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2.9已知应力分量中0x y xy σστ===，求三个主应力123σσσ≥≥。
解 在0x y xy σστ===时容易求得三个应力不变量为1z J σ=，2222yz zx J τττ=+=，30J =特征方程变为32222()0z z σσστσσσσστ--=--=求出三个根，如记1τ=112312,0,2z z σστσσστ=+==-记123σσσ≥≥4.10有一长度为l 的简支梁，在x a =处受集中力P 作用，见题图4.6，试用瑞兹法和伽辽金法求梁中点的挠度。
题图4-6解一：用瑞兹法求解设满足梁端部位移边界条件0,0x l w ==的挠度函数为sinm mm xw B lπ=∑ （1） 梁的变形能U 及总势能∏为2224423001224llmmM EI d w EI U dx dx m BEI dx l π⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑⎰⎰443sin 4m mm m EI m a m B P B l l ππ∏=-∑∑ 由0mB ∂∏=∂得 3442sin m m a Pl l B EI mππ=344sinsin 2mm a m xPl l l w EI mπππ=∑（2）以上级数的收敛性很好，取很少几项就能得到满意的近似解，如P 作用于中点（2a l =）时，跨中挠度为（只取一项）3342248.7x l Pl Pl w EI EIπ=== 这个解与材料力学的解（348Pl EI）相比，仅相差1.5%。
解二：用伽辽金法求解1.当对式（1）求二阶导数后知，它满足220,0x ld wdx==，亦即满足支承处弯矩为零的静力边界条件，因此，可采用伽辽金求解。
将式（1）代入伽辽金方程，注意到qdx P =，且作用在x a =处，可得420sin sin 0lm m m x m a EIB dx P l l l πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰ 3442sinm m aPl l B EI mππ= 求出的挠度表达式与（2）一致。
综合测试试题一一、问答题：（简要回答，必要时可配合图件答题。
每小题5分，共10分。
）1、简述固体材料弹性变形的主要特点。
请参见教材第49页。
2、试列出弹塑性力学中的理想弹塑性力学模型（又称弹性完全塑性模型）的应力与应变表达式，并绘出应力应变曲线。
二、填空题：（每空2分，共8分）1、在表征确定一点应力状态时，只需该点应力状态的___个独立的应力分量，它们分别是__。
（参照oxyz直角坐标系）。
2、在弹塑性力学应力理论中，联系应力分量与体力分量间关系的表达式叫___方程，它的缩写式为___。
三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。
每小题4分，共16分。
）1、试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内压作用，当压力过大时，容器出现破裂。
裂纹展布的方向是：_________。
A、沿圆柱纵向（轴向）B、沿圆柱横向（环向）C、与纵向呈45°角D、与纵向呈30°角2、金属薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形小圆孔。
该板危险点的最大拉应力是无孔板最大拉应力__________倍。
A、2B、3C、4D、53、若物体中某一点之位移u、v、w均为零（u、v、w分别为物体内一点，沿x、y、z直角坐标系三轴线方向上的位移分量。
）则在该点处的应变_________。
A、一定不为零B、一定为零C、可能为零D、不能确定4、以下________表示一个二阶张量。
A、B、C、D、四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（共8分）1、；（i ，j = 1，2，3 ）；2、；五、计算题（共计64分。
）1、试说明下列应变状态是否可能存在：；（）上式中c为已知常数，且。
2、已知一受力物体中某点的应力状态为：式中a为已知常数，且a＞0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量之和。
为平均应力。
并说明这样分解的物理意义。
3、一很长的（沿z轴方向）直角六面体，上表面受均布压q作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。
应用弹塑性力学考试试题《应用弹塑性力学》考试试卷班级_____________ 姓名_____________ 学号______________一、简答题（每题5分，共20分）1试述弹塑性力学中四种常用的简化力学模型及其特点。
2分析特雷斯卡（Tresca ）和米泽斯（Mises ）屈服条件的异同点。
3 简单论述一下屈服曲面为什么一定是外凸的。
4试述逆解法和半逆解法的主要思想。
二、计算题（1~5题每题10分， 6~7题每题15分，共80分）1 如图1所示的等截面直杆，截面积为0A ，且b a >，在x a =处作用一个逐渐增加的力P 。
该杆材料为理想弹塑性，拉伸和压缩时性能相同，求左端反力N F 和力P 的关系。
F N图1 2 已知下列应力状态：5383038311ij MPa σ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试求八面体单元的正应力0σ与剪应力0τ。
3 已知物体某点的应力分量，试求主应力及最大剪应力的值。
（单位MPa ）（1）x =10σ，y =10σ-，z =10σ，=0xy τ，=0yz τ，=10zx τ-；（2）x =10σ，y =20σ，z =30σ，=5xy τ-，=0yz τ，=0zx τ。
4 当123σσσ>>时，如令213132σσσσμσσ--=-，试证明0max ττ=且该值在0.816~0.943之间。
5已知平面应变状态1231231230x y xy z xz yz A A x A yB B x B yC C x C yεεγεγγ=++=++=++===（1）校核上述应变状态是否满足应变协调方程；（2）若满足应变协调方程，试求位移u 和v 的表达式；（3）已知边界条件0x y ==，0u =，0v =；x l =，0y =，0v =确定上述位移表达式中的待定常数。
6 物体中某点的应力状态为100000200000300-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦MPa ，该物体在单向拉伸时屈服极限为190MPa s σ=，试分别用特雷斯卡（Tresca ）和米泽斯（Mises ）屈服条件来判断该点是处于弹性状态还是塑性状态。
习题2受拉的平板，一边上有一凸出的尖齿，如图 2.1。
试证明齿尖上完全没 P方向余弦为（l,m, n ）,试求斜截面上切应力v 的表达式2-1有应2-2物体中某点的应力状态为（6,j ）= 00 -1-1 0 ，求三个不变量和三个 0 1」主应力的大小。
2- 3 有两个坐标系，试证明 二x 「二八二z 「；「x 卞y =不变量。
2 2 2 ” _2- 4 M 点的主应力为-1 =75N/cm ,6 =50N/cm ，匚3 =-50N/cm 。
一斜截面的法线v 与三个主轴成等角，求P V 、二v 及v'0 T T2-5已知某点的应力状态为 （W ）= T 0 1，求该点主应力的大小和主 芒T 0轴方向。
2-6已知某点的应力状态为（5j ）= ▽cr 'b ，求该主应力的大小和主轴方向。
xyxz2-7已知某点的应力状态为（J,j ）xyE yz 过该点斜截面法线图2.1yzs 02-8物体中某点的应力状态为（0i,j）= 0 0 T y Z求该点主应力的大小和主轴方向。
2-9已知物体中某点的应力状态为匚j ,斜截面法线的方向余弦为」_、1_、1二，试求斜截面上切应力的大小。
、3、32-10半径为a的球，以常速度v在粘性流体中沿X x轴方向运动。
球面上点__ . X 3 V - y - zA（X, y,z）受到的表面力为P x P o ，P y P o，P z P o，式中P o 为流体的静水压力。
试求球所受的总力量。
2-11已知物体中某点的应力状态为二ij，斜截面法线的方向余弦为一、二、二，试证明斜截面上的正应力 J及剪应力8分别为二* J i、、3 、3 、、3 3习题33- 1若位移u 、v 、w 是坐标的一次函数，则在整个物体中各点的应变都是 一样的，这种变形叫均匀变形。
设有以 0为中心的曲面，在均匀变形后成为球 面，2 2 2 2x' +y +z = r问原来的曲面f(x,y,z)=o 是怎样的一种曲面？ 3-2 证明 x 二 k(x y )，= k(y z )， xy = k'xyz ，上二yz = zx = 0 (其中k 和k'是微小的常数)，不是一个可能的应变状态。
注：自己多改改啊，6月18日早上交。
1.在例3.2中，更精确地分析是假定悬臂梁在长度a+a 0处固定，根据实验测定a 0取h/3较合适。
并考虑变形引起的位移，取V=1/3，试求能量释放率。
解：根据题意V EBha a p V EJ a a p ++=++=∆33030)(83)(2 试件柔度 pVEBh a a p c ++=∆=330)( 所以G I =32222)3(1221h EB p ha d d p B a c +=2.某发电机转子在动平衡时发生断裂。
断裂后发现垂直于最大拉应力方向的一个圆形片状缺陷。
直径约在2.5~3.8cm 之间。
缺陷处的最大拉应力为350MPa 。
试估算转子的临界裂纹尺寸。
经测定，转子材料的断裂韧度k 1c =（34~59）MPa m 。
解：缺陷处应力强度因子为ak πσπ21=又k 1c =（34~59）MPa m ，350=σMPaa=（0.74~2.2）cm所以裂纹直径为1.5~4.4cm3.气瓶内径D=508mm ，壁厚t=35.6mm ，纵向有表面裂纹，深度a=16mm ，长度2L=508mm ，材料的屈服极限0σ=538MPa ，断裂韧度k 1c =110MPa m ，试求爆破压力。
假设为理想塑性材料，考虑塑性区修正。
解：利用半椭圆表面裂纹应力强度因子)(/]})(241[{1.121211k E k a k sσππ+==c a 25416=0.063 ，查表得)(k E =1.008 21211]})(241[{1.1)(sc ka k E k σππσ+==21)]}8.53110(24116[{1.1110008.1ππ+⨯=14.2 kg/mm 2又t PD 2=σ所以P=D t σ2=5086.352.142⨯⨯=1.99kg/mm 24.高硅的镍铬钼钒钢的回火温度与屈服极限0σ和断裂韧度k 1c 的关系见下表。
现有表面裂纹，深度a=1mm 深长比a/2c=1/4,设工作应力σ=0.60σ，试选择合适的回火温度，假定为理想塑性材料，考虑塑性区修正。
复习题一、选择题01．受力物体内一点处于空间应力状态（根据oxyz 坐标系），一般确定一点应力状态需（ ）独立的应力分量。
A ．18个；B ．9个；C ．6个；D ．2个；02．一点应力状态的最大（最小）剪应力作用截面上的正应力，其大小（ ）。
A ．一般不等于零；B ．等于极大值；C ．等于极小值；D ．必定等于零 ；03．一点应力状态主应力作用截面和主剪应力作用截面间的夹角为（ ）。
A ．π/2；B ．π/4；C ．π/6；D ．π；04．正八面体单元微截面上的正应力σ8为：（ ）。
A ．零；B ．任意值；C ．平均应力；D ．极值；05．从应力的基本概念上讲，应力本质上是（ ）。
A ．集中力；B ．分布力；C ．外力；D ．内力；06．若研究物体的变形，必须分析物体内各点的（ ）。
A ．线位移；B ．角位移；C ．刚性位移；D ．变形位移；07．若物体内有位移u 、v 、w （u 、v 、w 分别为物体内一点位置坐标的函数），则该物体（ ）。
A ．一定产生变形；B ．不一定产生变形；C ．不可能产生变形；D ．一定有平动位移；08．弹塑性力学中的几何方程一般是指联系（ ）的关系式。
A ．应力分量与应变分量；B ．面力分量与应力分量；C ．应变分量与位移分量；D ．位移分量和体力分量；09．当受力物体内一点的应变状态确定后，一般情况下该点必有且只有三个主应变。
求解主应变的方程可得出三个根。
这三个根一定是（ ）。
A ．实数根；B ．实根或虚根；C ．大于零的根；D ．小于零的根；10．固体材料受力产生了塑性变形。
此变形过程（ ）。
A ．必定要消耗能量；B ．必定是可逆的过程；C ．不一定要消耗能量；D ．材料必定会强化；11．理想弹塑性模型, 这一力学模型抓住了（ ）的主要特征。
A ．脆性材料；B ．金属材料；C ．岩土材料；D ．韧性材料；12．幂强化力学模型的数学表达式为σ=A εn ，当指数n=1时，该力学模型即为（ ）。
弹塑性力学试题(土木院15研)考试时间：2小时 考试形式：笔试，开卷一﹑是非题（下列各题，你认为正确的在括号内打“√”，错误的打“×”。
每小题3 分，共21分）1． 孔边应力集中的程度与孔的形状有关，圆孔应力集中程度最高。
（ ）2． 已知物体内P 点坐标P （x, y, z ）, P '点坐标P '（x+dx, y+dy, z+dz ）, 若P 点在x, y, z 方向的位移分别为u, v, w ，则P '点在x 方向的位移为dz zwdy y v dx x u u ∂∂+∂∂+∂∂+（ ） 3． 任何边界上都可应用圣维南（St. Venant ）原理，条件是静力等效。
（ ） 4． 塑性力学假设卸载时服从初始弹性规律。
（ ）5． 弹性力学空间问题应变状态第二不变量为222- yz xz xy z y z x y x γγγεεεεεε--++。
（ ） 6． 弹性力学问题的两类基本解法为逆解法和半逆解法。
（ ） 7． 全量理论中，加载时应力—应变存在一一对应的关系。
（ ）二﹑填空及简答题（填空每小题3分，共23分）1． 弹性力学平面问题，结构特点是（ ），受力特点是（ ）。
2．求解塑性问题，可将应力——应变曲线理想化，分为5种简单模型，它们分别是（ ）。
2． 薄板小挠度弯曲中内力弯矩和剪力的量纲分别为（ ）、（ ）。
3． 比较Tresca 屈服准则和von Mises 屈服准则的相同点与不同点。
（5分） 4． 弹性力学的几何方程是根据什么假设条件推导出来的?（4分） 6．简述弹性力学量纲分析的基本思路。
（5分）三﹑计算题（共56分）1. 写出圆形薄板轴对称弯曲的弹性曲面方程。
若受均布荷载0q 作用，推导（必须有推导过程）出其挠度w 的表达式。
（8分）2. 已知应力函数)(A 23xy x +＝ϕ，A 为常数。
试求图中所示形状平板的面力（以表面法向和切向应力表示）并在图中标出。
2014级弹塑性⼒学试题2014级研究⽣《应⽤弹塑性⼒学》考试试卷班级_____________ 姓名_____________ 学号______________1 如图1所⽰，完全置于⽔中的梯形截⾯墙体，试写出AA '，AB ，BB '边上的边界条件（⽔的密度为ρ）。
图1 梯形截⾯墙体2 已知物体某点的应⼒分量，试求主应⼒及最⼤剪应⼒的值。
（单位MPa ）（1）x =10σ，y =10σ-，z =10σ，=0xy τ，=0yz τ，=10zx τ-；（2）x =10σ，y =20σ，z =30σ，=5xy τ-，=0yz τ，=0zx τ。
3 试确定以下各应变状态能否存在？（1）22()x k x y ε=+，2y ky ε=，0z ε=，2xy kxy γ=，0yz γ=，0zx γ= （2）22()x k x y z ε=+，2y ky z ε=，0z ε=，2xy kxyz γ=，0yz γ=，0zx γ=（3）x kxz ε=，y kyx ε=，z kzy ε=，xy kx γ=，yz ky γ=，zx kz γ=4 已知应⼒分量为231x Qxy C x σ=-+2232y C xy σ=-3223xy C y C x y τ=--试求系数C 1，C 2和C 3（体积⼒为零）。
5 已知位移分量为u zy θ=-，v zx θ=，(,,)w f x y z =式中，θ为常数。
试求应变分量的表达式。
6 如图2所⽰，已知长度为l 的等直杆件，其截⾯为12h ，杆端受弯矩M 的作⽤，试⽤半逆解法求应⼒分量。
图2 受弯矩作⽤的悬臂梁7 已知两端封闭的薄壁筒受内压p 的作⽤，直径为40cm ，厚度为4mm 材料的屈服极限为250N/mm 2，试⽤⽶泽斯和特雷斯卡屈服条件求出圆管的屈服压⼒。
8 如图3所⽰，⼀端固定另⼀端简⽀的超静定梁，其截⾯的塑性极限弯矩为M p ，在距固定端为1l 处承受集中⼒的作⽤，试⽤静⼒法与机动法求该梁的极限载荷。
2014上海交大材料学院塑性成形原理（871）考研真题（回忆版）
//**今年总体来说比较简单，只有简答题中前几个（特别第3题坑爹）较陌生，其他基本都是以前考过的或是书本上的原题**//
一、简答题（50分）
1、应变球张量对金属的塑性、变形抗力有什么样的影响？试通过拉拔和挤压对比分析。
2、某应力点处于塑性纯剪切应力状态，试画出该应力状态的主应力简图及其主应变简图（材料的屈服应力为σs）
3、试分析在不同摩擦条件下压缩圆环的外径D和内径d的变化趋势，并指出压力分布曲线中峰值的位置。
4、简述摩擦在塑性成形过程中的有利和不利影响。
5、简述弹性变形和塑性变形的特点。
二、//**关于应力平衡微分方程的应用，以前考过**// 题目给出了直角坐标系下的各应力分量坐标表达式，是一个平面应力状态，要求确定表达式中的三个未知数C1、C2、C3，只需求偏导、满足应力平衡方程即可。
（25分）三、//**关于两类屈服准则的考察，与董湘怀塑性成形原理P152的第6题相似**// 题目是，各有一个球形及一个圆柱形且两端封闭的薄壁容器，其厚度皆为t，内径皆为d，现有一内压P作用于容器内，使其发生胀形，试分别用屈雷斯加准则和密赛斯准则求出该容器屈服时的内压P。
（25分）
四、//**关于本构关系的考察，比较简单**// 题目给出了一点的应力状态，第一行为—100，0,50，第二行为0，100，0，第三行为50,0,150，单位是MPa，要求写出各应变分量间的比值。
（25分）
五、//**关于Avitzur连续速度场上限模式的考察**// 本题是董湘怀P261的第10题，数据神马的都一模一样，而且试卷上还给出了思路提示。
（25分）。
已知某材料在纯剪作用下应力—应变关系如图所示，弹性剪切模量为G ，Poisson 比为ν，剪切屈服极限为s τ，进入强化后满足const G d d ==,/γτ。
若采用Mises 等向硬化模型，试求 （1）材料的塑性模量（2）材料单轴拉伸下的应力应变关系。
解：（1）因为τττγ221232*123121J d J h d p⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= 所以 τγd hd p *3*1=,3*3G d d h p==γτ （2） 弹性阶段。
因为)1(2υ+=EG ，所以)1(2υ+=G E 由于是单轴拉伸，所以εσE = 塑性阶段。
ijp ij fd d σλε∂∂= 1111)1(σσσε∂∂∂∂=fd f h d kl kl p解：在板的固定端，挠度和转角为零。
显然：()0)(b y ==±=±=ωωa x 满足0)(2)(2)(222221=-⋅-=∂∂±=b y x a x C xa x ω故222222111)()(b y a x C w C w --==满足所有的边界条件。
02))((2)y(222221=⋅--=∂∂±=y b y a x C b y ω2、用Ritz 法求解简支梁在均布荷载作用下的挠度（位移变分原理）步骤：（1）设挠度的试验函数 w (x ) = c 1x (l -x )+c 2x 2(l 2-x 2)+…显然，该挠度函数满足位移边界w (0) =0，w (l ) = 0。
（2）求总势能()⎰⎰-''=+=∏l 002qwdx dx w EI 21lV U 仅取位移函数第一项代入，得()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∏l 0121dxx l qx c c 2EI 21（3）求总势能的极值EI24ql c 0c 211==∂∏∂ 代入挠度函数即可1.假定矩形板支承与承受荷载如图所示， 试写出挠度表示的各边边界条件： 解：简支边OC 的边界条件是：()00==y ω()0022220)(M xy D M y y y -=∂∂+∂∂-===ωνω自由边AB 的边界条件是：()0)(2222=∂∂+∂∂===b x by y x y M ωνω，()()q y x yD V b y b y y -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-+∂∂-===23332ωνω两自由边的交点B ：()0,===b y a x ω()B by a x xy R M ===,2是B 点支座的被动反力。
第二章 应力理论和应变理论2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及30106.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 6022132 3.598 3.60()22x y xy MPa MPa σστατα=--=----+=⋅+=⋅-=-⨯-⨯=-- 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +23030()cos 2sin 2221041041cos 602sin 607322226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 6022132 3.598 3.60()22x yx yxy x y xy MPa MPa σσσσσατασστατα+-=++---+=++=--⨯+=----+=-⋅+=-⋅+=⨯+⨯=由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。
2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。
材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。
试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。
解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c 截面的内力：N z =γ·A ·z ；题图1-3c 截面上的应力：z z N A z z A Aγσγ⋅⋅===⋅； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为：zz zEEσγε==；则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：()22zzzzz z z z y zz l d l d d zd EEEγγγε=⎰⋅∆=⎰⋅=⎰=⎰=；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：()2222ll A l lW ll d l EEAEAγγ⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∆=== ；（W=γAl ）2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦应力单位为kg ／cm 2 。
