分数阶复杂网络的混合投影同步研究

分 数 阶 复杂 网络 的混 合 投 影 同步研 究 术
杨 丽 新 江俊
（ 西安交通大学强度与振动国家重点实验室 ， 西安 ７ １ ０ ０ ４ ９ ）
摘要
主要针对一类节点为分数阶混沌系统的复杂 网络混合投影 同步进行研究 ． 基于分数 阶系统 的稳定性
理论和非线性反馈控制方法 ， 通 过设 计有效的控制器 ， 实现 了不 同节点 的复杂 网络的混合 投影 同步 ， 并给 出 了实现投影 同步的充分条件 ， 不仅从 理论 上分析 了该控制 器可 以使复杂 网络系 统实现投 影 同步 ， 而且 大量
２ ０ １ ３ － ０ ５ － ２ ４收到第 １稿 ， ２ ０ １ ４ ０７ － － ０ ３收到修 改稿 国家 自然科学基 金资助项 目（ １ １ １ ７ ２ ２ ２ ３ ） 十通讯作者 Ｅ — ｍ ａ ｉ ｌ ： ｙ ０ ９ ３ １ １ ＠１ ６ ３ ． ｃ ０ ｍ
Ｄ ｑ （ ｆ ） ＝ Ｆ ｉ （ ｉ （ ） ） ＋∑ｃ （ ｆ ） ，
是复杂网络已经广泛应用于实际生活 中， 例如经济
系统 、 因特 网 、 生 物 神 经 网络 以及 大 型 机器 人 系统 等． 复杂 网络 的应 用 ， 不 仅 简化 了 系统 的控 制 方法 ，
而且 节省 了大 量 的能源 和经 费 ， 作 为复 杂 网络 的一
１ 准 备 知 识 和 问题 描 述
本 文基 于分 数 阶系统 的稳定 性理 论 ， 主要 讨 论
分数阶混沌动力学网络的混合投影同步控制 问题 ， 给出了一类具有不 同节点 的分数阶混沌动力学模 型， 为使得该类 网络达到混合投影 同步 ， 设计 了非
线性控 制器 ， 并 得 到 了实现 同步 的充 分 条 件 ， 数 值 仿真结 果进 一步 验证 了所 提方 法 的有效 性 ．
第１ 期
杨 丽新等 ： 分数 阶复杂网络的混合投影 同步研究
ｉ＝ １ ， …， Ⅳ
（ ３ ）
其中 ｑ Ｅ（ ０ ， １ ］ ； （ ｔ ）＝（ ｎ （ ｔ ） ， ２ （ ｔ ） ， …，
（ ｔ ） ） ∈Ｒ 分别 表示 第 ｉ 个节 点 动力 学系 统 的 阶数 和状 态 变 量 ， ： 是 非 线 性 连 续 函数 ， 用 来
的数值模拟证 明所设计控制器 的正确性和有效性 ． 关键词 分数 阶复杂 网络 ， 混合投影同步 ， 分数 阶混沌 系统 ， 反馈控制
ＤＯＩ ： １ ０． ６ ０ ５２ ／１ ６ ７ ２－ ６ ５ ５３ － ２ ０１ ３ － ０ ９ ５
引言
自从 复杂 网络 的小世界特性 和无标 度特性 被发 现 以来 Ｊ ， 复杂 网络 就 吸 引 了大 量 自然 科 学 和工 程应用领域 方 面 的科 研 人 员关 注 Ｉ ４ Ｊ ． 其 主 要 原 因
第ｌ ３卷第 １期 ２ ０ １ ５年 ２月
１ ６ ７ ２ － ６ ５ ５ ３ ／ ２ ０ １ ５ ／ １ ３ （ １ ） ／ ０ ５ ２ － ４
动 力 学 与 控 制 学 报
Ｊ Ｏ ＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｄ ＹＮＡＭＩ Ｃ Ｓ ＡＮＤ ＣＯ ＮＴ ＲＯＬ
Ｖｏ １ ． １ ３ Ｎｏ ． １ Ｆ ｅ ｂ ． ２ ０ １ ５
者更适合描述分数阶微分方程 的初值 问题 ， 因此 ，
本文 采用 Ｃ ａ ｐ ｕ ｔ ｏ 定义 ， 简单 描述 如下
Ｄ ： ） 志
一 ） ” （ ） ｄ
（ １ ）
公式来估计牵制结点个数和未知的耦合强度等．
然而 ， 研 究复 杂 网络 的 同 步 成果 ， 考 虑 的 节 点 大 多数 为整数 阶导 数 ， 近几年来 ， 分 数 阶 微 积 分 的
如下 ：
Ⅳ
权 网络的牵引控制问题 ， 给出了分数阶动力学 网 络的控制性能与分数 阶次 ， 以及耦合强度的关系 ， 随后 ， 很多学者研究 了复杂网络 的同步问题 Ｊ ． 然 而， 分数阶复杂网络的同步控制问题还处于起 步和
探 索 阶段 ， 有许 多 问题 值得 去研 究 ．
ｅ （ ￡ ）＝ Ａ ｉ ｅ （ ｚ ） ＋ （ （ ） ） ＋∑Ｃ ｊ） ）＋（ Ａ —Ｂ） ａ ｓ （ ｔ ）＋ｕ （ ｔ ）
（ ９ ）
我 们 的 目标 是设 计 合 适 的控 制 器 Ｉ Ｉ ， （ ｔ ） ， 使 得误 差 系统在 原点 稳定 ． 为此 ， 我 们设 计如 下 的控 制器 ， 以
目前 为止 ， 已经有 多种 分 数 阶微 分 的定 义 ， 常 用 的是 Ｒ ｉ ｅ ｍ ａ ｎ ｎ —Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｅ和 Ｃ ａ ｐ ｕ ｔ ｏ 定义 ， 由于后
个重 要 动态特 性 ， 同步 已经得 到 了广 泛 的研 究 ， 并 且存 在着 大量 的复 杂 网络 同步 结 果 ． 过去十几年 ， 许 多关 于混沌 同步 的控 制方 法 已被提 出 ， 文献 ［ ５ ］ 研究 了复 杂 网络 的带 有 耦 合 延 迟 的全 局 同 步 ， 接 着， 文献 ［ ６］ 基 于牵 引控 制 ， 讨 论 了一 类 较 为一 般 的复杂 网络 系统 的同步 问题 ， 提 出了一 种简 化 近 似
其 中 ，（・） 表示 Ｇ ａ ｍ ｍａ函数 ． 考虑 一般 的分 数 阶线 性微 分方 程
Ｄ ｑ Ｘ＝ Ｘ） ，Ｄ Ｘ＝ Ａ （ ２ ）
应用领域越来越广泛 ， 分数阶模型更加准确地刻画
实 际 系统 的物理 现 象 ， ２ ０ １ ０年 ， 房 建 安 等研 究 了加
其 中 Ｘ∈Ｒ ， Ａ∈Ｒ ， ０＜ ｑ ≤１ ． 对 于线性 分数 阶系统 （ ２ ） ， 若Ｉ ａ ｒ ｇ （ Ａ （ Ａ） ）ｌ ＞ｑ ￣ ｒ ／ ２ 成立 ， 则 分数 阶系 统 （ ２ ） 渐近稳 定． 我 们考 虑含有 Ⅳ 个节 点 的 分 数 阶 动力 学 网络