初三数学说题教案：说一道中考压轴题

初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案有答案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。

2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。

3.正确运用正方形的性质解题。

4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。

5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。

正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。

正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。

小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

例1．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD 重合，得折痕DG，使2AD=，求AG．【解析】：作GM⊥BD，垂足为M．由题意可知∠ADG=GDM，则△ADG≌△MDG．∴DM=DA=2． AC=GM又易知：GM=BM．而BM=BD-DM=22-2=2（2-1），∴AG=BM=2（2-1）．例2 ．如图，P为正方形ABCD内一点，10==，并且P点到CD边的距离也PA PB等于10，求正方形ABCD的面积？【解析】：过P作EF AB⊥于F交DC于E．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+．可得：222110(10)4x x =++．故6x =．216256ABCD S ==．例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？ 【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可．理由：连结AE 、AF ．由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ． ∴DF=MF ．∴EF=ME+MF=BE+DF ．例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且45EAF ︒∠=，试说明EF BE DF =+。

正方形角含半角模型提升例1.如图，折叠正方形纸片ABCD,先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG,使AD=2，求AG.例2.如图，P为正方形ABCD内一点，PA二PB=10，并且P点到CD边的距离也等于10，求正方形ABCD的面积？例3.如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AM丄EF，垂足为M，AM=AB,则有EF=BE+DF，为什么？例4.如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使Z EAF=45°，AG丄EF于G.求证：AG二AB BE例5.⑴如图1,在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，AE,BF交于点O,Z AOF=90。

.求证：BE=CF.⑵如图2,在正方形ABCD中，点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,Z FOH=90°,EF=4.求GH的长.【双基训练】1.如图6,点A在线段BG上，四边形ABCD与DEFG都是正方形，其边长分别为3cm和5cm，则ACDE的面积为cm2.2.你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形.如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1,且正方形⑥与正方形③的面积相等，那么正方形⑤的面积为.3•如图9,已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点.AF、CE相交于G,并且A ABF 的面积为14平方厘米，A BCE的面积为5平方厘米，那么四边形BEGF的面积是.4.如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC。

分别以AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN,EC。

求证：FN=EC。

13 EG 丄CD 5.如图,ABCD 是正方形.G 是BC 上的一点，DE 丄AG 于E ,BF 丄AG 于F .(1) 求证：△ABF =△DAE ；(2) 求证：DE =EF +FB .【纵向应用】6.在正方形ABCD 中，Z1=Z2.求证：OF =2BE&如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点，EF 丄BC ,求证：AE 丄FG7.在正方形ABCD 中，Z 1=Z 2.AE 丄DF ，求证:OG=扣 D G F D C边，在AABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG,点P 是EF 半.9•已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和DE 相交于点G ,GH丄AD 于点H .(1) 求证：AF 丄DE ；(2) 如果AB =2，求GH 的长;(3) 求证：CG 二CD例1.已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，ZPAD =Z PDA =15。

初中数学压轴题教案
教学目标：
1. 理解并掌握初中数学压轴题的概念和特点；
2. 学会分析压轴题的解题思路和方法；
3. 提高解决实际问题的能力。

教学内容：
1. 初中数学压轴题的定义和特点；
2. 压轴题的解题思路和方法；
3. 实际问题的解决。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引导学生回顾在学习过程中遇到的困难和问题；
2. 提问：什么是初中数学压轴题？它有什么特点？
二、讲解（20分钟）
1. 讲解初中数学压轴题的定义和特点；
2. 分析压轴题的解题思路和方法；
3. 通过实例讲解如何解决实际问题。

三、练习（15分钟）
1. 布置几道初中数学压轴题让学生独立解答；
2. 引导学生思考解题过程中的困难和问题，并提供帮助；
3. 鼓励学生互相讨论和交流解题心得。

四、总结（5分钟）
1. 回顾本节课的学习内容，让学生明确初中数学压轴题的概念和特点；
2. 强调压轴题的解题思路和方法的重要性；
3. 提醒学生在解决实际问题时，要灵活运用所学知识和方法。

教学评价：
1. 课后收集学生的练习试卷，评估学生对初中数学压轴题的理解和掌握程度；
2. 在下一节课开始时，让学生分享解题心得和经验，了解他们在解决实际问题时的表现；
3. 定期关注学生在数学学习过程中的进步和成长，给予鼓励和指导。

教学反思：
在教学过程中，要注意引导学生理解和掌握初中数学压轴题的概念和特点，帮助他们建立解题思路和方法。

同时，要关注学生在解决实际问题时的表现，及时给予指导和帮助。

通过不断的练习和总结，提高学生解决压轴题的能力，增强他们的自信心。

教案：初中数学中考压轴题一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握中考压轴题的基本类型和解题方法，提高学生解决实际问题的能力。

2. 过程与方法：通过分析、探讨、实践，培养学生分析问题、解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气。

二、教学内容1. 中考压轴题的基本类型：几何综合题、函数综合题、应用题等。

2. 中考压轴题的解题方法：数形结合、方程思想、分类讨论、转化与化归等。

三、教学过程1. 导入：以实际问题为背景，引导学生关注中考压轴题的重要性，激发学生的学习兴趣。

2. 自主学习：让学生自主探究中考压轴题的基本类型和解题方法，培养学生独立思考的能力。

3. 合作交流：组织学生进行小组讨论，分享各自的学习心得和解题经验，提高学生的合作能力。

4. 课堂讲解：教师针对中考压轴题的典型例题进行讲解，引导学生掌握解题思路和方法。

5. 练习巩固：布置针对性的练习题，让学生在实践中巩固所学知识，提高解题能力。

6. 总结反馈：对学生的学习情况进行总结，及时发现问题并进行反馈，提高教学效果。

四、教学策略1. 实例分析：通过分析中考压轴题的典型例题，使学生掌握解题方法。

2. 数形结合：利用图形辅助解题，提高学生的直观认知能力。

3. 方程思想：引导学生运用方程思想解决问题，培养学生解决问题的能力。

4. 分类讨论：针对不同类型的问题，引导学生进行分类讨论，提高学生的逻辑思维能力。

5. 转化与化归：引导学生将复杂问题转化为简单问题，化归思路，提高解题效率。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题和解决问题的能力。

2. 练习情况：检查学生在练习中的解题思路和方法，以及对知识的掌握程度。

3. 学生反馈：了解学生对中考压轴题的学习心得和解题经验，以便进行针对性的教学调整。

六、教学资源1. 教材：选用符合新课程标准的中考压轴题教材，为学生提供丰富的学习资源。

说“中考压轴题”的实践与反思一、说题的意义习题教学是九年级数学教学活动中的重要组成部分，通过分析解题思路、反思解题过程、拓展习题内容形式，从而使概念完整化、具体化，形成完善、合理的认知结构.这是中考复习的目标. 在做题的基础上来说题.二、说题的要求教师说题，不仅要求教师会解题，还要精准地掌握所考查的数学知识，多角度地研析题目结构，高视角地俯瞰题目本质，深层次地说明题目功能，有时还可以正确地指出题目的不足. 讲解解题思路和解题过程时必须符合学生的认知规律，即以学生理解为基本原则，同时站在教师的角度研究数学试题，其主要是揭示题目系统和教材系统的内在联系，解说解题的思路、方法及其规律.三、记一次说中考压轴题实例分析的全过程问题：已知抛物线y = -x2 + 3x + 4交y轴于点a，交x轴于点b，c（点b在点c的右侧）. 过点a作垂直于y轴的直线l. 在位于直线l下方的抛物线上任取一点p，过点p作直线pq平行于y 轴交直线l于点q. 连接ap.（1）写出a，b，c三点的坐标；（2）若点p位于抛物线的对称轴的右侧：①如果以a，p，q三点构成的三角形与△aoc相似，求出点p 的坐标；②若将△apq沿ap对折，点q的对应点为点m. 是否存在点p，使得点m落在x轴上. 若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由.1. 说背景此题是以二次函数、直角三角形相似和折叠为背景，在点变引起形变的过程中，考查轴对称等有关知识的掌握及空间观念，有效地考查了学生的探究能力、综合运用数学知识的能力及空间观念，以及学生思考问题的深度与广度.2. 说题目重点要引导在位于直线l下方的抛物线上任取一点p，即p点始终位于直线l下方，另外，点p位于抛物线的对称轴的右侧. 使学生认真审题.3. 说解法问题（1）求点a，b，c的坐标，是二次函数的基础知识的应用，要求学生独立完成 .问题（2）的第①题：解法一（注：先从代数角度思考，再从几何角度思考）难点商榷1：问题（2）的第②题的解法的难点之一：用“几何画板”演示翻折过程，让学生体会对应三角形的全等关系，观察哪些线段在变化过程中保持不变. 从动态的过程中发现，当点m落在x轴上时，分点p在x轴上方与点p在x轴下方两种，而点p在x 轴上方时，点m不落在x轴上. 讲解突破学生解题难点的方法：学生在没有“几何画板”演示翻折过程的情况下，学生在动态问题中画出各种状态图，以形定数，以静制动. 探究出当点m落在x轴上时，只有点p在x轴上方与点p在x轴下方两种，而点p在x轴上方时，点m不落在x轴上. 教师讲解为什么点p 在x轴上方时，点m不落在x轴上的几何特性，而不能一知半解，出现滑过现象，透过表象，揭示本质. 教师要找到恒等关系作⊙a解决.难点商榷2：问题（2）的第②题的解法的难点之二：当点m落在x轴上时，点p在x轴下方情况下如何求p点坐标. 如何引导学生从复杂图形中提炼出基本图形.难点商榷3：讲解突破学生解题难点的方法：对折叠问题，先让学生回忆折叠常见图形，分析图中的全等三角形、相似三角形，点出基本图形，运用基本图形所包含的基本结论，引出解题方法.4. 说引申引申1：在翻折后点m落在第一象限时，试求点p横坐标的取值范围.引申2：若点p在抛物线上运动，△apq绕着点a顺时针旋转90°，是否存在点m落在抛物线的情况. 若存在，试求出点p的坐标；若不存在，试说明理由.四、说题活动的反思大家讨论中考压轴题突破技巧. 各类题型的中考数学压轴题在近几年的中考中慢慢涌现出来，比如设计新颖、富有创意的，还有以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的. 解决中考数学压轴题，解题需找好四大切入点.切入点一：做不出、找相似，有相似、用相似. 切入点二：构造定理所需的图形或基本图形 .切入点三：紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论. 切入点四：在题目中寻找多解的信息 .总之，中考数学压轴题的切入点有很多，考试时并不是一定要找到那么多，往往只需找到一两个就行了，关键是找到以后一定要敢于去做.【参考文献】[1]傅瑞琦. 说题，让主题教研更精彩[j]. 中国数学教育，2012（3）：46-48.。

说题发言稿各位评委、老师大家好，我是青龙逸夫中学的马海峡。

我说题的题目是第二题。

如图13，抛物线l： y=-x2+bx+c(b，c为常数)，其顶点E在正方形ABCD 内或边上，已知点A（1，2），B（1，1），C（2，1）．（1）直接写出点D的坐标；（2）若l经过点B，C，求l的解析式；（3）设l与x轴交于点M，N，当l的顶点E与点D重合时，求线段MN的值；当顶点E在正方形ABCD内或边上时，直接写出线段MN的取值范围；（4）若l经过正方形ABCD的两个顶点，直接写出所有符合条件的c的值．一、背景分析：这是一道二次函数综合题，在中考中属于较难题。

本题涉及到的主要知识点有：正方形性质、用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标平移特征。

主要数学思想方法有：遇解代入、数形结合、分类讨论、转化归纳。

主要培养学生的能力为：探究能力、创新能力、综合运用知识能力以及发散思维能力二、审题及解法（分散、简化）纵观本题，我在引导学生分析此题时采用了化整为零的分散思维方式，针对问题逐一分析解决，简化问题，使学生在做大题时达到从无从下手到迎刃而解的效果.对于题干，抛物线l： y=-x2+bx+c (b，c为常数)知道a =-1知道了开口方向向下、确定了开口大小不变。

还能知道顶点坐标（）以及解析式y=-x2+bx+c中有两个待定系数b和c，如果知道两点坐标就能确定解析式了。

对于第（1）问直接写出点D的坐标；在已知中已经告诉正方形ABCD三个顶点坐标，根据正方形的性质，可得D点的坐标；对于第（2）问：若l经过点B，C，求l的解析式；根据待定系数法，可得函数解析式；第（3）问：设l与x轴交于点M，N，当l的顶点E与点D重合时，求线段MN的值；当顶点E在正方形ABCD内或边上时直接写出线段MN的取值范围；对于第一问可采用两种方法來解。

方法1：可以直接代入到顶点坐标中求得。

方法2：根据顶点式y=-（x-h）2+k，可得函数解析式，从而求出抛物线与x 轴的交点坐标，计算出MN的值.对于第二问，求MN的取值范围只与函数解析式中点的纵坐标的上下平移有关，当顶点E在线段AD上时，图像与x轴相交时，线段MN最长，当顶点E在线段BC上时，图像与x轴相交时，线段MN最短，即可求出MN的取值范围对于（4）问：要分类讨论，以防遗漏．若l经过正方形ABCD的两个顶点，直接写出所有符合条件的c的值。

说题源于“说数学”，“说数学”能有效实现数学地交流.《义务教育数学课程标准（2011年版）》在数学课程的总目标部分明确提出：能清晰地表达自己的想法，学会与他人合作交流，养成合作交流的学习习惯.进而，数学教育工作者把“说数学”的研究扩大到实践层面，不断把“说数学”细化，出现了教师说题的教研活动和学生说题的学习活动.本文阐述了教师说题的相关概念，即什么是教师说题，教师说题的意义与价值何在，并以2018年中考新疆乌鲁木齐卷填空压轴题为例重点阐述教师如何说题.一、什么是教师说题通俗而言，教师说题就是口述探寻解题方法的思维过程，以及所采用的数学思想方法和解题策略.例如，教师之间就某道题在办公室所做的研讨，或教师在解题过程中自言自语的思维，或师生之间就某道题展开的问答式交流等，这些都是在说题.严格而言，数学教师说题是指教师把审题、分析、解答、反思、提炼和拓展的思维过程按照一定规律和顺序说出来，并重点阐述试题的立意与背景、解题方法的思维暴露过程、解题策略的优化过程、学生的思维障碍及解决策略、变式和拓展、数学思想方法的凝练过程等方面的教研活动.与教师说题密切联系的一个概念是“解题”.解题是分析题意、寻找关系、书写整理、得到答案的过程.说题是对解题过程本源的揭示，揭示解题的思维过程，揭示蕴涵于解题过程中的数学思想方法.说题的核心在于说理，关键在于通过问题解决的过程暴露数学的思维，凝练出数学的思想方法和规律，突出数学的本质.解题是结果的呈现，而说题则注重过程展示、方法提炼、思想凝练，它们属于相互依存的结果与过程.其中，解题是说题的前提，说题是解题的升华.如果教师没有经历完整的、真实的解题探索过程，则不可能进行说题的过程展示、方法提炼、思想凝练.二、数学教师说题的意义与价值1.说题引领教师深入研究解题，进而研究数学说题是一种有效助推教师个人专业发展的教研活动，它促使参与其中的教师在研究状态下进行日常的初中数学教师说题：概念·价值·案例——以一道中考试题的说题为例徐收稿日期：2020-05-16作者简介：徐健（1970—），女，中学高级教师，主要从事初中数学教学研究.摘要：文章阐述了教师说题的概念及价值，并以2018年中考新疆乌鲁木齐卷填空压轴题为例，呈现了初中数学教师说题的一则案例，希望对有效开展数学教师说题教研活动有所启迪.关键词：教师说题；解题教学；思想方法；解题，将解题从一种简单、自主的工作任务转变为自觉的学科研究行为.全国各地区历年的中考试题和模拟试题都是教师开展解题研究的丰富素材，通过说题引领教师深入研究解题，进而钻研数学，最终使得教师与学生均能受益.2.说题引导教师注重通性、通法，进而凝练数学思想方法数学思想方法是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识.数学思想方法可以分为以下三个层面.（1）基本和重大的数学思想方法.例如，形式与内容、运动与静止、偶然与必然、现象与本质、原因与结果，等等.（2）一般科学（数学）方法.例如，分析与综合（分析法是“执果索因”，体现发散思维；综合法是“由因导果”，体现集中思维）、归纳、类比、演绎、观察、联想、实验，等等.（3）数学中特有的方法.例如，数形结合、函数与方程、分类讨论、转化与化归（如将几何问题代数化和代数问题几何化）、数学不变量方法、公理化方法、概率统计，等等.如果教师在解题教学中向学生展示了若干解法，却没有引导学生领悟其中蕴涵的数学思想方法，这是解题技术层面的“解一题”，触及特殊而非一般.教师说题展示的是解题思维的暴露过程、数学思想方法和规律的揭示过程，是解题思想层面的“通一类”，揭示的是从特殊推广至一般的规律.3.说题引导教师换位思考，教学生学会解题教师说题需要展示自身解题方法的思维暴露过程和解题策略的优化过程，这种展示类似于电视节目中的“现场直播”，即教师现场直播解题过程.通过现场直播解题过程，真正实现换位思考，使教师基于思维过程的相似性，想到学生也会经历到的探索过程，从而使教师能够站在学生的视角思考如何帮助学生扫除思维障碍.高斯被称为数学“天才”.他一生发现（发明）了很多数学公式和定理，但后人都不理解高斯是怎么想出来的.历史学家通过研究发现：高斯对每一项发现和发明都做了大量的实验、猜测、演算，最后用公式或定理表示出来.但他把这些实验、猜测、演算痕迹统统都抹掉了.教师说题的过程则恰恰相反，需要现场展示解题过程，阐述解题思路和方法的动机和目的，从而教会学生解题，最终使学生受益.正如波利亚所言，聪明的学生和读者不会满足于只验证推理的各个步骤都是正确的，他们也想知道各个步骤的动机和目的.如果一条巧妙的辅助线和一个辅助图形突然出现在图形中，看不出任何动机，并且令人惊讶地解决了问题，那么聪明的学生和读者会感到很失望.三、数学教师如何说题根据前述说题的概念界定，教师说题可以从以下六个方面展开：（1）试题的立意与背景；（2）解题方法的思维暴露过程；（3）解题策略的优化过程；（4）学生的思维障碍及解决策略；（5）数学思想方法的凝练过程；（6）变式和拓展.限于篇幅，下面以2018年中考新疆乌鲁木齐卷填空压轴题为例，重点从（1）（2）（3）（4）这四个方面展示一则说题案例.题目（2018年新疆·乌鲁木齐卷第15题）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=23，AC=2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形，则AE的长为.AB CDB′E F图11.试题的立意与背景该试题以学生喜闻乐见的折纸为载体，将轴对称与图形的折叠巧妙地结合起来，让学生经历直观感知、操作确认、推理论证的过程.试题设计新颖，具有一定难度.这类试题既有趣味性，又有可操作性.学生可以通过动手实践去自主探索、认识和掌握图形的性质，这样不仅能够帮助学生积累基本活动经验，而且可以培养学生的发散思维、空间观念、几何直观、数学推理和运算能力等.2.解题方法的思维暴露过程注意到已知条件“△AB′F 为直角三角形”没有明确哪个角是直角，自然产生分类的动机.（1）分类讨论的过程.若∠AFB′=90°，利用分析法（执果索因）较容易求解（略）.进一步地，△AB′F 的另外两个角有没有可能是直角呢？若∠B′AF =90°呢？从几何直观来看，∠B′AF 不太可能等于90°，但是这需要进行严格的论证.在△BDE 沿DE 所在直线翻折到△B′DE 的过程中，发现点B 的对称点B′的运动轨迹是以点D 为圆心、DB′为半径的半圆（如图2），由此可知不存在使∠B′AF 等于90°的点B′.ABCDB′E F 图2若∠AB′F =90°呢？基于同样的考虑，在翻折过程中，点B′的运动轨迹是一个半圆.那么点B′在半圆上运动时，是否存在使∠AB′F =90°的点B′呢？从几何直观看，存在这样一个位置使∠AB′F =90°.因为点B′在半圆上运动时，∠AB′F 的大小看起来是由小变大，由锐角变成直角，直至变成钝角的过程.那么问题来了：当点B′在半圆上运动到什么位置时，∠AB′F 恰好等于90°，即如何准确定位点B′的位置？注意到点B′既要在半圆上，又需使∠AB′F 恰好等于90°，从而问题转化为使∠AB′F =90°的点B′的运动变化有什么规律.注意到B′，F ，D 三点共线，从而问题转化为使∠AB′D =90°的点B′的运动变化有什么规律.根据“直径所对的圆周角是直角”，发现使∠AB′D =90°的点B′在以AD 为直径的半圆（如图3）上运动，从而通过化归中的“交轨法”准确定位了点B′的位置，同时揭示了连接辅助线AD 的动机.ABCDB′EF图3（2）当∠AB′D =90°时，如何求目标AE 的长？首先想到把求目标AE 的长转化为求BE 的长.读者可能会想，怎么没有想到直接求目标AE 的长，进而解斜三角形AEB′呢？（该试题所附参考答案的思路即是直接求目标AE ，进而解△AEB′）之所以想到“把求目标AE 的长转化为求BE 的长，是基于BE 所在的△BDE 位于已知的Rt△ABC 中，而且最为关键的是△BDE 中边BD 的长和∠B 的度数均可求.而△AEB′中的所有元素均未直接告知.如何求BE 的长呢？思路1：试着解斜三角形BDE .如图4，由已知可以求出△BDE 中的BD =3，∠B =30°，求BE 的条件不充分，故需要进一步求边DE的长（较难）或者求∠BDE 的度数（较易）.因为∠BDE =∠B′DE ，所以只需要求∠CDB′的度数即可.又因为∠CDA 的度数（不是特殊角）可求，所以只需求∠ADB′的度数即可.ABCD B′EF图4由∠AB′D =90°，DB′=DB =3，AD =3+4=7，从而可以求得∠ADB′的度数.通过证明还可以得到△ADC ≌△ADB′.尽管可以求得∠ADB′的度数，但其不是特殊角，因而不符合初中生的认知水平（到高中阶段可以用正弦定理求解），只能放弃直接解斜三角形BDE 的思路.对初中生来说，尽管上述探究过程最终是行不通的，但这样的探究过程（弯路）却是有益的，因为发现了△ADC ≌△ADB′，即∠ADC =∠ADB′，结合∠BDE =∠B′DE ，可得∠ADE =90°.进而求得∠BDE =∠CAD .思路2：解直角三角形.既然直接解斜三角形BDE 的思路不符合初中生的认知水平，故从初中生的认知水平出发，把解斜三角形BDE 转化为解直角三角形.为此过点E 作EH ⊥BD ，垂足为点H （如图5）.这样只需解Rt△EBH 或Rt△EDH ，求出EH 的长，进而即可求出BE 的长.ABCD B′EFH 图5注意到∠HDE =∠CAD （思路1的副产品），∠DHE 和∠ACD 均为直角，故△DHE ∽△ACD .从而有EH HD =DC CA 又因为EH =12BE ，HD =3，代入上式，即得BE =65.所以AE =145.上述解题思维暴露的过程是必须要有的.如果教师不暴露自己的思维过程，而是直接给出最简单或最巧妙的解法，那么学生只能惊叹于教师的解法，却不知道解题思路从何而来，不能体会到解题思路的自然生成.3.学生的思维障碍及解决策略思维障碍1：学生可能会纠结于∠AB′F 是否有可能等于90°.如果有可能，那么点B′的位置在哪里，即如何通过准确作图定位点B′的位置？解决策略：通过由特殊到一般的直观操作，发现规律，进而借助“交轨法”定位点B′的位置.将△BDE 沿DE 所在直线翻折到△B′DE 的过程中，点B 的对称点B′的运动轨迹是以点D 为圆心、B′D 的长为半径的半圆.如果学生发现这一点有困难，那就动手操作，让学生用纸多次折一折，并且用笔尖标出每次折叠后点B′的具体位置，从而发现点B′的轨迹为半圆.同理，借助直角三角板的直角来手动作图，画出若干个满足∠AB′D 为90°的点B′，发现点B′的运动规律.思维障碍2：如何计算AE 的长？解决策略：学生发散思维，顺其自然，能想到哪一种方法，就尝试用哪一种方法解决问题.预设学生可能会想到如下的各种方法，然后逐一尝试.方法1：解斜三角形BDE ；方法2：解斜三角形AB′E ；方法3：解Rt△ADE ；方法4：如图6，过点E 作BC ，AC 的垂线，垂足分别为点H ，G ，直接求A ，E 两点之间的距离，即解Rt△AEG .AB C D B′EFH 图6G基于思维的相似性，学生可能首先想到方法1，即通过解斜三角形BDE 来计算BE 的长，但很快发现它不是直角三角形.怎么办？此时转化为直角三角形即可.如果学生想到了方法2，即解斜三角形AB′E ，为避免多余信息的干扰，可以将斜三角形AB′E 单独提取出来（如图7），进而也将其转化为解直角三角形问题.（该方法也是该试题所附参考答案提供的解法.）AB′E 2x4-x120°图7方法3和方法4是学生熟悉的直接解直角三角形问题.因此，无论学生想到哪一种方法，只需围绕解直角三角形的目标展开相关计算即可，这是常规的任务驱动和目标驱动.上述过程符合人们解决问题的一般思维特点，即（下转第37页）思维的，要经常问一个为什么，问自己是怎样达到正确的结论的.教师的工作正体现了这种精神.我想这不仅是在探究尺规作图的教学时需要思考的，也更应该是在整个中学数学教学中应该思考的.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式：对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识［J］.课程·教材·教法，2012，32（7）：92-97.［3］乐嗣康，崔雪芳，张奠宙.尺规作图教学的现代意义［J］.中学数学月刊，2005（12）：7-9.［4］刘芳.对尺规作图教学的三个思考［J］.中学数学教学，2009（6）：15-18.［5］肖霄.对初中阶段尺规作图教学的反思和建议［J］.中学数学教学，2012（4）：6-9.［6］刘克明.伏羲女娲手执矩规图的科学价值［J］.黄石理工学院学报（人文社科版），2009（4）：12-18.［7］张奠宙，沈文选.中学几何研究［M］.北京：高等教育出版社，2006.［8］汪晓勤.HPM视角下的“角平分线”教学［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2014（5）：29-32.先通过发散性思维提出各种可能的方案，然后通过集中性思维逐一尝试，最终筛选哪种方案可行，进而确定最佳方案.发散性思维是创造性思维的核心，平面几何问题是培养学生发散性思维的重要载体，故在平面几何解题教学中一定要让学生经历思维先发散、再集中的过程.4.数学思想方法的凝练过程（1）微观的解题方法层面：解斜三角形问题的“化斜为直”方法.（2）中观的数学思想方法层面，有如下几种方法.分析法（执果索因）和综合法（由因导果）：思维先发散，再集中.例如，此题中要定位点E的位置，需要先定位点B′的位置；要计算AE的长，只需要解与其有关的三角形即可.化归方法.例如，把点B′的定位转化为两条轨迹的相交问题（交轨法），而在计算环节将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题.同时还包括“形化数，数化形”的化归，即将几何图形的位置关系代数化，进而将代数运算结果几何化.归纳方法.通过由特殊到一般的直观操作，发现点B′实际上位于两条轨迹的交点处，进而借助交轨法定位点B′的位置.分类方法.对哪个角可能是直角进行讨论.方程方法.求AE的长的诸多方法均需要建立方程.（3）宏观的数学思想方法层面：透过现象，揭示本质.透过纸翻折及轴对称的表象，发现此题的本质是寻找两条轨迹交点的问题，据此可以变式出很多题目.例如，当∠AB′F=60°时，如何求AE的长，等等.四、结束语解题教学是数学教学的重要组成部分，是教会学生数学思考，培养学生思维能力的重要途径.解题教学的效果关键在于教师对题目的理解与分析水平.而说题的教研活动可以有效促进教师自身对题目及解题教学的研究与思考，进而最终达到培养与提升学生思维品质的目的.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［3］于彬，高振卿.一次区域教研说题比赛及体会［J］.中国数学教育（初中版），2017（5）：10-13.（上接第29页）。

数 学 说 题说题人：中考数学压轴题历来是初三师生关注的焦点，它一般有动态问题、开放性题型、探索性题型、存在性题型等类型，涉及到代数、几何多个知识点，囊括初中重要的数学思想和方法。

对于考生而言，中考压轴题是一根标尺，可以比较准确的衡量学生综合解题能力以及数学素养。

下面我就2014年我州数学中考第24题进行讲评。

原题呈现：如图，已知抛物线y=x 2-1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标。

（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于 点P ，求四边形ACBP 的面积。

（3）在x 轴上方的抛物线上是否存 在一点M ，过M 作MG x 轴于点G ， 使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似。

若存在，请求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由。

一、阐述题意 1、题目的已知条件 （1）抛物线y=x 2-1； （2）与x 轴交于A 、B 两点； （3）与y 轴交于点C; （4）AP ∥CB ；（5）M 在x 轴上方的抛物线上，且M 作MG x 轴于点G ； （6）以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似。

隐含条件为：（1）直线AP 与直线CB 的解析式中k 值相等； （2）P 点是直线AP 与抛物线的交点；（3）以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似的对应关系不明确，⊥∆⊥∆∆ CPBy A有两种情况需要讨论；（4）对点M在抛物线上的位置不确定，要分两种情况。

2、难点及关键点（1）求出直线AP的解析式，从而求出点P的坐标；（2）知道四边形ACBP是个直角梯形或者把它以x轴为界分成两个三∆∆角形，将四边形ACBP的面积转化成ABC和ABP的面积之和；（3）对于两个三角形相似两种对应关系的讨论；（4）对点M在抛物线上的位置存在两种情况的讨论。

当然，对于压轴题，大部分题的难点还在于学生无法将分散的条件集中到有效的图形上进行解决，这个题也不例外。

中考数学压轴题教学设计教师活动1、让我们来解决第一个问题。

（展示课件）问题 1：如图1，抛物线=-x2+2x+3 与x 轴交于点 A、B（点A 在点B 的左侧），与 y 轴交于点C，顶点为点 D.（1）请你直接写出 A、B、C、D 四点的坐标及抛物线的对称轴；（2）请求出△BCD的面积.(2) 教师指导学生利用分割法推导出面积：过点 D 作x 轴的垂线与 BC 相交于点 ES =1DE ⨯O B△ABC 2让学生自己完成解题步骤教师活动教师引导学生理解关于周长的最小值是求 PA+PC 的最小值，而这道题的关键就是利用对称找出 P 点的位置。

（2）如图，在第一象限的抛物线上是否存在一个点P，使△PBC 的面积最小？若存在，请找出点 P.教师引导学生利用二次函数的最值问题解题。

（2）学生小组讨论，挑选一名同学将解题思路①设点 P 的坐标为（x，-x2+2x+3）则点 E 的坐标为（x，-x+3）∴PE=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x②利用分割法求面积得：∴问题。

面积则需要借用二次函数最值的应用经历了上一个环节的“问题”解决，确定了点坐标、对称轴等基本元素以后，这个环节的问题变式设计便进入了“探究线段和最小值→探究周长最小值→探究面积最大值”等一系列“最值”存在性问题.教学环节 4 教师活动学生活动设计意图1、在这个函数图像中，是否会出现一些特殊的三角形？2、课件展示问题 3：如图，在抛物线上是否存在一个点 P，使△PBD 为直角三角形，且点 B 为直角顶点？若存在，请找出满足条件的点 P，并求出点 P 的坐标.教师指导学生用分类讨论学生先独立思考、分析，然后组内交流通过问题 3启发学生如何运用分类思想解题，探究不确定的直角顶点的存在性问题，渗透了分类讨论的数学思想。

这个环节，我们旨在通过引导学生对以上拓展问题的解决，培养学生自主沟通问题与知识、问题与方法之间联系的能力，使（3）①求证：DEDB =√33②设 AD=x，矩形 BDEF 的面积为y，求y 关于x 的函数关系式（可利用①的结论），并求出的最小值通过前面的题型解剖分析，本题给予学生一定的思考时间，鼓励学生自主完成。