角平分线性质导学案

第十二章 全等三角形12．3 角平分线的性质第1课时 角平分线的性质学习目标：1．通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理．2．能运用角的平分线性质解决简单的几何问题． 重点：掌握角的平分线的性质定理，用直尺和圆规作角的平分线． 难点：角平分线定理的应用．一、知识链接1．判定两个三角形全等的方法有哪几种？2．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，则∠ =∠ ．过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，则图中线段 的长度表示点D 到BC 的距离．二、新知预习1．OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点．操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D 、E为垂足，测量PD 、PE 的长．将三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论．2．下面四个图中，点P 都在∠AOB 的平分线上，则PD ＝PE 的是（ ）A B C D 3．猜想：角平分线的性质：角平分线上任意一点到两边的相等．三、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：尺规作角平分线问题：如果没有角平分仪，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系．提示：（1）已知什么？求作什么？（2）把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?（3）在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？（4）你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．注意：作角平分线是最基本的尺规作图之一，大家一定要掌握．已知：平角∠AOB．求作：平角∠AOB的角平分线．结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法．探究点2：角平分线的性质实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点．1．操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表：猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．验证猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．已知：如图，∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：PD=PE．方法归纳：一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1．明确命题中的已知和求证；2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．知识要点：性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离．定理的作用：证明线段相等．应用格式：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD = PE．判一判：（1）∵如下左图，AD平分∠BAC（已知），∴BD=CD．（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）（2）∵如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知），∴BD=CD．（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）典例精析例1:已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4 cm，则PE=______cm．变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝m，AB=14．（1）则点P到AB的距离为_______(用含m的式子表示)；（2）求△APB的面积(用含m的式子表示)；（3）求△PDB的周长．二、课堂小结1．如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE =DF，∠EDB= 60°，则∠EBF= 度，BE= ．第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是．3．用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A．SSS B．ASAC．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6 B．5 C．4 D．35．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：（1）哪条线段与DE相等？为什么？（2）若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长．6．如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离．7．如图，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．参考答案自主学习一、知识链接1．SSS、SAS、ASA、AAS、HL2．ABD CBD DE二、新知预习1．PD=PE2．D 3．距离三、我的疑惑课堂探究二、要点探究探究点1：尺规作角平分线问题能做一做作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．针对训练解：如图．探究点2：角平分线的性质验证猜想证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在△PDO和△PEO中，,,,PDO PEOAOC BOCOP OP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE．判一判（1）×（2）×典例精析例1 证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90 °．在Rt△BDE和Rt△CDF中，,,DE DFBD CD=⎧⎨=⎩∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴EB=FC．例2 4变式解：（1）m（2）由角平分线的性质，可知，PD=PC=m，172PDBS AB PD m=⋅=．（3）由题意可证△ACP≌△ADQ，∴AC=AD．∴C△PDB=PD+PB+DB=PC+PB+DB=BC+DB=AD+DB=AB=14．当堂检测1．60 BF2．3 3．A4．D 解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴11422722ABCS AC=⨯⨯+⨯=，解得AC＝3．5．解：（1）DC=DE．理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等．（2）∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠EBD．在△CDB和△EDB中，∠C=∠BED，∠CBD=∠EBD，DB=DB，∴△CDB≌△EDB(AAS)，∴BE＝BC=8．∴AE＝AB-BE=2．∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8．6．解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N．∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离．∵AP平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，∴PM= PE．同理，PN= PE．∴PM= PN= PE=3．∴MN=6．即AD与BC之间的距离为6．7．证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF．在Rt△CDE和Rt△CDF中，,,CD CDDE DF=⎧⎨=⎩∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF．。

角平分线11月26号 主备人：袁延欣一、学习目标掌握角平分线的定义及性质，并能进行简单的运算。

二、学习重点、难点角的平分线及其应用 三、学习过程 （一）复习回顾1、角的定义及表示方法2、线段中点的定义及性质 （二）新知探究做一做：请同学们在一张半透明的纸上画∠AOB,把∠AOB 对折，让角的两边相重合。

这时，我们看到这个叫的中间有一条射线，请你测量者两个角的大小，你有什么发现？(2)小结：这条射线把这个角分成两个 的角，这时，我们把这条射线成为这个角的 。

归纳：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的 。

注意：1）角的平分线是一条在角内部的 。

2）角的平分线把角分成了 。

几何语言：如图。

OC 是∠AOB 的平分线，则①∠AOC=∠BOC,②∠AOB=2∠AOC=2∠COB, ③∠AOB=∠BOC=21∠AOB 。

反之，①、②、③中任何一个成立，则OC 是∠AOB 的平分线。

AOB BCOA例1：1）若∠BAD=∠CAD, ∠BCE=∠ACE, 则下列结论中错误的是（ ） A 、AD 是∠BAC 的平分线 B 、CE 是∠ACD 的平分线 C 、∠BCE=21∠ACB D 、CE 是∠BOC 的平分线2）如图，∠AOB=55°，OD 是∠BOC 的平分线，则∠AOD=例2. 已知∠AOB=75°，∠COA=15°，OD 为∠COB 的平分线，求∠BOD 的度数。

练习，如图，点O 事直线AB 上的一点，∠AOD=120°，CD ⊥AB 于点O,OE 平分∠BOD,求∠BOE 的度数。

例3，已知∠AOB=70°，∠BOC=30°，求∠AOC 的度数ACDED练习：在例3的条件下，OM ∠AOB 的平行线，ON 平分∠BOC,求∠MON.例4，如图，OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线。

12.3 角平分线性质导学案温馨寄语：朝霞般美好的理想，在向你们召唤,你们是一滴一滴的水，全将活跃在祖国的大海里.一．学习目标：1.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。

2.能够利用三角形全等，证明角平分线的性质。

3.能对角平分线的性质进行简单推理，解决一些实际问题。

二．重点与难点：1.角平分线的性质。

2.表达文字几何命题的证明过程。

三、学习过程知识链接角平分线：从一个的顶点引出一条，把这个角分成两个的角，这条叫做这个角的角平分线。

合作探究活动1：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，如何确定角的平分线？动2：如图，在∠BAC中，若AE=AF，EG=FG。

AD是∠BAC的平分线吗？你能说明它的道理吗?活动3：如何用尺规作角的平分线？P48探究验证在∠AOB的平分线OC上任取一点P，然后，作点P到∠AOB两边的垂线段PD、 PE，画一画，量一量，从中你有什么新发现？你能说明其中的道理吗？性质：。

用符号语言描述：如图，OC是∠AOB的平分线，∵∴PD=PE验证性质：已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB求证：PD=PE证明：四、自能训练1.知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且DE=3cm,则点D到AC的距离是( )A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm2 .已知如图，BD平分∠ABC，若要证明AD=DC,则可以添加的一个条件是______．3. 如图四边形ABCD中，∠A=90º，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积是_______．4.如图，Rt△ABC中，∠C=90º，AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=8，则△BED的周长是_______．5、如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2.则△ABD的面积是_______．6、如图，△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足，在以下结论中：①△ADE ≌△ADF ；②△BDE ≌△CDF ；③△ABD ≌△ACD ；④AE =AF ；⑤BE =CF ； ⑥BD =CD ．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4四、能力提升 1、如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB,垂足为E ，DF ⊥AC 垂足为E ，且BD=CD. 求证：BE=CF2、如图，OC 是∠AOB 的平分线，AC ⊥OB 于D ，BC ⊥OA 于E.求证：AC=BC3、如图5、AB ∥CD ，∠B ＝90°，AE 平分∠DAB 。

1.4 角平分线的性质与判定导学案（一）【导学目标】1、掌握角平分线的性质定理及判定定理；2、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

【导学重点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【导学难点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【强基导学】1、判定三角形全等的方法有哪些？判定直角三角形全等的方法呢？2、斜边、直角边定理的内容是什么？3、什么是角平分线？4、点到直线的距离的定义，完成任务1：【自主探学】阅读教材P22【任务1】如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？请写出证明过程。

【归纳】角平分线的性质定理：角平分线上的点到。

几何语言描述角平分线的性质定理：∵∴，完成任务2：【带问自学】阅读教材P23【任务2】如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E. 若PD= PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？请说明理由。

【归纳】角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点 。

用几何语言描述角平分线的判定定理：∵∴【互动帮学】例1 如图，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2. （1）求证：点B 在∠ADC 的平分线上； （2）求证：BD 是∠ABC 的平分线.【知识梳理】1、角平分线的性质定理是 。

2、角平分线的判定定理是 。

【达标评学】1． 如图，在△ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BC =10cm ，CD =6cm ，则点D 到AC 的 距离是： 。

2、如图，在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，AB =5， 点D 是三角形内角平分线的交点，则点D 到AB 的 距离是： 。

A3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于E，且DC＝DE，∠CBD:∠A＝2:1，则∠A的度数为。

【布置作业】教材P26A组1、2题BEADC第3题图。

“角的平分线的性质”导学案（第一课时）姓名：_____课时目标：1.掌握角平分线的画法2.理解并掌握角平分线的性质3.了解证明几何命题的一般步骤自学目标：1.动手画任意已知角的平分线2.填空，如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE.证明：∵PD⊥OAPE⊥OB∴_____=_____=90°在△PBO和△PEO中∠PDO=∠PEO________=_________OP=OP∴△PDO≌△PEO（_________）∴PD=PE用语言描述以上的结论为：角的平分线的性质：________________________________________________.3.如图，点P、D、E分别在OC、OA、OB上，判断下列推理：A①∵OC平分∠AOB∴PD=PE( ) D C②∵OC平分∠AOBPD⊥OAPE⊥OB∴PD=PE( ) P③∵PD⊥OAPE⊥OB∴PD=PE( )O E B4.证明几何命题的一般步骤是怎样的？①明确几何命题中的__________________;②根据题意，画出图形，并用符号表示_________________;③写出____________。

解读目标：1.运用角平分线性质定理的条件及要注意的问题；2.条件中已知角平分线时常见辅助线的作法。

巩固目标：1.如图，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM上一动点，若P A=2，则PQ的最小值为_________2.如图，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是________3.如图，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，BC=8cm，AC=6cm，AB=10cm，则△BDE的周长=______. M CPDO A N（第1题图）（第2题图）（第3题图）4.如图，已知OA平分∠BAC，OB=OC，求证AB=AC. AOB C提升目标：△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，AC=10，∠BAC、∠ACB的平分线交于点O，OD⊥AC于D①求OD②求AD、CD的长ADOB C回顾目标：1、掌握角平分线的画法2、理解并掌握角平分线的性质3、了解证明几何命题的一般步骤作业：长江学案P34 1~7。

【MeiWei 81重点借鉴文档】12.3 角平分线的性质（1）导学案、学习目标1、 能用三角形全等的知识，解释角平分线的原理;2、 会用尺规作已知角的平分线.二、 温故知新如图1，在/ AOB 的两边 0A 和0B 上分别取 OM=ONMC L OA NCL OB MC 与NC 交于C 点. 求证：（1） Rt △ MO © Rt △ NOC（2） / MOC M NOC三、 自主探究 合作展示探究（一）1、 依据上题我们应怎样平分一个角呢？2、 思考：把上面的方法改为“在已知/ AOB 的两边上分别截取 OM=QN 使MC=NC 连接OC 则OC 即为/ AOB 的平分线。

”结论是否仍然成立呢?件行吗?OA 是/ BAC 的平分线，点 O 是射线 取点 O 的三个不同的位置，分别过点 AM 上的任意一点. O 作OE 1 AB, OD 丄AC,点D E 为垂足，测四、学习反思请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

【MeiWei 81重点借鉴文档】 3、受上题的启示，我们可以制作一个如图 2所示的平分角的仪器： 其中AB=AD BC=DC 将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE AE 就是角平分线•你能说明它的道理吗？ 探究 思考 已知 求作 作法 二）如何作出一个角的平分线呢？/ AOB / AOB 勺平分线.（1 ）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA OB 于 M N 1 M N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧.两弧在 2（2）分别以 C. OC 射线OC 即为所求./ AOB 内部交于点 （3）作射线 请同学们依据以上作法画出图形。

议一议: 在上面作法的第二步中，去掉“大于 1 丄MN 的长”这个条 2 E1 第二步中所作的两弧交点一定在/ AOB 的内部吗?探究（三）如图 操作测量： 量OD OE 的长.将三次数据填入下表： 3,ODOE第次 卜面用我们学过勺 知:女第二次 AO 平 寸知识证明发现： 乙分 / RAC OEI A B ODI AC 'H ♦丿'口 1 ' 1 1 ：图1观察测量结果，猜想线段 OD 与OE 的大小关系，写出结论:。

“互助研展”模式数学科导学案班级：姓名：日期：编号：编制人：检查人：【课题】：12.3角的平分线的性质【课节】第1课时【课型】：新授课【学习目标】：利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质1．一、温故与导新：1、判断三角形全等的方法有哪些？2、作出点P到直线AB、CD的距离。

二、探究生成：问题1：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？问题2：从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法.已知什么？求作什么？如图1，已知∠AOB，用尺规作图的方法作出∠AOB的角平分线OC，写出作法，并说明这种作法的依据.问题3：(1)如图2，在已画好的∠AOB的平分线OC上任意找一点P，过点P分别作PD∠OA于D，PE∠OB于E，PD、PE的长度是∠AOB的平分线上一点到∠AOB两边的距离.量出它们的长度，你发现了什么？(2)你能归纳角的平分线的性质吗？1、如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为______cm．2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是______．3、如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是等于______．4、如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于______．三、互助提升：例1：已知：如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB。

∠求证：MB=MC∠若DC=2，AB=3，直接写出AD的长= 。

例2：如图，已知在∠ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=90°，DF∠AC，垂足为F，DE=DC.求证：BE=CF思考2：如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．思考3：在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？通过测量这两段距离，你发现了角的平分线的什么性质？例1：如图，∠ABC的角平分线BM、CN相交于点P。

10.5.角平分线（1）导学案教学目标：1．经历角平分线的性质的证明过程，掌握角平分线的性质定理及逆定理2．能运用角平分线的性质定理及逆定理解决有关问题。

学习策略1.角平分线性质定理的应用.2.利用角平分线的有关定理解答实际问题.学习过程一.复习回顾：1、若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________．2、若等腰三角形的一个外角是120°，则这个等腰三角形的底角为_____________．3、若等腰三角形的两边长分别为xcm和（2x－6）cm，且周长为17cm，则第三边的长为________．二.新课学习：1.角平分线的性质定理：已知：OP平分∠AOB,PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E求证：PD=PE证明：【归纳：】角平分线性质定理:文字语言：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

图形语言：符号语言：2.角平分线的判定定理：已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E，且PD=PE 求证：点P在∠AOB的角平分线上（即OP平分∠AOB）证明：【归纳：】角平分线判定定理:文字语言：在一个角的内部，并且到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

图形语言：符号语言：例1 如图10-29，在△ABC中,∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E,F，且DE=DF，求DE的长.三.尝试应用：1.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_______；2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D 到AB的距离是________。

3.OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（）A、PD=PEB、OD=OEC、∠DPO=∠EPOD、PD=OD四.自主总结：1.角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

角平分线的性质（导学案）1、证明：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D ，E 。

例1 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F.求证：EB=FC.（2）变题1：如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线， ∠C ＝90°， DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，且BD=DF ，求证：CF=EB.DP E AO BC B A CDE AF C D BE（2）（1）变题2：如图，△ABC 中， AD 是∠BAC 的平分线， ∠C ＝90°，DE ⊥AB 于E ，BC=8，BD=5，求DE.知识扩展： 如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E 。

求证：AB=AC+CD例2 已知：如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P .求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等.BA C D E（例2）变式训练3：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．课本思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500课后思考：如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？有几种修建方法？。

第五章 生活中的轴对称角平分线的性质 导学案一、预习：（认真看书125—127）1、点到线的距离：2、作图：表示出点A 到直线l 距离ｌＡｌＡ3、过点P 做OA ，OB 的距离4、角平分线的对称轴是 5填空：角 平分线 上的点 到角 的两边 的距离 相等 几何语言： 二、新课1．已知：△ABC 中，∠B =90°， ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为 .2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．3．∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 4．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 5．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .6．如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，则CF ______FG ，CE ________CF .7．如图，已知AB 、CD 相交于点E ，∠AEC 及∠AED 的平分线所在的直线为PQ 与MN ，则直线MN 与PQ 的关系是_________.8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等． 9．点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________．10．在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为 . 11．三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD 13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝第4题第5题第6题第7题D 、不能确定21DAPOEBl 2l 1l 3DCEB第12题 第13题 第14题15．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（ ）A 、TQ ＝PQB 、∠MQT ＝∠MQPC 、∠QTN ＝90°D 、∠NQT ＝∠MQTNTQPMEDCBAEDC BAF第15题 第16题 第17题 16．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm17．如图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则对于下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．①和②D ．①②③18．如图，AB =AD ，CB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．OA =OCB ．点O 到AB 、CD 的距离相等C ．∠BDA =∠BDCD ．点O 到CB 、CD 的距离相等19．△ABC 中，∠C =90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB =10cm ，BC =8cm ，AC =6cm ，则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为（ ）A ．2cm ，2cm ，2cm ； B ． 3cm ，3cm ，3cm ； C ． 4cm ，4cm ，4cm ； D ． 2cm ，3cm ，5cm 20．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（ ）A ．两个三角形全等B ．如果还有一角相等，两三角形就全等DCAO 第18题C．两个三角形一定不全等D．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等已知：Ａ＇ＡＢ为正三角形，ＡＢＣ为等腰三角形，∠ＢＡＣ＝１２０° ∠ＤＣＥ＝６０°，求证：ＤＥ＝ＤＢ＋ＥＡB A。

郑家寨中学“自主、合作、当堂达标”预习导学案（序号 1 ）班级: 八组名: 姓名: 创作：芦蕊审核：刘伟使用时间：课题12.3 角的平分线的性质1学习目标1．掌握角平分线的性质12．会用尺规作一个已知角的平分线．重难点教学重点：角平分线的性质教学难点：探索作角平分线的过程自主学习内容一、问题导入1、观察下面简易的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。

将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线。

你能说明它的道理吗？ EB C2、如图，已知：AB=AD，BC=DC。

求证：AC是∠BAD的平分线。

AD二、尺规作图通过上面平分角的方法，你能猜想出一种作已知角的平分线的方法吗？已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线. 作法：AOB三、猜一猜1、如图，任意作一个角∠AOB ，作出∠AOB 的平分线OC.在OC 上任取一点P ，过点P 作出OA,OB 的垂线，分别记垂足为D,E 测量PD,PE 并作比较，得到什么结论？在OC 上再取几个点试一试。

通过以上测量，你发现了角平分线的什么性质？2、论证一下你的猜想：已知：如上图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E.求证：PD=PE3、归纳角平分线的性质：用几何语言表述：PEPD OBPE OA PD AOB OC AOB P =∴⊥⊥∠∠,)(平分或的平分线上在点学以致用 已知：如图，BM ，ABC 的角平分线∆P ，CN 相交于点求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。

我的 自学 问题自我评价： 小组评价： 教师评价：OBA C P DE PABCMNDCAEB郑家寨中学“自主、合作、当堂达标”训练导学案 （序号 3 ）班级: 八 组名: 姓名: 创作： 芦蕊 审核： 使用时间：课题12.3 角的平分线的性质时间：15分钟 总分：30分A 组1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，AB=AC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. 求证：DE=DF.2、已知：如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，∠1=∠2. 求证：OB=OC3、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为？自我评价： 小组评价： 教师评价：D C B AEF 21D A CE O 654321B。

教师寄语春来春去，燕离燕归，枝条吐出点点新绿，红花朵朵含苞欲放，杨柳依依书写无悔年华，白云点点唱响人生奋斗的凯歌，微冷的春风淡去了烟尘与伤痛，沉淀在内心的却是缤纷的梦想以及那收获前的耕耘与奋斗。

角平分线的性质学案【学习目标】1、探究理解角平分线的性质并会运用2、会用尺规作图作角平分线．【重点】理解角平分线的性质并会运用【难点】用尺规作图作角平分线一，学前准备二．探究活动活动一：( 体会平分角的仪器道理)1、议一议：如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？（思考后组内交流）2、如图，已知AB＝AD，BC＝DC. 求证:AC是∠DAB的平分线.活动二：（学会作角平分线）由活动一的启示，你能用尺规作一个角的平分线吗？说一说，写一写角平分线的作法.已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：注意：角的平分线是一条射线,它不是线段，也不是直线.练一练：作一个平角∠AOB的平分线. 由此你能得出:“过直线上一点作已知直线的垂线”的方法吗？活动三： (探究归纳出角平分线的性质)角平分线的性质：角平分线上的到角两边的相等.(体会命题的题设和结论,结合图形,写出已知、求证并加以证明)如图，已知：求证：证明：小结证明几何命题的步骤课堂作业1、作角的平分线2、如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2.求△ABD的面积.3、△ABC中，AD是它的角平分线, 4.点P在∠ABC的角平分线上，PA⊥AB, BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC， PC⊥BC,D在BP上。

求证AD=CD垂足分别为E、F. 求证EB＝FC .。