三角形三边关系导学案

11.1.1 三角形的边【预习目标】通过具体实例，进一步理解三角形的概念及基本要素，学会三角形的表示方法，掌握三角形三边之间的关系。

【重难点】了解三角形的定义及三角形的三边关系。

【预习形成】 知识1：三角形 1.三角形的定义：2.图1中的三角形记作： 读作：3.三角形的相关概念及表示（图1）（1）顶点：三角形两边的公共点称为三角形的顶点；ABC ∆的顶点是 ， ， 。

（2）边：组成三角形的三条线段称为三角形的边；ABC ∆的三条边为 ， ， 。

（3）内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角；ABC ∆的三个内角为 ， ， 。

注：（1）三角形的表示方法中“∆”代表“三角形”，后边的字母为三角形的三个顶点，字母的顺序能够自由安排，即CBA CAB BCA BAC ACB ABC ∆∆∆∆∆∆,,,,,为同一个三角形形。

（2）角的两边为射线，三角形的三条边为线段。

（3）因为在三角形内一个角对着一条边，那么这条边就叫这个角的对边，同理，这个角也叫做这个边的对角。

如图1中，A ∠的对边是BC （经常也用a 表示），B ∠的对边是AC （经常也用b 表示），C ∠的对边为AB （经常也用c 表示）；AB 的对角为C ∠，AC 的对角为B ∠，BC 的对角为A ∠。

知识点2：三角形的分类图1ABC三角形分类有两种方法：（1）按角分类；（2）按边分类 （1）按角分类（2）按边分类知识3：三角形的三边关系（图2） （1）三角形的三边关系定理：符号表示： 理论根据：（2）推论：因为a b c +>，根据不等式的性质，得c b a -<，即三角形两边之差小于第三边。

（3）利用三角形三边关系，能够确定在已知两边的三角形中，第三边的取值范围，以及判断任意三条线段能否构成三角形。

注：三角形两边之和大于第三边指的是三角形任意两边之和大于第三边，即a b c +>，b c a +>，c a b +>三个不等式同时成立。

课堂教学导学案年级：八学科：数学课题勾股定理直角三角形三边的关系课型新授课时学习目标1.掌握勾股定理，会用勾股定理进行简单的计算；2.会用勾股定理解决简单的问题.重点掌握勾股定理，会用勾股定理进行简单的计算难点会用勾股定理解决简单的问题教学过程创设情境目标导航某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?设问导读自学检测1.如果一个正方形的边长是a，那么它的面积是 .2.如果一个直角三角形的两直角边分别为a，b，那么它的面积是 .3.如图是用正方形瓷砖铺成的地面.（1）正方形P的面积为（用AC表示）；（2）正方形Q的面积为（用BC表示）；（3）正方形R的面积为（用AB表示）；（4）正方形P、Q、R的面积关系，写出AC、BC、AB之间的关系为 .思考：在上述图中随便找一个直角三角形，画出上图，它的三边都存在（4）中的关系吗？交流展示精讲点拨探究点1：勾股定理的初步认识操作作图：（1）画∠A=90°；（2）在两边上以A为一个端点，分别截取长为3 cm、4 cm的线段a、b，连接两线段的另一端点，使其组成三角形，连线的长度为c.问题1 量一量c的长度，分别计算a2、b2、c2的值，你发现了什么？问题2 改变a、b的长度，分别计算a2、b2、c2的值，你发现了什么？【要点归纳】对任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么一定有，这种关系我们称为，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 .例1如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90，（1）若5,12,a b则c===；（2）若10,8,c b a则===；（3）若25,24,c a b===则；（4）若35a:=:c,2b=，a=则，c=．【方法总结】由勾股定理的基本关系式a2+b2=c2，还可以得到一些变形式．如：222222,a cb bc a c a b=-=-=+,等.【针对训练】若直角三角形的两直角边边长分别为8、15，则第三边长为．【变式题】已知直角边→未知直角边若直角三角形的两边长分别为8、15，则第三边长的平方为．探究点2：利用勾股定理求面积例2求下列图中正方形的边长x、y的值：【针对训练】如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，试探索这三个等腰直角三角形的面积之间的关系．【方法总结】由等腰直角三角形的性质可得：S△ABE ＝AB2，S△BCF＝BC2，S△ACH＝AC2，由AC2+BC2＝AB2，即可得出结论．同样的以三边长为直径的三个半圆的面积，也存在一定关系．1.下列说法中,正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c22.如图，图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________cm2.第2题图第3题图3.如图，直线同侧有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和12，则b的面积为 .4.如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10．（1）求高AD的长；（2）求△ABC的面积．。

新华师大版七年级数学下册第九章《三角形的三边关系》导学案一、学习目标1.通过作三角形(已知三条线段)的过程中，发现“三角形任何两边之和大于第三边”．并会利用这个不等量关系判断不知的三条线段能否组成三角形以及已知三角形的二边会求第三边的取值范围。

2．会利用三角形的稳定性解决一些实际问题二、学习方法;1.在连结两点的所有线中最短实践1．准备好的四根木棍(2cm，3cm，5cm，6cm各一根)，请你用其中的三根，首尾连接，摆成三角形，是不是任意三根都能摆出三角形?若不是，哪些可以，哪些不可以?你从中发现了什么?从4根中取出3根有以下几种情况：(1)2cm，5cm，6cm (2)3cm，5cm，6cm (3)2cm，3cm，5cm (4)2cm，3cm，6cm这就是说：三角形的任何两边的和第三边。

反之三角形的两边之差第三边2．三角形的稳定性。

三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了。

三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

四边形就不具有这个性质。

你能举出三角形的稳定牲在生产、生活中应用的例子吗?三 、 同步练习1下列每组数分别表示三根木棒的长度（单位：cm ），•将它们首尾相接后能摆成三角形的是（ ）A ．1，2，3B ．5，7，12C ．6，6，13D ．6，8，10 2 .以长3cm 、5cm 、7cm 、10cm 的四条线段中的三条线段为边, 可以构成三角形的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个3、以10厘米为腰的等腰三角形，底边的长的取值范围是4、以10厘米为底的等腰三角形，腰长的取值范围是 .5、已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长X 的取值范围 。

若X 是奇数，则X 的值是 ，这样的三角形有 个。

若X 是偶数，则X 的值是 ，这样的三角形又有 个。

6.一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长是整数，•这样的三角形的周长最小值是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．177 、为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是 。

《三角形三条边长度关系》导学案班级：姓名：设计人：王钰娜教学目标：通过直观操作活动和计算观察，让学生探索并发现三角形任意两边长度的和大于第三边。

引导学生参与探究和发现活动，经历操作、发现、验证的探究过程，培养学生自主探究、合作交流的能力。

一、诱思导学1.举例：生活中哪些物体的面是三角形的？2.复习三角形的各部分名称。

提问：我们已经初步认识了三角形，关于三角形你已经知道了什么？引导学生回忆三角形的特点：有（）条边、（）个角、（）个顶点、（）条高……二、质疑研学1.课件出示教材第77页例题3：任意选三根小棒，能围成一个三角形吗？2.操作交流。

（1）从自己准备的四根小棒中选出三根小棒来围一围，看看能不能围成三角形。

（2）小组交流。

将各自的操作情况在四人小组内进行交流。

（3）全班交流：你选择的是哪三根小棒，是否能围成一个三角形？①选择8cm、5cm、4cm三根小棒，能吗？②选择5cm、4cm、2cm三根小棒，能吗？③选择8cm、4cm、2cm三根小棒，能吗？④选择8cm、5cm、2cm三根小棒，能吗？追问：第③种情况和第④种情况为什么不能围成三角形？小结：因为4cm+2cm<8cm,5cm+2cm<8cm，所以不能围成三角形。

3.探索规律。

师：我们已经知道了当两根小棒长度相加比第三根小棒短时，不能围成三角形。

那能围成三角形的三根小棒的长度又有什么特点呢？（1）从围成三角形的三根小棒中任意选出两根，将它们的长度和与第三根比较，结果怎样？小结：任意两根小棒长度的和一定（）第三根小棒。

4.验证规律。

提问：三角形任意两边长度的和一定大于第三边吗？（1）画一画：用三角尺画一个三角形。

（2）量一量：量出三角形的各边长度。

（单位：毫米）（3）算一算：算出任意两边之和与第三边长度的关系。

（4）总结规律。

提问：通过验证，你发现三角形三边的长度有哪些关系？师生共同总结得出：三角形任意两边长度的和（）第三边。

追问：对于“任意两边”这四个字，你是怎么理解的？5.议一议：如果三根小棒的长度分别是8厘米、5厘米和3厘米，能围成三角形吗？为什么？三、达标评学:1、三角形两边之和（）第三边，两边之差（）第三边。

第十一章 三角形—— 11.1与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边课题：11.1．1 三角形的边学习重点：1.知道三角形的定义，会按边角关系对三角形进行分类；2.三角形的三边关系；用三边关系判断三条线段能否组成三角形．学习难点：定理的应用及分类思想渗透学习过程：（一）复习：1. 线段的表示方法？线段公理：_________________________________．2. 假设一只小虫从点B 出发，沿三角形的边爬到点C ，有 路线，路线 最近，依据是： ．（二）新课1.三角形的有关定义 bac C BA（1） 的图形叫三角形（2）如图线段AB ，BC ，CA 是三角形的 ，点A ，B ，C 是三角形的 ，∠ A 、∠ B 、 ∠ C 是 ，叫做 ，简称（3）表示： 顶点是 的三角形，记作2. 三角形的分类（1）三角形按角可分为： 三角形 （2）三角形按边可分为 三角形讨论：三角形分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形三类，对吗？3. 三角形三边关系定理bac C BA在 ABC 中，AC+BC AB AB+BC AC AB+AC BCBC AB －AC BC AC －AB三角形三边关系定理:_______________________________________________________． 练习：下列下列长度的三条线段能否构成三角形，为什么？(1) 3、4、8 (2) 5、6、11 (3) 5、6、10 （三）典型例题例1 一个等腰三角形的周长为28cm.① 已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；② 已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.例2 长度为1cm 、2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的五条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个例3 （1）若三角形的三边长分别为2，5，x ﹣1，则x 的取值范围是 ．（2）若三角形的三边长分别为2，5﹣x ，x ﹣1，则x 的取值范围是 ．例4 已知a ，b ，c 是一个三角形的三条边长，化简：|a ﹣b ﹣c|+|b ﹣a ﹣c|﹣|c ﹣a+b|．（四）课内练习1．三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是整数，而且是奇数，则第三边的长是（）A． 6 B．7 C．8 D．92．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A． 1种B．2种C．3种D．4种3．若三角形的三边长分别为3，4，x﹣1，则x的取值范围是．4．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|．5．已知，在△ABC中，AB=8，且BC=2a+2，AC=22，（1）求a的取值范围；（2）若△ABC为等腰三角形，求这个三角形的周长．6．在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示，问：（1）4根火柴能搭成三角形吗？（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．（五）课外巩固1．下列说法正确的是（1）等边三角形是等腰三角形（2）三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形（3）三角形的两边之差大于第三边（4）三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形其中正确的是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．一个不等边三角形有两边分别是3、5另一边可能是（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，则这个三角形的周长是_________．4．已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边c的取值范围是_____________．5．如果三角形的三边分别是3cm，（1﹣2a）cm，8cm，那么a的取值范围是．6．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足+（b﹣4）2=0，则第三边c的取值范围是．7．已知三角形的两边长分别为3、5，且周长为整数，则这样的三角形共有个．8．若a、b、c为三角形的三边，试化简|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|c﹣b﹣a|．9．用一条长为36cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一个边长为8的等腰三角形吗？如果不能围成，说明理由；如果可以围成，求围成的三角形的三边．10．把一条长为18米的细绳围成一个三角形，其中两段长分别为x米和4米．（1）求x的取值范围；（2）若围成的三角形是等腰三角形时，求x的值．11.1.2 三角形的高、中线与角平分线课题：11.1．2三角形的高、中线与角平分线学习重点：了解三角形的高、中线、角平分线的概念，会画三角形的高、中线、角平分线． 学习难点：三角形的高学习过程：（一）复习：1. 你还记得 “过直线外一点画已知直线的垂线”怎么画吗?（二）新课1.三角形的高（1）定义：从三角形的一个 向它的 所在的直线作 ， 和之间的线段，叫做三角形的高（2）几何语言（图1） AD 是△ABC 的高∴AD ⊥BC 于点D （或∠ =∠ =90º）逆向： AD ⊥BC 于点D （或∠ =∠ =90º） ∴AD 是△ABC 中BC 边上的高（3）请画出下列三角形的三条高A A AB C B C B C2.三角形的中线（1）定义：连结三角形一个 和它对边 的线段，叫做三角形的中线。

1 《14.1直角三角形三边关系》导学案班级 组名 姓名 日期学习目标：1、掌握勾股定理的内容.2、会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.一、课前导习1、计算：132-122= =+2286 =229-152、在R t △ABC 中，∠C=900,AC=3，BC=4，则△ABC 面积S △ABC = 。

3、如图用腰长为1的四个等腰直角三角形拼成如图所示的正方形，则正方形的面积是 ；正方形边长是 .4、 如图小方格都是边长为1的正方形，求四边形ＡＢＣD 的面积是 。

（你有几种方法计算）二、自学·探究自学提纲：自学课本48—51页，完成下列问题探究一:请观察书第48页图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，如果每一小方格表示1cm 2，那么可以得到： =p s cm 2，=Q s cm 2,=R S cm 2我们发现，正方形P 、 Q 、 R 的面积之间的关系是 ．由正方形我们得出等腰直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系为：这说明，在等腰直角三角形中，三边数量关系（文字表示）是 探究二:请观察书第49页图14.1.2，如果每一小方格表示1 cm 2，那么可以得到： =p s cm 2，=Q s cm 2,=R S cm 2（你是怎样得到正方形R 的面积的？与你的小组同学交流）我们发现，正方形P 、 Q 、 R 的面积之间的关系是 ．由此，我们得出一般直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系 ．这说明，在一般直角三角形中，三边数量关系（文字表示）是 归纳：勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么。

几何语言：∵ （已知）∴ （勾股定理）变一变：22b a c +==b =aa b c2 三、尝试练习（一）初步尝试，体验勾股定理求下列直角三角形中未知边的长:x=x= x= （二）二次尝试，解决生活问题（请仿照例题1完成）如图，大风将一根木制旗杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。

1 认识三角形教学案（2）【学习目标】1进一步理解等腰三角形的概念，并能够利用等腰三角形的性质解决实际问题。

2. 三角形任意两边之和大于第三边的性质。

【温故互查】（二人小组完成）1.三角形按角可分为： 三角形、 三角形、 三角形。

2.三角形按边可分为： 三角形、 三角形、 三角形。

【设问导读 】 阅读教材，完成下列问题：1. 等腰三角形的相关概念。

(1)等腰三角形， 有相等的三角形。

(2)等边三角形， 都相等的三角形，也叫 。

(3) 等腰直角三角形，两条直角边 的直角三角形。

(4)在等腰三角形中，相等的两边称为 ，第三边称为 。

两腰的夹角称为 ，腰和底边的夹角称为 。

2.三角形的三边关系。

(1)三角形的任意两边之和 第三边。

(2) 三角形的任意两边之差 第三边。

【自学检测】1.下列长度的三条线段，不能构成三角形的是，（ ）A . 3 ,8, 4B .4,9,6C .15,20,8D .9,15,82. 在等腰三角形中，腰长为5，底边长为4，则此三角形的周长为（ ）A .9B .13C .14D .173、已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为( )A.9B.12C.15D.12或15【典例解析】1、等腰三角形一边长为5cm,它比另一边短6 cm ，求三角形的周长。

分析：（1）你能确定5cm 的边是腰还是底吗？（2）当5cm 的边为腰时，则底边长为 cm ，因为 ，所以 三角形。

（3）当5cm 的边为底边时，此时腰长为 cm ，又因为 ，故能构成三角形，所以三角形的周长为 cm 。

2、P 是△ABC 内一点,说明PA+PB+PC>21(AB+BC+AC).P CA【巩固训练】1、若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为_______; 若等腰三角形的两边长分别是3和4,则它的周长为_____.2、△ABC中，如果AB=8cm，BC=5cm，那么AC的取值范围是________________.3、等腰三角形的一边长为3cm,周长为19cm,则该三角形的腰长为( )cm.A、3B、8C、3或8D、以上答案均不对4.若三角形两边长分别为6cm,2cm,第三边长为偶数，则第三边长为( )A、2cmB、4cmC、6cmD、8cm5、一个等腰三角形，周长为20cm，一边长6cm，求其他两长。

第五单元三角形导学案单元教学总述单元内容导引本单元的主要内容有三角形的特性、三角形的分类、三角形的内角和及多边形的内角和。

三角形是图形与几何领域中“平面图形”中的重要内容，也是本册教材的重点和难点之一。

学生已经认识了长方形、正方形、平行四边形、三角形和圆5种平面图形，并能够在众多的平面图形中辨认出三角形。

本单元在此基础上进行学习，引导学生从直观层面把握三角形向关系层面把握三角形，为以后学习三角形的其他知识奠定基础，同时也为后续学习其他平面图形做好铺垫。

单元学习目标1. 经历动手操作、实验探究等活动，认识三角形的特性，知道三角形任意两边的和大于第三边，能正确画出三角形的高。

2.知道三角形的内角和是180°，并能用三角形内角和的知识解决简单的实际问题。

3.认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形，知道这些三角形的特征并能够辨别。

4.知道四边形内角和是360°，进一步明确三角形与多边形的联系和区别。

单元重难剖析重点：1.掌握三角形的特性，知道三角形任意两边的和大于第三边以及三角形的内角和是180°。

2.认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形，并能根据特征正确辨别各类三角形。

难点：1.能正确画出三角形的高。

2.能应用三角形三边的关系和三角形内角和是180°解决实际问题。

单元结构导图课时教学设计课时1 三角形的特性教学设计表学科：数学年级：四年级册次：下学校：教师：课题三角形的特性（P60例1、P61例2）课型新授课计划学时 1教学内容分析例1是有关三角形定义的教学，教材让学生在“画三角形”的操作活动中进一步感知三角形的特征，认承前启后认识平面图形→三角形的特性→三角形的其他知识识三角形的底和高；例2利用学具进行实验，让学生了解三角形的稳定性。

教学目标1．认识三角形，知道三角形的特性及三角形的高和底的意义，会在三角形内画高。

等腰三角形中的三边关系学习目标：（1）分类讨论等腰三角形的三边关系（2）注意方法的总结一、已知等腰三角形的两边，求周长
方法总结：1、２、
练习1：等腰三角形的两边长分别为４和10，求三角形的周长
练习2：等腰三角形的两边长分别为６和８，求三角形的周长
二、已知等腰三角形的周长及一边长，求其它边长
方法总结：1、２、
练习３：已知等腰三角形的周长是20，一边长是4，求三角形的三边长练习４：已知等腰三角形的周长是20，一边长是８，求三角形的三边长
三、已知等腰三角形的底，求腰的取值范围
规律总结：
练习５：已知等腰三角形的底为5，求腰的取值范围
四、已知等腰三角形的腰，求底的取值范围
规律总结：
练习６：已知等腰三角形的腰为７，求底的取值范围。