【数学】2014-2015年浙江省嘉兴一中高三(上)期中数学试卷与答案(理科)

2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M=（﹣∞，0）∪[3，+∞），N={0，1，2，3}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|0≤x≤3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{1，2，3}2．（5分）等比数列{a n}中，若，则a2a8=（）A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣93．（5分）下列说法错误的是（）A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题B．若命题“￢p∨q”为假命题，则“p∧￢q”为真命题C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题D．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题4．（5分）命题p：|x+2|＞2，命题q：＞1，则￢q是￢p成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）△ABC中，b=7，c=3，B=60°，则a=（）A．5 B．6 C．4 D．86．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）将函数f（x）=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将它的图象向左平移φ个单位（φ＞0），得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则△ABC的最小角的正弦值等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=﹣a（x≠0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A．[，]∪[，]B．（，]∪[，） C．（，]∪[，） D．[，]∪[，]10．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A．0 B．C．1 D．二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））的值是=．12．（4分）若函数f（2x）的定义域是[﹣1，1]，则函数f（2x﹣1）+f（2x+1）的定义域是．13．（4分）设a，b∈R+，a+b﹣2a2b2=4，则的最小值是．14．（4分）已知实数x，y满足条件，则|y|﹣x的最小值为．15．（4分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=，且a n+2=，则该数列的通项公式a n=．16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（，cos2θ）在角α的终边上，点Q （sin2θ，﹣1）在角β 的终边上，且=﹣．则sin（α+β）=．17．（4分）实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3a）2+（c+d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b+d）2的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知A={x∈R|x2﹣3x+2≤0}，B={x∈R|4x﹣a•2x+9≥0}．（Ⅰ）当a=10时，求A和B；（Ⅱ）若A⊆B．求a的取值范围．19．（14分）已知单位向量与的夹角是钝角，当t∈R时，||的最小值为．（Ⅰ）若，其中λ∈R，求||的最小值；（Ⅱ）若满足（）（）=，求||的最大值．20．（15分）已知△ABC的三内角A，B，C与所对的边a，b，c满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）如果用psinA，sinB，sinC为长度的线段能围成以psinA为斜边的直角三角形，试求实数p的取值范围．21．（15分）各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+a n（n∈N*），等比数列{b n}满足b1=，b n+1+b n=（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若i，j为正整数，且1≤i≤j≤n，求所有可能的乘积a i b j的和．22．（14分）已知函数f（x）=x2+ax+b．（Ⅰ）设b=a，若|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：存在x0∈[﹣1，1]，使|f（x0）|≥|a|．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M=（﹣∞，0）∪[3，+∞），N={0，1，2，3}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|0≤x≤3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{1，2，3}【解答】解：∵全集为R，M=（﹣∞，0）∪[3，+∞），N={0，1，2，3}，∴∁R M=[0，3），则（∁R M）∩N={0，1，2}，故选：C．2．（5分）等比数列{a n}中，若，则a2a8=（）A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9【解答】解：由等比数列的性质得，，解得a5=，所以a2a8==3，故选：A．3．（5分）下列说法错误的是（）A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题B．若命题“￢p∨q”为假命题，则“p∧￢q”为真命题C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题D．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题【解答】解：A．正确，若“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题，∴“p∨q”为真命题；B．正确，若￢p∨q为假命题，则￢p，q都是假命题，∴p是真命题，￢q是真命题，∴p∧￢q为真命题；C．正确，“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为，“若a≤b，则ac2≤bc2”；∵c2≥0，∴由a≤b能得到ac2≤bc2；D．错误，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为“若方程x2+x﹣m=0有实数根，则m＞0”，方程x2+x﹣m=0有实数根只要△=1+4m≥0，即m，所以不一定得到m＞0．所以错误的是D．故选：D．4．（5分）命题p：|x+2|＞2，命题q：＞1，则￢q是￢p成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：命题p：|x+2|＞2即为x＞0或x＜﹣4；命题p：＞1即为2＜x＜3；所以￢p：﹣4≤x≤0，￢q：x≤2或x≥3；所以￢p成立￢q成立，反之￢q成立￢p不一定成立；所以¬q是¬p成立的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）△ABC中，b=7，c=3，B=60°，则a=（）A．5 B．6 C．4 D．8【解答】解：△ABC中，若c=3，b=7，∠B=60°，由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB得：a2﹣3a﹣40=0，解得：a=8或a=﹣5（舍去）．故选：D．6．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a4＜0，a5＞|a4|，得a 5＞0，a5+a4＞0，，．∴使S n＞0成立的最小正整数n为8．故选：C．7．（5分）将函数f（x）=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将它的图象向左平移φ个单位（φ＞0），得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数f（x）=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），可得函数y=sin（2x﹣）图象；再将它的图象向左平移φ个单位（φ＞0），可得函数y=sin[2（x+φ）﹣]=sin （2x+2φ﹣）的图象，再根据y=sin（2x+2φ﹣）为偶函数，可得2φ﹣=kπ+，k∈z，即φ=+，则φ的最小值为，故选：C．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则△ABC的最小角的正弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则20a（﹣）+15b+12c=（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=．∵、不共线，故有20a﹣15b=0，12c﹣20a=0．∴b=a，c=a，a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，∴a最小，∴cosA==，∴sinA==，即△ABC的最小角的正弦值等于．9．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=﹣a（x≠0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A．[，]∪[，]B．（，]∪[，） C．（，]∪[，） D．[，]∪[，]【解答】解：因为f（x）=﹣a=0，故=a；分x＞0和x＜0的情况讨论，显然有a≥0．若x＞0，此时[x]≥0；若[x]=0，则=0；若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，故＜≤1，即＜a≤1．且随着[x]的增大而增大．若x＜0，此时[x]＜0；若﹣1≤x＜0，则≥1；若x＜﹣1，因为[x]≤x＜﹣1；[x]≤x＜[x]+1，故1≤＜，即1≤a＜，且随着[x]的减小而增大．又因为[x]一定是不同的x对应不同的a值．所以为使函数f（x）=﹣a有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=﹣1，﹣2，﹣3．若[x]=1，有＜a≤1；若[x]=2，有＜a≤1；若[x]=3，有＜a≤1；若[x]=4，有＜a≤1；若[x]=﹣1，有a＞1；若[x]=﹣2，有1≤a＜2；若[x]=﹣3，有1≤a＜；若[x]=﹣4，有1≤a＜综上所述，＜a≤或≤a＜，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A．0 B．C．1 D．【解答】解：若x≠0，则有，取，则有：∵f（x）是偶函数，则由此得于是，故选：A．二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））的值是=﹣2．【解答】解：∵函数，∴f（）=2+=4．=f（4）==﹣2．故答案为：﹣2．12．（4分）若函数f（2x）的定义域是[﹣1，1]，则函数f（2x﹣1）+f（2x+1）的定义域是[﹣，] ．【解答】解：由函数f（2x）的定义域是[﹣1，1]，得﹣1≤x≤1．∴﹣2≤2x≤2，即函数f（x）的定义域是[﹣2，2]，再由，解得，∴函数f（2x﹣1）+f（2x+1）的定义域是[﹣，]．故答案为：[﹣，]．13．（4分）设a，b∈R+，a+b﹣2a2b2=4，则的最小值是4．【解答】解：∵a+b﹣2a2b2=4，∴a+b=4+2a2b2，∴===+2ab≥2=4，当且仅当ab=取等号，故的最小值是4，故答案为：414．（4分）已知实数x，y满足条件，则|y|﹣x的最小值为﹣1．【解答】解：由题意作出其平面区域，由图可知，|y|﹣x的最小值为0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．15．（4分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=，且a n+2=，则该数列的通项公式a n=．=，【解答】解：∵a n+2∴=∴﹣=1，∴数列{}是以==2为首项，以1为公差的等差数列，∴=2+n﹣1=n+1，∴==2，=3，…，=n+1，利用累乘法得∴•…=2×3×4×…×n=n!∴a n=16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（，cos2θ）在角α的终边上，点Q （sin2θ，﹣1）在角β 的终边上，且=﹣．则sin（α+β）=﹣．【解答】解：∵=﹣，∴=﹣∴cos2θ=，sin2θ=∴P（，），Q（，﹣1），∴sinα=，cosα=，sinβ=，cosβ=，∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ==﹣．故答案为：﹣．17．（4分）实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3a）2+（c+d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b+d）2的最小值是．【解答】解：实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3a）2+（c+d+2）2=0，则有b+a2﹣3a=0，且c+d+2=0，由于（a﹣c）2+（b+d）2的几何意义：两点A（a，b）、B（c，﹣d）的距离的平方，则为求抛物线y=3x﹣x2上点A和直线x﹣y+2=0上点B的距离的最小值，由于联立方程x﹣y+2=0和y=3x﹣x2上，消去y，得到x2﹣2x+2=0，方程无实数解，故直线和抛物线相离，可设直线y=x+t与抛物线相切，则联立抛物线方程，消去y，得，x2﹣2x+t=0，由判别式为0，即有4﹣4t=0，即t=1，则切线为：y=x+1，由于两直线y=x+2与直线y=x+1的距离为d==，即有抛物线y=3x﹣x2上点A和直线x﹣y+2=0上点B的距离的最小值为，则有（a﹣c）2+（b+d）2的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知A={x∈R|x2﹣3x+2≤0}，B={x∈R|4x﹣a•2x+9≥0}．（Ⅰ）当a=10时，求A和B；（Ⅱ）若A⊆B．求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）A={x∈R|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，当a=10时，B={x∈R|4x﹣10•2x+9≥0}={x|x≤0，或x≥log29}，（Ⅱ）A={x|1≤x≤2}，A⊆B，则有当1≤x≤2时，2≤2x ≤4，又4x﹣a•2x+9≥0，令2x=t，（2≤t≤4）不等式化为t2﹣at+9≥0对2≤t≤4成立，a≤t+而t+≥2=6，（当且仅当t=3时成立），所以a的取值范围a≤6．19．（14分）已知单位向量与的夹角是钝角，当t∈R时，||的最小值为．（Ⅰ）若，其中λ∈R，求||的最小值；（Ⅱ）若满足（）（）=，求||的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设单位向量与的夹角是α，则||==，∵当t∈R时，||的最小值为，∴|sinα|=，∵单位向量与的夹角是钝角，∴α=，∵，∴||==，∴λ=时，||的最小值为；（Ⅱ）设=（x，y），=（1，0），=（﹣，），∴（）•（）=，∴，∴||的最大值为+=2．20．（15分）已知△ABC的三内角A，B，C与所对的边a，b，c满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）如果用psinA，sinB，sinC为长度的线段能围成以psinA为斜边的直角三角形，试求实数p的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC中，∴根据正弦定理，得，即cosA（2sinB﹣sinC）=sinAcosC，化简得2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C），∵在△ABC中，sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，∴2sinBcosA=sinB，可得cosA=，∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵用psinA，sinB，sinC为长度的线段能围成以psinA为斜边的直角三角形，∴p2sin2A=sin2B+sin2C，∵A=，得sinA=，∴p2=sin2B+sin2C，可得p2=（sin2B+sin2C），∵sin2B=（1﹣cos2B），sin2C=（1﹣cos2C），C=﹣B，∴p2=[（1﹣cos2B）+（1﹣cos2C）]=（1﹣cos2B）+[1﹣cos（﹣2B）]=sin（2B﹣）+．∵B∈（0，），可得2B﹣∈（﹣，），∴sin（2B﹣），得p2=sin（2B﹣）+∈（1，2]因此，实数p的取值范围是（1，]．21．（15分）各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+a n（n∈N*），等比数列{b n}满足b1=，b n+1+b n=（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若i，j为正整数，且1≤i≤j≤n，求所有可能的乘积a i b j的和．【解答】解：（I）∵各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+a n（n∈N*），∴n=1时，，解得a1=1．当n≥2时，2a n=2（S n﹣S n﹣1）=a n2+a n﹣，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∴a n﹣a n﹣1=1．∴数列{a n}是等差数列，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．∵等比数列{b n}满足b1=，b n+1+b n=（n∈N*）．设公比为q，则+=，解得q=．∴．（II）∵i，j为正整数，且1≤i≤j≤n，所有可能的乘积a i b j的和=++…++a n b n=++…++．=1﹣+++…+（n﹣1）+=﹣，令S n=1+++…+，S n=++…+，∴=1++++…+﹣=1++++…+﹣=﹣=．∴S n=4﹣．∴所有可能的乘积a i b j的和=4﹣﹣=4﹣．22．（14分）已知函数f（x）=x2+ax+b．（Ⅰ）设b=a，若|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：存在x0∈[﹣1，1]，使|f（x0）|≥|a|．【解答】解：数f（x）=x2+ax+b，（1）∵b=a，∴f（x）=x2+ax+a，△=a2﹣4a，x=为对称轴，①当a=0时，f（x）=x2，∴|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，∴a=0符合题意，②当a=4时，f（x）=（x+2）2，∴|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，∴a=4符合题意，③当a＞0，a≠4时f（0）=a＞0，x=＜0，∴|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，∴a＞0，a≠4，符合题意，④当a＜0时，△=a2﹣4a＞0，f（0）=a＜0，x0为f（x）=0，的左边的一个零点，x0＜0，∴|f（x）|在x∈[x0，]上单调递增，即只需满足1≤a≤﹣2∴a≤﹣2，符合题意，综上a≥0或a≤﹣2，（Ⅱ）证明：函数f（x）=x2+ax+b，|f （1）|=|1+a +b |，|f （﹣1）|=|1﹣a +b |， ∵当1+b ≥0，a ≥0时，f （1）=|1+a +b |≥|a |， 当1+b ＞0，a ＜0时，|f （﹣1）|=|1﹣a +b |≥|a |， 当1+b ＜0，a ＜0时，|f （1）|=|1+a +b |≥|a |， 当1+b ＜0，a ＞0时，|f （﹣1）|=|1﹣a +b |≥|a |， ∴存在x 0∈[﹣1，1]，使|f （x 0）|≥|a |．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

嘉兴市第一中学2015学年第一学期期中考试高三数学（理科） 试题卷满分[150]分 时间[120]分钟 2015年11月一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数x x f y +=)(是偶函数，且1)2(=f ，则=-)2(f （ ▲ ）A ．2B ． 3C ． 4D ． 52.已知:11,:(2)(6)0p m x m q x x -<<+--<，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是（ ▲ ）A ．35m << B. 35m ≤≤ C ．53m m ><或 D. 53m m ≥≤或 3.已知m 为一条直线,βα,为两个不同的平面,则下列说法正确的是（ ▲ ） A.若ββαα//,//,//m m 则 B.若,m αβα⊥⊥，则m β⊥ C.若ββαα⊥⊥m m 则,,// D. 若ββαα⊥⊥m m 则,//, 4.函数())cos 3(sin sin 21x x x x f +-=的图象向左平移3π个单位得函数()x g 的图象，则函数()x g 的解析式是 ( ▲ ) A ． ()⎪⎭⎫⎝⎛-=22sin 2πx x g B ．()x x g 2cos 2= C ．()⎪⎭⎫⎝⎛+=322cos 2πx x g D ．()()2sin 2g x x π=+ 5.若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ▲ )A ．－2B ．12-C ．12D ．2 6.在ABC ∆所在平面上有三点M N P 、、,满足MA MB MC AB ++=,NA NB NC BC ++=,PA PB PC CA ++=,则MNP ∆的面积与ABC ∆的面积比为（ ▲ ） A.12 B. 13 C. 14 D. 157.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于B A ,两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （ ▲ ）A.221+B. 224-C.225-D.223+ 8.设{}(),(()())min (),()(),(()())f x f xg x f x g x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩．若2()f x x px q =++的图象经过两点(,0),(,0)αβ，且存在整数n ，使得1n n αβ<<<+成立，则 ( ▲ ) A ．{}1min (),(1)4f n f n +>B ．{}1min (),(1)4f n f n +<C ．{}1min (),(1)4f n f n += D ．{}1min (),(1)4f n f n +≥二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题4分，共36分.9.已知全集为R ，集合{}{}221,680xA xB x x x =≥=-+≤，则AB = ▲ .R A C B = ▲ . ()R C A B = ▲ .10.已知等差数列{}n a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足46310,39a S S ==+，则数列{}n a 的首项1a =____▲___ ,通项n a =___ ▲___.11.某空间几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积V = ▲ cm 3，表面积S = ▲ cm 2． 12.已知函数()()61477x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩;(1)当21=a 时， ()x f 的值域为 ▲ , (2)若()x f 是(,)-∞+∞上的减函数,则实数a 的取值范围是 ▲ .13.已知平面向量,()αβαβ≠满足||3α=且α与βα-150︒的夹角为，则|(1)|m m αβ+-的取值范围是 _▲ .14.已知实数x 、y 、z 满足0x y z ++=，2221x y z ++=，则x 的最大值为 ▲ .15.三棱柱111ABC A B C -的底是边长为1的正三角形，高11AA =,在AB 上取一点P ,设11PAC ∆与面111A B C 所成的二面角为α，11PB C ∆与面111A B C 所成的二面角为β，则tan()αβ+的最小值是 ▲ .三、解答题(共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.（本题满分15分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且1)cos(32cos ++=C B A ． (Ⅰ）求角A 的大小；(Ⅱ)若81cos cos -=C B ，且ABC ∆的面积为32，求a .17．（本题满分15分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2AB ，F 是CD 的中点．(Ⅰ）求证：平面CBE ⊥平面CDE ；（Ⅱ）求二面角C —BE —F 的余弦值．18. （本题满分15分）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>右焦点的直线0x y +=交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.19. （本题满分15分）已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．（Ⅰ）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值． 20．（本题满分14分）已知数列{}n a（Ⅲ）对于任意的正整数n ，.嘉兴一中2015一．选择题DBCA BBCB二．填空题9.10.．11.12．（1（214..设同理16. (2分即，所以，或(舍去) ……………4分…………………6分(Ⅱ)由(9分12分17．（1所以平面在底面ACD取CEFM∥AB，则四边形FMBA为平行四边形，从而BM∥AF．所以BM又BM面BCE，则平面CBE⊥平面CDE．……………………………………………7分法一：（2）过F作FN⊥CE交CE于N，过N作NH⊥BE，连接HF，则∠就是二面角C—BE—F的平面角．在Rt△FNH中，NH FH故二面角C—BE—F的余弦值为15分法二：以F为坐标原点，FD、FA、FM所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则F(0,0,0)，E(1,0,2) ， B可求得面FBE平面CBE的一个法向量为，则故二面角C—BE—F15分18.解：A、B，则（1）-（2）得到AB k=-1，OPM知，当CD k=-1，最大值为4，19. 解：（1*）对（*（*（2经比较，②时，结合图形可知，③时，结合图形可知，④当时，结合图形可知在，综上所述，的最大值为0.20.（本小题满分14分）解：………………3分差的等差数列.…………………………………………………………7分……………………………………8分证明如下：…………………9分…………………10分*）（证明见后）综上可知：结论得证. …………………12分*）的证明如下：1满足（＊）式。

嘉兴一中2014学年第一学期高三年级自主学习能力测试数学（理科）试题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}|05A x x =∈≤≤N ，{}1,3,5A B =ð，则集合=B （ ） A ．{}4,2 B ．{}4,3,2 C ．{}3,1,0 D ．{}4,2,02.已知∈b a ,R ，条件p ：“b a >”，条件q ：“122->ba”，则p 是q 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知某四棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该四棱锥的体积是 （ ）A．33B．33cmC．33D34.设,,l m n 表示三条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，则下列说法正确的是 （ ）A ．若l ∥m ，mα⊂，则l ∥α； B ．若,,,l m l n m n α⊥⊥⊂，则l α⊥；C ．若l ∥α，l ∥β，m αβ=，则l ∥m ；D ．若,,l m l m αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥．5. 已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则()y g x =是减函数的区间为 ( )A ．(,0)3π-B ．(,)44ππ- C ．(0,)3π D ．(,)43ππ6. 若函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠且在（-∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数()log ()a g x x k =+的图象是 （ ）7. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若675S S S >>,则满足01<+n n S S 的正整数n 的值为（ ） A.13 B.12 C.11 D. 108.已知O 为原点，双曲线2221x y a-=上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为,A B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为 （ ） A ．2D ．39．已知正方体1111ABCD A B C D -，过顶点1A 作平面α，使得直线AC 和1BC 与平面α所成的角都为30，这样的平面α可以有 （ ）正视图A.1个B.2个C.3个D.4个10．平面向量→→→e b a ,,满足1||=→e ，1=⋅→→e a ，2=⋅→→e b ，2||=-→→b a ，则→→⋅b a 的最小值为 （ ） A.12B.45C. 1D. 2二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11.数()()()()12312xe xf x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩,则()ln3f =________. 12.已知cos sin 6⎛⎫-+= ⎪⎝⎭παα7sin 6⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα . 13. 已知实数,x y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩,若2z x y =+的最小值为3，实数b = .14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如 下：则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）．15. 在△ABC 中，B (10，0)，直线BC 与圆Γ：x 2＋(y －5)2＝25相切，切点为线段BC 的中点．若△ABC 的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A 的坐标为 ． 16．若1()1(1)fx f x +=+，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间(]1,1-内，()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是 ．17. 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AC 1、A 1B 1的中点.点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分） 在ABC △中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ．已知2,3c C π==．（1）若ABC △ABC △的形状，并说明理由； （2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积． 19．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，AB=2BC=4，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE （1）当平面A 1DE⊥平面BCD 时，求直线CD 与平面A 1CE 所成角的正弦值； （2）在（1）的条件下，M 为A 1 C 的中点，求BM 的长度.20. （本小题满分14分）已知等比数列{}n a 的公比为q ()01q <<，且253491,88a a a a +==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设该等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，正整数,m n 满足112n n S m S m +-<-，求出所有符合条件的,m n 的值．21. （本小题满分15分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点)0,1(-F ，离心率为22，函数=)(x f x x 4321+， （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设)0)(0,(≠t t P ，)0),((t f Q ，过P 的直线l 交椭圆C 于B A ,两点，求∙的最小值，并求此时的t 的值．22. （本小题满分15分） 已知函数).0()1()21(),()(,3)(21f g g R b a cx bx x g ax x f =--∈+=-=--且（1）试求,b c 所满足的关系式；（2）若b=0，试讨论方程()||()0f x x x a g x +-=零点的情况.嘉兴一中2014学年第一学期高三年级自主学习能力测试数学（理科）答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50目要求的．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11.； 12. ； 13.； 14. ； 15.； 16. ；17.；三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分） 在ABC △中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ．已知2,3c C π==．（1）若ABC △ABC △的形状，并说明理由； （2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．班级 姓名 考号19．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，AB=2BC=4，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE （1）当平面A 1DE⊥平面BCD 时，求直线CD 与平面A 1CE 所成角的正弦值； （2）在（1）的条件下，M 为A 1 C 的中点，求BM 的长度.20. （本小题满分14分）已知等比数列{}n a 的公比为q ()01q <<，且253491,88a a a a +==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设该等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，正整数,m n 满足112n n S m S m +-<-，求出所有符合条件的,m n 的值．21. （本小题满分15分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点)0,1(-F ，离心率为22，函数=)(x f x x 4321+， （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设)0)(0,(≠t t P ，)0),((t f Q ，过P 的直线l 交椭圆C 于B A ,两点，求∙的最小值，并求此时的t 的值．22. （本小题满分15分） 已知函数).0()1()21(),()(,3)(21f g g R b a cx bx x g ax x f =--∈+=-=--且（3）试求,b c 所满足的关系式；（4）若b=0，试讨论方程()||()0f x x x a g x +-=零点的情况.。

嘉兴市第一中学2014学年第一学期期中考试高三数学（理科） 试题卷满分[ 150]分 ，时间[120]分钟参考公式：柱体的体积公式:V Sh =( 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高)锥体的体积公式: 13V Sh =(其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高)台体的体积公式: ()1213V h S S =(其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积，h 表示台体的高)球的表面积公式: 24πS R =, 球的体积公式 34π3V R =(其中R 表示球的半径) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ▲ ）A ．{}|02x x ≤≤ B.{}|2x x ≤ C.{}|20x x -≤≤ D .∅ 2.函数()176log 221+-=x x y 的值域是 ( ▲ )A ．RB ．(]3,-∞-C ．[)+∞,3D ．(]3,0 3.已知m 为一条直线,βα,为两个不同的平面,则下列说法正确的是（ ▲ ） A.若ββαα//,//,//m m 则 B.若,m αβα⊥⊥，则m β⊥ C.若ββαα⊥⊥m m 则,,// D. 若ββαα⊥⊥m m 则,//, 4.已知函数211()log ,(),()12x f x f a f a x -==-+若则=（ ▲ ） A ．2B ．—2C ．12 D ．—125.已知:11,:(2)(6)0p m x m q x x -<<+--<，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围为（▲）A ．35m << B. 35m ≤≤ C ．53m m ><或 D. 53m m ≥≤或 6.函数())cos 3(sin sin 21x x x x f +-=的图象向左平移3π个单位得函数()x g 的图象，则函数()x g 的解析式是 ( ▲ )A ． ()⎪⎭⎫⎝⎛-=22sin 2πx x g B ．()x x g 2cos 2= C ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=322cos 2πx x g D ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin 2πx x g 7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足0,01817<>S S ,则17172211,,,a Sa S a S 中最大的项为（ ▲ ） A ．66a S B ．77a SC ．88a SD ．99a S8.已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是（ ▲ ）A B ．2C D 9.已知B A ,是圆O ：122=+y x 上的两个点，P 是AB 线段上的动点，当AOB ∆的面积最大时，则2AP AP AO -⋅的最大值是（ ▲ ） A.1- B. 0 C.81 D.2110.设非空集合{}S x m x n =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下三个命题：①若1,m =则{}1S =；②若1,2m =-则114n ≤≤； ③若1,2n =则02m -≤≤．其中正确命题的是（ ▲ ）A.①B.①②C.②③D.①②③ 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11.若33cos sin =+αα，则=α2sin ▲ ． 12.如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是全等的矩形,底边长为 2, 高为3,俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是_▲ ．13.若x ，y 满足不等式组0,2100,0,x y x y y ⎧-≥⎪--≤⎨+- 则2x ＋y 的最大值是__▲ ．14.已知向量,a b满足1,2a b == ，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b - 等于__▲ ．15.设抛物线x y C 4:2=的焦点为F,过点F 的直线与抛物线C 交于B A ,两点,过AB 的中点M 作准线的垂线与抛物线交于点P,若32PF =,则弦长AB 等于__▲ ． 16.记数列{}n a 的前n 和为n s ，若n n s a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为d 的等差数列，则{}n a 为等差数列时,d 的值为▲ ．17.设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是___▲ ． 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知函数21()sin cos sin (0)2f x x x x ωωωω=⋅+->，其相邻两个零点间的距离为2π． （1）求()f x 的解析式； （2）锐角ABC ∆中，1(),4,282A f AB ABC π+==∆的面积为6，求BC 的值．19．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 中，)(3,1*11N n a a a a n nn ∈+==+ （1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足n n nn a nb ⋅⋅-=2)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式12)1(-+<-n n n n T λ对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围.20. （本小题满分14分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1,60AD DC CB ABC ===∠= ，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =. （1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围.21. （本小题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,1)A -．(1)求椭圆的方程；(2)如果过点3(0,)5的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），○1求AM AN ⋅的值；○2当AMN ∆为等腰直角三角形时，求直线MN 的方程．22. （本小题满分15分） 已知函数()2f x x x a x =-+．（1）当3a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）求所有的实数a ，使得对任意[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方； （3）若存在[4,4]a ∈-，使得关于x 的方程()()f x t f a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分） 解：（1）)42sin(222cos 212sin 21)(πωωω-=-=x x x x f …………………3分 由题可知，122,,22=⇒=∴=∴=ωπωππTT T ………………………5分)42s i n (22)(π-=∴x x f …………………………………………………7分 （2）22sin ,21sin 22,21)82(=∴=∴=+A A A f π 又由锐角ABC ∆知，角A 为锐角，4π=∴A …………………………9分62sin 421sin 21==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∆AC A AC A AC AB S ABC 23=∴AC ……………………………………………………………12分 10cos 2222=⋅⋅⋅-+=∴A AC AB AC AB BC10=∴BC ……………………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（2）12-=n n nb122102121)1(213212211--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n Tn n n n n T 2121)1(2122112121⨯+⨯-++⨯+⨯=- ， 两式相减得 n n n n n n T 222212121212121210+-=⨯-++++=- 1224-+-=∴n n n T1224)1(--<-∴n n λ若n 为偶数，则3,2241<∴-<∴-λλn若n 为奇数，则2,2,2241->∴<-∴-<-∴-λλλn32<<-∴λ（2）由（I ）可建立分别以直线,,CA CB CF 为轴轴轴，z y x ,的如图所示空间直角坐标系，令)30(≤≤=λλFM ，则)0,0,3(),0,0,0(A C ，()()1,0,,0,1,0λM B∴ ()()1,1,,0,1,3-=-=λBM AB 设()z y x n ,,1=为平面MAB 的一个法向量，由⎩⎨⎧=⋅=⋅0011n n 得⎩⎨⎧=+-=+-003z y x y x λ取1=x ，则()λ-=3,3,11n ，…………8分 ∵ ()0,0,12=n 是平面FCB 的一个法向量∴1212||cos ||||n n n n θ⋅===⋅…10分∵ 0λ≤≤∴ 当0λ=时，θcos ，当λ=θcos 有最大值12。

嘉兴五高2014学年第二学期期中测试高一 数学 试题卷（满分100分，时间120 分钟）2015年4月一、选择题（本大题有12小题，每小题4分，共48分. 请从A 、B 、C 、D 四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选、多选或错选均得零分.） 1、下列说法正确的是（ ▲ ）A. 045-是锐角B. 0180-与0180的终边相同 C. 090是第一象限角 D. 第二象限角大于090 2、下列诱导公式中错误．．的是（ ▲ ）A. tan(π―α)=―tan αB. cos (2π+α) = sin α C. sin(π+α)=― sin α D. cos (π―α)=―cos α3、 45sin 15cos 45cos 15sin -的值等于（ ▲ ）A. 21-B. 21C. D. 4、若角0840的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（ ▲ ） A ．34B. 34-C. 34±D.35、角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则θ的值为 （ ▲ ）A.4π或43πB.45π或47πC.43π或45πD. 4π或45π6、在下列函数中，图象关于直线3π=x 对称的是（ ▲ ）A. )32sin(π-=x y B. )62sin(π+=x yC. )62sin(π-=x yD. )62sin(π+=x y7、设是第二象限角，则sin cos αα（ ▲ ）A. 1B. tan 2αC. - tan 2αD. 1-8、设M 和m 分别是函数1sin 21+-=x y 的最大值和最小值，则M+m 等于（ ▲ ）A. 1B.21 C.2 D.239、函数y =cos x 的图象向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的12，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图象解析式为（ ▲ ）A. y =3cos(12x +3π)B. y =13cos(12x +6π)C. y =3cos(2x +23π) D. y =3cos(2x +3π) 10、如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为（ ▲ ）A.6πB.4πC.3πD.2π 11、若点(sin cos ,tan )P ααα-在第二象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（ ▲ ）A. )45,()4,0(πππ⋃B. )23,45()4,0(πππ⋃ C. )23,45()2,4(ππππ⋃D. )45,()2,4(ππππ⋃ 12、对于函数⎩⎨⎧≤≥=时当时当x x x x x x x f cos sin cos cos sin sin )(，给出下列几个命题：① 该函数的值域是]11[，-；② 当且仅当)(22Z ππ∈+=k k x 时，该函数取得最大值1；③ 该函数是以π为最小正周期的周期函数；④ 当且仅当)(2322Z ππππ∈+<<+k k x k 时，0)(<x f ；上述命题中正确的是（ ▲ ）A. ①②B. ②④C. ④D. ③④二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分.）13、在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是 ▲ 弧度. 14、已知),2(,53cos ππθθ∈-=，则)2sin(θπ-的值是 ▲ .15、函数1sin 2-=x y 的定义域为 ▲16、函数)0,0)(sin(πϕωϕω<<>+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为 ▲ 。

嘉兴市第一中学2014学年第一学期期中考试高三数学（理科） 试题卷命题：王璐 吴献超 审题：沈志荣满分[ 150]分 ，时间[120]分钟 2014年11月参考公式：柱体的体积公式: ( 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高) 锥体的体积公式: (其中表示锥体的底面积，表示锥体的高)台体的体积公式: (其中分别表示台体的上底、下底面积，表示台体的高) 球的表面积公式:, 球的体积公式 (其中表示球的半径)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =-∈，，则=（ ▲ ）A ． B. C. D .2.函数()176log 221+-=x x y 的值域是 ( ▲ )A ．B ．C ．D ．3.已知为一条直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是（ ▲ ） A.若ββαα//,//,//m m 则 B.若则C.若ββαα⊥⊥m m 则,,//D. 若ββαα⊥⊥m m 则,//, 4.已知函数211()log ,(),()12x f x f a f a x -==-+若则=（ ▲ ） A ．2B ．—2C ．D ．—5.已知:11,:(2)(6)0p m x m q x x -<<+--<，且是的必要不充分条件，则的取值范围为（▲） A ．B. C ． D.6.函数())cos 3(sin sin 21x x x x f +-=的图象向左平移个单位得函数的图象，则函数的解析式是 ( ▲ )A ．B ．C ．()⎪⎭⎫⎝⎛+=322cos 2πx x g D ． 7.已知等差数列的前项和为且满足,则中最大的项为（ ▲ ） A ． B ． C ． D ．8.已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是（ ▲ ）A ．B ．2C ．D ．9.已知是圆：上的两个点，是线段上的动点，当的面积最大时，则的最大值是（ ▲ ） A. B. 0 C. D. 10.设非空集合满足：当时，有，给出如下三个命题：①若则；②若则； ③若则． 其中正确命题的是（ ▲ ）A.①B.①②C.②③D.①②③ 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11.若，则▲ ．12.如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是全等的矩形,底边长为 2, 高为3,俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是_▲ ．13.若x ，y 满足不等式组0,2100,0,x y x y y ⎧-≥⎪--≤⎨+-≥ 则2x ＋y 的最大值是__▲ ．14.已知向量满足，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于__▲ ．15.设抛物线的焦点为F,过点F 的直线与抛物线交于两点,过的中点M 作准线的垂线与抛物线交于点P,若,则弦长等于__▲ ．16.记数列的前和为，若是公差为的等差数列，则为等差数列时,的值为 ▲ ．17.设是正实数，且，则的最小值是___▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知函数21()sin cos sin (0)2f x x x x ωωωω=⋅+->，其相邻两个零点间的距离为． （1）求的解析式； （2）锐角中，1(),4,282A f AB ABC π+==∆的面积为，求的值．19．（本小题满分14分） 已知数列中，)(3,1*11N n a a a a n nn ∈+==+（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，数列的前n 项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.20. （本小题满分14分）如图，在梯形中，，1,60AD DC CB ABC ===∠=，四边形为矩形，平面平面，. （1）求证：平面；（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围.21. （本小题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为，且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)如果过点的直线与椭圆交于两点（点与点不重合），○1求的值； ○2当为等腰直角三角形时，求直线的方程．22. （本小题满分15分） 已知函数．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）求所有的实数，使得对任意时，函数的图象恒在函数图象的下方； （3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分） 解：（1）)42sin(222cos 212sin 21)(πωωω-=-=x x x x f …………………3分 由题可知，122,,22=⇒=∴=∴=ωπωππTT T ………………………5分 )42s i n (22)(π-=∴x x f …………………………………………………7分 （2）22sin ,21sin 22,21)82(=∴=∴=+A A A f π 又由锐角知，角为锐角，…………………………9分 62sin 421sin 21==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∆AC A AC A AC AB S ABC ……………………………………………………………12分10cos 2222=⋅⋅⋅-+=∴A AC AB AC AB BC……………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（2） 122102121)1(213212211--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T n n n n n T 2121)1(2122112121⨯+⨯-++⨯+⨯=- ， 两式相减得 n n n n n n T 222212121212121210+-=⨯-++++=-若n 为偶数，则3,2241<∴-<∴-λλn若n 为奇数，则2,2,2241->∴<-∴-<-∴-λλλn（2）由（I ）可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标系，令，则， ∴ ()()1,1,,0,1,3-=-=λ 设为平面MAB 的一个法向量，由⎩⎨⎧=⋅=⋅0011n AB n 得⎩⎨⎧=+-=+-003z y x y x λ 取，则，…………8分∵ 是平面FCB 的一个法向量 ∴1212||cos ||||n n n n θ⋅===⋅10分∵ ∴ 当时，有最小值，当时，有最大值。

2014年浙江省普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm24．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位5．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f （3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．2106．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞97．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．8．（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A．min{|+|，|﹣|}≤min{||，||} B．min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C．max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2 D．max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2 9．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m ≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）10．（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1二、填空题11．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是．12．（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=．13．（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是．14．（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）．15．（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是．16．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．17．（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）三、解答题18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积．19．（14分）已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．20．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．21．（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a ﹣b．22．（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M （a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．2014年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}【分析】先化简集合A，结合全集，求得∁U A．【解答】解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}，则∁U A={2}，故选：B．【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题．2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选：A．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y==的图象．【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．5．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f （3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．210【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．故选：C．【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．6．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9【分析】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b，代入0＜f（﹣1）≤3，即可求出c的范围．【解答】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得，解得，则f（x）=x3+6x2+11x+c，由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，故选：C．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．7．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象，比照后可得答案．【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．8．（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A．min{|+|，|﹣|}≤min{||，||} B．min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C．max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2 D．max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2【分析】将，平移到同一起点，根据向量加减法的几何意义可知，+和﹣分别表示以，为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断．【解答】解：对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{|+|，|﹣|}=0，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{|+|2，|﹣|2}=|+|2=4，而不等式右边=||2+||2=2，故C不成立，D选项正确．故选：D．【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将，，，放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法．9．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m ≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）【分析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P1，P2和E（ξ1），E（ξ2）进行比较即可．【解答】解析：，，，所以P1＞P2；由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，所以，==，E（ξ1）﹣E（ξ2）=．故选：A．【点评】正确理解ξi（i=1，2）的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解．10．（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1【分析】根据记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k （a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案【解答】解：由，故==1，由，故×=×＜1，+=，故I2＜I1＜I3，故选：B．【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．二、填空题11．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是6．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S＞50，跳出循环体，确定输出的i的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=2×1+2=4，i=3；第三次循环S=2×4+3=11，i=4；第四次循环S=2×11+4=26，i=5；第五次循环S=2×26+5=57，i=6，满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6．故答案为：6．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．12．（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=．【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得．【解答】解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=，，解得，，所以．故答案为：【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．13．（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是[] ．【分析】由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得C（1，）．联立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．要使1≤ax+y≤4恒成立，则，解得：1．∴实数a的取值范围是．解法二：令z=ax+y，当a＞0时，y=﹣ax+z，在B点取得最大值，A点取得最小值，可得，即1≤a≤；当a＜0时，y=﹣ax+z，在C点取得最大值，①a＜﹣1时，在B点取得最小值，可得，解得0≤a≤（不符合条件，舍去）②﹣1＜a＜0时，在A点取得最小值，可得，解得1≤a≤（不符合条件，舍去）综上所述即：1≤a≤；故答案为：．【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．14．（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有60种（用数字作答）．【分析】分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张．【解答】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有=24种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有=36种，共有24+36=60种．故答案为：60．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．15．（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是（﹣∞，] ．【分析】画出函数f（x）的图象，由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2．当a＜0时，f（a）=a2+a=（a+）2﹣≥﹣2恒成立；当a≥0时，f（a）=﹣a2≥﹣2，即a2≤2，解得0≤a≤，则实数a的取值范围是a≤，故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．16．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）【分析】过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，求出PP′，AP′，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：∵AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°，∴BC=20m，过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，设B P′=x，则CP′=20﹣x，由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=（20﹣x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则函数在x∈[0，20]单调递减，∴x=0时，取得最大值为=．若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=（20+x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则y′=0可得x=时，函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积．【分析】（1）利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），可得，即可得出．（2）利用正弦定理可得a，利用两角和差的正弦公式可得sinB，再利用三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）由题意得，，∴，化为，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），得，即，∴；（2）由，利用正弦定理可得，得，由a＜c，得A＜C，从而，故，∴．【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．【分析】（Ⅰ）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{a n}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a n，然后现利用条件求出通项b n；（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．【解答】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…a n=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{a n}为等比数列，且a1=2，∴{a n}的公比为q，则=4，，∴q＞0，∴q=2．由题意知a n＞0∴（n∈N*）．又由a1a2a3…a n=（n∈N*）得：，，∴b n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅱ）（i）∵c n===．∴S n=c1+c2+c3+…+c n====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，c n＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4．【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．20．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．【分析】（Ⅰ）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF=，AF=AD，从而GF=，cos∠BFG==，从而可求得答案．【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=，由AC=，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．在Rt△ACD中，由DC=2，AC=，得AD=；在Rt△AED中，由ED=1，AD=得AE=；在Rt△ABD中，由BD=，AB=2，AD=得BF=，AF=AD，从而GF=，在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=，BG=．在△BFG中，cos∠BFG==，所以，∠BFG=，二面角B﹣AD﹣E的大小为．【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．21．（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a ﹣b．【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0，利用△=0，可求得在第一象限中点P的坐标；（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，设直线l1的方程为x+ky=0，利用点到直线间的距离公式，可求得点P到直线l1的距离d=，整理即可证得点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．．【解答】解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b2﹣m2+a2k2=0，此时点P的横坐标为﹣，代入y=kx+m得点P的纵坐标为﹣k•+m=，∴点P的坐标为（﹣，），又点P在第一象限，故m＞0，故m=，故点P的坐标为P（，）．（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离d=，整理得：d=，因为a2k2+≥2ab，所以≤=a﹣b，当且仅当k2=时等号成立．所以，点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．22．（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M （a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用分段函数，结合[﹣1，1]，分类讨论，即可求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，则[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，转化为﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+3|x﹣a|=，∴f′（x）=，①a≤﹣1时，∵﹣1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（﹣1，1）上是增函数，∴M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣4﹣3a，∴M（a）﹣m（a）=8；②﹣1＜a＜1时，x∈（a，1），f（x）=x3+3x﹣3a，在（a，1）上是增函数；x∈（﹣1，a），f（x）=x3﹣3x+3a，在（﹣1，a）上是减函数，∴M（a）=max{f（1），f（﹣1）}，m（a）=f（a）=a3，∵f（1）﹣f（﹣1）=﹣6a+2，∴﹣1＜a≤时，M（a）﹣m（a）=﹣a3﹣3a+4；＜a＜1时，M（a）﹣m（a）=﹣a3+3a+2；③a≥1时，有x≤a，f（x）在（﹣1，1）上是减函数，∴M（a）=f（﹣1）=2+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a，∴M（a）﹣m（a）=4；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，∵[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，∴﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，由（Ⅰ）知，①a≤﹣1时，h（x）在（﹣1，1）上是增函数，最大值h（1）=4﹣3a+b，最小值h（﹣1）=﹣4﹣3a+b，则﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾；②﹣1＜a≤时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（1）=4﹣3a+b，∴a3+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2，令t（a）=﹣2﹣a3+3a，则t′（a）=3﹣3a2＞0，t（a）在（0，）上是增函数，∴t（a）＞t（0）=﹣2，∴﹣2≤3a+b≤0；③＜a＜1时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（﹣1）=3a+b+2，则a3+b≥﹣2且3a+b+2≤2，∴﹣＜3a+b≤0；④a≥1时，最大值h（﹣1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b﹣2，则3a+b﹣2≥﹣2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0．综上，3a+b的取值范围是﹣2≤3a+b≤0．【点评】本题考查导数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学思想，难度大．。

2014-2015学年浙江省嘉兴市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合M={x|x≤﹣2或x≥4}，C R N={X|2≤x≤6}，则M∩N=（）A．（﹣∞，﹣2]∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪（6，+∞）C．（﹣∞，2）∪[4，+∞）D．（﹣∞，2]∪[4，+∞）2．（5分）设a∈R，则“a=﹣1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1•a7=2a32，若a2=2，则a1=（）A．1B．4C．D．24．（5分）平面向量，满足||=2，|+|=4，且向量与向量+的夹角为，则||为（）A．2B．2C．2D．25．（5分）某组合体的三视图如图所示，其中俯视图的扇形中心角为60°，则该几何体的体积为（）A．+B．+C．3+D．3+2π6．（5分）已知锐角α满足，则sin2α等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知实数x，y满足，若可行域内存在点使得x+2y﹣a=0成立，则a的最大值为（）A．﹣1B．1C．4D．58．（5分）已知函数f（x）=，若f（m）＞f（﹣m），则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）9．（5分）如图所示，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F作斜率为1的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，且|OB|=2|OA|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．210．（5分）正四面体ABCD的棱长为2，棱AD与平面α所成的角θ∈[，]，且顶点A在平面α内，B，C，D均在平面α外，则棱BC的中点E到平面α的距离的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，]二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a7=﹣2，S9=18，则S11=．12．（4分）抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点P（﹣3，m）到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为．13．（4分）过点（1，﹣1）且与直线x+3y﹣3=0垂直的直线为l，则l被圆x2+y2=4截得的长度为．14．（4分）函数f（x）=（x∈R），则此函数的值域为．15．（4分）若函数f（x）=sin2ωπx（ω＞0）的图象在区间[0，]上至少有两个最高点和两个最低点，则ω的取值范围是．16．（4分）若a＞0，b＞0，且，则a+2b的最小值为．17．（4分）在面积为2的平行四边形ABCD中，点P为直线AD上的动点，则•+2的最小值是．三、解答题（本大题共4小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求4sinB﹣cosC的取值范围．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥PD，AD⊥CD，PA=PD，AD∥BC，AB=AD=2BC=2，E是棱PD的中点，设二面角P﹣AD﹣B的值为θ．（Ⅰ）当θ=时，求证：AP⊥CE；（Ⅱ）当θ=时，求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．20．（15分）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|（Ⅰ）若f（0）≥1，求a的取值范围；（Ⅱ）求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．21．（15分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点M（4，2），且离心率为，点R（x0，y0）是椭圆上的任意一点，从原点O引圆R：（x﹣x0）2+（y ﹣y0）2=8的两条切线分别交椭圆C于点P，Q．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：OP2+OQ2的值为定值．2014-2015学年浙江省嘉兴市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合M={x|x≤﹣2或x≥4}，C R N={X|2≤x≤6}，则M∩N=（）A．（﹣∞，﹣2]∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪（6，+∞）C．（﹣∞，2）∪[4，+∞）D．（﹣∞，2]∪[4，+∞）【解答】解：∵集合M={x|x≤﹣2或x≥4}，C R N={X|2≤x≤6}，∴N={x|x＜2或x＞6}，∴M∩N={x|x≤﹣2或x＞6}=（﹣∞，﹣2]∪（6，+∞）．故选：B．2．（5分）设a∈R，则“a=﹣1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=﹣1时，两直线方程分别为﹣x+y﹣1=0与直x﹣y+5=0，满足两直线平行．当a=1时，两直线方程分别为x+y﹣1=0与直x+y+5=0满足平行，但a=﹣1不成立，∴“a=﹣1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1•a7=2a32，若a2=2，则a1=（）A．1B．4C．D．2【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为正数，且a1•a7=2a32，∴，且q＞0，解得a1=，q=．故选：C．4．（5分）平面向量，满足||=2，|+|=4，且向量与向量+的夹角为，则||为（）A．2B．2C．2D．2【解答】解：由于||=2，|+|=4，且向量与向量+的夹角为，则•（）=||•||•cos=2×4×=4，即有+=4，即4+=4，即为=0，又（）2==16，即4+||2=16，可得||=2．故选：B．5．（5分）某组合体的三视图如图所示，其中俯视图的扇形中心角为60°，则该几何体的体积为（）A．+B．+C．3+D．3+2π【解答】解：由三视图知几何体为棱柱与圆柱的一部分组成，且棱柱的底面为边长为2的正三角形，高为3，圆柱的高为3，底面圆的半径为2，由正视图与俯视图判断底面扇形的中心角为60°，∴几何体的体积V=+×π×22×3=3+2π，故选：D．6．（5分）已知锐角α满足，则sin2α等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）；①cos（﹣α）=（cosα+sinα）；②∵锐角α满足，③∴由①②③得，cosα﹣sinα=，两边平方整理得：1﹣sin2α=⇒sin2α=．故选：A．7．（5分）已知实数x，y满足，若可行域内存在点使得x+2y﹣a=0成立，则a的最大值为（）A．﹣1B．1C．4D．5【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由x+2y﹣a=0，得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时a最大．由，得，即B（1，2），此时a的最大值为a=x+2y=1+2×2=5，故选：D．8．（5分）已知函数f（x）=，若f（m）＞f（﹣m），则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【解答】解：当m＞0时，f（m）＞f（﹣m）即为log 3m＞，即有log3m＞log3，即为m＞，由m＞0则m＞1；当m＜0，则f（m）＞f（﹣m）即为（﹣m），＞log即log3＞log3（﹣m），即为﹣m＜，由于m＜0，则﹣1＜m＜0．综上可得，m的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．故选：C．9．（5分）如图所示，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F 作斜率为1的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，且|OB|=2|OA|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．2【解答】解：设左焦点为（﹣c，0），直线AB：y=x+c，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由直线AB和渐近线方程可得交点A（，），B（，）（a＜b），由|OB|=2|OA|，可得|OB|2=4|OA|2，即有（）2+（）2=4[（）2+（）2]，化简得4（b﹣a）2=（b+a）2，即有3a2﹣10ab+3b2=0，即有a=3b（舍去）或b=3a，则c==a，e==．故选：B．10．（5分）正四面体ABCD的棱长为2，棱AD与平面α所成的角θ∈[，]，且顶点A在平面α内，B，C，D均在平面α外，则棱BC的中点E到平面α的距离的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，]【解答】解：取平面DEA⊥平面α位置考虑即可．如图所示，在△ADE中，AD=2，DE=AE=，∴cos∠DAE==，棱AD与平面α所成的角为时，sin∠EAN=sin（﹣∠DAE）==，∴EN=（）=或sin∠EAN=sin（+∠DAE）=∴EN=（）=∴棱BC的中点E到平面α的距离的取值范围是[，]．故选：C．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a7=﹣2，S9=18，则S11=0．【解答】解：由题意可得S9===18，解得a5=2，所以a6==0，故S11===0故答案为：012．（4分）抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点P（﹣3，m）到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为y2=﹣8x．【解答】解：由题意可设抛物线的方程为y2=﹣2px（p＞0），其准线方程为x=，由抛物线的定义可得，抛物线上的点P（﹣3，m）到焦点的距离为5，即为P到准线的距离为5，即有﹣（﹣3）=5，解得p=4，即有抛物线方程为y2=﹣8x．故答案为：y2=﹣8x．13．（4分）过点（1，﹣1）且与直线x+3y﹣3=0垂直的直线为l，则l被圆x2+y2=4截得的长度为．【解答】解：由题意可得，直线l的斜率为3，直线l的方程为y+1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣4=0．圆心（0，0）到直线l的距离为d==，故l被圆x2+y2=4截得的长度为2=2=，故答案为：．14．（4分）函数f（x）=（x∈R），则此函数的值域为（0，2）．【解答】解：f（x）===，令t=，t∈（0，+∞），则y=f（x）=，由t∈（0，+∞），得t+1∈（1，+∞），∴，．故答案为：（0，2）．15．（4分）若函数f（x）=sin2ωπx（ω＞0）的图象在区间[0，]上至少有两个最高点和两个最低点，则ω的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：函数f（x）=sin2ωπx==﹣cos2ωπx （ω＞0）的图象，在区间[0，]上至少有两个最高点和两个最低点，则区间[0，]上至少包含个周期，故有•≤，求得ω≥3，故答案为：[3，+∞）．16．（4分）若a＞0，b＞0，且，则a+2b的最小值为．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且，∴a+2b===﹣==．当且仅当，a＞0，b＞0，且，即，a=时取等号．∴a+2b的最小值为．故答案为．17．（4分）在面积为2的平行四边形ABCD中，点P为直线AD上的动点，则•+2的最小值是2．【解答】解：取BC的中点Q，连接PQ．则，•=，∴•+2=+=≥≥，此时，且．故答案为：．三、解答题（本大题共4小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求4sinB﹣cosC的取值范围．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵=，∴，…（2分）即b2+c2﹣a2=﹣bc，…（4分）∴cosA==，∴A=．…（7分）（Ⅱ）因为4sinB﹣cosC=4sinB﹣cos（）=4sinB﹣（cosB+sinB）…（9分）=sinB﹣cosB=sin（B﹣φ），其中tanφ=，因为：﹣1≤sin（B﹣φ）≤1，所以，4sinB﹣cosC∈[﹣，]．…（14分）19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥PD，AD⊥CD，PA=PD，AD∥BC，AB=AD=2BC=2，E是棱PD的中点，设二面角P﹣AD﹣B的值为θ．（Ⅰ）当θ=时，求证：AP⊥CE；（Ⅱ）当θ=时，求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点O，连结PO，则∵PA=PD，O为AD中点，∴PO⊥AD．又二面角P﹣AD﹣B的值为，∴PO⊥面ABCD，∴PO⊥CD，∴CD⊥AD．∵AD∩PO=O，∴CD⊥平面PAD．…（2分）又AP⊂平面PAD，∴CD⊥AP．…（4分）又PA⊥PD，∵PD∩CD=D，∴PA⊥平面PCD．∴AP⊥CE．…（7分）（Ⅱ）解：由题意知：∠POB=．如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（0，﹣1，0），B（，0，0），D（0，1，0），P（，0，）．…（9分）∴=（﹣，0，），=（，1，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，）．…（11分）而平面ABCD的法向量为=（0，0，1）．…（12分）设二面角P﹣AB﹣D的平面角为α．则cosα==．…（14分）20．（15分）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|（Ⅰ）若f（0）≥1，求a的取值范围；（Ⅱ）求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1⇒⇒a≤﹣1，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1]；（Ⅱ）函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|=，当a≥0时，①﹣a≤﹣2即a≥2时，f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以f（x）min=f（﹣2）=4﹣4a﹣a2；②﹣a＞﹣2即0≤a＜2时，f（x）在[﹣2，﹣a]上单调递减，在[﹣a，2]上单调递增，所以f（x）min=f（﹣a）=﹣2a2；当a＜0时，①≤﹣2即a≤﹣6时，f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以f（x）min=f（﹣2）=12+4a+a2；②＞﹣2即﹣6＜a＜0时，f（x）在[﹣2，]上单调递减，在[，2]上单调递增，所以f（x）min=f（）=，综上可得，f（x）min=21．（15分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点M（4，2），且离心率为，点R（x0，y0）是椭圆上的任意一点，从原点O引圆R：（x﹣x0）2+（y ﹣y0）2=8的两条切线分别交椭圆C于点P，Q．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：OP2+OQ2的值为定值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点M（4，2），则+=1，又e=，即=，且a2﹣b2=c2，解得a=2，b=2，则椭圆方程为+=1；（Ⅱ）证明：设直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，P（x1，y1），Q（x2，y2），设过原点圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8的切线方程为y=kx，则有=2，整理得（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+y02﹣8=0即有k1+k2=，k1k2=，又因为+=1，所以可求得k1k2=﹣，将y=k1x代入椭圆方程x2+2y2=24，得x12=，则y12=，同理可得x22=，y22=，所以OP2+OQ2=+===36．所以OP2+OQ2的值为定值36．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = xxx(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

是否开始S =1n =1n =n +1S =S +(-1)n +1n 2输出S结束第（4）题第（6）题嘉兴市第一中学2013学年第一学期期中考试高三数学（文科）满分[ 100]分 时间[120]分钟 2013年11月一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{0，1，2，3}， N ＝{x |12＜2x ＜4}，则集合M ∩(C R N )等于（▲）A ．{0，1，2}B ．{2，3}C ．∅D ．{0，1，2，3}2．设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（▲）A ．3-Ｂ． 1-Ｃ．1Ｄ．33．已知))(sin()(R x x f ∈+=ϕϕ，则“2πϕ=”是“)(x f 是偶函数”的（▲）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如右图所示的算法流程图中输出的最后一个数为10-，则判断框中的条件是（▲）A ． 4?n < Ｂ． 4?n ≥ Ｃ． 5?n ≥ Ｄ．5?n < 5．若函数()(01)xxf x ka aa a -=->≠且在（-∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数()log ()a g x x k =+的图象是（▲）Ａ Ｂ Ｃ Ｄ6．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（▲）Ａ．2,3π-Ｂ．2,6π-Ｃ．4,6π-Ｄ．4,3π第（12）题7. 设a 是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（▲） A ． 过a 一定存在平面β,使得αβ// B ． 过a 一定不存在平面β,使得αβ⊥ C ． 在平面α内一定存在直线b ，使得b a ⊥ D ． 在平面α内一定不存在直线b ，使得b a // 8． 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（▲） A ．13B ．12C ．23D ．349．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于B A ,两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （▲）Ａ．221+ Ｂ．224- Ｃ．225- Ｄ．223+10．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当 [2,0]x ∈-时，1()()12x f x =-．若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（▲）A ．(1,2)B ．(2,)+∞C． D．2)二.填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1000名学生在该次自主招生水平测试中不低于70分的学生数是 ▲ ． 12．一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点），则多面体F —MNB 的体积= ▲ ．0．0．0．0．0．0．0．13．若实数,x y 满足不等式组2,24,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则x y z 1+=的最小值是 ▲ ．14．给出下列不等式：131211>++， 237131211>+++ ， 215131211>+++1115123312++++>，… ，则按此规律可猜想第n 个不等式为 ▲ ．15．设1x 、2x 是关于x 的方程220x mx m m ++-=的两个不相等的实数根，那么过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与圆22(1)(1)1x y -+-=的位置关系是 ▲ ．（相交、相离、相切 ） 16．向量d c b a ,,,满足: 1=||a ,2=||b ,b 在a 上的投影为21,0=-⋅-)()(c b c a , 1=-||c d ，则||||d c +的最大值是 ▲ ．17．函数{}()m i n ,2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在” ▲ ． 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A aC = （Ⅰ）求角C 的大小；cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知1122331,3,815a b a b T S ==+=-= （Ⅰ）求{},{}n n a b 的通项公式．（Ⅱ）若数列{}n c 满足112211(1)(2)1()n n n n a c a c a c a c n n n n N *--++++=+++∈ 求数列{}n c 的前n 项和n W ．20．如图，在平行四边形ABCD 中，AB=2BC ，∠ABC=120°．E 为线段AB 的中点，将△ ADE沿直线DE 翻折成△A ′DE ，使平面A ′DE ⊥平面BCD ，F 为线段A ′C 的中点． （Ⅰ）求证：BF ∥平面A ′DE ；（Ⅱ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A ′DE 所成角的余弦值．21．已知函数xxe x f =)(()x ∈R .（Ⅰ）求函数()x f 的单调区间； （Ⅱ）若()3f x kx k '≥-对一切[)1,x ∈-+∞恒成立，求正实数k 的取值范围.22．设动点(),P x y ()0x ≥到定点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到y 轴的距离大12．记点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设圆M 过()1,0A ，且圆心M 在P 的轨迹上，BD 是圆Ｍ在y 轴的截得的弦，当Ｍ运动时弦长BD 是否为定值？说明理由；A ′AD MFCBE第（２０）题（Ⅲ）过1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭作互相垂直的两直线交曲线C 于G 、H 、R 、S ，求四边形GRHS 面积的最小值．嘉兴市第一中学2013学年第一学期期中考试 高三数学（文科） 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{0，1，2，3}， N ＝{x |12＜2x ＜4}，则集合M ∩(C R N )等于（ B ）A ．{0，1，2}B ．{2，3}C ．O /D ．{0，1，2，3}2．设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为 （ D ）A ．-3Ｂ．-1Ｃ．1Ｄ．33．已知))(sin()(R x x f ∈+=ϕϕ，则“2πϕ=”是“)(x f 是偶函数”的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4． 如右图所示的算法流程图中输出的最后一个数为10-（ ）A ． 4?n < Ｂ． 4?n ≥ Ｃ． 5?n ≥ Ｄ． 5?n <5．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<,ωϕ的值分别是（A ）Ａ．2,3π-Ｂ．2,6π-Ｃ．4,6π- Ｄ．4,3π6．若函数()(01)x xf x ka a a a -=->≠且在（-∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数()log ()a g x x k =+的图象是（C ）7． 设a 是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是 （C ） A ． 过a 一定存在平面β,使得αβ// B ． 过a 一定不存在平面β,使得αβ⊥ C ． 在平面α内一定存在直线b ，使得b a ⊥ D ． 在平面α内一定不存在直线b ，使得b a // 8． 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）A ．13B ．12C ．23D ．349．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于B A ,两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e CＡ．221+ Ｂ．224- Ｃ．225- Ｄ．223+10．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当 [2,0]x ∈-时，1()()12x f x =-．若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( D )A ．(1,2)B ．(2,)+∞ C． D．2)二.填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1000名学生在该次自主招生水平测试中不低于70分的学生数是 ．6000．0．0．0．0．0．0．12．若实数,x y 满足不等式组2,24,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则x y z 1+=的最小值是 ．1213． 一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点），则多面体F —MNB 的体积= 1814． 给出下列不等式：131211>++， 237131211>+++ ， 215131211>+++1115123312++++>，… ，则按此规律可猜想第n 个不等式为 ． 21121312111+>-+++++n n15．设1x 、2x 是关于x 的方程220x mx m m ++-=的两个不相等的实数根，那么过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与圆22(1)(1)1x y -+-=的位置关系是 ．（相交、相离、相切 ）相离16． 向量d c b a ,,,满足: 1=||a ,2=||b ,b 在a 上的投影为21,0=-⋅-)()(c b c a , 1=-||c d ，则||||d c +的最大值是 ．23+ 不妨设向量d c b a ,,,有相同的起点O ，终点分别为D C B A ,,,．由b 在a 上的投影为21知21=⋅b a ，由0=-⋅-)()(c b c a 知：C 在以AB 为直径的圆上． 故当向量c 过AB 中点时，其模最大，此时：||c =21（++||b a ||b a -）=221+，由1=-||c d 知，D 在以C 为圆心，1为半径的圆上，故当D C ,共线时||d 最大，故m a x |)||(|d c +=1||2max +c =23+第（13）题17．函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______1________．17． 【解析】由2x =-得2444x x x =-+，即2840x x -+=，解得4x =+或4x =-4B x =-4C x =+，所以422B y =-=，所以由图象可知要使直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则有02m <<-，即实数m 的取值范围是02m <<．不妨设123x x x <<，则由题意可知m =，所以214m x =，由2x m -=得232,2x m x m =-=+，所以222123(4)(2)(2)44m m m x x x m m -=-+=，因为222224(4)()42m m m m +--≤=，所以22123(4)4144m m x x x -=≤=，即123x x x 存在最大值，最大值为1．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18． 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C = （1）求角C 的大小；（2cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．解：（1）由正弦定理得：sin sin sin cos A C A C =，因为0A π<<故sin 0A >；从而sin cos cosC 0C C =≠又，所以tan 1C =，则4C π= ----------4分（2）由（1）知34B A π=-，于是cos()cos()4cos 2sin()6A B A A A A A πππ-+=--=+=+3110,46612A A ππππ<<∴<+<，从而62A ππ+=即3A π=时，2sin()6A π+取最大值2cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,312A B ππ==19． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知1122331,3,815a b a b T S ==+=-= （1）求{},{}n n a b 的通项公式．（2）若数列{}n c 满足112211(1)(2)1()n n n n a c a c a c a c n n n n N *--++++=+++∈ 求数列{}n c 的前n 项和n W ．⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q111,3a b == 由 228a b +=，得 138d q ++= ①由 3315T S -= 得 23(1)(33)15q q d ++-+= ②化简①②23735q d q q d +=⎧∴⎨+-=⎩ 消去d 得24120q q +-=2q ∴=或6q =- 0q >2q ∴= 则 1d =n a n ∴= 132n n b -=⋅ （7分）⑵n a n =12323c c c ∴+++…(1)(2)1n nc n n n +=+++ ①当2n ≥时，12323c c c +++…1(1)(1)(1)1n n c n n n -+-=-++ ② 由①-②得3(1)n nc n n =+33n c n ∴=+ (2)n ≥又由⑴得17c =337n n c +⎧∴=⎨⎩(2)(1)n n ≥= {}n a ∴的前n 项和7912n w =+++…33n ++2633391()122n n nn +++=+⋅=+ （14分）20． 如图，在平行四边形ABCD 中，AB=2BC ，∠ABC=120°．E 为线段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE ，使平面A ′DE ⊥平面BCD ，F 为线段A ′C 的中点． （１）求证：BF ∥平面A ′DE ；（２）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A ′DE 所成角的余弦值．(1)略(2)1221. 已知函数xxe x f =)(()x ∈R .A ′A D MFBE（Ⅰ）求函数()x f 的单调区间；（Ⅱ）若()3f x kx k '≥-对一切[)1,x ∈-+∞恒成立，求正实数k 的取值范围.解：（Ⅰ）x e x x f )1()(+='， …………………2分 当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<；当()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为()1,-+∞，单调递减区间为(),1-∞-.………5分（Ⅱ）由已知条件可知，原不等式等价于(1)xx e +(31)k x ≥-， 当113x -≤≤时， 0k >，(31)0k x ∴-≤，而(1)0xx e +≥，此时不等式显然成立；………………………7分 当13x >时，(1)31x x e k x +≤-. ………………8分 设()g x =(1)1()(31)3x x e x x +>-，2'2(325)().(31)xx x e g x x +-=-………………9分 '()0g x =令得53x =-或1x =， …………………………10分 当1,1)3x ∈(时，'()0g x <，()g x 单调递减，…………11分 当,)x ∈+∞(1时，'()0g x >，()g x 单调递增，……………12分故当1x =时，()g x 有最小值e ，………………………13分即得0k e <≤. …………………15分22． 设动点(),P x y ()0x ≥到定点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到y 轴的距离大12．记点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设圆M 过()1,0A ，且圆心M 在P 的轨迹上，BD 是圆Ｍ在y 轴的截得的弦，当Ｍ运动时弦长BD 是否为定值？说明理由；（Ⅲ）过1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭作互相垂直的两直线交曲线C 于G 、H 、R 、S ，求四边形GRHS 面积的最小值． 【解析】(Ⅰ) 由题意知，所求动点(),P x y 为以1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线1:2l x =-为准线的抛物线，方程为22y x =. （Ⅱ）因为圆心M 在抛物线22y x =上，可设圆心2(,)2a M a，半径r = 圆的方程为222222()()(1)22a a x y a a -+-=-+， 令0x =，得(0,1)B a +，(0,1)D a -+，所以||2BD =，所以弦长||BD 为定值.（Ⅲ）设过F 的直线方程为1()2y k x =-，11(,)G x y ，22(,)H x y ， 由21()22y k x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2222(2)04k k x k x -++=， 由韦达定理得12221x x k +=+，1214x x =，所以||GH =222k ==+， 同理2||22RS k =+.所以四边形GRHS 的面积()22221212222282T k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即四边形GRHS 面积的最小值为8.。

2014-2015学年浙江省嘉兴一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．（3分）若球的表面积扩大到原来的2倍，则球的体积扩大到原来的（）A．2倍；B．倍C．2倍D．3倍2．（3分）如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8 C．2+3D．2+23．（3分）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．4．（3分）下列命题中，正确的命题是（）（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台（4）四面体都是三棱锥．A．②④B．①②C．①②③D．②③④5．（3分）对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊂α，n∥α，则m∥nD．若m、n与α所成的角相等，则m∥n6．（3分）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．7．（3分）如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°8．（3分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF=b＜a，若Q是A1D1上的定点，P在C1D1上滑动，则四面体PQEF的体积（）A．是变量且有最大值B．是变量且有最小值C．是变量无最大最小值D．是常量9．（3分）已知异面直线a、b所成角为，经过定点P与a、b所成的角均为的平面有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数10．（3分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是（）A． B． C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．（3分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．12．（3分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为．13．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，将△ABD沿对角线BD折起到A'BD，使点A'在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD 所成角的大小为；A'D与平面A'BC所成的角的大小为．14．（3分）正三棱锥的高为1，底面边长为2，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．则球的表面积为．15．（3分）定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有个．16．（3分）在四面体ABCD中，已知AB=4，AC=4，AD=2，且AB、AC、AD两两所成角为60°，则四面体ABCD的体积为．17．（3分）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是．三．解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1=，D 是A1B1中点．（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AP=AB=2，AC=4，D为PC 中点，E为PB上一点，且，BC∥平面ADE．（1）证明：E为PB的中点；（2）若PB⊥AD，求直线AC与平面ADE所成角的正弦值．20．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°，AD=2，CD=3，求四面体FPCE的体积．21．在边长为a的正方形ABCD中，M，N分别为DA、BC上的点，且MN∥AB，连结AC交MN于点P，现沿MN将正方形ABCD折成直二面角．（1）求证：无论MN怎样平行移动（保持MN∥AB），∠APC的大小不变并求出此定值；（2）当MN在怎样的位置时，M点到面ACD的距离最大？22．如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．2014-2015学年浙江省嘉兴一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．（3分）若球的表面积扩大到原来的2倍，则球的体积扩大到原来的（）A．2倍；B．倍C．2倍D．3倍【解答】解：设原球的半径R，表面积扩大2倍，则半径扩大倍，体积扩大2倍，故选：C．2．（3分）如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8 C．2+3D．2+2【解答】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB=2，所以OC=3，则四边形OABC的长度为8．故选：B．3．（3分）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【解答】解：解法1：由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C．解法2：当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是．故选：C．4．（3分）下列命题中，正确的命题是（）（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台（4）四面体都是三棱锥．A．②④B．①②C．①②③D．②③④【解答】解：（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱，错误；反例：将两个相同的斜平行六面体叠放；（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，正确，在长方体中可以截出；（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台，错误，侧棱可能无法聚成一点；（4）四面体都是三棱锥，正确．故选：A．5．（3分）对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊂α，n∥α，则m∥nD．若m、n与α所成的角相等，则m∥n【解答】解：由于直线m、n共面，对于A．若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，故A错；对于B．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行，故B错；对于C．若m⊂α，n∥α，由于m、n共面，则m∥n，故C对；对于D．若m、n与α所成的角相等，则m，n相交或平行，故D错．故选：C．6．（3分）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：O是AC中点，连接DO，BO，如图，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形，DO=BO==，BD=a，△BDO也是等腰直角三角形，DO⊥AC，DO⊥BO，DO⊥平面ABC，DO就是三棱锥D﹣ABC的高，S△ABC=a2三棱锥D﹣ABC的体积：，故选：D．7．（3分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°【解答】解：因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；易证面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；故选：D．8．（3分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF=b＜a，若Q是A1D1上的定点，P在C1D1上滑动，则四面体PQEF的体积（）A．是变量且有最大值B．是变量且有最小值C．是变量无最大最小值D．是常量【解答】解：∵因为EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值，∴△QEF的面积是定值，∵C1D1∥平面QEF，P在C1D1上滑动，∴P到平面QEF的距离是定值．即三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值．故选：D．9．（3分）已知异面直线a、b所成角为，经过定点P与a、b所成的角均为的平面有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数【解答】解：过P作a'∥a，b'∥b，设直线a'、b'确定的平面为α∵异面直线a、b成，∴直线a'、b'所成锐角为，钝角为．①当过P的平面经过钝角所在的角平分线且和α垂直时，a，b与平面所成的角都为，满足条件；②当过P的平面与平面α平行或重合时，此时两个平面的夹角为0，当过P的平面与平面α垂直时，此时另个平面的夹角，适当调整平面的位置，可使平面与a、b也都成角，这样的平面有两个，综上所述，过点P与a'、b'都成角的平面有3个．故选：C．10．（3分）正三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是（）A． B． C．D．【解答】解：沿着棱AB将棱柱的侧面展开，故小虫爬行的最短距离为=，故选：A．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．（3分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．12．（3分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为．【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为2，三棱锥的底面为等腰三角形，且三角形的底边长为2，底边上的高为1，∴几何体的体积V=××2×1×2=．故答案为：．13．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，将△ABD沿对角线BD折起到A'BD，使点A'在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD 所成角的大小为90°；A'D与平面A'BC所成的角的大小为30°．【解答】解：由于A'O⊥平面ABCD∴A'O⊥DC又∵BC⊥DC，BC∩A'O=O∴DC⊥平面A'BCDC⊥A'B即异面直线A′B与CD所成角的大小为90°（2）由（1）中DC⊥平面A'BC即∠DA′C即为A'D与平面A'BC所成的角在△DA′C中，∵DC=2，A′D=4，A′C=2∴∠DA′C=30°故答案为：90°，30°14．（3分）正三棱锥的高为1，底面边长为2，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．则球的表面积为．【解答】解：如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∵AB=2，∴DE=，∵PD=1，∴PE===∴S△PBC设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则×1=r，∴r=，∴球的表面积为．故答案为：．15．（3分）定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有4个．【解答】解：如图所示：①过点P作平面α∥平面ABC．则△ABC的三个顶点到α的距离相等；②分别取线段AB、BC、CA的中点，则三个平面PFD、PDE、PEF皆满足题意．综上可知：满足题意的平面α共有4个．故答案为4．16．（3分）在四面体ABCD中，已知AB=4，AC=4，AD=2，且AB、AC、AD两两所成角为60°，则四面体ABCD的体积为．【解答】解：设B在平面ACD中的射影为O，则∵AB、AC、AD两两所成角为60°，∴cos∠BAC=cos∠BAOcos∠OAC，∴cos60°=cos∠BAOcos30°，∴cos∠BAO=，∴sin∠BAO=，∴BO=ABsin∠BAO=，∵AC=4，AD=2，∠DAC=60°，==2，∴S△ACD∴V ABCD==．故答案为：．17．（3分）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是．【解答】解：因为正四面体的对角线互相垂直，且棱AB∥平面α，当CD∥平面α，这时的投影面是对角线为1的正方形，此时面积最大，是2××1×=当CD⊥平面α时，射影面的面积最小，此时构成的三角形底边是1，高是直线CD到AB的距离，为，射影面的面积是，故答案为：[]三．解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1=，D 是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面AA1B1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°．又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1．∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B．（2）解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF∩C1D=D，∴AB1⊥平面C1DF．四边形AA1B1B为正方形，此时点F为B1B的中点．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AP=AB=2，AC=4，D为PC 中点，E为PB上一点，且，BC∥平面ADE．（1）证明：E为PB的中点；（2）若PB⊥AD，求直线AC与平面ADE所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵BC∥平面ADE，BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面ADE=DE，∴BC∥DE．∵D为PC中点，∴E为PB的中点．（2）解：∵AP=AB，E为PB的中点，∴AE⊥PB，又PB⊥AD，∴PB⊥平面ADE，得DE⊥PB，且平面PBC⊥平面ADE．由BC∥DE，得BC⊥PB．过C作CH⊥ED于H，由平面PBC⊥平面ADE，∴CH⊥平面ADE．∴∠CAH是直线AC与平面ADE所成的角．∵BC∥DE，BC⊥PB，∴CH=BE=PB=，∴sin∠CAH==．20．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°，AD=2，CD=3，求四面体FPCE的体积．【解答】（1）证明：取PC中点M，连ME，MF，∵FM∥CD，FM=CD，AE∥CD，AE=CD，∴AE∥FM，且AE=FM，即四边形AFME是平行四边形，∴AF∥EM，∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE；（2）解：∵PA⊥平面AC，CD⊥AD，∴CD⊥PD∴∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，∴∠PDA=45°∴△PAD是等腰直角三角形，而EM∥AF．又∵AF⊥CD∴AF⊥面PCD，而EM∥AF∴EM⊥面PCD又EM⊂面PEC，∴面PEC⊥面PCD在面PCD内过F作FH⊥PC于H，则PH⊥平面PCE，则FH为点F到面PCE的距离．由已知PD=2，PF=PD=，PC=∵△PFH∽△PCD，∴=，∴FH==，∴四面体FPCE的体积V F=FH•S△PEC=×××=1．﹣PEC21．在边长为a的正方形ABCD中，M，N分别为DA、BC上的点，且MN∥AB，连结AC交MN于点P，现沿MN将正方形ABCD折成直二面角．（1）求证：无论MN怎样平行移动（保持MN∥AB），∠APC的大小不变并求出此定值；（2）当MN在怎样的位置时，M点到面ACD的距离最大？【解答】（1）证明：在边长为a的正方形ABCD中，M，N分别为DA、BC上的点，且MN∥AB，连结AC交MN于点P，现沿MN将正方形ABCD折成直二面角．设MC=x，（0＜x＜a）根据AC平分∠DAB得到：PN=x，MP=a﹣x，MA=a﹣x，AN=，AP=PC=进一步在△APC中利用余弦定理：=所以：无论MN怎样平行移动（保持MN∥AB），∠APC的大小不变．此定值为．（2）由图形可知：MN∥平面ACD过M作ME⊥平面ACD，设MD=x利用面积相等得：ME==（当且仅当x=时）即：当M在中点时，M点到面ACD的距离最大．22．如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．【解答】解：（I）证明：过点Q作QD⊥BC于点D，∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC，又∵PA⊥平面ABC，∴QD∥PA，又∵QD⊂平面QBC，PA⊄平面QBC，∴PA∥平面QBC．（Ⅱ）方法一：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形PADQ是矩形．设PA=2a，∴，PB=2a，∴．过Q作QR⊥PB于点R，∴QR==，==，取PB中点M，连接AM，取PA的中点N，连接RN，∵PR=，，∴MA∥RN．∵PA=AB，∴AM⊥PB，∴RN⊥PB．∴∠QRN为二面角Q﹣PB﹣A的平面角．连接QN，则QN===．又，∴cos∠QRN===．即二面角Q﹣PB﹣A的余弦值为．（Ⅱ）方法二：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴点D是BC的中点，连AD，则AD⊥BC．∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形PADQ是矩形．分别以AC、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，则Q（1，1，2），B（0，2，0），P（0，0，2），设平面QPB的法向量为．∵=（1，1，0），=（0，2，﹣2）．∴令x=1，则y=z=﹣1．又∵平面PAB的法向量为．设二面角Q﹣PB﹣A为θ，则|cosθ|===又∵二面角Q﹣PB﹣A是钝角∴．。

浙江省嘉兴市第一中学等五校2015届高三上学期第一次联考数学（理）试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R ，集合{}{}221,680x A x B x x x =≥=-+≤，则R A C B =I （ ）（A ）{}0x x ≤ （B ）{}24x x ≤≤（C ）{}024x x x ≤<>或 （D ）{}024x x x ≤<≥或2．在等差数列{}n a 中，432a a =-，则此数列{}n a 的前6项和为（ ） （A ）12 （B ）3 （C ）36 （D ）6 3．已知函数()y f x x =+是偶函数，且(2)1f =，则(2)f -=（ ）（A ）1- （B ） 1 （C ）5- （D ）5 4．已知直线,l m ，平面,αβ满足,l m αβ⊥⊂，则“l m ⊥”是“//αβ”的（ ） （A ）充要条件 （B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 5．函数()cos 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(,0)x R ω∈>的最小正周期为π，为了得到()f x 的图象，只需将函数()sin 3g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） （A ）向左平移2π个单位长度 （B ）向右平移2π个单位长度（C ）向左平移4π个单位长度（D ）向右平移4π个单位长度7．如图，在正四棱锥ABCD S -中，N M E ,,分别是SC CD BC ,,的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①AC EP ⊥；②//EP BD ；③SBD EP 面//；④SAC EP 面⊥．中恒成立的为（ ）（A ）①③ （B ）③④ （C ）①② （D ）②③④8．已知数列{}n a 满足：11a =，12n n n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n nb n a λ+=-⋅+()n N *∈，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）（A ）23λ>（B ）32λ> （C ）23λ< （D ）32λ<9．定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是（ ）（A ）[8,10]-（B ） [7,10]-（C ）[6,8]- （D ）[7,8]-10．已知函数52log (1)(1)()(2)2(1)x x f x x x ⎧-<=⎨--+≥⎩，则关于x 的方程1(2)f x a x +-=的实根个数不可能．．．为（ ） （A ）5个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个非选择题部分（共100分）二、填空题 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分． 11．函数)2(log 1)(2-=x x f 的定义域为_____▲____．12．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，222BC AD ==，则直线AD 与底面BCD 所成角为_____▲____． 13．已知3cos()45πα+=，322ππα≤<，则cos2α=_____▲____． 14．定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)()f x f x +=-，且(1)2f =，则(2013)(2015)f f +=_____▲____．15．设12n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅a ,a ,,a ,是按先后顺序排列的一列向量，若1(2014,13)=-a ， 且1(1,1)n n --=a a ，则其中模最小的一个向量的序号n = ___▲____．16．设向量2(2,3cos 2)λλα=+-a ，(,sin cos )2mm αα+b =，其中,,m λα为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围为_____▲____．17．若实数,,a b c 满足2221a b c ++=，则2332ab bc c -+的最大值为____▲____．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知30B ∠=o,ABC ∆的面积为32．（Ⅰ）当,,a b c 成等差数列时，求b ； （Ⅱ）求AC 边上的中线BD 的最小值．19．（本题满分14分）四棱锥P ABCD -如图放置，//,AB CD BC CD ⊥,2AB BC ==，1CD PD ==，PAB ∆为等边三角形．（Ⅰ）证明：面PD PAB ⊥；（Ⅱ）求二面角P CB A --的平面角的余弦值．20．本题满分15分）已知函数2()2f x x x x a =+-，其中a R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式4()16f x ≤≤在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1nn n a b a +=，记数列{}n b 的前n 和为n T ，证明：1032n n T -<-<．22．（本题满分14分）给定函数()f x 和常数,a b ，若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数()f x 的一个“好数对”；若(2)()f x af x b ≥+恒成立，则称(,)a b 为函数()f x 的一个“类好数对”．已知函数()f x 的定义域为[1,)+∞．（Ⅰ）若(1,1)是函数()f x 的一个“好数对”，且(1)3f =，求(16)f ； （Ⅱ）若(2,0)是函数()f x 的一个“好数对”，且当12x <≤时，()f x = 函数()y f x x =-在区间(1,)+∞上无零点；（Ⅲ）若(2,2)-是函数()f x 的一个“类好数对”，(1)3f =，且函数()f x 单调递增，比较()f x 与22x+的大小，并说明理由．2014学年浙江省第一次五校联考数学（理科）答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．(19)解法1：（Ⅰ）易知在梯形ABCD 中，=5AD 12，PD AP ==，则PD PA ⊥ 同理PD PB ⊥，故面PD PAB ⊥；…………6分 （Ⅱ）取AB 中点M ,连,PM DM ，作PN DM ⊥,垂足为N ,再作NH BC ⊥,连HN 。

2014-2015学年浙江省嘉兴一中高一（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）2．（3分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=x﹣1，g（x）=﹣1 B．f（x）=|x|，g（x）=（）2C．f（x）=x，g（x）=D．f（x）=2x，g（x）=3．（3分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=﹣x3，x∈R B．y=sinx，x∈R C．y=x，x∈R D．4．（3分）若，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c5．（3分）已知函数，则f（﹣2）=（）A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣16．（3分）如图所示，阴影部分的面积S是h的函数（0≤h≤H）．则该函数的图象是（）A．B．C．D．7．（3分）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：（1）如果不超过200元，则不给予优惠；（2）如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；（3）如果超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是（）A．413.7元 B．513.7元 C．546.6元 D．548.7元8．（3分）已知函数f（x）=ax2﹣x+a+1在（﹣∞，2）上单调递减，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[2，+∞）D．[0，4]9．（3分）已知定义在R上的函数f（x）=（x2﹣5x+6）•g（x）+x3+x﹣25，其中函数y=g（x）的图象是一条连续曲线，则方程f（x）=0在下面哪个范围内必有实数根（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）10．（3分）设函数，集合M={x|f（x）=0}={x1，x2，…，x7}⊆N*，设c1≥c2≥c3≥c4，则c1﹣c4=（）A．11 B．13 C．7 D．9二．填空题（本大题共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3分）函数的定义域为．12．（3分）当a＞0且a≠1时，函数f（x）=a x﹣2﹣3必过定点．13．（3分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，则当x＜0时，f（x）=．14．（3分）函数f（x）=log（5+4x﹣x2）的单调递增区间．15．（3分）已知函数f（x）=则满足等式f（1﹣x2）=f（2x）的实数x的集合是．16．（3分）函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M，当x∈M时，关于x方程4x ﹣2x+1=b（b∈R）有两不等实数根，则b的取值范围为．17．（3分）已知函数y=f（x）和y=g（x）在[﹣2，2]上的图象如图所示：给出下列四个命题：①方程f[g（x）]=0有且仅有6个根；②方程g[f（x）]=0有且仅有3个根；③方程f[f（x）]=0有且仅有7个根；④方程g[g（x）]=0有且仅有4个根．其中正确命题的序号为．三．解答题（本大题共5小题，满分49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（8分）求值：（1）（2）．19．（8分）已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．（1）若a=2，求M∩（∁R N）；（2）若M∪N=M，求实数a的取值范围．20．（9分）已知函数（1）若m=1，求函数f（x）的定义域．（2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．（3）若函数f（x）在区间上是增函数，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=，函数f（x）为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若解不等式f（3m2﹣m+1）+f（2m﹣3）＜0．22．（12分）已知函数．（1）若a=6，写出函数f（x）的单调区间，并指出单调性；（2）若函数f（x）在[1，a]上单调，且存在x0∈[1，a]使f（x0）＞﹣2成立，求a的取值范围；（3）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．2014-2015学年浙江省嘉兴一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁R B={x|x＜﹣1或x ＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩（∁R B）=（3，4）故选：B．2．（3分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=x﹣1，g（x）=﹣1 B．f（x）=|x|，g（x）=（）2C．f（x）=x，g（x）=D．f（x）=2x，g（x）=【解答】解：A．g（x）=﹣1=x﹣1，（x≠0），函数f（x）和g（x）的定义域不相同，不是同一函数．B．g（x）=（）2=x，（x≥0），函数f（x）和g（x）的定义域不相同，不是同一函数．C．g（x）==x，函数f（x）和g（x）的定义域和对应法则相同，是同一函数．D．g（x）==2|x|，函数f（x）和g（x）的对应法则不相同，不是同一函数．故选：C．3．（3分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=﹣x3，x∈R B．y=sinx，x∈R C．y=x，x∈R D．【解答】解：A在其定义域内既是奇函数又是减函数；B在其定义域内是奇函数但不是减函数；C在其定义域内既是奇函数又是增函数；D在其定义域内是非奇非偶函数，是减函数；故选：A．4．（3分）若，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【解答】解：由对数函数的性质可知：＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，b＞1∴b＞a＞c故选：D．5．（3分）已知函数，则f（﹣2）=（）A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：∵函数，∴当x=﹣2时，f（﹣2）=f（﹣2+2）=f（0）=0+1=1；故选：B．6．（3分）如图所示，阴影部分的面积S是h的函数（0≤h≤H）．则该函数的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，阴影部分的面积S随h的增大，S减小的越来越慢，即切线斜率越来越小，故排除A，由于面积越来越小，再排除B、C；故选：A．7．（3分）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：（1）如果不超过200元，则不给予优惠；（2）如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；（3）如果超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是（）A．413.7元 B．513.7元 C．546.6元 D．548.7元【解答】解：某人两次去购物，分别付款168元与423元，由于商场的优惠规定，168元的商品未优惠，而423元的商品是按九折优惠后的，则实际商品价格为423÷0.9=470元，如果他只去一次购买同样的商品即价值168+470=638元的商品时，应付款为：500×0.9+（638﹣500）×0.7=450+96.6=546.6（元）．故选：C．8．（3分）已知函数f（x）=ax2﹣x+a+1在（﹣∞，2）上单调递减，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[2，+∞）D．[0，4]【解答】解：对函数求导y′=2ax﹣1，函数在（﹣∞，2）上单调递减，则导数在（﹣∞，2）上导数值小于等于0，当a=0时，y′=﹣1，恒小于0，符合题意；当a≠0时，因函导数是一次函数，故只有a＞0，且最小值为y′=2a×2﹣1≤0，⇒a≤，∴a∈[0，]，解法二、当a=0时，f（x）递减成立；当a＞0时，对称轴为x=，由题意可得≥2，解得0＜a≤，当a＜0不成立．∴a∈[0，]．故选：B．9．（3分）已知定义在R上的函数f（x）=（x2﹣5x+6）•g（x）+x3+x﹣25，其中函数y=g（x）的图象是一条连续曲线，则方程f（x）=0在下面哪个范围内必有实数根（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵f（2）f（3）=﹣15×5＜0，∴由零点存在定理得：方程f（x）=0在（2，3）范围内有实根．故选：C．10．（3分）设函数，集合M={x|f（x）=0}={x1，x2，…，x7}⊆N*，设c1≥c2≥c3≥c4，则c1﹣c4=（）A．11 B．13 C．7 D．9【解答】解：由根与系数的关系知x i+y i=8，x i•y i=c i，这里x i，y i为方程x2﹣8x+c i=0之根，i=1， (4)又∵M={x|f（x）=0}={x1，x2，…，x7}⊆N*，由集合性质可得（x i，y i）取（1，7），（2，6），（3，4），（4，4），又c1≥c2≥c3≥c4，故c1=16，c4=7∴c1﹣c4=9故选：D．二．填空题（本大题共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3分）函数的定义域为{x|1＜x≤2} ．【解答】解：要使函数有意义则，∴，即1＜x≤2，即函数的定义域为{x|1＜x≤2}．故答案为：{x|1＜x≤2}．12．（3分）当a＞0且a≠1时，函数f（x）=a x﹣2﹣3必过定点（2，﹣2）．【解答】解：因为a0=1，故f（2）=a0﹣3=﹣2，所以函数f （x）=a x﹣2﹣3必过定点（2，﹣2）故答案为：（2，﹣2）13．（3分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，则当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣2x．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，∴f（﹣x）=﹣（﹣x﹣1）2+1=﹣（x+1）2+1，∵函数f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）=﹣（x+1）2+1=f（x），即f（x）=﹣（x+1）2+1=﹣x2﹣2x，（x＜0），故答案为：﹣x2﹣2x14．（3分）函数f（x）=log（5+4x﹣x2）的单调递增区间[2，5）．【解答】解：令t=5+4x﹣x2 ＞0，求得﹣1＜x＜5，故函数的定义域为（﹣1，5 ），f（x）=log t，故本题即求二次函数t=﹣（x﹣2）2+9在（﹣1，5 ）上的减区间，利用二次函数的性质可得t=﹣（x﹣2）2+9在（﹣1，5 ）上的减区间为[2，5），故答案为：[2，5）．15．（3分）已知函数f（x）=则满足等式f（1﹣x2）=f（2x）的实数x的集合是{x|x≤﹣1，或x=} ．【解答】解：∵f（1﹣x2）=f（2x）当即0≤x≤1时，则，解可得，x=当即x＜﹣1时，则f（1﹣x2）=f（2x）=1满足题意当﹣1≤x＜0时，由f（1﹣x2）=f（2x）可得（1﹣x2）2+1=1，解可得x=﹣1满足题意当即x＞1时，由（1﹣x2）=f（2x）=1可得，1=（2x）2+1，解可得x=0不满足题意综上可得，x=或x≤﹣1故答案为：x=或x≤﹣116．（3分）函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M，当x∈M时，关于x方程4x ﹣2x+1=b（b∈R）有两不等实数根，则b的取值范围为b＜﹣4．【解答】解：由题意，3﹣4x+x2＞0，解得，x＞3或x＜1；即M={x|x＞3或x＜1}；若令f（x）=4x﹣2x+1，其在（﹣∞，1）上是增函数，在（3，+∞）上是减函数，又∵f（1）=4﹣4=0，f（3）=12﹣16=﹣4，则若使关于x方程4x﹣2x+1=b（b∈R）有两不等实数根，则b＜﹣4，故答案为：b＜﹣4．17．（3分）已知函数y=f（x）和y=g（x）在[﹣2，2]上的图象如图所示：给出下列四个命题：①方程f[g（x）]=0有且仅有6个根；②方程g[f（x）]=0有且仅有3个根；③方程f[f（x）]=0有且仅有7个根；④方程g[g（x）]=0有且仅有4个根．其中正确命题的序号为①④．【解答】解：①设t=g（x），则由f[g（x）]=0，即f（t）=0，则t1=0或﹣2＜t2＜﹣1或1＜t3＜2，当t1=0时，t=g（x）有2个不同值，当﹣2＜t2＜﹣1时，t=g（x）有2个不同值，当1＜t3＜2，时，t=g（x）有2个不同值，∴方程f[g（x）]=0有且仅有6个根，故①正确．②设t=f（x），若g[f（x）]=0，即g（t）=0，则﹣2＜t1＜﹣1或0＜t2＜1，当﹣2＜t1＜﹣1时，t=f（x）有1个不同值，当0＜t2＜1时，t=f（x）有3个不同值，∴方程g[f（x）]=0有且仅有4个根，故②错误．③设t=f（x），若f[f（x）]=0，即f（t）=0，则t1=0或﹣2＜t2＜﹣1或1＜t3＜2，当t1=0时，t=f（x）有3个不同值，当﹣2＜t2＜﹣1时，t=f（x）有1个不同值，当1＜t3＜2，时，t=f（x）有1个不同值，∴方程f[f（x）]=0有且仅有5个根，故③错误．④设t=g（x），若g[g（x）]=0，即g（t）=0，则﹣2＜t1＜﹣1或0＜t2＜1，当﹣2＜t1＜﹣1时，t=g（x）有2个不同值，当0＜t2＜1时，t=g（x）有2个不同值，∴方程g[g（x）]=0有且仅有4个根，故④正确．故正确的是①④，故答案为：①④三．解答题（本大题共5小题，满分49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（8分）求值：（1）（2）．【解答】解：（1）原式===50，（2）原式===11．19．（8分）已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．（1）若a=2，求M∩（∁R N）；（2）若M∪N=M，求实数a的取值范围．【解答】（本小题满分8分）解：（Ⅰ）a=2时，M={x|﹣2≤x≤5}，N={3≤x≤5}，C R N={x|x＜3或x＞5}，所以M∩（C R N）={x|﹣2≤x＜3}．（Ⅱ）∵M∪N=M，∴N⊂M，①a+1＞2a+1，解得a＜0；②，解得0≤a≤2．所以a≤2．20．（9分）已知函数（1）若m=1，求函数f（x）的定义域．（2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．（3）若函数f（x）在区间上是增函数，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）若m=1，则要使函数有意义，需x2﹣x﹣1＞0，解得x∈∴若m=1，函数f（x）的定义域为．（2）若函数f（x）的值域为R，则x2﹣mx﹣m能取遍一切正实数，∴△=m2+4m≥0，即m∈（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）∴若函数f（x）的值域为R，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）（3）若函数f（x）在区间上是增函数，则y=x2﹣mx﹣m在区间上是减函数且x2﹣mx﹣m＞0在区间上恒成立，∴≥1﹣，且（1﹣）2﹣m（1﹣）﹣m≥0即m≥2﹣2且m≤2∴m∈21．（12分）已知函数f（x）=，函数f（x）为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若解不等式f（3m2﹣m+1）+f（2m﹣3）＜0．【解答】解：（1）∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）==0．解得a=1．（2）∵f（x）==，∴f（x）在R上单调递增．证明如下：∀x1＜x2，0＜，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=＜0．∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上单调递增．（3）不等式f（3m2﹣m+1）+f（2m﹣3）＜0，化为不等式f（3m2﹣m+1）＜﹣f（2m﹣3）=f（3﹣2m）．∴3m2﹣m+1＜3﹣2m，化为3m2+m﹣2＜0，解得．∴不等式的解集为．22．（12分）已知函数．（1）若a=6，写出函数f（x）的单调区间，并指出单调性；（2）若函数f（x）在[1，a]上单调，且存在x0∈[1，a]使f（x0）＞﹣2成立，求a的取值范围；（3）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．【解答】解：（1）当a=6时，∵x∈[1，6]，∴f（x）=a﹣x﹣+a=2a﹣x﹣；任取x1，x2∈[1，6]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（2a﹣x1﹣）﹣（2a﹣x2﹣）=（x2﹣x1）+（﹣）=（x2﹣x1）•，当1≤x1＜x2＜3时，x2﹣x1＞0，1＜x1x2＜9，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）是增函数，增区间是[1，3）；当3≤x1＜x2≤6时，x2﹣x1＞0，x1x2＞9，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f （x2），∴f（x）是减函数，减区间是[3，6]；（2）当x∈[1，a]时，f（x）=a﹣x﹣+a=﹣x﹣+2a；由（1）知，当x∈[1，3）时，f（x）是增函数，当x∈[3，6]时，f（x）是减函数；∴当a∈（1，3]时，f（x）在[1，a]上是增函数；且存在x0∈[1，a]使f（x0）＞﹣2成立，∴f（x）max=f（a）=a﹣＞﹣2，解得a＞﹣1；综上，a的取值范围是{a|﹣1＜a≤3}．（3）∵a∈（1，6），∴f（x）=，①当1＜a≤3时，f（x）在[1，a]上是增函数，在[a，6]上也是增函数，∴当x=6时，f（x）取得最大值．②当3＜a＜6时，f（x）在[1，3]上是增函数，在[3，a]上是减函数，在[a，6]上是增函数，而f（3）=2a﹣6，f（6）=，当3＜a≤时，2a﹣6≤，当x=6时，f（x）取得最大值为．当≤a＜6时，2a﹣6＞，当x=3时，f（x）取得最大值为2a﹣6．综上得，M（a）=．。

浙江省嘉兴一中2014届高三上学期期中（理）满分[ 150]分 ，时间[120]分钟 2013年11月一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}|05A x x =∈≤≤N ，{}1,3,5A B =ð，则集合=B （ ▲ ） A ．{}4,2 B ．{}4,2,0 C ．{}3,1,0 D ．{}4,3,22．复数21z i=+的虚部为（ ▲ ） A ．1- B. 1 C. i - D.i 3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填（A ． 7n ≤ B ．7n > C ．6n ≤ D ．6n >4．命题“2[1,2],0x xa ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ▲ ）A ．4a ≥ B. 4a ≤ C.5a ≥ D. 5a ≤5．设,,l m n 表示三条不同的直线，,αβ正确的是（ ▲ ）A ．如l ∥m ，m α⊂，则l ∥α；B ．如,,,l m l n m n α⊥⊥⊂，则l α⊥； C ．如,,l m l m αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥； D ．如l ∥α，l ∥β，m αβ=，则l ∥m ．6．若3cos 2sin αα-=，则3sin cos 3sin cos αααα-=+（ ▲ ）A ．23-B ．32-C ．117D ．37．数列{}n a 满足21=a ，n n n a a 231⋅=++，则=2012a （▲ ） A ．10054B ．441005- C ．10062D ．100648．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（▲ ） A ．432 B ．288 C ．216 D ．1449．棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点21,P P 分别是线段1,BD AB （不包括端点）上的动点，且线段21P P 平行于平面11ADD A ，则四面体121AB P P 的体积的最大值是（ ▲）俯视图A ．241 B ．121C ．61D ．21 10．设偶函数)(x f y =和奇函数)(x g y =的图象如下图所示b a ，，若121<<t ，则b a +的值不．可能是 ( ▲ ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11．41(2)x x-的展开式中的常数项为 ．12．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正 四棱锥的正视图的面积为 ．13．设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≤--,0,0,0,023y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为1，则ba 11+的最小值为 ． 14．若M 为ABC ∆内一点，且满足AM 4143+=，则ABM ∆与ABC ∆的面积之比为 ．15．函数(2)y x x =-在2a x ≤≤上的最小值为1-，则实数a 的取值范围为 ．16．过椭圆14922=+y x 上一点M 作圆222=+y x 的两条切线,点B A ,为切点.过B A ,的直线l 与x 轴, y 轴分别交于点,P Q 两点, 则POQ ∆的面积的最小值为 ．17．设x 为实数，定义{x }为不小于x 的最小整数，例如{5.3}=6，{-5.3}=-5，则关于x 的方程{3x +4}=2x +23的全部实根之和为 ．三、解答题（本大题共5小题,共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本题满分14分）已知向量)1,sin 2(x =，)cos 2,cos 3(2x x =，函数t x f -⋅=)(． （I ）若方程0)(=x f 在]2,0[π∈x 上有解，求t 的取值范围；（II ）在ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ,,所对的边，当3=t 且2,1)(=+-=c b A f 时，求a 的最小值． 19．（本题满分14分）某单位的联欢活动中有一种摸球游戏，已知甲口袋中大小相同的3个球，其中2个红球，1个黑球；乙口袋中有大小相同的2个球，其中1个红球，1个白球．每次从一只口袋中摸一个球，确定颜色后再放回．摸球的规则是：先从甲口袋中摸一个球，如果摸到的不是红球，继续从甲口袋中摸一个球，只有当从甲口袋中摸到红球时，才可继续从乙口袋里摸球．从每个口袋里摸球时，如果连续两次从同一口袋中摸到的都不是红球，则该游戏者的游戏停止．游戏规定，如果游戏者摸到2个红球，那么游戏者就中奖．现假设各次摸球均互不影响． （I ）一个游戏者只摸2次就中奖的概率；（II ）在游戏中，如果某一个游戏者不放弃所有的摸球机会，记他摸球的次数为ξ，求ξ的数学期望．20．（本题满分14分）ABC ∆中，4,45AB AC BAC ==∠=，以AC 的中线BD为折痕，将ABD ∆沿BD 折起，构成二面角A BD C --．在面BCD 内作CE CD ⊥，且CE（I ）求证：CE ∥平面ABD ； （II ）如果二面角A BD C --的大小为90，求二面角B AC E --的余弦值．21．（本题满分15分）ABCDE已知椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点)0,1(Q 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点(4,3)P ，记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ， 当12k k ⋅最大时，求直线l 的方程．22．（本题满分15分）已知函数)()1ln()(R a ax x x f ∈-+=． （I ）当0=a 时，过点(1,0)P -作曲线)(x f y =的切线，求切线的方程； （II ）讨论函数)(x f 在[)∞+，0的单调性；（III ）当10<<<x y 时，证明：1)ln(ln ln +->-y x y x ．嘉兴市第一中学2013学年第一学期期中考试高三数学（理科） 参考答案及评分标准二、填空题(每小题4分)11. 24 ，13. 9 ， 14. 1:4 ，16. 32，17. -6 .三、解答题18. （满分14分） 解：(1)]3,0[∈t (2)a 的最小值为1 19. （满分14分）解：从甲口袋中摸一个球，摸到的球是红色球的概率为23；从乙口袋中摸一个球，摸到的球是红色球的概率为12． （1）一个游戏者只摸2次就中奖，说明他第一次从甲口袋摸到的是红球，第二次从乙口袋中摸到的也是红球，所以其概率为211323⨯=；（2）ξ可取2,3,4．用A 表示“从甲口袋中摸1个球，摸到的是红球”，用A 表示“从甲口袋中摸1个球，摸到的不是红球”，则21(),()33P A P A ==；用B 表示“从乙口袋中摸1个球，摸到的是红球”，用B 表示“从乙口袋中摸1个球，摸到的不是红球”，则11(),()22P B P B ==．21114(2)()()32339P P A B P A A ξ==⋅+⋅=⨯+⨯=；1114(3)()()()6699P P A B B P A B B P A A B ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=；111(4)()()18189P P A A B B P A A B B ξ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=．所以ξ的分布列为：44182349993E ξ=⨯+⨯+⨯=．20. （满分14分）解：（1）由4,45AB AC BAC ==∠=得4BC =，所以ABC ∆为等腰直角三角形，由D 为AC 的中点得BD AC ⊥，以AC 的中线BD 为折痕翻折后仍有BD CD ⊥，因为CE CD ⊥，所以CE ∥BD ，又CE ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CE ∥平面ABD ．（2）如果二面角A BD C --的大小为90，由A D B D ⊥得AD ⊥平面BDC ，因此AD CE ⊥，又CE CD ⊥，所以CE ⊥平面ACD ，从而CE AC ⊥．由题意AD DC ==，所以R t A D C ∆中，4AC =．设BC 中点为F ，因为4A B B C ==，所以BF AC ⊥，且BF =，设AE 中点为G ，则FG ∥CE ，由C E A C ⊥得FG AC ⊥，所以BFG ∠为二面角B AC E --的平面角，连结BG ，在BCE ∆中，因为4,135BC CE BCE =∠=，所以BE ．在R t D C E ∆中DE ==，于是在Rt ADE ∆中，AE =ABE ∆中，2222111332242BG AB BE AE =+-=，所以在BFG ∆中，13312cos BFG +-∠==．因此二面角B AC E --的余弦值为 解法二：如果二面角A BD C --的大小为90，由AD BD ⊥得AD ⊥平面BDC ，又由（1）知BD CD ⊥，所以以D 为坐标原点，,,DB DC DA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．又CE CD ⊥，所以CE ⊥平面ACD ，又CE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面ACD ．ξ 2 3 4P49 49 19A BCDEFGE设AC 中点为F ，连结DF ，则DF AC ⊥，且2DF =，从而DF ⊥平面ACE ．由（1）可知，BD CD AD ===所以B，C，A ，因此F ，即平面ACE的法向量为DF =，又AB =-，AC =-，设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0n AB n AC ⋅=⋅=，所以x y z ==，所以可以取(1,1,1)n =，设n 与DF 的夹角为θ，由222cos n DF θ⋅=⋅得cos θ=可知二面角21．解：解：分5分 7分 1x m y =+，0． 9分112． …………………11分1≤14分22．（本题满分15分）解：（1）当0=a 时，过点)0,1(-P 作曲线)(x f y =的切线，求切线的方程；当0=a 时，)1ln()(x x f +=，设切点))1ln(,(00x x P +， ∵x x f +='11)(，∴1)1ln(11000++=+x x x ，即10-=e x ，∴切线的斜率ek 1=，切线的方程为01=+-ey x ； （2）∵a x x f -+='11)(，且当[)∞+∈，0x 时有(]1,011∈+x∴当0≤a 时，011)(≥-+='a xx f 在[)∞+，0上恒成立，即)(x f 在[)∞+，0上单调递增当1≥a 时，011)(≤-+='a xx f 在[)∞+，0上恒成立，即)(x f 在[)∞+，0单调递减 当10<<a 时，)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-a a 10，上单调递増，在),1(+∞-a a 上单调递减； （3）当10<<a 时，)(x f 的最大值为1ln )(-+-=a a a M ∵01)(<-='aa a M 在)1,0(上恒成立， ∴1ln )(-+-=a a a M 在)1,0(上单调递减，即01ln )(>-+-=a a a M ∴1ln 1ln -+->-+-x x y y ，即y x y x ->-ln ln同时10<-<y x ，有01)()ln()(>--+--=-y x y x y x M ，即1)ln(+->-y x y x ∴当10<<<x y 时，有1)ln(ln ln +->-y x y x ．。

嘉兴市第一中学2015学年第一学期期中考试高三数学（理科） 试题卷满分[150]分 时间[120]分钟 2015年11月一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数x x f y +=)(是偶函数，且1)2(=f ，则=-)2(f （ ▲）A ．2B ． 3C ． 4D ． 52.已知:11,:(2)(6)0p m x m q x x -<<+--<，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是（ ▲ ）A ．35m << B. 35m ≤≤ C ．53m m ><或 D. 53m m ≥≤或3.已知m 为一条直线,βα,为两个不同的平面,则下列说法正确的是（ ▲ ）A.若ββαα//,//,//m m 则B.若,m αβα⊥⊥，则m β⊥C.若ββαα⊥⊥m m 则,,// D. 若ββαα⊥⊥m m 则,//, 4.函数())cos 3(sin sin 21x x x x f +-=的图象向左平移3π个单位得函数()x g 的图象，则函数()x g 的解析式是 ( ▲ )A ． ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22sin 2πx x g B ．()x x g 2cos 2= C ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=322cos 2πx x g D ．()()2sin 2g x x π=+ 5.若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ▲ )A ．－2B ．12-C ．12D ．2 6.在ABC ∆所在平面上有三点M N P 、、,满足MA MB MC AB ++=,NA NB NC BC ++=,PA PB PC CA ++=,则MNP ∆的面积与ABC ∆的面积比为（ ▲ ）A.12 B. 13 C. 14 D. 157.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于B A ,两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （ ▲ ）A.221+B. 224-C.225-D.223+8.设{}(),(()())min (),()(),(()())f x f xg x f x g x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩．若2()f x x px q =++的图象经过两点 (,0),(,0)αβ，且存在整数n ，使得1n n αβ<<<+成立，则 ( ▲ ) A ．{}1min (),(1)4f n f n +>B ．{}1min (),(1)4f n f n +<C ．{}1min (),(1)4f n f n +=D ．{}1min (),(1)4f n f n +≥ 二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题4分，共36分. 9.已知全集为R ，集合{}{}221,680x A x B x x x =≥=-+≤，则A B = ▲ . R A C B = ▲ . ()R C A B = ▲ .10.已知等差数列{}n a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足46310,39a S S ==+，则数列{}n a 的首项1a =____▲___ ,通项n a =___ ▲___.11.某空间几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积V = ▲ cm 3，表面积S = ▲ cm 2．12.已知函数()()61477x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩;(1)当21=a 时， ()x f 的值域为 ▲ , (2)若()x f 是(,)-∞+∞上的减函数,则实数a 的取值范围是 ▲ .13.已知平面向量,()αβαβ≠满足||α=且α与βα-150︒的夹角为，则|(1)|m m αβ+-的取值范围是 _▲ . 14.已知实数x 、y 、z 满足0x y z ++=，2221x y z ++=，则x 的最大值为 ▲ .15.三棱柱111ABC A B C -的底是边长为1的正三角形，高11AA =,在AB 上取一点P ,设11PAC ∆与面111A B C 所成的二面角为α，11PB C ∆与面111A B C 所成的二面角为β，则tan()αβ+的最小值是 ▲ .三、解答题(共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.（本题满分15分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且1)cos(32cos ++=C B A ．(Ⅰ）求角A 的大小；(Ⅱ)若81cos cos -=C B ，且ABC ∆的面积为32，求a .17．（本题满分15分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2AB ，F 是CD 的中点． (Ⅰ）求证：平面CBE ⊥平面CDE ；（Ⅱ）求二面角C —BE —F 的余弦值．18. （本题满分15分）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>右焦点的直线0x y +-=交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.19. （本题满分15分）已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．（Ⅰ）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值．。

1 / 9嘉兴市2014—2015学年第一学期期末检测高三理科数学试题卷（2015.1）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：棱柱的体积公式Sh V，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高．棱锥的体积公式．Sh V31，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高．棱台的体积公式)(312211S S S S h V，其中21,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．球的表面积公式24R S，其中R 表示球的半径．球的体积公式334R V，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合2|{x x M或}4x ，}62|{Rxx N ，则NM A. ),6[]2,( B. ),6(]2,(C. ),4[)2,( D. ),4[]2,(2．设R a，则“1a ”是“直线01yax与直线05ayx 平行”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知等比数列n a 的公比为正数，且23712a a a ，若22a ，则1a A ．1B ．4C ．2D ．22。