2023～2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}||1|2,N A x x x =-<∈，1|1B y y x ⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．[]1,3B ．[]0,2C ．{}0,2D ．{}1,22．已知双曲线C ：2221(0)x y a a-=>经过点(2,0)，则C 的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．12y x=±C ．14y x =±D．2y x =3．已知1z ，2z 是两个虚数，则“1z ，2z 均为纯虚数”是“12z z 为实数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知随机变量()2~1,N ξσ，且()()0P P a ξξ≤=≥，则()140x a x a x+<<-的最小值为（）A ．9B ．92C ．4D ．65．羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（）A ．14B ．13C ．12D ．236．已知非零向量π(cos 2,sin())4a αα=+ ，π(sin(4b α=+ ，若//a b ，则sin 2α=（）A ．1-B ．10C ．45D ．357．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，过E 的右焦点且斜率为1的直线l 交E 于A ，B 两点，且原点O 到直线l 的距离等于E 的短轴长，则E 的离心率为（）A ．3B ．3C D ．138．正三棱锥P ABC -和正三棱锥Q-ABC 共底面ABC ，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P 和点Q 在平面ABC 的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC 所成的角分别为α，β，则当αβ+最大时，tan()αβ+=（）A ．13-B ．23-C ．-1D ．43-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的有（）A ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥B ．m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥C ．若//αβ，m α⊂，n β⊥，则m n ⊥D ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥10．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，且()f x 不是常函数，则下列说法中正确的有（）A ．若2为()f x 的周期，则()f x 为奇函数B ．若()f x 为奇函数，则2为()f x 的周期C ．若4为()f x 的周期，则()f x 为偶函数D ．若()f x 为偶函数，则4为()f x 的周期11．在长方形ABCD 中，8AB =，6AD =，点E ，F 分别为边BC 和CD 上两个动点（含端点），且5EF =，设BE BC λ= ，DF DC μ=，则（）A ．116λ≤≤，318μ≤≤B ．λμ+为定值C ．AE AF ⋅的最小值50D ．||AE AF +三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知圆O ：222x y +=，过点()3,1M -的直线l 交圆O 于A ，B 两点，且2MA MB =，则满足上述条件的一条直线l 的方程为.13．设钝角ABC 三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若2a =，sin b A =3c =，则b =.14．如果函数()f x 在区间[a ，b ]上为增函数，则记为[,]()a b f x ，函数()f x 在区间[a ，b ]上为减函数，则记为[,]()a b f x .如果[,8]m，则实数m 的最小值为；如果函数32213()232f x x ax a x =-+，且[1,2]()f x ，[2,3]()f x ，则实数=a .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为1，AB BC ⊥，2AB =，1BC =．(1)求证：11BC A C ^；(2)求二面角11B A C B --的余弦值．16．某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表：借阅次数01234567合计男生人数2535512225女生人数4455321125合计人数69810833350若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”．(1)请完成以下22⨯列联表；问：能否有90％的把握认为爱好阅读与性别有关？性别阅读合计一般爱好男生女生合计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．2()P K k ≥0.10.050.01k2.7063.8416.635(2)班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数X 的概率分布和数学期望．17．已知函数e 1()ln (R)x f x a x a x-=+∈.(1)当0a =时，证明：()1f x >；(2)若()f x 在区间(1,)+∞上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.18．已知F 为抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点，点A 在C上，1)4FA =- .点P （0，-2），M ，N 是抛物线上不同两点，直线PM 和直线PN 的斜率分别为1k ，2k .(1)求C 的方程；(2)存在点Q ，当直线MN 经过点Q 时，12123()24k k k k +-=恒成立，请求出满足条件的所有点Q 的坐标；(3)对于（2）中的一个点Q ，当直线MN 经过点Q 时，|MN |存在最小值，试求出这个最小值.19．如图所示数阵，第(1)m m ≥行共有1m +个数，第m 行的第1个数为01C m -，第2个数为1C m ，第(3)n n ≥个数为1322C C n n m n m n --+-+--.规定：0C 1n =.(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列{}n a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S 是否存在正整数k ，使得对任意正整数n ，41n n kS -≤恒成立？如存在，请求出k 的最大值，如不存在，请说明理由.1．C【分析】首先解绝对值不等式求出集合A ，再根据幂函数的性质求出集合B ，最后根据交集的定义计算可得.【详解】由|1|2x -<，即212x -<-<，解得13x -<<，所以{}{}{}||1|2,N |13,N 0,1,2A x x x x x x =-<∈=-<<∈=，又{}1|1|1B y y y y x ⎧⎫==+=≠⎨⎬⎩⎭，所以{}0,2A B =I .故选：C 2．B【分析】求出双曲线方程再根据双曲线渐近线的求法得解.【详解】因为双曲线C ：2221(0)x y a a-=>经过点(2,0)，所以2,1a b ==，渐近线方程为12b y x x a =±=±.故选：B 3．A【分析】设12i,i(,R z b z c b c ==∈且,0)b c ≠,可得12R z z ∈，如121i 12+2i 2z z +==，可得结论.【详解】若12,z z 均为纯虚数，设12i,i(,R z b z c b c ==∈且,0)b c ≠,则12i R i z b b z c c ==∈，所以“12,z z 均为纯虚数”是12zz 是实数的充分条件，当121i,22i z z =+=+，121i 12+2i 2z z +==，所以“12,z z 均为纯虚数”是12z z 是实数的不必要条件，综上所述：“12,z z 均为纯虚数”是12z z 是实数的充分不必要条件.故选：A.4．B【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可求得2a =，代数式()122x x +-⎡⎤⎣⎦与142x x+-相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】因为随机变量()2~1,N ξσ，且()()0P P a ξξ≤=≥，则12a=，可得2a =，()14141142222x x x a x x x x x ⎛⎫+=+=++-⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭124191452222x x x x ⎛⎫-⎛⎫=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当且仅当23x =时，等号成立，所以，()140x a x a x +<<-的最小值为92.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．C【分析】由全概率公式即可求解.【详解】由于甲、乙、丙三人的比赛水平相当，所以第二局乙或丙担任裁判的概率都是12，第二局若是乙当裁判，则第三局甲或丙担任裁判的概率都是12，第二局若是丙当裁判，则第三局甲或乙担任裁判的概率都是12，由全概率公式可知，如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为1111122222P =⨯+⨯=.故选：C.6．D【分析】利用两个向量平行的性质可得2πsin ()cos24αα+=，化简可得1tan 3α=，利用齐次式即可得到答案.【详解】因为a ，b 为非零向量，所以cos 20πsin()04αα≠⎧⎪⎨+≠⎪⎩，即12ππ42ππ4k k αα⎧≠+⎪⎪⎨⎪≠-+⎪⎩()12Z,Z k k ∈∈因为//a b ，所以2πsin (cos24αα+=，则π1cos 22cos22αα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，即1sin 22cos2αα+=，即2222sin cos 2sin cos 2cos 2sin αααααα++=-，由于cos 0α≠，所以两边同除2cos α，可得：23tan 2tan 10αα+-=，解得：tan =13或tan 1α=-(舍去),所以222tan 33sin211tan 519ααα===++.故选：D 7．A【分析】首先求出直线方程，然后利用点到直线距离公式求出原点O 到直线l 的距离，列出方程求解即可【详解】设椭圆的方程为22221x y a b+=，所以(),0E c ，所以直线l 的方程为y x c =-，所以原点O 到直线l 的距离等于E2b =，得228c b =，又222a b c =+，所以()22222889c a c a c =-⇒=，所以c e a ==故选:A 8．D【分析】由题意可得球心O 在PQ ，设PQ 与ABC 的交点为R ，CR AB ⊥于M ，,PMC QMC ∠∠为两个正三棱锥的侧面与底面ABC 所成的角分别为,αβ，设外接球的半径为r ,球心O 到平面的距离为m ,可得tan 36r m a α-=，tan 36r ma β+=，进而计算可求αβ+最大时，tan()αβ+的值.【详解】由题意可得球心O 在PQ ，设PQ 与ABC 的交点为R ，CR AB ⊥于M ，由题意可得,PM AB MQ AB ⊥⊥，所以,PMC QMC ∠∠为两个正三棱锥的侧面与底面ABC 所成的角分别为,αβ，所以tan PR MR α=，tan QRMRβ=，设外接球的半径为r ,球心O 到平面的距离为m ,则,PR r m QR r m =-=+，设ABC 的边长为a ，由正三角形的性质1113222sin 606a MR RC a ==⨯⨯=︒，所以tan 36r m a α-=，tan 36r ma β+=，2222231()33r m a m a =+=+,所以33r a ≥所以2222223333226666tan()11331()()123336666a a a r a r r m r m a r r a a a r m a aαβ⨯⨯+==-+--+⨯--223322661144a r r a a ⨯⨯==--，所以ππ2αβ<+<，故当33r a =时，αβ+最大，此时4tan()3αβ+=-.故选：D.【点睛】方法点睛：利用正切函数的单调性求三角函数的值的最大值以确定角的最大值，表示三角函数是解本题的关键.9．BCD【分析】根据垂直关系的转化与判定定理和性质定理，即可判断选项.【详解】A.若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，不能推出m β⊥或n α⊥，则不能推出αβ⊥，故A 错误；B.若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又//n β，所以αβ⊥，故B 正确；C.若//αβ，n β⊥，则n α⊥，又m α⊂，所以m n ⊥，故C 正确；D.若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，说明与α和β垂直的法向量互相垂直，则αβ⊥，故D 正确.故选：BCD 10．ABD【分析】对于A ：由已知可得(2)()f x f x +=--，结合周期可得()(f x f x -=-）可判断A ；由奇函数可得(2)(11)()f x f x f x +=++=，可判断B ；结合已知可得结论(4)(13)(2)f x f x f x +=++=---(11)()f x f x =--+=-，可判断C ；由已知可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，可判断D.【详解】对于A ：若2是()f x 的周期，则(2)(f x f x +=），由(1)(1f x f x ++-）=0，可得(2)(11)(11)()f x f x f x f x +=++=---=--，所以()(f x f x -=-），所以()f x 为奇函数；故A 正确；对于B ：若()f x 为奇函数，则()(f x f x -=-），由(1)(1f x f x ++-）=0，可得(2)(11)(11)()()f x f x f x f x f x +=++=---=--=，所以2是()f x 的周期，故B 正确；若4是()f x 的周期，则(4)(f x f x +=），由(1)(1f x f x ++-）=0，可得(4)(13)(13)(2)f x f x f x f x +=++=---=---(24)(2)(11)(11)()f x f x f x f x f x =---+=--=-+-=--+=-，所以()(f x f x -=-），所以()f x 为奇函数；故C 不正确；对于D ：若()f x 为偶函数，则()(f x f x -=），由(1)(1f x f x -=-），可得(1)(1)f x f x -=-+，所以()(2)f x f x =-+，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以4是()f x 的周期，故D 正确.故选：ABD.11．AC【分析】根据题设结合,E F 的位置可确定参数范围，判断A ；取特殊位置计算λμ+的值，可判断B ；根据数量积的运算律结合三角恒等变换可判断C ；举出反例可判断D.【详解】对于A ，由题意知当E 和B 重合时，1BE =，此时λ取最小值16，μ取到最大值1；当F 和D 重合时，3DF =，此时μ取最小值38，λ取到最大值1，A正确；对于B ，当E 和B 重合时，1,16λμ==，76λμ+=；当,E F 分别位于,DC BC 的中点时，满足5EF =，此时11,22λμ==，1λμ+=，由此可知λμ+不为定值，B 错误；对于C ，()()()()AE AF AB BE AD DF AB BC AD DCλμ⋅=+⋅+=+⋅+AB AD BC AD AB DC BC DC λμλμ=⋅+⋅+⋅+⋅ 223664BC AD AB DC BC AB λμλμλμ=⋅+⋅=+=+ ，由5EF =，得225EF = ，即()225EC CF+= ,即()()21125BC DC λμ⎡⎤-+-=⎣⎦，即()()2236164125λμ-+-=，设()()615cos ,815sin λθμθ-=-=，[)0,2πθ∈，则5cos 5sin 366436164168θθλμ⎛⎫⎛⎫+=⨯++⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()10030cos 40sin 10050sin θθθϕ=++=++，（ϕ为辅助角，3tan 4ϕ=），当()sin 1θϕ+=-时，3664λμ+取到最小值50，即AE AF ⋅的最小值50，C 正确，对于D ，当11,6μλ==时，726AE AF AB BE AC AB BC +=++=+ ，则AE AF +==>D 错误，故选：AC【点睛】难点点睛：解答本题的难点是选项C 的判断，解答时要利用向量的加减以及向量数量积的运算律结合三角代换以及恒等变换进行求解.12．1y =（或3450x y ++=，答案不唯一）【分析】由2MA MB = 和圆中的几何关系求出点O 到直线l 的距离为1，然后利用点到直线的距离公式求出直线斜率即可【详解】由题意得圆心()0,0O ，半径r MO =>故M 点在圆O 外，设点O 到直线l 的距离为d ，由2MA MB = 得2MA MB = 2=，==，解得1d =，设直线l 的方程为()13y k x -=+，218600k k k =⇒+=⇒=或34k =-，所以直线l 的方程为1y =或3450x y ++=.故答案为：1y =（或3450x y ++=，答案不唯一）.13【分析】利用余弦定理表示出cos A ，再利用同角三角函数的平方关系，得到cos A =建立方程，求出b 的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案.【详解】由余弦定理得，22222945cos 266b c a b b A bc b b+-+-+===，而由sin b A =sin B =因为ABC 是钝角三角形，且c a >，故A 为锐角，所以cos A =256b b+=，解得27b =或219b =，当27b =时，即b ，c b a >>，由大边对大角得：最大角为C ，222cos 02b a c C ba +-==，故C 为锐角，不符合题意；当219b =时，即b =b c a >>，由大边对大角得：最大角为B ，2229419cos 0262c a b B ca +-+-==<⨯，故B 是钝角，符合题意，14．41【分析】第一空：令t =可得()4f t t t =+，可得函数()f t 的单调性可求得m 的最小值；第二空由题意可得2x =是函数的极值点，可得()20f '=,求解检验即可.在[,8]m 上单调递增，因为0x ≠，所以08m <<，令t =，则4()f t t t =+，由对勾函数性质得当0x >时，4()f t t t=+的单调递增区间为[2,)+∞，所以，即t 实数的最小值为2，所以m 实数的最小值为4；对于第二空：函数32213()232f x x ax a x =-+可导，所以22()32f x x ax a '=-+，由题意在[1,2]上单调递减，在[]2,3上单调递增，即2x =是函数的极值点，所以2(2)4620f a a '=-+=，解得2a =或1a =，经检验2a =不满足题意，1a =符合题意，所以1a =.故答案为：4；1.15．(1)证明见解析5【分析】（1）法一：由线面垂直证明即可；法二：用空间直角坐标系证明即可；（2）法一：过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，由已知得出BHO ∠为二面角11B A C B --的平面角，求解即可；法二：建立空间直角坐标系求解．【详解】（1）直三棱柱111ABC A B C -的体积为：111121122V AB BC AA AA =⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=，则11AA BC ==，四边形11BCC B 为正方形，法一：在直棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥面ABC ，11AB AB ∥，又AB ⊂平面ABC ，则1AB BB ⊥，因为AB BC ⊥，1AB BB ⊥，1BB BC B = ，1,BB BC ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ，又1BC ⊂平面11BCC B ，所以1AB BC ⊥，因为11AB AB ∥，所以11A B ⊥1BC ，在正方形11BCC B 中，有11BC B C ⊥，因为11BC B C ⊥，11A B ⊥1B C ，1111A B B C B = ，111,A B B C ⊂平面11A CB ，所以1BC ⊥平面11A CB ，又1AC ⊂平面11ACB ，所以11BC A C ^．法二：直棱柱111ABC A B C -，1BB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，1BB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()10,0,1B ，()1,0,0C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，1(1,0,1)BC = ，1(1,2,1)A C =-- ，11110(2)1(1)0BC A C ⋅=⨯+⨯-+⨯-= ，所以11BC A C ^．（2）由（1）得11BC A C ^，设11B C BC O = ，在11A B C 中，过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，因为1OH A C ⊥，11BC A C ^，1,OH BC ⊂平面BHO ，且1OH BC O ⋂=，所以1A C ⊥平面BHO ，又BH ⊂平面BHO ，所以1A C BH ⊥，所以BHO ∠为二面角11B A C B --的平面角，因为11Rt Rt COH CA B ∽△△，111CA CO OH A B =，得3OH =，又在Rt BOH中，BO =BH3cos 56OH BHO BH ∠===，所以二面角11B A C B --的余弦值为5．法二：()0,0,0B ，()10,0,1B ，()1,0,0C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，(1,0,0)BC = ，1(0,2,1)BA = ，设平面1BCA 的法向量：1111(,,)n x y z = ，则111111020n BC x n BA y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11y =，得1(0,1,2)n =- ，1(1,0,1)B C =- ，11(0,2,0)B A = ，设面11B CA 的法向量2222(,,)n x y z = ，则21222112020n B C x z n B A y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取21x =，得2(1,0,1)n = ，设二面角11B A C B --的大小为θ，则：121212|||cos||cos,|5||||n nn nn nθ⋅=<>===，因为θ为锐角，所以二面角11B AC B--余弦值为5．16．(1)列联表见解析，没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关(2)概率分布见解析，1【分析】（1）完成2×2列联表，计算出2K即可得出判断；（2）由题可知，随机变量X服从超几何分布()3,2,6H，由此求出的X概率分布和数学期望．【详解】（1）22⨯列联表：性别阅读合计一般爱好男生101525女生131225合计232750提出假设0H：是否喜爱阅读与性别没有关系，根据列联表的数据，可以求得：2250(10121315)0.725 2.70625252327K⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关．（2）随机变量X服从超几何分布()3,2,6H，X可能取0，1，2，032436C C1(0)C5P X===，122436C C3(1)C5P X===，212436C C1(2)C5P X===，则X的分布列为：X012P153515所以131()0121555E X =⨯+⨯+⨯=，故抽取男生人数的数学期望为1．17．(1)证明见解析(2)(,1)-∞-【分析】（1）因为函数的定义域为(0,)+∞，当0a =时，e 1()x f x x-=，将问题转化为当0x >时，e 1x x >+，构造函数()e 1x p x x =--，利用导数研究()p x 的值域即可证明；（2）求导1(1)e 1()[]x x f x a x x -+'=⋅+，令(1)e 1()(1)x x g x a x x-+=+>，再求导()g x '，利用放缩可知()0g x '>，得到()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)1g x g a >=+，分类讨论1a ≥-和1a <-时()g x 的正负，从而确定是否有极值点以及极值点的个数.【详解】（1）因为函数的定义域为(0,)+∞，当0a =时，e 1()x f x x-=.要证()1f x >，只需证：当0x >时，e 1x x >+.令()e 1x p x x =--，则()e 10x p x '=->，则()p x 在,()0x ∈+∞单调递增，所以()(0)0p x p >=，即e 1x x >+.（2）2(1)e 11(1)e 1()[]x x x a x f x a x x x x-+-+'=+=⋅+，令(1)e 1()(1)x x g x a x x-+=+>，则2222e (1)1(1)11()0x x x x x x g x x x x-+--+--'=>=>.所以()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)1g x g a >=+，①1a ≥-时，()(1)10g x g a >=+≥，()0f x '>.则()f x 在(1,)+∞为增函数，()f x 在(1,)+∞上无极值点，矛盾.②当1a <-时，(1)10g a =+<.由（1）知，e 1x x x >+>，(1)e 1(1)e (1)()1x x x x x x g x a a a x a x x x-+--=+>+>+=-+，则(1)0g a ->，则0(1,1)x a ∃∈-使0()0g x =.当0(1,)x x ∈时，()0g x <，()0f x '<，则()f x 在0(1,)x 上单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，()0f x '>，则()f x 在0(,)x +∞上单调递增.因此，()f x 在区间(1,)+∞上恰有一个极值点，所以a 的取值范围为(,1)-∞-.【点睛】方法点睛：利用导数求解参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.18．(1)24x y=(2)（2，2）或（4，2）(3)5【分析】（1）设211(,)2x A x p，进而求出FA 的坐标，利用坐标式向量相等的条件求解即可（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立直线MN 的方程和抛物线方程，利用韦达定理求出1k ，2k ，代入12123()24k k k k +-=得22m k =-或24m k =-，利用点斜式求出Q 的坐标；（3）根据（2）结论和条件得MN 只能过（2，2）点，此时|MN |有最小值，利用韦达定理和两点间的距离公式求出MN =调区间，利用函数的单调性求出最值【详解】（1）(0,2p F ，设211(,)2x A x p，则2111(,))224x p FA x p =-=- ，所以1211,224x x p p ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩得：2260p p --=，解得2p =或32p =-（舍），所以抛物线C 的方程为24x y =①.（2）设直线MN ：y kx m =+②，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立①②，得2440x kx m --=.所以216()0k m ∆=+>③，124x x k +=，124x x m ⋅=-④.111111222y kx m m k k x x x ++++===+，222222222y kx m m k k x x x ++++===+，则1212121211(2)2(2)()2(2)x x k m k k k m k m x x x x m +-+=+++=++⋅=，121212(2)(2)kx m kx m k k x x ++++=2222121212(2)()(2)8(2)4k x x k m x x m k m x x m+++++++==-.因为12123()24k k k k +-=，即：22(2)8(2)32404k m k m m m-++⨯-⨯-=-，即：(22)(42)0k m k m +-+-=，则22m k =-或24m k =-，能满足③式.则MN ：22(2)2y kx k k x =+-=-+，或MN ：24(4)2y kx k k x =+-=-+，所以定点Q 的坐标为（2，2）或（4，2）；（3）如MN 过（4，2）点，当122k k ==时，12123()24k k k k +-=，但此时M ，N 重合，则|MN |无最小值，所以MN 只能过（2，2）点，此时|MN |有最小值.由（2），在④中，令22m k =-得：124x x k +=，1288x x k ⋅=-，12|||MN x x =-==.令432()2322f k k k k k =-+-+，则322()46622(21)(1)0f k k k k k k k '=-+-=--+=，.当12k <时，()0f k '<，()f k 在1(,)2-∞上为减函数，当12k >时，()0f k '>，()f k 在1(,)2+∞上为增函数，所以当12k =时，()f k 有最小值，|MN |有最小值.min ||5MN =.【点睛】关键点睛：第二问的关键：根据一元二次方程根与系数的关系，结合12123()24k k k k +-=恒成立，得到直线MN 过定点.19．(1)相等，证明见解析(2)证明见解析(3)存在，3【分析】（1）首先写出第1行和第2行的最后两个数，根据结论预测每一行最后2个数的大小关系，再利用组合数的性质和组合数的阶乘公式，即可证明；（2）首先写出第m （2m =）行的1m +个数之和，并利用组合数公式和性质进行化简，再根据（1）的结果，即可证明；（3）首先根据特殊值判断k 的最大值，再利用放缩法求数列{}n a 的前n 项和的不等式，即可证明不等式.【详解】（1）第1行最后两数0101C C 1==，第2行的最后两数120233C C C 2=-=.第m （3m =）行的第m 个数为132222C C m m m m -----，第1m +个数为22121C C m m m m ----，猜测：132********C C C C m m m m m m m m --------=-，即证：12321222122C C C C m m m m m m m m --------=-，法一：因为11233222222222222C C C C C C m m m m m m m m m m m m -----------+-=+-，只要证明22222C C m m m m ---=，该式显然成立，所以12321222122C C C C m m m m m m m m --------=-，所以每行最后两个数相等.法二：因为22121(21)!(21)!C C !(1)!(2)!(1)!m m m m m m m m m m ------=---+(21)![(1)(1)]!(1)!m m m m m m m -=+--+2(21)!(2)!!(1)!!(1)!m m m m m m m -==++；又因为132222(22)!(22)!C C (1)!(1)!(3)!(1)!m m m m m m m m m m -------=----+(22)!(1)!m m m m m m m -=+----+(42)(22)!(1)!(1)!m m m m --=-+2(21)!(2)!(1)!(1)!!(1)!m m m m m m -==-++.即：132********C C C C m m m m m m m m --------=-.所以每一行的最后两个数相等.（2）第1行所有数之和为0101C C 2+=，第2行的最后一个数为2033C C 312-=-=，此时结论成立.因为11C C C k k k n n n -++=，第m （2m =）行的1m +个数之和为：0120312111222121C C (C C )(C C )(C C )m m m m m m m m m m --++++--++-+-++- 01201211211221(C C C C )(C C C )m m m m m m m m m --+-++-=++++-+++ 0120121212221(C C C C )(C C C )m m m m m m m m m -+-++-=++++-+++ 1212211213321(C C C )(C C C )m m m m m m m m -++-++-=+++-+++ 222C C m m m m -==- .而第1m +行倒数第二个数为222C C m m m m --，由（1）得每行最后两个相等，所以结论得证.（3）当1n =，3k =时，1111C 1S a ===，11341S =-，当4k ≥时，此时显然不成立.猜测：存在正整数k ，使得41n n kS ⋅-恒成立，k 的最大值为3.下证：当2n =时，341n n S <-恒成立.由（1）知，(2)!!(1)!n n a n n =+，则1(22)!(1)!(2)!n n a n n ++=++，因为1(22)!!(1)!(22)(21)(1)!(2)!(2)!(2)(1)n n a n n n n n a n n n n n +++++=++++2(21)4(2)6644222n n n n n ++-===-<+++.又0n a >，当2n =时，2111214444n n n n n a a a a ----<<<<= .当2n =时，21124114443n n n n S a a a --=+++<++++= ，所以341n n S <-.综上：存在正整数k ，k 的最大值为3，使得41n n kS ⋅-恒成立.【点睛】关键点点睛：本题前2问的关键是抽象出每行的组合数以及最后两个数的组合数，再利用组合数的性质和公式，即可证明，第3问的关键是利用迭代的方法证明4n a <.。
