高考数学二轮复习第一部分思想方法研析指导思想方法训练2分类讨论思想理

高考数学第二轮复习分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。

如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。

这种分类讨论题型可以称为概念型。

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。

如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。

这种分类讨论题型可以称为性质型。

③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。

如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。

这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

其中最重要的一条是“不漏不重”。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

一、方法简解：1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A B，那么a的范围是_____。

A. 0≤a≤1B. a≤1C. a<1D. 0<a<12.若a>0且a≠1，p＝loga (a3＋a＋1)，q＝loga(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。

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思想方法训练3 数形结合思想一、能力突破训练1。

若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数对应的点位于复平面内的（)A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限2。

方程sin x的实数解的个数是（）A。

2 B。

3 C.4 D。

以上均不对3。

若x∈{x｜log2x=2—x},则（）A.x2>x〉1 B。

x2〉1>xC。

1>x2〉x D.x〉1>x24。

若函数f（x）=(a-x）｜x-3a|(a>0）在区间（-∞,b]上取得最小值3-4a时所对应的x的值恰有两个，则实数b的值等于()A。

2±B.2—或6—3C.6±3D.2+或6+35。

已知函数f（x)=若a,b,c互不相等,且f(a）=f(b）=f（c),则abc的取值范围是（)A.(1，10）B.(5，6) C。

(10，12）D.（20，24）6。

已知函数f(x)=与g（x）=x3+t,若f(x)与g（x）图象的交点在直线y=x的两侧，则实数t 的取值范围是()A。

(—6，0］ B.（-6，6） C.（4，+∞) D.（-4，4）7.“a≤0"是“函数f（x)=｜（ax—1）x｜在区间（0，+∞）上单调递增”的()A.充分不必要条件B。

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思想方法训练2 分类讨论思想能力突破训练1。

已知函数f(x)=若存在x１，ｘ2∈R，且x１≠x２，使得f(x1)=f(x２)成立，则实数a的取值范围是()Ａ。

（—∞，２）ﻩB.(-∞，４)C.［2,４]D。

(２,＋∞）2。

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是ａ,b,c,若b2＋c２-a2=bｃ,且b=a，则下列关系一定不成立的是（)A.a=cB.b=cC.2a＝cﻩＤ。

ａ2+ｂ2=c23.若ａ〉０，且a≠1,ｐ=logａ（a3+1），q=ｌｏg a（a２+1),则p,q的大小关系是(）A。

p＝qB。

ｐ<qC。

p〉qD。

当a＞1时,ｐ〉ｑ;当0<a〈1时，p<q4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为ｙ=±ｘ，则该双曲线的离心率为(）A．ﻩB．ﻩC。

ﻩD。

5。

已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N,=λ,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是（)Ａ.圆ﻩB。

椭圆Ｃ.抛物线Ｄ.双曲线6．若x〉0,且ｘ≠1,则函数y=lg x+ｌoｇx１0的值域为ﻩ(）A．Ｒﻩ B.［２,+∞)C.（-∞,-2]ﻩD。

高三二轮复习之数学思想方法高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．第1讲 函数与方程思想[思想方法概述]函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．[方法探究]方法一 运用函数相关概念的本质解题在理解函数，函数的定义域、值域、性质等的本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题，常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值问题，研究函数的性质．[例1] 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ＜0，a x ，x ≥0，(a ＞0且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1) B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫13，1D.⎝⎛⎭⎫0，13 思路分析 先求出a x 是减函数时a 的范围→满足－0＋3a ≥a 0时a 的范围→取交集解析 ∵函数f (x )是R 上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，3a ≥a 0，解得13≤a ＜1. ∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫13，1，故选B.答案 B规律方法 解答本题，首先要明确分段函数和减函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据减函数的定义，两段函数都是减函数，但这不足以说明整个函数是减函数，还要保证在两段的衔接处呈减的趋势，这一点往往容易被忽视．方法二 用函数的性质解决问题能意识到题目考查函数的什么性质或相关问题应该用函数的什么性质来解答，考查热点有函数的单调性、奇偶性及函数图象的对称性等，常见问题是函数性质的应用．[例2] (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤01，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)思路分析 首先根据题中所给的函数解析式，将函数图象画出来，从图中可以发现若有f (x ＋1)＜f (2x )成立，一定会有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＜02x ＜x ＋1，从而求得结果．解析 将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知会有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＜02x ＜x ＋1，解得x ＜0，所以满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是(－∞，0)，故选D. 答案 D规律方法 该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果．方法三 用函数的图象解决问题当一个函数比较复杂或比较抽象，而其中函数的图象又比较容易作出时，可作出函数的图象，直观解答问题，常见问题有：抽象函数问题、含参数函数问题．[例3] (2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)思路分析 函数零点个数→图象交点个数→做出函数图象→求出a 的范围 解析 画出函数f (x )的图像，再画出直线y ＝－x ，之后上下移动， 可以发现当直线过点(0,1)时，直线与函数f (x )图象有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点， 即方程f (x )＝－x －a 有两个解， 也就是函数g (x )有两个零点， 此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C.答案 C规律方法 该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果．方法四 构造函数解题根据题设条件，构造相关函数，运用这个函数的性质解答问题，常见问题有：比较大小、解不等式等．[例4] (2018·合肥调研)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.思路分析 构造函数g (x )＝23x 3－12x 2－ln x →求函数的最小值→问题得证解 (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x ，故f ′(x )＞0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x ＞0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )＞g (1)＝16＞0，∴当x >1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.[例5] (2018·济南模拟)定义在R 上的函数f (x )，f ′(x )是其导函数，且满足f (x )＋f ′(x )＞2，f (1)＝2＋4e，则不等式e x f (x )＞4＋2e x 的解集为( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)思路分析 构造函数令g (x )＝e x f (x )－2e x －4→利用导数判断单调性→与g (1)进行比较→解不等式 解析 令g (x )＝e x f (x )－2e x －4，g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－2e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－2]， ∵f (x )＋ f ′(x )＞2 ∴g ′(x )＞0；∴g (x )在R 上单调递增． 又f (1)＝2＋4e，∴g (1)＝e ⎝⎛⎫2＋4e －2e －4＝0 ∴x ＞1时，g (x )＞0；∴原不等式的解集为(1，＋∞)．故选B. 答案 B规律方法 解答本类问题时，关键是构造函数，有时通过条件构造，有时通过选项构造，然后运用函数的性质解题。

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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为（新课标）2018届高考数学二轮复习第一部分思想方法研析指导思想方法训练３数形结合思想理的全部内容。

思想方法训练3 数形结合思想能力突破训练1.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z,则复数对应的点位于复平面内的(）Ａ。

第一象限Ｂ。

第二象限C。

第三象限ﻩD。

第四象限2。

方程sin x的实数解的个数是()A。

2 B.３ﻩＣ．4ﻩD。

以上均不对3。

若x∈{x|log2x=2-x}，则()A.x2〉x〉１Ｂ.x２＞1〉xC。

1＞x2>x D.x〉１〉ｘ2４。

若函数f（ｘ）=(a-x）｜x-3a|(a〉０)在区间(—∞,b]上取得最小值3-４a时所对应的x 的值恰有两个，则实数b的值等于（)A.２±ﻩB。

2-或6-3C。

6±3D.2＋或6+35.已知函数f(ｘ)=若a,ｂ,c互不相等,且f（a）=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是（)A.(１,10）ﻩＢ.(5,６）Ｃ。

(１0,12) Ｄ.(20，24）６。

已知函数ｆ(x)=与g(x）=x3+t，若ｆ（x)与ｇ(x)图象的交点在直线y=x的两侧,则实数t 的取值范围是（）A.(-6,0］B。

(—6，6) Ｃ.(4,+∞）ﻩＤ.(—4，4)７.“a≤0"是“函数ｆ(x）=|(ax-1)x|在区间(０，+∞）上单调递增”的()A．充分不必要条件ﻩB．必要不充分条件Ｃ.充要条件ﻩ D.既不充分也不必要条件8.在平面直角坐标系ｘOy中，若直线y=2a与函数y＝|x-a｜-１的图象只有一个交点，则ａ的值为。

第一部分 思想方法·数学思想方法数学解题思维策略有两条主线：数学基础知识和数学思想方法．数学基础知识是一条明线，而数学思想方法则是一条暗线．二轮复习时，我们应充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思想方法．熟练掌握好数学思想方法，会使你站在一个崭新的高度去审视问题，从而助力你在解答高考数学综合问题时能左右逢源，游刃有余！第1讲 函数与方程思想 思想方法·简明概述调研一 构建“目标函数”求最值【例1】 (1)[2019·河北衡水中学三调]平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA →·MB →的最大值为( )A.2－1B.3－1 C ．0D ．2解析：如图，∵AB →·AD →＝－1，AB ＝2，AD ＝1， ∴|AB →|·|AD →|cos ∠BAD ＝－1， ∴2cos ∠BAD ＝－1，cos ∠BAD ＝－12，∴∠BAD ＝120°.以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.由点M 在边CD 上，可设M ⎝⎛⎭⎪⎫x ，32，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32，则MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－32，MB →＝⎝⎛⎭⎪⎫2－x ，－32，所以MA →·MB →＝x (x －2)＋34＝(x －1)2－14.令f (x )＝(x －1)2－14，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递增，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2，选D. 答案：D(2)[2019·河南新乡市二模]已知数列{a n }的首项a 1＝21，且满足(2n －5)a n ＋1＝(2n －3)a n ＋4n 2－16n ＋15，则{a n }的最小的一项是( )A ．a 5B ．a 6C ．a 7D ．a 8解析：∵(2n －5)a n ＋1＝(2n －3)a n ＋4n 2－16n ＋15， ∴(2n －5)a n ＋1＝(2n －3)a n ＋(2n －3)(2n －5)， ∴a n ＋12n －3＝a n 2n －5＋1，a n ＋12n －3－a n2n －5＝1. ∵a 1＝21，∴a 12－5＝21－3＝－7，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －5是首项为－7，公差为1的等差数列， ∴a n2n －5＝－7＋(n －1)×1＝n －8， ∴a n ＝(n －8)(2n －5)，n ∈N *.令f (n )＝(n －8)(2n －5)，n ∈N *，则其对称轴为n ＝10.52＝5.25，则{a n }的最小的一项是第5项，选A.答案：A(3)[2019·黑龙江哈三中期末]已知椭圆y 2a 2＋x 2＝1(a >1)的离心率e ＝255，P 为椭圆上的一个动点，若定点B (－1,0)，则|PB |的最大值为( )A.32 B ．2 C.52D ．3解析：由题意，得a 2－1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2552，解得a 2＝5，则椭圆方程为y 25＋x 2＝1，设P (x ，y )，则y 2＝5(1－x 2)， 所以|PB |＝(x ＋1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋5(1－x 2) ＝－4x 2＋2x ＋6 ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋254. 因为x ∈[－1,1]，所以当且仅当x ＝14时，|PB |max ＝52，选C.答案：C(4)[2019·安徽芜湖期末]锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a sin C ＝3c ，a ＝1，则△ABC 的周长的最大值为( )A.3＋1B.2＋1 C ．3D ．4解析：∵2a sin C ＝3c ，∴2sin A sin C ＝3sin C ，∴sin A ＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3.由正弦定理，得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝23，∴b ＝23sin B ，c ＝23sin C ， ∴△ABC 的周长为1＋23sin B ＋23sin C＝1＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝1＋23⎝⎛⎭⎪⎫sin B ＋32cos B ＋12sin B＝1＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B ＋32cos B＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∴当B ＝π3，即△ABC 为等边三角形时，周长取得最大值3，选C.答案：C 方法点睛构建“目标函数”就是把待求目标写成函数的形式，将所求问题转化为函数的最值或值域问题．(1)求最值或值域时，经常用到配方法、换元法、均值不等式法以及函数单调性法． (2)求最值或值域时，要根据题目的已知条件，准确求出目标函数的定义域．调研二 分离参数“显化函数关系”求范围【例2】 (1)[2019·河北衡水中学二调]若关于x 的方程log 13(a －3x )＝x －2有解，则实数a 的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．2解析：关于x 的方程log 13(a －3x )＝x －2有解⇔a －3x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2有解⇔a ＝3x ＋32－x有解．因为3x＋32－x≥23x ·32－x＝6(当且仅当x ＝1时，等号成立)，所以a 的最小值为6，选B.答案：B(2)[2019·浙江金华十校期末]若关于x 的不等式x 3－3x 2－ax ＋a ＋2≤0在(－∞，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)解析：关于x 的不等式x 3－3x 2－ax ＋a ＋2≤0在(－∞，1]上恒成立等价于a (x －1)≥x 3－3x 2＋2＝(x 3－x 2)－2(x 2－1)＝(x －1)(x 2－2x －2)恒成立．当x ＝1时，不等式显然恒成立； 当x <1时，不等式化为a ≤x 2－2x －2.∵y ＝x 2－2x －2＝(x －1)2－3≥－3，x ∈(－∞，1]， ∴a ≤－3，选A. 答案：A(3)[2019·云南曲靖一中质量监测]已知函数f (x )＝e x(x －m )，m ∈R ，若对∀x ∈(2,3)，使得f (x )＋xf ′(x )>0，则实数m 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，154B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，83C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫154，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，＋∞解析：∵f (x )＝e x(x －m )，∴f ′(x )＝e x (x －m )＋e x ＝e x(x －m ＋1)．由题意知f (x )＋xf ′(x )>0⇔e x (x －m )＋x e x (x －m ＋1)>0⇔e x [x 2＋(2－m )x －m ]>0在(2,3)上恒成立，∴x 2＋(2－m )x －m >0在(2,3)上恒成立，∴m <x 2＋2x x ＋1在(2,3)上恒成立．令g (x )＝x 2＋2x x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1在(2,3)上单调递增，∴g (x )>g (2)＝83，则m ≤83，选B.答案：B 方法点睛(1)对于方程有解、不等式恒成立问题或存在性问题，往往可以分离参数，然后再构造函数，把问题转化为求函数的值域或最值问题来解决．(2)不等式有解、恒成立求参数的方法：g (a )>f (x )恒成立，则g (a )>f (x )max . g (a )<f (x )恒成立，则g (a )<f (x )min . g (a )>f (x )有解，则g (a )>f (x )min . g (a )<f (x )有解，则g (a )<f (x )max .(3)分离参数法是求参数范围的常用方法，恰当合理的参变分离有助于问题的解决，有时需要分类讨论．调研三 “构造函数”解不等式、求最值、比较大小【例3】 (1)[2019·湖北恩施质检]设函数f (x )是定义在区间(0，＋∞)上的函数，f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (x )＋x ln xf ′(x )>0，则不等式ln xf (x )>0的解集是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B ．(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D ．(0,1)解析：构造函数g (x )＝ln xf (x )(x >0)，则g ′(x )＝1xf (x )＋ln xf ′(x )＝f (x )＋x ln xf ′(x )x >0，所以函数g (x )＝ln xf (x )在(0，＋∞)上单调递增，而ln xf (x )>0⇔lnxf (x )>0⇔g (x )>0⇔g (x )>g (1)⇒x >1，故选B.答案：B(2)[2019·吉林调研]设函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，对任意实数x ，都有f (x )＝f (－x )＋2x .当x <0时，f ′(x )<2x ＋1，若f (1－a )≤f (－a )＋2－2a ，则实数a 的最小值为( )A ．－1B ．－12C.12D ．1解析：设g (x )＝f (x )－x 2－x ， 则g ′(x )＝f ′(x )－2x －1.因为当x <0时，f ′(x )<2x ＋1，所以g ′(x )<0，即g (x )在(－∞，0)上单调递减． 又g (x )＝f (x )－x 2－x ， 则g (－x )＝f (－x )－x 2＋x . 又f (x )＝f (－x )＋2x ， 则f (x )－f (－x )－2x ＝0，所以g (x )－g (－x )＝f (x )－f (－x )－2x ＝0，即g (x )为R 上的偶函数．又f (1－a )≤f (－a )＋2－2a ⇔f (1－a )－(1－a )2－(1－a )≤f (－a )－(－a )2－(－a )， 即g (1－a )≤g (－a )，所以|1－a |≤|a |， 解得a ≥12，即a 的最小值为12，故选C.答案：C(3)[2019·吉林延边质检]已知定义在R 上的函数f (x )和g (x )满足f (x )＝f ′(1)2e2x －2＋x 2－2f (0)x ，且g ′(x )＋2g (x )<0，则下列不等式成立的是( )A ．f (2)g (2017)<g (2019)B ．f (2)g (2017)>g (2019)C ．g (2017)<f (2)g (2019)D ．g (2017)>f (2)g (2019) 解析：∵f (x )＝f ′(1)2e2x －2＋x 2－2f (0)x ，∴f ′(x )＝f ′(1)e2x －2＋2x －2f (0)，∴f ′(1)＝f ′(1)＋2－2f (0)，得f (0)＝1， ∴f (0)＝f ′(1)2e －2＝1，得f ′(1)＝2e 2，∴f (x )＝e 2x＋x 2－2x . 设F (x )＝e 2xg (x )，则F ′(x )＝2e 2xg (x )＋e 2xg ′(x )＝e 2x[2g (x )＋g ′(x )]<0，∴F (x )在R 上单调递减， ∴F (2017)>F (2019)， ∴e2017×2g (2017)>e 2019×2g (2019)，∴g (2017)>e 4g (2019)．又∵f (2)＝e 4，∴g (2017)>f (2)g (2019)， 故选D. 答案：D 方法点睛常见的构造函数的方法有如下几种： 1．利用和、差函数的求导法则构造函数(1)对于不等式f ′(x )＋g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x )； (2)对于不等式f ′(x )－g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )； 特别地，对于不等式f ′(x )>k (或<k )(k ≠0)，构造函数F (x )＝f (x )－kx . 2．利用积、商函数的求导法则构造函数(3)对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； (4)对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )(g (x )≠0)； 上述(3)(4)都是利用积、商函数的求导法则构造函数的一般情况，但在考试中，g (x )往往是具体函数，所以还有如下列(5)～(16)常见构造函数类型．(5)对于不等式xf ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； (6)对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x(x ≠0)； (7)对于不等式xf ′(x )＋nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝x nf (x )； (8)对于不等式xf ′(x )－nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x n(x ≠0)； (9)对于不等式f ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e xf (x )； (10)对于不等式f ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )ex ；(11)对于不等式f ′(x )＋kf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e kxf (x )； (12)对于不等式f ′(x )－kf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )ekx；(13)对于不等式f (x )＋f ′(x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝sin xf (x )；(14)对于不等式f (x )－f ′(x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )sin x(sin x ≠0)；(15)对于不等式f ′(x )－f (x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝cos xf (x )；(16)对于不等式f ′(x )＋f (x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )cos x(cos x ≠0)．调研四 方程思想在解题中的应用【例4】 (1)[2019·福建龙岩质检]若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tanα2等于( )A.23 B.12 C.32D.32解析：∵3sin α＋2cos α＝2， ∴6sin α2cos α2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2sin 2α2＋cos2α2＝2，∴6tan α2＋2－2tan2α2tan 2α2＋1＝2，∴3tan α2＋1－tan 2α2＝tan 2α2＋1，解得tan α2＝0或32.又∵α∈(0，π)，∴tan α2>0，∴tan α2＝32，故选D.答案：D(2)[2019·河北省石家庄市质检]将函数y ＝e x(e 为自然对数的底数)的图象绕坐标原点O 顺时针旋转角θ后第一次与x 轴相切，则角θ满足的条件是( )A ．esin θ＝cos θB ．sin θ＝ecos θC ．esin θ＝1D ．ecos θ＝1解析：设直线y ＝kx 与y ＝e x相切，切点为(x 0，y 0)． ∵y ′＝e x，∴k ＝e x 0. 又∵e x 0＝kx 0，∴k ＝kx 0，解得x 0＝1，k ＝e ，即tan θ＝e ，∴sin θ＝ecos θ，故选B. 答案：B(3)[2019·河北衡水中学二调]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7－a 10＝5，a 11－a 4＝7，则S 13＝( )A ．152B ．154C ．156D ．158解析：设公差为d ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1－d ＝5，7d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，d ＝1，∴S 13＝13×6＋13×122＝156，故选C.答案：C(4)[2019·四川省泸州市二诊]双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与圆x 2＋y 2＝a 2相切，与C 的左、右两支分别交于点A ，B .若|AB |＝|BF 2|，则C 的离心率为( )A.5＋2 3 B ．5＋2 3 C. 3D. 5解析：如图，由双曲线的定义可得 |BF 1|－|BF 2|＝2a ，又|AB |＝|BF 2|， 可得|AF 1|＝2a ，则|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，设AB 与圆x 2＋y 2＝a 2切于点T ，连接OT ，则OT ⊥AB . 在Rt △OTF 1中，cos ∠OF 1T ＝|F 1T ||OF 1|＝c 2－a2c.连接AF 2，在△AF 1F 2中，由余弦定理得 cos ∠AF 1F 2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－|AF 2|22|AF 1|·|F 1F 2|＝4a 2＋4c 2－16a 22·2a ·2c ＝c 2－3a 22ac.由∠OF 1T ＝∠AF 1F 2，得c 2－a 2c ＝c 2－3a 22ac，化简得13a 4＋c 4－10a 2c 2＝0，两边同除以a4得e 4－10e 2＋13＝0，解得e 2＝5±2 3.又e >1，则e 2＝5＋23，e ＝5＋23，故选A.答案：A 方法点睛方程思想的应用十分广泛，只要涉及含有等量关系的条件或结论时，都可考虑通过构建方程或方程组求解，其主要应用有以下几个方面：(1)方程思想在三角函数求值问题中的应用．如：“切弦”互化问题，一般是将“弦”化“切”建立关于tanα的方程求解；结合三角恒等式sin2α＋cos2α＝1与已知条件构建方程组求解．(2)方程思想在函数与导数中的应用．如：曲线的切点问题，一般是利用导数的几何意义和已知条件，构建关于切点横坐标x0的方程求解．(3)方程思想在数列中的应用．如：等差(比)数列的求值问题，一般利用其通项公式与前n项和公式，构建关于首项与公差(比)的方程组求解．(4)方程思想在平面解析几何中的应用．如：椭圆或双曲线的离心率求值问题，一般是由已知条件构建关于a，b，c的方程求解．。