数学实验报告——科赫分形雪花

科赫曲线-雪花曲线
科赫曲线
科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线，它是分形曲线中的一种，具体画法如下：
1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；
2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；
3、重复上述两步，画出更小的三角形。

4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。

和皮亚诺类似：
1、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的
2、总长度趋向无穷大
3、曲线上任意两点距离无穷大
4、面积是有限的
5、产生一个匪夷所思的悖论：无穷大的边界，包围着有限的面积。

（保守派数学大师们晕倒撞墙去吧）
Kohn曲线是比较典型的分形图形，它具有严格的自相似特性。

Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。

在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。

而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim Area(K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。

Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。

这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。

在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。

设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。

显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。

算法如下： （1）Q1P1+P P Q P1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）T Q2Q1+Q3-Q A ←⨯（1）; （3）P5P2P2Q 1P3Q P Q3←←←←；；2；4。

在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。

在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为： cos()sin()33A=sin()cos()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。

实验报告实验名称：科赫雪花实验目的：（1）介绍同一初始条件根据不同目的实现不同迭代的方式（2）介绍在迭代中怎样利用自定义工具，进一步提高迭代技巧操作步骤：（1）新建文件夹，画两点A、B（2）把点A标记为缩放中心，以1:3的缩放比缩放点B，得到点B’（3）把点B标记为缩放中心，以1:3的缩放比缩放点A，得到点A’（4）以B’为中心，把点A’旋转60度得到点A’’（5）画线段AB’、B’A’’、A’’A’、A’B（6）把点B’、A’’、A’的标签分别改为C、D、E（如图所示）（7）新建参数n=3（8）先后选中点A、B，参数n=3，按住Shift键，选择“变换”→“深度迭代”命令，显示迭代对话框后，单击点A、C；按Ctrl+A组合键，单击点C、D；按Ctrl+A组合键，单击点E、B。

单击“显示”按钮，选择“最终迭代”选项，最后单击“迭代”按钮得到下图（9）使“画线段”工具处于选中状态，按Ctrl+A组合键，选中所有线段。

在按Ctrl+H组合键，隐藏选中的线段（10）选中点C、D、E，按Ctrl+P组合键，填充三角形CDE（11）先后选中A、B以及参数参数n=3，按住Shift键，选择“变换”→“深度迭代”命令，显示“迭代”对话框后单击A、C；按Ctrl+A组合键，单击点C、D；按Ctrl+A组合键，单击点D、E;按Ctrl+A组合键，单击点E、B。

单击“显示”按钮，选择“完整迭代”选项，最后单击“迭代”按钮，得到图示图形（12）选中点C、D、E，按Ctrl+H组合键，隐藏它们（13）选中图形的所有部分，最后选中参数n=3，单击“自定义”工具，单击“创建新工具”，显示“新工具”对话框，输入工具名Koch，单击“确定”按钮，制作工具（14）单击“自定义”工具按钮，单击“显示脚本视图”，如图从“Koch的脚本”对话框中可见，使用这个工具的前提条件是两个点以及一个数值（15）以B为中心，把点A旋转60度得到点A’（16）选中点A、B、A’，按住Ctrl+P组合键填充三角形ABA’（17）选中“自定义”工具Koch，单击点B、A’，最后单击n=3（18）同（17）步，在点A’、A上使用Koch这个“自定义”工具，得到图所示的图形。

科赫曲线
简介
科赫曲线(Koch curve )是一种像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线。

1904年瑞典数学家科赫第一次描述了这种不论由直段还是由曲段组成的始终保持连通的线，因此将这种曲线成为科赫曲线。

定义
设想一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形。

现在取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷。

外界的变得原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花。

画法
1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；
2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；
3、重复上述两步，画出更小的三角形。

4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。

特性
1、它是一条连续的回线，永远不会自我相交。

2、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的。

3、曲线是无限长的，即在有限空间里的无限长度。

4、曲线上任意两点距离无穷大。

5、每次变化面积都会增加，但是总面积是有限的，不会超过初始三角形的外接圆。

思考
科赫曲线中产生一个匪夷所思的悖论："无穷大"的边界，包围着有限的面积。

这让保守派数学大师们都很难相信。

科赫曲线是比较典型的分形图形，它具有严格的自相似特性。

提问:在有限面积里面,无穷的去选择无穷小的点来组成的"封闭"曲线.会包围着无穷大的面积吗?。

数学实验报告试验二迭代与分形练习一实验目的与要求对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。

编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。

实验过程具体的代码如下：function plotkoch(r,k) %显示等边三角形迭代k次后的曲线图 r代表边长默认（0 0）为起点p=[(r/2) r*sin(pi/3);r 0]; %存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标代表边1n=1; %存放线段的数量，初始值为1A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %用于计算新的结点for s=1:k %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标j=0; %%以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的三个%结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到r中for i=1:n %每条边计算一次q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标d=(q2-q1)/3; %j=j+1;b(j,:)=q1; %原起点存入rj=j+1;b(j,:)=q1+d; %新1点存入rj=j+1;b(j,:)=q1+d+d*A'; %新2点存入rj=j+1;b(j,:)=q1+2*d; %新3点存入rend %原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入rn=4*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r中p=[b;q2]; %重新装载本次迭代后的全部结点endplot(p(:,1),p(:,2)) %显示各结点的连线图hold on; %保存图像axis equal %各坐标轴同比例p=[0 0;r 0]; %存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标代表边2n=1; %存放线段的数量，初始值为1A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %用于计算新的结点for s=1:k %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标j=0; %%以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的三个%结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到r中for i=1:n %每条边计算一次q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标d=(q2-q1)/3; %j=j+1;z(j,:)=q1; %原起点存入rj=j+1;z(j,:)=q1+d; %新1点存入rj=j+1;z(j,:)=q1+d+d*A; %新2点存入rj=j+1;z(j,:)=q1+2*d; %新3点存入rend %原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入rn=4*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r中p=[z;q2]; %重新装载本次迭代后的全部结点endplot(p(:,1),p(:,2)) %显示各结点的连线图hold on; %保存图像axis equal %各坐标轴同比例p=[0 0;(r/2) r*sin(pi/3)]; %存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标代表边3n=1; %存放线段的数量，初始值为1A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %用于计算新的结点for s=1:k %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标j=0; %%以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的三个%结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到r中for i=1:n %每条边计算一次q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标d=(q2-q1)/3; %j=j+1;a(j,:)=q1; %原起点存入rj=j+1;a(j,:)=q1+d; %新1点存入rj=j+1;a(j,:)=q1+d+d*A'; %新2点存入rj=j+1;a(j,:)=q1+2*d; %新3点存入rend %原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入rn=4*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r中p=[a;q2]; %重新装载本次迭代后的全部结点endplot(p(:,1),p(:,2)) %显示各结点的连线图hold on; %保存图像axis equal %各坐标轴同比例运行得到图像如下：k=1 k=5k=0时23 k=1时 S=234r +2312r k=2时 S=234r +2312r + 2327r k=3时 S=234r +2312r + 2327r + 243243r k=n 时 S=234r +2312r + …2(1)12133*4*()3n n r ---+2(1)233*4*()43n n r r - 每一次迭加，所产生的新三角形的边长变为上一次的13，数量为上一次的4倍. S=234+234*（3*21()3+12*221()3+……+3*(1)4n -*21()3n ）2323*(1)211[3*4*()]3n i i i -=∑曲线总面积无穷大。

科学家称一片雪花的周长超过地球，到底是咋算出来的？英国数学家今天咱们来聊点硬核科普。

雪花咱们都司空见惯了，但是科赫雪花你见过吗？这其实是一名数学家提出的数学理论，就是在这种理论之中的科赫雪花，它的周长甚至能够超过地球，这是为什么呢?科赫雪花并不是雪花，而是一种数学理论，它还有另外一个名字叫做科赫曲线，说白了就是一种几何曲线，因为长的和雪花一样，所以称为雪花曲线。

那么它是哪儿来的呢？出现于一名瑞典数学家的论文当中，这名数学家叫做海里格·冯·科赫，在他论文当中出现了这片雪花，其周长是无限的，甚至能够超越地球的直径。

在这里朋友们可能要问了，这怎么可能呢？那么这个科赫雪花是怎么做出来的呢？从视频中我们可以看到科赫雪花形成的过程。

我们先画出一个等边三角形，在等边三角形的每个边做三等份，然后取出中间的一份往外延伸，又出现一个等边三角形。

然后再把等边三角形的每条边分三份，又延伸出另外的三个三角形，以此类推无限循环，每次循环就叫一次迭代。

那么什么是迭代呢？很好理解，就是不断的重复反馈过程，目的是为了得到我们想要的结果。

这在计算机的程序当中也很常见，就是不断的重复循环，一直到满足条件。

所以到这里大家对于科赫雪花到底是什么，怎么形成的，应该都彻底明白了吧？按照理论。

在面积一定的情况之下，雪花的长度可以无限。

这就很难让人相信，因为如果咱们在科赫雪花外面画一个圆，就足以将它覆盖。

但是圆的周长却远远的小于科赫雪花，甚至于连它的零头都达不到。

是不是很神奇呢？其实对于这种现象，英国人应该是深有体会的，因为他们发现自己每次测量的海岸线长度都不一样，这是为什么？还要从上世纪说起，那是1967年，一名数学家写了一篇论文，名字叫做《英国的海岸线有多长》。

在这里朋友们可能要问了，英国的国土面积是一样的，那海岸线的长度自然也是不变的，就这还要写一篇论文?话是这么说，但是如果我们用在现实生活中，就会发现每次测量的英国海岸线长度都不一样，因为我们每次测量使用的工具都不一样。

数学实验分形实例(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数学实验报告学院：班级：学号：姓名：完成日期：实验二分形（一）练习题1一．实验目的1．了解分形几何的基本情况；2．了解通过迭代方式，产生分形图的方法；3．了解matlab软件中简单的程序结构。

二. 问题描述对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。

编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。

三．实验过程仿照Koch曲线代码对三角形的每条边进行Koch曲线化，建立函数“snow”的输入参数有三角形的边长R和迭代次数k,输出Koch雪花图形以及雪花所围面积S.源代码如下：function snow(R,k)p=[0;R/2+1i*R*sin(pi/3);R;0];S=0;n=3;A=exp(1i*pi/3);for s=1:kj=0;for i=1:nq1=p(i,:);q2=p(i+1,:);d=(q2-q1)/3;j=j+1;r(j,:)=q1;j=j+1;r(j,:)=q1+d;j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A; j=j+1;r(j,:)=q1+2*d; endn=4*n;clear pp=[r;q2];endfigureq(:,1)=real(p(:,1));q(:,2)=imag(p(:,1)); plot(q(:,1),q(:,2))fill(q(:,1),q(:,2),'b')for i=0:kS=S+(3.^)**(R.^2); endSaxis equal按照以上程序，输入参数，有以下结果：>> snow(1,1) S = 图形如下:>>snow(1,2) S = 图形如下:>>snow(1,3) S = 图形如下:>>snow(1,4) S = 图形如下: >>snow(1,5) S = 图形如下:四．总结分析和心得体会根据观察迭代的面积规律，即可推得面积递推公式：,其中即：面积公式，也就等于分形维数，根据迭代的规律得到：相似形个数：m=4边长放大倍数c=3，维数d=ln m/ln c=ln 6/ln 3=（二）练习题2一．实验目的1．了解分形几何的基本情况；2．了解通过迭代方式，产生分形图的方法；3．了解matlab软件中简单的程序结构。

雪花数学模型
雪花数学模型（Snowflake Mathematical Model）是一个用于描述雪花形状和结构的数学模型。

雪花是自然界中的一种美丽结构，其独特的六角形晶体形状吸引了科学家们的兴趣。

为了理解和解释雪花的形成过程以及其几何特征，数学家们提出了多种模型。

最著名的雪花数学模型之一是“Koch 曲线”。

这是由瑞典数学家Helge von Koch于1904年提出的一种分形曲线。

Koch 曲线的构造过程非常简单，从一个等边三角形开始，然后对其每一条边进行分形操作。

具体操作是将每条边等分为三等份，然后在中间那一段边上构造一个等边三角形，接着删除中间那一段边。

这样不断进行下去，就可以得到越来越复杂的Koch 曲线。

这个过程可以无限次地进行下去，得到一个无限长的曲线。

最终的结果是一个六角形的形状，类似于雪花的结构。

除了Koch 曲线，还有其他的数学模型被用来描述雪花的形状，例如分形维数、自相似性等概念。

这些模型试图解释雪花形成的物理过程以及其美丽的几何结构。

需要注意的是，雪花的形状是受到多种因素的影响，包括温度、湿度、空气压力等。

因此，单一的数学模型可能无法完全描述所有雪花的形状。

然而，数学模型仍然对研究雪花的形成和性质提供了重要的工具和理论基础。

Koch 分形雪花面积计算的数学实验报告2012年4月6日绘制Koch 分形雪花，分析其边数及面积规律实验内容取周长为10的正三角形为初始元。

第一步（N=1）：将边长三等分，并以中间的一份为底边构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与剩下的两份相连，得到生成元。

原三角形每条边都用生成元替换,得到具有6个凸顶点的12边形。

第二步（N=2）：对第1步得到的图形，同样将其边长三等分，并以中间的一份构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与两边的两份相连，得到生成元。

原12边形的每条边都用生成元替换，得到24个凸顶点的48边形。

如此方法，一直做下去，当∞→N 时便得到了Koch 分形雪花。

实验目的1.算法描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图Kn 的边数为143-⨯=n n L3.求Koch 分形雪花图Kn 的面积)(lim n N K area ∞→实验原理1. Koch 分形雪花的绘制过程与Koch 曲线的构造过程类似。

事实上，Koch 分形雪花是由三条三次Koch 曲线组成的。

Koch 曲线的构造：由一条线段产生四条线段，由n 条线段迭代一次后将产生4n 条线段，算法针对每一条线段逐步进行，将计算新的三个点。

第一个点位于线段的三分之一处，第三个点位于线段的三分之二处，第二个点以第一个点为轴心，将第一和第三个点形成的向量正向旋转ο60而得，正向旋转由正交矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-3cos 3sin 3sin3cos ππππ完成。

三条三条三次Koch 曲线由初始向量P 构造。

流程图如下：⑴)/3P －2(P + P ←Q )/3;P －(P + P ← Q 121 31211 ⑵;A ×)Q －(Q + Q ← Q T1312 ⑶．Q ← P ;Q ← P ;Q ← P ;P ← P 342312252.由于Koch分形雪花是封闭的凸多边形，所以边数=顶点数=P矩阵的行数-1。

科赫雪花周长推导公式过程
科赫雪花曲线由一个正三角形生成，即将正三角形的每一边三等分后将中间一段向外凸起成一个以该段长度为边长的正三角形（去掉底边），然后对每一段直线又再重复上述过程，这样无休止地重复下去既得科赫雪花曲线。

它最早出现在海里格·冯·科赫的论文《关于一条连续而无切线，可由初等几何构作的曲线》。

科赫雪花是以等边三角形三边生成的科赫曲线组成的。

科赫雪花曲线是分形曲线,随着N增大,长度趋向于无穷大.
设三角形边长为1，则三角形周长为3
周长为1 x 4/3 = 4/3
周长为1 x 4/3 x 4/3 = 16/9
周长为1 x 4/3 x 4/3 x 4/3 x 4/3......= ∞
周长和面积只有给出具体的N才有意义, 下面给出它的计算式：周长计算公式：
(4/3)^n
面积计算公式：
1+(4/9)×3+(4/9)^2×3+(4/9)^3×3
+……+(4/9)^n×3。

科赫雪花的边数公式科赫雪花，这名字听起来是不是有点神秘又有趣？咱们今天就来好好聊聊它的边数公式。

先来说说啥是科赫雪花。

想象一下，你在一张纸上画了一个等边三角形，然后在每条边上都凸出同样大小的小等边三角形，再在新产生的每条边上继续凸出小等边三角形，就这样一直重复下去。

最后形成的那个形状，就像一片美丽的雪花，这就是科赫雪花。

咱们重点要谈的是它的边数公式。

每一次迭代，边数都会发生变化。

那这个变化有没有规律呢？当然有！记得我曾经给学生们讲这个的时候，有个小同学瞪大了眼睛，满脸好奇地问我：“老师，这到底有啥用啊？”我笑了笑，没有直接回答他，而是拿出一张纸，开始一步一步地给他演示科赫雪花的绘制过程。

我边画边说：“你看，一开始，咱们就一个三角形，三条边。

第一次迭代，每条边变成了四条边，那总的边数就变成了 3×4 = 12 条。

第二次迭代呢，每条边又变成了四条边，这时候边数就变成了 12×4 = 48 条。

”小同学挠挠头，似乎有点明白了。

咱们来总结一下这个规律。

设初始的三角形边数为 n，迭代次数为k，那么边数公式就是 n×4^k 。

这个公式可太有用啦！比如说，我们要知道经过 5 次迭代后的科赫雪花边数，那就把 n = 3 ， k = 5 代入公式，算出来就是 3×4^5 = 3072 条边。

在实际生活中，科赫雪花的边数公式也有它的影子呢。

就像建筑设计里，有些设计师会运用这种分形的概念，来创造出独特又美观的建筑外观。

还有在计算机图形学中，通过这个公式可以生成逼真的雪花效果。

所以啊，同学们，别小看这个看似复杂的公式，它背后藏着好多有趣的应用和无限的可能。

学习科赫雪花的边数公式，就像是打开了一扇通往奇妙数学世界的大门。

只要我们用心去探索，就能发现更多的惊喜！希望大家以后遇到类似的数学知识，都能像探索科赫雪花一样，充满热情和好奇，去揭开它们神秘的面纱。

【数学⼤世界】数学家“画”雪花
本周⼀是⽴冬，我国把⽴冬（农历⼆⼗四节⽓之⼀）作为冬季的开始。

在冬天，我们最期待能看到“千⾥冰封，万⾥雪飘”的壮丽景⾊。

当雪花漫天飞舞时，诗⼈会吟诗赞美雪花，那么数学家呢，则对雪花的形状情有独钟。

数学家科赫将雪花理想化，构造出了“雪花曲线”——
设想给出⼀个正三⾓形，不断进⾏如下变换：在每边中间造⼀个凸出来的正三⾓形，使原三⾓形变成六⾓形；在这个六⾓形的每边中间再造⼀个正三⾓形……反复操作，得到的图案就好似⼀⽚雪花。

这就是“雪花曲线”（如上图）。

现在，让我们也来试着画⼀⽚雪花（“雪花曲线”）吧！
1.如图(1)，画⼀个等边三⾓形，然后把每条边三等分。

2.如图(2)，在每条边的中段上，向外画⼀个等边三⾓形，然后去掉与原三⾓形重合的边。

3.如图(3)，对每个等边三⾓形重复上述的操作。

4.如图(4)、图（5）、图（6），慢慢地，雪花（“雪花曲线”）就成形了。

你发现了吗？只要愿意的话，你可以⼀直画下去。

这说明什么呢？对了，“雪花曲线”有着⽆限的周长！虽然“雪花曲线”的周长是⽆限的，但由于整条曲线是画在⼀张纸上的，所以“雪花”的⾯积是有限的。

有限的⾯积中包含着⽆限的周长，“雪花曲线”是不是很神奇呢？
聪明的数学家就是运⽤这种思想，对⾃然界中那些不规则的、复杂的形状进⾏研究，即找到它们的基本元素图，然后逐步“分形”，以精确地描述它们。

科赫雪花研究报告科赫雪花是一种非常独特的几何图案，它由斯德哥尔摩大学的数学家Arne Beurling和Leif N$\ddot{o}$rlund于1935年首次研究并描述，取名为科赫雪花。

科赫雪花是由一个等边三角形开始，然后在每个边上分别以四等分的方式不断加长三角形边的一半，形成新的三角形，并重复这个过程，无限分割下去，最终形成一个具有无线细节的雪花形状。

科赫雪花非常有趣的地方在于，它具有无穷多的边界长度，但是实际上却只有有限的面积。

这是因为科赫雪花是通过无限次分割等边三角形边形成的，每次分割都会增加三角形边的长度，但是由于几何级数的性质，边的长度趋于无穷大，但是面积却趋于一个有限值。

科赫雪花的维度也是非常有趣的。

一般来说，维度是用来描述一个几何对象的复杂性的数值。

对于科赫雪花来说，我们可以通过计算其维度来更好地理解它的形状。

根据分形几何学理论，科赫雪花的维度是$\frac{\ln 4}{\ln 3}$，约等于1.26。

这意味着科赫雪花的形状比一条线（维度为1）更复杂，但是比一个平面（维度为2）简单。

科赫雪花还具有自相似性，这是指当我们放大或缩小一个对象时，它的形状都会保持相似。

对于科赫雪花来说，当我们放大一个小部分时，它的形状和整个雪花是一样的，这就是自相似性的一种体现。

科赫雪花的研究不仅仅停留在数学领域，它还有重要的应用价值。

科赫雪花是分形图形的经典例子，分形几何学在自然科学、工程技术等领域有广泛的应用。

分形几何学可以描述很多复杂的自然现象，如山脉、云朵和树叶的形状等。

科赫雪花的研究使我们更好地了解和研究这些自然现象。

总之，科赫雪花是一个非常有趣和独特的几何图形，它展示了数学的奇妙之处。

通过研究科赫雪花，我们可以深入理解分形几何学的基本原理，并探索其在自然科学和工程技术中的应用。

科赫雪花的研究不仅仅是数学家的领域，它也涉及到多个学科的交叉，具有广泛的研究和应用价值。

用几何画板画科赫雪花摘要：科赫曲线是瑞典人科赫于1904年提出了著名分形曲线。

形状形似雪花，也叫雪花曲线。

具有处处连续但却处处不可导的性质。

本文应用几何画板软件在科赫曲线的基础上给出科赫雪花的几种画法。

关键词：几何画板科赫曲线科赫雪花画法一：画科赫曲线1.新建参数n：表示迭代次数2.画初元：画水平线段AB，将线段AB三等分，以中间1/3线段CD为边作等边△CDE（图1）。

3.得到生成元：保留折线段ACEDB，其余线段隐藏（图2）。

4.生成曲线：顺次选中A，B两点和参数n，按住sifit键深度迭代。

将AB按照箭头所指方向，依次迭代到AC，CE，ED，DB上。

得到科赫曲线。

保留含参数n的科赫曲线AB。

其余线段及点隐藏，改变参数n，可以看到不同迭代次数的科赫曲线（图3）。

二：正三角形法画科赫雪花1.含参数n的科赫曲线AB，按ctrl+A全选，再按自定义工具，创建工具（图1）。

2.另外画一个正△FGH。

按自定义工具或点击参数n，依次点击FH，HG，GF。

得到科赫雪花（图2）。

3.生成雪花：保留科赫雪花和参数n，其余点和线段隐藏。

改变参数n，可以看到不同迭代次数的科赫雪花（图3）。

三：正六边形法画科赫雪花1.新建参数n，表示迭代次数。

2.画初元：画水平线段AB，将线段AB三等分，以中间1/3线段CD为边，作正六边形CDEFGH（图1）。

3.画生成元：保留正六边形CDEFGH和A，B两点，其余线段隐藏（图2）。

4.生成雪花：顺次选中A，B两点和参数n，按sifit键进行深度迭代，按照箭头所指方向，将AB依次迭代到DC，ED，FE，GF，HG，CH，CE上，得到科赫雪花。

保留科赫雪花和参数n，其余隐藏。

改变参数n，看到不同迭代次数的科赫雪花（图3）。

四：正六角星法画科赫雪花1.新建参数n，表示迭代次数。

2.画初元：画水平线段AB，以AB为边，画正△ABC，中心为O点。

以O点为旋转中心，将△ABC旋转180°得到对应△DEF，两个三角形的交点依次标记为G，H，I，J，K，L（图1）。

Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。

在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。

而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim A rea (K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。

Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。

这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。

在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。

设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。

显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。

算法如下： （1）Q1P 1+P P Q P 1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）TQ 2Q 1+Q 3-Q A ←⨯（1）; （3）P 5P 2P 2Q1P 3Q P Q 3←←←←；；2；4。

在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。

在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为：c o s ()s in ()33A =s in ()c o s ()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。

orld of Mathematics数学烟云W 数学文化/第3卷第4期31雪花研究史当我们看到这些漂亮的雪花时，我们一定对大自然的奇妙力量而感到神奇。

有人说，每一片雪花都是不同的。

真是这样吗？美国《国家地理》有一篇文章说“这很可能是真的” 1。

但《生命科学》上刊登了一篇文章指出“雪花是可能重复的”2。

有人甚至宣布发现了两个完全一样的雪花3。

其实这并不难理解。

专家们估计，每年有1024个雪片飘落下来，从统计学的角度说，当然很可能有相同的雪花。

不过笔者对这样的“数学”问题并不感兴趣。

如果我们试图穷举雪花的图形的话，我们就走进了一个死胡同，因为我们蒋迅图1 漂亮的雪花（来源：）图2 班特雷雪花（来源： ）是不可能收集所有的雪花图形的，这样做只能让我们更加迷茫。

我们更感兴趣的是，人们能否用数学作为工具彻底解决雪花形成的奥秘：它们有多少种？它们是在什么条件下形成的？它们能否在计算机上模拟？让我们首先来了解一下人类对雪花认知的历史。

人类对雪花的研究已经有上千年了。

松鼠会有一篇桔子作为新年礼物奉献给读者的走笔优美的“雪花史” 4。

维基百科也有一篇“雪花研究史”，记录追述到西汉经学家韩婴。

雪花也是数学家感兴趣的课题。

1611年，天文学家和数学家开普勒就雪花里的数学雪花里的数学W 数学文化/第3卷第4期32预言，六角结构将反映出位于其下的结晶结构 5。

二十六年后 （1637年），数学家和哲学家笛卡尔第一次详述了雪花的外形 6。

几乎是同时，英国博物学家、发明家罗伯特•胡克（Robert Hooke ） 在他1665年出版的《显微图谱》中描述了雪花的结晶7。

此后对雪花的研究就在很长一段时间内处于停滞的状态。

在研究雪花的历史里，有一位不能不提的是美国农民维尔森•班特雷 （Wilson Bentley ）。

他在少年时代就对雪花开始感兴趣。

他的母亲送给他一个显微镜，他就在显微镜下观察雪花并随手画下来。

但是雪花融化得太快了。

从科赫雪花谈起1906年，数学家科赫（H.Von Koch ）在研究构造连续而不可微函数时，提出了构造能够描述雪花形状曲线的方法：将一条线段三等分，先以中间的一段为底边作一个正三角形，然后再去掉这个正三角形的底边，于是我们可以得到一条由4条长度为原线段长度三分之一的线段构成的折线。

如果我们对构成这条折线的每一条线段不断重复上述的步骤，得到的曲线就是所谓的“科赫曲线”（如右图所示）。

现在，我们作一个边长为a 的正三角形，然后在这个正三角形的每条边上不断重复上述的变换，便可以得到科赫雪花图案。

下图给出的就是从一个正三角形开始依次进行了五次变换后所得到的结果：若记、分别表示第n 步变换后的科赫雪花的周长和面积，则周长依次为n C n S "",334(,,3)34(,334,32210a C a C a C a C n n ⋅=⋅=⋅== 面积依次为20432321a a a S =××= 0020019443)4391(3)323321(3S S a S a a S S ×+=×⋅+=⋅××⋅+= 02001294(439443)923921(43S S S a a S S ×+×+=⋅××⋅×+=……… 0020094(43)94(439443S S S S S n n ×++×+×+=" ………于是，我们有+∞=⋅=∞→∞→]3)34[(lim lim a C n n n n 2200000200002005324358585443941])94(1[94lim 43])94()94(94[lim 43])94(43)94(439443[lim lim a a S S S S S S S S S S S S n n n n n n n n =⋅==×+=−−+=++++=×++×+×+=∞→∞→∞→∞→"" 上述结果表明，科赫雪花图案的面积是有限的，但该图形的周长却趋于无穷大！此类问题是《分形几何》研究的内容之一，有兴趣的读者可以参阅有关的书籍。