八年级上-一元二次方程的概念

中考数学一元二次方程知识点总结知识框架知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。

如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

（4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0）3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。

一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±−=，当b<0时，方程没有实数根。

（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的复习知识精要1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。

2. 一元二次方程的一般形式a x2+bx+c=0(a W0),其中a x2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

3.一元二次方程的解法解法1:直接开平方法解法2:因式分解法：一般步骤：(1)将方程右边化为0(2)将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程(3)令每一个因式分别为0,得到两个一元一次方程(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解解法3:配方法：一般步骤：(1)先把二次项系数化为1:方程两边同除以二次项的系数(2)移项：把常数项移到方程右边(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为x m 2 n当的形式(4)当n>0时，用直接开平方法解变形后的方程。

解法4:公式法：一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b, c的值.(注意符号)(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)c b b24ac ,,(3)在b2-4ac>0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出x= ------------------ 的值，取后与出2a方程的根.4、一元二次方程ax2+bx+c=0 (aw0)的根的判别式△ =b2- 4ac.当△ >0时，？方程有两个不相等的实数*H X 1= b 也 4ac , X 2=b心 4ac；当△ =0时，方程有两个相等实数根X 1=X 2=—上；当2a2a2a△ <0时，方程没有实数根. 5、二次三项式的因式分解：(1)形如ax 2+bx+c (a, b,c 都不为0)的多项式称为二次三项式。

(2)当^ = b 2-4ac>0,先用公式法求出方程ax 2+bx+c=0 (aw0)的两个实数根 x i, X 2再写出分解式ax 2+bx+c=a (x —xi) (x —x2).当^ = b 2-4ac<0,方程ax 2+bx+c=0 (aw0)没有实数根，ax 2+bx+c 在实数范围内不能分解因式。

八年级数学上册综合算式一元二次方程的解法一元二次方程是初中数学中的重要内容之一，它在实际生活中的应用十分广泛。

本文将介绍八年级数学上册综合算式中一元二次方程的解法。

一、一元二次方程的概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数且a≠0。

方程的解即是能够使等式成立的未知数的值。

二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法当一元二次方程可以进行因式分解时，我们可以利用因式分解的思想来解方程。

具体步骤如下：（1）将方程化简为ax^2 + bx + c = 0的形式；（2）判断方程是否可以进行因式分解，若可以，则将方程分解为两个一次因式的乘积；（3）令每一个因式为零，解得方程的解。

2. 完全平方公式法对于一些特殊形式的一元二次方程，我们可以利用完全平方公式来求解。

完全平方公式的表达式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

具体步骤如下：（1）将方程化简为ax^2 + bx + c = 0的形式；（2）计算方程中的b^2 - 4ac的值；（3）根据完全平方公式得出方程的解。

3. 直接开平方法当一元二次方程的形式为x^2 = a时，我们可以直接开平方求解。

具体步骤如下：（1）将方程化简为x^2 = a的形式；（2）对方程两边同时开平方，解得方程的解。

4. 配方法对于一些经过化简后较为复杂的一元二次方程，我们可以利用配方法来进行求解。

具体步骤如下：（1）将方程化简为ax^2 + bx + c = 0的形式；（2）通过添加一个恰当的常数d，将方程变形为ax^2 + bx + d^2 = (x + e)^2的形式；（3）确定恰当的值使得方程两边相等；（4）解得方程的解。

三、一元二次方程解的性质在解一元二次方程过程中，我们有如下性质：1. 当方程的判别式（即b^2 - 4ac）大于零时，方程有两个解；2. 当方程的判别式等于零时，方程有一个重根，即两个解相等；3. 当方程的判别式小于零时，方程没有实数解。

龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：八年级 学科教师：汪老师 授课日期及时段课 题第二章 一元二次方程复习重点、难点、考点1、一元二次方程的基本概念2、一元二次方程的解法及应用学习目标1、理解一元二次方程的基本概念及其相应的应用2、一元二次方程的解法及其应用教学内容一、知识回顾:1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。

2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式 （警告： 用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（注意：方程要先化成一般形式.）3．一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。

知识点练习知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是 。

一元一次方程与一元二次方程的区别与联系一元一次方程与一元二次方程是数学中常见的代数方程，它们在形式和求解方法上有着本质的区别，但同时也存在着紧密的联系。

下面我们就来探讨一下这两种方程的区别与联系。

**一、区别**1.表达形式：- 一元一次方程：其标准形式为ax + b = 0，其中a 和b 是常数，且a ≠ 0。

这类方程的最高次数为一次。

- 一元二次方程：其标准形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 和c 是常数，且a ≠ 0。

这类方程的最高次数为二次。

2.解的性质：- 一元一次方程：它有一个且仅有一个实数解。

- 一元二次方程：它可能有零个、一个或两个实数解，这取决于判别式b^2 - 4ac 的值。

3.解的求解方法：- 一元一次方程：通常通过移项、合并同类项、化简等方法直接求解。

- 一元二次方程：解的求解相对复杂，可以使用配方法、公式法（求根公式）或者图形法（如抛物线与x 轴的交点）。

**二、联系**1.解的概念：- 两种方程都旨在寻找能够使方程左右两边相等的未知数的值，即解。

2.方程的根：- 在一元一次方程中，解即为方程的根；一元二次方程的解同样被称为根，只是可能有两个。

3.代数结构：- 一元一次方程可以视为一元二次方程在二次项系数a = 0 时的特殊情况。

也就是说，一元一次方程是脱去二次项的一元二次方程。

4.图形表示：- 在直角坐标系中，一元一次方程表示为一条直线，而一元二次方程表示为一个抛物线。

在特定条件下（如一元二次方程的a 值相同），两者在图形上有相似之处。

通过以上分析，我们可以看到一元一次方程与一元二次方程既有明显的区别，又存在着紧密的联系。

一元二次方程一、本章知识结构框图二、具体内容（一）、一元二次方程的概念1．理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02=++c bx ax 才是一元二次方程。

（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). {（3）熟练整理方程的过程3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 （二）、一元二次方程的解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： $(1)开平方法：对于形如n x =2或)0()(2≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如n x =2的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0<n 时，方程无实数根。

（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的方程，再运用开平方法求解。

配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ：②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2)(的形式； ④求解：若0≥n 时，方程的解为n m x ±-=，若0<n 时，方程无实数解。

（3）公式法：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根aac b b x 242-±-=当042>-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当042=-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为ab x x 221-==； 当042<-ac b 时，方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定c b a ,,的值；③代入ac b 42-中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042≥-ac b 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

沪教版八年级数学上册《一元二次方程的概念》说课稿一、教材分析本节课是八年级上册的数学内容，主要讲解一元二次方程的概念和相关性质。

通过本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的定义、解法和应用，并培养解决实际问题的数学思维能力。

二、教学目标1.知识目标：–掌握一元二次方程的定义和基本性质；–理解二次方程的求解方法，包括因式分解、配方法和求根公式；–理解一元二次方程在实际问题中的应用。

2.能力目标：–能够正确列写一元二次方程，并用不同方法求解；–能够灵活运用所学知识解决实际问题；–能够分析和解释数学问题。

3.情感目标：–培养学生对数学的兴趣和好奇心；–培养学生的问题解决能力，提高他们对解决实际问题的信心。

三、教学重难点1.重点：–一元二次方程的定义和基本性质；–一元二次方程的求解方法；–一元二次方程在实际问题中的应用。

2.难点：–不同求解方法的选择和灵活运用；–实际问题的转化和数学建模能力。

四、教学过程1. 导入与激发兴趣（5分钟）通过提问和示例，引导学生思考如下问题： - 一元二次方程的定义是什么？ - 你能举例说明一元二次方程在实际生活中的应用吗？2. 基础知识点讲解（15分钟）2.1 一元二次方程的定义与基本形式一元二次方程的定义：形如ax2+bx+c=0的方程称为一元二次方程，其中a eq0。

2.2 一元二次方程的基本性质•解的个数和判别式的关系：当判别式b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于 0 时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于 0 时，方程没有实数解。

•对称性：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解x1和x的和 $x_1+x_2=-\\frac{b}{a}$，乘积2$x_1x_2=\\frac{c}{a}$。

3. 解一元二次方程的方法（20分钟）3.1 因式分解法利用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1. 化简方程，将方程写成ax2+bx+c=0。

2. 尝试将方程进行因式分解，找出满足方程的两个因式。

21章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式,含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。

注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式:，它的特征是:等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零,其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项,b 叫做一次项系数；c叫做常数项.注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。

二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法：直接开平方法理论依据:平方根的定义。

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，,，当b〈0时，方程没有实数根。

三种类型:（1）的解是；(2）的解是;(3)的解是。

2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

（一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式（2）在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方,再减去这个数; （3）把原方程变为的形式.（4）若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。

（二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为时,用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式(2）先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1:方程的左、右两边同时除以二项的系数；（3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为的形式;（4）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

八年级数学一元二次方程一、一元二次方程的概念。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

- 一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

例如方程x^2+3x - 1=0，这里a = 1，b = 3，c=-1。

2. 判断一个方程是否为一元二次方程。

- 首先看方程是否为整式方程，如果方程中含有分式（分母含有未知数），则不是一元二次方程。

- 然后看是否只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是否为2。

例如x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它含有分式；x + y^2=2也不是一元二次方程，因为它含有两个未知数x和y。

二、一元二次方程的解法。

1. 直接开平方法。

- 对于形如x^2=k(k≥0)的一元二次方程，可以直接开平方得到x=±√(k)。

- 例如方程x^2=9，解得x = 3或x=- 3。

- 对于形如(ax + b)^2=k(k≥0)的方程，先开平方得到ax + b=±√(k)，然后再解关于x的一次方程。

例如(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，即x=1±2，解得x = 3或x=-1。

2. 配方法。

- 步骤：- 先将一元二次方程化为ax^2+bx + c = 0(a≠0)的形式。

- 把二次项系数化为1，即方程两边同时除以a，得到x^2+(b)/(a)x+(c)/(a)=0。

- 在方程两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。

- 左边化为完全平方式(x +(b)/(2a))^2，然后用直接开平方法求解。

- 例如解方程x^2+6x - 1 = 0。

- 首先将方程变形为x^2+6x=1。

- 然后在方程两边加上((6)/(2))^2=9，得到x^2+6x + 9=1 + 9，即(x +3)^2=10。

一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一元二次方程概念和直接开平方法及因式分解法对一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是开平方法及因式分解法解特殊一元二次方程．通过本节课的学习对一元二次方程有个整体的认识，为后面的解方程打下基础.1一元二次方程的概念1.1 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．1.2 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程．2一元二次方程一般式的概念任何一个关于x的一元二次方程都可以化成()200ax bx c a++=≠的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中2ax叫做二次项，a是二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项．3一元二次方程的解能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．一元二次方程概念及解法知识结构模块一：一元二次方程的概念知识精讲内容分析【例1】 下列方程中，哪些是一元二次方程?哪些不是一元二次方程．（1）20x =；（2）()()33140x x −++=；（3）()()3210x y −−=； （4）42=0x x−；（5）21323x x −=；（6）20ax bx c ++=，（a b ，为已知数）； （7）2(3)(2)5x x x +−=+；（8）2(3)8(3)a x a −=≠．【难度】★【答案】（1）、（2）、（5）、（8）是一元二次方程，其余不是一元二次方程．【解析】（1）、（2）、（5）、（8）化为一般式后满足一元二次方程定义，是一元二次方程；（3）含有两个未知数，（4）是分式方程，（6）没有强调二次项系数不为0，（7） 化成一般式后，二次项抵消，是一元一次方程．故（3）、（4）、（6）、（7）不是一 元二次方程．【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例2】 当k ________时，方程2(3)60k x kx −−+=一元二次方程． 【难度】★ 【答案】3k ≠．【解析】令二次项系数不为0，即30k −≠，解得：3k ≠． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例3】 方程(1)(2)2x x ++=的一般形式是_______，二次项系数是________，常数项是________． 【难度】★【答案】230x x +=， 1， 0． 【解析】去括号，得：2322x x ++=，移项得：230x x +=，所以二次项系数是1，常数项是0． 【总结】本题考查了一元二次方程的一般形式和各项系数的相关概念．例题解析【例4】 写出一个满足条件一次项系数是3−，且有一个根是1−的一元二次方程． 【难度】★【答案】2340x x −−=等．【解析】一次项为3x −，二次项系数任意定，再把1x =−代入用常数项配凑． 【总结】本题考查了一元二次方程项与系数的相关概念以及方程的根的概念．【例5】 关于x 方程2(21)350m x mx −++=有一个根是1x =−，求m 的值． 【难度】★ 【答案】4m =．【解析】将1x =−代入的：(21)350m m −−+=，解得：4m =． 【总结】本题考查了方程的解得概念．【例6】 当m 取何值时，关于x 的方程21232m mx x x mx +−=−+是一元二次方程．【难度】★★★ 【答案】0或－1． 【解析】 整理得：212(3)20mmx x m x +−+−−=① 212m +=时，此时原方程为：2(1)(3)20m x m x −+−−=， 由21210m m ⎧+=⎨−≠⎩， 解得：1m =−；② 当211m +=时，此时原方程为：2(23)20x m x −+−−=， 由211m +=，解得：0m =． 综上：10m =−或．【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例7】 若关于x 的方程21(1)54aa x x +−+=．（1）方程为一元二次方程，a 的取值是? （2）方程为一元一次方程，a 的取值是? 【难度】★★【答案】（1）1a =−； （2）0a =． 【解析】（1）令21210a a ⎧+=⎨−≠⎩， 解得：1a =−；（2）令211150a a ⎧+=⎨−+≠⎩，解得：0a =．【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例8】 如果关于x 方程20(0)ax b a +=≠有实数根，试确定a 、b 应满足的关系． 【难度】★★ 【答案】a b 、异号．【解析】（1）当0a ≠时，原方程为一元二次方程， 当a b 、异号时，原方程有实数根； 综上：当a b 、异号时，原方程有实数根． 【总结】本题考查了含参数方程的分类讨论．【例9】 关于x 方程20(0)ax bx c a ++=≠满足下列两个等式成立420a b c −+=，220a b c −+=，试求方程的解．【难度】★★【答案】1222x x =−=−，．【解析】由2(2)(2)0a b c −+−+=，2(2)(2)0a b c +−+=，得：原方程的解为：1222x x =−=−，【总结】本题考查了方程的解得概念．【例10】 已知方程2510mx nx −+=和2340mx nx +−=有共同的根2，试求n 的值． 【难度】★★【答案】2132n =．【解析】把2x =代入得： 202104640m n m n −+=⎧⎨+−=⎩，②×5－①得：32210n −=解得：2132n =．【总结】本题考查了方程的解得概念．【例11】 若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，写出a 与b 之间的关系． 【难度】★★ 【答案】1a b +=−．【解析】设这个公共根是m ，则2200m am b m bm a ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，将两个方程相减得：()()0a b m b a −+−=， 解得：1m =，将1m =代入原方程得：1a b +=−． 【总结】本题考查了方程的解的概念．【例12】 若a 是方程220x x −−=的一个根，则代数式2a a −的值是_______． 【难度】★★ 【答案】2．【解析】由已知，得：220a a −−=， 移项，得：22a a −=．【总结】本题考查了方程的解得概念以及整体代入思想的运用．【例13】 已知关于x 的方程32310a b a b x x +−+−=是一元二次方程，求a 、b 的值． 【难度】★★★【答案】6545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；11a b =⎧⎨=⎩；4565a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；4515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；2525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩．【解析】由已知得：2322a b a b +=⎧⎨−=⎩；2321a b a b +=⎧⎨−=⎩；2320a b a b +=⎧⎨−=⎩；1322a b a b +=⎧⎨−=⎩；0322a b a b +=⎧⎨−=⎩；解得：6545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；11a b =⎧⎨=⎩；4565a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；4515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；2525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩．【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．【例14】 已知a 是方程220000x x −−=的一个根，求代数式200032000120001a+++的值，用含a的式子表示． 【难度】★★★ 【答案】2a +．【解析】由已知，得：220000a a −−=，两边同时除以a ，得：200010a a −−=，20001a a∴=+． 2000320001a∴=++原式20003a =+200021a =++2a =+． 【总结】本题考查了方程的根的概念．1、特殊的一元二次方程的解法1.1、特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解． 1.2、因式分解法的一般步骤： ①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例15】 填空：（1） 方程2(1)4x −=的根是____________； （2） 方程280x x −=的根是____________；（3） 如果方程2()x a k −=有解，那么k _________；其解1x =________；2x =________． 【难度】★【答案】（1）1231x x ==−，； （2）1208x x ==，； （3）0≥，12x k a x k a =+=−+，． 【解析】（1）直接开平方 （2）因式分解 12x −=± (8)0x x −=① 12x −= ②12x −=− ①0x = ②80x −=∴1231x x ==−，； ∴1208x x ==，； （3）由原方程有解得：0k ≥． 直接开平方：x a k −=±① x a k −= ②x a k −=−∴12x k a x k a =+=−+，．【总结】本题考查了直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．例题解析知识精讲模块二：特殊的一元二次方程的解法【例16】 如果n 是方程20x mx n ++=的根，且0n m n ≠+，则的值是（）A ．12B ．12−C ．1D ．1−【难度】★ 【答案】D【解析】将x n =代入方程得：20n mn n ++=，即：(1)0n m n ++= ∵0n ≠， ∴10m n ++=， ∴1m n +=−， 故选择D ．【总结】本题考查了方程的解的概念．【例17】 方程：2331()()()0442x x x −+−−=的较小的根是（） A ．34B ．34−C ．12D ．58【难度】★ 【答案】D【解析】提公因式，得：331()()0442x x x −−+−=，整理得：35()(2)044x x −−=，∴123548x x ==，，∵3548> ，故选择D ． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．【例18】 解关于x 的方程（用直接开平方方法）：（1）23205x −=；（2）(3)(3)9x x +−=． 【难度】★【答案】（1）123030x x ==2）123232x x ==−． 【解析】（1）2325x = （2）299x −=2310x =218x = 30x = 32x =± ∴123030x x =； ∴123232x x ==−． 【总结】本题考查了直接开平方法解一元二次方程． 【例19】 解关于x 的方程（因式分解方法）：（1）2350x x =； （2）7(3)39x x x −=−． 【难度】★【答案】（1）1250x x ==， （2）12337x x ==，．【解析】（1）(35)0x x = （2）7(3)3(3)x x x −=− ①0x = ②350x 7(3)3(3)0x x x −−−= ∴1250x x =， (3)(73)0x x −−= ① 30x −= ②730x −=∴12337x x ==，． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程． 【例20】 解关于x 的方程（合适的方法 ）：（1）2110464x x −+=；（2）22(2)(12)x =+． 【难度】★★ 【答案】（1）1218x x ==；（2）121122x x ==−−， 【解析】（1）因式分解法 （2）直接开方法21()08x −= 2(12)x ±108x −= ①212x += ②2(12)x +=− ∴1218x x ==； ∴121122x x ==−−， 【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的写法！【例21】 解关于x 的方程（合适的方法）：（1）236350x x +−=；（2）2(41)10(14)240x x −+−−=． 【难度】★★ 【答案】（1）1235136x x ==−，； （2）1213144x x ==−，． 【解析】（1）因式分解法 （2）把41x −看作一个整体，因式分解 (3635)(1)0x x −+= 2(41)10(41)240x x −−−−= ①36350x −= ②10x += (4112)(412)0x x −−−+= ∴1235136x x ==−，； (413)(41)0x x −+= ① 4130x −= ②410x +=∴1213144x x ==−，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意整体意识的建立．【例22】 解关于x 的方程：224329x =．【难度】★★ 【答案】13(32)x −=，23(32)x −=． 【解析】直接开平方：2(32)3x =±① 2(32)3x = ②2(32)3x =−解得：13(32)x −=，23(32)x −=． 【总结】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．【例23】 解关于x 的方程：（1）22220x ax a b −+−=； （2）22222()4()0a b x abx a b −−−−= （3）222210m x mx x mx −+−+=． 【难度】★★★【答案】 （1）1x a b =+，2x a b =−；（2）当a b ≠时，1a b x a b +=−，2a bx a b−=−+； 当0a b =±≠时， 0x =；当0a b ==，原方程有无数解；（3）当01m m ≠≠且时，11x m =，211x m =−；当0m =时，1x =−； 当1m =时，1x =． 【解析】（1）22220x ax a b −+−=， [()][()]0x a b x a b −+−−=， ∴1x a b =+，2x a b =−；（2）①当220a b −≠即a b ≠时，原方程是一元二次方程 22222()4()0a b x abx a b −−−−= [()()][()()]0a b x a b a b x a b −−+++−= ∴1a b x a b +=−，2a bx a b−=−+； ②当220a b −=且0ab ≠时，即0a b =±≠时，原方程是一元一次方程0x =；③当0a b ==，等式恒成立，原方程有无数解； 综上：当a b ≠时，1a b x a b +=−，2a bx a b−=−+； 当0a b =±≠时， 0x =； 当0a b ==，原方程有无数解； （3）整理得：22()(12)10m m x m x −+−+=① 当20m m −≠即01m m ≠≠且时，原方程是一元二次方程1(1)1mx m x−−−[1][(1)1]0mx m x −−−= ∴11x m=，211x m =−；②当0m =时，原方程为：10x +=，解得：1x =−； ③当1m =时，原方程为：10x −+=，解得：1x =；综上：当01m m ≠≠且时，11x m=，211x m =−；当0m =时，1x =−； 当1m =时，1x =；【总结】本题考查了含参数一元二次方程的解法，一定要分类讨论！是一元二次方程时，一般利用因式分解法．【例24】 已知关于x 的一元二次方程22(2)320m x x m ++−=的一个根为0，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】2m =【解析】由已知得：20m ，即2m ≠ 将0x =代入，得：220m −= 解得：2m =． 又2m ≠ ∴2m =【总结】本题考查了方程解得概念及一元二次方程的概念，对于二次项系数是参数的一元二次方程首要考虑的是二次项系数不为0，再根据题意进行计算．【例25】 解关于x 的方程：（1）20(0)ax c a −=≠；（2）25||60x x −−=．【难度】★★★【答案】（1）当a c 、同号时，12ac acx x == 当a c 、异号时，原方程无解； （2）1266x x ==−，．【解析】（1）移项得：2ax c = （2）把x 看成一个整体，则： ∵0a ≠ 2560x x −−=∴2cx a=(6)(1)0x x −+= 当a c 、同号时，12ac acx x ==； ∵10x +> ∴60x −= 当a c 、异号时，原方程无解； ∴1266x x ==−，． 【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法．【例26】 解关于x 的方程：222()(1)()0()a b x a b x a b a b −−−+++=≠． 【难度】★★★【答案】121x x a b a b==+−，．【解析】∵a b ≠，原方程是一元二次方程；222()(1)()0()a b x a b x a b a b −−−+++=≠ [()1][()]0a b x x a b −−−+=∴121x x a b a b ==+−，．【总结】本题考查了含参的一元二次方程的解法，多利用因式分解法，个别不能用因式分解法进行求解的题目可以尝试我们下节课学习的求根公式法．【例27】 方程2(2016)2015201710x x −⋅−=的较大的根是a ，方程2201620170x x −−=的较小的根为b ，求代数式2017()a b +的值． 【难度】★★★ 【答案】0．【解析】2(2016)2015201710x x −⋅−= 2201620170x x −−= 222016(20161)(20161)10x x −−+−= 20171x x−2222016(20161)10x x −−−= (2017)(1)0x x −+= 2(20161)(1)0x x +−=∴1220171x x b ==−=，；∴122112016x x a =−==，；∴2017()0a b +=．【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，要从系数中找寻规律进行求解．【习题1】 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）．A ．10x x −= B ．210x x ++= C ．211x x ++=D ．221x x x +=−【难度】★ 【答案】B【解析】A 选项是分式方程；C 选项等号左边不是整式，不是一元二次方程，是下学期将会 学到的无理方程；D 选项化简后为10x +=是一元一次方程；故选择B 选项． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【习题2】 关于x 的方程2(3)10m x mx +−+=是不是一元二次方程? 【难度】★ 【答案】不一定．【解析】当30m +≠即3m ≠−时，原方程是一元二次方程； 当30m +=即3m =−时，原方程是一元一次方程． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【习题3】 已知关于x 的方程2(21)4(1)0k x kx k +−+−=，当k ________时，此方程为一元二次方程，它的二次项系数是______，一次项是____________，常数项是___________． 【难度】★【答案】121412k kx k ≠−+−−；；；．【解析】略．【总结】本题考查了一元二次方程的概念，注意写项和系数时要带着前面的符号．随堂检测【习题4】 若方程2()0x a b −+=有解，则b 的范围是_______． 【难度】★ 【答案】0b ≤．【解析】移项，得：2()x a b −=−， 由方程有解，得：0b −≥，∴0b ≤． 【总结】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程有实数解的条件．【习题5】 关于x 的方程20x nx m ++=两根中只有一个根为0，则下列条件正确的是（）．A ．00m n ==，B ．00m n =≠，C ．00m n ≠≠，D ．00m n ≠=，【难度】★★ 【答案】B【解析】将0x =代入，得：0m =当00m n ==，时，120x x ==，与题意矛盾， 故00m n =≠，，选择B ． 【总结】本题考查了方程的解的概念．【习题6】 方程2243x x a ==与的解相同，求a 的值． 【难度】★★ 【答案】12．【解析】由已知得两个方程是同一个方程，将24x =左右两边同时乘以3，得：2312x =， ∴12a =．【总结】本题考查了方程的解的概念．【习题7】 用指定的方法解下列方程：（1）22936364(1)x x x −+=+（直接开平方）； （2）20ax abx bc cx −−+=（0a ≠）（因式分解）． 【难度】★★【答案】（1）12485x x ==， ；（2）12cx x b a=−=， ． 【解析】（1）29(44)4(1)x x x −+=+ （2）∵0a ≠,原方程为一元二次方程 229(2)4(1)x x −=+ 整理得：2()0ax ab c x bc −−−= 3(2)2(1)x x −=±+ax c xb−① 3(2)2(1)x x −=+ ②3(2)2(1)x x −=−+ ()()0ax c x b +−= 解得：12485x x ==，； 解得：12cx x b a=−=，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法．【习题8】 用适当的方法解下列方程：（1）22(2)(12)x =−； （2）2x x =； （3）(3)(1)5x x +−=；（4）2()()0()b a x a c x c b a b −+−+−=≠． 【难度】★★【答案】（1）121221x x =−=−； （2）1201x x ==，； （3）1242x x =−=，； （4）121c bx x b a−==−，． 【解析】（1）2(12)x ± （2）20x x −=① 212x − ②2(12)x =− ， (1)0x x −=，解得：121221x x =−=−； 解得：1201x x ==，；（3）整理得：2235x x +−= （4）∵a b ≠原方程是一元二次方程， 2280x x +−=， 2()()0()b a x a c x c b a b −+−+−=≠，(4)(2)0x x +−=，()()1b a xc b x−−−−解得：1242x x =−=，； [()()](1)0b a x c b x −−−−=， 解得：121c bx x b a−==−，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．【习题9】 已知方程22310250ax bx ax bx −−=+−=和有共同的根是1−，求a 的值． 【难度】★★ 【答案】1a =．【解析】将1x =−代入，得：310250a b a b +−=⎧⎨−−=⎩，① ×2+②，得：770a −=， 解得：1a =．【总结】本题考查了方程的解的概念．【习题10】 解关于x 的一元二次方程：22(2016)(2015)1x x −+−=． 【难度】★★★【答案】1220162015x x ==，．【解析】移项，得：22(2016)1(2015)x x −=−−，2(2016)[1(2015)][1(2015)]x x x −=+−−−， 2(2016)(2014)(2016)x x x −=−−， 2(2016)(2014)(2016)0x x x −−−−=， (2016)(40302)0x x −−=， 解得：1220162015x x ==，．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．【习题11】 已知：若2242350a a b b c −+−+−+=成立，求方程20ax bx c +=的解． 【难度】★★★【答案】12312x x =−=，．【解析】由已知，得：22(2)(1)30a b c −+−+−=，∴213a b c ===，，． 则原方程为：2230x x +−=，分解因式，得： (23)(1)0x x +−=． 解得原方程的解为：12312x x =−=，．【总结】本题考查了几个非负数的和为零的应用和一元二次方程的解法．【习题12】 已知关于x 的方程20ax bx c ++=,20bx cx a ++=和20cx ax b ++=有一个公共根，求证：这个公共根只能是1． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】设这个公共根是m ，则222000am bm c bm cm a cm am b ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩将三个方程相加得：2()()()0a b c m a b c m a b c ++++++++=， 则2()(1)0a b c m m ++++=． ∵22131()024m m m ++=++>，∴0a b c ++=， 即2110a b c ++=， ∴这个公共根只能是1．【总结】本题综合性较强，主要考查了几个方程的公共根的概念及应用．【作业1】 下列方程中不一定是一元二次方程的是（）．A ．2(3)8(3)a x a −=≠B ．20ax bx c ++=C ．(3)(2)5x x x +−=+D ．2332057x x +−= 【难度】★ 【答案】B课后作业【解析】A 、C 、D 选项均符合定义，B 选项中未强调二次项系数不等于0，故选择B ． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【作业2】 （1）三个连续自然数，前两个数的平方和等于第三个数的平方，设中间一个为x ，根据题意可列方程，化成一般形式为_______________；（2）关于x 的方程2(3)(4)ax bx c x x ++=−+是恒等式，则a b c ++=____________． 【难度】★【答案】（1）222(1)(1)x x x −+=+； 240x x −=； （2）－10．【解析】（1）根据题意得：222(1)(1)x x x −+=+ 化简，得：240x x −=；（2）化简得：2(1)(1)(12)0a x b x c −+−++= 由题意，得：1112a b c ===−，，， ∴10a b c ++=−．【总结】本题考查了一元二次方程的一般形式及应用．【作业3】 方程22(2)0p x px q −++=是一元二次方程成立的条件是（）．A ．2p ≠B ．2p ≠−C ．2p ≠D ．0p =【难度】★ 【答案】C【解析】令220p −≠，解得：2p ≠± 【总结】本题考查了一元二次方程成立的条件．【作业4】 如果方程2(1)0x m x m −++=的两个根互为相反数，那么有（）．A ．0m =B ．1m =−C ．1m =D ．以上结论都不对【难度】★★ 【答案】B【解析】①当120x x ==时，代入得：0m =，此时方程为：20x x −=， 方程的解为1210x x ==，，前后矛盾；② 设方程的根为12x a x a ==−，，（0a ≠）代入得：22(1)0(1)0a a m m a a m m ⎧−++=⎪⎨+++=⎪⎩将两个方程相减得：2(1)0a m +=，∵0a ≠， ∴10m +=． 解得：1m =−．【总结】本题考查了方程的解的概念．【作业5】 若方程20(0)ax bx c a ++=≠中，a b c 、、满足00a b c a b c ++=−+=和，则方程的根是（ ）． A ．1，0 B ．-1，0 C ．1，-1 D ．无法确定【难度】★★ 【答案】C【解析】由已知得：22110(1)(1)0a b c a b c ⎧++=⎪⎨−+−+=⎪⎩，1211x x ∴==−，，故选择C ． 【总结】本题考查了方程的解的概念．【作业6】 用合适的方法解下列关于x 的方程：（1）2(12)(32)20x x −+=； （2）(7)(3)(1)(5)38x x x x −++−+=； （3）2(35)5(35)40x x +−++=； （4）2220()x ax a a +−=为已知常数． 【难度】★★【答案】（1）12212x x ， （2）124242x x ==−； （3）124133x x =−=−，； （4）122x a x a =−=，． 【解析】（1）2(12)(32)20x x +−+=， （2）整理得：22640x −=，[(12)1](2)0x x +−=， 232x =，解得：12212x x ， 解得：124242x x ==−；（3）2(35)5(35)40x x +−++= （4） 2220()x ax a a +−=为已知常数351354x x +−+−2x a xa−(351)(354)0x x +−+−=， (2)()0x a x a +−=解得：124133x x =−=−，； 解得：122x a x a =−=，．【总结】本题考查了一元二次方程的解法．【作业7】 若1x =是方程22250x x n ++−=的一个根，求n 的值． 【难度】★★ 【答案】2n =【解析】将1x =代入得：21250n ++−=， 解得：2n = 【总结】本题考查了方程的根的概念．【作业8】 解关于x 的方程：22222(232)(1)(1)x x a x b ab x −−+−=+． 【难度】★★★【答案】 ①当2b a b a ≠−≠且时，122,2a b a bx x a b a b+−=−=−+−； ②当20b a =−≠时，43x =； ③ 当0b a =≠时，23x =−；④当0b a ==时，原方程有无数解．【解析】整理得：222222(2)3(2)0a ab b x a x a ab b −−−−+−=2a b ab−2a b ab−22(2)()3(2)()0a b a b x a x a b a b +−−−−+=；①当(2)()0a b a b +−≠时，即2b a b a ≠−≠且时，原方程为一二次方程，(2)()()(2)a b x a b a b x a b ++−−−[(2)()][()(2)]0a b x a b a b x a b +++−−−= 解得：122,2a b a bx x a b a b+−=−=−+−； ②当20b a =−≠时，原方程为22340a x a −+=，解得：43x =； ③当0b a =≠时，原方程为22320a x a −−=，解得：23x =−；④当0b a ==时，原方程有无数解；综上：①当2b a b a ≠−≠且时，122,2a b a bx x a b a b+−=−=−+−； ② 20b a =−≠时，43x =； ③当0b a =≠时，23x =−；④当0b a ==时，原方程有无数解． 【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．【作业9】 设()21200x x ax bx c a ++=≠、是方程的两根，求3322121212()()()a x x b x x c x x +++++的值．【难度】★★★ 【答案】0．【解析】由已知得：21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，原式=3232111222()()ax bx cx ax bx cx +++++ =22111222()()x ax bx c x ax bx c +++++ =0．【总结】本题考查了方程的解得概念．【作业10】 已知实数221428x y x xy y y xy x ++=++=、满足：，，求代数式x y +的值． 【难度】★★★【答案】67x y +=−或．【解析】将两个方程相加得：22242x xy y x y ++++= 整理得：2()()420x y x y +++−=67x y x y+−+(6)(7)0x y x y +−++= 解得：67x y +=−或． 【总结】本题考查了特殊方程的解法．【作业11】 当m 、n 为何值时，关于x 的方程212(1)230m n m x x +−−++=是一元二次方程．【难度】★★★【答案】14m n =⎧⎨=⎩；13m n =−⎧⎨=⎩；12m n =−⎧⎨=⎩；04m n =⎧⎨=⎩．【解析】由已知得：2122210m n m ⎧+=⎪−=⎨⎪+≠⎩；2122110m n m ⎧+=⎪−=⎨⎪−≠⎩；2122010m n m ⎧+=⎪−=⎨⎪−≠⎩；21122m n ⎧+=⎨−=⎩；21022m n ⎧+=⎨−=⎩；解得：14m n =⎧⎨=⎩；13m n =−⎧⎨=⎩；12m n =−⎧⎨=⎩；04m n =⎧⎨=⎩；（第五个方程组无解）【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．。