24.1.2 垂径定理(学案1)

24.1.2(1.1)垂直于弦的直径--垂径定理1-条件具备直接用一．【知识要点】1.作弦心距构造黄金三角形解题,基本模型：二．【经典例题】1.如图，在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径长．2.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,AB=10,CD=8,那么AE的长为( )A.2B.3C.4D.53. 如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．若⊙O的半径为1，CD则∠ABC的度数是________．6.如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.(1)当AB=10,CD=6时,求OE的长;(2)∠OCD的平分线交☉O于点P,连接OP.求证:OP∥CD.三．【题库】【A 】1.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径OB ＝10， 截面圆圆心O 到水面的距离OC ＝6，则水面宽AB ＝ （ ）A.8.B.10.C.12.D.16.2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30º，⊙O的半径为3cm ， 求弦CD 的长. 3如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AB ⊥CD 于点E, 若AB=10,CD=6,则BE 的长是( ).A.4B.3C.2D.1AB CO【B 】1.如图,☉O 的直径AB=12,CD 是☉O 的弦,CD ⊥AB,垂足为P,且BP ∶AP=1∶5,则CD 的长为( ) A.42 B.82 C.25 D.452.如图,AB 是☉O 的弦,AB 长为8,P 是☉O 上一个动点(不与A,B 重合),过点O 作OC ⊥AP 于点C,OD ⊥PB 于点D,则CD 的长为_______________.3.如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AE 的垂直平分线交⊙O 于点C ，CD ⊥AB 于D ，BD ＝1，AE ＝4，则AD 的长为（ ）．A ．33B ．4C ．5D ．52【C 】1.如图,MN 为☉O 的直径,A,B 是☉O 上的两点,过A 作AC ⊥MN 于点C,过B 作BD ⊥MN 于点D,P 为DC 上的任意一点,若MN=20,AC=8,BD=6,则PA+PB 的最小值是______________.【D】。

五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对垂径定理的理解普遍较好，他们能够通过观察和实验操作，发现直径与弦的关系。但在定理的证明部分，有些学生显得有些吃力，需要我通过图示和步骤分解来逐步引导。这让我意识到，在今后的教学中，我应该更加注重培养学生的逻辑推理能力和几何直观。
在讲授垂径定理的应用时，我尽量用生活中的实例来说明，让学生感受到数学知识在实际生活中的重要性。这一点从学生的反馈来看，效果还是不错的，他们能够主动思考定理在生活中的应用。但我也注意到，部分学生在解决综合性较强的题目时，还是显得有些力不从心。这说明在今后的教学中，我需要进一步加强学生对知识综合运用能力的培养。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《垂径定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在画圆或者观察圆的时候，有没有注意过直径与弦的关系？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂径定理的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决与圆相关的几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂径定的证明，我会通过图示和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂径定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际画圆和测量，学生可以直观地看到直径和弦的关系。

24.1.2 垂径定理(1)导学案
学习目标 1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理. 2.利用 垂径定理解决一些实际问题．
姓名：
学习重点 垂径定理及应用 学习难点 垂径定理及应用 学习过程： 一、复习引入： 1.如图：AB 是⊙O______；CD 是⊙O______； ⊙O 中优 弧有__________；劣弧有__________。 2.在___圆或 ____圆中，能够____________叫等弧。 二、新知导学 （一）实验：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折， 你发现了什么？ 结论： 。 （二） 探索： 如图， AB 是⊙O 的一条弦， 作直径 CD， 使 CD⊥AB， 垂足为 M． （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称 轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 相 等的线段：______________相等的弧： _____=______； _____=______。 （三）验证： 已知：如图，直径 CD，CD⊥AB，垂足为 M.求证：AM=BM.AC=BC，AD=BD.
⌒ ⌒ 4、如图，已知 AB、CD 是⊙O 的两条弦， AB∥CD ,试证 AC=BD
8
C D
垂径定理： _____ __________. 垂径定理的条件： 垂径定理的结论： 符号语言：∵ ∴ （3）在下列图形中，能否利用垂径定理,如果能，请找出相等的线段 和相等的圆弧。
归纳：圆中常用辅助线——作弦心距，构造 Rt△.弦 （a） 半径 （r ） 弦心距 （d ） ， 三个量关系为 。 四、目标检测：
24.1.2 垂径定理(1)导学案
1. 过⊙o 内一点 M 的最长的弦长为 10 ㎝,最短弦长为 8 ㎝,那么⊙o 的半 径是 2. 已知⊙o 的弦 AB=6 ㎝,直径 CD=10 ㎝,且 AB⊥CD,那么 C 到 AB 的距离 等于 3. 已知⊙O 的弦 AB=4 ㎝,圆心 O 到 AB 的中点 C 的距离为 1 ㎝,那么⊙O 的半径为 4. 如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为 10 米， A B 桥拱的跨度 AB=16 米，则拱高为 米。 5、在⊙O 中，P 为其内一点，过点 P 的最长的弦为 8cm，最短的弦长为 4cm，则 OP＝____ _。 6、已知圆的半径为 5cm，一弦长为 8cm，则该弦的中点到弦所对的弧的 中点的距离为__ _____。 7、 已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是 2 和 3， 则两条平行弦之间 的距离为_ ____。 8、在半径为 5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为 8cm，另一条 弦长为 6cm，则这两条弦之间的距离为_____ _。 9、⊙O 的直径为 10，弦 AB=8，P 是弦 AB 上的一个动点，则 OP 的取值 范围是 。 10、如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧 CD,点 O 是弧 CD 的 圆心),其中 CD=600m,E 为弧 CD 上的一点,且 OE⊥CD 垂足为 F,EF=90m. 求这段弯路的半径.

A C A
O
（图 5） 。 C
Ņ O B
。
〖变式二〗如图 6，在⊙O 中，半径 OC⊥AB，垂足为 E， 。 （图 6） 思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？（由学生口述方法）
O D B
（图 7）
分析：①证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？
证法一：连结 OA、OB、OC、OD，用“三角形全等”证明。 证法二：过点 O 作 OE⊥AB 于 E，用“垂径定理”证明。 （详见课本 P77 例 2） 注 1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。 注 2：辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。 思考：在图 7 中，若 AC=2，AB=10，则圆环的面积是 〖变式一〗若将图 7 中的大圆隐去，还需什么条件， 才能保证 AC=BD？ 〖变式二〗若将图 7 中的小圆隐去，还需什么条件， 才能保证 AC=BD？ 〖变式三〗将图 7 变成图 8（三个同心圆） ，你可以 证明哪些线段相等？ 〖例 3〗（选讲）如图 9，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， Ń AC＝3，BC＝ 6 2 ，以 C 为圆心、CA 长为半径画弧，交 斜边 AB 于 D，求 AD 的长。 （答案：2） 略解：过点 C 作 CE⊥AB 于 E，先用勾股定理求得
2．归纳定理： 根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理” 。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3．巩固定理： 在下列图形（如图 4(a)~(d)）中，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的弦，它们是否适 用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。 ୂ Ɂ C ୂ
ୂ A E ୂ D (a)AB⊥CD 于 E
A O ୂ
ୂ E

人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第1节的内容，本节课主要介绍圆中的垂径定理。

垂径定理是指：圆中，如果一条直线垂直于直径，那么这条直线平分这条直径，并且平分直径所对的圆周角。

教材通过生活中的实例引入垂径定理的概念，然后通过证明和应用来巩固这个定理。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。

同时，学生也掌握了平行线和相交线的性质。

但是，学生对于圆中的垂径定理可能比较难以理解和证明，因此需要通过生活中的实例和图形的直观展示，帮助学生理解和掌握这个定理。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握圆中的垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。

2.教学难点：垂径定理的证明和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入垂径定理，激发学生的学习兴趣。

2.演示法：通过图形的直观展示，帮助学生理解和证明垂径定理。

3.问题驱动法：通过提出问题和解决问题，引导学生主动探索和学习。

4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体教学设备、圆规、直尺、黑板等。

2.教学素材：教材、课件、练习题等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的实例，如自行车轮子、时钟等，引导学生观察和思考圆中的垂径定理。

让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）展示垂径定理的定义和性质，通过图形的直观展示，让学生理解和掌握垂径定理。

同时，引导学生思考如何证明这个定理。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论和合作，尝试证明垂径定理。

§24.1.2 《 垂直于弦的直径》教案教学目标：1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理及其推论；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。

教学重点：使学生掌握垂径定理及其推论、记住垂径定理的题设和结论。

教学难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明。

教学过程： 一、复习引入1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称和轴对称）2、圆还有什么对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是什么特殊位置？（直径所在的直线）3、观察并回答：（1）在含有一条直径AB 的圆上再增加一条直径CD ，两条直径的位置关系？（相交，而且两条直径始终是互相平分的）（2）把直径AB 向下平移，变成非直径的弦，弦AB 是否一定被直径CD 平分？二、新课（一）猜想，证明，形成垂径定理1、猜想：弦AB 在怎样情况下会被直径CD 平分？（当C D ⊥AB 时）（用课件观察翻折验证）2、得出猜想：在圆⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，当C D ⊥AB 时，弦AB 会被直径CD 平分。

3、提问：如何证明该命题是真命题？根据命题，写出已知、求证：如图，已知CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M。

求证：AE=BE。

4、思考：直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？(参照数本P81)5、我们给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径。

并给出垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。

（二）分析垂径定理的条件和结论以及探讨垂径定理的推论1、引导学生说出定理的几何语言表达形式① CD是直径、AB是弦① AE=BE②C D⊥②2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解。

1.圆的对称性
（探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？
2.垂径定理
（思考）如图：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。
1 这个图形是对称图形吗
2你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。
3你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
（3）这些方法中你又用到了哪些数学思想？
作业布置
（1）教材82页练习第1题88页第11题
分层作业
如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB 的长是多少？
（2）家庭作业练习册
教师提出问题，学生回顾本节课Fra bibliotek学知识，自己进行小结，养成梳理知识的习惯。
板书设计
教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理并板书。
学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。
学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正并板书。
教师明确定理中的条件和结论，初步理解“知二得三”口诀的含义。
教师提出问题，引导学生进行思考和讨论。
2.将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？
3.一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？
4.赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？
前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论。
后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。
合作交流探究新知
A、 AC=BC B、AN=BN C、OC=CN D、AM=BM
典型应用
如图。在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OD=3cm，则⊙O的半径为cm

24.1.2垂直于弦的直径（1） 班级： 姓名：学习目标：1.通过画图和观察，发现垂径定理，了解垂径定理的证明方法，会简单运用垂径定理.2.培养合情推理能力，发展空间观念.学习重点和难点：1. 重点：垂径定理。

2．难点：垂径定理的证明。

一、自主学习1.:垂径定理：垂直于弦的直径平分 ，平分这条弦所对的几何语言：∵AB 为⊙O 的直径 ，AB ⊥CD∴DP= , =⋂　DB ，=⋂　DA （垂径定理）二、巩固训练1．下列说法正确的是( )A ．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B ．平分弦的直径垂直于弦C ．垂直于直径的直线平分这条直径D ．弦的垂直平分线经过圆心 2．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立是( )A.AC ︵＝AD ︵B.BC ︵＝BD ︵C ．OE ＝BED ．CE ＝DE3. 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，则CE= ，⋂AC = .（第3题） （第4题） （第5题）4.如图，OC ⊥AB 于点C ，AC=3，则BC= ，AB= .5.如图，在⊙O 中，半径r ＝10，弦AB ＝12，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值是( )A ．10B ．16C ．6D ．86.一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于( )A ．4.1米B ．4.0米C ．3.9米D ．3.8米7.在⊙O 中，弦AB 的长为16cm ，圆的半径是10cm ，求圆心O 到AB 的距离。

解：连接AO ，作OE ⊥AB 于E∵OE 经过⊙O 的圆心，OE ⊥AB ∴AE= = cm （ ）在Rt △AOE 中，∵OE 2= （ ）∴OE= = 答：OE 的长为ABCO.8.证明：重直于弦的直径平分弦.已知：如图，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB. 求证：AE=BE.证明：连结OA ，OB.9. 如图，已知在⊙O 中，（1）弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径（2）弦AB 的长为6厘米，⊙O 的半径为5厘米，求圆心O 到AB 的距离（3）⊙O 的半径为10厘米，圆心O 到AB 的距离为6厘米，求弦AB 的长拓展延伸：好山好水好绍兴，石拱桥在绍兴处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB 宽度16 m 时，拱顶高出水平面4 m ，货船宽12 m ，船舱顶部为矩形并高出水面3 m.(1)请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径．(2)小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．E ADC BO.。

word 版 初中数学1 / 1 24.1.2 垂直于弦的直径 第1课时主备人 备课组长： 年级主任： 时间：10,20学材分析：本节是这一章重要定理，是圆证明的基础 学习目标：1、理解圆的轴对称性； 2、了解拱高、弦心距等概念； 3、使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。

学习重难点：重点：“垂径定理”及其应用 难点：垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明。

一、自主学习（看书81页-82页） ①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆 _______ ②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每一条_________。

⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？垂直是 一种特殊情况，你能得出哪些等量关系？⒉若把AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才相类似的结论吗？3、垂径定理：4、推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且5、知识归纳： 垂径定理及推论实际是：在①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧；这五个条件中，已知两个条件就可以推出其它三个条件。

二、课堂反馈 1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中,错误的是（ ）． A ．CE=DE B ．弧BC=弧BD C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD 2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长 是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．如图3，已知⊙O 的半径为5mm ，弦AB=8mm ，则圆心O 到AB 的距离是（ ） A ．1mm B ．2mmm C ．3mm D ．4mm 4．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．5．如图4，OE ⊥AB 、OF ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）6、一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（ ）A ．16B ．10C ．8D ．67、问题1：如图1，AB 是两个以O 为圆心的同心圆中大圆的直径，AB 交小圆交于C 、D 两点，求证：AC=BD问题2：把圆中直径AB 向下平移，变成非直径的弦AB ，如图2，是否仍有AC=BD 呢？、问题3：在图2中连结OC ，OD ，将小圆隐去，得图4，设OC=OD ，求证：AC=BD问题4：在图2中，连结OA 、OB ，将大圆隐去，得图5，设AO=BO ，求证：AC=BD三、反思：你收获了什么？还有哪些困惑？BA C E D OB A O M B AC ED OF 图1 图2 图3 图4 A BC D O A B C O A B C O E。

永宁中学九年级数学（上）导学案备课组长：教研组长：教科室：课题垂径定理第 1 课时共3 课时设计人唐伟文学习目标：1、探究垂径定理及推论； 2、会用符号语言描述垂径定理。

学习重点：探究垂径定理及推论、学习过程：一、知识点回顾（知识准备）：圆的对称性：二、探究新知：如图：AB是圆形纸片的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。

沿CD对折纸片，发现：①这个图形是对称图形吗②图中有哪些相等的线段和弧请说明理由。

③你能用一句话概括这些结论吗垂直于弦的直径______________________________(垂径定理)④你能用符号语言表达这个结论吗符号语言：∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB于E∴_____________，__________________，________________⑤由对折以上纸片我们还进一步发现：平分弦（不是直径）的直径__________于弦，并_________弦所对的两条弧(垂径定理推论)符号语言：∵CD为⊙O的直径，且AE = BE∴_____________，__________________，_______________三、教师引导：垂径定理的题设和结论关系较复杂，从以上探究我们可进一步将其并归结为：一条直线（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。

垂径定理就是满足条件（1）、（2）而推出其他结论；推论是满足条件（1）、（3）而推出其他结论。

四、归纳小结：梳理本节所学知识点五、检测与反馈：1、判断下列图形，是否能使用垂径定理(a)AB⊥CD于E (b)E是AB中点 (c)OC⊥AB于E (d)OE⊥AB于E2、如图，AB为⊙O的直径，且AB⊥CD于E。

请用符号语言描述垂径定理及其推论。

A OBCDEO BA CEODCBAEODCBAEOBA E1。

24.1.2 垂直于弦的直径（垂径定理第一课时）【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理.2.利用垂径定理解决一些实际问题．【导学过程】一．自主学习（一）回顾复习：（独立完成下列各题）1.如图：AB是⊙O______；CD是⊙O______；⊙O中优弧有__________；劣弧有__________。

2.在___圆或____圆中，能够____________叫等弧。

（二）自主探究（一）自主探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么？结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。

（二）自主探究二：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：______________相等的弧： _____=______；_____=______。

二、合作交流（一）你还能用其他的方法给出证明吗？垂径定理：文字叙述是：垂直于弦的直径_______，并且__________________。

符号语言：∵CD是⊙O_____，AB是⊙O______，且CD__AB于M∴____=_____，_____=______，_____=______。

(二)合作探究二：用垂径定理解决问题已知：⊙O的直径为10cm，圆心O到AB的距离为3cm，求：弦AB的长。

归纳：圆中常用辅助线——作弦心距（圆心到弦的距离），构造Rt△.弦（a）半径（r）弦心距（d），三个量关系为。

简“半径半弦弦心距”。

（三）巩固练习1．已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，则BC =____，AC =____ ；CE=______2.已知：AB为⊙O的弦，AB=24cm, 圆心O到AB的距离为5cm, 求⊙O的直径3.已知：⊙O的直径AB=20cm，∠B=30°,求：弦BC的长三、展示提升：（1）如图，两圆都以点O为圆心，求证:AC=BD（2）圆中有两条互相平行的弦长分别为6cm、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离四、盘点收获OBCA。

班级： 姓名:编号： 课题24.1.2垂直于弦的直径 课型新授 主备 审核 目标导航 1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理； 2.学会运用垂径定理解决一些有关证明、计算问题；3.了解弓形高、弦心距等概念.【温故知新】1.轴对称图形,轴对称图形的性质。

2.勾股定理求线段长；3.弦、直径、等弧的概念。

【自主学习】活动1:剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你得出什么结论？【合作探究】活动2:请继续利用手中的圆形纸片，画一画:(1) 在圆上任意画一条弦AB ；(2) 过圆心O 作弦AB 的垂线，垂足为E.交⊙O 于C ，D 两点。

观察思考：图中有哪些相等关系？如何证明你的猜想？相等的线段： ；相等的弧： .【初步应用】例1：如图(1)，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm.则⊙O 的半径为 cm 。

变式1：如图，已知⊙O 的半径是5cm,弦AB=8 cm ， 则圆心O 到AB 的距离是 cm 。

变式2： 已知⊙O 的半径是5cm ，圆心到弦的距离是3 cm ，则弦AB 的长为 cm 。

变式3：如图(2)，OD ⊥AB 于点E,与⊙O 交于点D,已知AB=8,DE=2，圆是 图形， 是圆的对称轴. 垂径定理：图1 图2则⊙O的半径是。

【方法归纳】例2：如图3，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.【能力提升】1、如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点D，交⊙O于点C，AB=24，则CD的长是_____．2、如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF=_____ 。

课题：24.1.1垂直于弦的直径（1）【学习目标】1.掌握垂径定理及相关结论，2.运用这些结论解决一些有关证明、计算和作图问题。

重点：垂径定理、垂径定理的推论以及它们的应用。

难点：垂径定理及推论的条件和结论的区分，垂径定理的证明。

【学习过程】自主学习阅读课本第80页至 81页的部分，完成以下问题.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？探究合作 展示评价问题1：在⊙O 中，作弦AB ，并作直径CD ⊥AB 于点E 。

你发现图中有哪些相等的线段和弧（不包括半径）？说一说你的理由．相等的线段：相等的弧：由此可得垂径定理：___________________________________________________________请结合图形，写出它的推理形式.∵∴ 精讲拓展例1 已知AB 是⊙O 的一条弦，且AB=8cm ，圆心O 到AB 的距离为OE=3cm,求⊙O的半径.探究合作展示评价问题2：若将问题1中的直径CD⊥AB改为CD平分AB，你又能得到结论:______________________________________________ _O ( 图中弦AB是否可为直径？)请结合图形，写出它的推理形式. ∵∴训练巩固1.下列命题正确的是 (请填上序号)（1）平分弦的直径垂直这条弦. （2）圆有无数条对称轴.（3）直径是圆的对称轴. （4）过圆心的直线必定垂直平分弦（5）垂直于弦的直径必定平分这条弦所对的两条弧2.已知AB是⊙O的一条弦，且AB=8cm，⊙O的半径为5cm，求圆心到弦AB的距离小结提升课后作业A BO。

2.自主探究，合作交流：教师提供丰富的学习资源，引导学生自主探究垂径定理的证明过程。在此基础上，组织学生进行小组合作、讨论交流，共同解决问题。
3.分层教学，因材施教：针对学生的个体差异，设计不同难度的练习题，使每位学生都能在原有基础上得到提高。对基础薄弱的学生，进行个别辅导，帮助他们克服学习难点；对优秀生，提供拓展题，培养他们的创新思维。
（四）课堂练习
1.设计练习题：针对本节课的教学内容，设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识。
2.学生独立完成：要求学生在规定时间内独立完成练习题，检验自己的学习效果。
3.解答与评价：教师对学生的练习情况进行解答和评价，指出学生的优点和不足，激发学生的学习积极性。
（五）总结归纳
1.学生自评：让学生回顾本节课的学习过程，总结自己在理解垂径定理、解决问题的方法等方面的收获和不足。
3.方法总结：总结证明垂径定理的方法，强调观察、分析、推理等几何证明的基本技能。
（三）学生小组讨论
1.划分学习小组：将学生分成若干小组，每组4-6人，确保组内成员在能力、性格等方面的互补性。
2.布置讨论任务：给出几个与垂径定理相关的实际问题，让学生分组讨论如何运用垂径定理解决问题。
3.指导与反馈：在学生讨论过程中，教师巡回指导，及时解答学生的疑问，引导学生深入思考。
人教版数学九年级上册24.1.2垂径定理教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解垂径定理的概念，知道圆的直径垂直于弦，并且平分弦。
2.学会通过画图、观察、推理等方法，证明垂径定理。
3.能够运用垂径定理解决与圆相关的几何问题，如求弦长、半径等。
4.掌握垂径定理在实际问题中的应用，如园林设计、建筑设计等。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重培养学生的数学素ห้องสมุดไป่ตู้，为学生的终身发展奠定基础。

3.教学反馈：根据学生的课堂表现、作业完成情况及评价结果，教师应及时给予反馈，针对性地指导学生改进学习方法，提高学习效率。
4.成长记录：鼓励学生建立数学学习成长记录，记录学习过程中的点滴进步，培养他们的自主学习能力和反思能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.引入：通过展示一幅圆形花园的图片，提问：“同学们，你们知道圆形花园中隐藏的数学秘密吗？”激发学生的好奇心。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解垂径定理，我们将从生活实际出发，创设富有启发性的教学情境。通过展示实际生活中含有垂径定理元素的场景，如古建筑中的拱桥、圆形花园的布局等，引导学生感受数学与生活的紧密联系。同时，利用多媒体手段，如动画、图片等，形象地呈现垂径定理的基本原理，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
1.教学反思：在教学过程中，教师需密切关注学生的学习状态，及时发现并解决学生在学习过程中遇到的问题。课后，教师应认真反思教学设计、教学方法和教学效果，不断调整教学策略，以提高教学质量和效果。
2.学生评价：采用多元化的评价方式，包括自评、互评、小组评价和教师评价。评价内容涵盖知识掌握、技能运用、合作态度等方面。通过评价，激发学生的学习积极性，培养他们的自信心和自我认知能力。
3.小组交流：各小组分享自己的探究过程和结果，互相学习、借鉴，提高解决问题的能力。
（四）总结归纳
1.教师总结：对本节课的重点知识进行梳理，强调垂径定理的原理、证明方法及其应用。
2.学生总结：鼓励学生发表自己对垂径定理的理解和感悟，提高他们的概括和表达能力。
3.知识体系：将垂径定理与圆的其他性质相结合，构建完整的知识体系，为后续学习打下基础。
人教版九年级数学24.1.2：垂径定理优秀教学案例

4
垂径定理（符号语言） ：
1
∵CD 是直径（或 CD 过圆心）, CD⊥AB ∴ = , = , = . 2.如上图,若直径 CD 平分弦 AB(不是直径),那么可以得到什么结论? 结论:(垂径定理推论)平分弦(不是直径)的直径 弦,并且 弦所对的两条弧. 思考:为什么不能是直径?
3.下列各图，那幅图不可以应用垂径定理（
2.已知 P 为⊙O 内一点,OP=1cm,⊙O 的半径为 2cm,则过 P 点的弦中,最短 的弦长为( ) A.1cm B.
3 cm
C. 2最长的弦长为 4, 最短的弦长为 2，则 OM 的长 为 。 4.已知 AB,求作 AB 的中点 5.经过已知⊙O 内的已知点 A 作弦，使它以点 A 为中点。
A _
O _
M _
P _ B _
N _
,OP=5 cm。求⊙O
O
题组三、 B P 例:你知道赵州桥吗？它是 1400 多年我国隋代建造的 A 石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主 桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37m,拱高(弧的中点到 弦的距离)为 7.23m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(结果保留小数点 后一位) 解:如图,用弧 AB 表示主拱桥,设弧 AB 所在圆的圆心为 O,半径为 R.
临河八中“题组教学法”学案 §课题: 24.1.2 垂直于弦的直径（第一课时） 班级 学生姓名 小组 授课日期 学案编号 35 备课 杨喜娥 授课 审核 教师 教师 教师 教师寄语：眉毛上的汗水和眉毛下的泪水，你必须选择一样。 目标一：认识圆的轴对称性，并探究垂径定理。 题组一、 1.自学课本 81 页-81 页例 2 以上部分回答： 将一个圆沿任何一条直径所在的直线对折， 发现： 圆是 图 形，它的对称轴是 。 2.证明圆是轴对称图形。