江苏省2020年高考数学的命题研究与预测

2020年高考数学原创押题预测卷02（江苏卷）数学·全解全析1.【答案】{}2,1【解析】由022≥-+x x 得2-≤x 或1≥x ，所以{2-≤=x x B 或 }1≥x ，因为{}2,1,0,1-=A 所以{}2,1=⋂B A .2.【答案】-2【解析】由题意得i mi n ni m i i ni m 2422)(2)1)((2+=+-=+=++， 由复数相等的充要条件得，⎩⎨⎧==-,22,42m n 所以⎩⎨⎧=-=,1,2m n 所以2-=mn .3.【答案】40【解析】因为16-4=12，28-16=12，52-28=24，所以由系统抽样方法易知另一名志愿者得编号五40.4.【答案】60【解析】运行伪代码，;60,9;39,7;22,5;9,3;0,1=-========S i S i S i S i S i 此时退出循环，故执行伪代码，得到结果为60.5.【答案】109【解析】解法一：给3名男教师编号，为1,2,3，给2名女教师编号，为4,5，故基本事件有（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1，4,5）,(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5).共10个.设“选出的教师中男，女教师都有”为事件A ，事件A 包含的基本事件有9个，故所求概率为.109)(=A P 解法二：给3名男教师编号，为1,2,3，给2名女教师编号，为4,5，故基本事件有（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1，4,5）,(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5).共10个.设“选出的教师中男，女教师都有”为事件A ，则其对立事件为“选出的教师全部为男教师”，只有（1,2,3）这一种情况，所以101(=A P ，故所求概率为()()10910111=-=-=A P A P .6.【答案】0【解析】由已知条件可得，,6,,262ππϕππϕπ+=∴∈+=+⨯k Z k k .Z k ∈又.1)62sin(2)(,,206++==∴<<πϕπϕπx x f01)21(21)62sin(2)2(2=+-⨯=++⨯=∴πππf 7.【答案】1【解析】因为)(x f 与)(x g 都是定义在{}0≠∈x R x 上的奇函数，且,21)()(2x bin x x g x xf +-=+①所以用x -代替x 得,21)()(2x bin x x g x xf --=-②联立①②，解得)0(2sin )(),0(1)(≠=≠-=x x b x g x x xx f 所以,252sin 212)4()21(=+-=+ππb g f 所以.1=b8.【答案】22【解析】：因为14322=+-b ab a ，所以,31422ab b a +=+所以(),2227171222⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+≤+=+b a ab b a 即(),822≤+b a 解得,22222≤+≤-b a 当且仅当22,2==b a 时，b a 2+取得最大值，最大值为22.9.【答案】21 【解析】设等比数列{}n a 的公比为,q 当1=q 时，1111)2(22a n a na a S n -=-=-，显然12a S n -不为等比数列，舍去。

绝密★启用前2020年一般高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式： （1）样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑（2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高 （3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

一、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 那么_______,=⋂B A 答案：{}1－，2解析：考察简单的集合运算，容易题。

二、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________答案：+∞1（－）2解析：考察函数性质，容易题。

3、设复数i 知足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），那么z 的实部是_________ 答案：1解析：简单考察复数的运算和概念，容易题。

4、依照如下图的伪代码，当输入b a ,别离为2，3时，最后输出的m 的值是________答案：3解析：考察算法的选择结构和伪代码，是容易题。

五、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，那么其中一个数是另一个的两倍的概率是______★此卷上交考点保存★ 姓名___________________ 准考证号___________________9第题图答案：13解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。

六、某教师从礼拜一到礼拜五收到信件数别离是10，6，8，5，6，那么该组数据的方差___2=s 答案：165解析：考察方差的计算，能够先把这组数都减去6再求方差，165，容易题。

7、已知,2)4tan(=+πx 那么xx2tan tan 的值为__________答案：49解析：考察正切的和差角与倍角公式及其运用，中档题。

22tan()11tan tan 1tan 44tan tan(),2tan 443tan 229tan()141tan x x x x x x x x x xππππ+-+-===++（－）＝＝＝－八、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，那么线段PQ长的最小值是________ 答案：4解析：考察函数与方程，两点间距离公式和大体不等式，中档题。

2020届高考数学命题猜想函数与方程﹑函数模型及其应用1【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国I卷理数）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.【变式探究】【2017课标1，理21】已知函数.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()0,1.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时， ()f x 取得最小值，最小值为.①当1a =时，由于，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于，即，故()f x 没有零点；③当()0,1a ∈时，，即. 又，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数n 满足，则.由于，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上， a 的取值范围为()0,1.【变式探究】(1)已知偶函数y ＝f(x)，x ∈R 满足f(x)＝x2－3x(x ≥0)，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，－1x，x<0，则函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x3，x ≤a ，x2，x>a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】（1）B （2）（－∞，0）∪（1，＋∞）【解析】（1）作出函数f （x ）与g （x ）的图像如图所示，易知两个函数的图像有3个交点，所以函数y ＝f （x ）－g （x ）有3个零点.（2）令φ（x ）＝x3（x ≤a ），h （x ）＝x2（x>a ），函数g （x ）＝f （x ）－b 有两个零点，即函数y ＝f （x ）的图像与直线y ＝b 有两个交点.结合图像，当a<0时，存在实数b 使h （x ）＝x2（x>a ）的图像与直线y ＝b 有两个交点；当a ≥0时，必须满足φ（a ）>h （a ），即a3>a2，解得a>1.综上得a ∈（－∞，0）∪（1，＋∞）.【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来．【变式探究】已知函数f(x)＝|x ＋a|(a ∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x2－1|的零点的个数为( ) 络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套．(1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝mx －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x3－56x2＋240x －278（2<x<6），从而f ′（x ）＝12x2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f ′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，103上，f ′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103，6上，f ′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.【感悟提升】 函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型)，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等)，对实际问题作出合乎要求的解释．需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出．【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20<x<200时，车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数.（1）当0<x<200时，求函数v （x ）的解析式；（2）当车流密度x 为多少时，车流量（每小时通过桥上某观测点的车辆数）f （x ）＝x ·v （x ）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）【解析】解：（1）由题意知，当0<x ≤20时，v （x ）＝60；当20<x<200时，设v （x ）＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故所求函数v （x ）的解析式为v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200. （2）由（1）可知v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200.当0<x ≤20时，f （x ）＝60x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20<x<200时，f （x ）＝13x （200－x ）＝－13（x2－200x ）＝－13（x －100）2＋10 0003，当x ＝100时，f （x ）取得最大值10 0003≈3333.综上可知，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【高考真题解读】1. （2018年全国I 卷理数）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.2. （2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1). (1,4) (2).【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。

2020年高考数学试卷的命题走向预测以《中国高考评价体系》、《课程标准》、《考试大纲》和教材为依据，体现了“立足基础，稳中有变，注重能力”的设计理念，在坚持对空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力和应用意识与创新意识考查的同时，注重对数学思想与方法的考查，旨在考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析的数学学科核心素养，凸显综合性和应用性，以反映我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系实际，在数学教育评价中落实“立德树人”的根本任务．认真审视命题规律，科学预测命题走向，是研究高考备考策略的上上之策.认真研究考试大纲和历届高考真题，就不难预测出2020年全国高考数学卷的命题走向：1.总体预测理科预测a.必考知识点——复数、集合、三角函数与解三角形、数列、立体几何、函数与导数、圆锥曲线、概率统计等.b.常考知识点——线性规划、平面向量、直线与圆、数学文化、选讲内容等.具体分值分布如下：函数和导数：27分；立体几何：22分；概率统计：22分；解析几何：22分；三角函数：15或17分；数列：12或15分；平面向量：5分；集合：5分；复数：5分；选讲：10分；数学文化：5分.文科预测（1）必考知识点——复数、集合、三角函数与解三角形、数列、立体几何、函数与导数、圆锥曲线、概率统计等.（2）常考知识点——线性规划、程序框图（与线性规划轮考）、平面向量、直线与圆、数学文化、选讲内容等.具体分值分布如下：函数和导数：27分；立体几何：22分；概率统计：22分；解析几何：22分；三角函数：15或17分；数列：12或15分；平面向量：5分；集合：5分；复数：5分；选讲：10分；数学文化：5分.2.重要模块知识命题预测高考数学考试内容可以分为10大板块(其中包括8大核心板块和2大类非核心板块).每个版块下面有若干重要知识点,针对每个知识点又可以设计数个不同的出题方向。

2020江苏高考数学难度分析
2020江苏省高考数学考试已经结束，与往年一样，江苏高考数学又一次登上热搜。

那么江苏高考数学试题到底有多难呢，下面小编为大家详细介绍一下，供大家参考。

江苏高考数学难度
江苏省现在的高考模式是自主命题，语数外三门必考，另外，语文和数学各有附加题，文科的考生需要答语文附加题，理科的考生需要答数学附加题。

江苏省数学经常有偏题、怪题，150的总分，平均分经常七八十分，甚至还有六十几分的情况。

江苏高考再次改革，自2021年起，语数外重回全国卷，江苏的考生彻底欢呼了，他们留下了代表喜悦的眼泪。

2020年江苏高考数学卷秉承以往的风格，与课本联系紧密，题目排序由易到难，学生解题时心理状态能够平和，可以发挥出正常水平。

试卷考察的知识点全面，注重基础，同时又有区分度，便于高校选拔人才。

压轴题延续以往风格，综合性强。

整张试卷在强调“通性通法”的前提下，又包含了中学数学知识中所蕴含的基本数学思想方法。

给下一届考生的建议：江苏高考的数学题目对基础的考查尤为多，所以在复习时一定要回归教材，夯实基础。

同时浙江卷的解析题难度较大，要擅长运用数学思想方法，且要注意解题的规范性。

认真去研究往年的试题，就如同与出题者进行对话，可以试着去理解出题者的出题意图。

不过之后江苏高考要回归全国卷，希望同学们也要尽早适应全国卷的考查方式。

江苏省高考数学预测卷（2）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中所有元素之和是．2．已知复数z满足（1+2i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为．3．已知点M（﹣3，﹣1），若函数y=tan x（x∈（﹣2，2））的图象与直线y=1交于点A，则|MA|=．4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9，则这组数据的标准差为．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为．6．在区间[﹣1，2]内随机取一个实数a，则关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解的概率是．7．如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则=．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为．9．已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式f（2﹣ln（x+1））＞f（3）的解集为．10．曲线f（x）=xlnx在点P（1，0）处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积是．11．设向量=（4sin x，1），=（cos x，﹣1）（ω＞0），若函数f（x）=•+1在区间[﹣，]上单调递增，则实数ω的取值范围为．12．设函数f（x）=x+cosx，x∈（0，1），则满足不等式f（t2）＞f（2t﹣1）的实数t的取值范围是．13．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线E：x2=4y的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且=3，则双曲线C 的离心率为．14．已知a，b，c，d∈R且满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．在△ABC中，已知三内角A，B，C成等差数列，且sin（+A）=．（Ⅰ）求tanA及角B的值；（Ⅱ）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．17．如图所示的矩形是长为100码，宽为80码的足球比赛场地．其中PH是足球场地边线所在的直线，AB是球门，且AB=8码．从理论研究及经验表明：当足球运动员带球沿着边线奔跑时，当运动员（运动员看做点P）所对AB的张角越大时，踢球进球的可能性就越大．（1）若PH=20，求tan∠APB的值；（2）如图，当某运动员P沿着边线带球行进时，何时（距离AB所在直线的距离）开始射门进球的可能性会最大？18．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x 轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．19．已知函数f（x）=alnx（a∈R）．（Ⅰ）若函数g（x）=2x+f（x）的最小值为0，求a的值；（Ⅱ）设h（x）=f（x）+ax2+（a2+2）x，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设函数y=f（x）与函数u（x）=的图象的一个公共点为P，若过点P有且仅有一条公切线，求点P的坐标及实数a的值．20．已知数列{a n}，{b n}的首项a1=b1=1，且满足（a n+1﹣a n）2=4，|b n+1|=q|b n|，其中n∈N*．设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n．（Ⅰ）若不等式a n+1＞a n对一切n∈N*恒成立，求S n；（Ⅱ）若常数q＞1且对任意的n∈N*，恒有|b k|≤4|b n|，求q的值；（Ⅲ）在（2）的条件下且同时满足以下两个条件：；（ⅰ）若存在唯一正整数p的值满足a p＜a p﹣1=4b m，若存在，求m的值；若不（ⅱ）T m＞0恒成立．试问：是否存在正整数m，使得S m+1存在，请说明理由．四.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．【选修4-1几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为线段OA上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于点P．求证：PM2=PA•PC．B．【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分0分）22．已知矩阵M=，N=，若MN=．求实数a，b，c，d的值．C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分0分）23．在极坐标系中，已知点A（2，），B（1，﹣），圆O的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）求圆O的直角坐标方程．D．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分0分）24．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．如图是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数和众数m（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E（ξ）．26．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n≥1，n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；（Ⅱ）求证：对任意的自然数n∈N*，不等式a1•a2…a n＜2•n!成立．江苏省高考数学预测卷（2）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中所有元素之和是5．【考点】1D：并集及其运算．【分析】利用并集定义先求出A∪B，由此能求出集合A∪B中所有元素之和．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，∴A∪B={﹣1，0，1，1，2，3}，∴集合A∪B中所有元素之和是：﹣1+0+1+2+3=5．故答案为：5．2．已知复数z满足（1+2i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算化为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求【解答】解：∵（1+2i）z=i，∴z===+，∴复数z的虚部为．故答案为3．已知点M（﹣3，﹣1），若函数y=tan x（x∈（﹣2，2））的图象与直线y=1交于点A，则|MA|=2．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】解方程求出函数y与直线y=1的交点A的横坐标，再求线段的长|MA|．【解答】解：令y=tan x=1，解得x=1+4k，k∈Z；又x∈（﹣2，2），∴x=1，∴函数y与直线y=1的交点为A（1，1）；又M（﹣3，﹣1），∴|MA|==2．故答案为：2．4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9，则这组数据的标准差为．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】利用定义求这组数据的平均数、方差和标准差即可．【解答】解：数据12，8，10，11，9的平均数为：=×（12+8+10+11+9）=10，方差为：s2=×[（12﹣10）2+（8﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（9﹣10）2]=2；∴这组数据的标准差为s=．故答案为：．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为﹣1．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=﹣1，n=2016时不满足条件n＜2016，退出循环，输出S的值为﹣1，即可得解．【解答】解：输入s=0，n=1＜2016，s=0，n=2＜2016，s=﹣1，n=3＜2016，s=﹣1，n=4＜2016，s=0，n=5＜2016，…，由2016=503×4+3得，输出s=﹣1，故答案为：﹣1．6．在区间[﹣1，2]内随机取一个实数a，则关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解的概率是．【考点】CF：几何概型．【分析】根据几何概型计算公式，用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解，∴16a2﹣20a2﹣4a≥0，∴﹣1≤a≤0时方程有实根，∵在区间[﹣1，2]上任取一实数a，∴所求的概率为P==．故答案为：7．如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则=5．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】先利用向量的加法把转化为，再代入原题整理后即可求得结论．【解答】解：因为=（+）+（+）=+（）=．∴（）•（）=（）•（）=﹣=32﹣22=5．故答案为58．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为4．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出A1C1⊥平面A1MB，从而三棱锥A1﹣MBC1的体积=，由此能求出结果．【解答】解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，∴A1C1⊥AA1，AC2+AB2=BC2，∴A1C1⊥A1B1，∵AA1∩A1B1=A1，∴A1C1⊥平面A1MB，∵M是AA1的中点，∴===3，∴三棱锥A1﹣MBC1的体积：====4．故答案为：4．9．已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式f（2﹣ln（x+1））＞f（3）的解集为{x|﹣1＜x＜﹣1} ．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由题意，f（x）=，在（2，+∞）单调递增，x＜2，f（x）max=1＜f （3）=3．f（2﹣ln（x+1））＞f（3）化为2﹣ln（x+1）＞3，即可解不等式．【解答】解：由题意，f（x）=，在（2，+∞）单调递增，x＜2，f（x）max=1＜f（3）=3．∵f（2﹣ln（x+1））＞f（3），∴2﹣ln（x+1）＞3，∴ln（x+1）＜﹣1，∴0＜x+1＜，∴﹣1＜x＜﹣1，∴不等式f（2﹣ln（x+1））＞f（3）的解集为{x|﹣1＜x＜﹣1}，故答案为{x|﹣1＜x＜﹣1}．10．曲线f（x）=xlnx在点P（1，0）处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积是．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，计算切线与坐标轴的交点坐标，即可得出三角形面积．【解答】解：f′（x）=lnx+x•=lnx+1，∴在点P（1，0）处的切线斜率为k=1，∴在点P（1，0）处的切线l为y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1，∵y=x﹣1与坐标轴交于（0，﹣1），（1，0）．∴切线y=x﹣1与坐标轴围成的三角形面积为S=×1×1=．故答案为：．11．设向量=（4sin x，1），=（cos x，﹣1）（ω＞0），若函数f（x）=•+1在区间[﹣，]上单调递增，则实数ω的取值范围为（0，2] ．【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】化简f（x）=sinωx，根据正弦函数的单调性得出f（x）的单调增区间，从而列出不等式解出ω的范围．【解答】解：f（x）=+1=2sin xcos x=sinωx，令﹣+2kπ≤ωx≤+2kπ，解得﹣+≤x≤+，k∈Z，∵ω＞0，∴f（x）的一个单调增区间为[﹣，]，∴，解得0＜ω≤2．故答案为（0，2]．12．设函数f（x）=x+cosx，x∈（0，1），则满足不等式f（t2）＞f（2t﹣1）的实数t的取值范围是＜t＜1．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】求导，求导函数的单调性，将不等式转化为具体不等式，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=x+cosx，x∈（0，1），∴f′（x）=1﹣sinx＞0，函数单调递增，∵f（t2）＞f（2t﹣1），∴1＞t2＞2t﹣1＞0，∴＜t＜1，故答案为＜t＜1．13．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线E：x2=4y的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且=3，则双曲线C 的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可知b=1，求出A点坐标，代入双曲线方程化简即可得出a，c的关系，从而得出离心率的值．【解答】解：F（c，0），B（0，1），∴b=1．设A（m，n），则=（m，n﹣1），=（c﹣m，﹣n），∵=3，∴，解得，即A（，），∵A在双曲线﹣y2=1的右支上，∴﹣=1，∴=．∴e==．故答案为：．14．已知a，b，c，d∈R且满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为ln．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】根据题意可将（a，b），（c，d）分别看成函数=x+3lnx与y=2x+3上任意一点，然后利用两点的距离公式，结合几何意义进行求解．【解答】解：因为==1，所以可将P：（a，b），Q：（c，d）分别看成函数y=x+3lnx 与y=2x+3上任意一点，问题转化为曲线上的动点P与直线上的动点Q之间的最小值的平方问题，设M（t，t+3lnt）是曲线y=x+3lnx的切点，因为y′=1+，故点M处的切斜的斜率k=1+，由题意可得1+=2，解得t=3，也即当切线与已知直线y=2x+3平行时，此时切点M（3，3+3ln3）到已知直线y=2x+3的距离最近，最近距离d==，也即（a﹣c）2+（b﹣d）2==ln，故答案为：ln二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．在△ABC中，已知三内角A，B，C成等差数列，且sin（+A）=．（Ⅰ）求tanA及角B的值；（Ⅱ）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据等差数列的性质可得B=，再根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出tanA．（Ⅱ）根据正弦定理求出b，再根据余弦定理求出c．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，则B=，∵sin（+A）=，∴cosA=，∴sinA==，∴tanA==；（Ⅱ）由正弦定理可得=，∴b==7，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即25=49+c2﹣11c，解得c=3或c=8，∵cosA=＞cos，∴A＜，∴C＞，∴c=3舍去，故c=8．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．【考点】L Y：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，AF∥平面PCE；（Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需证明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD．∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=CD．∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，∴AF∥平面PCE；（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PDPA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．17．如图所示的矩形是长为100码，宽为80码的足球比赛场地．其中PH是足球场地边线所在的直线，AB是球门，且AB=8码．从理论研究及经验表明：当足球运动员带球沿着边线奔跑时，当运动员（运动员看做点P）所对AB的张角越大时，踢球进球的可能性就越大．（1）若PH=20，求tan∠APB的值；（2）如图，当某运动员P沿着边线带球行进时，何时（距离AB所在直线的距离）开始射门进球的可能性会最大？【考点】74：一元二次不等式的解法；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）计算tan∠APH与tan∠BPH的值，利用两角差的正切公式求出tan∠APB的值；（2）设PH=x，x∈（0，100），计算tan∠APH、tan∠BPH的值，求出tan∠APB的解析式，利用基本不等式求出它的最大值即可．【解答】解：（1）AB=8，AH=40﹣4=36，PH=20，∴tan∠APH==，tan∠BPH==，∴tan∠APB=tan（∠BPH﹣∠APH）==；即PH=20，tan∠APB的值为；（2）设PH=x，x∈（0，100），∴tan∠APH=，tan∠BPH=，∴tan∠APB=tan（∠BPH﹣∠APH）===≤==，当且仅当x=12时取“=”；∴当运动员P沿着边线带球行进时，离AB所在直线的距离为12码开始射门进球的可能性会最大．18．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x 轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J8：直线与圆相交的性质．【分析】（1）求出O点到直线x﹣y+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；（2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程；（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值．【解答】解：（1）因为O点到直线x﹣y+1=0的距离为，所以圆O的半径为，故圆O的方程为x2+y2=2．（2）设直线l的方程为，即bx+ay﹣ab=0，由直线l与圆O相切，得，即，，当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y﹣2=0．（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，直线MP与x轴交点，，直线NP与x轴交点，，===2，故mn为定值2．19．已知函数f（x）=alnx（a∈R）．（Ⅰ）若函数g（x）=2x+f（x）的最小值为0，求a的值；（Ⅱ）设h（x）=f（x）+ax2+（a2+2）x，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设函数y=f（x）与函数u（x）=的图象的一个公共点为P，若过点P有且仅有一条公切线，求点P的坐标及实数a的值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）函数整理为g（x）=alnx+2x，求导，由题意可知，函数的最小值应在极值点处取得，令f′（x）=0，代入求解即可；（Ⅱ）函数整理为h（x）=alnx+ax2+（a2+2）x，求导得h′（x），对参数a进行分类讨论，逐一求出单调区间；（Ⅲ）设出公共点坐标P（m，n）的坐标，求出坐标间的关系，得到lnm﹣m+1=0，通过讨论函数ω（x）=lnm﹣m+1的单调性解方程即可．【解答】解：（Ⅰ）g（x）=f（x）+2x=alnx+2x，（x＞0），g′（x）=+2，a≥0时，g′（x）＞0，函数在（0，+∞）递增，无最小值，a＜0时，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞﹣，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜﹣，∴函数g（x）=f（x）+2x在（0，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，故函数在x=﹣处取得最小值，∴aln（﹣）﹣a=0，解得：a=﹣2e；（Ⅱ）h（x）=f（x）+ax2+（a2+2）x=alnx+ax2+（a2+2）x，∴h′（x）=，当a=0时，h（x）=2x，定义域内递增；当a≠0时，令h′（x）=0，∴x=﹣或x=﹣，当a＞0时，h′（x）＞0，h（x）定义域内递增；当a＜0时，当a＞﹣时，函数的增区间为（0，﹣），（﹣，+∞），减区间为（﹣，﹣）；当a＜﹣时，函数的增区间为（0，﹣），（﹣，+∞），减区间为（﹣，﹣）；当a=﹣时，定义域内递增．（Ⅲ）a=符合题意，理由如下：此时P（1，0）设函数f（x）与u（x）上公共点P（m，n），依题意有f（m）=u（m），f′（m）=u′（m），即，⇒得到lnm﹣m+1=0，构造函数ω（x）=lnm﹣m+1，（x＞0）ω′（x）=，可得函数ω（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，而ω（1）=0∴方程lnm﹣m+1=0有唯一解，即m=1，a=20．已知数列{a n}，{b n}的首项a1=b1=1，且满足（a n+1﹣a n）2=4，|b n+1|=q|b n|，其中n∈N*．设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n．（Ⅰ）若不等式a n+1＞a n对一切n∈N*恒成立，求S n；（Ⅱ）若常数q＞1且对任意的n∈N*，恒有|b k|≤4|b n|，求q的值；（Ⅲ）在（2）的条件下且同时满足以下两个条件：（ⅰ）若存在唯一正整数p的值满足a p＜a p﹣1；（ⅱ）T m＞0恒成立．试问：是否存在正整数m，使得S m+1=4b m，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（I）{a n}是公差为2的等差数列，代入求和公式即可得出S n；（II）用q表示出|b k|和4|b n|，根据q的范围及恒等式得出q﹣2=0；（III）利用条件可得{a n}，{b n}的通项，求出S m+1，4b m，从而得出m的存在性．【解答】解：（I）∵（a n+1﹣a n）2=4，a n+1＞a n，∴a n+1＞a n=2，∴{a n}是以a1=1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴S n==n2．（II）∵|b n+1|=q|b n|，∴|b n|=q|b n﹣1|=q2|b n﹣2|=q n﹣1|b1|=q n﹣1．|b k|=1+q+q2+…+q n=，∵常数q＞1且对任意的n∈N*，恒有|b k|≤4|b n|，∴≤4q n﹣1，即1﹣q n+1≥4q n﹣1﹣4q n，∴q n﹣1（q2﹣4q+4）≤1，即q n﹣1（q﹣2）2≤1恒成立，∴q=2．（III）由（II）可知{|b n|}是以1为首项，以2为公比的等比数列，∵T m＞0，∴{b n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，即b n=2n﹣1，∵（a n+1﹣a n）2=4，∴a n+1﹣a n=2或a n+1﹣a n=﹣2，∵存在唯一正整数p的值满足a p＜a p﹣1，∴当n≤p﹣1或n≥p时，{a n}是公差为2的递增数列，∴p≥2，①若p=2，则a n=，∴S m=（m﹣2）2，∴S m+1=（m﹣1）2，而4b m=4•2m﹣1=2m+1，∴4b m﹣S m+1=2m+1﹣（m﹣1）2＞0，下面用数学归纳法给出证明：当m=1时，结论显然成立，假设m=k时，结论成立，即2k+1﹣（k﹣1）2＞0，则2k+2﹣k2＞2•2k+1﹣（k﹣1）2＞2k+1﹣（k﹣1）2＞0，即当m=k+1时，结论也成立，∴4b m﹣S m+1＞0恒成立，即不存在正整数m使得S m+1=4b m．②若p≥3，则a1=1，a2=3，∴S2=1+3=4=4b1，∴P≥3时，存在正整数m=1，使得S m+1=4b m．综上，当p=2时，不存在正整数m使得S m+1=4b m；当p≥3时，存在正整数m使得S m+1=4b m，此时m=1．四.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．【选修4-1几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为线段OA上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于点P．求证：PM2=PA•PC．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论【解答】证明：连接ON，则∵PN切⊙O于N，∴∠ONP=90°，∴∠ONB+∠BNP=90°∵OB=ON，∴∠OBN=∠ONB，∵OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN，∴PM2=PN2=PA•PC．B．【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分0分）22．已知矩阵M=，N=，若MN=．求实数a，b，c，d的值．【考点】OE：矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】利用矩阵的乘法公式，建立方程，即可求实数a，b，c，d的值．【解答】解：由题意，，∴a=1，b=﹣1，c=2，d=2．C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分0分）23．在极坐标系中，已知点A（2，），B（1，﹣），圆O的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）求圆O的直角坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出A，B的直角坐标，即可求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）将原极坐标方程ρ=4sinθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）点A（2，），B（1，﹣），直角坐标为A（0，2），B（，﹣），k AB=﹣（4+）∴直线AB的直角坐标方程为y=﹣（4+）x+2；（Ⅱ）将原极坐标方程ρ=4sinθ，化为：ρ2=4ρsinθ，化成直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4．D．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分0分）24．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．【考点】R6：不等式的证明．【分析】利用基本不等式，再相加，即可证得结论．【解答】证明：∵a，b，c都是正数，∴a2b2+b2c2≥2ab2c，a2b2+c2a2≥2a2bc，c2a2+b2c2≥2abc2∴2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2ab2c+2a2bc+2abc2∴a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+a2bc+abc2∴≥abc．【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．如图是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数和众数m（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E（ξ）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中，[30，40）对应的小矩形最高，能求出m，由频率分布直方图，能求出抽取样本的平均数．（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生为5人，其中男生3人，女生2人，则ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵频率分布直方图中，[30，40）对应的小矩形最高，∴m=35，由频率分布直方图，得：．（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生为0.05×100=5人，其中男生3人，女生2人，则ξ的可能取值为1，2，3，，，∴ξ的分布列为：ξ123P（ξ）所以．26．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n≥1，n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；（Ⅱ）求证：对任意的自然数n∈N*，不等式a1•a2…a n＜2•n!成立．【考点】8K：数列与不等式的综合；81：数列的概念及简单表示法．【分析】（Ⅰ）代值计算即可，（Ⅱ）先利用分析法，要证明不等式成立，只需要证明等式（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）≥1﹣（+++…+）恒成立即可，用数学归纳法证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a n=（n≥1），∴a1==，a2==，a3==，（Ⅱ）∵a n==，可得a1•a2…a n=，因此欲证明不等式a1•a2…a n＜2•n!成立，只需要证明对一切非零自然数n，不等式（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＞恒成立即可，显然左端每个因式都为正数，且因1﹣（+++…+）=1﹣（）=1﹣（1﹣）＞1﹣=，故只需要证明对非零自然数，不等式（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）≥1﹣（+++…+）恒成立即可，下面用数学归纳法证明该不等式成立，①显然当n=1时，不等式1﹣≥1﹣成立，②假设当n=k时不等式成立，即（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）≥1﹣（+++…+）成立，那么当n=k+1时，（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）≥[1﹣（+++…+）]（1﹣），即不等式右边=1﹣（+++…+）﹣+（+++…+），注意到（+++…+）＞0，所以，（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）≥1﹣（+++…++），这说明当n=k+1时，不等式也成立，由①②可知，不等式对一切非零自然数都成立，。

2020年江苏省高考数学预测试卷本卷满分：160分试卷用时：120分钟一、填空题：本大题共14个小题；每小题5分，共70分。

1．设集合A，B是全集U的两个子集，则A⊂≠B是C U B⊂≠C U A的2．已知数列{a n}是首项为a1，公差为d（0<d<2π）的等差数列，若数列{c os a n}是等比数列，则其公比为3．某采访小组共8名同学，其中男生6名，女生2名。

现从中按性别分层随机抽取4名同学参加一项采访活动，则不同的抽取方法共有种4．已知函数=-'-'+=)31(,)31(2)(2fxfxxf则。

5．已知21[1,0)()1[0,1]x xf xx x+∈-⎧=⎨+∈⎩，，，则下列函数的图象错误．．的是6．7某路段检查站监控录象显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如右图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90k m/h 的约有辆7．过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°则该截面的面积是8．数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若平面上的三个不共线的向量OC OB OA ,,满足,20061OC a OA a OB +=且A 、B 、C 三点共线，则S 2020=9．一条螺旋线是用以下方法画成：ABC ∆是边长为1的正三角形，曲线CA 1、A 1A 2、A 2A 3分别以A 、B 、C 为圆心，AC 、BA 1、CA 2为半径画的弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线，然后又以A 为圆心，AA 3为半径画弧L，这样画到第n 圈，则所得螺旋线112233231313,,,n n n n CA A A A A A A A A ---L 的总长度S n 为10．动点P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于椭圆顶点(,0)a ±的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的11．函数y =f （x ）的图象如右所示。

2020年高考数学（江苏卷）试题评析2020年江苏高考数学于7日下午考试结束，本套试卷严格按照国家的要求，遵循“立德树人、服务选才、引导教学” 育人方针和高等学校的选拔要求，注重对考生的基本数学能力和数学核心素养考查，引导全体考生对数学基本思想与实际应用的追求和探索。

试题紧扣《考试说明》的命题要求，体现了“依考纲、导教学，优选拔”的特色，遵循了三项原则：“促进学生健康发展、科学选拔人才、维护社会公平”。

一、扣基础，近教材，考查全，重技能本套数学试题顺序：由易到难，起点低、入口宽、遵照考试规律，符合考生的解题习惯。

比如说，填空题中前十道题、解答题中第二道题，改编自教材，是考生比较熟悉的，难度小，有利于缓解考生的紧张情绪和正常发挥出自己的水平。

本试卷对代数（函数、数列、三角与平面向量等）、几何（解析几何、立体几何）等模块。

试卷着重考查了基础知识、基本技能、基本数学思想方法以及基本数学活动经验，解决数学问题突出通解通法，不偏不怪，淡化技巧要求。

只要考生在平时的学习、训练中达到了概念清晰、基础扎实、解题规范的基本要求，就能获得及格分以上的成绩。

二、广覆盖，明方向，突重点本试卷紧扣学科考试说明，契合中学的教学实际，有针对性的考查，内容选取恰当，设计的问题比较科学。

本试卷考查包括：大部分A级考点、、三十八个B级考点及八个C级考点。

注重对重要知识点进行重点考查，有利于引导对中学教学，让教师和考生在高三的复习备考中有依据、明方向、突重点。

三、压轴新颖，梯度递增，区分度好本试卷着重加大了压轴题对考生的区分和选拔。

第十九和二十题，几个问题，是难度梯度增加、层层推进，第一问比较容易，一般的考生都能够解答，第二问稍难，解题方法和思路都是常规的，只有最后一问难度相对比较大，这样有利于区分和选拔。

命题者的用心良苦，让不同层次的学生都能获得相应的分数，充分体现高考选拔人才的功能和价值。

四、重素养，倡通法，解法多抽象、推理、建模、想象、运算与数据分析，这是数学的六大核心素养。

江苏省苏州市苏州中学2020届高考全国统考预测密卷数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()sin()Af x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A ．4B ．23．2 D 32．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =，且47522a a +=，则5S =（ ） A ．32B ．31C ．30D ．293．已知不等式3ln 1mln x x x n -++…（,m n R ∈，且3m ≠-）对任意实数x 恒成立，则33n m -+的最大值为（ ）A ．2ln2-B ．ln2-C ．1ln2-D ．2ln2-4．若实数x ，y 满足条件10262x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．6C ．4D ．25．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为120︒的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若AF ，BF 的中点在y 轴上的射影分别为M ，N ，且43MN =则抛物线C 的准线方程为（ ）A ．32x =-B ．2x =-C ．3x =-D ．4x =-6．在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AC AA ===，AB AC ⊥，点E 为棱1AA 的中点，则点1C 到平面1B EC 的距离等于（ ）A ．12B ．2C ．6D ．17．已知点()mod N n m ≡表示N 除以m 余n ，例如()71mod6≡，()133mod5≡，则如图所示的程序框图的功能是（ ）A ．求被5除余1且被7除余3的最小正整数B ．求被7除余1且被5除余3的最小正整数C ．求被5除余1且被7除余3的最小正奇数D ．求被7除余1且被5除余3的最小正奇数 8．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（） A ．3-B ．3C ．12D ．12-9．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，点C 满足sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，且在平面α内运动，则（ ）A ．当1λ=时，点C 的轨迹是抛物线B ．当1λ=时，点C 的轨迹是一条直线 C ．当2λ=时，点C 的轨迹是椭圆D ．当2λ=时，点C 的轨迹是双曲线抛物线10．右图是一个算法的程序框图，如果输入0i =，0S =，那么输出的结果为A．23 B ．34 C ．45 D ．5611．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12A A AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．22πB ．82πC ．1423πD ．42π12．若满足条件的整点恰有12个,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则整数的值为A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

•2•理科考试研究•数学版2020年10月1日除版平稔过渡兼具创新——2020年江苏高考数学试题评析与启示孟彪（南京师范大学附属扬子中学江苏南京210048）摘要：2020年江苏省高考数学试卷让人耳目一新，纵观整卷，试题大气、结构稳定、内容创新、思想内敛.试题以《考试说明》为纲，围绕新课程的理念，立足教情和学情实际，科学有效地考查了考生的基本数学素养和能力，突出反映了高考空德树人、服务选拔、导向教学的核心立场.关键词：平稳;创新;数学素养;数学能力1试卷整体评价“平稳过渡、兼顾创新”是2020年江苏卷数学试题的显著特点•试题全面兼顾基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验,试题中的问题设计朴实但又不失新颖,选材寓于教材而又高于教材，有力地践行了新课程下的数学教学改革，发挥了积极的导向作用.试题立足数学学科本质⑴，立足学科整体选材，根据数学A,B,C知识等级设定考查权重,追求合理的知识结构和能力层次•试卷以《考试说明》为纲，试题均采用起点低、入口宽、多层次、高立意的方式，以期获得较好的梯度和区分度.不仅注重考查基础知识，也突出考查主干内容，既全面考查数学核心素养，又综合考查基本能力.在肯定和坚持2018,2019年成功命题的基础上对试题的难度和区分度做了一定的微调，进一步优化了整张试卷的结构,有利于指导中学教学与改革,有利于高校选拔人才，具有浓厚的江苏特色.1.1结构稳定，特色鲜明自2008年起，江苏省高考数学I卷采用“14道填空题+6道解答题”的题型结构并延续至今.试题涵盖了《考试说明》中要求的主要内容,从整体结构上看，试卷包含了《考试说明》（必做题部分）中的全部8个C级考点（掌握），38个B级考点（理解）中的35个,25个A级考点（了解）中的19个;从考查的内容上看,高中数学的主干知识，如向量与三角、立体几何、解析几何、数列、函数等仍然是支撑整份试卷的主体内容，这五大块内容和数学应用题构成试卷中六道解答题•真正做到重要知识点重点考查的命题方式,有利于对一线教师进行正确引导，有利于一线师生在备考中做到方向明确、重点突出，实现科学备考.自2008年以来，江苏卷中的1-8题是基础题,主要考查集合、复数、算法、统计、概率、方差（标准差、平均数）等,9-11题是中档题,12-14题是把关题,9 -14题主要考查8个C级考点，即两角和与差的正余弦、正切公式，平面向量，等差数列，等比数列，基本不等式，一元二次不等式，宜线方程，圆的方程及函数知识.江苏卷的主观题的命题规律更强,考题具有试题位置和内容相对稳定两大特点,2020年也不例外.第15题考查线面平行和面面垂直的证明；第16题考查解三角形及三角恒等变换;第17题考查成本问题的应用题;第18题考查直线与圆锥曲线的位置关系；第19题考查函数与导数、不等式综合问题;第20题考查数列新定义,等差、等比两类基本数列及其综合应用.1.2回归教材，贴近实际试卷中有部分试题是通过改编课本例、习题，探究问题而来，试题呈现方式常规、不落俗套，配图规范美观，阅读无障碍，解题无陷阱，考查教和学的基础知识和基本方法.如试卷的1-10题，15-16题,17-20题第一问，以及附加卷的第21,22题等主要是对基础知识、基本方法的直接考查，计算量小，思维度低，基基金项目：江苏省教育科学“十三五”规划2020年度立项课题“5E教学模式下高中数学概念教学的实践研究”（项目编号：D/ 2020/02/97）.作者简介：孟彪（1990-）,男，安徽阜阳人，硕士，中学二级教师，研究方向：高中数学教学.2020年10月1日理科考试研究•数学版•3•本是数学知识的直接再现，没有陷阱，也没有为难学生•11-14题是中档题和把关题，难度逐渐增加，贴近学生实际能力，但整体难度较去年有所降低•但把关题第19(3),20(3)难度大，虽然问题也是熟悉的知识背景，但侧重考查逻辑推理能力，因此大部分学生无法顺利解答，成功地体现了高考的选拔性功能，对中学数学教学具有良好的导向作用.例题1(2020年江苏卷第11题)设山”丨是公差为d的等差数列，｛/J是公比为g的等比数列.已知数列｛a…+b n\的前"项和S n=n2-n+2"-l(ne N+),则d+g的值是_____■本题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式，该试题来源于苏教版必修5数学教材2.2.3节和2.3.3节等差数列和等比数列前“项和公式的特点.由“2-n+2"-1=-y-n2+(a1-£)n-厂+221-qJ1—,易得d=2,q=2,d+q=4.1-q1.3试题平和，方法多样纵观整张试卷，可以发现全卷试题平和，背景朴实•客观题中，即使是填空题中的把关题考查的也是通性通法，难度较往年偏低•虽然试题平和，但是把关题设计灵活，解法多样，不同层次的学生根据自己的实际能力可以选择不同的解法•但若思想方法选择恰当，则过程简洁，计算量小，表现出的数学能力就强.真正地体现了多考一点想的,少考一点算的.例题2(2020年江苏卷第12题)已知5x2y2+/ =1(x,y e R)，则/+/的最小值是_____.本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正,二定，三相等”，本题可以从多角度进行破解，方法如下.解法I(基本不等式法)由犷(5/+犷)=1,得4汽5/+/)=4司知2+¥2+叮.所以x+y2&解法2(降元法)根据题设条件，可得所以/+y2=^p+y2=器+警利用基本不等式即可求解.解法3（“1”代换法）（x2+/）2=^4+W+/jx y+y （弓）2+餐+1少厂2------，令m=-^-+1，贝lj m^l.甞+i丁yrn.irs--^zn2+8zn+161z16。

2020高考数学命题出题预测和备考建议在2020年的高考数学的变化中也着重提到了高考数学科目考试范围的变化。

小编整理了2020高考数学命题出题预测和备考建议，仅供大家参考。

2020高考数学命题出题预测很多参加今年的高考考生都为今年的高考数学题目而感到抓狂，那么在2020年的高考数学的变化中也着重提到了高考数学科目考试范围的变化，首先来说第1个重要的变化就是数学将不再划分文科数学或者是理科数学，也就是说无论是文科的同学还是理科的同学都使用的是同一张数学试卷，而考试范围的变化则就是删除了一些内容而又增加了一些新的内容，相对于原来数学考试的范围是越来越大，考试的知识面也是越来越广。

【预测分析】首先，为了顺应未来的高考数学文理合卷的趋势，预计2020年试卷文理同题的比例还会有所增加，复习中要对文理交汇处的知识点予以充分重视。

从多种渠道了解今年的课程改革，关注对数学教学内容的调整，对于删减内容从轻处理，体现新理念的部分要浓墨重彩。

二是考查数学思维能力，减少繁杂的数学运算。

从“解题”走向“解决问题”被认为是2019年高考数学的一大亮点，2020年应该会继续秉承这个理念，多考如何去想，少考如何去算。

三是加强数学应用能力、创新能力的考查。

如何用所学的数学知识解决现实生产、生活中存在的问题，一直是数学学习的最高要求，高考试题中每年都会有专门的试题考查学生数学应用能力，在如今的大数据时代，整理数据，分析数据，进行决策和判断是数学应用的大方向。

四是高考很重视对数学文化的考查，引导学生胸怀祖国，放眼世界，这部分内容一般难度不大，但是阅读量较大，也伴随着一定的创新性，因此复习中遇到此类问题不应回避，应该予以重视。

命题组提示：1、数学要抓“关键点”，复习备考消盲点。

后期复习绝不是简单重复的过程。

我们要找好提分的最佳“支点”——题的质量;抓住高考的“增分点”——基础题;把握好知识的“重点”——重点模块;突破知识的“难点”——解析几何及导数问题;使复习备考不留任何盲点。

2020高考数学试卷评析及新高考预测01试卷整体评析2020年全国高考理科数学Ⅱ卷充分发挥了高考数学的科学选拔和育人的导向作用。

试卷整体上体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考察要求，难度设计中等，在稳定中带有创新。

在选择题和填空题中，集合、复数、平面向量、三角函数的性质、圆锥曲线的几何性质、平面向量、立体几何、导数等知识仍然是高频考点，与2019年的高考试题比较，选择题和填空题阅读量更大，也更加重视数学学科知识的灵活运用及数学知识与生活或者其他学科的联系。

从题序、题型来看与2019年相比略有变化：（1）选择和填空题较去年相比，解析几何的选择题由去年第11题的位置变成了今年的9题难度有所下降。

立体几何的选择题由去年第7题变成今年的第11题，难度有所上升。

同时对应着去年考察三角函数的选择与填空题今年变成了考察数列的题目；（2）解答题较去年相比，将去年考察数列的题目换成了考察三角函数的题目。

解析几何的解答题由去年的21题变成了今年19题，难度有所下降。

立体几何的解答题由去年的17题变成今年的20题难度有所上升；（3）总体来说，试题一方面在加强与实际问题相结合类的题目，另一方面，在扩大压轴题的考察范围，这就要求同学们在学习的过程中要加强学习的深度，注重综合类习题练习。

02试卷针对分析往年复数在前面2个选择，考查复数的基本运算，今年理科复数出现在填空第三题，主要考察了复数的几何意义，难度比往年略大三视图今年最后一次考查，往年三视图主要考查表面积、体积计算，今年考查点的位置关系，难度降低解析几何部分往年考查圆锥曲线标准方程或离心率，今年考查圆锥曲线的性质，难度降低比较大小往年主要考查指对数比较大小，今年考查利用函数的单调性比较大小，难度基本持平概率统计往年主要考查线性回归方程和独立性检验，今年第三问考察了抽样方法，难度变低解析几何部分往年难度较大，计算量大，今年解析几何位置提前一个，题难度变低，计算量较小，属于中档题导数部分往年主要考查函数零点及恒成立问题，今年导数主要考查不等式证明。

数学高考命题动态、预测及建议(江苏)点高落点低”的创新题是我国高考命题的一直追求，今年高考将出现1～2个这样的创新题。

另一类大分值试题，常常是几个小问题，考生按程序操作很容易完成，命题的目的在于考查知识的覆盖面和基本公式的运用，是真正的简单题，今年高考的第17～18题是这类题。

基本技能是指中学数学中常见的数学技能，常指运算技能、理解技能、转化技能、推理技能等。

基本技能很重要，可以说高考每一个试题都是对基本技能的考查和运用。

99年高考应用题是一个难题，许多学生不能正确理解题意，解读汉字不等于就具备数学理解技能。

数学理解技能不仅要正确理解汉字意义，而且还应与其它技能结合运用，对试题中提供的资料、文字、数据、图形等进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括；准确清晰有条理地进行表述，今年高考的应用题可能没有99年的应用题难会和2019年的难度相差无几，但理解技能和转化技能仍是今年高考考查的重点。

2、部分传统内容削弱，昔日的热点开始冷却高考命题依据是课程内容，有“教什么考什么”之说，“三角函数”删去了万能公式、和积互化降低了反三角函数的要求；“函数”中删去了指数方程、对数方程；“不等式”只要求两个变量的均值不等式，解不等式的内容大大削弱；“解析几何”删去了直线的参数方程的概念、参数方程和极坐标。

“三角函数”考题主要集中在函数的性质和常规的三角化简运算，多以选择题、填空题出现，解答题一般都出现在第17～18题。

今年高考的“三角”试题原则上是基础题，主要集中在三角公式和三角函数性质的简单运用上，试题所涉及的三角知识都是一些知识点的简单综合，由于原课程指数方程、对数方程和解不等式的内容丰富，过去曾几度辉煌，现在新课程削弱了这些内容，今年不会出现这方面较难的解答题，可能只是在解题运算过程中偶尔运用，另外均值不等式的要求削弱，命题将改变传统风格，绝对不会出现构造均值不等式求最值的试题。

参数方程和极坐标的内容已快消失殆尽。

2020年普通高等学校招生全国统一考试——江苏数学Ⅰ参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{0，2，3}，则A ∩B ＝▲________． 答案：{0，2}2．已知i 是虚数单位，则复数z ＝(1＋i )(2－i )的实部是▲________． 答案：3解析：因为复数z ＝(1＋i )(2－i )＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ，所以复数的实部为3．3．已知一组数据4，2a ，3－a ，5，6的平均数为4，则a 的值是▲________． 答案：2解析：由题得4＋2a ＋3－a ＋5＋6＝20，解得a ＝2．4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是▲________． 答案：19解析：基本事件总数为6×6＝36个，点数和为5的基本事件有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，共4个，所以概率为436＝19．5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为－2，则输入x 的值是▲________． 答案：－3解析：由于2x ＞0，所以y ＝x ＋1＝－2，得x ＝－3．6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 25＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，则该双曲线的离心率是▲________． 答案：32解析：由题得5a ＝52，得a ＝2，所以c ＝a 2＋b 2＝3，所以双曲线的离心率为c a ＝32．7．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 23，则f (－8)的值是▲________．答案：－4解析：f (－8)＝－f (8)＝－823＝－4．8．已知sin 2(π4＋α)＝23，则sin2α的值是▲________．答案：13解析：因为sin 2(π4＋α)＝(22cos α＋22sin α)2＝12(1＋sin2α)＝23，所以sin2α＝13．9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是▲________cm ． 答案：123－π2解析：正六棱柱体积为6×34×22×2＝123，圆柱体积为π(12)2·2＝π2，所求几何体体积为123－π2．10．将函数y ＝3sin(2x ＋π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是▲________． 答案：x ＝－5π24解析：平移得y ＝3sin[2(x －π6)＋π4]＝3sin(2x －π12)，令2x －π12＝π2＋k π，得x ＝7π24＋k π2(k ∈Z )．当k ＝－1时，x ＝－5π24是与y 轴最近的对称轴．11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋2n －1(n ∈N *)，则d ＋q 的值是▲________． 答案：4解析：易知等差数列{a n }的前n 项和为n 2－n ，故d ＝2．等比数列{b n }的前n 项和为2n －1，故q ＝2． 故d ＋q ＝4．12．已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是▲________． 答案：45解析：因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以y ≠0且x 2＝1－y 45y2．于是x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝15y 2＋4y 25≥215y 2·4y 25＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即x 2＝310，y 2＝12时取等号．所以x 2＋y 2的最小值为45．法二：4＝(5x 2＋y 2)4y 2≤(5x 2＋y 2＋4y 22)2＝25(x 2＋y 2)24，得x 2＋y 2≥45．13．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90º，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP ＝9．若P A →＝m PB →＋(32－m )PC →(m 为常数)，则CD 的长度是▲________．答案：0或185解析：设P A →＝λPD →(λ＞0)，因为P A →＝m PB →＋(32－m )PC →，所以λPD →＝m PB →＋(32－m )PC →，即PD →＝mλPB →＋(32－m )λPC →．因为B ，D ，C 三点共线，所以m λ＋(32－m )λ＝1，故λ＝32．因为AP ＝9，所以AD ＝3，因此△ACD 为等腰三角形或C ，D 重合．若△ACD 为等腰三角形，作AE ⊥BC 于E ，故E 为CD 中点，由等面积法得AE ＝125，由勾股定理得CE ＝DE ＝95，所以CD ＝185．若C ，D 重合，则CD ＝0． 所以，CD 的长度为0或185．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知P (32，0)，A ，B 是圆C ：x 2＋(y －12)2＝36上的两个动点，满足P A ＝PB ，则△P AB 面积的最大值是▲________． 答案：10 5解析：因为P A ＝PB ，易得PC ⊥AB ．设圆心C 到直线AB 距离为d ，则|AB |＝236－d 2，|PC |＝34＋14＝1，S △P AB ＝12·AB ·d P －AB ≤12·236－d 2·max{d －1，1－d ，d ＋1}＝12·236－d 2·(d ＋1)＝(36－d 2)(d ＋1)2． 令y ＝(36－d 2)(d ＋1)2(0≤d ＜6)，由y'＝2(d ＋1)(－2d 2－d ＋36)＝0，得d ＝4． 当0≤d ＜4时，y'＞0，y (x )递增；当4＜d ＜6时，y'＜0，y (x )递减． 因此当d ＝4时，y max ＝500，故(S △P AB )max ＝105．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证：EF ∥平面AB 1C 1； (2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．解析：(1)因为E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点，所以EF ∥AB 1．又EF ⊄平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，所以EF ∥平面AB 1C 1． (2)因为B 1C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以B 1C ⊥AB ．又AB ⊥AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以AB ⊥平面AB 1C ． 因为AB ⊂平面ABB 1，所以平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，c ＝2，B ＝45º．(1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC ＝－45，求tan ∠DAC 的值．解析：(1)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋2－2×3×2×22＝5，所以b ＝5．由正弦定理得c sin C ＝b sin B ，故sin C ＝c sin B b ＝55．(2)由于cos ∠ADC ＝－45，∠ADC ∈(π2，π)，所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝35．易知C ∈(0，π2)，所以cos C ＝1－sin 2C ＝255．所以sin ∠DAC ＝sin(π－∠DAC )＝sin(∠ADC ＋∠C )＝sin ∠ADC ·cos C ＋cos ∠ADC ·sin C ＝35×255＋(－45)×55＝2525． 因为∠DAC ∈(0，π2)，所以cos ∠DAC ＝1－sin 2∠DAC ＝11525．于是，tan ∠DAC ＝sin ∠DAC cos ∠DAC ＝211．17．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO'为铅垂线(O'在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO'的距离a (米)之间满足关系式h 1＝140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO'的距离b (米)之间满足关系式h 2＝－1800b 3＋6b ．已知点B 到OO'的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点)．桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k＞0)．问O'E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?解析：(1)当b ＝40时，OO'＝－1800×403＋6×40＝160，又140|O'A |2＝OO'＝160，所以|O'A |＝80．所以|AB |＝|O'A |＋|O'B |＝80＋40＝120米． (2)设|O'E |＝x ，总造价为f (x )万元．f (x )＝k (160＋1800x 3－6x )＋32k [160－140(80－x )2]＝k (160＋1800x 3－380x 2)(0＜x ＜40)，由f'(x )＝k (3800x 2－680x )＝0，得x ＝20(0舍去)．当0＜x ＜20时，f'(x )＜0，f (x )递减；当20＜x ＜40时，f'(x )＞0，f (x )递增．因此当x ＝20时，f (x )取最小值．答：当O'E ＝20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．(1)求△AF 1F 2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →·QP →的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝3S 1，求点M 的坐标．解析：(1)因为椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1，所以a ＝2，c ＝1，所以△AF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝6．(2)设P (x 0，0)，x 0≠1，Q (4，y Q )．易得A (1，32)．所以OP →·QP →＝(x 0，0)·(x 0－4，－y Q )＝(x 0－4)x 0＝(x 0－2)2－4≥－4，当且仅当x 0＝2时取等号． 所以OP →·QP →的最小值为－4．(3)设M (x 1，y 1)，点M 到直线AB 的距离为d ．因为A (1，32)，F 1(－1，0)，所以直线AF 1的方程为y ＝34(x ＋1)，即3x －4y ＋3＝0，因此点O到直线AB 的距离为35．因为S 2＝3S 1，12|AB |·d M －AB ＝3×12×|AB |×35，所以d M －AB ＝95＝|3x 1－4y 1＋3|5，得3x 1－4y 1＋12＝0或3x 1－4y 1－6＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y1＋12＝0，x 124＋y 123＝1，得7x 2＋24x ＋32＝0，此方程无解；由⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y 1－6＝0，x 124＋y 123＝1，得7x 2－12x －4＝0，解得M (2，0)或(－27，－127)．19．已知关于x 的函数y ＝f (x )，y ＝g (x )与h (x )＝kx ＋b (k ，b ∈R )在区间D 上恒有f (x )≥h (x )≥g (x )．(1)若f (x )＝x 2＋2x ，g (x )＝－x 2＋2x ，D ＝(－∞，＋∞)，求h (x )的表达式； (2)若f (x )＝x 2－x ＋1，g (x )＝k ln x ，h (x )＝kx －k ，D ＝(0，＋∞)，求k 的取值范围；(3)若f (x )＝x 4－2x 2，g (x )＝4x 2－8，h (x )＝4(t 3－t )x －3t 4＋2t 2(0＜|t |≤2)，D ＝[m ，n ]⊆[－2，2]，求证：n －m ≤7．解析：(1)由题得－x 2＋2x ≤kx ＋b ≤x 2＋2x 对任意的x ∈R 恒成立．令x ＝0，则0≤b ≤0，所以b ＝0．由kx ≤x 2＋2x ，即x 2＋(2－k )x ≥0对任意的x ∈R 恒成立，所以Δ＝(2－k )2≤0，因此k ＝2． 此时也满足－x 2＋2x ≤2x 对任意的x ∈R 恒成立． 所以h (x )＝2x ．(2)令F (x )＝h (x )－g (x )＝k (x －1－ln x )(x ＞0)，则F (1)＝0，由题得F (x )≥F (1)恒成立．易得F'(x )＝k ·x －1x．若k ＜0，则F (x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，则F (x )≤F (1)＝0，不合题意． 当k ＝0时，F (x )＝F (1)＝0，h (x )＝g (x )，符合题意．当k ＞0时，F (x )在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则F (x )≥F (1)＝0，符合题意． 综上，k ≥0．又f (x )－h (x )＝x 2－x ＋1－(kx －k )＝x 2－(k ＋1)x ＋(k ＋1)≥0．当x ＝k ＋12＜0，即k ＜－1时，y ＝x 2－(k ＋1)x ＋k ＋1在(0，＋∞)为增函数，因为y (0)＝k ＋1＜0，不合题意．当x ＝k ＋12＝0，即k ＝－1时，f (x )－h (x )＝x 2≥0，符合题意．当x ＝k ＋12＞0，即k ＞－1时，应有Δ＝(k ＋1)2－4(k ＋1)≤0，解得－1＜k ≤3．综上，k 的取值范围是k ∈[0，3]．(3)由题得x 4－2x 2≥4(t 3－t )x －3t 4＋2t 2≥4x 2－8对任意x ∈[m ，n ]⊆[－2，2]恒成立．x 4－2x 2≥4(t 3－t )x －3t 4＋2t 2对任意x ∈[m ，n ]⊆[－2，2]恒成立， 等价于(x －t )2(x 2＋2tx ＋3t 2－2)≥0对任意x ∈[m ，n ]⊆[－2，2]恒成立， 故x 2＋2tx ＋3t 2－2≥0对任意x ∈[m ，n ]⊆[－2，2]恒成立．令M (x )＝x 2＋2tx ＋3t 2－2．当Δ＝－8t 2＋8＞0，即0＜t 2＜1时，对称轴x ＝－t ∈(－1，1)，记M (x )的两个零点为x 1＜x 2，此时n －m ≤max{2－x 2，x 1－(－2)}≤max{2－(－t )，(－t )－(－2)}＝max{2±t }≤2＋|t |＜2＋1＜7．当Δ＝－8t 2＋8≤0，即1≤t 2≤2时，M (x )≥0对x ∈R 恒成立． 而4x 2－8≤4(t 3－t )x －3t 4＋2t 2对任意的x ∈[m ，n ]⊆[－2，2]恒成立， 等价于4x 2－4(t 3－t )x ＋(3t 2＋4)(t 2－2)≤0对任意的x ∈[m ，n ]⊆[－2，2]恒成立．记4x 2－4(t 3－t )x ＋(3t 2＋4)(t 2－2)＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝t 3－t ，x 1·x 2＝3t 4－2t 2－84，所以n －m ＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝t 6－5t 4＋3t 2＋8．令λ＝t 2∈[1，2]，则n －m ＝λ3－5λ2＋3λ＋8．记P (λ)＝λ3－5λ2＋3λ＋8，λ∈[1，2]，P'(λ)＝3λ2－10λ＋3＝(λ－3)(3λ－1)，所以当λ∈[1，2]时，P'(λ)＜0，P (λ)递减，所以P (λ)max ＝P (1)＝7．所以(n －m )max ＝7，即n －m ≤7．20．已知数列{a n }(n ∈N *)的首项a 1＝1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有Sn ＋11k －S n 1k＝λa n ＋11k 成立，则称此数列为“λ－k ”数列．(1)若等差数列{a n }是“λ－1”数列，求λ的值； (2)若数列{a n }是“33－2”数列，且a n ＞0，求数列{a n }的通项公式； (3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ－3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．解析：(1)若等差数列{a n }是“λ－1”数列，则S n ＋1－S n ＝λa n ＋1，即a n ＋1＝λa n ＋1．因为a n 不恒为0，所以λ＝1． (2)因为S n ＋112－S n 12＝33a n ＋112，所以(S n ＋112－S n 12)2＝13(S n ＋1－S n )＝13(S n ＋112－S n 12)(S n ＋112＋S n 12)． 因为a n ＞0，所以S n ＋1＞S n ，因此S n ＋112－S n 12＞0，于是S n ＋112－S n 12＝13(S n ＋112＋S n 12)，即S n ＋112＝2S n 12，所以S n ＋1＝4S n ．因为S 1＝a 1＝1，所以S n ＝4n －1，a n ＝4n －1－4n －2＝3·4n －2，n ≥2．所以a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，3·4n －2，n ≥2．(3)假设存在三个不同的数列{a n }为“λ－3”数列，且a n ≥0．由S n ＋113－S n 13＝λa n ＋113，得(S n ＋113－S n 13)3＝λ3(S n ＋1－S n )，所以S n ＋113＝S n 13或(S n ＋113－S n 13)2＝λ3(S n ＋123＋S n 23＋S n ＋113S n 13)，即S n ＋1＝S n 或(λ3－1)Sn ＋123＋(λ3－1)S n 23＋(λ3＋2)S n ＋113S n 13＝0．由S n ＋1＝S n ，得a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，0，n ≥2．因为存在三个不同的数列{a n }为“λ－3”数列，且a n ≥0，所以(λ3－1)S n ＋123＋(λ3－1)S n 23＋(λ3＋2)S n ＋113S n 13＝0(λ≠1)有两个不等的正根．(λ3－1)S n ＋123＋(λ3－1)S n 23＋(λ3＋2)S n ＋113S n 13＝0(λ≠1)可转化为(λ3－1)S n ＋123S n 23＋(λ3－1)＋(λ3＋2)S n ＋113S n 13＝0(λ≠1)，不妨设(S n ＋1S n )13＝x (x ＞0)，则(λ3－1)x 2＋(λ3＋2)x ＋(λ3－1)＝0(λ≠1)有两个不等正根，设f (x )＝(λ3－1)x 2＋(λ3＋2)x ＋(λ3－1)＝0(λ≠1)．①当λ＜1时，令Δ＝(λ3＋2)2－4(λ3－1)2＞0，得0＜λ3＜4，故0＜λ＜1，此时f (0)＝λ3－1＜0，对称轴x ＝－(λ3＋2)2(λ3－1)＞0，满足题意．②当λ＞1时，令Δ＝(λ3＋2)2－4(λ3－1)2＞0，得0＜λ3＜4，故1＜λ＜34，此时f (0)＝λ3－1＞0，对称轴x ＝－(λ3＋2)2(λ3－1)＜0，此情况有两个不等负根，不满足题意，舍去．综上，0＜λ＜1．数学Ⅱ(附加题)[选做题]本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4－2：矩阵与变换] 21．平面上点A (2，－1)在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤a 1 －1b 对应的变换作用下得到点B (3，－4)．(1)求实数a ，b 的值； (2)求矩阵M 的逆矩阵M －1．解析：(1)由题得⎣⎡⎦⎤ a 1 －1 b ⎣⎡⎦⎤2－1＝⎣⎡⎦⎤ 3－4，所以⎩⎨⎧2a －1＝3，－2－b ＝－4，解得a ＝2，b ＝2．(2)设M －1＝⎣⎡⎦⎤m n c d ，则MM －1＝⎣⎡⎦⎤2m ＋c 2n ＋d －m ＋2c －n ＋2d ＝⎣⎡⎦⎤1 00 1，所以⎩⎨⎧2m ＋c ＝1，2n ＋d ＝0，－m ＋2c ＝0，－n ＋2d ＝1，解得m ＝25，n ＝－15，c ＝15，d ＝25，所以M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25 －1515 25．B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知点A (ρ1，π3)在直线l ：ρcos θ＝2上，点B (ρ2，π6)在圆C ：ρ＝4sin θ上(其中ρ≥0，0≤θ＜2π)．(1)求ρ1，ρ2的值；(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．解析：(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系。