北京市初三数学中考压轴题

北京市2019年中考数学压轴题梳理
1.23题代数综合:
常考一元二次方程根的问题, 其中最常见的是已知含参数
方程有相同根、相反根、有理根或整数根等的情况下, 求参数的值以及该方程的根, 题目解题核心就是方程思想, 此
时要求同学们从相应的条件中提炼出可列方程的等量关系。

另一个常考的内容是二次函数与方程不等式的结合, 这里
考到的就是数形结合思想的应用, 其中西城区近年常考代
数式的整体代换, 西城的考生要特别注意。

2、24题几何综合:
考查初中阶段的三大几何变换-平移、旋转、轴对称。

平移: 多用于将零散的条件集中在一起, 可平移条件、平移结论、平移线段、平移图形, 平移线段既出平行四边形, 这里同学们需要注意平移后即可用平行四边形的各项性质。

旋转：旋转中模型较多, 而且较好辨别一道题是否属于旋转, 此类题需要同学们总结记忆, 会大大提高考场答题效率。

轴对称：条件给出已知角平分线时, 较容易用到轴对称, 目的是构造角平分线所在直线两侧的全等三角形, 继而转换
边角条件。

3.25题代几综合:
题目问法常见：求图形面积最大值、求线段长之和的最值、动点问题构造等腰三角形或直角三角形或平行四边形或与
已知三角形相似的三角形。

这类问题的解题核心在于先要根据题目问题找到所需图形;挖掘图形性质并根据性质列出方
程(比如构造等腰三角形, 等腰三角形的性质就是两腰相等, 故根据两腰相等列出方程便可解得满足这种情况的未知数
的值), 一般情况下根据线段关系列方程时需要注意, 表示
线段是关键, 这里的通法是设出点坐标, 再根据点坐标表
示出线段长, 接下来就可以列方程求解了。

北京中考数学几何压轴题北京中考数学几何压轴题会根据具体年份的考试题目而有所不同。

但通常来说，几何压轴题会涉及三角形的面积、相似三角形、直角三角形等知识点。

下面是一个可能的压轴题示例：已知直角三角形ABC，其中∠B=90°，AB=3 cm，BC=4 cm。

点D在边AC上，且AD=2 cm。

连接BD，交AC于点E。

求证：△BDE与△ABC相似，且比例因子为1:2。

解题思路如下：1. 证明△BDE和△ABC的对应角等于90°。

由题意知△ABC是直角三角形，所以∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+90°+∠C=180°，得∠A+∠C=90°。

而根据直角三角形内角和定理可知∠BDE=∠A，故∠BDE+∠C=90°，证明了△BDE和△ABC的对应角等于90°。

2. 证明△BDE和△ABC的对应边比例为1:2。

首先，根据BD的定义可知△BDE是直角三角形，所以BD 为√（BE²+DE²）。

根据勾股定理可知AB²+BC²=AC²，即3²+4²=AC²，得AC=5 cm。

根据相似三角形的性质，当两个三角形的对应角相等时，它们的对应边的比例相等，所以AB/BE=BC/DE=AC/BD。

代入已知值可得3/BE=4/2=5/BD，解得BE=3/5 cm，BD=6/5 cm。

于是，BD/AB=(6/5)/3=2/5，即△BDE和△ABC的对应边比例为1:2。

综上所述，△BDE与△ABC相似，且比例因子为1:2。

2022北京中考数学二模分类——几何综合压轴题一、手拉手共5小题1.（2022密云二模27题） 如图, 在等边 中, 点 在的延长线上, 点 是边上的一个动点 (点 不 与点 重合), 将线段绕点 逆时针旋转 得到线段, 连接和.(1) 依据题意, 补全图形; (2) 比较与的大小, 并证明; (3) 用等式表示线段与之间的数量关系, 并证明.手拉手 6题 中点问题（附加2题） 一线三垂 1题猜证类 1题等腰结论 1题共计 14题倍长2题相似3题2.（2022丰台二模27题）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC =120°，D 是BC 中点，连接AD .点M 在线段AD上 (不与点A，D 重合)，连接MB，点E 在CA 的延长线上且ME = MB，连接EB .（1）比较∠ABM 与∠AEM 的大小，并证明；（2）用等式表示线段AM，AB，AE 之间的数量关系，并证明 .3.（2022西城二模27题）在中, , 过点作射线, 使 (点与点在直线的异侧), 点是射线上一个动点 (不与点重合), 点在线段上, 且.(1) 如图 1, 当点与点重合时, 与的位置关系是 , 若, 则的长为； (用含的式子表示)(2) 如图 2, 当点与点不重合时, 连接.①用等式表示与之间的数量关系, 并证明；②用等式表示线段之间的数量关系, 并证明.4.（2022大兴二模27题）如图，AC=AB，∠CAB=∠CDB=α，线段CD与AB相交于点O，以点A为中心，将射线AD绕点A逆时针旋转α（0°<α<180°）交线段CD于点H,（1）若α=60°，求证：CD=AD+BD（2）请你直接用等式表示出线段CD, AD, BD 之间的数量关系（用含α的式子表示）5.（2022东城二模27题）如图，在ABC△中，AB AC=，2CABα∠=，在△ABC的外侧作直线()901802AP a PAC a︒−<∠︒−，作点C关于直线AP的对称点D，连接,,AD BD BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）连接CE，求证：ACE ABE∠=∠；（3）过点A作AF CE⊥于点F，用等式表示线段,2,BE EF DE之间的数量关系，并证明。

北京市中考数学近三年压轴题汇编200622．（本小题满分4 分）请阅读下列材料：问题：现有 5 个边长为 1 的正方形，排列形式如图 1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x( x0)．依题意，割补前后图形的面积相等，有x25，解得x 5．由此可知新正方形的边长等于两个正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图 2 所示的分割线，拼出如图 3 所示的新正方形．图1图2图 3请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有 10 个边长为 1 的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图 5 的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．22．解：所画图形如图所示．图 4图 5七、解答题（本题满分 6 分）23．如图 1，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图 2，在△ABC中，ACB 是直角， B 60 ，AD，CE 分别是BAC ，BCA的平分线， AD ，CE相交于点 F ．请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图 3，在△ABC中，如果ACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（ 1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．解：画图：M BEO P F DN A C B图 1图 2E （1）FE与FD之间的数量关系为．D F23．解：图略．画图正确得 1 分．A图 3C（ 1）FE与FD之间的数量关系为FE FD．·················2 分（ 2）答：（ 1）中的结论FE FD仍然成立．证法一：如图4，在AC上截取AG AE，连结FG．··············3 分B因为1 2 ， AF 为公共边，可证△ AEF ≌△ AGF ．EDF所以AFE AFG ， FE FG．··········4 分１4， AD， CE 分别是BAC， BCA 的平分线，23由B60A G C图 4可得2 3 60．所以 AFE CFD AFG 60 ．所以 CFG60 ．···································5 分由 34及 FC 为公共边，可得 △CFG ≌△ CFD ．所以FGFD ．所以 FEFD ． ·········································6 分证法二：如图 5，过点 F 分别作 FG ⊥ AB 于点 G ， FH ⊥ BC 于点 H ． ··············3 分因为B60 ，且 AD ， CE 分别是 BAC ，BCA的平分线，23 60 ， F 是△ABC 的内心．B所以可得······4 分ＧD1，FG FH ．EH所以GEF60F１4 又因为 HDFB1 ，23AC图 5所以GEFHDF． ·······················5 分因此可证 △ EGF ≌△ DHF ．所以 FEFD ． ·········································6 分八、解答题（本题满分 8 分）24．已知抛物线yax 2bx c 与 y 轴交于点 A(0，3)，与 x 轴分别交于B(10)， ，C (5，0) 两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线yDC的解析式；54（3）若一个动点 P 自OA的中点 M 出发，先到达32 x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称1轴上某点 （设为点 F ），最后运动到点 A ．求使点3 2 11 23 4 5 6 7 x123P运动的总路径最短的点E ，点 F的坐标，并求出这个最短总路径的长．解： 24．解：（ 1）根据题意，c3，a b 3 0，所以25a 5b 3 0.a 3，5 b18 .解得5y3 x 2 18 x 3 所以抛物线解析式为5 5 ． ·························2 分（ 2）依题意可得 OA的三等分点分别为(0，1) ， (0，2) ．设直线CD的解析式为ykx b ．y1 x 1当点 D 的坐标为(0，1) 时，直线 CD 的解析式为5； ···········3 分y2 x 2当点 D 的坐标为(0，2)时，直线 CD 的解析式为5． ··········4 分M3y （ 3）如图，由题意，可得0，2 ．3 A0，3A点 M 关于 x 轴的对称点为MM2 ，FxO BE3C点 A 关于抛物线对称轴x3的对称点为A (6，3)．M连结AM．根据轴对称性及两点间线段最短可知，A M 的长就是所求点 P 运动的最短总路径的长． ··················································5 分所以 AM与 x 轴的交点为所求 E 点，与直线 x3的交点为所求 F 点．y3 x 3 可求得直线A M的解析式为42 ．3可得 E 点坐标为(2，0)， F 点坐标为3，4．···················7 分A M152 ．由勾股定理可求出(ME EF FA ) 的长为15所以点 P 运动的最短总路径2．··············8 分九、解答题（本题满分8 分）25．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．解： 25．解：（ 1）略．写对一种图形的名称给 1 分，最多给 2 分．（ 2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60 时，这对 60 角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．·································3 分已知：四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC BD，且 AOD 60．求证：BCAD≥ AC．证明：过点D作DF∥AC，在 DF 上截取 DE ，使DE AC．连结CE， BE ．·········································4分故EDO 60，四边形ACED是平行四边形．所以△BDE是等边三角形，D分CE AD． (6)A所以DEBE AC ．O①当BC与CE不在同一条直线上时（如图1），B EC F在△ BCE 中，有 BC CE BE ．图 1所以BCAD AC ．·························7分。

1.在平行四边形ABCD中，若∠A = 110°，则∠B的度数为：
A.70°（答案）
B.80°
C.90°
D.100°
2.一个圆的半径为r，其内接正方形的边长为：
A.r
B.√2r（答案）
C.2r
D.πr
3.在直角三角形ABC中，∠C = 90°，若AC = 3，BC = 4，则AB的长度为：
A.5（答案）
B. 6
C.7
D.8
4.已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为：
A.13
B.17（答案）
C.13或17
D.无法确定
5.圆的切线垂直于过切点的半径，这是：
A.公理
B.定理（答案）
C.推论
D.假设
6.在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠A = 120°，则∠D的度数为：
A.60°
B.120°
C.60°或120°（答案）
D.无法确定
7.正方形的对角线长度为d，则其边长为：
A.d/2
B.d/√2（答案）
C. d
D.√2d
8.在圆O中，弦AB的长度为8，圆心O到弦AB的距离为3，则圆O的半径为：
A. 4
B.5（答案）
C. 6
D.7
9.已知三角形的三边长为连续整数，且最长边为8，则这个三角形的最短边长为：
A. 4
B. 5
C.6（答案）
D.7
10.在平行四边形ABCD中，若AB = CD，且∠A = ∠C，则平行四边形ABCD是：
A.矩形
B.菱形（答案）
C.正方形
D.无法确定。

从条件入手，思考条件的按暗示。

先来看看题目中的条件∵△ABC是等腰△D为BC中点，可知三线合一AD⊥BCF是EB中点还有等腰DF=FG特殊的角度∠DFG=2α, ∠B=∠A=α方法1(思路分析)等腰DF=FG以及特殊角∠DFG=2α=2∠B暗示构造∠DFG的角平分线交AE于点H.可知∠HFE= ∠B∴AB∥HF,注意到F是EB中点∴HF是△AEB的中位线∴H是AE中点。

∵△AED是直角△联结HD（斜边中线）联结HG（角平分线模型）易知HD=HE=HA(直角△斜边中线等于斜边的一半) HD=HG(易证△HDF≌△HGF(SAS))∴HD=HE=HA=HGA、E、D、G四点共圆H为圆心∠ADE=∠AGE=90°.方法2(思路分析)∠DFG=2α=2∠BF是EB中点暗示倍长EG构造中位线（这条辅助线在前几年的中考都出现过）延长ED至点H，使得EG=HG联结AH、HB易知GF是△EBH的中位线∴GF∥HB,易知∠ABH=α再+条件AB=AC，妥妥的暗示△ACE≌△ABH但现在全等差一个条件∵FG=FD没用过，我们试证HB=CE易知FG=1/2HB下证FD=1/2CE(有点难度)设FD=y, ED=x∵F是EB中点∴FB=EF=x+yDB=FB+DF=x+2y∵D是BC中点∴CD=x+2y∴CE=CD-ED=2y∴FD=1/2CE∴HB=CE∴△ACE≌△ABH（SAS）∴AE=AH∵G是EH中点(中位线)∴∠AGE=90°方法3（简单分析）等腰DF=FG暗示三线合一提示易知∠ADG=∠HFG=αAD/AC=DG/CE=sinα∴△ACE∽△ADG∴∠CAE=∠DAG∠CAD=∠EAG(公共角) AC/AD=AE/AG∴△ACD∽△AEG∴∠AGE=90°。

2023北京中考数学专题突破——填空压轴题1．张老师准备为书法兴趣小组的同学购买上课的用具，在文具商店看到商店有A、B两种组合和C、D、E、F商品及它们的售价，组合及单件商品质量一样．若该小组共有12人，其中，笔和本每人各需要一份，砚台2人一方即可，墨汁n瓶（n≥3）．张老师共带了200元钱，请给出一个满足条件的购买方案（购买数量写前面商品代码写后面即可，例如：2A+3B+……）；n最多买瓶．商品价格组合A（1支笔+1个本+1方砚台+1瓶墨汁）25元组合B（1支笔+1个本+1瓶墨汁）18元C：1支笔5元D：1个本4元E：一方砚台10元F：一瓶墨汁12元2．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：盒子型号A B C盒子容量/升234盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为元；（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为.（写出一种即可）3．某快递员负责为A，B，C，D，E五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量如表小区需送快递数量需取快递数量A156B105C85D47E134（1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案（写出小区编号）；（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案（写出小区编号）．4．某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；…，经整理形成统计表如表：12345678累计工作时长最多件数（时）种类（件）甲类件305580100115125135145乙类件1020304050607080（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为元；（2）如果快递员一天累计送x小时甲类件，y小时乙类件，且x+y＝8，x，y均为正整数，那么他一天的最大收入为元．5．甲、乙两人分别在A，B两条生产线上加工零件，在A生产线，甲、乙均是每天最少可以加工2个A零件．当连续生产时，甲第一天能加工10个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少2个；乙第一天能加工8个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少1个．在B生产线，甲每天加工7个B零件，乙每天加工8个B零件．在同一天内，甲和乙不能在同一条生产线上工作，且在一条生产线连续工作不少于3天时可改变生产线，改变生产线后加工时间重新计算．根据题意，得：（1）甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件个；（2）若一个A零件、一个B零件组成一套产品，则14天最多能加工套产品．6．某甜品店会员购买本店甜品可享受八折优惠．“五一”期间该店又推出购物满200元减20元的“满减”活动．说明：①“满减”是指购买的甜品标价总额达到或超过200元时减20元．“满减”活动只享受一次；②会员可按先享“满减”优惠再享八折优惠的方式付款，也可按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款．小红是该店会员．若购买标价总额为220元的甜品，则最少需支付元；若购买标价总额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款最划算，则x的取值范围是．7．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：盒子型号A B C盒子容量/升234盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，4，3，则购买费用为元；（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为．（写出一种即可）8．如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；③最后一个将球取完的人获胜．（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则（填“甲”或“乙”）一定获胜；（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是．9．为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为A，B，C，D，E，F的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下：大礼包编号一等奖（个）二等奖（个）三等奖（个）总奖品数（个）A15410B2338C3148D42511E5139F34512该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案．（写出要购买的大礼包编号）10．现在有三个仓库A1、A2、A3，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂B1、B2、B3，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如表所示（单位：元/吨）：B1B2B3 A1（7t）126A2（12t）042A3（11t）315现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，（1）如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2，从A1运7吨到B2，那么从A2需要运吨到B2；（2）考虑各种方案，运费最低为元．11．某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为元．12．盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为元．13．为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某校初三（5）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小王、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第一、二、三名（没有并列），对应名次的得分分别为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）分，选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，小恩同学第三轮的得分为．第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮总分小恩a a27小王a b c11小奕c b10 14．以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要分钟．准备时间（分钟）加工时间（分钟）用时种类米饭330炒菜156炒菜258汤5615．高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：收费出口编号A，B B，C C，D D，E E，A260330300360240通过小客车数量（辆）在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是．16．某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品．一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比．例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔汀单的生产时间（单位：小时）依次为a，b，c，其中a＞b＞c，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是．17．某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如下表所示．若每台机器只完成一项工作，则完成五项工作的效益值总和的最大值为．工作一二三四五效益机器甲1517141715乙2223212020丙913141210丁7911911戊1315141511 18．某学习兴趣小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数，①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为；②该小组人数的最小值为．19．某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示．大中小尺寸数量（个）款式A81525B01020烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用次；（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为元．20．某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者．如果对每个人的血样逐一化验，需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占0.05%．回答下列问题：（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数（填“是”或“否”）；（2）按照这种化验方法至多需要次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．21．为美化广场环境要建花坛，一个花坛由四季海棠、三色堇、蔷薇三种花卉组成，这三种花卉的盆数同时满足以下三个条件：a．三色堇的盆数多于四季海棠的盆数；b．四季海棠的盆数多于蔷薇的盆数；c．蔷薇盆数的2倍多于三色堇的盆数．①若蔷薇的盆数为4，则四季海棠盆数的最大值为；②一个花坛花盆数量的最小值为．22．某咖啡店提供三种咖啡，其对应两种容量的价格如下表所示：咖啡品种中杯（300ml）大杯（450ml）A30元/杯45元/杯B34元/杯55元/杯C45元/杯65元/杯咖啡店开展回馈活动，凡自备容器购买咖啡者，每种中杯咖啡价格可减免2元、大杯咖啡价格可减免5元．请根据上述信息，回答下列问题：（1）店长收到顾客反映，有的咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格还是比中杯的贵，请问是表中的品种（填“A”，“B”或“C”）；（2）若要让所有咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格都比中杯的便宜，则应将大杯咖啡的价格至少减免元（减免的钱数为整数）．23．我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少定制小熊个和钥匙扣个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）．小熊钥匙扣套装进价13316售价16418购买意向40%30%25%24．某超市对某品牌袋装茶叶搞促销活动，商家将该品牌袋装茶叶按以下五种类型出售：A 类只有一袋茶叶，B类有二袋茶叶，C类有三袋茶叶，D类有五袋茶叶，E类有七袋茶叶，价格如表：种类A B C D E 单价（元/类）2036426590小云准备在该超市购买6袋上述品牌的茶叶，则购买茶叶的总费用最低为元．25．某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如表：规格每包食材含量每包售价A包装1千克45元B包装0.25千克12元已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为包时，每日所获总售价最大，最大总售价为元．26．小宜跟几位同学在某快餐厅吃饭，如下为此快餐厅的菜单．若他们所点的餐食总共为10份盖饭，x杯饮料，y份凉拌菜．A套餐：一份盖饭加一杯饮料B套餐：一份盖饭加一份凉拌菜C套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜（1）他们点了份A套餐（用含x或y的代数式表示）；（2）若x＝6，且A、B、C套餐均至少点了1份，则最多有种点餐方案．27．小周自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、55元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，小周对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，小周会得到支付款的80%．（1）当x＝6时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；（2）在促销活动中，为保证小周每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为．28．为了加强学生的交通意识，保证学生的交通安全，某附中和交警大队联合举行了“交通志愿者”活动，选派部分同学和家长志愿者到学校东门和南门的若干个交通路口协助警察维持交通秩序，若每个路口安排4人，那么每个路口安排完后还剩下18人，若每个路口安排6人，那么每个路口安排完后还剩下人数不足4人，若每个路口安排7人，只有最后一个路口不足7人，则这个中学一共选派的同学和家长志愿者的总人数为．29．某快餐店的价目表如下：菜品价格汉堡（个）21元薯条（份）9元汽水（杯）12元1个汉堡+1份薯条（A套餐）28元1个汉堡+1杯汽水（B套餐）30元1个汉堡+1份薯条+1杯汽水（C套餐）38元小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要元．30．某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：车型大巴车（最多可坐55人）中巴车（最多可坐39人）小巴车（最多可坐26人）每车租金（元∕天）900800550则租车一天的最低费用为元．第11页（共11页）。

2012年北京市初三数学中考压轴题2012海淀一统8.已知O 为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线，C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点 C 开始沿圆锥侧面爬行到点 A,另 一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ,它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示•若沿OA 剪开，则得到的圆锥侧12.用两个全等的含（A）30 角的直角三角形制作如图）A 1所示的两种卡片，两种卡片中扇形的半径均为1,且扇形所在圆的圆;心分别为长直角边的中点和 C 30 角的顶点，按先A 后的顺序交替摆放 A 、B 两种卡片得到图（2所示的图案•若摆放这个图案共用两种卡8张，则这个图案中阴影部分的面积之和为 _________________ ；若摆放这个图案 共用两种卡片（2n+1）张（n 为正整数B ），则这个图案中阴影部分的面积之和为 _________ .（结果保留）22.已知△ ABC 的面积为a , 0、D 分别是边 AC 、BC 的中点.（1） 画图：在图1中将点D 绕点0旋转180 得到点E,连接AE 、CE.填空：四边形ADCE 的面积为 ________________ ;（2） 在（1）的条件下，若 F 1是AB 的中点，F 2是AF 1的中点，F 3是AF ?的中点，…，F n 是AF n -1的中点（n 为大 于1的整数），则厶F 2CE 的面积为 _________________ ; △ F n CE 的面积为 ____________ .填空：四边形ADCE 的面积为 _____________ .（2）A F 2CE 的面积为 ______________ ; △ F n CE 的面积为 _______________解：（1）画图：图1面展开图为（ BA O O (A) A CO (A)图1备用图2 ..23.已知二次函数y=ax+bx+c 的图象与反比例函数 a 亠4y 的图象交于点 A （a, -3），与y 轴交于点x B.(1) (2) 试确定反比例函数的解析式 ； 若.ABO =135，试确定二次函数的解析式 (3) 在（2）的条件下，将二次函数y=ax 2 + bx + c 的图象先沿 图象交于点P (X o , 6).当x o < x w 3时, 的求平移后的二次函数 24.已知在 口ABCD 中，AE（1） 如图 （2） 如图 明理由； （3） 如图 1,2, BC 于 E ， 若 AE=AD ， ADC=60 若AE=AD ，你在（1）中得到的结论是否仍然成立 DF 平分 ADC 交线段 AE 于F.，请直接写出线段 CD 与AF+BE 之间所满足的等量关系； ,若成立，对你的结论加以证明，若不成立，请说 3, 若AE :AD =a :b ,试探究线段CD 、AF 、BE 之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论 解：（1）线段CD 与AF+BE 之间所满足的等量关系为 图1 图2(2)（3）线段CD 、AF 、BE 之间所满足的等量关系为图325.如图，已知抛物线经过坐标原点0及A （-2. 3,0），其顶点为B （m,3）, C 是AB 中点，点E 是直线0C 上的一个动点(点E 与点0不重合)，点D 在y 轴上，且EO=ED .(1) 求此抛物线及直线 0C 的解析式；(2) 当点E 运动到抛物线上时,求BD 的长； (3)连接AD,当点E 运动到何处时，△ AED 的面积为 2012西城北区一统 8.如图，在平面直角坐标系 xOy 中, 一个动点，线段 DA 与y 轴交于点E , A(2,0) , B(0,2) , O C 的圆心为点C(-1,0)O 面积的最大值是 2乎 匕厂f 1 2y x2 是m W x < n 时，函数值y 的取值范围恰好是 3m <y < 3n ，贝U m= 12.已知二次函数 x , (1)它的最大值为 y L0 1 A X;(2)若存在实数 m , n 使得当自变量x 的取值范围 ,n=20.已知函数y =x 2+bx +c (x >0),满足当x =1时，y =-1，且当x = 0与x =4时的函数值相等.(1)求函数y =x 2，bx c (x >0)的解析式并画出它的图象(不要求列表)三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数 k 的取值范围.22. 阅读下列材料：题目：已知实数 a , x 满足a >2且x >2,试判断ax 与a x 的大小关系，并加以说明. 思路：可用"求差法”比较两个数的大小，先列出 ax 与a - x 的差y = ax-(a x)，再说明y 的符号即可•现给出如下利用函数解决问题的方法：简解：可将y 的代数式整理成y=(a_1)x_a ，要判断y 的符号可借助函数 y=(a_1)x_a 的图象和性质解决 参考以上解题思路解决以下问题：已知 a , b , c 都是非负数，a v 5,且 a 2 -a -2b-2c = 0 , a *213-2—3=0 . (1 )分别用含a 的代数式表示4b , 4c ； (2) 说明a , b , c 之间的大小关系.23.已知抛物线 y =kx 2 •(k -2)x 「2 (其中 k 0 ). (1) 求该抛物线与x 轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k 的代数式表示)；(2)若f(x)表示自变量x 相对应的函数值, -2x bx c(x _0), 且f(x)=-2 (xcO),又已知关于x 的方程f (x) = x • k 有(2)若记该抛物线的顶点坐标为P(m, n)，直接写出n的最小值；(3)将该抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移丄个单位长度，随着k的变化，平移后的抛物线的顶点2 k都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式(不要求写自变量的取值范围)24 .已知：如图，正方形ABCD的边长为a, BM , DN分别平分正方形的两个外角，且满足M MAN =45，连结MC , NC , MN .(1 )填空：与△ ABM相似的三角形是△__________ ,BM DN(2)求.MCN的度数；(3)猜想线段BM , DN和MN之间的等量关系并证明你的结论.25 .已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A , C两点的坐标分别为A(2,3), C(n,-3)(其中n> 0),点B在x轴的正半轴上.动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O—A—B—C 的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动.设点P移动的路径的长为I, △ POC的面积为S, S与I的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形.(1) 结合以上信息及图2填空：图2中的m= ____________ ;(2) 求B, C两点的坐标及图2中OF的长；x (3) 在图1中，当动点P 恰为经过O , B 两点的抛物线 W 的顶点时, ① 求此抛物线W 的解析式；② 若点Q 在直线y = _1上方的抛物线 W 上，坐标平面内另有一点 形是菱形，求点 Q 的坐标.12012西城南区一统24 .已知：O O 是厶ABC 的外接圆，点 M 为O O 上一点.(1) 如图，若△ ABC 为等边三角形， BM=1 , CM=2，求AM 的长；(2 )若厶ABC 为等腰直角三角形，/ BAC=90 , BM 二a , CM =b (其中b a ),直接写出 AM 的长(用含 有a , b 的代数式表示).2012东城一统22c-2b 8.已知二次函数 y 二ax 2 bx c 的图象如图所示，那么一次函数 y 二bx • b 2 -4ac 与反比例函数 y在R ,A同一坐标系内的图象大致为x(a -1)x 2 -(a 1)x2=0有两个不相等的实数根;(2)当整数a 取何值时，方程(a-1)x 2-(a 7)x • 2 =0的根都是正整数.24 .已知△ ABC 和厶ADE 是等腰直角三角形，/ ACB=Z ADE=90°点F 为BE 中点，连结 DF 、CF.(1) 如图1,当点D 在AB 上，点E 在AC 上，请直接写出此时线段 DF 、CF 的数量关系和位置关系 (不用证明); (2) 如图2,在(1)的条件下将△ ADE 绕点A 顺时针旋转45°时，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立， 并证明你的判断；CB 于点 值为Rt △ ABC 中，/ ACB=90°,/ ABC=30°P 、Q , / MON 绕点O 任意旋转. 当 OB.( 用含n 的式子表示)，直角/ MON 的顶点O 在AB 上, =丄时，的值为2 OQOM 、ON 分别交 CA 、OB时，竺的OQ23. 已知：关于x 的方程(a -1)x 2 -(a 1)x 2 = 0 •(1 )当a 取何值时，方程12.如图，在 B接写出结果).(3) 如图3,在(1)的条件下将△ ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1 , AC=2. 2 ,求此时线段CF的长(直FDA C25•在平面直角坐标系xOy中，抛物线y =mx2 * 3x 5 m与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y 轴交于点C (0 , 4) , D为OC的中点.(1 )求m的值；（2） 抛物线的对称轴与 x 轴交于点E ,在直线AD 上是否存在点F ,使得以点A 、B 、F 为顶点的三角形与.：ADE 相似？若存在，请求出点 F 的坐标，若不存在，请说明理由；5 _ （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 6,使厶GBC 中BC 边上的高为 、2 ?若存在，求出点 G 的坐标；若不2存在，请说明理由.1-O .iX2012朝阳一统8.如图，Rt △ ABC 中，/ C = 90 ° AC = 3, BC = 4, P 是斜边 AB 上一动点（不与点 A 、B 重合），PQ 丄AB 交厶ABC 的直角边于点 Q ,设AP 为、△ APQ 的面积为y ,则下列图象中，能表示 y 关于x 的函数关系的图象大致是12.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1, 这样的数称为正方形数”（如图②）.b 4 =16，…；y 1 = 2a 1 b 1 , y ^ = 2a 2 b 2 , y 3 =2a 3 b 3 ,y n = _____ （用含 C. D.3, 6, 10，… 这样的数称为 三角形数”(如图①)，而把1, 4, 9, 16,… 如果规定 a 1 =1 , a 2 = 3, a 3 = 6 , a 4 = 10 ,…；d = 1 , b 2 = 4 , b 3 = 9 , y 4 = 2a 4b 4,…,那么，按此规定， y 6二—, n 的式子表示，n 为正整数）./ ACB=90 ° , O 为BC 边上一点，以E ,连接 CD ，且 CD=CA , BD=6. 5 , tan / ADC=2 . 求23.如图，在△ 交于点D 、点(1) (2)ABC0图②圆心, OB 为半径作半圆与 AB 边和BC 边分别0 0 O o o O o o O OOO10 1624. 已知，在△ ABC中，/ BAC=90 ° AB=AC, BC= 2<2，点D、E在BC边上(均不与点B、C重合，点D始终在点E左侧)，且/ DAE = 45°(1 )请在图①中找出两对相似但不全等的三角形，写在横线上_____________ , _____(2)设BE = m, CD = n,求m与n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围;(3)如图②，当BE= CD时，求DE的长；(4)求证：无论BE与CD是否相等，都有DE2=BD2+CE2图①图②备用图25. 已知抛物线y= ax2+ bx+ 6与x轴交于A、B两点(点A在原点的左侧，点B在原点的右侧)，与y轴交于点C,1 1且0B= OC，tan/ ACO = —，顶点为D.2 6(1)求点A的坐标.(2)求直线CD与x轴的交点E的坐标.(3)在此抛物线上是否存在一点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点四边形ABMN 的面积S 最大？请求出此时S 的最大值和点 N 的坐标. (5)点P 为此抛物线对称轴上一动点，若以点 P 为圆心的圆与(4)中的直线AM 及x 轴同时相切，则此时点P 的坐标为 _______ .23. 如图 1，在△ ABC 中，/ ACB=90 ° 结A 'A 、B 'B ,设△ ACA 和△ BCB 的面积分别为 S ^ACA(1) ______________________________________________ 直接写出 S ^ ACA ' : S ^ BCB ' 的值 ,(2)如图2,当旋转角为二(0 °V rv 180°)时，S ^ ACA ' 与 S A BCB '的比值是否发生变化，若不变请证明; 若改变，写出变化后的比值(可用含二的代数式表示).y8 - 7 - 6 -543-2 ■ 1 -1Iii1111-^.-5 -4 -3 -2 -1q1 2 3 4 5 x ■>-2 —-3-4 ■ -5 ■-6■ y8 - 7 -65 L 4 L 3 1— 2W1 -iiii1 1 1 1-5 -4 -3 -2 -1q1 2 3 4 5x-2 <=■ -3■-4 - -5 --6-备用图① 备用图②2012石景山一统8.如图，动点P 从点A 出发，沿线段 段AP 长为半径的圆的面积AB 运动至点 P 的运动时间12.如图，O A 与x 轴交于则PD 的最小值是 __________B (2，0)、,AC=3 , BC=4，将△ ABC 绕顶点C 顺时针旋转 30°,得到△ A B C .联 '和S ^BCB ，. B .点P 在运动过程中速度大小不变.则以点A 为圆心，线图1 图224.已知函数y二mx2「3x - 2 (m是常数).(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；(2)若一次函数y二x • 1的图象与该函数的图象恰好只有一个交点，求的值及这个交点的坐标.25.如图，矩形A'BC'o'是矩形ABCO绕点B顺时针旋转得到的. 其中点O',C在x轴负半轴上，线段OA在y 轴正半轴上，B点的坐标为-1,3 .Q - I(1)如果二次函数y =ax • bx • c a = 0的图象经过O、O两点且图象顶点M的纵坐标为-1 .求这个二次函数的解析式；(2)求边O'A'所在直线的解析式；(3)在(1)中求出的二次函数图象上是否存在点P,使得S.p oM二3S..COD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.2012丰台一统8 .如图，在矩形 ABCD 中，AB=4cm , AD=2cm ，动点M 自点A 出发沿A 〜B 的方向，以每秒1cm 的速度运动, 同时动点N 自点A 出发沿A T D T C 的方向以每秒2cm 的速度运动，当点 N 到达点C 时，两点同时停止运动， 设运动时间为x (秒),△AMN 的面积为y (cm 2),则下列图象中能反映 y 与x 之间的函数关系的是VA 2-3 2 1||32 1j32-01 2 3 x-O 1 2 3 x -O -- i -14.我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”已知：在 Rt △ ABC 中，/ C=90° AC=6, BC=3 .(1) 如图1,四边形CDEF 是厶ABC 的内接正方形, 则正方形 CDEF 的边长a 1是 _____________________ ;(2)如图2,四边形DGHI是(1)中厶EDA的内接正方形, 则第2个正方的边长a2= _______________继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n个内接正方形的边长轴交于点C .(1) 求抛物线的解析式； (2) 求厶ABC 的面积；(3) 点P(t,O)是x 轴上的一个动点.过点 N 的上方时，直接写出 t 的取值范围.3 - 2 ■1n 1 i i 1 1 11 » T £ — -10-1 2 3)- - - i —--24. 在Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC , CD 丄AB 于点D ，点E 为AC 边上一点，联结 BE 交CD 于点F ，过 点E 作EG 丄BE 交AB 于点G , (1) 如图1,当点E 为AC 中点时，线段EF 与EG 的数量关系是 _______________ ;CE 1 (2)如图2,当 ，探究线段EF 与EG 的数量关系并且证明；AE 2CE 1(3)如图3,当，线段EF 与EG 的数量关系是 _____________AE na n = .(n 为正整数)23.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y2 _=mx +n x-2 与直线 y=x — 1 交于 A (- 1, a )、B (b ,0 )两点，与 yP 作x 轴的垂线交直线 AB 于点M ，交抛物线于点 N .当点M 位于点2 _25.在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C i ： y i - -x 2x.（1 ）将抛物线C 1先向右平移2个单位，再向上平移 1个单位，得到抛物线 C 2，求抛物线C 2的顶点P 的坐标及 它的解析式.（2）如果x 轴上有一动点 M ，那么在两条抛物线C 2上是否存在点 N ,使得以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形（OP 为一边）？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由.y* 3 2- AGcB A图3-2-1O 12345678 x2012大兴一统8.已知函数y = (x-a)(x「b)(其中a b )的图象如图所示，则函数y二ax • b的图象可能正确的是A B C D12.如图所示，长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向) ，木板上点A位置变化为A—；A—；A，由A翻滚到A时被桌面上一小木块挡住，此时长方形木板的边A2C与桌面成30 °角，则点A翻滚到A位置时所经过的路径总长度为cm.23.已知：在△ ABC中，AB二AC，点D为BC边的中点，点F在AB上，连结DF并延长到点E ,使BAE 二BDF，点M 在线段DF 上，且ABE 二DBM .(1)如图1,当• ABC =45°时，求证：AE = .2MD ；(2)如图2,当.ABC =60°时，则线段AE、MD 之间的数量关系为（3）在（2）的条件下，延长BM到P，使MP =BM，连接CP，若AB =7, AE =2、.7，求tan. EAB的值.2 2 224.已知a、b均为整数，直线y = ax • b与三条抛物线y = x 3, x 6x 7和y = x 4x 5交点的个数分别是2,1,0,若bx2 ay2 =6x,求x2 y2的最大值.1 2 325.已知二次函数y x x .4 2（1 ）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，如图所示，设平移后的抛物线的顶点为M，与x轴、y轴的交点分别为A、B、C 三点，连结AC、BC,若/ ACB=90° .①求此时抛物线的解析式；②以AB为直径作圆，试判断直线CM与此圆的位置关系，并说明理由.2012怀柔一统8.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90 ° / BAC=30 ° AB=2 , D 是AB 边上的一个动点(不与点 A 、B 重合)，过的垂线交射线CA 于点E .设AD=x , CE=y ，则下列图象中，能表示 y 与x 的函数关系的图象大致是(k23•如图所示，在直角坐标系中，点A 是反比例函数 ％ 的图象上一点，AB_x 轴的正半轴于B 点，C 是OBx的中点；一次函数 y^ ax b 的图象经过A 、C 两点，并交y 轴于点D 0, 2，若S ^AOD = 4.(1 )求反比例函数和一次函数的解析式;(2)观察图象，请指出在 y 轴的右侧，当 乳• y 2时x 的取值范围，当解:点D 作CD整数之和都相等，则第 99个格子中的数为3abc-1212 •如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填 ，2012个格子中的数为24.把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转：•角,旋转后的矩形记为矩形 EDCF •在旋转过程中，(1) _______________________________________________________ 如图①，当点 E 在射线CB 上时，E 点坐标为 __________________________________________________________________ ; (2) _______________________________________________________ 当:CBD 是等边三角形时，旋转角 :的度数是 ___________________________________________________________________ C-为锐角时)；(3) 如图②，设 EF 与BC 交于点G ,当EG=CG 时，求点 G 的坐标.25.如图，在平面直角坐标系中，顶点为( 4 , -1)的抛物线交y 轴于A 点，交x轴于B , C 两点(点B 在点C 的左侧).已知A 点坐标为(0, 3).(1 )求此抛物线的解析式；(2) 过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ,如果以点C 为圆心的圆与直线 BD 相切，请判断抛物线的⑷如图③，当■, -90时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上.图① 图②图③对称轴I与O C有怎样的位置关系，并给出证明；(3)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A, C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积•解:y(第25题)2012门头沟一统8.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是菱形，点C 的坐标为（4,0）, / AOC= 60°,垂直于x 轴的直 线I 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线 I 与菱形OABC 的两边分别交于点12.某商店将每件进价 8元的商品按每件10元出售，一天可以售出约 100件，该商店想通过降低售价增加销售 量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件，那么要想使销售利润最大，则需要将这种商品的售价降223. 已知抛物线y 1 =x 4x 1的图象向上平移 m 个单位（m ）得到的新抛物线过点（1，8）（1 ）求m 的值，并将平移后的抛物线解析式写成y 2 =a （x-h ）2 • k 的形式；（2） 将平移后的抛物线在 x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个3新的图象•请写出这个图象对应的函数 y 的解析式，同时写出该函数在 -3：：：x <时对应的函数值y 的取值范2围； （3）设一次函数y 3二nx ■ 3（n = 0），问是否存在正整数 n 使得（2）中函数的函数值 y 二y 3时，对应的x 的值 为-1 ：：：x ：：：0,若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.「y5 4 - 3 - 2 1__ I __ | _ | __ | __ L | ||| | 字-5 -4 -3 -2 -1 0 __ 1 _ 23 4 5x-1 --2 -3 -4 -M ，N （点 M 在点N 的上方），若△ OMN的面积为S ，直线I 的运动时间为t 秒（A）-5 -24. 如图，四边形ABCD中，AD = CD，/ DAB =Z ACB = 90°过点D作DE丄AC，垂足为F, DE与AB相交于点E.(1) 求证：AB • AF = CB • CD ;(2) 已知AB = 15 cm , BC = 9 cm , P是射线DE上的动点.设DP= x cm ( x 0),四边形BCDP的面积为y cm2.①求y关于x的函数关系式；②当x为何值时，△ PBC的周长最小，并求出此时y的值.25. 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A (-3, 0)、B (1, 0),过顶点C作CH丄x轴于点H.(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)在y轴上是否存在点 D ,使得△ ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，PQ丄AC于点0,当厶PCQ与厶ACH相似时，求点P 的坐标.(备用图)2012平谷一统8•如图，在等腰梯形ABCD 中，AB //对角线AC、BD相交于O,/ ABD=30 ,AC 丄BC, AB=8cm，则△CD,COD的面积为A. ^/3cm2 B . 4 2 cm33C. 3cm? D . 2 2 cm3313.如图，在直角三角形ABC中，/ ACB=90 ° CA=4，点P是半圆弧AC的中点，联结BP，线段BP把图形APCB (指半圆和三角形ABC组成的图形)分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是23.如图，在△ ABC中，AB= AC,以AB为直径的O O交BC于点D，过点D作EF丄AC于点E,交AB的延长线于点F.A(1) 求证：EF是O O的切线；(2) 当AB = 5, BC= 6 时，求DE 的长.324.如图，一次函数的图象与反比例函数y i= - - (xvO)的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C ( 2, 0).当X ：：：-1时，一次函数值大于反比例函数的值，当X • -1时，一次函数值小于反比例函数值•(1)求一次函数的解析式；a 3 a(2)设函数y2= - (x 0)的图象与屮=--(x<0)的图象关于y轴对称•在粹 X (x 0)的图象上取一点Px x x(P点的横坐标大于2)，过P作PQ丄x轴，垂足是Q,若四边形BCQP的面积等于2,求P点的坐标.y1 y2225. 已知关于x的二次函数y =ax bx c（a>0）的图象经过点C（0,1）,且与x轴交于不同的两点A、B,点A的坐标是（1，0）.（1 ）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记厶PCD的面积为§,△ PAB的面积为当0 ：：： a ：：： 1时，求S, -S2的值.1 2 8.如图，将抛物线y x21 2线y x相交于点C,2A .平移后经过原点O和点A(6,0)，平移后的抛物线的顶点为点B，对称轴与抛物则图中直线BC与两条抛物线围成的阴影部分的面积为21~2B.1227C. "2D. 152012顺义一统12.如图，在平面直角坐标系中，过格点 A , B , C 作一圆弧，点B 与图中格点的连线中，能够与该圆弧相切的 连线所对应的格点的坐标为 _____________________________ .123 .如图，AB 是O O 的直径，AC 是弦，/ ACD = / AOC , AD 丄CD 于点D .2(1) 求证：CD 是O O 的切线； (2) 若 AB= 10, AD = 2,求 AC 的长.24.在Rt △ ABC 中，•-ACB = 90 , BC =30, AC = 40，点P 是AB 边上任意一点，直线 PE 丄AB ，与边 AC 或BC 相交于点E .点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，且PM=PN , tan ，EMP =3 . (1)如图①，当点 E 与点C 重合时，求MP 的长；(2)设AP 二X , △ ENB 的面积为y ,求y 与x 的函数关系式，并求出当x 取何值时，y 有最大值，最大值是多备用图 备用图图①25.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2 3的等边△ ABC随着顶点A在抛物线申=£ _2、3x上运动而运动，且始终有BC // x轴.(1)当顶点A运动至与原点重合时，顶点C是否在该抛物线上？(2)△ ABC在运动过程中有可能被x轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为 1 : 8(即S上部分:S下部分=1:8)时，求顶点A的坐标；B落在坐标轴上时，直接写出顶点C的坐标.(3)△ ABC在运动过程中，当顶点2012昌平一统8.如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是射线BC上的一个动点，过P作DP的垂线交射线AB于点E.设BP = x , AE = y ,则下列图象中，能表示 y与x 的函数关系的图象大致是12.如图,点A i , A 2A i , A 2A 3=3OA i , A 3 A 4=4OA i ，….（n 为正整数）.22.已知正方形纸片 ABCD .如图1，将正方形纸片折叠，使顶点合)，折痕为EF ，折叠后AB 边落在PQ 的位置，PQ 与BC 交于点G . (1) 请你找到一个与 △ EDP 相似的三角形，并证明你的结论； (2)当AB=2,点P 位于CD 中点时，请借助图 2画出折叠后的示意图，并求 CG 的长.ADI 1 I I I I I II I IIIIIB -------------------------- C图224. 【初始问题】如图i ，已知两个同心圆，直线 AD 分别交大O O 于点A 、D ，交小O O 于点B 、C .AB 与CD 相等吗？请证明你的结论.【类比研究】如图 2，若两个等边三角形 ABC 和A i B i C i 的中心(点O )相同，且满足 AB // A i B i , BC / B i C i , AC // A i C i ，可知 AB 与A i B i , BC 与B i C i , AC 与A i C i 之间的距离相等.直线MQ 分别交三角形的边于点 M 、N 、P 、Q ,与AB 所成夹角为/ a (30 ° <Z aV 90°).(1) 求MN (用含/ a 的式子表示)；PQ(2) 求/ a 等于多少度时，MN = PQ .OA i =1, A i B i =20 A i , A 1 A 2=2O______ , A n B n = _____________ ,A 3 ,…，点B i , B 2 , B 3 ,…，分别在射线 OM , ON 上. A i B i // A 2B 2 // A 3B 3 // A 4B 4 //….则 A 2B 2=C2 . . _____________________________________________________25. 如图，抛物线y =ax +bx+c过点A (-1 , 0),且经过直线y =x-3与x轴的交点B及与y轴的交点C.(1)求点B、C的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3 )求抛物线的顶点M的坐标；(4)在直线y =x-3上是否存在点卩，使厶CMP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在, 说明理由.y A-1O2012延庆一统&如图，点A、B C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿线段OC-弧CD-线段DO的路线作匀速运动.设运动时间为t秒，/ APB的度数为y度，则下列图象中表示y12.如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P 为直角顶点作格点直角三角形(即顶点均在格点上的三角形) ，请你写出所有可能的直角三角形斜边的长22. 如图1,若将△ AOB绕点O逆时针旋转180。

北京市数学初中九年级一次函数易错题压轴难题综合练习一、易错压轴选择题精选：一次函数选择题1．如图1，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接BE ，DE ，过E 作EF ⊥BC 于F ．设AE ＝x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的( )A ．线段BEB ．线段EFC ．线段CED ．线段DE2．点(),P x y 在第一象限，且6x y +=，点A 的坐标为()4,0，设OPA ∆的面积为S ，则下列图像中，能反映S 与x 之间的函数关系式的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．直线1y x =+与2y x a =-+的交点在第一象限，则a 的取值可以是（ ）A ．1-B ．3C ．1D ．04．小明家、食堂、图书馆依次在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着云图书馆读报，然后回家．如图反映了这个过程，小明离家的距离与时间之间的对应关系，下列说法错误的是（ ）A ．小明从家到食堂用了8minB ．小明家离食堂0.6km ，食堂离图书馆0.2km C ．小明吃早餐用了30min ，读报用了17min D ．小明从图书馆回家的平均速度为0.08km/min5．如图是一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象，则不等式kx b x a ++＜的解集是（ ）A ．3x ＜B ．3x ＞C ．x a b ＞－D ．x a b <-6．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数2y x =的图像与直线y kx b =+交于()1,2--A ．直线y kx b =+，还经过点()2,0-．则不等式20x kx b <+<的解集为（ ）A ．2x <-B ．20x -<<C ．21x -<<-D ．10x -<< 7．下列函数中y 随x 的增大而增大，且图象与x 轴交点在y 轴左侧的是（ ） A ．21y x =-B ．21y x =+C ．21y x =-+D ．21y x =-- 8．函数y=kx+b （k 、b 为常数，k≠0）的图象如图，则关于x 的不等式kx+b ＞0的解集为（ ）A ．x ＞0B ．x ＜0C ．x ＜2D ．x ＞29．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A(1，0)，B(4，0)，C(1，4)，将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y ＝2x －6上时，线段BC 扫过的面积为( )A ．4B ．8C ．82D ．16 10．若点(2,1)P -在直线y x b =-+上，则b 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－311．如图，在矩形ABCD 中，一动点P 从点A 出发，沿着A→B→C→D 的方向匀速运动，最后到达点D ，则点P 在匀速运动过程中，△APD 的面积y 随时间x 变化的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，直线y=-x+2分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，点D 在BA 的延长线上，OD 的垂直平分线交线段AB 于点C ．若△OBC 和△OAD 的周长相等，则OD 的长是( )A ．2B ．2C ．522D ．413．如图是一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象，则不等式kx b x a ++＜的解集是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．3x >D ．3x <14．如图，过点1(1,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点1B ；点2A 与点O 关于直线11A B 对称；过点2(2,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点2B ；点3A 与点O 关于直线22A B 对称；过点3A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点3B ；按3B 此规律作下去，则点n B 的坐标为( )A ．(2n ，2n-1)B ．(12n -，2n )C ．(2n+1，2n )D ．（2n ，12n +）15．如图，直线3y kx =+经过点(2,0)，则关于x 的不等式30kx +≥的解集是（ ）A ．2x ＞B ．2x ＜C ．2x ≥D ．2x ≤16．如图，函数y =kx +b （k ≠0）的图象经过点B （2，0），与函数y =2x 的图象交于点A ，则不等式0＜kx +b ＜2x 的解集为（ ）A ．12x <<B ．2x >C ．0x >D ．01x <<17．已知正比例函数y =kx 的图象经过点P （-1，2），则k 的值是（ ）A ．2B ．12C ．2-D ．12- 18．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为(1,1)A ，(3,1)B ，(2,2)C ，当直线3y kx =+与ABC ∆有交点时，k 的取值范围是（ ）A ．2132k -≤≤-B ．223k -≤≤-C ．223k -<<-D ．122k -≤≤- 19．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ﹣6（k ＜0）的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．20．已知正比例函数y=kx ，且y 随x 的增大而减少，则直线y=2x+k 的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、易错压轴选择题精选：一次函数选择题1．D【分析】根据各个选项中假设的线段，可以分别由图象得到相应的y 随x 的变化的趋势，从而可以判断哪个选项是正确的．【详解】A 、由图1可知，若线段BE 是y ，则y 随x 的增大先减小再增大，而由由大变小的距离小于由小变大的距离，在点A 的距离是BA ，在点C 时的距离是BC ，BA ＜BC ，故选项A 错误；B 、由图1可知，若线段EF 是y ，则y 随x 的增大越来越小，故选项B 错误；C 、由图1可知，若线段CE 是y ，则y 随x 的增大越来越小，故选项C 错误；D 、由图1可知，若线段DE 是y ，则y 随x 的增大先减小再增大，而由由大变小的距离大于由小变大的距离，在点A 的距离是DA ，在点C 时的距离是DC ，DA ＞DC ，故选项D 正确；故选D．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．2．B【分析】先用x表示出y，再利用三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：∵点P(x，y)在第一象限内，且x+y=6，∴y=6-x（0＜x＜6，0＜y＜6）．∵点A的坐标为(4，0)，∴S=12×4×(6-x)=-2x+12（0＜x＜6），∴B符合．故选：B．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，在解答此题时要注意x，y的取值范围．3．B【分析】联立两直线解析式，解关于x、y的二元一次方程组，然后根据交点在第一象限，横坐标是正数，纵坐标是正数，列出不等式组求解即可．【详解】联立12y xy x a=+⎧⎨=-+⎩，解得：1323axay-⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∵交点在第一象限，∴1323aa-⎧>⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得：1a>．只有3a=符合要求．故选：B．【点睛】本题考查了两直线相交的问题，第一象限内点的横坐标是正数，纵坐标是正数，以及一元一次不等式组的解法，把a看作常数表示出x、y是解题的关键．4．C【分析】根据题意，分析图象，结合简单计算，可以得到答案.【详解】解：根据图象可知：A. 小明从家到食堂用了8min，故A选项说法正确;B. 小明家离食堂0.6km，食堂离图书馆0.8-0.6=0.2（km），故B选项说法正确；C. 小明吃早餐用了25-8=17（min），读报用了58-28=30（min），故C选项错误；D. 小明从图书馆回家的平均速度为0.8÷（68-58=）0.08（km/min），故D选项正确.故选C.【点睛】本题考核知识点：函数的图形.重点：分析函数图象，得到相关信息,并进行简单运算. 5．B【分析】利用函数图象，写出直线y1在直线y2下方所对应的自变量的范围即可．【详解】结合图象，当x＞3时，y1＜y2，即kx+b＜x+a，所以不等式kx-x＜a-b的解集为x＞3．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．6．C【分析】根据图象知正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b的图象的交点，即可得出不等式2x＜kx+b 的解集，根据一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标即可得出不等式kx+b＜0的解集是x＞-2，即可得出答案．【详解】由图象可知：正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b的图象的交点是A（-1，-2），∴不等式2x＜kx+b的解集是x＜-1，∵一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是B（-2，0），∴不等式kx+b＜0的解集是x＞-2，∴不等式2x＜kx+b＜0的解集是-2＜x＜-1，故选：C．【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．7．B【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的函数解析式，可以判断哪个选项中的函数y随x的增大而增大，且图象与x轴交点在y轴左侧，本题得以解决．【详解】解：函数y=2x-1，y随x的增大而增大，与x轴的交点是（0.5，0），在y轴右侧，故选项A不符题意；函数y=2x+1，y随x的增大而增大，与x轴的交点是（-0.5，0），在y轴左侧，故选项B 符题意；函数y=-2x+1，y随x的增大而减小，与x轴的交点是（0.5，0），在y轴右侧，故选项C 不符题意；函数y=-2x-1，y随x的增大而减小，与x轴的交点是（-0.5，0），在y轴左侧，故选项D 不符题意；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．8．C【详解】根据图象可知y=kx+b与x轴交于（2,0），图像在交点的左侧部分满足不等式kx+b＞0 ，故解集为x<2，故选C.9．D【解析】试题解析：如图所示，当△ABC向右平移到△DEF位置时，四边形BCFE为平行四边形，C点与F点重合，此时C在直线y=2x-6上，∵C（1，4），∴FD=CA=4，将y=4代入y=2x-6中得：x=5，即OD=5，∵A（1，0），即OA=1，∴AD=CF=OD-OA=5-1=4，则线段BC扫过的面积S=S平行四边形BCFE=CF•FD=16．故选D．10．B【分析】将点P（-2，1）的坐标代入直线y=-x+b即可解得b的值；【详解】解：∵直线y=-x+b经过点P（-2，1），∴1=-(-2)+b，∴b= -1．故选：B．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题关键是根据点的坐标利用待定系数法求出b 的值．11．D【分析】分点P在AB段运动、点P在BC段运动、点P在CD段运动三种情况，分别求函数表达式即可．【详解】当点P在AB段运动时，△APD的面积y随时间x的增大而增大；当点P在BC段运动时，△APD的面积y保持不变；故排除A、C选项；当点P在CD段运动时，△APD的面积y随时间x的增大而减小；故选：D．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到三角形面积计算等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．12．B【分析】根据直线解析式可得OA和OB长度，利用勾股定理可得AB长度，再根据线段垂直平分线的性质以及两个三角形周长线段，可得OD=AB．【详解】当x=0时，y=2∴点B（0,2）当y=0时，-x+2=0解之：x=2∴点A（2,0）∴OA=OB=2∵点C在线段OD的垂直平分线上∴OC=CD∵△OBC和△OAD的周长相等，∴OB+OC+BC=OA+OD+AD∴OB+BC+CD=OA+OD+ADOB+BD=OA+OD+AD 即OB+AB+AD=OB+OD+AD∴AB=OD在Rt △AOB 中=故选B【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点坐标特征、线段垂直平分线的性质、以及勾股定理． 13．C【分析】根据函数图象可以直接判断本题的答案．【详解】解：结合图象，当3x >时，函数1y kx b =+在函数2y x a =+的下方，即不等式kx b x a ++＜的解集是3x >；故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，一元一次不等式的解集就是确定直线=+y kx b 在另一条直线（或者x 轴）上（或下）方部分所有点的横坐标的集合；这是数形结合的典型考查．14．B【分析】先根据题意求出点A 2的坐标，再根据点A 2的坐标求出B 2的坐标，以此类推总结规律便可求出点n B 的坐标．【详解】∵1(1,0)A∴11OA =∵过点1(1,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点1B∴()11,2B∵2(2,0)A∴22OA =∵过点2(2,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点2B∴()12,4B∵点3A 与点O 关于直线22A B 对称∴()()334,0,4,8A B以此类推便可求得点A n 的坐标为()12,0n -，点B n 的坐标为()12,2n n -故答案为：B．【点睛】本题考查了坐标点的规律题，掌握坐标点的规律、轴对称的性质是解题的关键．15．D【分析】写出函数图象在x轴上方及x轴上所对应的自变量的范围即可．【详解】解：当x≤2时，y≥0．所以关于x的不等式kx+3≥0的解集是x≤2．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y ＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．16．A【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当x＞1时，直线y=2x 都在直线y=kx+b的上方，当x＜2时，直线y=kx+b在x轴上方，于是可得到不等式0＜kx+b＜2x的解集．【详解】设A点坐标为（x，2），把A（x，2）代入y=2x，得2x=2，解得x=1，则A点坐标为（1，2），所以当x＞1时，2x＞kx+b，∵函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），∴x＜2时，kx+b＞0，∴不等式0＜kx+b＜2x的解集为1＜x＜2．故选A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．17．C【分析】把点P（-1，2）代入正比例函数y=kx，即可求出k的值．【详解】把点P(−1,2)代入正比例函数y=kx，得：2=−k，解得：k=−2.故选C.【点睛】此题考查待定系数法求正比例函数解析式，解题关键在于把已知点代入解析式. 18．B【分析】把A 点和B 点坐标分别代入y=kx+3中求出对应的的值，即可求得直线y=kx+3与△ABC 有交点时k 的临界值，然后再确定k 的取值范围．【详解】解：把A （1,1）代入y=kx+3得1=k+3，解得k=-2把B （3,1）代入y=kx+3得1=3k+3，解得：k=23- 所以当直线y=kx+3与△ABC 有交点时，k 的取值范围是223k -≤≤-． 故答案为B ．【点睛】 本题考查了一次函数与系数的关系,将A 、B 点坐标代入解析式确定k 的边界点是解答本题的关键．19．B【分析】一次函数y ＝kx +b 中，k 的符号决定了直线的方向，b 的符号决定了直线与y 轴的交点位置，据此判断即可．【详解】∵一次函数y ＝kx ﹣6中，k ＜0∴直线从左往右下降又∵常数项﹣6＜0∴直线与y 轴交于负半轴∴直线经过第二、三、四象限故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的图象问题，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．20．D【详解】∵正比例函数y kx =，且y 随x 的增大而减少，0k ．∴< 在直线2y x k =+中，200k ><，，∴函数图象经过一、三、四象限．故选D ．。

2023中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用）专题02以三角形为载体的几何压轴问题（北京真题+模拟共34题）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢北京市中考的倒数第二道大题多数是已三角形为载体的几何综合问题，主要涉及特殊的三角形及相似三角形，这类问题的解决要熟知知各种图形的性质与判定，并且这类题目的解决有时还需要全等三角形和相似三角形、勾股定理、方程思想与分类讨论的相关知识，因此能熟练应用各种知识是解决此类问题的关键.常用到的三角形的知识有：（1）涉及全等问题解题要领：①探求两个三角形全等的条件：SSS，SAS，ASA，AAS及HL，注意挖掘问题中的隐含等量关系，防止误用“SSA”；②掌握并记忆一些基本构成图形中的等量关系；③把握问题中的关键，通过关键条件，发现并添加辅助线．（2）涉及到计算边的关系解题要领：①线段的垂直平分线常常用于构造等腰三角形；②在直角三角形中求边的长度，常常要用到勾股定理；③根据三角形的三边长度，利用勾股定理的逆定理可判断其为直角三角形；④已知直角三角形斜边的中点，考虑运用直角三角形斜边上中线的性质；⑤直角三角形斜边上中线的性质存在逆定理．（3）涉及角平分线问题的解题要领：①已知角的平分线及角平分线上的点到角一边的垂线段，考虑用角平分线的性质；②角平分线的性质常常与三角形的面积相结合．解题要领：（4）涉及到直角三角形方面的解题要领：①已知直角三角形及其锐角求线段长度时，运用锐角三角函数是最常用的方法；②通过等腰三角形的性质，特殊平行四边形的性质及圆的性质构建直角三角形，再运用锐角三角函数求解；③熟记特殊直角三角形的三边关系：30°角的直角三角形的三边的比为1∶∶2，等腰直角三角形的三边关系为1∶1∶；④锐角三角函数也常常作为相似三角形中，求对应边的比值的补充．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2021·北京·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE,DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．6．（2022·北京·中考真题）在△ABC中，∠ACB=90∘，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC.(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若AB2=AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2013·北京·中考真题）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．2．（2017·北京·中考真题）在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.（1）若∠P AC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.3．（2019·北京·中考真题）已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P 为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP=∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．4．（2020·北京·中考真题）在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a,BF=b，求EF的长（用含a,b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点P为射线BC 上一动点（不与点B、C重合），以点P为中心，将线段PC逆时针旋转α角，得到线段PQ，连接AP、BQ、M为线段BQ的中点．(1)若点P在线段BC上，且M恰好也为AP的中点，的值；①依题意在图1中补全图形：②求出此时α的值和BPPC(2)写出一个α的值，使得对于任意线段BC延长线上的点P，总有AP的值为定值，并证明；PM2．（2022·北京房山·二模）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，过点A作AE∥DC交BC边于点E，过点E作EF∥AB交CD边于点F，连接AF，过点C作CH∥AF交AE于点H，连接BH．(1)求证：△ABH≌△EAF；(2)如图2，若BH的延长线经过AF的中点M，求BE的值．EC3．（2022·北京东城·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAB=2α，在△ABC的外侧作直线AP(90°−a<∠PAC<180°−2a)，作点C关于直线AP的对称点D，连接AD,BD,BD交直线AP于点E．(1)依题意补全图形；(2)连接CE，求证：∠ACE=∠ABE；(3)过点A作AF⊥CE于点F，用等式表示线段BE,2EF,DE之间的数量关系，并证明．4．（2022·北京·二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连接CD，点P 在射线CB上（与B，C不重合）(1)如果∠A=30°①如图1，DE与BE之间的数量关系是______②如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A=α(0°<α<90°)，连接DP，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．5．（2022·北京密云·二模）如图，在等边△ABC中，点D在BA的延长线上，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B重合），将线段PD绕点P逆时针旋转60°得到线段PE，连接BE和DE．(1)依据题意，补全图形；(2)比较∠BDE与∠BPE的大小，并证明；(3)用等式表示线段BE、BP与BD之间的数量关系，并证明．6．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与CB′的位置关系是______，若BC=a，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．7．（2022·北京门头沟·二模）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，D是BC的中点，过点C作CE⊥AD，交AD 于点E，交AB于点F，作点E关于直线AC的对称点G，连接AG和GC，过点B作BM⊥GC交GC的延长线于点M．(1)①根据题意，补全图形；②比较∠BCF与∠BCM的大小，并证明．(2)过点B作BN⊥CF交CF的延长线于点N，用等式表示线段AG，EN与BM的数量关系，并证明．8．（2022·北京顺义·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P，D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且PD=BC，连接CP．以P为中心，将线段PD逆时针旋转n°(0<n<180)得线段PE．(1)如图1，当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；(2)当n=135°时，M为线段AE的中点，连接PM．①在图2中依题意补全图形；②用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明．9．（2022·北京北京·二模）在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，D是AB的中点，E为边AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，过点F作FH⊥DE于点H，交射线BC于点G．(1)如图1，当AE<EC时，比较∠ADE与∠BFG的大小；用等式表示线段BG与AE的数量关系，并证明；(2)如图2，当AE>EC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE,CG,AC之间的数量关系．10．（2022·北京四中模拟预测）已知，点B是射线AP上一动点，以AB为边作△ABC，∠BCA=90°，∠A=60°，将射线BC绕点B顺时针旋转120°，得到射线BD，点E在射线BD上，BE+BC=m．(1)如图1，若BE=BC，求CE的长（用含m的式子表示）；(2)如图2，点F在线段AB上，连接CF、EF．添加一个条件：AF、BC、BE满足的等量关系为______，使得EF=CF 成立，补全图形并证明．11．（2022·北京昌平·二模）如图，已知∠MON=α(0°<α<90°)，OP是∠MON的平分线，点A是射线OM上一点，点A关于OP对称点B在射线ON上，连接AB交OP于点C，过点A作ON的垂线，分别交OP，ON于点D，E，作∠OAE的平分线AQ，射线AQ与OP，ON分别交于点F，G．(1)①依题意补全图形；②求∠BAE度数；（用含α的式子表示）(2)写出一个α的值，使得对于射线OM上任意的点A总有OD=√2AF（点A不与点O重合），并证明．12．（2022·北京海淀·二模）已知AB = BC，∠ABC = 90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC 重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．(1)如图1，当45°＜∠ABD＜90°时，①求证：CE +DE =AD；②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；(2)在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．13．（2022·北京市十一学校二模）如图，已知∠AOB=60°，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PE⊥OB，交OB于点E，点D在∠AOB内，且满足∠DP A=∠OPE，DP+PE=5．(1)当DP=PE时，求DE的长；(2)在点P的运动过程中，请判断射线OA上是否存在一个定点M，使得DM的值不变？并证明你的判断．ME14．（2022·北京平谷·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线CD，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF＝EC，连接BF交CD于G．(1)依题意补全图形；(2)求证：∠CAE＝∠BCD；(3)判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明．15．（2022·北京房山·一模）已知：等边△ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．(1)如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；①求证：∠BDP=∠PCB；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数里关系，并证明；(2)点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．16．（2022·北京市第一六一中学分校一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．(1)如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM//BD；(2)如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．17．（2022·北京·二模）如图，在等边ΔABC中，点D是边BC的中点，点E是直线BC上一动点，将线段AE绕点E逆时针旋转60°，得到线段EG，连接AG，BG．(1)如图1，当点E与点D重合时．①依题意补全图形；②判断AB与EG的位置关系；(2)如图2，取EG的中点F，写出直线DF与AB夹角的度数以及FD与EC的数量关系，并证明．18．（2022·北京朝阳·一模）在△ABC中，D是BC的中点，且∠BAD≠90°，将线段AB沿AD所在直线翻折，得到线段AB′，作CE∥AB交直线AB′于点E．(1)如图，若AB>AC，①依题意补全图形；②用等式表示线段AB,AE,CE之间的数量关系，并证明；(2)若AB<AC，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段AB,AE,CE之间新的数量关系（不需证明）．19．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作PQ⊥AP交CD边于点Q．(1)求证：PA=PQ；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为（直接写出答案）．20．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°．D为边BC上一动点，点E在边AC上，CE=CD．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．21．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转α（0°<α<90°），得到线段BE，连接EA，EC．(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE 的面积为______；(2)当点E在正方形ABCD的外部时，①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．22．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：如图所示△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE（其中点B与点D对应）．(1)如图1，点B关于直线AC的对称点为B′，求线段B′E与CD的数量关系；(2)当α=32°时，射线CB与射线ED交于点F，补全图2并求∠AFD．23．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM ＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．(1)依题意补全图形；(2)判断AB与DF的数量关系并证明；(3)平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．24．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图①，Rt△ABC和Rt△BDE重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．(1)观察猜想：图①中线段AD与CE的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明：把△BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；(3)拓展延伸：若BC＝√5，BE＝1，当旋转角α＝∠ACB时，请直接写出线段AD的长度．25．（2022·北京市师达中学模拟预测）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．（1）依题意补全图1；（2）直接写出∠FBE的度数；（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．26．（2012·北京顺义·中考模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为．②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；（2）如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．27．（2015·北京·模拟预测）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝√2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．28．（2021·北京·二模）在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α (0°＜α＜60°)．点P是△ABC内一动点，连接AP，BP，将△APB绕点A逆时针旋转α，使AB边与AC重合，得到△ADC，射线BP与CD或CD延长线交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1和图2；由作图知，∠BAP与∠CAD的数量关系为；（2）探究∠ADM与∠APM的数量关系为；（3）如图1，若DP平分∠ADC，用等式表示线段BM，AP，CD之间的数量关系，并证明．。