2,,)m m m a a m n +--<=.则称这样的数表2n A 具有性质P .(1)若数表22A 具有性质P ，且124a =，写出所有满足条件的数表22A ，并求出1112a a +的值；(2)对于具有性质P 的数表2n A ，当11121n a a a ++⋅⋅⋅+取最大值时，求证：存在正整数()1k k n ≤≤，使得12k a n =； (3)对于具有性质P 的数表2n A ，当n 为偶数时，求11121n a a a ++⋅⋅⋅+的最大值.参考答案与解析1．B2．D【分析】利用特殊值法可判断ABC 选项；利用作差法可判断D 选项.3．A【分析】利用二项式的通项公式即可得出．【详解】解：二项式的展开式的通项公式为123161()2r r r r T C x -+=⋅⋅ 令1230r -=，解得：4r =∴二项式的展开式中的常数项为446115()216C =. 故选：A ．【点睛】本题考查了二项式的通项公式的应用，属于基础题． 4．A【分析】根据圆()()22122x y ++-=被直线260ax by ++=平分，得到直线260ax by ++=过圆的圆心，代入圆心坐标的3a b -=，即可得到点P 的轨迹方程为3x y -=，然后根据相切得到PA AC ⊥，利用勾股定理得到PA =PC 的最小值即可.【详解】因为圆()()22122x y ++-=被直线260ax by ++=平分，所以直线260ax by ++=过圆的圆心 由圆的方程得圆心C1,2，代入直线得2260a b -++=，整理得3a b -=因为点(),P a b ，所以P 为直线3x y -=上一动点因为PA 与圆相切，所以PA AC ⊥，PA ==PA 最小时，PC 也最小min PC ===min 4PA ==. 故选：A. 5．C【分析】先考虑充分性，再考虑必要性即得解.【详解】解：如果{}n a 为常数列，则123,,a a a 成等差数列，所以“{}n a 为常数列”是“123,,a a a 成等差数列”的充分条件；123,,a a a 等差数列，所以22131112,2,1a a a a q a a q q =+∴=+∴=，所以数列为111,a a a ,所以数列是常数列，所以“{}n a 为常数列”是“123,,a a a 成等差数列”的必要条件. 所以“{}n a 为常数列”是“123,,a a a 成等差数列”的充要条件. 故选：C 6．A【分析】计算出焦点坐标，再由双曲线,,a b c 关系列式求解a ，从而得离心率. 【详解】椭圆221259x y +=的焦点坐标为()4,0±，焦半距为4 在双曲线中，c=4，所以2716a +=，解得3a = 所以双曲线的离心率为43c e a ==. 故选：A 7．C【分析】对于A ，B ，D ，利用两平行线确定一个平面可以证明直线PQ 与RS 共面，对于C ，利用异面直线的定义推理判断作答．【详解】对于A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接AC ，11A C 则11//AC A C ，如图8．A【分析】利用特殊值法判断充分性不成立，再利用正弦型函数的单调性可判断必要性成立，由此可得出结论.【详解】因为函数sin 2y x =为周期为π的函数又πb a -≥，所以函数()[]sin 2,,f x x x a b =∈的最大值为1 所以“πb a -≥”是“f （x ）的最大值为1”的充分条件； 由π02x ≤≤时，可得02πx ≤≤，则0sin 21x ≤≤ 当且仅当π4x =时等号成立所以()sin 2f x x =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，此时π0π2-<所以“πb a -≥”不是“f （x ）的最大值为1”的必要条件 所以“πb a -≥”是“f （x ）的最大值为1”的充分而不必要条件 故选：A. 9．B【分析】对于前者是否能推出后者，我们举出反例0b =即可，对于后者是否推前者，由后者可得,a b 共线且同方向，则||||||1a b b a b b a +-=+-==，即后者能推出前者，最后即可判断. 【详解】若0b =，则||||1a b b a +-==，但此时不存在0λ>，使得b a λ= 故不存在0λ>，使得b a λ=，故前者无法推出后者 若存在0λ>，使得b a λ=，则,a b 共线且同方向此时||||||1a b b a b b a +-=+-==，故后者可以推出前者故“||||1a b b +-=”是“存在0λ>,使得b a λ=的必要不充分条件” 故选：B. 10．B所以1212321n n n n a a n a a n ++++=+⎧⎨+=+⎩，则22n n a a +-=所以数列{}2n a 、{}21n a -为等差数列，且公差为2 由123a a +=，1a m =得，23a m =-所以1,211,2n m n n k a m n n k+-=-⎧=⎨-++=⎩()*k N ∈11．【分析】先根据12z z ⋅为纯虚数计算出m 的值，再计算12z z + ，最后计算12z z +的值 【详解】1212i,3i z z m =+=+ 23i z m ∴=-12(12i)(3i)3i 2i 6(6)(23)i z z m m m m m ⋅=+-=-++=++-∴ 12z z ⋅为纯虚数 606m m ∴+=⇒=-12(12i)(63i)55i z z ∴+=++-+=-+12z z ∴+故答案为：12．[3,12]【分析】求出(2)f ，作出函数()1y f x =-的图象，然后对m 分类，求[]2,2Z m m +的最大值即可.【详解】由题知，()321,023,0x x x x f x x ⎧++<=⎨-≥⎩，得(2)1f =对于最大值2Z 型，对应函数()()()32,0124,0x x x x y f x f a f x x ⎧+<⎪=-=-=⎨-≥⎪⎩，图象草图如下：当21m -≤<-，021m ≤+<时，3232(),1,1042,02x x x m x y x x x x m ⎧-+≤<-⎪=+-≤<⎨⎪-≤≤+⎩由图象知，0(,1)x ∃∈-∞-使200(1)3y x x =-+=，则0[2,)m x ∈-时函数最大值为2(1)(3,4]y m m =-+∈，而0(,1)m x ∈-时函数最大值为3y =所以，上述情况最大值范围为[3,4]；当10m -≤≤，122m ≤+≤时，32,042,02xx x m x y x m ⎧+≤<=⎨-≤≤+⎩ 由图象知，函数最大值恒为3；当02m <≤，224m <+≤时，42,224,22x x m x y x m ⎧-≤≤=⎨-<≤+⎩由图象知，存在2log 7x =时3y =，则2(0,log 72)m ∈-时函数最大值为3y =，而2(log 72,2]m ∈-时函数最大值为224[3,12]m y +=-∈所以，上述情况最大值范围为[3,12]； 综上，[]2,2Z m m +的取值范围是[]3,12 故答案为：[]3,12 13．32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ± 不妨设(,)2pP p因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧 又||6FQ = (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-= 0,3p p >∴=所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 14．34-【分析】结合指数幂、对数运算法则化简求值【详解】原式)222232333log 222323223132lg101221232344423-⨯-----⎛⎫=-++=--+=--⨯=- ⎪⎝⎭15．2π()5,10 【分析】①利用正弦定理求得sin B 的值， 结合角B 的取值范围可求得结果；②作出图形，结合图形可得出角B 有两个解时，a 满足的不等式，进而可求得a 的取值范围.【详解】①由正弦定理sin sin a b A B =可得110sin 2sin 15b A B a ⨯=== 0B π<< 2B π∴=；②在ABC 中，b=10，6A π=如下图所示：若使得角B 有两个解，则sin b A a b <<，即510a <<. 故答案为2π()5,10. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，同时也考查了利用三角形多解求边长的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 16．(1)证明见解析 (2)23【分析】（1）根据面面垂直的性质可得BD ⊥平面11AAC C ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）选①，取11A C 的中点E ，连接1,B E CE ，证明1AC A D ⊥，再以点D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.选②，取11A C 的中点E ，连接1,,B E CE DE ，利用勾股定理证明1AD A D ⊥，再以点D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）因为AB BC =，D 为AC 中点 所以BD AC ⊥又因为面11AA C C ⊥面ABC ，面11AAC C 面ABC AC =，BD ⊂面ABC所以BD ⊥平面11AAC C又1A D ⊂平面11AAC C ，所以1BD A D ⊥； （2）选①，取11A C 的中点E ，连接1,B E CE 则1A E DC ∕∕且1A E DC =所以四边形1A DCE 为平行四边形，所以1A D CE ∕∕ 因为1111A B B C =，E 为11A C 的中点所以111AC B E ⊥又11111111,,,AC B C B C B E B B C B E ⊥⋂=⊂平面1CB E 所以11A C ⊥平面1CB E又11AC A C ∕∕，所以AC ⊥平面1CB E 又CE ⊂平面1CB E ，所以AC CE ⊥ 因为1A D CE ∕∕，所以1AC A D ⊥如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系由1AB BC AA ==12,2AC A D == 则()()()()10,0,0,0,1,0,1,0,0,2,0,2D B C C -- 则()()11,1,0,1,0,2CB CC ==- 因为BD ⊥平面11AAC C所以()0,1,0DB =即为平面11AAC C 的一条法向量 设平面1BCC 的法向量为(),,n x y z = 则有1020n CB x y n CC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()2,2,1n =-则22cos ,133n DB n DB n DB⋅-===-⨯ 由图可知，二面角1A CC B --为锐二面角 所以二面角1A CC B --的余弦值为23.选②，取11A C 的中点E ，连接1,,B E CE DE 则1A E DC ∕∕且1A E DC =所以四边形1A DCE 为平行四边形，所以1A D CE ∕∕且1A D CE = 因为1C E DC ∕∕且1C E DC =所以四边形1A DCE 为平行四边形，所以1BD B E ∕∕且1BD B E = 又因为1BD A D ⊥，所以1CE B E ⊥又11AA BC =11BD B E == 所以2CE =，则12A D CE ==在1ADA △中，因为22211AD A D A A +=所以1AD A D ⊥如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系 下同选①的答案.17．(1)π5π,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)⎣【分析】（1）利用二倍角的正、余弦公式可得()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数单调性，列出不等式求解即可；（2）求出函数()f x 的相位范围，利用正弦函数单调性求出函数的最值即可求解.【详解】（1）()22sin cos 2sin 1f x x x x =-+πsin 2cos 224x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由ππ3π2π22π,Z 242k x k k +≤+≤+∈得：π5πππ,Z 88k x k k +≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递减区间是π5ππ,π(Z)88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则ππ11π2,4412x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦又函数sin y x =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π11π,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减且ππ11πsin 1,sin 4212===πsin 214x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭π24x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的值域为⎣. 18．(1)0.2 (2)25人(3)众数为75；测评成绩的75%分位数为78.75 (4)3:2【分析】（1）由对立事件结合频率分布直方图先得出数不小于60的频率，即可得出分数小于60的频率，则可得出总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计值；（2）先由频率分布直方图可得分数不小于50的频率，即可得出分数不小于50的人数，在集合题意即可得出总体中分数在区间[)40,50内的人数；（3）总数为频率分布直方图中频率最高的分数区间的中间值，测评成绩的75%分位数先得出从前到后的频率之和为0.75时在那个区间，在通过频率求出；（4）先由频率分布直方图可得分数不小于70的学生人数，在通过已知得出样本中的男女生比例，即可得出总体中男女生的比例估计.【详解】（1）由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：()0.020.040.02100.8++⨯= 则分数小于60的频率为：10.80.2-=故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.2；（2）由频率分布直方图可得分数不小于50的频率为：()0.010.020.040.02100.9+++⨯= 则分数在区间[)40,50内的人数为：1001000.955-⨯-=人 则总体中分数在区间[)40,50内的人数为550025100⨯=人； （3）由频率分布直方图可得分数在区间[)70,80的频率最高 则随机抽取的100名学生分数的众数估计为75由频率分布直方图可得分数小于70的频率为0.4，分数小于80的频率为0.8 则测评成绩的75%分位数落在区间[)70,80上 则测评成绩的75%分位数为0.35701078.750.4+⨯=； （4）由频率分布直方图可得分数不小于70的学生人数为()0.020.041010060+⨯⨯=人 因为样本中分数不小于70的男女生人数相等 所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=人又因为样本中有一半男生的分数不小于70 所以样本中的男生共有30260⨯=人 则样本中的女生共有1006040-=人所以总体中男生和女生人数的比例估计为60:403:2=. 19．(1)证明见解析(2)2a =【分析】（1）化简π()ln(1)4f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，分类讨论3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和3π,π4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，πln(4x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的正负，即可证明；（2）因为()1f x ax ≤+，令()ln(1)sin cos 1g x x x x ax =+++--，（1x >-），要使()0g x ≤恒成立，只要max [()]0g x ≤，对()g x 求导，讨论()g x 的单调性，即可得出答案.【点睛】关键点点睛：第二问，确定函数在0处取得最值，且把定义域分段研究是关键20．(1)22143x y += (2)直线HN 过定点(2,0)-，证明见解析.【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）先根据两条特殊直线的交点，判断定点的坐标，再设过点P 的一般方程，联立椭圆方程，得到韦达定理，求得直线TN 的方程，并代入定点坐标，验证是否成立，即可判断是否过定点. 【详解】（1）解：因为椭圆E 的方程为2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过3(2,0),1,2A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭两点则222411914a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b = 所以椭圆E 的方程为：22143x y +=. （2）因为3(2,0),1,2A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()3:22AB y x =+①假设过点(2,1)P -的直线过原点，则2x y =-，代入22143x y +=可得(M，N ，代入AB 方程()322y x =+，可得()3(2)2T ，由MT TH =得到(6)H .求得HN 方程：)2y x =+ 过点(2,0)-. ②分析知过点(2,1)P -的直线斜率一定存在，设1122210,(,),(,)kx y k M x y N x y -++=. 联立22210,143kx y k x y -++=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)(168)4(443)0k x k k x k k +++++-= 可得21222122168434(442)43k k x x k k k x x k ⎧++=-⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩ 所以()121221264243k y y k x x k k ++=+++=+()()()()2221212121223122121244143ky y kx k kx k k x x k kx x k kk +=++++=+++++=+且()()()()1221122112122242121221(*)43kx y x y x kx k x kx k kx x k x x k -+=+++++=++=+ 因为点H 满足MT TH =，所以T 为MH 的中点联立()1,322x x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()()111113(,2),(,32).2T x x H x x y ++- 可求得此时112221236:()x y y HN y y x x x x +---=-- 假设直线HN 过定点(2,0)-将(2,0)-，代入整理得12121221126()2()3120x x y y x y x y x x -+++++--= 将(*)代入，得222964824122448482448360,k k k k k k k +++---+--= 显然成立综上，可得直线HN 过定点(2,0)-. 21．(1)答案见解析 (2)证明见解析(3)21128n n +【详解】（1）满足条件的数表22A 为141424233231⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，所以1112a a +的值分别为5，5，6. （2）若当11121n a a a +++取最大值时，存在1j n ≤≤，使得22j a n =.由数表2n A 具有性质P 可得j 为奇数不妨设此时数表为1112122222n n n a aa A n aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ①若存在1k a （k 为偶数，1k n ≤≤），使得111k a a >，交换1k a 和2n 的位置，所得到的新数表也具有性质P 调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在1i n ≤≤，使得12i a n =.②若对任意的1k a （k 为偶数，1k n ≤≤），都有111k a a <，交换12a 和11a 的位置，所得到的新数表也具有性质P，此时转化为①的情况.综上可知，存在正整数(1)k k n ≤≤，使得12k a n =.【点睛】方法点睛：在证明抽象问题时，常常使用反证法：先设题设不成立，结合条件推出矛盾，即可说明题目成立.。