第四章中值定理与导数应用

第四章 中值定理与导数应用

一、填空

1、)4()3()2()1(ffff，)(xf在[1,2] ，[2,3] ，[3,4] 上均满足罗尔定理条件，所以在每个开区间内都存在且仅存在一点i使得0)(if，即方程0)(xf在每个区间内都有且仅有一个根，共有3个根。

2、34)(xxf，151212)(44f，即1543，3415

3、因为)(xF在0x处连续，所以有)(lim)0(0xFFx即)(lim0xFAx

4、3ln,13ln3ln3lim13lim00aaaaxxxxx

5、0232pxy，将驻点1x代入得23p

6、令22)1(2)1()1()1(xxxxy函数在[0,4]内无驻点和不可导点，

1|0xy，53|4xy，函数在[0,4]上的最小值是1miny

7、令0134)1()1(32)(322312xxxxxf，得驻点01x，

函数有不可导点13,2x， 1)0(f，0)1()1(ff

函数在[-1,1]上的最大值是1，最小值是0

8、xxe11lim0，铅垂渐近线为0x；

111limxxe，011limxxe， 水平渐近线是0y和1y

9、由于函数只有一条水平渐近线1y且)(limxfx，所以1)(limxfx

10、2arctanlimlim,2arctanlimlim21xxxxyaxxxxyaxxxx

斜渐近线为2条，分别为12xy和12xy

11、0)()()()()(lim)()(2)(lim020afhhafhafhafhafhhafafhafhh12、0)(6|),(6212baaybaxayx，a与b的关系为0ba 13、axxfbaxxxf26)(,23)(2

二、选择题

1、A，B不满足第三个条件，C不满足第二个条件，选D

2)(xf在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件，在(a,b)内至少存在一点使得

abafbff)()()(成立，0)(,0,0)()(fabafbf 选B

3、)(xf在[1,3]上满足拉格朗日中值定理条件，在(1,3)内至少存在一点使得

2113)1()3()(fff成立，由导数的几何意义知曲线在点的切线与xy21平行。 选D

4、设0)()()(),()()(xgxfxFxgxfxF，)(xF在),0[是单调增加函数，0)0()(FxF，即0)()(xgxf，)()(xgxf， 选B

5、eeeeexfffxfxfxxfxxfxxxxx)0()0()()(1lim)(lnlim)(ln01000lim)]([lim，选C

6、选D

7、因为)(xf是偶函数，所以)(xf是奇函数，其图像关于原点对称，在)0,(内因为

0)(,0)(xfxf，由)(xf图像的对称性得在),0(内,0)(xf且单调减少0)(xf， 选C

8、因为)(xf二次可导，0x是拐点那么说明0x点的左右两侧)(xf异号，)(xf在0x点的左右两侧单调性相异，而)(0xf存在，所以)(0xf一定是函数)(xf的极值。 选A

9、观察1)(limaxxfax，当ax时分母0ax，而1)(limaxxfax说明ax时0)(limxfax，即有0)(af，ax是函数)(xf的一个驻点；

1)()()(lim)(limafaxafxfaxxfaxax，所以)(xf在ax取极大值。选A

10、因为)(xf是偶函数且有连续的二阶导数，由图像的对称性知0)0(f，而0)0(f

所以函数)(xf在0x处取极值。 选B

11、34)2(31xy， 37)2(94xy；在),2(内0,0yy， 选D 12、2122lim1lim)1()1)(1(lim20220220xexxexxxexxxxxx

函数有1条铅垂渐近线1x 选C

13、,1lim,1lim2121xxxxxx,11lim,11lim22xxxxxx

011limlim2xxyaxx，

由上分析得函数铅垂渐近线：1,1xx，水平渐近线：1,1yy，选A

14、0)2(lim12xxex，所以A不正确；xxex10)2(lim，0x是一条铅垂渐近线

函数无水平渐近线；1)2(lim1xexaxx，

函数有倾斜渐近线：3xy， 选C

15、1|0cyx，baxybxaxy26,232，因为(0,1)是函数的拐点，所以有

0,02|0bbyx；当a=0时函数变为y= 1,显然不合题意。 选A

16、由0)(,0)(0xfxf得导函数)(xf在点0x取得极大值，因而在0x的左侧0)(xf，在0x的右侧0)(xf，也即在0x的左侧函数图形上凹，在0x的右侧函数图形下凹〔凸〕。 选B