高数下册复习资料(同济第六版)

第八章 向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作a 或AB u u u r模向量a 的模记作a和差单位向量0a ≠，则a a e a=方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos点乘（数量积）θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b的夹角叉乘（向量积）θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ，b 都垂直定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==平面 直线法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M 方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式一般式点法式点向式 三点式参数式截距式两点式面面垂直线线垂直面面平行线线平行线面垂直线面平行点面距离 面面距离面面夹角 线线夹角 线面夹角空间曲线Γ切向量切“线”方程：)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-法平“面”方程：切向量切“线”方程：)()(100000x z z x y y x x ψϕ'-='-=-第十章重积分重积分积分类型计算方法典型例题二重积分平面薄片的质量质量=面密（1）利用直角坐标系X—型⎰⎰⎰⎰=Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(φφY—型⎰⎰⎰⎰=d c y yDdxyxfdydxdyyxf)()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3：法平“面”方程：空间曲面∑：法向量切平“面”方程：法“线“方程：或切平“面”方程：法“线“方程：度⨯面积（2）利用极坐标系使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x yα+, α为实数 )P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）P141—例2应用该性质更方便计算步骤及注意事项1．画出积分区域2．选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3．确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4．确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5．计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性三重积分空间立体物的质量质量=密度⨯面积(1)利用直角坐标⎩⎨⎧截面法投影法投影⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩbayxzyxzxyxyzzyxfyxVzyxf),(),()()(2121d),,(ddd),,(P159—例1P160—例2（2）利用柱面坐标cossinx ry rz zθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:○1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体○2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如2222()()f x y f x z++P161—例3（3）利用球面坐标cos sin cossin sin sincosx ry rz rρθϕθρθϕθϕ==⎧⎪==⎨⎪=⎩适用范围:○1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.○2被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如，222()f x y z++P165—10-(1)（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分曲形构件的参数法（转化为定积分）（1）:()L y xϕ=dtttttfI⎰+=βαψϕϕϕ)(')('))(),((22P189-例1P190－3质量质量=线密度⨯弧长（2）():()()x tL ty tϕαβφ=⎧≤≤⎨=⎩dxxyxyxfI ba⎰+=)('1))(,(2（3）()()r rθαθβ=≤≤()cos:()sinx rLy rθθθθ=⎧⎨=⎩平面第二类曲线积分变力沿曲线所做的功（1）参数法（转化为定积分）P196-例1、例2、例3、例4（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）②P，Q具有一阶连续偏导数结论：dydxyPxQQdyPdxDL⎰⎰⎰∂∂-∂∂=+)(应用：⎪⎩⎪⎨⎧助线不是封闭曲线，添加辅有瑕点，挖洞满足条件直接应用P205－例4P214-5(1)(4)（3）利用路径无关定理（特殊路径法）P211-例5、等价条件：①yP xQ∂∂=∂∂ ②0=+⎰LQdy Pdx③⎰+LQdy Pdx 与路径无关，与起点、终点有关④Qdy Pdx +具有原函数),(y x u（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）例6、例7（4）两类曲线积分的联系空间第二类曲线积分变力沿曲线所做的功（1）参数法（转化为定积分） （2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分）条件：①L 封闭，分段光滑，有向②P ，Q ，R 具有一阶连续偏导数结论：dxdyy p x Q dzdx x Rz P dydz z Q y R RdzQdy Pdx L)()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=++⎰⎰⎰∑应用：⎩⎨⎧助线不是封闭曲线，添加辅满足条件直接应用P240-例1第一类曲面积分dvz y x f I ⎰⎰∑=),,(曲面薄片的质量质量=面密度⨯面积投影法 ∑：),(y x z z = 投影到xoy 面类似的还有投影到yoz 面和zox 面的公式 P217-例1、例2第二类曲面积分流体流向曲面一侧的流量（1）投影法 ∑：),(y x z z =，γ为∑的法向量与x 轴的夹角前侧取“+”，cos 0γ>；后侧取“-”，cos 0γ<∑：),(z x y y =，β为∑的法向量与y 轴的夹角右侧取“+”，cos 0β>；左侧取“-”，cos 0β<∑：),(z y x x =，α为∑的法向量与x 轴的夹角上侧取“+”， cos 0α>；下侧取“-”，cos 0α<P226-例2（2）高斯公式 右手法则取定∑的侧条件：①∑封闭，分片光滑，是所围空间闭区域Ω的外侧②P ，Q ，R 具有一阶连续偏导数结论：⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∂∂+∂∂+∂∂=++)(zR y Q x P Rdxdy Qdzdz Pdydz 应用：⎩⎨⎧助面不是封闭曲面，添加辅满足条件直接应用P231-例1、例2（3）两类曲面积分之间的联系转换投影法：()()zzdydz dxdy dzdx dxdy xy∂∂=-=-∂∂ P228-例3所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、以不变代变、求和、取极限； ○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性； ○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第八章 向量与解析几何向量代数定义 定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+ c a b =－=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠，则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y z a a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a a aaaαβγ===，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积）θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b 的夹角z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘（向量积）b ac ⨯=θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直zy xz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行//0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔==交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++平面直线法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M方程名称 方程形式及特征方程名称 方程形式及特征一般式0=+++D Cz By Ax一般式⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A点法式0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A点向式pz z n y y m x x 000-=-=- 三点式1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 参数式⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 截距式 1x y za b c++= 两点式 000101010---==---x x y y z z x x y y z z面面垂直 0212121=++C C B B A A线线垂直 0212121=++p p n n m m面面平行 212121C C B B A A == 线线平行 212121p p n n m m == 线面垂直pC n B m A == 线面平行 0=++Cp Bn Am点面距离),,(0000z y x M 0=+++D Cz By Ax 面面距离10Ax By Cz D +++= 20+++=Ax By Cz D222000CB A DCz By Ax d +++++=12222D D d A B C-=++面面夹角线线夹角线面夹角},,{1111C B A n =},,{2222C B A n = },,{1111p n m =s },,{2222p n m =s},,{p n m =s },,{C B A =n222222212121212121||cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ 222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ 222222sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ空间曲线Γ：()() ()x t y t z t ϕψω=⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，)(βα≤≤t 切向量))(,)(,)((000t t t T ωψϕ'''=切“线”方程：)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-法平“面”方程：0))(()()()()(000000=-'+-'+-'z z t y y t x x t ωψϕ()()y x z x ϕψ=⎧⎨=⎩ 切向量))(,)(,1(x x T ψϕ''= 切“线”方程：)()(100000x z z x y y x x ψϕ'-='-=- 法平“面”方程：0))(()()()(00000=-'+-'+-z z x y y x x x ψϕ空间曲面 ∑：0),,(=z y x F法向量000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- ),(y x f z =0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =--切平“面”方程：0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x或0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =-法“线“方程：1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x第十章 重积分重积分 积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积（1） 利用直角坐标系X —型 ⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3（2）利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x y α+, α为实数 )21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)D f x y x f x y f x y I f x y dxdyf x y x f x y f x y D D ⎧⎪⎪-=-⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩⎰⎰对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分P141—例2应用该性质更方便计算步骤及注意事项1． 画出积分区域2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性三重积分⎰⎰⎰Ω=dvz y x f I ),,(空间立体物的质量质量=密度⨯面积(1) 利用直角坐标⎩⎨⎧截面法投影法投影⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωbay x z y x z x y x y z z y x f y x V z y x f ),(),()()(2121d ),,(d d d ),,(P159—例1P160—例2（2） 利用柱面坐标 cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围:○1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 ○2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如2222()()f x y f x z ++ 21()()(,,)d d d (cos ,sin ,)d b r ar f x y z V z f z βθαθθρθρθρρΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰P161—例3（3）利用球面坐标 cos sin cos sin sin sin cos x r y r z r ρθϕθρθϕθϕ==⎧⎪==⎨⎪=⎩dv r drd d =2sin ϕϕθ适用范围:○1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体. ○2被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如，222()f x y z ++ 222111(,)2(,)d d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d I f αβρθϕαβρθϕϕθρϕθρϕθρϕρϕρ=⎰⎰⎰P165—10-(1)（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型 计算方法典型例题第一类曲线积分 ⎰=Lds y x f I ),(曲形构件的质量 质量=线密度⨯弧长参数法（转化为定积分）（1）:()L y x ϕ= dt t t t t f I ⎰+=βαψϕϕϕ)(')('))(),((22（2）():()()x t L t y t ϕαβφ=⎧≤≤⎨=⎩ dx x y x y x f I b a⎰+=)('1))(,(2（3）()()r r θαθβ=≤≤()cos :()sin x r L y r θθθθ=⎧⎨=⎩θθθθθθθβαd r r r r f I ⎰+=)(')()sin )(,cos )((22P189-例1 P190－3平面第二类曲线积分⎰+=LQdy Pdx I变力沿曲线所做的功（1） 参数法（转化为定积分）():()()x t L t y t ϕαβφ=⎧⎨=⎩单调地从到t t t t Q t t t P y Q x P Ld )}()](),([)()](),([{d d ψψϕϕψϕβα'+'=+⎰⎰P196-例1、例2、例3、例4（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：①L 封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D ） ②P ，Q 具有一阶连续偏导数 结论：dy dx yPx Q Qdy Pdx DL⎰⎰⎰∂∂-∂∂=+)(应用：⎪⎩⎪⎨⎧助线不是封闭曲线，添加辅有瑕点，挖洞满足条件直接应用P205－例4P214-5(1)(4)（3）利用路径无关定理（特殊路径法）等价条件：①yP x Q ∂∂=∂∂ ②0=+⎰LQdy Pdx③⎰+LQdy Pdx 与路径无关，与起点、终点有关④Qdy Pdx +具有原函数),(y x u（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）P211-例5、例6、例7（4）两类曲线积分的联系⎰⎰+=+=LLds Q P Qdy Pdx I )cos cos (βα空间第二类曲线积分LI Pdx Qdy Rdz =++⎰（1）参数法（转化为定积分）dt t t t t R t t t t Q t t t t P Rdz Qdy Pdx )}()](),(),([ )()](),(),([ )()](),(),([{ωωψϕψωψϕϕωψϕβα'+'+'=++⎰⎰Γ（2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分） 条件：①L 封闭，分段光滑，有向②P ，Q ，R 具有一阶连续偏导数P240-例1变力沿曲线所做的功结论：dxdyy p x Q dzdx x Rz P dydz z Q y R RdzQdy Pdx L)()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=++⎰⎰⎰∑应用：⎩⎨⎧助线不是封闭曲线，添加辅满足条件直接应用第一类曲面积分 dvz y x f I ⎰⎰∑=),,(曲面薄片的质量 质量=面密度⨯面积 投影法∑：),(y x z z = 投影到xoy 面dxdy z z y x z y x f dv z y x f I xyD y x ⎰⎰⎰⎰++==∑221)),(,,(),,(类似的还有投影到yoz 面和zox 面的公式P217-例1、例2第二类曲面积分I Pdydz Qdzdx R∑=++⎰⎰流体流向曲面一侧的流量（1）投影法○1dydz z y z y x p Pdydz yzD ⎰⎰⎰⎰±=∑),),,(( ∑：),(y x z z =，γ为∑的法向量与x 轴的夹角 前侧取“+”，cos 0γ>；后侧取“-”，cos 0γ<○2dzdx z z x y x p Qdzdx yzD ⎰⎰⎰⎰±=∑)),,(,( ∑：),(z x y y =，β为∑的法向量与y 轴的夹角 右侧取“+”，cos 0β>；左侧取“-”，cos 0β<○3dxdy y x z y x Q Qdxdy yzD ⎰⎰⎰⎰±=∑)),(,,( ∑：),(z y x x =，α为∑的法向量与x 轴的夹角 上侧取“+”， cos 0α>；下侧取“-”，cos 0α< P226-例2（2）高斯公式 右手法则取定∑的侧条件：①∑封闭，分片光滑，是所围空间闭区域Ω的外侧②P ，Q ，R 具有一阶连续偏导数 结论：⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∂∂+∂∂+∂∂=++)(zR y Q x P Rdxdy Qdzdz Pdydz 应用：⎩⎨⎧助面不是封闭曲面，添加辅满足条件直接应用P231-例1、例2（3）两类曲面积分之间的联系(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxd y P Q R dS αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰转换投影法：()()zzdydz dxdy dzdx dxdy xy∂∂=-=-∂∂ P228-例3所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限； ○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性； ○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

（即Prj u a = a cos （P ）,其中邛为向量a 与u 轴的夹角;(a + b)u =(a)u +(b)u (即 Prj u (a + b) =Prj u a+ Prj u b)； (痴)u =M5)u (即 Prj u (九5) =KPrj u a)= (a y b z -a z b y )i ab x -a x b z ) j (a x b y - a y b x )k注：a b = —b a3、二次曲面 22(1)椭圆锥面：与+ 4 = z 2;a b22222（2）椭圆抛物面：与+当=z ；（旋转抛物面： jr =z （把把xOz 面上的抛物线与=2绕 a b a az 轴旋转））22222222（3）椭球面：x2十*十・=1；（旋转椭球面：十4=1 （把xOz 面上的椭圆斗+4 = 1a b c a ca c绕z 轴旋转））2 2 2（旋转单叶双曲面： -号=1 （把xOz 面上的双 a c2 2 2（旋转双叶双曲面： 今-^~^ = 1 （把xOy 面上的双a c2 2曲线0=1绕x 轴旋转）） a c2 2（6）双曲抛物面（马鞍面）：W = z ；a b第八章1、向量在轴上的投影: 性质：（a ）u =acos ：2、两个向量的向量积：设 a =a x i +a y j +a z k , b = b x i +b y j +b z k ,则a yb ya zb zi +(-1)1 2a xb xa zb zj +(-1)1 3a x a yb xb y222（4）单叶双曲面： 冬+4-4=1； a b c22曲线'-1=1绕z 轴旋转））a c 222（5）双叶双曲面：今-々-彳=1； a bc(2)空间直线的对称式(点向式)方程： 七至= 30=9°,其中s=(m,n, p)为直线的一 m n p个方向向量，M (x 0 ,y °,z °)为直线上一点x = x 0 mt(3)空间直线的参数方程：(y = y 0+nt z =〃pt|m 1m 2 +n [n 2 + P 1P 2222 222.m 〔 n 1 P 1 .L m 2 n 2 P 2特殊： 两直线互相垂直 = m 〔m 2+n [n 2 + P 1P 2 =02 2 2 2⑺椭圆柱面：与十4=1；双曲柱面：3-4=1；抛物柱面：x 2=ay 22 2 2a b a b4、平面方程(1)平面的点法式方程：A (x-xJ+B (y-y 0)+C (z-4) =0 ,其中M 0(X o ,y o ,Z 0)是平面上一点,n = (A, B,C)为平面的一个法向量(2) 平面的一般方程：Ax + By +Cz + D =0,其中n = (A,B,C)为平面的一个法向量注：由平面的一般方程可得平面的一个法向量 n=(A, B,C)若D=0,则平面过原点;右 A = 0, ,'D =0,则平面过x 轴D #0,则平面平行于x 轴右 A = B = 0,,=0,则平面表示xOy 面 :0,则平面平行于xOy 面(3)平面的截距式方程:-+^+-=1,其中a,b,c 分别叫做平面在x,y,z 轴上的截距. a b c5、两平面的夹角: cos 二AA 2 + B 1B 2 +C 1C 2 ,A 2 B 12 C I 2A B 22 C 22特殊：两平面互相垂直 u A 1A 2 + B 1B 2 + C 1C 2 = 0八一, 、.…一 ，…,、 ，、 . |AA+By ° + Cz 0+D 6、点 P (x 0, y 0, z 0)到平面 Ax + By+Cz + D =0 的距离公式：d=^ / —,A 2B 2C 27、空间直线方程(1)空间直线的一般方程:Ax+B 1y + C 1z + D 1 =0、A 2x + B 2y + C 2z + D 2 =08、两直线的夹角：cos 邛 =9、直线与平面的夹角：sin*^—— 1Am+ Bn 4cp i 2 2 2 2 2 2A B C m n pABC特殊：直线与平面垂直 U —m n p直线与平面平行或在平面内： Am Bn Cp = 010、平面束的方程：设直线L由方程组1A x+ B1y+C1z+ D1 —0所确定其中ABC与A2,B2,C2不成比例，则平面A2x+B2y+C2z +D2=0A1x+B1y+C1z+D1 +九(A2x+B2y+C2z+D2)=0为通过直线L的所有平面(不包含平面A2x + B2y +C2z +D2 =0)第九章1、内点一定是聚点；边界点不一定是聚点2、二重极限存在是指P(x,y)以任何方式趋于P o(x o，y o)时，f(x,y)都无限接近于A,因此当P(x, y)以不同方式趋于B(x o，y。

高等数学下册复习提纲 (向量代数—>无穷级数)第一次课1、向量与空间几何 向量：向量表示((a^b));向量的模: 向量的大小叫做向量的模.向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB . 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量.零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或→0. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a 与b 平行, 记作a // b . 零向量认为是与任何向量都平行. 向量运算(向量积)； 1． 向量的加法 2. 向量的减法3．向量与数的乘法设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z )即 a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ,则 a +b =(a x +b x )i +(a y +b y )j +(a z +b z )k =(a x +b x , a y +b y , a z +b z ). a -b = (a x -b x )i +(a y -b y )j +(a z -b z )k =(a x -b x , a y -b y , a z -b z ).λa =λ(a x i +a y j +a z k ) =(λa x )i +(λa y )j +(λa z )k =(λa x , λa y , λa z ). 向量模的坐标表示式 222||z y x ++=r点A 与点B 间的距离为 →212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==向量的方向：向量a 与b 的夹角 当把两个非零向量a 与b 的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过π的夹角称为向量a 与b 的夹角, 记作^) ,(b a 或^) ,(a b . 如果向量a 与b 中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与π之间任意取值. 类似地, 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角.数量积: 对于两个向量a 和b , 它们的模 |a |、|b | 及它们的夹角θ 的 余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积, 记作a ⋅b , 即a ·b =|a | |b | cos θ .数量积与投影:由于|b | cos θ =|b |cos(a ,^ b ), 当a ≠0时, |b | cos(a ,^ b ) 是向量 b 在向量a 的方向上的投影, 于是a ·b = |a | Prj a b .同理, 当b ≠0时, a·b = |b | Prj b a . 数量积的性质: (1) a·a = |a | 2.(2) 对于两个非零向量 a 、b , 如果 a·b =0, 则 a ⊥b 反之, 如果a ⊥b , 则a·b =0.如果认为零向量与任何向量都垂直, 则a ⊥b ⇔ a ·b =0. 两向量夹角的余弦的坐标表示:设θ=(a , ^ b ), 则当a ≠0、b ≠0时, 有222222||||cos zy x z y x zz y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=⋅=b a b a θ向量积: 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出:c 的模 |c |=|a ||b |sin θ , 其中θ 为a 与b 间的夹角c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定.那么, 向量c 叫做向量a 与b 的向量积, 记作a ⨯b , 即 c = a ⨯b . 坐标表示:zy x z y x b b b a a a kj i b a =⨯=a y b z i +a z b x j +a x b y k -a y b x k -a x b z j -a z b y i= ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k . . 向量的方向余弦:设r =(x , y , z ), 则 x =|r |cos α, y =|r |cos β, z =|r |cos γ . cos α、cos β、cos γ 称为向量r 的方向余弦.||cos r x =α, ||cos r y=β, ||cos r z =γ. 从而 r e r r ==||1)cos ,cos ,(cos γβα向量的投影向量在轴上的投影设点O 及单位向量e 确定u 轴.任给向量r , 作→r =OM , 再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M '(点M '叫作点M 在u 轴上的投影), 则向量→M O '称为向量r 在u 轴上的分向量. 设→e λ='M O , 则数λ称为向量r 在u 轴上的投影, 记作Prj u r 或(r )u .按此定义, 向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标a x , a y , a z 就是a 在三条坐标轴上的投影, 即a x =Prj x a , a y =Prj y a , a z =Prj z a . 投影的性质:性质1 (a )u =|a |cos ϕ (即Prj u a =|a |cos ϕ), 其中ϕ为向量与u 轴的夹角; 性质2 (a +b )u =(a )u +(b )u (即Prj u (a +b )= Prj u a +Prj u b ); 性质3 (λa )u =λ(a )u (即Prj u (λa )=λPrj u a );空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)； (1)椭圆锥面由方程22222z by a x =+所表示的曲面称为椭圆锥面. (2)椭球面由方程1222222=++cz b y a x 所表示的曲面称为椭球面.(3)单叶双曲面由方程1222222=-+cz b y a x 所表示的曲面称为单叶双曲面. (4)双叶双曲面由方程1222=--cz b y a x 所表示的曲面称为双叶双曲面.(5)椭圆抛物面由方程z by a x =+2222所表示的曲面称为椭圆抛物面 (6)双曲抛物面.由方程z b y a x =-2222所表示的曲面称为双曲抛物面. 椭圆柱面12222=+b y a x ,双曲柱面122=-by a x , 抛物柱面ay x =2, .直线方程(参数方程和投影方程) 空间直线的一般方程空间直线L 可以看作是两个平面∏1和∏2的交线.如果两个相交平面∏1和∏2的方程分别为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0和A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0, 那么直线L 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程, 即应满足方程组 ⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A .空间直线的对称式方程与参数方程方向向量: 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 容易知道, 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.确定直线的条件: 当直线L 上一点M 0(x 0, y 0, x 0)和它的一方向向量s = (m , n , p )为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.直线方程的确定: 已知直线L 通过点M 0(x 0, y 0, x 0), 且直线的方向向量为s = (m , n , p ), 求直线L 的方程.设M (x , y , z )在直线L 上的任一点, 那么(x -x 0, y -y 0, z -z 0)//s , 从而有pz z n y y m x x 000-=-=-. 这就是直线L 的方程, 叫做直线的对称式方程或点向式方程 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mtx x 000 直线L 1和L 2的夹角ϕ可由 |) ,cos(|cos 2^1s s =ϕ222222212121212121||p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=直线与平面的夹角设直线的方向向量s =(m , n , p ), 平面的法线向量为n =(A , B , C ), 直线与平面的夹角为ϕ , 那么|) , (2|^n s -=πϕ, 因此|) , cos(|sin ^n s =ϕ. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 有222222||sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ平面方程：点法式(法向量)、一般式、任一平面都可以用三元一次方程来表示 . Ax +By +Cz +D =0.其中x , y , z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标, 即 n =(A , B , C ). 提示:D =0, 平面过原点.n =(0, B , C ), 法线向量垂直于x 轴, 平面平行于x 轴. n =(A , 0, C ), 法线向量垂直于y 轴, 平面平行于y 轴. n =(A , B , 0), 法线向量垂直于z 轴, 平面平行于z 轴.n =(0, 0, C ), 法线向量垂直于x 轴和y 轴, 平面平行于xOy 平面. n =(A , 0, 0), 法线向量垂直于y 轴和z 轴, 平面平行于yOz 平面. n =(0, B , 0), 法线向量垂直于x 轴和z 轴, 平面平行于zOx 平面.截距式；平面夹角和距离两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.设平面∏1和∏2的法线向量分别为n 1=(A 1, B 1, C 1)和n 2=(A 2, B 2, C 2), 那么平面∏1和∏2的夹角θ 应是) ,(2^1n n 和) ,() ,(2^12^1n n n n -=-π两者中的锐角, 因此, |) ,cos(|cos 2^1n n =θ. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 平面∏1和∏2的夹角θ 可由2222222121212121212^1|||) ,cos(|cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++==n n θ.来确定.从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论: 平面∏1和∏2垂直相当于A 1 A 2 +B 1B 2 +C 1C 2=0;平面∏ 1和∏ 2平行或重合相当于212121C C B B A A == 空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设F (x , y , z )=0和G (x , y , z )=0是两个曲面方程, 它们的交线为C . 因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F空间曲线的参数方程（33）空间曲线C 的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C 上动点的坐标x 、y 、z 表示为参数t 的函数:⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x .当给定t =t 1时, 就得到C 上的一个点(x 1, y 1, z 1); 随着t 的变动便得曲线C 上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程. 切平面和切线： 切线与法平面；设空间曲线Г的参数方程为),(),(),(t z t y t x ωφϕ=== 曲线在点),,(000z y x M 处的切线方程为)(00t x x ϕ'-=.)()(0000t z z t y y ωφ'-='- 向量 )}('),('),('{000t t t T ωφϕ=就是曲线Г在点M 处的一个切向量 法平面的方程为0))(('))(('))( ('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωφϕ切平面与法线隐式给出曲面方程((,,)0F x y z =)法向量为：)},,,(),,,(),,,({000000000z y x Fz z y x F z y x F n y x = 切平面的方程是))(,,())(,,())(,,(000000000000z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x -+-+-法线方程是.),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-),(y x z =在点),(00y x如果用α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z 轴的正向所成的角γ是一锐角，则法向量的方向余弦为 ,1cos 22yxx ff f ++-=α ,1c o s 22yxy ff f ++-=β.11cos 22yxff ++=γ2、多元函数微分学多元函数极限：简单复习讲解 偏微分全微分：如果三元函数),,(z y x u φ=可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和， du =x u ∂∂dx +y u ∂∂dy ＋zu ∂∂dz 第二次课3、重积分二重积分：利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分f x y d D(,)σ⎰⎰的计算问题。

第十章多元函数的积分学及其应用一、二重积分1．二重积分的概念�定义：设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，“分割、近似、求和、取极限”：01(,)lim (,)n i iii D f x y d f λσξησ→==∆∑∫∫其中：D 为积分区域，(,)f x y 称为被积函数，d σ为面积元素。

�几何意义：当(,)0f x y ≥，(,)D f x y d σ∫∫表示以区域D 为底、以曲面(,)z f x y =为顶的曲顶柱体的体积。

�非均匀平面薄片的质量：(,)DM x y d µσ=∫∫。

2．二重积分的性质�性质1（线性性质）.),(),()],(),([∫∫∫∫∫∫±=±DD D d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα�性质2（区域具有可加性）如果闭区域D 可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域1D 和2D ,则.),(),(),(21∫∫∫∫∫∫+=D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ�性质3如果在闭区域D 上,σ,1),(=y x f 为D 的面积,则.1σσσ==⋅∫∫∫∫DD d d 几何意义：以D 为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。

�性质4（单调性）如果在闭区域D 上,有),,(),(y x g y x f ≤则.),(),(∫∫∫∫≤DD d y x g d y x f σσ推论1.|),(|),(∫∫∫∫≤DD d y x f d y x f σσ推论2设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值,σ为D 的面积,则.),(σσσM d y x f m D≤≤∫∫这个不等式称为二重积分的估值不等式。

�性质5（积分中值定理）如果函数(,)f x y D 上连续，σ是D 的面积，那么在D 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅∫∫。

高数同济版下高数（下）小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解. 一阶微分方程的解法小结：高数同济版下二阶微分方程的解法小结：非齐次方程的特解的形式为：高数同济版下主要一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法时，应将看作常量，对求导，在求时，应将看作常量，对求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式2、复合函数的偏导数的求法设，，，则，几种特殊情况： 1），，，则2），，则 3），则3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况，设是由方程唯一确定的隐函数，则，高数同济版下或者视，由方程两边同时对 2）方程组的情况由方程组 . 两边同时对求导解出即可二、全微分的求法方法1：利用公式方法2：直接两边同时求微分，解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性：三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 1）设空间曲线Г的参数方程为，则当时，在曲线上对应处的切线方向向量为，切线方程为法平面方程为2）若曲面的方程为，则在点处的法向，切平面方程为法线方程为高数同济版下若曲面的方程为，则在点处的法向，切平面方程为法线方程为四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，由，解出驻点，记， 1）若时有极小值 2）若，则在点处无极值 3）若，不能判定在点处是否取得极值，则在点处取得极值，且当时有极大值，当2 条件极值的求法函数在满足条件下极值的方法如下： 1）化为无条件极值：若能从条件解出代入中，则使函数成为一元函数无条件的极值问题 2）拉格朗日乘数法作辅助函数，其中为参数，解方程组高数同济版下求出驻点坐标，则驻点可能是条件极值点 3 最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值. 主要1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法三、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：高数同济版下高数同济版下*定积分的几何应用定积分应用的常用公式： (1)面积 (2)体积（型区域的面积）（横截面面积已知的立体体积）（所围图形绕的立体体积）（所围图形绕体体积）（所围图形绕轴的立体体积）。