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习题1-2
1. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限:
(1)n n x 2
1=; (2)n x n n 1
)1(-=; (3)212n x n +=;
(4)11
+-=n n x n ; (5) x n =n (-1)n . (6) 213
n
n n
x -= (7) 1n x n n =+
(8) 1[(1)1]n
n n x n
+=-+ 解 (1) 当n →∞ 时, n
n x 2
1=
→0, 021
lim
=∞→n
n .
(2) 当n →∞ 时, n x n
n 1
)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→n
n n .
(3) 当n →∞ 时, 21
2n
x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→n n .
(4) 当n →∞ 时, 1
2111+-=+-=n n n x n →0, 111
lim =+-∞→n n n .
(5) 当n →∞ 时, x n = n (-1)n 没有极限.
(6) 2121
lim lim lim()lim 0333
n n n n n n n n n x →∞→∞→∞→∞-==-= (7) 发散 (8) 发散
2. 设数列{x n }的一般项n
n x n 2cos π
=. 问n
n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N . 解 0lim =∞
→n n x .
n n n x n 1|2c o s
||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .
当ε =0.001时, ]1
[ε
=N =1000.
3. 根据数列极限的定义证明:
(1)01
lim 2=∞→n n ; (2)231213lim =++∞→n n n ; (3)1lim 2
2=+∞→n a n n (4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→ 个
n n .
(1)分析 要使ε
<=
-2
21
|01
|
n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明 因为∀ε >0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01
|2n
, 所以01lim 2=∞→n n .
(2)分析 要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n 41, 即ε
41
>n .
证明 因为∀ε >0, ∃]41[
ε
=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以23
1213lim =++∞→n n n .
(3)分析 要使ε<<++=-+=-+n a n a n n a n n a n n a n 2
2222222)
(|1|, 只须ε2a n >.
证明 因为∀ε >0, ∃][2
εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 2
2=+∞→n
a n n .
(4)分析 要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=
-1
10
1n , 只须1
101-n <ε , 即ε
1
lg 1+>n .
证明 因为∀ε>0, ∃]1
lg 1[ε
+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞
→
个
n n . 4. a u n n =∞
→lim , 证明||||lim a u n n =∞
→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.
证明 因为a u n n =∞
→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而
||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε . 这就证明了||||lim a u n n =∞
→.
数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞
→n n , 但n n )1(lim -∞
→不存在.
5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞
→n n y , 证明: 0lim =∞
→n n n y x .
证明 因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M . 又0lim =∞
→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M
y n ε
<
||. 从而当n >N 时, 有
εε
=⋅
<≤=-M
M y M y x y x n n n n n |||||0|, 所以0lim =∞→n n n y x .
6. 对于数列{x n }若x 2k →a (k →∞), x 2k +1→a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞). 证明 因为x 2k →a (k →∞), x 2k +1→a (k →∞), 所以∀ε>0,
∃K 1, 当2k >2K 1时, 有| x 2k -a |<ε ; ∃K 2, 当2k +1>2K 2+1时, 有| x 2k +1-a |<ε.. 取N =max{2K 1, 2K 2+1}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞).。
