二年级奥数.计数.有趣的图形计数 (2)

把一些正方体堆在一起你会数吗？无论是平面图形还是几何图形，在数复杂图形的个数时，只要我们认真仔细观察图形特点，有次序地去数，不遗漏不重复，就能数得又对又快。

今天这节课我们也去闯一闯几何王国，让我们用我们的智慧去挑战这些图形吧！立体图形包括正方体、长方体等，如果把许多的正方体堆成不同的图形你会数吗？如果把一个 大的长方体切成许多的小正方体你又会数吗？【例1】 下面的图形有多少个？你会数吗？（ ）条线段 （ ）个长方形（ ）个正方形 （）个三角形 （ ）个圆【例2】 数一数，图 1和图 2中各有多少黑方块和白方块？【例3】 迪斯尼乐园里米老鼠又住上了新房子，下图是他新房子的侧面墙，你能根据这个侧面图算算砌 好图1图2例题精讲知识框架有趣的图形计数 巧求周长【例4】你喜欢下跳棋吗？你知道跳棋盘有多少个孔吗？仔细数一数。

【例5】数一数，下面的方块各有多少？【例6】下面的图形中一共有几个小方块？【例7】下面这堆木方块共有多少块？（中间打阴影部分从上到下是空心）【例9】下面是用小正方体堆成的图形，现在把这个图形的表面涂上黄色，想一想有多少个小正方形没有被涂色【例10】有一天大头儿子做手工，把一个正方体木块表面涂上绿色，然后再把它切成8个小正方体，想一想每个小正方体有几个面没有颜色？课堂检测【随练1】下面两个图形能拼成一个长方体吗？【随练2】 下图是一个正方体木块，在它的表面涂上蓝色，然后沿正方体上面直线垂直切开。

切成了（ ）个三棱柱。

每个三棱柱没有涂颜色的面共有（ ）个，这些三棱柱一共有（ ）个面没有被涂色。

【随练3】 一个大正方体的表面上都涂上绿色，然后切成27个小立方体（切线如图中虚线所示）。

在这些切成的小立方体中，问：（1）1面涂成绿色的有（ ）个。

（2）2面涂成绿色的有（ ）个。

（3）3面涂成绿色的有（ ）个。

（4）1个面也没有被涂成绿色的有（ ）个【作业1】 数一数.【作业2】 如图所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，问需要几块正六边形的砖才能把它补好？（ ）个正方形（ ）个三角形（）个三角形家庭作业【作业3】下面是用方块砌成的台阶，一共用了多少方块？【作业4】下面的图形被云彩遮住了，你能数出有多少个方块吗？（中间阴影部分是空心的）【作业5】这堆木方块共有多少块？(中间打阴影部分是空心)【作业6】如图所示为一堆砖．中央最高一摞是10块，它的左右两边各是9块，再往两边是8块、7块、6块、5块、4块、3块、2块、1块．问：这堆砖共有多少块？【作业7】下图中每个图形各由几个小正方体拼成，至少再增加几个小正方体就可以把这个图形拼成一个长方体？。

第4讲：图形计数（二）姓名：
知识要点
同学们知道图中有多少个三角形吗？我们可以这样想：图中的小三角形一共有4个，大三角形有1个，所以共有5个三角形。

在计数时，做到有次序、有条理，不遗漏，也不重复，而且迅速。

这就需要掌握规律和方法，才能数得又对又快。

这一讲，我们将介绍一些简单的数图形的规律和方法。

例1：数一数，图中共有多少个三角形？
练习1、：数一数，图中有多少个三角形？
例2：数一数，图中共有多少个三角形？
练习2：数一数，图中有多少个三角形？
例3：数一数，图中有多少个长方形。

练习3：数一数，下图中一共有多少个长方形。

例4：数一数，图中共有多少个小方块。

练习4：数一数，图中共有多少个小方块。

例5：数一数图中有多少个长方形，有多少个三角形。

练习5：图中有多少个长方形和三角形？
总结归纳：
本讲主要介绍了数三角形、长方形和小方块的方法。

三角形、长方形的数量可以借助数线段的方法来计算，而数小方块要学会分层、分类，就会一个不多一个不少地数出。

奥赛题
自我检测得分：
1、数一数，图中有多少个三角形。

2、数一数，图中有多少个长方形。

3、数一数，图中有多少个小方块。

4、下面图形中线段比三角形多几个？
课后练习
1、数一数，图中有多少个三角形？
3、数一数，图中有多少个小方块？
4、数一数，图中有多少个三角形，多少个长方形。

图形的计数例1 数出下图中各条线上线段的总条数。

图中的线段有：（）条。

图中的线段有：（）条。

例2 数一数，下面的各个图形内，各有多少个角？
一共有（）个角。

一共有（）个角。

一共有（）个角。

一共有（）个角。

例3 数一数，下面的各个图形内，各有多少个三角形？
三角形有（）个。

三角形有（）个。

三角形有（）个。

三角形有（）个。

C
B
A D
A B C
A B C D E
三角形有（）个。

三角形有（）个。

三角形有（）个。

三角形有（）个。

4数出下面图形中有多少个三角形？
三角形有（）个三角形有（）个
5 数出下面图形中有多少个长方形？
长方形有（）个。

长方形有（）个。

带☆的长方形有（）个。

7-8-2.几何计数（二）W1归教学目标1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数.本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想."j哪4知识要点一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等. 这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的. 常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法1 C以及递推法等.n条直线取多将平面分成2+2+3+…… +n=」（n2+n+2）个部分；n个圆2最多分平面的部分数为n（n-1）+2 ；n个三角形将平面最多分成3n（n-1）+2部分；n个四边形将平面最多分成4n（n-1）+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等. 解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解.排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关.二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点（包括两个端点）（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+（n-1）+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边.数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形.数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个.例题精讲模块二、复杂的几何计数【例1】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围【考点】复杂的几何计数 【难度】4星【关键词】学而思杯， 2年级，第4题先看横着的正方形如下图⑴，可以得到 9+4+1=14个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到 4个正方形，如下图⑶可以得到 2个正方形. 14+4+2 =20个正方形.根据正方形的大小，分类数正方形.共能组成五种大小不同的正方形1父1的正方形：9个；2M2的正方形：4个；3M3的正方形：1个；以1父1正方形对角线为边长的正方形： 4个；以1M2长方形对角线为边长的正方形： 2个.故可以组成9+4+1+4+2 =20（个）正方形.【巩固】 下图是3X3点阵，同一行（歹U ）相邻两个点的距离均为 1。

第2讲数数图形【专题简析】我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形,当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。

要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数,就需要仔细地观察,灵活地运用有关的知识和思考方法,掌握数图形的规律,才能获得正确的结果。

要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1,弄清被数图形的特征和变化规律。

2,要按一定的顺序数,做到不重复,不遗漏。

【例1】：数出下面图中有多少条线段。

分析与解答：要正确解答这类问题,需要我们按照一定的顺序来数,做到不重复,不遗漏。

从图中可以看出,从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不同线段有2条：BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：CD。

因此,图中共有3+2+1=6条线段。

.练习1：数出下列图中有多少条线段。

答（1）（2）（3）例2：数一数下图中有多少个锐角。

分析与解答：数角的方法和数线段的方法类似,图中的五条射线相当于线段上的五个点,因此,要求图中有多少个锐角,可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得：1+2+3+4=10（个）.练习2：下列各图中各有多少个锐角？答.例3：数一数下图中共有多少个三角形。

分析与解答：图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形,也就是说,AD边上有几条线段,就构成了几个三角形,因为AD上有4个点,共有1+2+3=6条线段,所以图中有6个三角形。

练习3：数一数下面图中各有多少个三角形。

答例4：数一数下图中共有多少个三角形。

分析与解答：与前一个例子相比,图中多了一条线段EF,因此三角形的个数应是AD和EF上面的线段与点O所围成的三角形个数的和。

显然,以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个,所以图中共有6×2=12个三角形。

.练习4：数一数下面各图中各有多少个三角形。

答.例5：数一数下图中有多少个长方形。

分析与解答：数长方形与数线段的方法类似。

可以这样思考,图中的长方形的个数取决于AB 或CD边上的线段,AB边上的线段条数是1+2+3=6条,所以图中有6个长方形。

一、图形计数
要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。

要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。

首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。

例1、数出下图中有多少条线段？
巩固、数出下图中有几个长方形？
例2、数出图中有几个角？
D A B
C O
D C
B
A
巩固、数出图中有几个角？
例3、数出下图中共有多少个三角形？
巩固、数出图中共有多少个三角形？
例4、数出下图中有多少个长方形？
O C B A
P
C B A K G I H G F E A
D C B A
巩固、数出下图中有多少个正方形？
课后练习：
1、数出下图中有多少条线段？
2、数出图中有几个角？
E
A B C D E D
O
C B A
3、数出图中共有多少个三角形？
4、数出下图中有多少个长方形？
A
B A D
C B A。

1
第二讲
第4级下·超常班·教师版
有趣的图形计数 有趣的图形计数
1.
（ 15 ）个三角形 （ 17 ）个正方形 （ 44 ）个三角形
2.
⑴ ⑵ ⑶ 有( )个 有( )个 有( )个
第二讲第4级下·超常班·教师版有趣的图形计数
【答案】⑴有9个小正方体，至少增加7个小正方体就可以拼成一个长方体．⑵有10个小正方体，至少增加2个小正方体就可以拼成一个长方体．⑶有12个小正方体，至少增加6个小正方体就可以拼成一个长方体．
3.
【答案】3352339
⨯⨯-⨯=(块)或3336239
⨯⨯+⨯=（块）或31339
⨯=（块）．
4.
2
3
第二讲
第4级下·超常班·教师版
有趣的图形计数
【答案】把第二个图形向前打倒，前面的三个可以补在第一个图形的下层，后面的五个可以补在第一
个图形的上层，所以说这两个图形能拼成一个长方体．
5.
【答案】当中央最高一摞是10块时，这堆砖的总数是：
12345678910987654321++++++++++++++++++ 1010=⨯ 100= (块)
6.
【答案】看着图，想象涂色情况．当把整个表面都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互
相接触的面），没有被涂色．每个小立方体都有6个面，减去没涂色的面数，就得涂色的面数．每个小立方体涂色面数都写在了它的上面．3面涂色的小立方体共有1个；4面涂色的小立方体共有4个；5面涂色的小立方体共有3个．
【答案】红球白球一样多。

图形计数（二）☜知识要点我们已经认识了很多图形，如直线、射线、线段、正方形、三角形等。

如果一幅图形只是单一的一种，并只有一个的，我们叫他基本图形；如果一幅图形中还包含一些小的图形，就叫组合图形。

在数图形的过程中，你会发现一些规律和方法。

根据组合图形的特点要选用不同的方法来计数，主要有以下几种方法：1．按顺序数，按规律数，做到不遗漏。

2．分类数，先数基本图形，再数由两个至多个基本图形组成的图形，这样不易重复。

☜精选例题【例1】：数一数，图中共有多少个角？思路点拨：我们已经知道，从一点起，用尺子向不同方向画两条线，就得到一个角，角有一个顶点，两条边。

我们可以按顺序数；也可以分类数，先数基本图形，再数由两个至多个基本图形组成的图形。

☝标准答案：方法一：按顺序数。

以OA为固定边的角一共有4个；以OB为固定边的角一共有3个；以OC为固定边的角一共有2个；以OD为固定边的角只有1个。

角的个数共有：4+3+2+1=10（个）方法二：分类数，先数基本图形，再数由两个至多个基本图形组成的图形。

这幅图中基本角的个数有4个；由2个基本角组成的角的个数有3个；由3个基本角组成的角的个数有2个；由4个基本角组成的角的个数只有1个。

角的个数共有：4+3+2+1=10（个）✌活学巧用1．数一数，图中有多少个角？2．数一数，图中有多少个角？【例2】：数一数，图中共有多少个三角形？☝思路点拨：我们已经知道数角的方法，在上图中，不难看出有3个基本三角形，再数由两个至多个基本图形组成的三角形。

☝标准答案：这幅图中基本三角形的个数有3个；由2个基本三角形组成的个数有2个；由3个基本三角形组成的个数只有1个。

三角形的个数共有： 3+2+1=6（个）✌活学巧用1．数一数，图中共有多少个三角形？2．数一数，下图中共有多少个三角形？ 【例3】：数一数，图中有多少个三角形？☝思路点拨：可以分层来数。

☝标准答案：先数最上面一层：有三个基本三角形，能数出3+2+1=6（个）再数上、下两层可以合起来的：同样有3+2+1=6（个）一共有三角形：6+6=12（个）活学巧用1．数一数，图中有多少个三角形？2．数一数，图中有多少个三角形？【例4】：数一数，图中有几个三角形？☝思路点拨：这样的题目，一般多用小块分类的方法数图形。

小学奥林匹克数学第一集：第五讲：图形的计数一、数一数小朋友，你知道中有多少个三角形吗？我们可以这样想，图中的小三角形一共有4个，大三角形有1个，所以一共有5个三角形。

在数数时，要做到有次序，有条理，不遗漏也不重复，这样才能正确地数数。

例1：数一数下图各有几条线段？分析：我们可以照下面的方法数：解：共有线段4+3+2+1=10（条）例2：图中有多少个小正方体？分析：这个图形是由小正方体组成的。

可以采用数数的方法，按顺序数。

也可以根据图形的组成规律进行计算，如果每2个一摞，一共有4摞。

解：方法一：一个一个地数出8个正方体。

方法二：2×4=8（个）答：共有8个小正方体。

例3：将9个小正方体组成如图所示的“十”字形，再将表面涂成红色，然后将小正方体分开。

问（1）2面涂成红色的有几个？（2）4面涂成红色的有几个？（3）5面涂成红色的有几个？分析：整个图形表面涂成红色。

只有“粘在一起的”面没有涂色。

中间的一个小正方体2面涂色，四端的4个小正方体都是5面涂色，剩下的四个小正方体都是4面涂色。

解：（1）2面涂成红色的小正方体只有1个。

（2）4面涂成红色的小正方体有4个。

（3）5面涂成红色的小正方体有4个。

例4：亮亮从1写到100，他一共写了多少数字“1”？分析：在1到100这100个数中，“1”可能出现在个位、十位或百位上。

应分三种情况计数：“1”在个位上的数有：1、11、21、31、41、51、61、71、81、91共10个；“1”在十位上的数有：10、11、12、13、14、15、16、17、18、19共10个；“1”在百位上的数有：100 只有1个。

解：10+10+1=21（个）答：共写21个。

例5：27个小方块堆成一个正方体。

如果将表面涂成黄色，求：（1）3面涂成黄色的小方块有几块？（2）1面涂成黄色的小方块有几块？（3）2面涂成黄色的小方块有几块？分析：涂色的有26个小方块。

3面涂色的只有顶点上的8个小方块；1面涂色的只有六个面上中间的小方块；其余的必然是2面涂色的小方块。

图形数一数二年级奥数图形数一数二年级奥数图形数一数★★★请你来数一数下面三角形和长方形的个数分别有多少个？★★★★我们都知道，数图形的基本思想是分类数图形。

那么，你能清楚的数出下面的图形中圆形，三角形和长方形(包括正方形)的个数分别是多少呢？★★★★我们已经数过了平面图形的个数，下面让我们来数数立体图形的个数！聪明的小朋友们，下面的题目你们来试试吧！数一数每个图形中的小正方体的个数是多少？★★★★★我们已经数过了平面图形的个数，下面让我们来数数立体图形的个数！聪明的小朋友们，下面的题目你们来试试吧！数一数每个图形中的小正方体的个数是多少个。

★★★★★在刚才的题目中，我们已经学习过了很多数图形的方法。

下面的题目有点不一样哦！你敢挑战吗？如图所示，下面的墙坏了，要用多少块砖才能把墙补好呢？(其中的比较短的砖头是完整砖头的一半)在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．下图中的线段共有( )条。

D．31C．6A．10B．152．下面的图形中共有( )个长方形？A．120C．136D．80B．1503．看图数图形，下面填法正确的是( )B．A．D．C．4．下图中一共有( )个正方体？C．8个D．9个A．6个B．7个5．下图中共有( )个正方形。

C．25D．24B．20A．23 6．(2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)数一数图中有( )个正方形。

A．30 B．35 C．29 D．32。

有趣的图形计数巧求周长知识框架把一些正方体堆在一起你会数吗？无论是平面图形还是几何图形，在数复杂图形的个数时，只要我们认真仔细观察图形特点，有次序地去数，不遗漏不重复，就能数得又对又快。

今天这节课我们也去闯一闯几何王国，让我们用我们的智慧去挑战这些图形吧！立体图形包括正方体、长方体等，如果把许多的正方体堆成不同的图形你会数吗？如果把一个大的长方体切成许多的小正方体你又会数吗？例题精讲【例1】下面的图形有多少个？你会数吗？（）条线段（）个长方形（）个正方形（）个三角形（）个圆【例2】数一数，图1和图2中各有多少黑方块和白方块？图1图2【例3】迪斯尼乐园里米老鼠又住上了新房子，下图是他新房子的侧面墙，你能根据这个侧面图算算砌好【例4】你喜欢下跳棋吗？你知道跳棋盘有多少个孔吗？仔细数一数。

【例5】数一数，下面的方块各有多少？【例6】下面的图形中一共有几个小方块？【例7】下面这堆木方块共有多少块？（中间打阴影部分从上到下是空心）【例9】下面是用小正方体堆成的图形，现在把这个图形的表面涂上黄色，想一想有多少个小正方形没有被涂色【例10】有一天大头儿子做手工，把一个正方体木块表面涂上绿色，然后再把它切成8个小正方体，想一想每个小正方体有几个面没有颜色？课堂检测【随练1】下面两个图形能拼成一个长方体吗？【随练2】下图是一个正方体木块，在它的表面涂上蓝色，然后沿正方体上面直线垂直切开。

切成了（）个三棱柱。

每个三棱柱没有涂颜色的面共有（）个，这些三棱柱一共有（）个面没有被涂色。

【随练3】一个大正方体的表面上都涂上绿色，然后切成27个小立方体（切线如图中虚线所示）。

在这些切成的小立方体中，问：（1）1面涂成绿色的有（）个。

（2）2面涂成绿色的有（）个。

（3）3面涂成绿色的有（）个。

（4）1个面也没有被涂成绿色的有（）个【作业1】数一数.【作业2】如图所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，问需要几块正六边形的砖才能把它补好？（）个正方形（）个三角形（）个三角形家庭作业【作业3】下面是用方块砌成的台阶，一共用了多少方块？【作业4】下面的图形被云彩遮住了，你能数出有多少个方块吗？（中间阴影部分是空心的）【作业5】这堆木方块共有多少块？(中间打阴影部分是空心)【作业6】如图所示为一堆砖．中央最高一摞是10块，它的左右两边各是9块，再往两边是8块、7块、6块、5块、4块、3块、2块、1块．问：这堆砖共有多少块？【作业7】下图中每个图形各由几个小正方体拼成，至少再增加几个小正方体就可以把这个图形拼成一个长方体？。

有趣的图形数(一)古希腊数学家毕达哥拉斯和他的学派，对数学的发展做出过巨大的贡献。

毕达哥拉斯认为“数是万物之源”。

1表示点，2表示线，3表示面，4表示体(如图)：世间万物无一不是由点、线、面、体所组成，而1＋2＋3＋4＝10，因此，10就可以表示宇宙。

毕达哥拉斯把自然数看成是点的集合，尤其看重能够排成三角形、正方形、长方形等图形的数，把它们称为“三角形数”“正方形数”“长方形数”等。

所谓三角形数，就是：……正方形数，就是：……1 4 9 16长方形数，就要根据长和宽的不同情况来描绘。

下面我们就用这三种数推出一些重要而常用的公式。

公式一：两个三角形数可以组成一个长方形数：所以，(1＋2＋3＋4＋5)×2＝5×6，即，1＋2＋3＋4＋5＝265推而广之，如果三角形数有n层，长方形数就有n层，每层有n＋1个点，于是得到求连续自然数之和的公式：1＋2＋3＋…＋n＝2)1(+ n n从图上还可以看出，三角形数也能用2)1(+nn表示。

换句话说，从1开始到n的连续自然数的和，就等于第n个三角形数。

公式二：正方形数可以这样划分：所以，1＋3＋5＋7＋9＝52。

推而广之，如果正方形数有n层，第n层就有2n－1个点，于是得到求连续奇数和的公式：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2公式三：长方形数可以这样划分：所以，2＋4＋6＋8＋10＝5×(5＋1)。

推而广之，如果长方形数有n层，第n层就有2n个点，于是得到求连续偶数和的公式：2＋4＋6＋…＋2n＝n(n ＋1)公式四：正方形数还可以这样划分：先按横行从1加到5，再按竖列从4加到1，即，1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝52。

推而广之，如果正方形数有n层，于是得到求从1到n再到1的连续自然数之和的公式：1＋2＋3＋…＋n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝n2图形数把抽象的数，与直观的图形巧妙地联系起来，这种数形结合的方法，是一种常用的数学思想方法。

1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．教学目标知识要点7-8-2.几何计数（二）例题精讲模块二、复杂的几何计数【例1】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114++=个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220++=个正方形．⑴⑵⑶<考点> 图形计数【答案】20个【巩固】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；2211以11⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成9414220++++=(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。

二年级思维拓展之不规则图形计数1.下图表示"宝塔"，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的。

仔细观察后，请你回答：(1)五层的"宝塔"的最下层包含多少个小三角形?(2)整个五层"宝塔"一共包含多少个小三角形?(3)从第(1)到第(10)的十个"宝塔"，共包含多少个小三角形?2.数一数，有()个长方形。

3.如图有5个点，在两个点之间可以画出一条线段，画出的图形中一共可以得到()条线段.4.将14个大小一样的小正方体摆成下面的图形，然后将表面涂成红色再分开，有()个小正方形的面没有被涂色。

5.找规律：第五排有几颗珠子()6.如下图所示，若每个圆圈里都有五只蚂蚁，问右图中一共应有多少只蚂蚁?7.请把1～9九个数字填入下图中，要求每行、每列和每条对角线上三个数的和都要等于15。

8.请看下图，共有多少个三角形?9.数一数、图中有多少长方形?参考答案1.【答案】(1)数一数"宝塔"每层包含的小三角形数：第几层1234……小三角形数1357……可见1，3，5，7是个奇数列，所以由这个规律猜出第五层应包含的小三角形是9个。

(2)整个五层塔共包含的小三角形个数是：1+3+5+7+9=25(个).(3)每个"宝塔"所包含的小三角形数可列表如下：几层塔一二三四五六七八九十小三角形数149162536496481100凑十法求和：2.【答案】分类计数由一个小长方形组成4个;由两个小长方形组成2个;由四个小长方形组成1个。

所以共有4+2+1=7(个)3.【答案】横排方向有2+1+1=4(条)线段，竖列方向有2条线段，斜向有4条线段，所以共有4+2+4=10(条)线段4.【答案】14个小正方形共有14*6=84(个)面，其中被涂色的有6*4+9*2=42(个)面，那么没有被涂色的应该有84-42=42(个)面5.【答案】第二排比第一排多一个，第三排比第二排多两个，第四排比第三排多三个，第五排比第四排多四个，所以第五排有7+4=11个珠子.6.【答案】一共只有5只蚂蚁.如右图所示，每一个圆圈里都有五只蚂蚁.7.【答案】从1～9这九个数字中，5是处于中间的一个数，而4与6，3与7，2与8，1与9之和都正好是10.所以5应当填在中心的空格中，而其他八个数字应当填到周边的方格中。

讲第 2形数会图我本节课我们就将在这个基础上，并会数简单的图形．一年级我们已经认识了各样图形，进一步深入的学习图形计数的方法．从简单的数线段的方法下手，拓展到数角、三角形、长方形、正方形等．经过数图形的练习，来让学生总结方法，找到计数的技巧．培育学生有序的思虑问题的能力．（如线段、三角形、长方形等）知识点：1．掌握数规则的图形的个数的方法．．学会数不规则图形的个数，掌握分类数的方法．2．教课点将给老师供给本节课的挂图． 1 ．老师把每个图形制成图片．2 2讲第形图数会我．⑴ 下边的图各画了几个三角形、正方形、长方形和椭圆形？（（）个三角形）个长方形（（）个正方形）个椭圆形⑵ 这所美丽的房屋是用哪些图形拼成的呢？数一数．【教课思路】课前复习经过数简单的图形，使学生养成做记号的好习惯，为后边的学习确立基础．⑴ 三角形有 6 个，正方形有 3 个，长方形有4个，椭圆形有 8 个．⑵ 正方形有 4 个，长方形有 6 个，三角形有3个，平行四边形有 4 个，圆形有 5 个．今日这节课我们将持续来学习数图形的同学们，我们已经会数简单的图形，方法．在数图形的时候，同学们要认真认真，一定要做到按次序、有条理、不遗漏、不重复得来数．这样我们在数图形的时候，才能数得又快又准．数图形，有方法，要认真，别慌张．AOBOCDABEDEC）个三角形（）条线段（）个角（这些图形你会数吗？在数这些图形的时候，方法有什么同样和不一样？数一数，下列图中有多少条线段？在一年级的时候，我们已经学过了数线段的基本方法，今日持续学习老师要指引学生把这类【教学思路】方法进行推行和拓展．数线段有两种方法，详细剖析以下：方法一：已知在两点间的直线部分就是一条线段，这两个点就叫做线段的端点，我们分别以不同端点为出发点按次序数．条． AD ，共 3、以 A 点为左端点的线段有： ABAC 、⑴条．BD ，共 2⑵以 B 点为左端点的线段有： BC 、条．CD，共 1⑶以 C 点为左端点的线段有：条)．( 总共有：6213是基本线段，我 BC 、 CD 方法二：假如把相邻两点间的线段叫做基本线段，即此图中AB、们也可从基本线段开始数．共 3 条． AB 、BC、CD⑴由 1 条基本线段构成的线段有： 2 条．条基本线段构成的线段有：AC 、 BD 共⑵ 由 2 1 条． 3 条基本线段构成的线段有：AD共⑶由(总合有：条)．63 2 1总结方法： n1 个就是基本线段的条数来计算，而如有在数线段中，我们必定要抓住端点个数减端点，线段总数则有条． 1 2 n2）3（ n 1）（1．数一数，下边图形中有多少条线段？【教课思路】数一数一共有 6 个端点，那么基本线段就有条，这个图中一共就有：12 4 36 1 5 5（条）线段． 152．在一条直线上画9个端点，能够数出（36 ）条线段．【教课思路】一共有 9个端点，那么基本线段就有（条），这个图中一共就有：23 57 6 819 48，能够数出 36 条线段．（条） 361数一数，图中共有多少个锐角？ABOCDE为公共边的锐角先数以OA 从图上能够看出，随意两条从O 点发出的射线都能构成一个角，【教学思路】个；，共 AOD 、∠ AOE 4 有：∠ AOB 、∠ AOC 、∠ 个：、∠ BOE ，共 3 以 OB 为公共边的锐角有：∠ BOC 、∠ BOD 个：COE ，共 2 以 OC 为公共边的锐角有：∠ COD 、∠ 个．DOE ，共 1 以 OD 为公共边的锐角有：∠个 ) ．所以，锐角总数：(101243总比射我们将相邻两条射线构成的角叫基本角) 角的总数与射线的条数之间的关系：基本角 ( 开始的一串通续自然数之和，此中最大的自然数等于，而角的总数应等于从 1 线的条数少 1 而角的总数应等于条射线，假如有则有n 个基本角，基本角的个数．2） n（1）（ n1 n ．数角方法也可推行到数三角形． 1 2 3数一数，图中有多少个三角形？OABDEC个基本三角形，那么一共有数线段的方法也能够推行到数三角形，在这个图中一共有4【教课思路】（个）三角形．104321数一数下列图中有多少个长方形？ADBC上有多少条线段就上的每一条线段与宽都能够构成一个长方形．所以，AD 【教课思路】注意到10 条线段都能够和宽(条有多少个长方形，AD上有线段： 101 24 3一图中AD构成AB )，这个长方形，所以一共有10 个长方形．数一数下列图中有多少个长方形？AFBEDC另个长方形．个长方形，下边第二层以 BE 为宽的也就有 10AB 【教课思路】上边第一层认为宽的有 10 层，这样一 10 个，共 3 为宽的长方形还有外把第一层和第二层合在一同以 AE 10 个，一层有（个）长方形．共就有30310总结方法：数长方形时，分层数最简单，我们能够先数出一层有多少个，再数出有几层，长方形的个数就是：每层的个数×层数一位秀才赴京赶考．一日，他走到一处三歧路口，感觉左右犯难．正在这时，有一牧童经过此地，秀才忙上前向他问路．那牧童一句话也没说，不过低头用树枝在地上划了一个“句”字，起身便要走开．秀才认为牧童没有听清楚，不料牧”说完，扬长“我不是已经告诉你了吗! 童却指着地上的字说：而去．再看一眼牧童写下的这个先是一愣，秀才听了牧童的话，字，快乐地上路了．你知道牧童指给秀才的是哪一条路吗？，牧童的意思是向左侧走．牧童指给秀才的是左侧那条路．【教课思路】“句”字左侧添一竖，念“向”这些图形你会数吗？我们发现，在数图形时，假如图形比较复杂，就应察看可否将图形按某种规律进行分类，这样计算起来既简单又不易数重或遗漏．数一数，下列图中共有多少个三角形？AECBD【教课思路】这个图形比较复杂我们能够分类来数，这样不会重复也不会遗漏．详细剖析以下：中有（个）三角形；左侧三角形ABD ⑴ 6 1 3 2 （个）三角形；右侧三角形ADC 中有⑵61 3 2个三角形；中有 3 ⑶左右合起来三角形ABC（个）三角形．一共有：15 6 36数一数，图中共有多少个三角形？CBADO这道题有两种分类的方法，剖析以下：【教课思路】是同样种类的，ACO 方法一：先看部分，再看整体．察看此图，发现三角形BCO 和三角形（个）三角形，所BOC 中有所以我们仍可分为两类来研究．先看三角形3 2 1共同构成的三角CAOBCO 3 个三角形．最后看由三角形和三角形CAO 以中仍有．所以此图三角形共有：共 2 个．（个） AOBADB形，有三角形和三角形3 3 2 8个；再数包括两4方法二：依据三角形包括基本三角形的个数来分类数．先数基本三角形有； BDA 、三角形 AOC和三角形个基本三角形的三角形有 3 个，分别是三角形 BOC ．所以此图三角形共 1 个，是三角形AOB 最后数包括四个基本三角形的三角形有有：（个）8 4 3 1）个三角形．以下列图，数数有（【教课思路】依据三角形包括基本三角形的个数来分类数，方法以下：个基本三角三角形，最小的）（个）；第二类（含分类数第一类（含9 1 3 5（个）：1 个．一共有4：1 个基本9 形，次大的）： 3 个；第三类（含个基本三角形，最大的）13 9 31 三角形．数一数，下列图中共有多少个正方形？详细剖析以下：【教课思路】认真察看，这个图形一共有三层．我们能够分层数，有最里面一层 5 个正方形．个正方形． 5 有中间一层外面一层有5个正方形．合起来一共有（个）正方形．15555拓展与提升——巧数五角星蜘蛛妈妈织了一张美丽的大网，以下图．小蜘蛛想跟妈妈学织网，妈妈说：“要想学织网第一要弄理解这张网的构造．你先去数一数，这张网上有多少条线段，多少个三角形．”小蜘蛛数了半天，怎么也数不清，你能帮帮它吗？【教课思路】假如时间有限，拓展与提升可留为课后思虑题．详细剖析以下：⑴一共有30 条线段．这个大五角星中有 5 条长线段，每条长线段上共能够数出：3 2 1 6（条）线段，那么五角星中共有（条）线段．305 6⑵一共有8 个三角形．五角星的每个角上分别有 1 个小三角形，总合有 5 个；另外还有 5 个近似图中暗影的较大三角形，所以共有（个）三角形．105 5（老师可依据自己的讲堂进度灵巧办理讲义内容，附带题仅供老师参照使用．）下边图中给出了五个点，在每两点之间画线段．一共能够画多少条？【教课思路】两点之间能够画一条线段．图中有 5 个点，每一点都能够向其余 4 点画线段，这样就能够画条线段，但两点之间都算了两条线段，重复了，所以只好画（条）线段．10 220 205 4数一数，下列图中共有多少个小于180 °角？【教课思路】用角的极点和地点的变化进行分类：以 A 为极点的角有∠BA 0，∠DA 0，BAD共3 个，同理：以B、C、 D为极点的角各 3 个．以0 为极点的角有∠AOB ，∠ BOC ，∠ CDD ，∠DOA共 4个．图中共有小于180 °角：(个 )164 4 3数一数，下列图中共有多少个三角形？【教课思路】图中共有44 个三角形．此中最大的 2 个、次大的 6 个、次小的12 个、最小的24个．．数一数． 1．o）个锐角6（（10 ）条线段．数一数，图中有多少个三角形？2（5）个（6）个（5）个3．图中有多少个正方形？）个14 （）个 17（．数一数，图形中有几个长方形？4．）个（7⑴）个 18（⑵5．数一数，下列图中共有多少个三角形？AFECBD【答案】依据三角形包括基本三角形的个数来分类数．只含有一个基本三角形的三角形有 6 个；恰含两个基本三角形的三角形有3个；恰含三个基本三角形的三角形有6个；恰含四个或五个基本三角形的三角形一个也没有；恰含六个基本三角形的三角形只有 1 个．图中共有三角形： ( 个 ) ． 166361十大环祸害威迫人类（二）六、化学污染工业带来的数百万种化合物存在于空气、土壤、水、植物、动物和人体中。