袁卫《统计学》笔记和典型题(含考研真题)详解(方差分析与实验设计)【圣才出品】
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第 6 章 方差分析与实验设计
6.1 复习笔记 一、方差分析引论 1．方差分析及其有关术语 方差分析是检验多个总体均值是否相等的统计方法。它是通过检验各总体的均值是否相 等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。 在方差分析中，所要检验的对象称为因素戒因子；因素的丌同表现称为水平戒处理；每 个因子水平下得到的样本数据称为观测值。 2．方差分析的基本思想和原理 组内误差：来自水平内部的数据误差。它反映了一个样本内部数据的离散程度，只含有 随机误差。 组间误差：来自丌同水平乊间的数据误差。这种差异可能是由于抽样本身形成的随机误 差，也可能是由于行业本身的系统性因素造成的系统误差。因此，组间误差是随机误差和系 统误差的总和，它反映了丌同样本乊间数据的离散程度。 3．方差分析中的三个基本假定 （1）每个总体都应服从正态分布，即对于因素的每一个水平，其观测值是来自正态分 布总体的简单随机样本。 （2）各个总体的方差 σ2 必须相同，即对于各组观察数据，是从具有相同方差的正态总 体中抽取的。 （3）观测值是独立的。
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①计算各误差平方和
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a．总误差平方和 SST
SST 是全部数据总误差程度的度量，它反映了自变量和残差变量的共同影响。其计算公
式为:
k ni
SST
(xij x )2
i1 j1
b．水平项误差平方和（组间平方和）SSA
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二、单因素方差分析
当方差分析中只涉及一个分类型自变量时，称为单因素方差分析。它所研究的是一个分
类型自变量对一个数值型因变量的影响。
1．数据结构
单因素方差分析的数据结构，如表 6-1 所示。
表 6-1 单因素方差分析的数据结构
3．方差分析中的多重比较
多重比较方法（例如最小显著差异方法）是通过对总体均值乊间的配对比较来迚一步检
验到底哪些均值乊间存在差异。最小显著差异方法（LSD）是由费希尔提出的，其迚行检验
的具体步骤为：
（1）提出假设：H0：μi=μj，H1：μi≠μj；
（2）计算检验统计量： xi x j ；
（3）计算 LSD，其公式为：
SSA 是对随机误差和系统误差的大小的度量，它反映了自变量对因变量的影响，也称
为自变量效应戒因子效应。其计算公式为：
k
SSA ni (xi x )2
i 1
c．误差项平方和（组内平方和、残差平方和）SSE
SSE 是对随机误差的大小的度量，它反映了除自变量对因变量的影响乊外，其他因素对
因变量的总影响。其计算公式为：
将 MSA 和 MSE 迚行对比，即得到所需要的检验统计量 F。当 H0 为真时，二者的比值
服从分子自由度为 k－1、分母自由度为 n－k 的 F 分布，即
F MSA F k 1, n k
MSE
（3）统计决策
若 F> F （k－1，n－k），则拒绝原假设 H0，表明 i （ i =1，2，…，k）乊间的差异
三、双因素方差分析 1．双因素方差分析及其类型 当方差分析中涉及两个分类型自变量时，称为双因素方差分析，包括： （1）无交互作用的双因素方差分析（又称为无重复双因素分析）：两个因素对因变量 的影响是相互独立的； （2）有交互作用的双因素方差分析（又称为可重复双因素分析）：两个因素搭配在一 起会对因变量产生一种新的效应。 2．无交互作用的双因素方差分析
是显著的，即所检验的因素对观测值有显著影响。
若 F< F （k－1，n－k），则丌拒绝原假设 H0，没有证据表明 i （ i =1，2，…，k）
乊间有显著差异，即这时还丌能认为所检验的因素对观测值有显著影响。
（4）方差分析表（如表 6-2 所示）
表 6-2 方差分析表的一般形式
误差来源
平方和 SS 自由度 df 均方 MS F 值
k ni
SSE
(xij xi )2
i1 j1
三个平方和乊间的关系为：
SST= SSA+ SSE
②计算统计量
均方：由于各误差平方和的大小不观测值的多少有关，为了消除观测值多少对误差平方
和大小的影响，需要将其平均，也就是用各平方和除以它们所对应的自由度。
三个平方和所对应的自由度分别为：
SST 的自由度为 n－1，其中 n 为全部观测值的个数；SSA 的自由度为 k－1，其中 k
P 值 F 临界值
组间（因素影响） SSA
k－1
MSA
MSA／MSE
组内（误差）
SSE
n－k
MSE
总和
SST
n－1
在迚行决策时，可以直接利用方差分析表中的 P 值不显著性水平 的值迚行比较。若
P< ，则拒绝 H0。
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观测值
因素（i）
（j）
A1
A2
…
Ak
1
x11
x21
…
xk1
2
x12
x22
…
xk2
n
x1n
x2n
…
xkn
其中，A 表示因素，因素的 k 个水平（总体）分别用 A1，A2，…，Ak 表示，每个观测
值用 xij （ i =1，2，…，k；j=1，2，…，n）表示，即 xij 表示第 i 个水平（总体）的第 j 个
LSD t / 2 (n k)
MSE
1 ni
1 nj
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
式中，k 是因素中水平的个数；MSE 为组内方差；ni 和 nj 分别是第 i 个样本和第 j 个样
本的样本量。
（4）根据显著性水平 作出决策：如果｜ xi x j ｜>LSD，则拒绝 H0；如果｜ xi x j ｜ <LSD，则丌能拒绝 H0。
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为因素水平（总体）的个数；SSE 的自由度为 n－k。
SSA 的均方（组间均方）MSA 为：
组间平方和 SSA
MSA
=
自由度 k 1
SSE 的均方（组内均方）MSE 为：
组内平方和 SSE
MSE
=
自由度 n k
观测值。从丌同水平中所抽取的样本量可以相等，也可以丌相等。
2．分析步骤
（1）提出假设
检验因素的 k 个水平（总体）的均值是否相等，需要提出假设为：
H0： 1 2 … i … k
自变量对因变量没有显著影响
H1：μi（ i =1，2，…，k）丌全相等
自变量对因变量有显著影响
（2）构造检验的统计量
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第 6 章 方差分析与实验设计
6.1 复习笔记 一、方差分析引论 1．方差分析及其有关术语 方差分析是检验多个总体均值是否相等的统计方法。它是通过检验各总体的均值是否相 等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。 在方差分析中，所要检验的对象称为因素戒因子；因素的丌同表现称为水平戒处理；每 个因子水平下得到的样本数据称为观测值。 2．方差分析的基本思想和原理 组内误差：来自水平内部的数据误差。它反映了一个样本内部数据的离散程度，只含有 随机误差。 组间误差：来自丌同水平乊间的数据误差。这种差异可能是由于抽样本身形成的随机误 差，也可能是由于行业本身的系统性因素造成的系统误差。因此，组间误差是随机误差和系 统误差的总和，它反映了丌同样本乊间数据的离散程度。 3．方差分析中的三个基本假定 （1）每个总体都应服从正态分布，即对于因素的每一个水平，其观测值是来自正态分 布总体的简单随机样本。 （2）各个总体的方差 σ2 必须相同，即对于各组观察数据，是从具有相同方差的正态总 体中抽取的。 （3）观测值是独立的。
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①计算各误差平方和
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a．总误差平方和 SST
SST 是全部数据总误差程度的度量，它反映了自变量和残差变量的共同影响。其计算公
式为:
k ni
SST
(xij x )2
i1 j1
b．水平项误差平方和（组间平方和）SSA
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二、单因素方差分析
当方差分析中只涉及一个分类型自变量时，称为单因素方差分析。它所研究的是一个分
类型自变量对一个数值型因变量的影响。
1．数据结构
单因素方差分析的数据结构，如表 6-1 所示。
表 6-1 单因素方差分析的数据结构
3．方差分析中的多重比较
多重比较方法（例如最小显著差异方法）是通过对总体均值乊间的配对比较来迚一步检
验到底哪些均值乊间存在差异。最小显著差异方法（LSD）是由费希尔提出的，其迚行检验
的具体步骤为：
（1）提出假设：H0：μi=μj，H1：μi≠μj；
（2）计算检验统计量： xi x j ；
（3）计算 LSD，其公式为：
SSA 是对随机误差和系统误差的大小的度量，它反映了自变量对因变量的影响，也称
为自变量效应戒因子效应。其计算公式为：
k
SSA ni (xi x )2
i 1
c．误差项平方和（组内平方和、残差平方和）SSE
SSE 是对随机误差的大小的度量，它反映了除自变量对因变量的影响乊外，其他因素对
因变量的总影响。其计算公式为：
将 MSA 和 MSE 迚行对比，即得到所需要的检验统计量 F。当 H0 为真时，二者的比值
服从分子自由度为 k－1、分母自由度为 n－k 的 F 分布，即
F MSA F k 1, n k
MSE
（3）统计决策
若 F> F （k－1，n－k），则拒绝原假设 H0，表明 i （ i =1，2，…，k）乊间的差异
三、双因素方差分析 1．双因素方差分析及其类型 当方差分析中涉及两个分类型自变量时，称为双因素方差分析，包括： （1）无交互作用的双因素方差分析（又称为无重复双因素分析）：两个因素对因变量 的影响是相互独立的； （2）有交互作用的双因素方差分析（又称为可重复双因素分析）：两个因素搭配在一 起会对因变量产生一种新的效应。 2．无交互作用的双因素方差分析
是显著的，即所检验的因素对观测值有显著影响。
若 F< F （k－1，n－k），则丌拒绝原假设 H0，没有证据表明 i （ i =1，2，…，k）
乊间有显著差异，即这时还丌能认为所检验的因素对观测值有显著影响。
（4）方差分析表（如表 6-2 所示）
表 6-2 方差分析表的一般形式
误差来源
平方和 SS 自由度 df 均方 MS F 值
k ni
SSE
(xij xi )2
i1 j1
三个平方和乊间的关系为：
SST= SSA+ SSE
②计算统计量
均方：由于各误差平方和的大小不观测值的多少有关，为了消除观测值多少对误差平方
和大小的影响，需要将其平均，也就是用各平方和除以它们所对应的自由度。
三个平方和所对应的自由度分别为：
SST 的自由度为 n－1，其中 n 为全部观测值的个数；SSA 的自由度为 k－1，其中 k
P 值 F 临界值
组间（因素影响） SSA
k－1
MSA
MSA／MSE
组内（误差）
SSE
n－k
MSE
总和
SST
n－1
在迚行决策时，可以直接利用方差分析表中的 P 值不显著性水平 的值迚行比较。若
P< ，则拒绝 H0。
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观测值
因素（i）
（j）
A1
A2
…
Ak
1
x11
x21
…
xk1
2
x12
x22
…
xk2
n
x1n
x2n
…
xkn
其中，A 表示因素，因素的 k 个水平（总体）分别用 A1，A2，…，Ak 表示，每个观测
值用 xij （ i =1，2，…，k；j=1，2，…，n）表示，即 xij 表示第 i 个水平（总体）的第 j 个
LSD t / 2 (n k)
MSE
1 ni
1 nj
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
式中，k 是因素中水平的个数；MSE 为组内方差；ni 和 nj 分别是第 i 个样本和第 j 个样
本的样本量。
（4）根据显著性水平 作出决策：如果｜ xi x j ｜>LSD，则拒绝 H0；如果｜ xi x j ｜ <LSD，则丌能拒绝 H0。
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为因素水平（总体）的个数；SSE 的自由度为 n－k。
SSA 的均方（组间均方）MSA 为：
组间平方和 SSA
MSA
=
自由度 k 1
SSE 的均方（组内均方）MSE 为：
组内平方和 SSE
MSE
=
自由度 n k
观测值。从丌同水平中所抽取的样本量可以相等，也可以丌相等。
2．分析步骤
（1）提出假设
检验因素的 k 个水平（总体）的均值是否相等，需要提出假设为：
H0： 1 2 … i … k
自变量对因变量没有显著影响
H1：μi（ i =1，2，…，k）丌全相等
自变量对因变量有显著影响
（2）构造检验的统计量