高三理科数学第一轮第十单元三角函数、平面向量、解三角形综合专题训练测试卷及答案解析B卷

三角函数、解三角形、平面向量1．已知函数f(x)＝2sin xcos x （1）求f(x)的最小正周期和单调递增区间； （2）当x ∈]2,0[π时，求函数f(x)的最大值和最小值。

2．已知函数()f x =（sin 2x ﹣cos 2x+）﹣sin 2（x ﹣），x ∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且()1f B =，2b =，求△ABC 的面积的最大值．3．ABC ∆中，D 是BC 边上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(Ⅰ) 求sin sin B C ∠∠；(Ⅱ)若1AD =，2DC =，求BD 边和AC 边的长．4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足．（1）求证：A ，B ，C 三点共线；（2）若，()22f x OA OC 2m AB 3⎛⎫=⋅-+⋅ ⎪⎝⎭的最小值为，求实数m 的值．5．已知A 、B 、C 是△ABC 三内角，向量=（﹣1，），=（cosA ，sinA ），且，（Ⅰ）求角A （Ⅱ）若．6．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cosA)，向量n ＝(cosC ，c)，且m ⋅n ＝3bcosB ． （1）求cosB 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11tan tanCA +的值．7．在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 2sin c A = （Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若c =ABC S =a b +的值． 8．设与是两个单位向量，其夹角为60°，且=2+,=﹣3+2．（1）求•； （2）求||和||； （3）求与的夹角．9．（2015秋•河西区期末）设平面内的向量，，，点P 在直线OM 上，且．（1）求的坐标；（2）求∠APB 的余弦值； （3）设t ∈R ，求的最小值．10．已知平面向量32a = (,)，12b =- (,)，41c =(,)．（1）求满足n m +=的实数m ，n ；（2）若()()2a kc b a +⊥-，求实数k 的值．参考答案1．（1）3π) ∴ T=π 由-2π+2k π≦2x-3π≦2π+2k π， -12π+k π≦x ≦512π+k π∴ f(x)的单调增区间为： 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k z ∈（2） 02x π≤≤∴22333x πππ-≤-≤sin 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭∴()()max min 2,f x f x ==考点：1.三角函数的恒等变形及函数性质（整体思想）；2.三角函数的性质.2．（1）()f x =（sin 2x ﹣cos 2x+）﹣sin 2（x ﹣），x ∈R=（﹣cos2x ）﹣[1﹣cos （2x ﹣）]=sin2x ﹣cos2x=sin(2)6x π-， 令﹣+2k π≤2x ﹣≤+2k π，k ∈Z ，得到k π﹣≤x ≤k π+，k ∈Z则函数f （x ）的单调递增区间[k k ]63ππππ+﹣，，k ∈Z（2）由f （B ）=1，得到sin （2B ﹣）=1，∴2B ﹣=，即3B π=， 由余弦定理得：222b ac 2accosB =+﹣，即224a c ac 2ac ac ac =+≥=﹣﹣，即ac 4≤，∴ABC 1S acsinB 2==≤ ABC 的面积的最大值为．考点：三角函数的基本公式；正弦型函数的性质；余弦定理；三角形的面积；均值不等式. 3．(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABDADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD ABD ∆和中，由余弦ADC ∆定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．考点：正弦定理；三角形中的几何计算 4．解：∵（1），∴==﹣+，=，∴=×，∴∥，即A ，B ，C 三点共线．（2）由，∵，∴，∵=（1+sinx ，cosx ），从而 ()222222f x OA OC 2m AB 1sin x cos x 2m sin x 333⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=﹣sin 2x ﹣2m 2 sinx+2=﹣（sinx+m 2）2+m 4+2．又，则t=sinx ∈[0，1]，f （x ）=g （t ）=﹣（t+m 2）2+m 4+2．由于﹣m 2≤0，∴g （t ）=﹣（t+m 2）2+m 4+2 在[0，1]上是减函数， 当t=1，即x=时，f （x ）=g （t ）取得最小值为，解得m=±，综上，．考点：平面向量数量积的运算． 5．解：（Ⅰ）∵∴即，∵∴∴（Ⅱ）由题知，整理得sin 2B ﹣sinBcosB ﹣2cos 2B=0∴cosB≠0∴tan 2B ﹣tanB ﹣2=0,∴tanB=2或tanB=﹣1 而tanB=﹣1使cos 2B ﹣sin 2B=0，舍去 ∴tanB=2, ∴tanC=tan[π﹣（A+B ）]=﹣tan （A+B ）===考点：同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义；二倍角的正弦． 6．（1）因为m ⋅n ＝3bcosB ，所以acosC ＋ccosA ＝3bcosB ． 由正弦定理，得sinAcosC ＋sinCcosA ＝3sinBcosB ， 所以sin(A ＋C)＝3sinBcosB ，所以sinB ＝3sinBcosB ． 因为B 是△ABC 的内角，所以sinB ≠0，所以cosB ＝13． （2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ．由正弦定理，得sin 2B ＝sinA ⋅sinC ．因为cosB ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sinB ． 又11cos cos cos sin cos sin sin()tan tanC sin sin sin sin sin sin A C A C C A C A A A C A C A C +++=+==2sin sin 1sin sin sin sin B B A C B B ====考点：向量数量积、正弦定理、同角三角函数关系7．（12sin c A =及正弦定理，得sinsin a Ac C ==.sin 0,sin A C ≠∴=又ABC ∆是锐角三角形，3C π∴=.（2）c =3C π=，由面积公式，得1sin 23ab π=6ab =.① 由余弦定理，得222cos73a b ab π+-=，即227a b ab +-=.②由②变形得()237a b ab +=+ .③ 将①代入③得()225a b +=，故5a b +=. 考点：正弦定理；余弦定理； 8．解：（1）由与是两个单位向量，其夹角为60°，则=1×=，=（2+）•（﹣3+2）=﹣6+2+•=﹣6+2+=﹣；（2）||====， ||====（3）cos ＜，＞===﹣，由于0≤＜，＞≤π，则有与的夹角．考点：向量的数量积的定义和性质；向量之间的夹角. 9．解：（1）∵点P 在直线OM 上，设∴，∴，解得，∴．（2），， ∴．（3），∴=2（t ﹣2）2+2．当t=2时，（+t）2取得最小值2，∴的最小值为．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．10．（1）∵ (,2)mb m m =- ，(4,)nc n n = 得(4,2)mb nc n m m n +=-+且(3,2)a mb nc ==+∴ 4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，得58,99m n ==（2） ∵(34,2)a kc k k +=++ ，2(5,2)b a -=- ,且()(2)a kc b a +⊥-∴5(34)2(2)0k k -⨯++⨯+=,∴ 1118k =-考点：向量的线性运算性质及几何意义；平面向量共线（平行）的坐标表示。

高考数学《三角函数与平面向量》专项训练一、单选题1．已知()1,2a =r ，()1,0b =r ，则2a b +=r r （ ） A ．5 B ．7 C ．5 D ．25 2．若3sin 122πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．12-C ．32D ．3- 3．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==r r ，则向量a r 与b r 的夹角的余弦值为（ ） A ．35 B ．45 C ．35- D ．45- 4．若4sin 3cos 0αα-=，则2sin 22cos αα+=（ ）A ．4825B ．5625C ．85D ．43 5．将函数()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图象．若()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，则12x x -的最大值为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 6．已知042a ππβ<<<<，且5sin cos 5αα-=，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin()αβ+=（ ） A ．31010- B ．155- C ．155 D ．310 7．如图，已知ABC ∆中，D 为AB 的中点，13AE AC =uu u r uuu r ，若DE AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）A ．56-B ．16-C ．16D ．568．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a B b A =，则ABC ∆形状是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 9．如图，在ABC V 中，1cos 4BAC ∠=，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，15AD =，则ABC V 的面积的最大值为（ ）A ．32B ．4C 15D ．2310．在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知25c =2sin cos sin sin a C B a A b B =-+5sin C ，点O 满足0OA OB OC ++=uu v uu u v uuu v ，3cos 8CAO ∠=，则ABC △的面积为（ ）A 55B ．35C ．52D 55二、填空题11．sin 613cos1063tan 30︒︒︒++的值为________.12．函数()21sin f x x =+的最小正周期是__________． 13．如图所示，正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2，若P 为该正八边形上的动点，则131A A A P⋅u u u u r u u u r 的取值范围________.14．将函数()3)13f x x π=+-的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 具有性质__________．（填入所有正确性质的序号） 33x π=-对称； ②图象关于y 轴对称；③最小正周期为π； ④图象关于点(,0)4π对称； ⑤在(0,)3π上单调递减 三、解答题15．若向量(3,0)(cos ,sin )(0)m x n x x ωωωω==->r r ，在函数()()f x m m n t =⋅++r r r 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为,4π且当[0,],()3x f x π∈时的最大值为1． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()f x 的单调递增区间．16．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin 32B m ⎛= ⎝u r ，cos ,cos 2B n B ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，且m n ⊥u r r .（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）如果1a =，3b =，求ABC ∆的面积.17．如图所示，在ABC V 中，,A ∠,B ∠C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos sin 0,b A B a B +=1a =，2c =.（1）求b 和sin C ；（2）如图，设D 为AC 边上一点，37BD CD =ABD △的面积.参考答案1．C【解析】【分析】求出向量2a b +r r 的坐标，然后利用向量模的坐标表示可求出2a b +r r 的值.【详解】()()()221,21,03,4a b +=+=r r Q，因此，25a b +==r r .故选：C.【点睛】本题考查向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.2．A【解析】【分析】 根据条件和二倍角公式，先计算出cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再将所要求的2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据诱导公式进行化简，得到答案.【详解】因为sin 122πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2cos 21262πα⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12=- 2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 12=.【点睛】本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.3．B【解析】【分析】 由向量的模的坐标计算公式求出,a b r r ，利用数量积的坐标表示求出a b ⋅r r ，再根据向量的夹角公式即可求出．【详解】由()()2,1,2,4a b ==r r，得a b ==r r .设向量a r 与b r 的夹角为θ，则84105cos θ===． 故选：B ．【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．4．B【解析】【分析】由4sin 3cos 0αα-=，求得3tan 4α=，再由222tan 2sin 22cos tan 1αααα++=+，即可求出． 【详解】由4sin 3cos 0αα-=，求得sin 3tan cos 4ααα==， 而222222sin cos 2cos 2tan 2sin 22cos sin cos tan 1ααααααααα+++==++， 所以22322564sin 22cos 25314αα⨯++==⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 故选：B ．【点睛】本题主要考查已知正切值，齐次式求值问题的解法以及二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于5．C【解析】【分析】首先利用函数图象的平移变换的应用求出新函数的关系式，进一步利用函数的最值的应用求出结果．【详解】解：函数()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，得到226y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向上平移1个单位，得到()2216g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象， 由于若()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，所以函数在1x x =和2x 时，函数()2216g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭都取得最大值． 所以()12262x k k Z πππ+=+∈，解得16x k ππ=+， 由于且1x ，[]22,2x ππ∈-，所以176x π=，同理2116x π=-，所以711366πππ+=． 故选：C ．【点睛】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题．6．D【解析】【分析】首先根据sin cos 5αα-=，求得sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合角的范围，利用平方关系，求得cos 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用题的条件，求得3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后将角进行配凑，使得()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用正弦的和角公式求得结果. 【详解】因为sin cos αα-=sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为42a ππ<<，所以cos 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 因为04πβ<<，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3455=+= 故选D.【点睛】 该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.7．C【解析】【分析】利用向量的线性运算将DE u u u r 用,AB AC u u u r u u u r表示，由此即可得到,λμ的值，从而可求λμ+的值.【详解】 因为1123DE DA AE BA AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()111111236363BA BC BA BA BC AB BC =+-=+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以16λ=-，13μ=.故16λμ+=. 故选：C.【点睛】 本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.8．D【解析】【分析】 由cos cos a B b A=，利用正弦定理化简可得sin2A ＝sin2B ，由此可得结论． 【详解】∵cos cos a B b A=， ∴由正弦定理可得sin cos sin cos A B B A =， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∴2A ＝2B 或2A +2B ＝π，∴A ＝B 或A +B ＝2π， ∴△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形故选：D ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.9．C【解析】【分析】设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠，根据三角形的面积公式求出AC ，AB ，然后由1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠()4213sin θϕ⎡⎤=+-⎣⎦，根据三角函数的性质求出面积的最大值． 【详解】解：设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠．3BD DC =Q ，AD =，34ABD ABC S S ∴=V V ，131242AB ADsin AB ACsin BAC θ∴⋅=⋅⋅∠， 83AC sin θ∴=，同理()8AB sin BAC θ=∠-，()1124ABC S AB ACsin BAC sin BAC sin θθθθθ⎫∴=⋅∠=∠-=-⎪⎪⎝⎭V()421(sin θϕ⎤=+-⎦其中tan ϕ=，0BAC θ<<∠Q ，∴当22πθϕ+=时，sin(2)1max θϕ+=，()ABC max S ∴=V故选：C ．【点睛】本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．10．D【解析】【分析】运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.【详解】由2sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-+，可得2222222a c b ac a b ac +-⨯=-+，即c =.又c =，所以4b =． 因为0OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v ，所以点O 为ABC △的重心，所以3AB AC AO +=u u u v u u u v u u u v ，所以3AB AO AC =-u u u v u u u v u u u v， 两边平方得22|9|6cos AB AO AO AC CAO =-∠u u u v u u u v u u u v u u u v 2||AC +u u u v ． 因为3cos 8CAO ∠=，所以2223|9|6||8AB AO AO AC AC =-⨯+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 于是29||AO -u u u v 940AO -=u u u v ，所以43AO =u u u v ，AOC △的面积为114sin 4223AO AC CAO ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯u u u v u u u v =.因为ABC △的面积是AOC △面积的3倍.故ABC △【点睛】本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.11【解析】【分析】根据诱导公式，进行化简，从而得到答案.【详解】sin 613cos1063tan 30︒︒︒++()sin 253cos 17tan30︒︒︒=+-+()sin 73cos 17tan30︒︒︒=-+-+=cos17cos17tan 30︒︒︒-++=故答案为：3【点睛】 本题考查诱导公式化简，特殊角三角函数值，属于简单题.12．π【解析】【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦型函数的周期公式，即可求得函数的最小正周期．【详解】因为()21cos 2311sin 1cos 2222x f x x x -=+=+=-， 所以函数的最小正周期为22T ππ==． 故答案为：π．【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用以及余弦型函数的周期公式的应用，属于基础题．13．⎡-+⎣【解析】【分析】由题意可知，当P 与8A 重合时，131A A A P ⋅u u u u r u u u r 最小，当P 与4A 重合时，131A A A P⋅u u u u r u u u r 最大，求出即可. 【详解】由题意，正八边形12345678A A A A A A A A 的每一个内角均为135o ，且边长12182A A A A ==u u u u r u u u u r ，1317A A A A ==u u u u r u u u u r ， 由正弦函数的单调性及值域可知，当P 与8A 重合时，131A A A P ⋅u u u u r u u u r最小，且最小值为2cos112.5⎛⨯==-⎝⎭o当P与4A重合时，1318A A A P⋅==+u u u u r u u u r因此，131A A A P⋅u u u u r u u u r的取值范围是⎡-+⎣.故答案为：⎡-+⎣.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算以及数形结合思想的应用，解题的关键就是找出临界位置进行分析，考查计算能力，属于中等题.14．②③④【解析】将函数()213f x xπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，得到2133y xππ⎡⎤⎛⎫=++-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()211x xπ=+-=-的图象向上平移1个单位长度，得到函数()g x x=的图象，对于函数()g x，由于当3xπ=-时，()g x=故()g x图象不关于直线3xπ=-对称，故排除①；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故②正确；它的最小周期为22ππ=，故③正确；当4xπ=时，()0g x=，故函数的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故正④确；在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上，()220,,3x g xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不是单调函数，故排除⑤，故答案为②③④.【方法点晴】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的周期性及奇偶性，属于难题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．15．3()),32[0,],2[,]3333f x x t x x πππππ∴=-++∈-∈-当时55222,2612125()[,]()121212k x k k x k f x k k k Z ππππππππππππ-≤≤+-≤≤+∴-+∈L L L L 函数的单调递增区为分 【解析】解：（I ）由题意得()()f x m m n t =⋅++r r r 2m m n =+⋅r r r23sin cos 33cos 222223)432x x x tx x t x t ωωωωωπω=⋅+=-++=-++L L L L 分 ∵对称中心到对称轴的最小距离为4π ()f x ∴的最小正周期为T π=2,12ππωω∴=∴=………………6分3()),32[0,],2[,]3333f x x t x x πππππ∴=-++∈-∈-当时 2,()333x x f x πππ∴-==即时取得最大值3t +)max (1,31,21()).832x f t t f x x π=∴+=∴=-∴=--n Q L L L L L L 分 （II ）222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈………………10分55222,2612125()[,]()121212k x k k x k f x k k k Z ππππππππππππ-≤≤+-≤≤+∴-+∈L L L L 函数的单调递增区为分16．（Ⅰ）23π；. 【解析】【分析】 （Ⅰ）由m n ⊥u r r 得出0m n ⋅=u r r ，利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式以及同角商数关系可求得tan B =，结合B 的范围可得出角B 的值；（Ⅱ）利用余弦定理求出c 的值，然后利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积.【详解】（Ⅰ）m n ⊥u r r Q ，2sin cos sin 022B B m n B B B ∴⋅==+=u r r .化简得：tan B =，又0B Q π<<，23B π∴=；（Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得，2221122c c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，整理得220c c +-=，解之得：1c =，11sin 1122ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=. 【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积的计算，涉及平面向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.17．(1)b =7；【解析】【分析】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到cos B 的值，再利用余弦定理，求出b ，根据正弦定理，求出sin C ；（2）根据正弦定理得到sin 1CBD ∠=，即2CBD π∠=，根据勾股定理得到BD =，根据三角形面积公式，求出ABD △的面积.【详解】（1）因为2sin cos sin 0b A B a B +=，所以在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得2sin sin cos sin sin 0B A B A B +=，因为sin sin 0A B ≠，所以2cos 10B +=， 所以1cos 2B =-， 又0B π<<，所以23B π=， 由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-1142122⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭7=，所以b =，在ABC V 中，由正弦定理sin sin c b C B =， 所以sin sin c BC b=22sin π=7=； （2）在ABD △中，由正弦定理得，sin sin BD C CD CBD =∠，因为BD CD =sin sin C CBD =∠因为sin 7C =，所以sin 1CBD ∠=， 而()0,CBD π∠∈ 所以2CBD π∠=，由BD CD =,BD=CD =，所以222)1)+=，所以12t =，所以2BD =， 因为ABD ABC DBC ∠=∠-∠232ππ=-6π=，所以1sin 2ABD S AB BD ABD =⨯⨯∠V 11222=⨯4=. 【点睛】 本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.。

三角函数、向量、解三角形、数列综合测试（含答案）大冶一中 孙雷 一、选择题(每题只有一个正确选项，共60分)1.若向量===BAC ∠),0,1-(),23,21(则( ) ° ° C. 120° D. 150°2.已知34,4,8===AC BC AB ABC Rt 中，△,则对于ABC △所在平面内的一点P ，)(+•的最小值是( )B. -143.已知在正方形ABCD 中，点E 为CD 的中点，点F 为CB 上靠近点B 的三等分点，O 为AC 与BD 的交点，则=DB ( ) A.51858-+ B.74718-+ C.58518-+ D. 71874-+ 4.已知）2π-απ-(523-αsin -αcos <<=，则=+αααtan -1)tan 1(2sin ( ) （ A.7528- B.7528 C.7556- D. 7556 5.若函数m x x x f -2cos 2-sin 4)(=在R 上的最小值是3，则实数=m ( )A.6-B.5-C.3-D.2-6.已知α为锐角，且2)8π-α(tan =，则=α2sin ( ) A.102 B.1023 C.1027 D. 4237.已知向量)sin 41-(α，=a ，)4πα0)(1-α(cos <<=，，且//，则=)4π-αcos(( ) A.21- B.21 C.23- D.23 8.在ABC △中，3:2:1::=A B C ,则=a b c ::( ) :2:3 :2:1 :3:2 D. 2: 3:19.在ABC △中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，若B A C sin sin sin 3+=，53cos =C ，且4=ABC S △，则=c ( )、 A.364 C.362 10.在ABC △中，°=60C ,322==AC BC ,点D 在边BC 上，且772sin =∠BAD ，则CD =( )A. 334B.43 C.33 D.332 11.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少”根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3135尺，则这位女子织布的天数是( )12.数列}{n a 中，01=a ，且)2(2-1-1-≥+=+n a a n a a n n n n ，则数列})1-(1{2n a 前2019项和为( ) A.20194036 B.10102019 C.20194037 D.20204039 二、填空题（共20分）13.已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 有最大值，且1-20192020<a a ，则当0<n S 时n 的最小值为_____________. ）14.已知数列}{n a 满足2321)2(+=n a a a a n ，则该数列的通项公式为______________.15.已知数列}{n a 满足),2(1)13()1-(*1-1N n n a a n n n ∈≥++=+，且121==a a ，则数列}{n a 的前2020项的和为_______________.16.ABC △中，Ab B a B Ac C B A cos cos sin sin sin -sin sin 222+=+，若1=+b a ，则c 的取值范围是___________.三、解答题（共70分）17.已知n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，81=a ，10-10=S(1)求n a ，n S ；(2)设||||||21n n a a a T +++= ，求n T .；18.在ABC △中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且552sin =B ，6=• (1)求ABC △的面积；。

平平面面向向量量㊁㊁三三角角函函数数㊁㊁解解三三角角形形㊁㊁数数列列 跟跟踪踪训训练练ʏ河南省商丘市实验中学马春林一、选择题1.已知角θ的终边在直线y=-22x 上,则8s i n2θ-1c o sθ等于()㊂A.6B.6或12C.-6或12D.-6或-122.已知әA B C的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2b c o s C,b-ac-a= s i n A+s i n Cs i n B,则әA B C是()㊂A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.已知等比数列{a n}中,a2=3,a5=81,b n=l o g3a n,数列{b n}的前n项和为T n,则T8=()㊂A.36B.28C.45D.324.已知在әA B C中,3s i n A,3,4c o s B 成等差数列,3c o s A+4s i n B=l o g66,则角C 的大小为()㊂A.5π6B.π2C.π6D.π6或5π65.已知向量a=(c o s2α,s i nα),b=(1, 2s i nα-1),αɪπ2,π,若a㊃b=25,则t a nα+π4的值为()㊂A.23B.13C.27D.176.已知α,β为锐角,且3c o sα(s i nβ+1) =2s i nα-12c o sα,c o s5π2-α-c o sα-3π=6s i nπ-βs i nπ2+α,则s i nβs i nα等于()A.3105B.2109C.109D.1067.在әA B C中,点P满足B Pң=3P Cң,过点P的直线与A B,A C所在的直线分别交于点M,N,若A Mң=λA Bң,A Nң=μA Cң(λ> 0,μ>0),则λ+μ的最小值为()㊂A.22+1B.32+1C.32D.528.已知G是әA B C的重心,A Gң=λ㊃A Bң+μA Cң(λ,μɪR),若øA=120ʎ,A Bң㊃A Cң=-2,则|A Gң|的最小值是()㊂A.33B.22C.23D.349.已知әA B C是边长为2的等边三角形,且A Eң=E Bң,A Dң=2D Cң,则B Dң㊃C Eң= ()㊂A.-3B.-2C.-1D.310.定义一种运算:a⊗b=a,aɤb,b,a>b,令f(x)=(c o s2x+s i n x)⊗54,且xɪ0,π2,则函数y=f x-π2+34的最大值是()㊂A.54B.74C.2D.311.已知әA B C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且s i n2(B+C)=s i n2B+ s i n2C+s i n B s i n C,a=6,则当әA B C的面积最大时,әA B C的周长L等于()㊂A.6+23B.26+3C.6+22D6+23212.已知函数f(x)=s i n(ωx+φ)ω>0,|φ|ɤπ2,x=-π4为f(x)的零点, x=π4为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在π18,5π36内单调,则ω的最大值为()㊂A.11B.9C.7D.513.若M是边长为2的正六边形A B C-D E F内及边界上一动点,则A Bң㊃A Mң的最大值与最小值之差为()㊂A.2B.4C.6D.814.已知f(x)=2s i n2ωx+π3-1(ω>0),给出下列结论:①若f(x1)=1,f(x2)=-1,且|x1-x2|m i n=π,则ω=1;②存在ωɪ(0,2),使得f(x)的图像向左平移π6个单位长度后得到的图像关于y轴对称;③若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点,则ω的取值范围为4124,4724;④若f(x)在-π6,π4上单调递增,则ω的取值范围为0,23㊂其中,所有正确结论的编号是()㊂A.①②B.②③C.①③D.②④二㊁填空题15.已知向量a=(1,3),向量b为单位向量,且a㊃b=1,则2b-a与2b的夹角为㊂16.设数列{a n}是首项为1的正项数列,且(n+1)a2n+1-n a2n+a n+1a n=0(n=1,2, 3, ),则数列{a n}的通项公式是㊂17.已知数列a n c o s nπ3的前n项和为S n,S2017=5710,S2018=4030,若数列{a n}为等差数列,则S2019=㊂18.若s i n3θ-c o s3θ>c o s5θ-s i n5θ7,且θɪ(0,2π),则θ的取值范围是㊂19.已知S n为数列{a n}的前n项和,a1 =a2=1,平面内三个不共线的向量O Aң,O Bң, O Cң,满足O Cң=(a n-1+a n+1)O Aң+(1-a n)㊃O Bң,nȡ2,nɪN*,若A,B,C在同一条直线上,则S2018=㊂20.已知数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+1n,若对于任意的nɪN*,a n<λ2+2λ恒成立,则实数λ的取值范围是㊂21.已知首项为正数的等比数列{a n}的公比为q,曲线C n:a n x2+a n+1y2=1,则下列叙述正确的为㊂①q=1,C n为圆;②q=-1,C n的离心率为2;③q>1,C n的离心率为1-1q;④q<0,C n为共渐近线的双曲线㊂22.在әA B C中,A C=6,B C=7,c o s A =15,O是әA B C的内心,若O Pң=x O Aң+ y O Bң,其中0ɤxɤ1,0ɤyɤ1,则动点P的轨迹所覆盖的面积为㊂23.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a n>0,2S n=a2n+a n,若不等式2S n+9ȡ(-1)n k a n对任意的nɪN*恒成立,则k的取值范围是㊂24.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S7<0,S8>0,则a5a4的取值范围是㊂三㊁解答题25.设递增数列{a n}满足a1=1,a1,a2, a5成等比数列,且对任意的nɪN*,函数f(x)=a n+2-a n+1-(a n-a n+1)c o s x-a n s i n x满足f(π)=0㊂(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}的前n项和为S n,b n= 1S n,数列{b n}的前n项和为T n,证明:T n<2㊂26.在平面直角坐标系x O y中,已知点A-12,0,B32,0,锐角α的终边与单位圆O交于点P㊂(1)当A Pң㊃B Pң=-14时,求α的值㊂(2)试问:在x轴上是否存在定点M,使得|A Pң|=12|M Pң|恒成立若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由㊂27.在әA B C中,a,b,c分别为内角A,B ,C 的对边,且2s i n A c o s C =2s i n B -s i n C ㊂(1)求A 的大小;(2)在锐角әA B C 中,若a =3,求b +c 的取值范围㊂28.已知函数f (x )的图像是由函数g (x )=c o s x 的图像经如下变换得到:先将g (x )图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得的图像向右平移π2个单位长度㊂(1)求函数f (x )的解析式,并求其图像的对称轴方程㊂(2)已知关于x 的方程f (x )+g (x )=m 在[0,2π)内有两个不同的解α,β㊂①求实数m 的取值范围;②请用含m 的式子表示c o s (α-β)㊂29.已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=11,且a 2,a 5,a 6成等比数列㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设S n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n|,求S n ㊂30.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,2S n n =a n +1-13n 2-n -23,n ɪN *㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:对一切正整数n ,有1a 1+1a 2++1a n<74㊂31.某地区森林原有木材存量为a ,且每年增长率为25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ,设a n 为n 年后该地区森林木材的存量㊂(1)求a n 的表达式㊂(2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材存量应不少于79a ,如果b =1972a ,那么该地区今后会发生水土流失吗若会,需要经过多少年?(参考数据:l g 2ʈ0.3)32.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=-94,且4S n +1=3S n -9㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{b n }满足3b n +(n -4)a n =0,记{b n }的前n 项和为T n ,若T n ɤλb n 对任意的n ɪN *恒成立,求λ的取值范围㊂33.已知向量m =(s i n x ,1),n =3A c o s x ,A 2c o s 2x(A >0),函数f (x )=m ㊃n 的最大值为6㊂(1)求A 的值,以及函数图像的对称轴方程和对称中心;(2)将函数y =f (x )的图像向左平移π12个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图像,求y =g (x )在0,5π24上的值域㊂参考答案:一㊁选择题1.B2.A3.B4.C5.D6.B7.B8.C9.B 10.C 11.C 12.B 13.D 14.D 二㊁填空题15.π3 16.a n =1n 17.666 18.π4,5π419.2 20.(-ɕ,-3]ɣ[1,+ɕ) 21.①③④ 22.106323.[-7,7.25] 24.(-ɕ,-1)三㊁解答题25.(1)因为f (x )=a n +2-a n +1-(a n -a n +1)c o s x -a n s i n x ,所以f (π)=a n +2-a n +1+a n -a n +1=0,即2a n +1=a n +a n +2,故{a n }是以1为首项的等差数列㊂设数列{a n }的公差为d ,则d >0㊂因为a 1,a 2,a 5成等比数列,所以a 22=a 1a 5,即(a 1+d )2=a 1(a 1+4d ),又a 1=1,解得d =2,所以a n =2n -1㊂(2)由(1)可得S n =(a 1+a n )n 2=n 2,所以b n =1n2,因此T 1=b 1=1<2㊂又因为当n ȡ4时,1n 2<1n (n -1)=1n -1-1n ,所以T n =b 1+b 2+b 3+ +b n =112+122+132+ +1n 2<112+11ˑ2+12ˑ3+ +1n n -1 =1+1-12+ +1n -1-1n =2-1n<2㊂综上所述,T n <2㊂26.(1)由题意知P (c o s α,s i n α),则A P ң=c o s α+12,s i n α ,B P ң=c o s α-32,s i n α㊂所以A P ң㊃B Pң=c o s α+12㊃c o s α-32+s i n 2α=c o s 2α-c o s α-34+s i n 2α=14-c o s α=-14,即c o s α=12㊂又因为α为锐角,所以α=π3㊂(2)存在㊂设M (m ,0),则M P ң=(c o s α-m ,s i n α)㊂所以|A P ң|2=c o s α+122+s i n 2α=1+c o s α+14=c o s α+54;|M P ң|2=(c o s α-m )2+s i n 2α=1-2m c o s α+m 2㊂因为|A P ң|=12|M P ң|,所以c o s α+54=14(1-2m c o s α+m 2),即1+m 2c o s α+1-m 24=0对任意的αɪ0,π2 恒成立,所以1+m 2=0,1-m24=0,解得m =-2,即点M 的横坐标为-2㊂27.(1)在әA B C 中,因为B =π-A +C,所以2s i n A c o s C =2s i n B -s i n C =2s i n A c o s C +2c o s A s i n C -s i n C ⇒2c o s A s i n C =s i n C ㊂又因为s i n C ʂ0,所以c o s A =12,故A =π3㊂(2)在锐角әA B C 中,a =3,由(1)知A =π3,B +C =2π3㊂由正弦定理得a s i n A =332=2,b +c =2s i n B +2s i n C =2s i n B +2s i n B +π3=3s i n B +3c o s B =23s i n B +π6 ㊂因为B ɪ0,π2 ,C =2π3-B ɪ0,π2,所以B ɪπ6,π2 ,B +π6ɪπ3,2π3 ,s i n B +π6 ɪ32,1,所以b +c =23㊃s i n B +π6 ɪ(3,23]㊂28.(1)将g (x )=c o s x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y =2c o s x 的图像,再将y =2c o s x 的图像向右平移π2个单位长度后得到y =2c o s x -π2的图像,故f (x )=2s i n x ㊂所以函数f (x )=2s i n x 图像的对称轴方程为x =k π+π2,k ɪZ ㊂(2)①f (x )+g (x )=2s i n x +c o s x =5s i n (x +φ),其中s i n φ=15,c o s φ=25㊂依题意,s i n (x +φ)=m5在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当m5<1时成立,故m 的取值范围是(-5,5)㊂②因为α,β是方程5s i n (x +φ)=m 在区间[0,2π)内的两个不同的解,所以s i n (α+φ)=m5,s i n (β+φ)=m5㊂当1<m <5时,α+β=2π2-φ,即α-β=π-2(β+φ);当-5<m <1时,α+β=23π2-φ ,即α-β=3π-2(β+φ)㊂所以c o s (α-β)=-c o s 2(β+φ)=2s i n 2(β+φ)-1=2m 52-1=2m 2-55㊂29.(1)设{a n }的公差为d (d ʂ0),由题意得a 25=a 2a 6,即(a 1+4d )2=(a 1+d )㊃(a 1+5d ),化简得2a 1d +11d 2=0,又因为a 1=11,所以d =-2或d =0(舍去),所以a n =-2n +13㊂(2)由(1)知,当n ɤ6时,a n >0;当n ȡ7时,a n <0㊂当n ɤ6时,S n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n |=a 1+a 2+a 3+ +a n =n a 1+n (n -1)2=12n -n 2;当n ȡ7时,S n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n |=a 1+a 2+a 3+ +a 6-(a 7+a 8+ +a n )=2S 6-S n =72-(12n -n 2)=n 2-12n +72㊂综上可得,S n =12n -n 2,n ɤ6,n 2-12n +72,n ȡ7㊂30.(1)因为2S n n =a n +1-13n 2-n -23,n ɪN *,所以2S n =n a n +1-13n 3-n 2-23n =n a n +1-n (n +1)(n +2)3㊂所以当n ȡ2时,2S n -1=(n -1)a n -(n -1)n (n +1)3㊂故2a n =2S n -2S n -1=n a n +1-(n -1)㊃a n -n (n +1)⇒a n +1n +1-a nn=1㊂所以数列a nn是首项为a 11=1,公差为1的等差数列,故a nn=1+1ˑ(n -1)=n ,所以a n =n 2(n ȡ2)㊂当n =1时,上式显然成立㊂综上可得,a n =n 2(n ɪN *)㊂(2)由(1)知,a n =n 2(n ɪN *)㊂当n =1时,1a 1=1<74,即原不等式成立㊂当n =2时,1a 1+1a 2=1+14<74,即原不等式也成立㊂当n ȡ3时,因为n 2>(n -1)(n +1),所以1n2<1(n -1)(n +1)=121n -1-1n +1㊂所以1a 1+1a 2+ +1a n=112+122+ +1n2<1+11ˑ3+12ˑ4+ +1(n -2)n +1(n -1)(n +1)=1+1211-13 +1212-14 + +121n -2-1n+121n -1-1n +1 =1+121-13+12- 14+ +1n -2-1n +1n -1-1n +1 =1+121+12-1n -1n +1=74+12㊃-1n -1n +1 <74㊂所以当n ȡ3时,原不等式成立㊂综上可得,对一切正整数n ,有1a 1+1a 2++1a n<74㊂31.(1)设第一年森林的木材存量为a 1,第n 年后森林的木材存量为a n ,所以a 1=a 1+14-b =54a -b ,a 2=54a 1-b =54 2a -54+1b ,a 3=54a 2-b =54 3a -54 2+54+1 b , ,a n=54 na -54 n -1+54 n -2+ +1b =54 na -454 n-1b ,n ɪN *㊂(2)依题意可知,当b =1972a 时,由a n <79a ,得54n a -454n-1ˑ1972a <79a ,化简得54 n>5,所以n >l g 5l g 5-2l g 2=1-l g 21-3l g 2ʈ7㊂故该地区今后会发生水土流失,需要经过8年㊂32.(1)当n =1时,4(a 1+a 2)=3a 1-9,又a 1=-94,故4a 2=-a 1-9=94-9=-274⇒a 2=-2716㊂当n ȡ2时,由4S n +1=3S n -9,得4S n =3S n -1-9,所以4S n +1-4S n =4a n +1=3a n ,得a 2=34a 1=-2716ʂ0,所以a n ʂ0,故a n +1a n=34㊂又因为a 2a 1=34,所以{a n }是首项为-94,公比为34的等比数列㊂所以a n =-94㊃34n -1=-3㊃34n㊂(2)由3b n +n -4 a n =0,得b n =-n -43a n =(n -4)34n㊂所以T n =(-3)ˑ34+(-2)ˑ342+(-1)ˑ343+0ˑ344+ +(n -4)ˑ34n㊂所以34T n =(-3)ˑ342+(-2)ˑ34 3+(-1)ˑ34 4+0ˑ34 5+ +(n -4)34 n +1㊂所以14T n =T n -34T n =(-3)ˑ34+342+343+344+ +34n-(n -4)34n +1=-94+9161-34 n -11-34-(n -4)34n +1=-n34n +1㊂所以T n=-4n34n +1㊂由T n ɤλb n 恒成立,得-4n 34n +1ɤλ(n -4)34n恒成立,即λ(n -4)+3n ȡ0恒成立㊂当n =4时,不等式恒成立;当n <4时,λɤ-3n n -4=-3-12n -4,得λɤ1;当n >4时,λȡ-3n n -4=-3-12n -4,得λȡ-3㊂综上可得,-3ɤλɤ1㊂所以λ的取值范围是[-3,1]㊂33.(1)因为m =(s i n x ,1),n =3A c o s x ,A 2c o s 2x(A >0),所以f (x )=m ㊃n =3A s i n x c o s x +A 2c o s 2x =A s i n 2x +π6㊂由函数f (x )=m ㊃n 的最大值为6⇒A =6㊂由2x +π6=π2+k π,k ɪZ ⇒x =π6+k π2,k ɪZ ,即对称轴方程为x =π6+k π2,k ɪZ ㊂当2x +π6=k π时,y =0,即对称中心为-π12+k π2,0,k ɪZ ㊂(2)由(1)知函数f (x )=6s i n 2x +π6㊂将函数y =f (x )的图像向左平移π12个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标保持不变,得到g (x )=6s i n 4x +π3㊂因为x ɪ0,5π24,所以4x +π3ɪπ3,7π6 ,所以s i n 4x +π3 ɪ-12,1 ,所以g (x )ɪ[-3,6]㊂所以g (x )的值域为[-3,6]㊂(责任编辑 王福华)。

三角函数与平面向量、解三角形综合题题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2的最大值.题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π2，2π)，且→a ⊥→b ．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π3)的值．题型三. 三角函数与平面向量的模的综合【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝25 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值.题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例3】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例5】（山东卷）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，tan C =． （1）求cos C ；（2）若52CB CA ⋅=，且9a b +=，求c ．题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例6】()f x a b =⋅，其中向量(,cos 2)a m x =，(1sin 2,1)b x =+，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4π．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。

题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈，函数()()f x a a b =⋅+. （Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3()2f x ≥成立的x 的取值集.题型八：三角函数平移与向量平移的综合【例8】把函数y ＝sin2x 的图象按向量→a ＝(－π6，－3)平移后，得到函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(A＞0，ω＞0，|ϕ|＝π2)的图象，则ϕ和B 的值依次为（ ）A ．π12，－3B ．π3，3C ．π3，－3D ．－π12，3题型九：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值【例9】已知04πα<<，β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=⋅=，求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．题型十：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例10】如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02πϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，1）。

高考中的三角函数、解三角形、平面向量解答题三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一．近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和、差角与倍角公式等．解答题主要考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用，一般出现在前两个解答题的位置．平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一．近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义；二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、几何问题中的应用．一、课堂演练1.(2013·安徽卷)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性． 解析： (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2＜2x ＋π4≤5π4，即π8＜x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 2．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x .(1)若f (x )＝2f (－x )，求cos 2x －sin x cos x 1＋sin 2x的值； (2)求函数F (x )＝f (x )·f (－x )＋f 2(x )的最大值和单调递增区间．解析： (1)∵f (x )＝sin x ＋cos x ，∴f (－x )＝cos x －sin x .∵f (x )＝2f (－x )， ∴sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )，且cos x ≠0，∴tan x ＝13， ∴cos 2x －sin x cos x 1＋sin 2x ＝cos 2x －sin x cos x 2sin 2x ＋cos 2x ＝1－tan x 2tan 2x ＋1＝611. (2)由题知F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x =cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，F (x )max ＝2＋1. 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z ) 得 π8＋k π≥x ≥－3π8＋k π(k ∈Z )， 故所求函数F (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．3．(2013·武汉武昌区联合考试)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足2AC →·CB →＝2ab ，c ＝22，f (A )＝12－34，求△ABC 的面积S .解析： (1)∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x . ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，值域为⎣⎡⎦⎤12－32，12＋32. (2)∵2AC →·CB →＝2ab ，∴2ba cos(π－C )＝2ab ，∴cos C ＝－22.∵C ∈(0，π)，∴C ＝3π4. 又f (A )＝12－34，∴12－32sin 2A ＝12－34，∴sin 2A ＝12. 而0＜A ＜π4，∴A ＝π12，B ＝π6. 由正弦定理，得a sin π12＝b sin π6＝c sin 3π4，即a 6－24＝b 12＝2222. ∴a ＝6－2，b ＝2. ∴S ＝12ab sin C ＝12×(6－2)×2×22＝3－1. 4．(2013·湖北八校联考)已知锐角三角形ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，定义向量m ＝(2sin B ，3)，n ＝⎝⎛2cos 2B 2－1，cos 2B )，且m ⊥n . (1)求f (x )＝sin 2x cos B －cos 2x sin B 的单调递减区间；(2)如果b ＝4，求△ABC 面积的最大值．解析： ∵m ⊥n ，∴m·n ＝2sin B cos B ＋3cos 2B ＝sin 2B ＋3cos 2B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3＝0， (1)易知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，由2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )得，f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．(2)由余弦定理知16＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ≥ac ， ∴S △ABC ＝12ac sin π3≤43(当且仅当a ＝c ＝4时取等号)． 即△ABC 面积的最大值为4 3. ∴2B ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴B ＝k π2－π6(k ∈Z )，∵0＜B ＜π2，∴B ＝π3二、方法归纳总结1.高考中此类题目经常出现，解决此类题目思路是“一化二求”，即通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y ＝Asin(ωx ＋φ)，y ＝Acos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ＞0，ω≠0)的形式，再研究其各种性质．2.研究性质要结合函数图象，学会：（1）函数图象的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的横坐标都是函数的零点；（2）相邻两对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期；（3）图象上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期；（4）熟记正余弦函数的单调区间。

2021年高考数学一轮复习 三角函数 平面向量 解三角形 复数质量检测文（含解析）新人教A 版一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．(xx·黄冈模拟)sin 2 013°的值属于区间( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析：sin 2 013°＝sin(360°×5＋213°)＝sin 213°＝－sin 33°，即sin 30°<sin 33°，所以－sin 33°<－12，故选B.答案：B2．(xx·武汉四月调研)若复数7＋b i3＋4i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )A ．－7B ．－1C ．1D ．7 解析：7＋b i3＋4i＝7＋b i 3－4i 3＋4i3－4i＝21＋4b 25＋3b －2825i ，实部与虚部互为相反数，则有21＋4b 25＋3b －2825＝0，解得b ＝1，选C.答案：C3．(xx·重庆模拟)已知向量a ＝(2，k )，b ＝(1,2)，若a ∥b ，则k 的值为( ) A ．4 B ．1 C ．－1 D ．－4解析：由a ∥b ⇒2×2＝k ×1⇒k ＝4，故选A. 答案：A4．(xx·重庆市六区调研抽测)设e 1，e 2是夹角为2π3的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2.若a ⊥b ，则实数k 的值为( )A.167 B.327C ．16D ．32 解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝2k |e 1|2－12|e 2|2＋(3k －8)e 1·e 2＝2k －12＋(3k －8)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得k ＝16. 答案：C5．(xx·辽宁大连第一次模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π2的图象(部分)如图所示，则ω，φ分别为( )A ．ω＝π，φ＝π3B ．ω＝2π，φ＝π3C ．ω＝π，φ＝π6D ．ω＝2π，φ＝π6解析：由所对应函数的图象知A ＝2，14T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13，得T ＝2，所以ω＝π，又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2，代入2sin(πx ＋φ)得φ＝π6，故选C. 答案：C6．(xx·湖北卷)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6解析：y ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位后，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3的图象，此图象关于y 轴对称，则x ＝0时，y ＝±2，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋π3＝±2，所以m ＋π3＝π2＋kπ，k ∈Z ，由于m >0，所以m min ＝π6，故选B.答案：B7．(xx·武汉市高中毕业生四月调研测试)已知tan α＝2，则4sin 3α－2cos α5cos α＋3sin α＝( )A.25B.511C.35D.711解析：由tan α＝2得sin α＝2cos α，又因为sin 2α＋cos 2α＝1所以sin 2α＝45，原式4sin 3α－2cos α5cos α＋3sin α＝4sin 2α·tan α－25＋3tan α＝4×45×2－25＋6＝25，选A.答案：A8．(xx·保定第一次模拟)若平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且|a |＝1，|b |＝1，|c |＝3，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．2B ．5C ．2或5 D.2或 5解析：由已知a ，b ，c 两两夹角相等，故其夹角为0°或120°，|a ＋b ＋c |2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(|a ||b |cos θ＋|b ||c |cos θ＋|a ||c |cos θ)代入数据易得θ＝0°时，|a ＋b ＋c |＝5；θ＝120°时，|a ＋b ＋c |＝2，故选C.答案：C9．(xx·安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sinA ＝5sinB ，则角C ＝( )A.π3B.2π3 C.3π4 D.5π6解析：根据正弦定理可将3sin A ＝5sin B 化为3a ＝5b ，所以a ＝53b ，代入b ＋c ＝2a可得c ＝73b ，然后结合余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，所以角C ＝2π3.答案：B10．(xx·郑州第三次质量预测)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝6，b ＝2，且1＋2cos(B ＋C )＝0，则△ABC 的BC 边上的高等于( )A. 2B.62 C.6＋22 D.3＋12解析：设BC 边上的高为h ，则由1＋2cos(B ＋C )＝0⇒cos A ＝12，又0<A <π，A ＝π3，由正弦定理asin A＝bsin B⇒sin B ＝22⇒B ＝π4，故有sin 15°＝6－h 2⇒h ＝6＋22.或由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 75°＝4＋23＝(3＋1)2得c ＝3＋1，h ＝c ·sinπ4＝6＋22. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(xx·厦门市高三质检)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝35，则cos 2x ＝________.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＝35，∴cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725.答案：－72512．(xx·江西八校联考)已知向量a ，b ，满足|a |＝2，|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，则a 与b 的夹角为________．解析：(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ⇒(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ＝0⇒a 2－52b 2－32|a |·|b |·cos θ＝0⇒cosθ＝12，又两向量夹角范围为[0°，180°]，故θ＝60°.答案：60°13．(xx·资阳第一次模拟)在钝角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，b ＝1，c ＝3，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于________．解析：由正弦定理b sin B ＝csin Csin C ＝c b sin B ＝32，又△ABC 为钝角三角形，则C ＝120°，A ＝30°. S △ABC ＝12×1×3×12＝34. 答案：3414．(xx·荆门高三调考)已知|OA →|＝1，|OB →|≤1，且S △OAB ＝14，则OA →与OB →夹角的取值范围是________．解析：S △OAB ＝12|OA →||OB →|·sin θ＝12|OB →|·sin θ＝14，∴sin θ＝12|OB →|≥12，∴π6≤θ≤56π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(满分12分)(xx·陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝()3sin x ，cos 2x ，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12·()3sin x ，cos 2x＝3cos x sin x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝cosπ6sin 2x －sinπ6cos 2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 由正弦函数的性质，知 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时， f (x )取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时， f (0)＝－12， 当2x －π6＝5π6，即x ＝π2时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12.因此， f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12.16．(满分12分)(xx·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3的值．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，从而得cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin 2B ＝2sin B cos B ＝459.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3＝sin 2B cos π3－cos 2B sin π3＝45＋318.17．(满分13分)(xx·资阳第一次模拟)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12α－π6＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f (α)的值．解：f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x＝cos 2x cos π6－sin 2x sinπ6＋sin 2x＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (2)由(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12α－π6＝sin α＝13，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－223，故sin 2α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429，cos 2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2232－1＝79， ∵f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12sin 2α＋32cos 2α＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－429＋32×79＝73－4218. 18．(满分13分)(xx·重庆卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc .(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc2bc＝－32. 又0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·a sin Bsin A·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.T33293 820D 舍26234 667A 智36503 8E97躗y25425 6351 捑24979 6193 憓20960 51E0 几/|29275 725B 牛]33016 80F8 胸(28020 6D74 浴。

新高考 三角函数与平面向量单元测试卷+详细分析与解答一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1、）sin 225︒=（）A ．12-B ．2-C ．D ．1-2、已知向量(1,1),a =(1,3),b =-(2,1)c =，且()//a b c λ-，则λ=（） A ．3B ．-3C ．17D ．17-3、已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（）A ．10 B ．10C ．2D ．104、已知向量a ，b 满足1a =，2b =，()()313a b a b -⋅+=-，则a 与b 的夹角为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 5、如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（）A ．3155AB AC + B ．2155AB AC + C ．481515AB AC + D ．841515AB AC + 6、为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位7、若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）．A ．78-B ．14-C ．14D ．788、泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（） A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分） 9、关于平面向量,,a b c ，下列说法中不正确．．．的是（） A ．若//a b 且//b c ，则//a cB ．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ C ．若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c =D ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅10、若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可能取值为( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π1211、己知函数()()()sin 0,023f x x f x ππωϕωϕ⎛⎫=+><<- ⎪⎝⎭，为的一个零点，6x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()()0f x π在，上有且仅有7个零点，下述结论正确．．的是（） A ．=6πϕB ．=5ωC ．()()0f x π在，上有且仅有4个极大值点D ．()042f x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增12、在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（） A ．a ，b ，c 依次成等差数列B C ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列 D ．3a ，3b ，3c 依次成等差数列三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）13、已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则m ＝▲________． 14、已知tan 3α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为______.15、若非零向量a 、b ,满足a b =,()2a b b +⊥,则a 与b 的夹角为___________. 16、在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________．SinB=四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）17、现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．18、已知平面向量()()1,2,2,a b m =-= （1）若a b ⊥，求2a b +；（2）若0m =，求a b +与a b -夹角的余弦值.19、在边长为2的等边AOB ∆中，以O 为圆心、OA 为半径作弧AB ，点P 为弧AB 上一动点.求()OP OA OB ⋅+的取值范围.20、在①函数()()1sin 20,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 图象关于原点对称；②向量()3sin ,cos 2m x x ωω=，()11cos ,,0,24n x f x m n ωω⎛⎫=>=⋅ ⎪⎝⎭；③函数()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）若02πθ<<，且sin 2θ=，求()f θ的值； （2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间．21、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=. （I ）求B ；（II ）若3,b ABC =∆的周长为3ABC +∆的面积.22、已知02πα<<，2πβπ<<，4tan 23α=-，sin β=（1）求tan α的值； （2）求()cos 2αβ-的值.新高考 三角函数与平面向量单元测试卷+详细分析与解答一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1、（2020届山东省潍坊市高三上期中）sin 225︒=（）A ．12-B ．2-C ．D ．1-【答案】B【解析】因为2sin 225sin(18045)sin 452=+=-=-. 故选：B.2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知向量(1,1),a =(1,3),b =-(2,1)c =，且()//a b c λ-，则λ=（）A ．3B ．-3C ．17D ．17-【答案】C【解析】由题意(1,13)a b λλλ-=+-，∵()//a b c λ-，∴2(13)1λλ-=+，解得17λ=． 故选：C.3、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（）A ．10B ．10C ．2 D ．10【答案】A 【解析】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭4cos 45πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦43525210=⨯-⨯=. 故选：A4、（2020届山东省德州市高三上期末）已知向量a ，b 满足1a =，2b =，()()313a b a b -⋅+=-，则a 与b 的夹角为（） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C 【解析】()()2232313a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=-，即21113a b ⋅-=-，得1a b ⋅=-，则1cos 2a b a bθ⋅==-⋅，0θπ≤≤，23πθ∴=. 故选：C.5、（2020·河南高三期末（文））如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（）A ．3155AB AC + B ．2155AB AC + C ．481515AB AC +D ．841515AB AC +【答案】D【解析】设6BC =，则2AB AC BD DE EC =====，AD AE ===，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =. 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-2133AB AC =+， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭. 故选：D6、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案】A【解析】不妨设函数2y sin x =的图象沿横轴所在直线平移ϕ个单位后得到函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．于是，函数2y sin x =平移ϕ个单位后得到函数，sin 2()y x ϕ=+，即sin(22)y x ϕ=+， 所以有223k πϕπ=+，6k πϕπ=+，取0k =，6π=ϕ．答案为A ．7、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）．A ．78-B ．14-C ．14 D ．78【答案】A 【解析】2π2π2πππcos 2cos π2cos 2cos 22sin 133333ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1721168=⨯-=-． 故选A ．8、（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（） A ．50 m B ．100 mC ．120 mD ．150 m【答案】A【解析】如图,CD 为“泉标”高度,设高为h 米，由题意,CD ⊥平面ABD ,100AB =米,60BAD ︒∠=，,4530CAD CBD ︒∠=∠=．在CBD 中,BD 3h =,在CAD 中,AD h =,在ABD △中,3,BD h AD h ==，,100AB =，60BAD ︒∠=,由余弦定理可得223100002100cos 60(50)(100)0h h h h h ︒=+-⨯∴-+=， 解得50h =或100h =- (舍去), 故选：B.二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）9、（2020届山东实验中学高三上期中）关于平面向量,,a b c ，下列说法中不正确．．．的是（） A ．若//a b 且//b c ，则//a cB ．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ C ．若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c = D ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅【答案】ACD【解析】对于A ，若0b =，因为0与任意向量平行，所以a 不一定与c 平行，故A 错； 对于B ，向量数量积满足分配律，故B 对； 对于C ，向量数量积不满足消去率，故C 错；对于D ，()a b c ⋅⋅是以c 为方向的向量，()a b c ⋅⋅是以a 为方向的相量，故D 错． 故选：ACD ．10、（2021年江苏金陵中学学情调研）若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可能取值为( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π12【答案】AB【解析】考虑f (x )与g (x )在(0，π)上的单调性，可得函数f (x )＝sin(2x －π3)在(5π12，11π12)上单调递减，g (x )＝cos(x ＋π4)在(0，3π4)上单调递减，所以这两个函数在区间(5π12，3π4)上单调递减，因此b －a ≤3π4－5π12＝π3． 11、（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()()()sin 0,023f x x f x ππωϕωϕ⎛⎫=+><<- ⎪⎝⎭，为的一个零点，6x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()()0f x π在，上有且仅有7个零点，下述结论正确．．的是（） A ．=6πϕB ．=5ωC ．()()0f x π在，上有且仅有4个极大值点D ．()042f x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增【答案】CD 【解析】6x π=为()f x 图象的一条对称轴，3π-为()f x 的一个零点，()()sin f x x ωϕ=+ 62k ππωϕπ∴⨯+=+，且()3k πωπ⨯-=，k Z ∈，21k ω∴=+，k Z ∈，()f x 在(0,)π上有且仅有7个零点， 78πωπϕπ∴+<，即131522ω， 7ω∴=，762k ππϕπ∴⨯+=+，又02πϕ<<，所以3πϕ=，()sin 73f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭令7232x k πππ+=+，()k Z ∈解得7224k x ππ=+，()k Z ∈ 当20742k πππ<+<解得1411212k -<<，因为k Z ∈，所以0,1,2,3k = 故()()0,f x π在上有且仅有4个极大值点， 由272232k x k πππππ-+++得，522427427k k xππππ-++， 即()f x 在522,427427k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()f x ∴在0,42π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，综上，AB 错误，CD 正确， 故选：CD ．12、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（） A ．a ，b ，c 依次成等差数列B C ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列 D ．3a ，3b ，3c 依次成等差数列 【答案】ABD【解析】ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则：211tan tan tan B A C=+，利用sin tan cos ααα=， 整理得：2cos cos cos sin sin sin B C A B C A =+， 利用正弦和余弦定理得：2222222222222a c b a b c b c a abc abc abc+-+-+-⋅=+， 整理得：2222b a c =+，即：222,,a b c 依次成等差数列.此时对等差数列222,,a b c 的每一项取相同的运算得到数列a ，b ，c 3a ，3b ，3c ，这些数列一般都不可能是等差数列，除非a b c ==，但题目没有说ABC 是等边三角形，故选：ABD.三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）13、（2021年江苏金陵中学学情调研）已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则m ＝______.．【答案】：1【解析】若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则→a ·→b ＝0，即2×3－6m ＝0，则m ＝1． 14、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知tan 3α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为______. 【答案】12【解析】因为tan 3α=，所以sin cos tan 11sin cos tan 12αααααα--==++. 故答案为：1215、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）若非零向量a 、b ,满足a b =,()2a b b +⊥,则a 与b 的夹角为___________. 【答案】120【解析】设a 与b 的夹角为θ，由题意a b =,()2a b b +⊥,， 可得2(2)2cos 0a b b a b b θ+⋅=+=，所以1cos 2θ=-， 再由0180θ≤≤可得，120θ=，故答案是120.16、（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________．SinB=【答案】(1) 4 (2)54 【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+，利用正弦定理化简得：2b a c =+，3cos ,5B =∴可得4sin 5B ==，114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=，可解得15ac =，∴余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭，∴可解得4b =， 故答案为4.四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）17、（2021年江苏金陵中学学情调研）现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________．(1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．【解析】若选择条件①2c －3b ＝2a cos B ．(1)由余弦定理可得2c －3b ＝2a cos B ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得c 2＋b 2－a 2＝3bc ，………2分可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32．…………………………………………………3分因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6．…………………………………………………………5分(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得(3－1)2＝b 2＋c 2－2bc ·32，………6分 即4－23＝b 2＋c 2－3bc ＝(b ＋c )2－(2＋3)bc ，亦即(2＋3)bc ＝(b ＋c )2－(4－23)，因为bc ≤(b ＋c )24，当且仅当b ＝c 时取等号，所以(b ＋c )2－(4－23)≤(2＋3)×(b ＋c )24，解得b ＋c ≤22，…………………………………………………………8分当且仅当b ＝c ＝2时取等号．所以a ＋b ＋c ≤22＋3－1，即△ABC 周长的最大值为22＋3－1．…………………………………………………10分 若选择条件②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ．(1)由条件得2b cos A ＝3a cos C ＋3c cos A ，由正弦定理得2sin B cos A ＝3(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin(A ＋C )＝3sin B ．………2分因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，…………………………………………………3分因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6．(2)同上18、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=（1）若a b ⊥，求2a b +；（2）若0m =，求a b +与a b -夹角的余弦值.【答案】（1）25a b +=（2 【解析】因为a b ⊥，()()1,2,2,a b m =-=所以0a b ⋅=，即220m -+=解得1m =所以()()()21,24,23,4a b +=-+= 22345a b +=+=（2）若0m =，则()2,0b =所以(1,2)a b +=，-(3,2)a b =-5,a b +=，-13a b =，341a b ⋅=-+=所以cos 5-a ba b a b θ⋅===⋅+19、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）在边长为2的等边AOB ∆中，以O 为圆心、OA 为半径作弧AB ，点P 为弧AB 上一动点.求()OP OA OB ⋅+的取值范围.【解析】设AB 的中点为C ，则2OA OB OC +=，设OP 与OC 的夹角为θ，则06πθ≤≤，所以()22cos 22OP OA OB OP OC OP OC θθθ⋅+=⋅=⋅=⨯=，因为06πθ≤≤cos 1θ≤≤，所以6θ≤≤()OP OA OB ⋅+的取值范围为6,⎡⎣.20、（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数()()1sin 20,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 图象关于原点对称；②向量()3sin ,cos 2m x x ωω=，()11cos ,,0,24n x f x m n ωω⎛⎫=>=⋅ ⎪⎝⎭；③函数()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）若02πθ<<，且sin 2θ=，求()f θ的值； （2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间．【解析】解：方案一：选条件①由题意可知，22T ππω==，1ω∴= ()()1sin 22f x x ϕ∴=+，()1sin 226g x x πϕ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭， 又函数()g x 图象关于原点对称，,6k k Z πϕπ∴=+∈，2πϕ<，6πϕ∴=，()1sin 226f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，（1）0,sin 2πθθ<<=，4πθ∴=，()4f f πθ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12sin 23π==； （2）由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =，得263x ππ≤≤，令1k =，得7563x ππ≤≤， ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间为275,,,6363ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．方案二：选条件② ()113sin ,cos 2,cos ,24m x x n x ωωω⎛⎫== ⎪⎝⎭， ()f x mn ∴=⋅31sin cos cos 224x x x ωωω=+112cos 2222x x ωω⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭1sin 226x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又22T ππω==，1ω∴=，()1sin 226f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， （1）0,sin 2πθθ<<=，4πθ∴=，()4f f πθ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12sin 23π==； （2）由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =，得263x ππ≤≤，令1k =，得7563x ππ≤≤， ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间为275,,,6363ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 方案三：选条件③()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos sin cos cos sin 664x x x ππωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 211cos cos 24x xx ωω=+-12cos 24x x ωω=+ 11sin 2cos 2222x x ωω⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭1sin 226x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又22T ππω==，1ω∴=，()1sin 226f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， （1）0,sin 22πθθ<<=，4πθ∴=，()4f f πθ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12sin 23π=4=； （2）由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =，得263x ππ≤≤，令1k =，得7563x ππ≤≤.∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间为275,,,6363ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 21、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=.（I ）求B ；（II ）若3,b ABC =∆的周长为3ABC +∆的面积.【答案】（Ⅰ）23B π= (Ⅱ) 4ABC S =△ 【解析】（Ⅰ）()2cos cos 0a c B b A ++=,()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ∴++=，()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=,()sin 2cos sin 0A B B C ++=，()sin sin A B C +=.1cos 2B ∴=-, 20,3B B ππ<<∴=. (Ⅱ)由余弦定理得221922a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭， ()2229,9a c ac a c ac ++=∴+-=，33,a b c b a c ++=+=∴+=3ac ∴=，11sin 322ABCS ac B ∴==⨯=. 22、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）已知02πα<<，2πβπ<<，4tan 23α=-，sin β=. （1）求tan α的值；（2）求()cos 2αβ-的值.【解析】（1）因为4tan 23α=-所以22tan 41tan 3αα=--， 即22tan 3tan 20αα--=，解得tan 2α=或1tan 2α=-， 因为02πα<<，所以tan 2α=.（2）由（1）tan 2α=，所以sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，02πα<<，所以sin 5α=，cos 5α=，因为sin β=2πβπ<<，所以cos β== 所以4sin 22sin cos 5βββ==-，223cos 2cos sin 5βββ=-=，所以()cos 2cos cos 2sin sin 25αβαβαβ-=+=-.。

三角函数和向量测试试卷（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．02120sin 等于（ ） A ．23±B ．23C ．23- D ．212．若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（ ）A ．34B ．34-C ．34±D ．3 3．sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）A ．12-B ．12 C．2- D．24．若,24παπ<<则（ ）A ．αααtan cos sin >>B ．αααsin tan cos >>C ．αααcos tan sin >>D ．αααcos sin tan >>5．函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（ ）A ．52π B ．25π C ．π2 D ．π5 6．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb = ，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( ) （A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π=+，x R ∈（C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)32y x π=+，x R ∈ 8．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b += （ ）A ．7B ．10C ．13D ．49．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（ ） A .1925 B .1625 C .1425 D .72510．向量(2,3)a = ，(1,2)b =-，若ma b + 与2a b - 平行，则m 等于A ．2-B ．2C ．21D ．12-11．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0 12.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是（ ）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上13．若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为__________。

2019高考数学文科总复习第10单元【三角函数、平面向量、解三角形综合】测试B 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.）1．已知向量，，，若满足，，则向量的坐标为（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知向量，满足，，，则（ ）A ．B ．CD3．设，，．若，则实数的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．4．将函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则函数的图像的一个对称中心是（ ） A ． B ．C ．D ．5．若的三个内角满足，则（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6．函数()()sin 0,2f x A x A ωϕϕπ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A ．向右平移个长度单位 B ．向左平移个长度单位 (),x y =a ()1,2=b ()1,1=-c ∥a b ()⊥-b a c a 11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭63,55⎛⎫- ⎪⎝⎭21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭a b 1=a 2=b -=a b 2+=a b ()1,2=a ()1,1=b k =+c a b ⊥b c k 5353-32-32()2cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12()y g x =()y g x =11,012π⎛⎫⎪⎝⎭,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭ABC △sin :sin :sin 5:11:13＝A B CABC △()f x ()sin 2g x x =6π6πC ．向右平移个长度单位 D ．向左平移个长度单位 7．如图，在平面四边形中，，，，．若点E 为边上的动点，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（ ）A ．B ．C ．D9．已知的内角的对边分别是，且，则角（ ） A ．B ．C ．D ．10．中，的对边分别为．已知，， 则的值为（ ） A ．BC ．D ．11．已知函数，，点，都在曲线上，且线段3π3πABCD AB BC ⊥AD CD ⊥120BAD ∠=︒1AB AD ==CD AE BE ⋅21163225163A B A C AC 50m 45ACB ∠=︒105CAB ∠=︒A B m m m m ABC △,,A B C ,,a b c ()()222cos cos a b c a B b A abc +-⋅+=C =30︒45︒60︒90︒ABC △,,A B C ,,a b c 22222c b a =-22sin 1cos22A BC +=+()sin B A -122345()sin 3f x x ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ω>(),A m n ()(),1B m n n +π≠()y f x =AB与曲线有个公共点，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．12．锐角中，为角所对的边，若，则的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知非零向量，满足，，则与夹角为________．14．设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．15．函数的部分图象如图，则函数解析式为_______．16．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知平面向量，，，且． （1）若是与共线的单位向量，求的坐标； （2）若，且，设向量与的夹角为，求．18．（12分）设函数图像中相邻的最高点和最低点分别为，． ()y f x =()21k k +∈*N ω2k k 2k1kABC △,,a b c ,,A B C 2225a b c +=cosC 45⎡⎢⎣⎭12⎡⎢⎣⎭45⎡⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭a b 2=ab +=a b a b ()cos (0)6f x x ωωπ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭x ω()sin (0,)2y A x A ϕϕωπ=+><ABC △,,A B C ,,a b c 120ABC ∠=︒ABC ∠AC D 1BD =4a c +a b c ()1,2=a b ab =c ⊥c a 2+a c -a c θcos θ()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕ=+>><π1,212⎛⎫⎪⎝⎭7,212⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求函数的单调递减区间；（2）若函数的图像向左平移个单位长度后关于点对称，求的最小值． 19．（12分）已知:锐角的内角的对边分别为，三边满足关系 ，（1）求内角的大小；（2的取值范围．20．（12分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）在中，角的对边为，若，，，求中线的长．21．（12分）向量，，已知，且有函数． （1）求函数的解析式及周期；（2）已知锐角的三个内角分别为，若有，的长及的面积．22．（12分）已知，，函数．（1）求函数零点；()f x ()f x ()0θθ>()1,0-θABC △,,A B C ,,a b c 2220a b c +-=C cos A B +()()22sin cos cos f x x x x x x =-+∈R ()f x ABC △,,A B C ,,a b c ()2f A =5c =1cos 7B =ABC △AD 11,sin 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭a ()1,y =b ∥a b ()y f x =()y f x =ABC △,,A B C 3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭BC sin B =AC ABC △()2cos ,2sin x x =a sin ,cos 66x x ⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b ()cos f x =a,b ()f x（2）若锐角的三内角的对边分别是，且，求的取值范围．第十单元 三角函数、平面向量、解三角形综合卷B一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D 【解析】，，，， ，解得，，故选D ． 2．【答案】D【解析】向量，满足，，，可得，即，解得．22224411617+=++⋅=+=a b a b a b ，．故选D ．3．【答案】C【解析】由题得，因为，所以，．故选C ．4．【答案】B【解析】函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，由，，可得，， 当时，对称中心为，故选B ．ABC △,,A B C ,,a b c ()1f A =b ca+∥a b 2y x ∴=()⊥-b a c ()()1,21,10x y ∴⋅+-=1220x y ∴++-=15x =25y =a b 1=a 2=b -=a b 25-=a b 2225+-=a b ab 0⋅=ab 2+=a b ()()()1,2,1,2k k k k =+=++c ⊥b c ()()1,11,2120k k k k ⋅=⋅++=+++=b c 32k ∴=-()2cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12()2cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭262x k ππ+=+πk ∈Z 62k x ππ=+k ∈Z 0k =,06π⎛⎫⎪⎝⎭5．【答案】C【解析】由正弦定理(为外接圆的半径)及已知条件，可设，，，则，所以为钝角，故为钝角三角形． 故选C ． 6．【答案】B【解析】根据函数()()sin 0,2f x A x A ωϕϕπ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，可得，， ∴，故．再根据五点法作图可得，求得， ∴．故将的图象向左平移个单位，可得的图象，故选B ．7．【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，2sin sin sin a b cA B C===R R ABC △sin :sin :sin 5:11:13＝A B C 5a x =11b x =()130c x x =>()()()222225111323cos 02511110x x x x C x xx +--==<⋅⋅C ABC △1A =127–441234T ωππππ=⋅==2ω=()()sin 2f x x ϕ=+23ϕπ⨯+=π3ϕπ=()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 2g x x =6π()sin 2sin 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ⎫⎪⎪⎝⎭30,2C ⎛⎫⎪⎝⎭D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭点在上，则，设， 则：，即， 据此可得， 且，， 由数量积的坐标运算法则可得：， 整理可得：， 结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值．本题选择A 选项．8．【答案】A【解析】在中，，，，即，则由正弦定理，得，故答案为A ． 9．【答案】C【解析】中，()()222cos cos a b c a B b A abc +⋅-+=， 由余弦定理可得：，∴，∴，， ∵，∴，又∵，∴．故选C ． 10．【答案】B 【解析】因为22sin 1cos 2A BC +=+，21cos22cos C C +=， ，所以，E CD ()01DE DC λλ=≤≤(),E xy 32x y λ⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭32x y λ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩+32E λ⎫⎪⎪⎝⎭33122AE λ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭332BE λ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭3331222AE BE λλ⎛⎛⎫⋅=-+⨯+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝()()23422014AE BE λλλ⋅=-+≤≤14λ=AE BE ⋅2116ABC△50m AC =45ACB ∠=︒105CAB ∠=︒30ABC ∠=︒sin sin AB ACACB ABC=∠∠50sin 21sin 2AC ACB AB ABC ∠===∠ABC △()2cos cos cos ab C a B b A abc +=()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=()2cos sin sin C A B C +=2cos sin sin C C C =sin 0C ≠1cos 2C =()0,C ∈π3C π=22cos cos 10C C ∴--=1cos 2C =-，． 因为，所以，，所以，．故答案为B ． 11．【答案】A 【解析】因为点，，都在曲线上， 且线段与曲线有()21k k +∈*N 个公共点，(),A m n ，，2,2AB kT T k k ωωππ∴==π==⇒=， 即的值是，故选A ． 12．【答案】C【解析】由题得， （当且仅当时取等）由于三角形是锐角三角形，所以，， ，． ， 设，，． 0C <<π23C ∴=π22222c b a =-222sin 2sin 2sin C B A =-()()3sin sin 8B A B A ∴=+-()()3sin sin 8C B A B A =-=-()sin B A ∴-=(),A m n ()(),1B m n n +π≠()y f x =AB ()y f x =()()1B m n n +π,≠ω2k ()22222222244245cos 2210105a b a b a b a b c ab C ab ab ab ab ++-++-⨯===≥=a b =222222222a b cb c a a c b +>+>+⎧⎪⎨⎪⎩>222222222222555 a b a b a b b a a b a b ⎧++>⎪⎪⎪+∴+>⎨⎪⎪++>⎪⎩222332b a ∴<<b a <<()22222425cos 225a b a b cb a C ab aba b ++-⎛⎫===+ ⎪⎝⎭bx a=x ∈⎝⎭()215f x x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭因为函数在是减函数，在是增函数， 所以的无限接近，中较大的． 所以．所以的取值范围为．故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【答案】【解析】设两向量的夹角为，由题意可得：，即：，则：， 据此有：， 整理计算可得：，． 14．【答案】【解析】因为对任意的实数都成立，所以取最大值，所以，，因为，所以当时，取最小值为． 15．【答案】【解析】根据函数部分图象，可得，127222ωπππ⋅=-，．结合五点法作图可得，求得，()fx ⎫⎪⎪⎝⎭⎛ ⎝⎭()fx f ⎝⎭f ⎝⎭()f x f f →==⎝⎭⎝⎭cosC 45⎡⎢⎣⎭3πθ()227+=a b b 22620-+⋅=a b a b 2262cos 0a b a b θ-⨯+⨯⨯=224622cos 0θ-⨯+⨯⨯=b b b b 1cos 2θ=3θπ=23()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭x 4f π⎛⎫⎪⎝⎭()246k k ωππ-=π∈Z ()283k k ω∴=+∈Z 0ω>0k =ω2312sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()sin (0,)2y A x A ϕϕωπ=+><2A =13ω∴=1032ϕπ⋅+=6ϕπ=-故函数的解析式为，故答案为．16．【答案】9【解析】由题意可知，，由角平分线性质和三角形面积公式得 111sin1201sin 601sin 60222ac c a ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得，，因此， 当且仅当时取等号，则的最小值为9．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）或；（2． 【解析】（1）与共线，又，则，为单位向量，， ，或，则的坐标为或． （2）， ，， ． 18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题，，周期，∴， 再由，即，12sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭12sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ABC ABDBCD S S S =+△△△ac a c =+111a c +=()11444559c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭23c a ==4a c +⎝⎭⎛⎝⎭a b ()1,2=a (),2x x =b b 1∴=b ()2221x x ∴+=x ∴=x =b ⎝⎭⎛ ⎝⎭()()225522522+⋅-=+⋅-=-=a c a c a a c c ()2222445510+=+⋅+=+=a c a a c c ()2225252544-=-⋅+=+=a c a a c c ()()522cos 522θ+⋅-∴===+⨯-a c a c a c a c()17,1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 132A =71211212T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22T ωπ==π112sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=π⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 16ϕπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：，又，∴，，由，得的单调递减区间为．（注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间．）（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，由题，，∴，， 当时，的最小值为．19．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由已知得：∴，∴． （2）∵是锐角三角形∴，∴， 5cos cos cos sin 6233B A A A π⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos A B +转化成sin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴，∴． 20．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），()262k k ϕππ+=+π∈Z ϕ<π3ϕπ=()2sin 23f x x π⎛⎫=π+ ⎪⎝⎭3222232k x k πππ+π≤π+≤+π()f x ()17,1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x ()0θθ>()()2sin 23g x x θπ⎡⎤=π++⎢⎥⎣⎦()()12sin 2103g θπ⎡⎤-=π-+=⎢⎥⎣⎦()()213k k θππ-+=π∈Z ()526k k θ=+∈Z 1k =-θ13C π=612⎛ ⎝⎭222a b c +-222cos 2a b c C ab +-===C π=6ABC △025062A C A π⎧<<⎪⎪=⎨π⎪<π-<⎪⎩,32A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭25336A π⎛⎫+∈π,π ⎪⎝⎭1sin 32A ⎛π⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭πAD =()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴，∴函数的最小正周期为． （2）由（1）知，∵在中，∴，∴，∴，又，∴， ∴， 在中，由正弦定理，∴，在中，由余弦定理得，∴．21．【答案】（1），；（2）2AC =，．【解析】（1）由得，即， 函数的周期为．（2）由，∵是锐角三角形∴， 由正弦定理：及条件，．又∵，即解得， ∴的面积． 22Tπ==π()f xπ()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ABC △()2f A =sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭262A ππ-=3A π=1cos7B =sin B =()11sin sin 72C A B =++=ABC △sin sin c aC A ==7a =72BD =ABD △222227711292cos 5252274AD AB BD AB BD B ⎛⎫=+-⨯⨯=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭AD =()2sin 3y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭2T =πS =∥a b 11sin 022y x x ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭()2sin 3y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭()f x 2T =π3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭2sin 33A ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭sin A ABC △3A π=sin sin BC AC A B =BC sin B =sin 2sin BC B AC A ⋅===2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅2174222AB AB =+-⋅⨯⨯3AB =ABC △1sin 2S AB AC A =⋅⋅=22．【答案】（1）；（2． 【解析】（1）由条件可知：，∴， 所以函数零点满足，由，，解得，． （2）由正弦定理得， 由（1），而，得，∴2262A k ππ-=π+，，又，得，∵，代入上式化简得： ， 又在锐角中，有，，∴，，．212k x ππ=+2b ca+<≤2cos sin 2sin cos 2sin 2666x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-+⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b ()2sin 26cos sin 226x f x x π⎛⎫- ⎪⋅π⎛⎫⎝⎭====- ⎪⋅⎝⎭a b a,b a b ()f x sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭26x k π-=πk ∈Z 212k x ππ=+k ∈Z sin sin sin b c B Ca A++=()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1f A =sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭k ∈Z ()0,A ∈π3A π=A B C ++=π23C B π∴=-23sin sin sin 36222sin sin sin sin 6B B B B B b c B a A A A ππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+π⎛⎫⎝⎭⎝⎭====+ ⎪⎝⎭ABC △02B π<<2032C B ππ∴<=-<62B ππ<<2363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭2b c a +<≤。

一轮单元训练金卷?高三?数学卷（B）第十单元三角函数、平面向量、解三角形综合注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量a x,y，b1,2，c1,1，若满足a∥b，b a c，则向量的坐标为（）A．11,24B．63,55C．21,55D．12,552．已知向量a，b满足a1，b2，a b3,2，则a2b（）A．22B．25C．15D．17 3．设a1,2，b1,1，c a k b．若b c，则实数k的值等于（）A．53B．53C．32D．324．将函数f x2cos x图像上所有点的横坐标缩短到原来的612倍（纵坐标不变），得到函数y g x的图像，则函数y g x的图像的一个对称中心是（）A．1112,0B．,06C．,012D．512,05．若△ABC的三个内角满足sin A:sin B:sin C＝5:11:13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6．函数f x Asin x A0,的部分图象如图所示，为了得到函数f x的图象，只需2将函数g x sin2x的图象（）个长度单位B．向左平移A．向右平移个长度单位66个长度单位D．向左平移C．向右平移个长度单位337．如图，在平面四边形ABCD中，AB BC，AD CD，BAD120，AB AD1．若点E为边CD上的动点，则AE BE的最小值为（）A．2116B．32C．2516D．38．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为（）A．502m B．503m C．252m D．2522m9．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且222cos cosa b c a B b A abc，则角C（）A．30B．45C．60D．9010．△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c．已知22222c b a，A B22sin1cos2C，2则sin B A的值为（）A．12B．34C．23D．4511．已知函数sinf x x，0，点A m,n，B m,n n1都在曲线y f x上，3且线段AB与曲线y f x有2k1k*N个公共点，则的值是（）A．2k B．k C．2kD．1k12．锐角△ABC中，a,b,c为角A,B,C所对的边，若2252a b c，则cosC的取值范围为（）A．422,53B．122,23C．46,53D．12,1二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知非零向量a，b满足a2b，a b7b，则a与b夹角为________．14．设函数f x cos x(0)，若6f x f对任意的实数x都成立，则的最小值为4__________．15．函数y Asin x(A0,)的部分图象如图，则函数解析式为_______．216．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4a c的最小值为________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知平面向量a，b，c，且a1,2．（1）若b是与a共线的单位向量，求b的坐标；（2）若5c，且c a，设向量a2c与a c的夹角为，求cos．218．（12分）设函数f x Asin x A0,0,图像中相邻的最高点和最低点分别为1 12,2，712,2．（1）求函数f x的单调递减区间；（2）若函数f x的图像向左平移0个单位长度后关于点1,0对称，求的最小值．19．（12分）已知:锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，三边满足关系22230a b c ab，（1）求内角C的大小；（2）求3cos A cos B的取值范围．20．（12分）已知函数22f x sin x cos x23sin x c os x x R．（1）求f x的最小正周期；（2）在△ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c，若f A2，c5，cos 1B，求△ABC中线AD的7长．21．（12 分）向量1 1 3a，b1,y ，已知a∥b，且有函数y f x ．, sin x cos x2 2 2（1）求函数y f x 的解析式及周期；（2）已知锐角△ABC 的三个内角分别为A,B,C ，若有 f A 3 ，边BC 7 ，3 sin21B ，7求AC 的长及△ABC 的面积．22．（12 分）已知a2cos x,2sin x ，b sin x ,cos x ，函数 f x cos a,b．6 6（1）求函数 f x 零点；（2）若锐角△ABC 的三内角A, B,C 的对边分别是a,b,c ，且 f A 1 ，求b ca的取值范围．一轮单元训练金卷?高三?数学卷答案（B）第十单元三角函数、平面向量、解三角形综合一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】D【解析】a∥b，y 2x ，b a c，1,2 x 1,y 1 0 ，x 1 2y 2 0 ，解得1x ，52y ，故选D．52．【答案】D【解析】向量a，b满足a 1 ，b 2 ，a b3, 2 ，可得 2a b 5 ，即2 2a b2ab5，解得a b0 ．2 2 2a2b a 4 b4a b 1 16 17 ，a2b17 ．故选D．3．【答案】C【解析】由题得c1,2 k,k 1 k,2 k ，因为b c，所以b c1,1 1 k,2 k 1 k 2 k 0 ，3k ．故选C．24．【答案】B【解析】函数 f x 2cos x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的6 12倍（纵坐标不变），得到g x 2cos 2x ，6由2x k ，k Z，可得6 2kx ，k Z，6 2当k 0 时，对称中心为,06，故选B．5．【答案】Ca b c【解析】由正弦定理2R( R为△ABC 外接圆的半径) 及已知条件si n A s i B n s C i nsin A:sin B :sin C＝5:11:13 ，可设 a 5x ，b 11x ，c 13x x 0 ，则2 2 2 25x 11x 13x 23xcos C 022 5x 11x 110x，所以C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．故选C．6．【答案】B【解析】根据函数 f x A s in x A 0, 的部分图象，可得 A 1，2T 1 2 7–4 4 12 3 4，∴ 2 ，故 f x sin 2x ．再根据五点法作图可得 2，求得，33个单位，可得∴f x sin 2x ．故将g x sin 2x的图象向左平移3 6f x sin 2 x sin 2x 的图象，故选B．6 37．【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则1A 0, ，23B ,0 ，23C 0, ，23D ,0 ，2点E 在CD 上，则DE DC 0 1 ，设 E x, y ，则：3 3 3x , y , ，即2 2 2xy3 32 232，据此可得3 3 3E , ，2 2 2且3 3 3 1AE , ，2 2 2 23 3BE 3, ，2 2由数量积的坐标运算法则可得：3 3 3 3 3 1 AE BE 3 ，2 2 2 2 2 2整理可得： 32AE BE 4 2 2 0 1 ，4结合二次函数的性质可知，当14 时，AE BE 取得最小值2116．本题选择 A 选项．8．【答案】A【解析】在△ABC 中，AC 50 m ，ACB 45 ，CAB 105 ，即ABC 30 ，则由正弦定理AB ACsin ACB sin ABC ，得AB250AC sin ACB 2 50 2 m12sin ABC，故答案为A．9．【答案】C【解析】△ABC 中， 2 2 2a b c a cos B b cos A abc ，由余弦定理可得：2ab cosC a cosB b cos A abc ，∴2cos C sin Acos B sin B cos A sin C ，∴2cos C sin A B sin C ，2cos C sin C sin C ，∵sin C 0 ，∴1cosC ，又∵C 0, ，∴2C ．故选C．310．【答案】 B【解析】因为A B22sin 1 cos C ，221 cos2 C 2cos C ，22cos C cosC 1 0 ，所以1 cosC ，20 C ，2C ．3因为 2 2 2 2 2c b a ，所以2 2 2sin C 2sin B 2sin A，38sin B A sin B A ，所以3 3sin C sin B A sin B A ，8 2sin3B A ．故答案为B．411．【答案】 A【解析】因为点 A m,n ，B m , n n 1 ，都在曲线y f x 上，且线段AB 与曲线y f x 有2k 1 k *N个公共点，A m,n ，B m n n 1 ，2AB kT ,T 2kk，即的值是2k ，故选 A ．12．【答案】 C【解析】由题得cosC2 2a b2 2 2 2a b a b2 2 2 5 4 4 2 4a b c ab2ab 2ab 10ab 10ab 5，（当且仅当 a b 时取等）2 2 2a b c2 2 2b c a2 2 2a cb ，2 2a b2 2a b52 2a b2 2b a52 2a b2 2a b5由于三角形是锐角三角形，所以，22 b 323 a 2 ，6 b 63 a 2．cos C42 2a b2 2 2a b c 2 b a52ab 2ab 5 a b，设ba x ，6 6x , ，3 22 1f x x5 x．因为函数 f x 在63,1 1,是减函数，在62是增函数，所以 f x 的无限接近6f ，36f 中较大的．2所以6 6 6f x f f ．2 3 3所以cosC 的取值范围为4 6,5 3．故选C．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【答案】3【解析】设两向量的夹角为，由题意可得： 2 7 2a b b，即： 2 6 2 2 0a b a b，则：2 2a 6b 2 a b cos 0 ，据此有： 2 24 b 6 b 2 2 b b cos 0 ，整理计算可得：cos 12，．314．【答案】2 3【解析】因为f x f 对任意的实数x 都成立，所以4 f 取最大值，所以 2k k Z，44 628k k Z，因为0 ，所以当k 0 时，取最小值为3 23 ．15．【答案】1y 2sin x3 6【解析】根据函数sin ( 0, )y A x A 部分图象，2可得A 2 ，1 2 72 2 2，13．结合五点法作图可得13 2 0 ，求得，6故函数的解析式为 1y 2sin x ，故答案为3 61y 2sin x ．3 616．【答案】9【解析】由题意可知，S△S△S△，由角平分线性质和三角形面积公式得ABC ABD BCD1 1 1ac c a ，化简得ac a c ，sin120 1 sin60 1 sin602 2 2 1 1a c1 ，因此1 1 c 4a c 4a4a c 4a c 5 5 2 9a c a c a c，当且仅当 c 2a 3时取等号，则4a c 的最小值为9 ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）5 2 5,5 5或5 2 5,5 5；（2）1010．【解析】（1）a与b共线，又a1,2，则b x,2x，b为单位向量，b1，2221 x x，5x或55x，则b的坐标为5525,55或525,55．（2）2255a2c a c a a c2c5，22222a2c a4a c4c5510，2525 22a c a2a c c5，445cos a c a c22105a c a c210102．18．【答案】（1）17k,k k Z；（2）121213．【解析】（1）由题，A2，周期71T21，∴12122T2，再由11f2sin22，即sin1 12126，得：2k k Z，又，∴623，f x2sin2x，3由2232k x k，得f x的单调递减区间为23217k,k k Z．1212（注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间．）（2）函数f x的图象向左平移0个单位长度后，得g x2sin2x，3由题，g12sin210，3∴213k k Z，k526k Z，当k1时，的最小值为13．19．【答案】（1） C6；（2）13,22．【解析】（1）由已知得：222a b c3ab∴cos C22233a b c ab2ab2ab2，∴C6．（2）∵△ABC是锐角三角形∴CA562，∴A,，325cos B cos A cos A sin A，将3cos A cos B转化成6233sin A，∴325A，∴33613sin A,．32220．【答案】（1）；（2）129 AD．2【解析】（1）f x cos2x3sin2x2sin2x，6∴2T，∴函数f x的最小正周期为．2（2）由（1）知f x2sin2x，6∵在△ABC中f A2，∴sin2A1，6∴2A，∴62A，又31cos B，∴7sin43B，7∴3114353 sin C sin A B，272714在△ABC中，由正弦定理c asin C sin A ，得5a533142，∴a7，∴7BD，2在△ABD中，由余弦定理得22222771129AD AB BD2AB BD cos B525，∴2274129 AD．221．【答案】（1）2siny f x x，T2；（2）AC2，333 S．2【解析】（1）由a∥b得113y sin x cos x0，即y f x2sin x，2223函数f x的周期为T2．（2）由f A3得2sin A3，即333sin3A，2。

高中数学阶段综合测评试题测试范围：三角函数、解三角形 (时间：120分钟 满分：150分)温馨提示：1.第Ⅰ卷答案写在答题卡上，第Ⅱ卷书写在试卷上；交卷前请核对班级、姓名、考号.2.本场考试时间为120分钟，注意把握好答题时间.3.认真审题，仔细作答，永远不要以粗心为借口原谅自己．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．终边与单位圆交点的横坐标是－22的钝角为( ) A.2π3 B.3π4 C.5π6 D.5π42．(改编题)点A (sin2 013°，cos2 013°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．(改编题)已知α∈(2 013π，2 014π)，且sin(α＋2 013π)＝33，则cos(α－2 014π)等于( )A ．±63B ．－63 C.33D ．－334．函数y ＝2sin(2x －π)cos[2(x ＋π)]是( ) A ．周期为π4的奇函数B ．周期为π4的偶函数C ．周期为π2的奇函数 D ．周期为π2的偶函数5．(2013·东北三校第一次联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2， 直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 6．(2013·东北四校联考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的图象 如图所示，AB →·BD →＝( ) A ．8 B ．－8 C.π28－8D ．－π28＋87．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( ) A.2525 B.255 C.2525或255D.55或5258．(2013·郑州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5→|等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝b (0<b <A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[6k π，6k π＋3]，k ∈ZB ．[6k －3,6k ]，k ∈ZC ．[6k,6k ＋3]，k ∈ZD ．无法确定10．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°11．(2013·石家庄一模)若函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ(A >0)满足f (1)＝0，则( )A ．f (x －2)一定是奇函数B ．f (x ＋1)一定是偶函数C ．f (x ＋3)一定是偶函数D ．f (x －3)一定是奇函数12．(2013·长春调研)在△ABC 中，P 是BC 边的中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aP A →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状为 ( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 14．(2013·山西名校联考)已知{x 1，x 2，x 3，x 4}⊆{x >0|(x －3)·sinπx ＝1}，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的最小值为________．15．(2013·东北三校第一次联考)在△ABC 中，2sin 2A2＝3sin A ，sin(B －C )＝2cos B sin C ，则ACAB ＝________.16．(2013·唐山统考)在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为43，则AC ＋BC ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；(3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝125，求sin α. 18．(12分)(2013·石家庄质检二)已知f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－2. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．19．(12分)(2013·石家庄一模)如图，有两座建筑物AB 和CD 都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A 、C 之间的距离，但只有卷尺和测角仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF ，用卷尺测得EF 的长度为a ，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF ＝α，∠AFE ＝β，∠CEF ＝θ，∠CFE ＝φ，∠AEC ＝γ.请你用文字和公式写出计算A 、C 之间距离的步骤和结果．20．(12分)(2013·安徽联谊中学联考)设函数f (x )＝sin x －3cos x ＋x ＋1. (1)求函数f (x )在x ＝0处的切线方程；(2)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，f ′(B )＝3且a ＋c ＝2，求边长b 的最小值．21．(12分)(2013·湖北八校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积．(1)若4S ＝a 2＋b 2－c 2，求角C ；(2)若43S ＝a 2＋b 2＋c 2，试判断△ABC 的形状．22．(12分)如图，点A ，B 是单位圆O 上的动点，且A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形，记∠COA ＝α.(1)若点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；(2)求|BC →|的取值范围．阶段综合测评 详解答案1．B 所求角为钝角，终边必落在第二象限，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－22，22，该角为3π4，故选B.2．C 由于2 013°＝5×360°＋213°，因此2 013°角终边落在第三象限，于是sin2 013°<0，cos2 013°<0，从而A 点在第三象限，选C.3．A 由α∈(2 013π，2 014π)，知α为第三、四象限的角，而sin(α＋2 013π)＝－sin α＝33，∴sin α＝－33，于是cos(α－2 014π)＝cos α ＝±1－sin 2α＝±63，故选A.4．C y ＝2sin(2x －π)cos[2(x ＋π)] ＝2·(－sin2x )·cos2x ＝－22sin4x ， 因此周期T ＝2π4＝π2，且f (－x )＝－f (x )，函数是奇函数，选C.5．D 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，可知k ＝2，A ＝2，由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，可得ω＝4，由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2. 6．C T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫π12，2，D ⎝⎛⎭⎪⎫712π，－2，∴AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫π4，2，BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫π2，－4，∴AB →·BD →＝π4×π2＋2×(－4)＝π28－8.7．A 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45；又α，β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525，选A.8．B 注意到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋sin2x ，又函数y ＝1＋sin2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin2x 的图象(如图所示)可知，|P 1P 5→|＝2π，选B.9．C 根据分析可得函数的半周期为3， 即12×2πω＝3，得ω＝π3. 函数在x ＝3处取得最大值，即A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×3＋φ＝A ， 即sin φ＝－1，取φ＝－π2.所以函数的解析式为f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π2. 令2k π－π2≤π3x －π2≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得6k ≤x ≤6k ＋3(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间是[6k,6k ＋3]，k ∈Z ，故选C.10．B ∵tan ∠ADC ＝tan ∠DAB ＝6020＝3，tan ∠DCA ＝6050－20＝2，∴tan ∠DAC ＝tan(π－∠ADC －∠DCA )＝－tan(∠ADC ＋∠DCA )＝－tan ∠ADC ＋tan ∠DCA1－tan ∠ADC ·tan ∠DCA＝－2＋31－2×3＝1，∴∠DAC ＝45°.11．D 由f (1)＝0得，A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝0即π2＋φ＝k π(k ∈Z )φ＝k π－π2(k ∈Z )故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋k π－π2＝±A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 为偶函数，f (x －3)＝±A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2(x －3)＝±A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －32π＝±A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 为奇函数．故选D.12．C 依题意得，cAC →＋aP A →＋bPB → ＝cAC →－12a (AB →＋AC →)＋12b (AB →－AC →)＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋b 2AC →－a －b 2AB →＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋b 2·AC →＝a －b 2AB →，又AB →、AC →不共线，∴⎩⎨⎧a －b2＝0，c －a ＋b2＝0，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形，选C.13.17解析：由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π且sin α＝35 得cos α＝－1－sin 2α＝－45， 故tan α＝－34，因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17.14．12解析：由题意知{x 1，x 2，x 3，x 4}⊆{x >0|(x －3)·sinπx ＝1}，∴x 1，x 2，x 3，x 4是sinπx ＝1x －3在(0，＋∞)上的实数根．显然x 1，x 2，x 3，x 4均大于0.分别绘出sinπx 和1x －3在(0，＋∞)上的函数图象如图所示，显然，sinπx 和1x －3均关于点(3,0)中心对称．要使x 1＋x 2＋x 3＋x 4最小，x 1，x 2，x 3，x 4应为图象上的前四个交点的横坐标．显然x 1，x 4与x 2，x 3亦关于点(3,0)对称．∴x 1＋x 42＝3，x 1＋x 4＝6，同理x 2＋x 3＝6，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4的最小值为12. 15.1＋132解析：由2sin 2A 2＝3sin A 可得1－cos A ＝3sin A ，cos A ＋3sin A ＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝12，又0<A <π，π6<A ＋π6<7π6，故A ＋π6＝5π6，A ＝2π3，由sin(B －C )＝2cos B sin C ，可得sin B cos C ＝3cos B sin C .设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝b 2＋c 2＋bc ，由sin B cos C ＝3cos B sin C 得b cos C ＝3cos B ，从而b (a 2＋b 2－c 2)2ab ＝3c (c 2＋a 2－b 2)2ca，故可得b 2－bc －3c 2＝0， 从而可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b c －3＝0，从而b c ＝1＋132. 16.11解析：∵S △ABC ＝12AB ×43＝12AC ·BC sin60°，∴12×3×43＝12AC ·BC sin60°，∴AC ·BC ＝83.由余弦定理可知cos60°＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC， ∴cos60°＝AC 2＋BC 2－32×83，∴AC 2＋BC 2＝173.又(AC ＋BC )2＝AC 2＋BC 2＋2AC ·BC ＝173＋163＝11，∴AC ＋BC ＝11. 17．解：(1)∵f (x )＝A sin(3x ＋φ)，∴T ＝2π3，即f (x )的最小正周期为2π3.(2)∵当x ＝π12时，f (x )有最大值4，∴A ＝4.∴4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π12＋φ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1. 即π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝π4.∴f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＋π4 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝4cos2α. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝125，得4cos2α＝125， ∴cos2α＝35，∴sin 2α＝12(1－cos2α)＝15， ∴sin α＝±55.18．解：(1)因为f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－2 ＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －2 ＝3sin2x ＋2cos 2x －2＝3sin2x ＋cos2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 所以f (x ) 的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－2.19．解：第一步：在△AEF 中，利用正弦定理，AE sin β＝EF sin (180°－α－β)， 解得AE ＝αsin βsin (α＋β)； 第二步：在△CEF 中，同理可得CE ＝αsin φsin (θ＋φ)； 第三步：在△ACE 中，利用余弦定理，AC ＝AE 2＋CE 2－2AE ·CE cos γ ＝ a 2sin 2βsin 2(α＋β)＋a 2sin 2φsin 2(θ＋φ)－2a 2sin βsin φcos γsin (α＋β)sin (θ＋φ) 20．解：(1)当x ＝0时，f (0)＝1－3，则切点(0,1－3)，∵f ′(x )＝cos x ＋3sin x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1， ∴k ＝f ′(0)＝2sin π6＋1＝2. ∴切线方程l ：y －(1－3)＝2(x －0)，即y ＝2x ＋(1－3)．(2)由(1)可知f ′(B )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋1＝3， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝1，∴B ＝π3.由余弦定理可知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝4－3ac ≥4－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝4－3＝1，当且仅当a ＝c ＝1时取“＝”， ∴b 2≥1，由b >0可知b ≥1，∴b min ＝1.21．解：(1)由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，所以4S ＝a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝4×12ab sin C ，即tan C ＝1. 而C ∈(0，π)，故C ＝π4.(2)c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，于是43S ＝43×12ab sin C ＝a 2＋b 2＋(a 2＋b 2－2ab cos C ) 即3ab sin C ＋ab cos C ＝a 2＋b 2，所以2ab sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝a 2＋b 2≥2ab ， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6≥1， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，而C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6， 所以C ＋π6＝π2，即C ＝π3，将C ＝π3代入条件得2ab ＝a 2＋b 2，即a ＝b ，故△ABC 为正三角形．22．解：(1)因为A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45， 所以0<α<π2，sin α＝45，cos α＝35，所以sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1＝20. (2)因为三角形AOB 为正三角形，所以∠AOB ＝60°，所以cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°)＝cos(α＋60°)， sin ∠COB ＝sin(∠COA ＋60°)＝sin(α＋60°)， 所以B 点坐标为(cos(α＋60°)，sin(α＋60°))．所以|BC →|＝[cos (α＋60°)－1]2＋sin 2(α＋60°) ＝2－2cos (α＋60°).因为点A 、B 分别在第一、二象限，所以30°<α<90°， ∴－32<cos(α＋60°)<0，所以2<|BC →|<2＋ 3.。

全国百所名校高考数学一轮复习试卷专题五：三角函数、平面向量、解三角形满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=A B C ．2 D ．3 2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，将角α的终边按顺时针方向旋转6π后经过点()3,4-，则cos α=（ ）A B C D ．3．已知向量()1,2a =，2b =，且a b ⊥，则2a b +=（ ）A B C ．13 D ．17 4．若3tan 24α=-，则22sin 2cos 12sin ααα+=+（ ） A ．14-或14 B ．34或14C ．34D ．14 5．已知函数22()cos 2sin 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则关于该函数性质的说法中，正确的是（ ）A ．最小正周期为2πB ．将其图象向右平移6π个单位，所得图象关于y 轴对称C ．对称中心为(),0122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 6．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深对今天的几何学和其他学科仍有深刻的影响.下图就是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为8m ，代表阴阳太极图的圆的半径为2m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A ．242mB ．237mC ．232mD ．284m 7．函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，已知()()120f x f x +=，且212x x π-<，则()12f x x +=（ ）A B ．1 C ．D ．1-8．如图，O 为ABC ∆的外心，4,2,AB AC BAC ==∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ⋅的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的图象是( ) A ． B ．。

三角函数㊁平面向量㊁数列基础训练参考答案一㊁选择题1.A 2.D 3.A 4.D 5.D 6.B 7.B 8.C9.C 10.C 11.A 12.B 二㊁填空题13.1665 14.32 15.143 16.3三㊁解答题17.(1)由题意得a +2b =-1,2+2,-2 =1,0 ,所以a +2b =1+0=1㊂(2)由题意得4,-5 =λ-1,2+μ1,-1 ,所以-λ+μ=4,2λ-μ=-5,解得λ=-1,μ=3,所以λ+μ=2㊂(3)因为A C ң=A B ң+B C ң=a +b +a -2b =2a -b ,所以C D ң=4a -2b =2A C ң,所以A ,C ,D 三点共线㊂18.(1)在әA B C 中,2a s i n B =3b ,由正弦定理得2s i n A s i n B =3s i n B ㊂在锐角әA B C 中,s i n B >0,故等式两边可约去s i n B ,得s i n A =32㊂因为A 是锐角әA B C 的内角,所以A =π3㊂(2)因为a =4,A =π3,所以由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2b c c o s A ,即16=b 2+c 2-2b c c o s π3,化简得b 2+c 2-b c =16,因为b +c =8,平方得b 2+c 2+2b c =16,两式相减,得3b c =48,所以b c =16㊂所以әA B C 的面积S =12b c s i n A =12ˑ16ˑs i n π3=43㊂19.(1)已知a 1=-7,a 2=-6,因为a n +1=k a n +1,所以a 2=k a 1+1,即-6=-7k +1,解得k =1㊂所以a n +1=a n +1,即a n +1-a n =1㊂所以数列{a n }是以-7为首项,1为公差的等差数列,故a n =-7+n -1=n -8㊂(2)由(1)可得a n=n -8=8-n ,n ɤ8,n -8,n ȡ9㊂所以T 20=a 1+a 2+a 3+ +a 20=87+0 2+121+122=28+78=106㊂20.(1)在数列{a n }中,a 1=1㊂当n ȡ2时,S n =S 2n a n+1,即S 2n =a nS n -1 ,所以S 2n =S n -S n -1 S n -1 ,化简得1S n -1S n -1=1㊂所以数列1S n是首项为1,公差为1的等差数列,所以1S n=1+(n -1)=n ,解得S n =1n㊂所以当n ȡ2时,a n =S n -S n -1=1n-1n -1㊂当n =1时,不满足上式㊂综上可得,a n =1,n =1,1n -1n -1,n ȡ2㊂(2)由(1)知S n +1=1n +1,所以b n =S n +1n =1n (n +1)=1n -1n +1㊂所以T n =11-12 +12-13 +13-14 + +1n -1n +1 =1-1n +1=nn +1㊂44 演练篇 参考答案 高考数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.若T n >1920,即n n +1>1920,解得n >19㊂所以满足T n >1920的最小的n 值为20㊂21.(1)由图像可知A =4-02=2,B =4+02=2,T 4=5π12-π6=π4㊂所以T =π,ω=2πT =2㊂所以2ˑπ6+φ=2k π+π2,所以φ=2k π+π6(k ɪZ )㊂因为|φ|<π2,所以φ=π6㊂所以f (x )=2s i n 2x +π6+2㊂(2)由(1)知f (x )=2s i n 2x +π6 +2,要使函数g (x )=l o g 2[f (x )-1]有意义,则需f (x )-1>0,所以2s i n 2x +π6+1>0,即s i n 2x +π6>-12㊂所以2k π-π6<2x +π6<2k π+7π6,解得k π-π6<x <k π+π2(k ɪZ )㊂所以函数g (x )的定义域为x |k π-π6<x <k π+π2,k ɪZ㊂(3)若∀x ɪ-π6,π6,有-π6ɤ2x +π6ɤπ2,则-12ɤs i n 2x +π6ɤ1,所以1ɤf (x )ɤ4㊂所以l o g 124ɤl o g 12f (x )ɤl o g 121,即-2ɤl o g 12f (x )ɤ0㊂若l o g 12f (x )>m -3对于任意的x ɪ-π6,π6恒成立,则l o g 12f (x )的最小值大于m -3㊂所以-2>m -3,即m <1㊂所以实数m 的取值范围为(-ɕ,1)22.(1)在әA B C 中,b =5,c =2,øB=45ʎ㊂由余弦定理b 2=a 2+c 2-2a c c o s B ,可得5=2+a 2-2ˑ2ˑa ˑ22,所以a 2-2a -3=0,解得a =3或a =-1(舍去),所以B C =3㊂(2)在әA B C 中,由正弦定理bs i n B=c s i n C ,得5s i n 45ʎ=2s i n C ,所以s i n C =55㊂在әA D C 中,因为c o s øA D C =c o s (180ʎ-øA D B )=-c o s øA D B =-45,所以øA D C 为钝角㊂因为øA D C +øC +øC A D =180ʎ,所以øC 为锐角,故c o s C =1-s i n 2C =255㊂因为c o s øA D C =-45,所以s i n øA D C=1-c o s 2øA D C=1--452=35㊂故s i n øD A C =s i n (180ʎ-øA D C -øC )=s i n (øA D C +øC )=s i n øA D C ㊃c o s C +c o s øA D C s i n C =35ˑ255+-45ˑ55=2525㊂23.(1)因为a n +S n =2n ,所以a n -1+S n -1=2n -2,n ȡ2㊂两式相减得a n -a n -1+a n =2,即2a n =a n -1+2,变形可得a n -2a n -1-2=12㊂又因为a 1+S 1=2,所以a 1=1㊂故数列{a n -2}是以-1为首项,12为公比的等比数列㊂由等比数列的通项公式可得a n -2=-12n -1,所以a n =2-12n -1,n ɪN *㊂(2)令f (n )=(2n -3)(2-a n ),结合(1)可得f (n )=2n -32n -1㊂54演练篇 参考答案 高考数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.所以f (n +1)-f (n )=2n -12n-2n -32n -1=5-2n2n㊂当n =1或n =2时,f (n +1)-f (n )>0;当n ȡ3,n ɪN 时,f (n +1)-f (n )<0㊂又因为f (3)=34,所以f (n )m a x =34㊂因为不等式2λ-λ2>(2n -3)(2-a n )对任意的正整数n 恒成立,所以2λ-λ2>34,解得12<λ<32㊂24.(1)根据正弦定理a s i n A =bs i n B=cs i n C=2R ,由s i n B =s i n C 得b =c ,故B =C ,所以A =π-2B ㊂由3s i n B =2s i n A ,得3s i n B =2s i n (π-2B ),故3s i n B =4s i n B c o s B ㊂因为B ɪ(0,π),所以s i n B ʂ0,故c o s B =34㊂所以s i n B =1-c o s 2B =134㊂(2)因为s i n B =s i n C =134,c o s B =c o s C =34,所以s i n 2C =2s i n C c o s C =2ˑ34ˑ134=398,c o s 2C =2c o s 2C -1=2ˑ342-1=-58㊂所以c o s 2C +π6=c o s 2C c o sπ6-s i n 2C s i nπ6=-58ˑ32-398ˑ12=-53+3916㊂(责任编辑 王福华)三角函数㊁平面向量㊁数列强化训练参考答案一㊁选择题1.D 2.A 3.C 4.A 5.D 6.B 7.C 8.A 9.A 10.C 11.B 12.A 二㊁填空题13.-23A B ң+16A C ң14.5 15.①16.25三㊁解答题17.(1)由正弦定理得s i n B s i n A =s i n A c o s B -π6㊂又在әA B C 中,s i n A ʂ0,故s i n B =c o s B -π6=32c o s B +12s i n B ,即s i n B =3c o s B ,所以t a n B =3㊂因为B ɪ(0,π),所以角B 的大小为π3㊂(2)由a ,b ,c 依次成等比数列得b 2=a c ,由正弦定理得s i n 2B =s i n A s i nC ㊂故1t a n A +1t a n C =c o s A s i n A +c o s C s i n C=s i n (A +C )s i n A s i n C =s i n B s i n A s i n C =1s i n B =233㊂18.(1)依题意,5=c 2+2-2㊃2㊃c ㊃c o s 45ʎ,化简得c 2-2c -3=0,解得c =-1(舍去)或c =3㊂(2)S әA B C =12B A ㊃B D ㊃s i n 45ʎ=12㊃3㊃2㊃22=32㊂所以S әB C D =S әA B C -S әA D C =12,则S әB C D =12㊃B D ㊃B C ㊃s i n 45ʎ=12,即B D ㊃2㊃22=1,所以B D =1㊂由余弦定理得C D 2=B D 2+B C 2-2㊃B D ㊃BC ㊃c o s B =1+2-2㊃1㊃2c o s 45ʎ=1,所以C D =1㊂19.(1)由题意可得a 1q 3=9a 1q ,a 1(1-q 3)1-q=13,q >0,解64 演练篇 参考答案 高考数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。