《空间直角坐标系中点的坐标》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)

教学准备
1. 教学目标
教学目标通过具体到一般的过程，让学生推导出空间两点间的距离公式，通过类比方式得到两点构成的线段的中点公式．
2. 教学重点/难点
重点难点空间两点间的距离公式的推导及其应用．
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
引入新课
问题1．平面直角坐标系中的许多公式能推广到空间直角坐标系中去吗？
问题2．平面直角坐标系中两点间距离公式如何表示？
试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式．
例题剖析
例1 求空间两点，间的距离．
例2 平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为=．
在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的轨迹方程．
2．试解释方程的几何意义．
课堂小结
空间两点间距离公式；空间两点的中点的坐标公式．。

空间直角坐标系[适用章节]数学②中的2.4.1空间直角坐标系。

[使用目的]使学生通过操作此课件体会一点的空间直角坐标是怎样定义的。

[操作说明]初始界面上的图形和主要按钮如图2204-1：图2004-1其中A 点的坐标由界面下方可拖动标尺来控制，使用“转动”按钮可以观察动态的图形。

“定x1”、“定y1”、“定z1”按钮可以分别观察确定三个坐标的过程。

“同时”按钮可以同时演示三个坐标的确定。

如果观察感到困难，可以随时使用“转动”按钮。

“手控”、“隐藏”按钮可以显示或隐去改变单位和手控图形转动的两个标尺。

活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。

”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。

听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。

水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。

”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。

小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。

花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。

主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。

栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。

主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。

乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。

丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。

2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。

环节一空间直角坐标系【引入新课】思考：在平面向量中，我们通过平面直角坐标系建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？【探究新知】为了研究这个问题，我们需要弄清楚:问题1：类比平面直角坐标系，你能猜想如何构建空间直角坐标系吗？追问1：平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间直角坐标系应该有哪些要素？它们需要满足什么条件？答案：追问2：利用单位正交基底概念，我们可以如下这样理解平面直角坐标系. 类比到空间，你能否给出空间直角坐标系的定义呢？答案：空间直角坐标系定义：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j, }k. 以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面，它们把空间分成八个部分．追问3：空间直角坐标系如何画呢？答案：先回想平面直角坐标系Oxy 的画法：在平面内画两条与单位正交基底向量i ，j 方向相同的数轴x 轴和y 轴，它们互相垂直、原点重合．与画平面直角坐标系相比，画空间直角坐标系只是多画一个与x 轴、y 轴都垂直的z 轴而已，所以我们不妨借鉴在立体几何中学习的斜二测画法，在画空间直角坐标系Oxyz 时，让x 轴与y 轴所成的角为135︒（或45︒），即135xOy ︒∠=（或45︒），画z 轴与y 轴垂直，即90yOz ︒∠=．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．问题2： 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？追问1：空间中任意一点A 与哪个向量的坐标相同？答案：在平面直角坐标系中，点A 的位置由向量OA 唯一确定，类比到空间直角坐标系中，我们可知点A 的坐标与从原点出发的OA 坐标相同. 由此，确定空间直角坐标系中点的坐标，可以从确定与之对应的，以原点为起点，该点为终点的向量的坐标入手．追问2：在空间直角坐标系中如何定义OA 的坐标呢？ 答案：平面直角坐标系内空间直角坐标系内取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，i ，j 为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x ，y 使得取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的两个单位向量，i ，j ，k 为基底，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组使得OA x y =+i j k +z ，我们把有序实数组x y =+a i j ．我们把有序数对(),x y 叫做a 的坐标，记作(),x y =a ．(),,x y z 叫做OA 的坐标，记作(),,OA x y z =．所以，在单位正交基底{i ，j ，}k 下与向量OA 对应的有序实数组(x ，y ，)z ，叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标，记做A (x ，y ，)z ，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标.追问3：那么对于给定的向量a 又该如何定义它的坐标呢？ 答案：因为空间向量是自由的，我们在空间直角坐标系Oxyz 中可以作OA =a . 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，)z ，使x y z =++a i j k ,有序实数组(x ，y ，)z 叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记为(x =a ，y ，)z这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 问题3： 在空间直角坐标系Oxyz 中，对空间任意一点A ，或任意一个向量OA ，你能借助几何直观确定它们的坐标(),,x y z 吗？答案：过点A 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点B ，C 和D . 可以证明OA 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影向量分别为OB ，OC ，OD ，由向量加法的意义可知，OE OB OC +=,OA OE EA OE OD ++==,即OA OB OC OD ++=. 设点B C D ，和在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别是x ，y 和z ，那么OA x y z =++i j k ，即点A 或者向量OA 的坐标就是(x ，y ，)z .k yzxoi A (x ,y ,z )a思路小结：目前，我们有哪些方法可以用于确定空间中一个点A 或任意一个向量a 的坐标呢？【知识应用】例1 如图，在长方体OABC D A B C ''''-中，3OA =，4OC =，2OD '=，以13OA ⎧⎨⎩，14OC ，12OD ⎫'⎬⎭为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . （1）写出D '，C ，A '，B '四点的坐标； （2）写出向量A B '',BB ',A C '',AC '的坐标.追问1：题目条件中的13OA ⎧⎨⎩，14OC ，12OD ⎫'⎬⎭为什么是单位正交基底？答案：由图可知，OA 在x 轴上，且3OA =，所以1=13OA .同理，OC 在y 轴上，OD '在z 轴上，由4OC =，2OD '=知，1=14OC ，1=12OD '，所以13OA ⎧⎨⎩，14OC ，12OD ⎫'⎬⎭是单位正交基底，等同于我们前面用到的{i ，j ，}k .追问2：求空间点的坐标我们有哪些基本解题思路？答案：有两种选择，一种是转化为求与该点对应的，从原点出发，指向该点的空间向量的坐标. 而后依据空间向量基本定理，把空间向量用单位正交基底分解，从而求出坐标；另一种是应用几何直观，找出空间点在x 轴、y 轴、z 轴上的射影，进而得到坐标.思路小结：由几何直观可知，确定空间中一个点的坐标，我们需要先找出该点在各个坐标轴上的射影，再根据空间向量基本定理，得到点的坐标. 所以可以总结步骤如下：（1）过空间点分别作x 轴、y 轴和z 轴的垂面；点A 的坐标给定的向量a 的坐标OA 的坐标应用空间向量基本定理确定坐标根据几何直观确定OA 在各坐标轴上的投影向量，从而求得坐标（2）确定空间点在坐标轴上的射影的坐标； （3）得到空间点的坐标. 解：（1）()()()()0,0,2,0,4,0,3,0,2,3,4,2D C A B '''.（2）()0400,4,0,A B OC ''=++=i j k=()0020,0,2,B B OD ''-=+-=-=i j k()3403,4,0,A C A D D C OA+OC =''''''=+=-=-++-i j k()3423,4,2AC AC CC OA OC CC OA OC OD =''''=+=-++=-++=-++-i j k .问题4：回顾本节课的学习过程，我们是如何得到空间点和空间向量的坐标的？ 答案：（1）类比平面直角坐标系，构建了空间直角坐标系.（2）根据空间向量基本定理，在单位正交基底下，得到空间直角坐标系中的每一个点和向量都存在唯一的有序实数组(x ，y ，)z 与之对应，从而引出空间点和空间向量的坐标表示.问题5：如何求空间点或向量的坐标呢？答案：（1）根据空间向量基本定理，将点或向量用单位正交基底{i ，j ，}k 来表示，它们的系数就是点或向量的坐标.（2）由几何直观，过点作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次确定点对应的向量在各个轴上的投影向量，根据投影向量的坐标得到点或向量的坐标.第二课时 空间向量运算的坐标表示环节一：引入新课本章前半部分的主要内容： 我国著名数学家吴文俊先生曾指出：“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学.简单地说，就是研究数和形的科学.”中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”.在前面的学习中，我们已经掌握了空间直角坐标系的概念，进一步通过正交分解的方法将空间向量用唯一的有序实组表示出来，引入坐标后可使向量中形的运算转化成数的运算.今天我们就循着数学家的足迹，大胆类比、猜想，把向量坐标运算从平面拓展到空间，完成一次从二维到三维，从形到数的跨越.环节二：探究新知为了研究这个问题，我们需要弄清楚:问题1： 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？追问1： 平面向量的运算都有哪些？如何对平面向量进行坐标运算？ 答案：加法，减法，数乘，数量积.追问2： 你能否类比平面向量运算的坐标表示给出空间向量运算坐标表示的猜想？ 答案：设空间向量 123123(,,),(,,),a a a b b b ==a b 猜()112233,,,a b a b a b +=+++a b()112233,,,a b a b a b -=a b ---()123,,,a a a =a 112233.a b a b a b ⋅=++a b追问3：你能否对空间向量运算的坐标表示进行证明呢？答案： 结合空间向量坐标的定义，我们以数量积运算的坐标表示为例进行证明： 第一步：由空间向量基本定理，设{},,i j k 为空间的一个单位正交基底，由向量a 的坐标为123(,,)a a a ，则可将向量a 唯一分解为123a a a =++a i j k ， 同理可将向量b 表示为123b b b =++b i j k . 第二步： ()()123123a a a b b b ⋅=++⋅++a b i j k i j k111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅i i i j i k j i j j j k k i k j k k利用向量数量积的分配律以及======⋅⋅⋅1,⋅⋅⋅0,i i j j k k i j j k k i 得112233.a b a b a b ⋅=++a b其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们课下自主完成.由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的. 类似地，我们还可以得到：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.即：设 123123(,,),(,,),A a a a B b b b 则向量()112233,,AB b a b a b a =---.问题2： 在学习平面向量运算的过程中，我们了解到向量可以帮助我们解决平面几何中的特殊位置关系与几何度量等问题，这些重要的性质和结论在空间向量中仍然成立吗？追问1： 如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？ 答案：设 1212(,),(,),a a b b ==a b 当≠0b 时，∥a b 的充要条件是=a b ， λ属于全体实数，用坐标表示为1212(,)(,),a a b b = 得到方程组1122,,a b a b =⎧⎨=⎩ 消去λ，得到平面向量平行充要条件的坐标表示：a 1b 2−a 2b 1=0.类比平面向量平行的坐标表示，我们可以得到：设空间向量123123(,,),(,,),a a a b b b ==a b 当≠0b 时，∥a b 的充要条件是=a b ， λ 属于全体实数.可以用坐标表示为123123(,,)(,,)a a a b b b =，得到方程组()112233,,.a b a b a b =⎧⎪=∈⎨⎪=⎩R ，这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示.追问2： 这个充要条件能否表示为312123a a ab b b ==？ 答案： 显然，空间向量平行的充要条件不等价于312123a a ab b b ==，因为≠0b 的含义是b 的坐标分量123,,b b b 至少有一个不为零，而非每一个坐标分量都不为零.例如，当b 与坐标平面Oxy 平行时，30b =此时33a b 无意义.因此只有在b 与三个坐标平面均不平行，即123,,b b b 均不为零时才能有312123a a ab b b ==⇔∥a b .特殊地，当=0b 时，(0,0,0)=b .此时b 与任意向量都平行.追问3： 除了上述对空间向量位置关系的研究，类比平面向量运算的应用，能否总结出空间向量的度量关系，如空间向量长度和夹角的坐标表示？答案： 设 123123(,,),(,,),a a a b b b ==a b222123a a a =⋅=++a a a . 112233222222123123cos ,a b a b a b a a a b b b ++⋅==++++a ba b a b.设1111()P x ,y ,z , 2222()Px ,y ,z ，则()()()2221212212121=PP PP x x +y y +z z ---=追问4：得到上面的猜想后，同学们能利用空间向量运算的坐标表示证明空间两点间的距离公式吗？答案：首先，建立空间直角坐标系Oxyz ，设1P , 2P 是空间中任意两点，则向量()1221212121.PP OP OP x x ,y y ,z z ---=-= 于是121212PP PP PP ⋅=，带入坐标，()()()22212212121PP x x +y y +z z ---=.所以()()()2221212212121=PP PP x x +y y +z z ---=.这就是空间两点间的距离公式.因此，空间向量123(,,)a a a =a 的模可以理解为点123(,,)a a a 到原点的距离，这是空间两点间距离公式的特殊化.环节三：知识应用例1 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ,F 分别是1BB , 11D B 的中点.（1）求证1EF DA ⊥；（2）求AE 与1CD 所成角的余弦值.追问1： 两条直线的垂直关系可以用向量刻画吗？答案：要证明1EF DA ⊥，只需证明1EF DA ⊥，在前面的学习中，我们已经得到了两个向量垂直的充要条件为数量积为零，即10.EF DA =通过本节课学习的内容，可以将空间向量垂直的充要条件用坐标形式表达，因此在应用向量法求解本题时，我们需要利用题目中的空间直角坐标系，从而建立立体图形与空间向量的联系.追问2： 向量EF 的坐标怎么求？答案： 因为()2,2,1E , (1,1,2)F ，所以(1,1,2)(2,2,1)(1,1,1).EF =-=--分析：因为空间向量的数量积和夹角有关，此我们经常以空间向量的数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题.追问3： 两条直线夹角与两向量夹角有区别吗？答案：这二者是有区别的，它们的取值范围不同.具体来说， 两条直线夹角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,而向量夹角的范围是[]0,π.当AE 与1CD 所成的角为锐角或直角时，直线AE 与1CD 所成的角和向量的夹角相等. 当AE 与1CD 所成的角为钝角时，直线AE 与1CD 所成的角为向量夹角的补角.解：（1）因为()2,2,1E , (1,1,2)F ，所以(1,1,2)(2,2,1)(1,1,1)EF =-=--. 得到向量EF 的坐标后，同理，又因为点()()12,0,2,0,0,0A D ,所以()12,0,2DA =. 所以()()11,1,12,0,22020.EF DA =--=-++= 所以1EF DA ⊥,即1EF DA ⊥. （2）因为()()()()12,0,0,0,2,0,2,2,1,0,0,2A C E D ，所以()()()2,2,12,0,00,2,1AE =-=,()()()10,0,20,2,00,2,2CD =-=-, 15,=22AE DF =.所以()10022122AE CD =⨯+⨯-+⨯=-.所以111cos ,AE CD AE CD AE CD ===所以, AE 与1CD 所成角为向量AE ，向量1CD 夹角的补角.所以, AE 与1CD 方法提炼：在空间直角坐标系中，先写出相关点、相关向量的坐标，把几何问题代数化，然后再利用向量的坐标运算解决位置关系与几何度量等问题，其中要关注空间两条直线所成角与对应向量夹角的取值范围是不同的.需要注意的是，有些问题往往需要我们观察几何体的结构特征，找寻三条两两垂直的线段，先建立空间直角坐标系，再应用向量运算解决几何问题.问题3：回顾本节课对于空间向量坐标运算的探究过程，你都学到了什么？答案：1. 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示 （1）空间向量运算的坐标表示空间向量加法减法的坐标运算只需将其相应的坐标相加或相减； 空间向量数乘的坐标运算等于用这个实数λ乘原来向量的相应坐标； 空间向量数量积的坐标运算是其对应坐标乘积的和. （2）空间向量运算坐标表示的应用我们得到了空间向量平行和垂直这两种特殊位置关系的坐标表示同时，我们证明了空间向量长度和夹角的公式，这些公式可以帮助我们解决立体几何中的度量问题2.关注空间向量与立体几何知识间的联系空间向量体系的建立需要立体几何的基本知识，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法解决. 因此，我们说空间向量与立体几何有着天然的联系.空间向量为我们解决立体几何问题提供了新的工具.一般地，利用空间向量解决立体几何问题，有如下的“三步曲”，步骤一：建立恰当的空间直角坐标系，求出相关点、相关向量的坐标；步骤二：进行空间向量的运算，研究空间图形之间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；步骤三：求出答案后，翻译成相应的几何结论，得到相应立体几何问题的解决．课时检测1. (3,2,5),(1,5,1),--a =b =求： （1）+a b ； （2）6a ； （3）ab .2. (2,1,3),(4,2,),x --a =b =且⊥a b .求x 的值.3. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,M 为1BC 的中点, 1E ,1F 分别在棱11A B ,11C D 上,111114B E A B =，111114D F C D =. （1）求AM 的长.（2）求1BE 与1DF 所成角的余弦值.答案：1. （1） ()2,7,4+-a b =；（2）()618,12,30-a =；（3）2a b =；2. 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即－8－2＋3x ＝0，解得x ＝103；3. （1）AM =（2） 1517．。

第1课时空间直角坐标系及点的坐标[核心必知]1．空间直角坐标系(1)右手直角坐标系．在空间直角坐标系中，四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指指向z轴正向，这样的坐标系称右手系．(2)坐标系中相关概念．如图所示的坐标系中，O叫作原点，x，y，z轴统称为坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面．2．空间直角坐标系中点的坐标(1)空间中任一点P的坐标都可用一个三元有序数组(x，y，z)来表示，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标．(2)空间中的点与一个三元有序数组(x，y，z)建立了一一对应的关系．[问题思考]1．画空间直角坐标系时，是否任意两坐标轴都画成夹角为90°？提示：不是．空间直角坐标系中，任意两坐标轴的夹角都是90°，但在画直观图时通常画∠xOy＝135°，使x轴、y轴确定的平面水平，∠yOz＝90°，以表示z轴竖直．2．确定点(x0，y0，z0)的位置的方法有哪些？提示：确定点的位置一般有三种方法：(1)在x轴上找点M1(x0,0,0)，过M1作与x轴垂直的平面α；再在y轴上找点M2(0，y0,0)，过M2作与y轴垂直的平面β；再在z轴上找点M3(0,0，z0)，过M3作垂直于z轴的平面γ，于是α，β，γ交于一点，该点即为所求．(2)确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由z坐标确定点(x0，y0，z0)的位置．(3)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与原点O相对的顶点即为所求的点．讲一讲1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标．[尝试解答]如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O-xyz.∵长方体的棱长AD＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，显然D(0,0,0)，A在x轴上，∴A(3,0,0)；C在y轴上，∴C(0,5,0)；D1在z轴上，∴D1(0,0,4)；B在xOy平面内，∴B(3,5,0)；A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，∴C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，∴B1的横坐标为3，纵坐标为5，∵B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，∴B1的竖坐标为4，∴B1(3,5,4)．1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性．2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影，(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．练一练1．如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 是BB 1的中点，G 是AB 1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E ，F ，G 三点的坐标．解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，E 点在平面xDy 中，且|EA |＝12.∴E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，12，0. ∵B 点和B 1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，1，12. 同理可得G 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，12，12.讲一讲2．求点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴对称的点的坐标．[尝试解答] 如图所示，过A 作AM ⊥xOy 交平面于M ，并延长到C ，使AM ＝CM ，则A 与C 关于坐标平面xOy 对称且C (1,2,1)．过A 作AN ⊥x 轴于N 并延长到点B ，使AN ＝NB .则A 与B 关于x 轴对称且B (1，－2,1)．∴A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点C (1,2,1)．A (1,2，－1)关于x 轴对称的点B (1，－2,1)．点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点： (1)P (x ，y ，z )关于原点对称,P 1(－x ，－y ，－z )； (2)P (x ，y ，z )关于x 轴对称,P 2(x ，－y ，－z )； P (x ，y ，z )――→关于y 轴对称P 3(－x ，y ，－z )； P (x ，y ，z )――→关于z 轴对称P 4(－x ，－y ，z )．记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”． (3)P (x ，y ，z )――→关于坐标平面xOy 对称P 5(x ，y ，－z )；P (x ，y ，z )――→关于坐标平面yOz 对称P 6(－x ，y ，z )； P (x ，y ，z )――→关于坐标平面xOz 对称P 7(x ，－y ，z )．练一练2．设正四棱锥S -P 1P 2P 3P 4的所有棱长均为a ，建立适当的坐标系，求点S 、P 1、P 2、P 3和P 4的直角坐标．解：以底面中心作为坐标原点，棱P 1P 2，P 1P 4分别垂直于Oy 轴和Ox 轴(如图)． 正四棱锥S －P 1P 2P 3P 4如图所示，其中O 为底面正方形的中心，P 1P 2⊥Oy 轴，P 1P 4⊥Ox 轴，SO 在Oz 轴上，∵d (P 1P 2)＝a ，而P 1，P 2，P 3，P 4均在xOy 平面上， ∴P 1⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，P 2⎝⎛⎭⎫－a 2，a2，0. P 3与P 1关于原点O 对称，P 4与P 2关于原点O 对称． ∴P 3⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 2，0，P 4⎝⎛⎭⎫a 2，－a2，0.又∵|SP 1|＝a ，|OP 1|＝22a ， ∴在Rt △SOP 1中，|SO |＝ a 2－a 22＝22a .∴S ⎝⎛⎭⎫0，0，22a .如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[错解] 如图，分别以AB 、AC 、AA 1所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．显然A (0,0,0)，又∵各棱长均为1，且B 、C 、A 1均在坐标轴上， ∴B (1,0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0,1)， B 1，C 1分别在xOz 平面和yOz 平面内， ∴B 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，∴各点坐标为A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)， A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)．[错因] 因为三棱柱各棱长均为1，所以△ABC 为正三角形，即∠BAC ＝60°，即错解中建立的坐标系∠xOy ≠90°.故本题做错的根本原因在于建系时没有抓住空间直角坐标系三个坐标轴两两垂直的本质．建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴．如果没有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴“悬空”．[正解] 取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， ∵三棱柱各棱长均为1， ∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32，∵A ，B ，C 均在坐标轴上， ∴A ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0， 点A 1与C 1在yOz 平面内，∴A 1⎝⎛⎭⎫0，－12，1，C 1⎝⎛⎭⎫0，12，1，点B 1在xOy 面内射影为B ，且BB 1＝1.∴B 1⎝⎛⎭⎫32，0，1， ∴各点的坐标为A ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，C 0，12，0，A 10，－12，1，B 1⎝⎛⎭⎫32，0，1，C 1⎝⎛⎭⎫0，12，1.1．z 轴上点的坐标的特点是( ) A ．竖坐标为0B ．横坐标，纵坐标都是0C ．横坐标为0D ．横，纵，竖坐标不可能都是0解析：选B 点在某坐标轴上时，其他两轴对应的坐标均为零，点在z 轴上，所以其横、纵坐标都是0.2．已知空间直角坐标系中一点A (－3，1，－4)，则点A 关于x 轴对称点的坐标为( ) A ．(－3，－1,4) B ．(－3，－1，－4) C ．(3,1,4) D ．(3，－1，－4)解析：选A 点A 关于x 轴的对称点A ′的y 、z 坐标都变为相反数，x 坐标不变， ∴A ′(－3，－1,4)．3．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．yOz 平面上解析：选C 点的纵坐标为0，∴点在xOz 平面上．4．在空间直角坐标系O -xyz 中，点P (1,2,3)关于xOz 平面的对称点的坐标是________． 解析：求点P 关于xOz 平面的对称点，只要将y 坐标变为原来的相反数，∴对称点的坐标是(1，－2,3)．答案：(1，－2,3)5．已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________． 解析：设其中点为M (x ，y ，z )，由中点坐标公式可知 x ＝3＋52＝4，y ＝2－22＝0，z ＝－4＋22＝－1，故M 的坐标为(4,0，－1)． 答案：(4,0，－1) 6.如图所示，在长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是BB ′，B ′D ′的中点，其中|AB |＝4，|BC |＝3，|DD ′|＝2.求点E ，F 的坐标．解：∵点E 在坐标平面xDy 上的射影为点B (3,4,0)，而点E 的z 坐标为1，∴E (3,4,1)． ∵点F 在坐标平面xDy 上的射影的点的坐标为⎝⎛⎭⎫32，2，0，而点F 的z 坐标为2， ∴F ⎝⎛⎭⎫32，2，2.一、选择题 1．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定可记为(0，b,0)； ②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可记为(0，b ，c )； ③在空间直角坐标系中，在z 轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c )； ④在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c )． 其中正确叙述的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C①错误，②③④正确．2．已知点A(－3,1,4)，则点A关于原点的对称点的坐标为()A．(1，－3，－4) B．(－4,1，－3)C．(3，－1，－4) D．(4，－1,3)解析：选C空间直角坐标系中一点关于原点对称点的坐标特点是：三个坐标都变为它的相反数．∴A(－3,1,4)关于原点对称点的坐标为(3，－1，－4)．3．在空间直角坐标系中P(2,3,4)，Q(－2,3,4)两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对解析：选B∵P，Q两点对应的三个坐标横坐标互为相反数，∴P，Q关于yOz平面对称．4．设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是()A．z轴B．与平面xOy平行的一直线C．平面xOyD．与平面xOy垂直的一直线解析：选D(2,2，z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．5．已知点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为()A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5C．λ＝2，μ＝10，v＝8D．λ＝2，μ＝10，v＝7解析：选D两个点关于x轴对称，那么这两个点的x坐标不变，y坐标与z坐标均互为相反数，故有λ＝2,7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，∴λ＝2，μ＝10，v＝7.二、填空题6．点A(－5,5,6)关于坐标平面yOz对称的点为A1，则点A1关于坐标平面xOy的对称点A2的坐标为________．解析：点A(－5,5,6)关于yOz对称的点A1坐标为(5,5,6)，则点A1关于坐标平面xOy的对称点A2的坐标为(5,5，－6)．答案：(5,5，－6)7．点A (2,4,6)关于y 轴对称的点的坐标为________．解析：关于y 轴对称的点的纵坐标不变，横坐标和竖坐标变成相反数，故A (2,4,6)关于y 轴对称的点的坐标为(－2,4，－6)．答案：(－2,4，－6)8．在空间直角坐标系中，点M (－2，4，－3)在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′关于原点对称的点的坐标是________．解析：点M 在xOz 上的射影为(－2,0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2,0,3)． 答案：(2,0,3) 三、解答题9．如图，棱长为a 的正方体OABC -D ′A ′B ′C ′中，对角线OB ′与BD ′相交于点Q ，顶点O 为坐标原点，OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，试写出点Q 的坐标．解：因为OB ′与BD ′相交于点Q ，所以Q 点在xOy 平面内的投影应为OB 与AC 的交点，所以Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12a ，12a ，z . 同理可知Q 点在xOz 平面内的投影也应为AD ′与OA ′的交点，所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12a ，12a ，12a .10．如右图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E ，F ，G ，H 的坐标．解：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵点E 在z 轴上，且为D 1D 的中点，故点E 坐标为⎝⎛⎭⎫0，0，12. 过F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ， 则|FM |＝|FN |＝12，故点F 坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0； 点G 在y 轴上，又|GD |＝34，故点G 坐标为⎝⎛⎭⎫0，34，0； 过H 作HK ⊥CG 于点K ，由于H 为C 1G 的中点， 故|HK |＝12，|CK |＝18.∴|DK |＝78.故点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，78，12.第2课时 空间两点间的距离公式[核心必知]1．长方体的对角线(1)连接长方体两个顶点A ，C ′的线段AC ′称为长方体的对角线．(如图)(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d＝a2＋b2＋c2.2．空间两点间的距离公式(1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离|OP|＝x20＋y20＋z20.(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.[问题思考]1．空间两点间的距离公式与两点的顺序有关系吗？提示：空间中两点间的距离与两点的顺序无关，两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此，距离公式也可以写成|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2.2．已知点P(x，y，z)，如果r为定值，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？提示：由x2＋y2＋z2为点P到坐标原点的距离，结合x2＋y2＋z2＝r2知点P到原点的距离为定值|r|.因此r≠0时，x2＋y2＋z2＝r2表示以原点为球心，|r|为半径的球面．当r＝0时，x2＋y2＋z2＝0表示原点．讲一讲1.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AD|＝3，|CD|＝4，|DD1|＝2，作DE⊥AC于E，求点B1到点E的距离．[尝试解答]建立如图所示的空间直角坐标系，由题意，得A (3,0,0)，C (0,4,0)，B 1(3,4,2)，设E (x ，y,0)． 在Rt △ADC 中，|AD |＝3，|CD |＝4， |AC |＝5，∴|DE |＝125. 在Rt △ADE 中，|DE |2＝x ·|AD |，∴x ＝144253＝4825.在Rt △CDE 中，|DE |2＝y ·|CD |，∴y ＝144254＝3625.∴E ⎝⎛⎭⎫4825，3625，0. ∴|B 1E |＝ ⎝⎛⎭⎫3－48252＋⎝⎛⎭⎫4－36252＋4＝2935.空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式形式类似，只是根号内增加了一项(z 1－z 2)2，同时，平面内两点间的距离公式可视为空间两点间距离公式的特殊情况，在空间两点间距离公式中令z 1＝z 2＝0，即得平面内两点间距离公式．练一练1．在空间直角坐标系中，已知△ABC 的顶点分别为A (－1,2,3)，B (2，－2,3)，C ⎝⎛⎭⎫12，52，3.判断△ABC 的形状．解：法一：|AB |＝ (－1－2)2＋(2＋2)2＋(3－3)2＝5，|AC |＝ ⎝⎛⎭⎫－1－122＋⎝⎛⎭⎫2－522＋(3－3)2＝102，|BC |＝⎝⎛⎭⎫2－122＋⎝⎛⎭⎫－2－522＋(3－3)2＝3102.所以|BC |2＋|AC |2＝|AB |2＝25，所以△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形．法二：由它们的竖坐标都为3可知，此三点在平行于xOy 平面的一个平面内，故只考虑该平面内的边长情况即可．|AB |＝(－1－2)2＋(2＋2)2＝5. |BC |＝ ⎝⎛⎭⎫2－122＋⎝⎛⎭⎫－2－522＝3102， |AC |＝⎝⎛⎭⎫－1－122＋⎝⎛⎭⎫2－522＝102.所以|BC|2＋|AC|2＝|AB|2，所以△ABC是以C为直角顶点的直角三角形.讲一讲2．在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3,4 ,5)的距离最小，并求出最小值．[尝试解答]∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上，∴设点M的坐标为(a,2a,0)，则|MP|＝(a＋3)2＋(2a－4)2＋52＝5a2－10a＋50＝5(a－1)2＋45.∴当a＝1时，|MP|取最小值35，此时M(1,2 ,0)．∴M坐标为(1,2,0)时，|PM|最小，最小值为3 5.确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标，另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题．无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算．练一练2．在空间直角坐标系中，求到两定点A(2,3,0)，B(5,1,0)距离相等的点的坐标P(x，y，z)满足的条件．解：∵点P的坐标为(x，y，z)，则由题意可得|P A|＝(x－2)2＋(y－3)2＋z2，|PB|＝(x－5)2＋(y－1)2＋z2，∵P A＝PB，∴(x－2)2＋(y－3)2＋z2＝(x－5)2＋(y－1)2＋z2，等式两边同时平方、整理得6x－4y－13＝0，∴P点坐标满足条件为6x－4y－13＝0.如图所示，正方形ABCD 与正方形ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)．求：(1)MN 的长；(2)当a 为何值时，MN 的长最小．[巧思] 建立空间直角坐标系，将MN 的长度转化为空间两点间的距离问题求解． [妙解] (1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，∴BE ⊥平面ABCD .∴AB ，BC ，BE 两两垂直．∴以B 为原点，以BA ，BE ，BC 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则M22a,0,1－22a ，，N 22a ，22a,0. ∴|MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02 ＝a 2－2a ＋1＝ ⎝⎛⎭⎫a －222＋12(0<a <2)．(2)∵|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫a －222＋12， ∴当a ＝22时，|MN |min ＝22.即a ＝22时，MN 的长最小．1．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和点B(2，－1,6)的距离是()A．243B．221C．9 D.86解析：选D由空间两点间的距离公式可得|AB|＝(－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝86.2．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选C|AB|＝(4－1)2＋(2＋2)2＋(3－11)2＝89，|AC|＝(6－1)2＋(－1＋2)2＋(4－11)2＝75，|BC|＝(6－4)2＋(－1－2)2＋(4－3)2＝14，∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形且一定不是等腰三角形．3．设点P在x轴上，它到P1(0，2，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为()A．(1,0,0)B．(－1,0,0)C．(1,0,0)或(0，－1,0)D．(1,0,0)或(－1,0,0)解析：选D∵点P在x轴上，∴设点P的坐标为(x,0,0)，由题意|PP1|＝2|PP2|，∴x－2＋－22＋－2＝2x－2＋－2＋＋2，解得x＝±1.∴所求点为(1,0,0)或(－1,0,0)．4．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|P A|＝|PB|，则点P的坐标为________．解析：∵P在z轴上可设P(0,0，z)，由|P A|＝|PB|，∴(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z)2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z)2，解得z＝3.答案：(0,0,3)5．点A(1，t,0)和点B(1－t,2,1)的距离的最小值为________．解析：|AB|＝t2＋(t－2)2＋1＝2(t－1)2＋3，∴当t ＝1时，|AB |的最小值为 3. 答案： 36．如图，在棱长分别为2,4,3的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，利用空间两点间的距离公式，求对角线AD 1，AB 1和AC 1的长．解：以D 为坐标原点，DA ，DC 和DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则D (0,0,0)，A (2,0,0)，D 1(0,0,3)，B 1(2,4,3)，C 1(0,4,3)， ∴|AD 1|＝22＋32＝13， |AB 1|＝(2－2)2＋42＋32＝5， |AC 1|＝(2－0)2＋(－4)2＋(－3)2＝29.一、选择题1．点B 是点A (1,2,3)在坐标平面上yOz 内的射影，则|OB |等于( ) A.14 B.13 C ．2 3 D.11解析：选B B 点坐标为(0,2,3)，∴|OB |＝13. 2．点P ⎝⎛⎭⎫22，33，66到原点O 的距离是( ) A.306B ．1 C.336 D.356解析：选B |OP | ＝ ⎝⎛⎭⎫22－02＋⎝⎛⎭⎫33－02＋⎝⎛⎭⎫66－02 ＝12＋13＋16＝1.3．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x的值是()A．－3或4 B．6或2C．3或－4 D．6或－2解析：选D由空间两点间的距离公式得(x－2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝26，解得x＝6或x＝－2.4．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则A、B、C三点()A．构成等腰三角形B．构成直角三角形C．构成等腰直角三角形D．不能构成三角形解析：选D由已知得|AB|＝(－1－2)2＋(0－4)2＋(1－3)2＝29，|AC|＝(－1－5)2＋(0－8)2＋(1－5)2＝116＝229，|BC|＝(2－5)2＋(4－8)2＋(3－5)2＝29，∴|AB|＋|BC|＝|AC|，故不能构成三角形．5．在空间直角坐标系中，与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0，5,1)等距离的点的个数为()A．1 B．2C．3 D．无数解析：选D由两点间距离公式可得|AB|＝26，|BC|＝74，|AC|＝26，易知A、B、C三点不共线，故可确定一个平面．在△ABC所在平面内可找到一点到A、B、C距离相等，而过该点与面ABC垂直的直线上的每一点到A、B、C距离均相等．二、填空题6．已知正方体不在同一表面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________．解析：设正方体棱长为a，则a2＋a2＋a2＝|AB|＝42＋(－4)2＋42，所以a＝4，V＝43＝64.答案：647．点A(2，－1,2)到y轴的距离为________．解析：点A在y轴上的投影为(0，－1,0)，∴点A到y轴的距离为22＋(－1＋1)2＋22＝2 2.答案：2 28．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(x，0,1)，则x＝________.解析：由距离公式|AB|＝(2－1)2＋(1－1)2＋(1－2)2＝2；|AC |＝(2－x )2＋(1－0)2＋(1－1)2＝(2－x )2＋1； |BC |＝(1－x )2＋(1－0)2＋(2－1)2＝(1－x )2＋2； ∵∠BAC ＝90°，∴|BC |2＝|AB |2＋|AC |2， ∴(1－x )2＋2＝2＋(2－x )2＋1，解得x ＝2. 答案：2 三、解答题9．已知正三棱锥A -BCD ，高为1，底面正三角形边长为3，建立适当坐标系写出A 、B 、C 、D 四点的坐标，并求侧棱AB 的长度．解：设O 为A 在底面BCD 上的射影，则O 为正三角形BCD 的中心． 如图以OB 所在直线为x 轴， 以OA 所在直线为z 轴，以过O 与CD 平行的直线为y 轴，建立空间直角坐标系， 设CD 中点为E ，由BC ＝3，O 为△BCD 中心可知， |OB |＝23|BE |＝23·32|BC |＝1，|OE |＝12|OB |＝12，∴B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫－12，0，0. 又|CE |＝|ED |＝32， ∴C ⎝⎛⎭⎫－12，32，0，D ⎝⎛⎭⎫－12，－32，0.又∵A 在z 轴上，且|AO |＝1，∴A (0,0,1)．由两点间的距离公式|AB |＝(1－0)2＋(0－0)2＋(0－1)2＝2，∴各点坐标为A (0,0,1)，B (1,0,0)，C ⎝⎛⎭⎫－12，32，0，D ⎝⎛⎭⎫－12，－32，0，侧棱AB 长为 2.10．如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．(1)当点P 为对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ |的最小值； (2)当点Q 为棱CD 的中点，点P 在对角线AB 上运动时，探究|PQ |的最小值． 解：设正方体的棱长为a .(1)当点P 为对角线AB 的中点时，点P 的坐标是(a 2，a 2，a2)．因为点Q 在线段CD 上，设Q (0，a ，z )．|PQ |＝ ⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＋⎝⎛⎭⎫z －a 22 ＝⎝⎛⎭⎫z －a 22＋12a 2. 当z ＝a 2时，|PQ |的最小值为22a ，即点Q 在棱CD 的中点时，|PQ |有最小值22a .(2)因为P 在对角线AB 上运动，Q 是定点，所以当PQ ⊥AB 时，|PQ |最短．因为当点Q 为棱CD 的中点时，|AQ |＝|BQ |，△QAB 是等腰三角形，所以，当P 是AB 的中点时，|PQ |取得最小值22a .1．直线的五种方程解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A 2＋B 2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论．2．距离问题距离包括平面两点间的距离、空间两点间的距离、点到直线的距离和两平行线间的距离． 学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合．3．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其中，圆心是C (a ，b )，半径长是r .特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2.圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a ，b ，r 或D ，E ，F )，而确定这三个参数必须有三个独立的条件．因此，三个独立的条件可以确定一个圆．(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程．4．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断)．(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d ＋r ，最小距离为d －r ，其中d 为圆心到直线的距离．(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形． (3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线．①若切线所过点(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；若点(x 0，y 0)在圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上，则切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.②若切线所过点(x 0，y 0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意．5．常用的直线系和圆系(1)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数，且λ≠C )． (2)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)． (3)过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程是：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ为参数，且λ ≠0)．(4)过直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)与圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)的交点的圆系方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0，λ是待定的系数．6．对称问题对称问题，是高考的热点之一，也是重要的数学思想方法．一般来说，对称问题可分为四个类型：①点关于点的对称；②点关于直线的对称点；③直线关于直线的对称直线；④直线关于点的对称直线．归根结底，都可转化为点关于点的对称．(1)中心对称． ①点的中心对称：若点M (x 1，y 1)关于P (a ，b )的对称点为N (x ，y )，则由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1.②直线的中心对称：主要方法：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由两对称点确定对称直线；或者求出一个对称点再利用对称直线与原直线平行求方程．(2)轴对称． ①点的轴对称：点A (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称点B (x ，y )可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1(AB ≠0)，A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y 02＋C ＝0求得．②直线的轴对称：主要方法：在已知直线上任取两点，利用点的轴对称，求出对称点，再由两点式写出对称直线的方程．特殊情况：①关于x 轴对称，方法⎩⎪⎨⎪⎧x 不变，以－y 代换y ；②关于y 轴对称，方法⎩⎪⎨⎪⎧以－x 代换x ，y 不变；③关于直线y ＝x 对称，方法⎩⎪⎨⎪⎧以y 代换x ，以x 代换y ，即x ，y 对调；④关于直线y ＝－x 对称，方法⎩⎪⎨⎪⎧以－y 代换x ，以－x 代换y ，即x ，y 对调之后加负号．[典例1] 求直线ax ＋3y ＋2＝0(－1≤a ≤1)的倾斜角的取值范围． [解] ∵直线的斜率k ＝－33a ，∴－33≤k ≤33， 当0≤k ≤33时，直线的倾斜角α满足0≤α≤π6. 当－33≤k <0时，直线的倾斜角α满足5π6≤α<π， ∴直线的倾斜角的取值范围是0，π6∪5π6，π.[借题发挥] 求倾斜角的范围，应先求出斜率的范围然后根据倾斜角和斜率的关系及倾斜角的范围即可解出相应的答案．[对点训练]1．点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎦⎤12，1B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎣⎡⎦⎤14，1 D.⎝⎛⎭⎫14，1 解析：选D如图，令k ＝y －2x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和(x ，y )的直线斜率，显然k AD 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈⎝⎛⎭⎫14，1.[典例2] 直线l 过点P (8,6)，且与两条坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程． [解] 法一：直线l 与两条坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，必须且只需直线l 在两条坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，故设直线l 的方程为x a ＋y a ＝1或x a ＋y－a ＝1(a ≠0)，当直线l 的方程为x a ＋ya ＝1时，把P (8,6)代入得8a ＋6a ＝1，解得a ＝14，∴直线l 的方程为x ＋y －14＝0； 当直线l 的方程为x a ＋y－a ＝1时，把P (8,6)代入得8a －6a ＝1，解得a ＝2，∴直线l 的方程为x －y －2＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0. 法二：设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)， 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－bk .∵直线与两条坐标轴围成等腰直角三角形， ∴|b |＝⎪⎪⎪⎪－b k . ∵b ≠0，∴k ＝±1.当k ＝1时，直线l 的方程为y ＝x ＋b ， 把P (8,6)代入得6＝8＋b ，解得b ＝－2， ∴直线l 的方程为y ＝x －2， 即x －y －2＝0；当k ＝－1时，直线l 的方程为y ＝－x ＋b ， 把P (8,6)代入得6＝－8＋b ，解得b ＝14， ∴直线l 的方程为y ＝－x ＋14，即x ＋y －14＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0.[借题发挥] 本题法一和法二分别应用了直线方程的截距式和斜截式来解题，可以看出法一要优于法二，涉及直线与两条坐标轴围成的三角形的面积或周长的与截距有关的问题时，设截距式较简单，但要注意截距式应用的前提是截距存在且不为0.[对点训练]2．一条直线被两条直线l 1：4x ＋y ＋6＝0和l 2：3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线l 的方程．解：法一：当直线的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ，且l 与已知两直线的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝kx 1，y 2＝kx 2，4x 1＋y 1＋6＝0，3x 2－5y 2－6＝0，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－64＋k，x 2＝63－5k .∵O 是P 1P 2的中点， ∴x 1＋x 2＝0， 即63－5k －64＋k＝0，解得k ＝－16.当斜率不存在时，直线l 是y 轴，它和两已知直线的交点分别是(0，－6)和(0，－65)，显然不满足中点是原点的条件．∴所求的方程为y ＝－16x .法二：设过原点的直线l 交已知两直线于P 1，P 2，且O 为P 1，P 2的中点，∴P 1与P 2关于原点对称．若设P 1(x 0，y 0)，则P 2(－x 0，－y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋6＝0， ①－3x 0＋5y 0－6＝0. ② ①＋②得x 0＋6y 0＝0.∴点P 1(x 0，y 0)，P 2(－x 0，－y 0)都满足方程x ＋6y ＝0， ∵过两点的直线有且只有一条，且该直线过原点， ∴所求直线l 的方程即为x ＋6y ＝0.[典例3] 已知直线l 1：x ＋ay －2a －2＝0，l 2：ax ＋y －1－a ＝0. (1)若l 1∥l 2，试求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，试求a 的值．[解] l 1：x ＋ay －2a －2＝0，l 2：ax ＋y －1－a ＝0. (1)由A 1B 2－A 2B 1＝0得a 2－1＝0，解得a ＝±1. 又A 1C 2－A 2C 1≠0，即－1－a －a (－2a －2)≠0,2a 2＋a －1≠0， 解得a ≠－1，且a ≠12.综上所述，a ＝1.(2)由A 1A 2＋B 1B 2＝0得a ＋a ＝0. ∴a ＝0.[借题发挥] 设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. (1)l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2≠B 2C 1； (2)l 1与l 2重合⇔A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2＝B 2C 1； (3)l 1与l 2相交⇔A 1B 2≠A 2B 1； (4)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. [对点训练]3．已知直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 的值为________．解析：由(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0. 即(a －1)(a ＋1)＝0，a ＝±1. 答案：1或－1[典例4] 已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C截得的弦AB 为直径的圆过原点；若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解] 假设存在斜率为1的直线l ，满足题意， 则OA ⊥OB ，设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0， 消去y ，得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0. 所以x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2 ＝12(b 2＋2b －4)，③ 把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1，或b ＝－4， 且b ＝1，或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1，或y ＝x －4.[借题发挥] 本题是一类探索性问题，解答这类题的思路是先假设存在，再运用直线与圆相交时满足的几何性质或代数关系作转化，求出所涉及的参数，最后通过验证来说明其是否存在．[对点训练]4．已知过点M (－3，－3)的直线l 被圆x 2＋y 2＋4y －21＝0所截得的弦长为45，求直线l 的方程．解：将圆的方程写成标准形式，得x 2＋(y ＋2)2＝25，如图，因为直线l 被圆所截得的弦长是45， 所以弦心距为52－(452)2＝5，即圆心到所求直线l 的距离为 5.因为直线l 过点M (－3，－3)，易见，当直线l 与x 轴垂直时不合题意， 所以斜率存在，所以可设所求直线l 的方程为y ＋3＝k (x ＋3)， 即kx －y ＋3k －3＝0.根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3k －3|k 2＋1.因此，|2＋3k －3|k 2＋1＝5，即|3k －1|＝5＋5k 2，两边平方，并整理得到2k 2－3k －2＝0. 解得k ＝－12或k ＝2.所以，所求直线l 有两条，方程分别为y ＋3＝－12(x ＋3)或y ＋3＝2(x ＋3)．即x ＋2y ＋9＝0或2x －y ＋3＝0.[典例5] 以原点为圆心，且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝5 B ．x 2＋y 2＝16 C ．x 2＋y 2＝4 D ．x 2＋y 2＝25[解析] 设圆的半径为r ，圆心O 到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离是d ＝|15|9＋16＝3， 由题意得d 2＋42＝r 2，所以r 2＝32＋42＝25， 所以圆的方程是x 2＋y 2＝25. [答案] D[借题发挥] 圆是一种特殊图形，既是中心对称图形又是轴对称图形，圆心是对称中心，任意一条直径所在直线是对称轴．圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等等．充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．另外，对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路．[对点训练]5．过点P (2,3)向圆x 2＋y 2＝1作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在直线的方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0解析：选B 圆x 2＋y 2＝1的圆心为坐标原点O ，以OP 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝134. 显然这两个圆是相交的，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x －2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝134， 得2x ＋3y －1＝0，这就是弦AB 所在直线的方程．6．求与x 轴切于点(5,0)并在y 轴上截取弦长为10的圆的方程．解：法一：设所求圆的方程为(x －5)2＋(y －b )2＝b 2，并且与y 轴交于A ，B 两点．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧(x －5)2＋(y －b )2＝b 2，x ＝0，得y ＝b ±b 2－25.∵|y B －y A |＝10，∴|b ＋b 2－25－b ＋b 2－25|＝10，b ＝±5 2. ∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ±52)2＝50.法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)． ∵圆与x 轴相切于点(5,0)，∴r ＝|b |，① a ＝5.②∵圆在y 轴上截得的弦长为10，∴a 2＋(102)2＝r 2.③由①②③得a ＝5，r ＝52，b ＝52或b ＝－5 2. ∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋52)2＝50或 (x －5)2＋(y －52)2＝50.[典例6] 求经过直线x ＝－2与已知圆x 2＋y 2＋2x －4y －11＝0的交点的所有圆中，面积最小的圆的方程．[解] 法一：设x ＝－2与圆x 2＋y 2＋2x －4y －11＝0的两交点分别为A ，B ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，x 2＋y 2＋2x －4y －11＝0， 得两交点A (－2,2＋15)，B (－2,2－15)． 从而所求圆的圆心的坐标为(－2,2)， 半径r ＝12·|AB |＝12×|2＋15－(2－15)|＝15.因此，所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝15.法二：设直线x ＝－2与圆x 2＋y 2＋2x －4y －11＝0的交点分别为A ，B ，且横坐标都为－2，从而所求圆的圆心的横坐标为－2.设A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，把直线方程代入圆方程，整理得y 2－4y －11＝0.则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－11. 所以圆心的纵坐标为y 1＋y 22＝2.半径r ＝12|y 2－y 1|＝12·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝1242－4×(－11)＝15.因此，所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝15.[借题发挥] 在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围，其中可应用平面几何知识，找到要求最值的量的几何意义，再应用平面几何知识求出要求的量的最值．[对点训练]7．已知实数x ，y 满足y ＝3－x 2，试求m ＝y ＋1x ＋3及b ＝2x ＋y 的取值范围．解：∵y ＝3－x 2可化为x 2＋y 2＝3(y ≥0)，∴它表示以原点为圆心，3为半径的半圆，如图(1)．而m ＝y ＋1x ＋3可看作半圆上的点与点P (－3，－1)连线的斜率．k PB ＝13＋3＝3－36.设直线y ＋1＝m (x ＋3)与半圆相切，则|3m －1|m 2＋1＝ 3.∴m 1＝3－216(舍去)，m 2＝3＋216.。

教学设计3．1空间直角坐标系的建立3．2空间直角坐标系中点的坐标整体设计教学分析学生已经对立体几何以及平面直角坐标系的相关知识有了较为全面的认识，学习“空间直角坐标系”有了一定的基础．这对于本节内容的学习是很有帮助的．但部分同学仍然会在空间思维与数形结合方面存在困惑．本节课的内容是非常抽象的，试图通过教师的讲解而让学生听懂、记住、会用是徒劳的，必须突出学生的主体地位，通过学生的自主学习与和同学的合作探究，让学生亲手实践，这样学生才能获得感性认识，从而为后续的学习及上升到理性认识奠定基础．通过激发学生学习的求知欲望，使学生主动参与教学实践活动．创设学习情境，营造氛围，精心设计问题，让学生在整个学习过程中经常有自我展示的机会，并有经常性的成功体验，增强学生的学习信心，从学生已有的知识和生活经验出发，让学生经历知识的形成过程．通过阅读教材，并结合空间坐标系模型，模仿例题，解决实际问题．三维目标1．掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何体的有关坐标．2．通过空间直角坐标系的建立，使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法．3．通过本节的学习，培养学生类比、迁移、化归的能力．重点难点教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标．教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标，以及相关应用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.大家先来思考这样一个问题，天上的飞机的速度非常的快，即使是民航飞机速度也非常快，有很多飞机时速都在1 000 km以上，而全世界又这么多飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车、汽车要低得多，原因是，飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度．为此我们学习空间直角坐标系．思路2.我们知道数轴上的任意一点M都可用对应的一个实数x表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应的一对有序实数(x，y)表示．那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x，y，z)表示出来呢？为此我们学习空间直角坐标系．推进新课新知探究提出问题①在初中，我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？②在初中，我们学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？图1③在空间，我们是否可以建立一个坐标系，使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？④观察图1，体会空间直角坐标系该如何建立．图2⑤观察图2，建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？讨论结果：①在初中，我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度．这是数轴的三要素．数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示．②在初中，我们学过平面直角坐标系，平面直角坐标系是以一点为原点O，过原点O 分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy，xOy称平面直角坐标系，平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：互相垂直；原点重合；通常取向右、向上为正方向；单位长度一般取相同的．平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示，括号里横坐标写在纵坐标的前面，它们是一对有序实数(x，y)．③在空间，我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系，即空间直角坐标系，空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来．④观察图1，OABC—D′A′B′C′是单位正方体，我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长度，建立三条数轴Ox，Oy，Oz称为x轴、y 轴和z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz，其中O叫坐标原点，x轴、y轴和z轴叫坐标轴．如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，我们又得到三个坐标平面xOy平面、yOz平面、zOx平面．由此我们知道，确定空间直角坐标系必须有三个要素，即原点、坐标轴方向、单位长度．图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定(如图3)．用右手握住z轴，当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向．我们称这种坐标系为右手直角坐标系．如无特别说明，我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系．图3注意：在平面上画空间直角坐标系O—xyz时，一般使∠xOy＝135°，∠zOy＝90°.即用斜二测画法画立体图，这里显然要注意在y轴和z轴上的都取原来的长度，而在x轴上的长度取原来长度的一半．同学们往往把在x轴上的长度取原来的长度，这就不符合斜二测画法的约定，直观性较差．⑤建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M就可以用坐标来表示了．观察图2，已知M为空间一点．过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P，Q，R，这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x，y，z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x，y，z.这组数x，y，z就叫作点M的坐标，并依次称x，y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标．坐标为x，y和z的点M通常记为M(x，y，z)．反过来，一个有序数组x，y，z，我们在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y 的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P，Q与R分别作x轴，y轴和z轴的垂直平面．这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x，y，z为坐标的点．数x，y，z就叫作点M的坐标，并依次称x，y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标．(如图2所示)坐标为x，y，z的点M通常记为M(x，y，z)．我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x，y，z之间的一一对应关系．注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征．如果点M在yOz平面上，则x＝0；同样，zOx面上的点，y＝0；xOy面上的点，z＝0；如果点M在x轴上，则y＝z＝0；如果点M在y轴上，则x＝z＝0；如果点M在z轴上，则x＝y＝0；如果M是原点，则x＝y＝z＝0.空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定，因此，常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”．事实上，我们的生活空间应该是四度空间，应加上时间变量t，即(x，y，z，t)，它表示在时刻t所处的空间位置是(x，y，z)．应用示例思路1例1 如图4，点P′在x轴正半轴上，|OP′|＝2，P′P在xOz平面上，且垂直于x轴，|P′P|＝1.求点P′和P的坐标．图4解：点P′的坐标为(2,0,0)，点P的坐标为(2,0,1).变式训练已知点P′在x轴正半轴上，|OP′|＝2，PP′在xOz平面上，且垂直于x轴，|PP′|＝1，求点P′和P的坐标．解：显然，P′在x轴上，它的坐标为(2,0,0)．若点P在xOy平面上方，则点P的坐标为(2,0,1)．若点P在xOy平面下方，则点P的坐标为(2,0，－1)．点评：当没有图时，注意点P有两种可能的位置情况，不要漏解.例2 在空间直角坐标系中作出点P(3，－2,4)．活动：在空间直角坐标系中，给定点的坐标，如何确定点的位置呢？已知点P(x，y，z)，可以先确定P′(x，y,0)在xOy平面上的位置．|P′P|＝|z|，如果z ＝0，则点P即点P′；如果z＞0，则点P与z轴的正半轴在xOy平面的同侧；如果z＜0，则点P与z轴的负半轴在xOy平面的同侧．师生讨论后，即可依此方法作出P点．解：先确定P′(3，－2,0)在xOy平面上的位置．因为点P的z坐标为4，则|P′P|＝4，且点P和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就确定了点P在空间直角坐标系中的位置，如图5.图5例3在同一个空间直角坐标系中画出下列各点：A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,2,0)，D(0,2,0)，A′(0,0,1)，B′(3,0,1)，C′(3,2,1)，D′(0,2,1)．解：在空间直角坐标系中，画出以上各点，如图6，它们刚好是一个长方体的六个顶点．图6思路2例1 如图7，长方体OABC—D′A′B′C′中，|OA|＝3，|OC|＝4，|OD′|＝2.写出D′，C，A′，B′四点的坐标．图7活动：学生阅读题目，对照刚学的知识，先思考，再讨论交流，教师适时指导，要写出点的坐标，首先要确定点的位置，再根据各自坐标的含义和特点写出．D′在z轴上，因此它的横、纵坐标都为0；C在y轴上，因此它的横、竖坐标都为0；A′是zOx面上的点，y ＝0；B′不在坐标面上，三个坐标都要求．解：D′在z轴上，而|OD′|＝2，因此它的竖坐标为2，横、纵坐标都为0，因此D′的坐标是(0,0,2)．同理，C的坐标为(0,4,0)．A′是zOx平面上的点，y＝0，A′的横坐标就是|OA|＝3，A′的竖坐标就是|OD′|＝2，所以A′的坐标就是(3,0,2)．点B′在yOx平面上的射影是点B，因此它的横坐标与纵坐标与B点的横坐标与纵坐标相同，在yOx平面上B 点的横坐标为3、纵坐标为4，点B′在z轴上的射影是D′，它的竖坐标与D′的竖坐标相同，点D′的竖坐标为2，所以点B′的坐标是(3,4,2)．点评：能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础，一定掌握如下方法，过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，确定x，y和z，同时掌握一些特殊的点的坐标表示的特征.变式训练有下列叙述，其中正确叙述的个数为( )①在空间直角坐标系中，在Oy 轴上的点的坐标一定可记为(0，b,0)；②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可记为(0，b ，c )；③在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c )；④在空间直角坐标系中，在zOx 平面上的点的坐标一定可记为(a ，b ，c )．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C例2 如图8，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1和D 1B 1的中点，棱长为1，求E ，F 点的坐标．图8解：方法一：从图中可以看出E 点在xOy 平面上的射影为B ，而B 点的坐标为(1,1,0)，E 点的竖坐标为12，所以E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，1，12；F 点在xOy 平面上的射影为G ，而G 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0，F 点的竖坐标为1，所以F 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，1. 方法二：从图中条件可以得到B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)，B (1,1,0)．E 为BB 1的中点，F 为D 1B 1的中点，由中点坐标公式得E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫1＋12，1＋12，1＋02＝⎝⎛⎭⎫1，1，12，F 点的坐标为⎝⎛⎭⎫1＋02，1＋02，1＋12＝⎝⎛⎭⎫12，12，1. 点评：(1)平面上的中点坐标公式可以推广到空间，即设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 的中点P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22；(2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的点的坐标表示的特征.变式训练1．在例2中求B 1(1,1,1)点关于平面xOy 对称的点的坐标．解：设所求的点为B 0(x 0，y 0，z 0)，由于B 为B 0B 1的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝1＋x 02，1＝1＋y 02，0＝1＋z 02.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝1，z 0＝－1.所以B 0(1,1，－1)． 2．在例2中求B 1(1,1,1)点关于z 轴对称的点的坐标．解：设所求的点为P (x 0，y 0，z 0)，由于D 1为PB 1的中点，因为D 1(0,0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋x 02，0＝1＋y 02，1＝1＋z 02.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－1，z 0＝1.所以P (－1，－1,1). 3.在例2中求B 1(1,1,1)点关于原点D 对称的点的坐标． 解：设所求的点为M (x 0，y 0，z 0)，由于D 为MB 1的中点，因为D (0,0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝1＋x 02，0＝1＋y 02，0＝1＋z 02.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－1，y 0＝－1，z 0＝－1.所以M (－1，－1，－1).知能训练课本本节练习第1,2,3题．拓展提升在空间直角坐标系中的点P (x ，y ，z )关于①坐标原点；②横轴(x 轴)；③纵轴(y 轴)；④竖轴(z 轴)；⑤xOy 坐标平面；⑥yOz 坐标平面；⑦zOx 坐标平面的对称点的坐标是什么？解：根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知：点P (x ，y ，z )关于坐标原点的对称点为P 1(－x ，－y ，－z )；点P (x ，y ，z )关于横轴(x 轴)的对称点为P 2(x ，－y ，－z )；点P (x ，y ，z )关于纵轴(y 轴)的对称点为P 3(－x ，y ，－z )；点P (x ，y ，z )关于竖轴(z 轴)的对称点为P 4(－x ，－y ，z )；点P (x ，y ，z )关于xOy 坐标平面的对称点为P 5(x ，y ，－z )；点P (x ，y ，z )关于yOz 坐标平面的对称点为P 6(－x ，y ，z )；点P (x ，y ，z )关于zOx 坐标平面的对称点为P 7(x ，－y ，z )．点评：其中记忆的方法为：关于谁谁不变，其余的相反．如关于横轴(x 轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标相反.变式训练在空间直角坐标系中的点P (a ，b ，c )，有下列叙述：①点P (a ，b ，c )关于横轴(x 轴)的对称点是P 1(a ，－b ，c )；②点P (a ，b ，c )关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(a ，－b ，－c )；③点P (a ，b ，c )关于纵轴(y 轴)的对称点是P 3(a ，－b ，c )；④点P (a ，b ，c )关于坐标原点的对称点为P 4(－a ，－b ，－c )．其中正确叙述的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0分析：①②③错，④对．答案：C课堂小结1．空间直角坐标系的建立．2．空间直角坐标系中点的坐标的确定．3．空间直角坐标系中点的位置的确定．4．中点公式：P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则P 1P 2中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.5．空间直角坐标系中点的对称点的坐标． 作业习题2－3 A 组第1,2,3题．设计感想通过复习相关内容，为新课的引入和讲解做好铺垫．设置问题，创设情境，引导学生用类比的方法探索新知．由于学生的空间观念还比较薄弱，教学中宜多采用教具演示，尽量使学生能够形象直观地掌握知识内容．本课时可自制空间直角坐标系模型演示，帮助学生理解空间直角坐标系的概念．如果学生先前的学习不是主动的、不是入脑的，那么老师的血汗与成绩就不成比例，更谈不上学生的创新意识．鉴于此，在教学中积极挖掘教学资源，努力创设出一定的教学情境，设计例题思路，与高考联系，吸引学生，引起学生学习的意向，即激发学生的学习动机，达到学生“想学”的目的．为能增强学生学习的目的性，在教学中指明学生所要达到的目标和所学的内容，即让学生知道学到什么程度以及学什么．同时调整教学语言，使之简明、清楚、易听明白，注重一些技巧，如重复、深入浅出、抑扬顿挫等．备课资料备用习题1．在空间过点M (1,2，－3)作z 轴的垂线，交z 轴于点N ，则垂足N 的坐标为…( )A ．(1,0,0)B ．(0,2,0)C ．(0,0,3)D ．(0,0，－3)分析：由于z 轴上的点横坐标、纵坐标都为0，且竖坐标不变仍为－3，所以垂足N 的坐标为(0,0，－3)．答案：D2．点P(a，b，c)到坐标平面zOx的距离为()A.a2＋c2B．|a| C．|b| D．|c|分析：由空间点的坐标的意义我们就可以知道，|b|就是点P(a，b，c)到坐标平面zOx 的距离，故正确答案为C.答案：C点评：这里要注意，求P(a，b，c)到zOx坐标平面的距离，所得结果应该是一正值，这里不能将答案误认为是b，而应是|b|.(设计者：高建勇)。

3. 1空间直角坐标系的建立3. 2空间直角坐标系中点的坐标（教师用卩独具）•三维目标 1. 知识与技能掌握空间直角坐标系的有关概念，会写一些简单几何体的有关点坐标. 2. 过程与方法通过设置具体情境，感受建立空间直角朋标系的必要性，通过空间直角坐标系的建立, 使学牛初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思路.3. 情感、态度与价值观通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、空间想象能力. •重点难点重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标.难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标.介绍空间直角处标系时，可以从平面直角处标系开始，使学生感受到只要在平面直角坐 标系的基础上再增加一根竖轴（z 轴），就成了空间直角坐标系.•教学建议本节课的授课内容是空间直角处标系及其建立、空间直角处标系的中点处标.教学时教 师要充分抓住学生的原有认知基础，紧紧扣住二维平面宜角坐标系的推广，引导学生将空间 立体儿何借助于建立空间处标系來代数化.教学吋提供多个现实情境，让学纶来分析、思考、 解决，进而让学生感受建立空I'可直角坐标系的必耍性，内容由浅入深、环环相扣，体现了知 识的发生、发展的过程，能够很好的诱导学生积极地参与到知识的探究过程中.对于空间处 标系建立的教学，紧紧地抓住了学生已有的立体几何知识，也可为水到渠成，口然流畅.而 中点公式的教学则乂一•次的利用了平而到空间的类比推广.教学时注重学生参与与学法指 导，真正体现以学生为主.•教学流程创设问题情境，提出问题。

引导学生回答问题，理解空间直角坐标系的冇关概念=＞通过 例1及变式训练，使学牛掌握根据点的坐标确定点的位置。

通过例2及互动探究，使学牛掌 握已知点的位置写H 淇坐标3通过例3及变式训练,使学生掌握空间小点的对称问题。

归纳 整理，进行课堂小结，整体认识所学知识二完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、 娇正碟谕fl k 导学 理數材包爰自测a “基锚"：［殳丫空间直角朋标系敘歩教法分析明课标分条解读现“敎法教学助 教区♦敖歩方案设计損方略滾41细解用”敎*•”（教师用书独具）教案设 计区*空间直角坐标系【问题导思】只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？再给出高度，能确定飞机的位査吗？在空间为了确定空间任意点的位置，需要儿个实数呢？【提示】不能，能，3个.1.空间直角坐标系的建立(1)空间直角朋标系建立的流程图：平面直角坐标系I通过原点0,再增加一条与xOy平面垂血的z轴空间直角坐标系(2)空间直角处标系的建系原则——右手螺旋法则：①伸出心手，让四指与大拇指垂直.②四指先指向x轴正方向.③让四指沿握拳方向旋转90。