6.１．２导数及其几何意义
学
习目标核心素养
１．理解瞬时变化率、导数的概念．（重点、难点）２．理解导数的几何意义．（重点、难点）
３．会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程．（易混点）１．借助瞬时变化率的学习，培养数学抽象的素养．
２．通过导数的几何意义，提升直观想象的素养.
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度（单位：℃）为y＝f（x）＝x２—7x＋１５（0≤x≤8）．你能计算出第２h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义吗？
１．瞬时变化率与导数
（１）瞬时变化率：
一般地，设函数y＝f（x）在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率错误!＝错误!无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率．简记为：当Δx→0时，错误!→k或错误!错误!＝k.
（２）导数
１f（x）在x0处的导数记作f′（x0）；
２f′（x0）＝错误!错误!.
拓展：导数定义的理解
（１）函数应在x0处的附近有定义，否则导数不存在．
（２）在极限式中，Δx趋近于0且Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正、可负，但不能为0．当Δx>0（或Δx<0）时，Δx→0表示x0＋Δx从右边（或从左边）趋近于x0.
（３）函数在一点处的导数就是在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量．
２．导数的几何意义
（１）割线的斜率
已知y＝f（x）图像上两点A（x0，f（x0）），B（x0＋Δx，f（x0＋Δx）），过A，B两点割线的斜率是错误!＝错误!，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．
（２）导数的几何意义
曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数f′（x0）的几何意义为曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率．
（３）曲线的切线方程
曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程是y—f（x0）＝f′（x0）（x—x0）．
１．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）
（１）函数y＝f（x）在某点处的导数是一个变量．（）
（２）瞬时变化率是刻画某函数在区间[x１，x２]上函数值变化快慢的物理量．
（）（３）直线与曲线相切，则直线与已知曲线有且只有一个公共点．（）
（４）若函数y＝f（x）在某点处可导，则在该点处一定有切线，反之也成立．
（）[答案] （１）×（２）×（３）×（４）×
２．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图像是（）
Ａ．圆Ｂ．抛物线
Ｃ．椭圆Ｄ．直线
D[结合导数的几何意义可知，该函数的图像是平行或重合于x轴的直线，故选Ｄ．]
３．已知曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线方程为２x—y＋２＝0，则f′（１）＝________.
２[由导数的几何意义可知f′（１）＝２．]
４．质点M的运动规律为S＝４t２，则质点M在t＝１时的瞬时速度为________．
8 [ΔS＝S（１＋Δt）—S（１）＝４（１＋Δt）２—４＝４（Δt）２＋8（Δt），
∴错误!＝４（Δt）＋8．
∴错误!错误!＝8．]
求函数在某点处的导数
２
（２）求函数y＝３x２在x＝１处的导数．
[思路点拨] 求函数f（x）在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′（x0）．
[解] （１）∵Δy＝f（—１＋Δx）—f（—１）＝—（—１＋Δx）２＋（—１＋Δx）＋２＝３Δx—（Δx）２，
∴错误!＝错误!＝３—Δx，
∴f′（—１）＝错误!错误!＝错误!（３—Δx）＝３．
（２）∵Δy＝f（１＋Δx）—f（１）＝３（１＋Δx）２—３＝6Δx＋３（Δx）２，
∴错误!＝6＋３Δx，∴f′（１）＝错误!错误!＝错误!（6＋３Δx）＝6．
１．通过本例（１）进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数k这一现象．
２．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤
（１）求函数的增量Δy＝f（x0＋Δx）—f（x0）；
（２）求平均变化率错误!；
（３）求极限，得导数为f′（x0）＝错误!错误!.
简记为：一差、二比、三趋近．
错误!
１．求函数f（x）＝x—错误!在x＝１处的导数．
[解] ∵Δy＝（１＋Δx）—错误!—错误!
＝Δx＋１—错误!＝Δx＋错误!，
∴错误!＝错误!＝１＋错误!，
∴f′（１）＝错误!错误!＝错误!错误!＝２．
导数几何意义的应用
A B
Ａ．f′（x A）＞f′（x B）Ｂ．f′（x A）＜f′（x B）
Ｃ．f′（x A）＝f′（x B）Ｄ．不能确定
（２）若曲线f（x）＝x２＋ax＋b在点（0，b）处的切线方程是x—y＋１＝0，则（）
Ａ．a＝１，b＝１Ｂ．a＝—１，b＝１
Ｃ．a＝１，b＝—１Ｄ．a＝—１，b＝—１
（１）B（２）A[（１）由导数的几何意义知，f′（x A），f′（x B）分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图像可知f′（x A）＜f′（x B）．
（２）由题意，知k＝f′（0）
＝错误!错误!＝１，
∴a＝１．
又（0，b）在切线上，
∴b＝１，故选Ａ．]
１．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义．
２．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
错误!
２．设曲线f（x）＝ax２在点（１，a）处的切线与直线２x—y—6＝0平行，则a等于（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—１
A[由题意可知，f′（１）＝２．
又错误!错误!＝错误!错误!＝错误!（aΔx＋２a）＝２a.故由２a＝２得a＝１．]
