《相交线与平行线》知识点

相交线与平行线知识点整理
同一平面内，两条不重合的直线之间的位置关系只有两种：① 相交 ② 平行 (垂直是相交的一种特殊情况)
相 交 线
知识点1、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
注意点：
（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

但他们是互补的角。

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

知识点2、垂线
⑴定义： 两条直线相交所成的角中，如果有一个是 直角或90°时，称这两条直线互相垂直， 其中一条叫做另一条的垂线。

如图，当 = 90°时， ⊥ 。

垂足：两条互相垂直的直线的交点叫垂足。

C 符号语言记作： A 符号语言：
∵ ∠COB=90° B
∴AB ⊥CD
D
⑵垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

⑶垂线性质2(4)垂线的画法：
(5)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。

(6)如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、 注意：垂线是直线，垂线段是线段，点到直线的距离是一个数量，而不是图形。

A B
C D
O 图2
1 3 4
2 a b
知识点3、三线八角
知识点二、三线八角：
如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.
注：“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成
同位角、内错角、同旁内角的定义：
在“三线八角”中，如上图，
（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.
（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.
（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 注：
（1）同位角，内错角，同旁内角是指具有特殊位置关系的两角，是成对出现的。

同位角特征：截线同旁，被截两线的同方向
内错角特征：截线两旁，被截两线之间
同旁内角特征：截线同旁，被截两线之间
(2)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.
(3)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角
反思：两角中共线的一边是截线，两角的另一边即为被截的两条直线。

平行线
1、平行线的概念：同一平面内，两条直线若没有公共点（即交点），那么这两条直线平行。

表示方法：
2、平行线的画法：借助三角板和直尺。

具体略。

3、平行公理――平行线的存在性与唯一性经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

如左图所示，∵,
∴
5、两直线平行的判定方法a b c
方法一：① 同位角相等，两直线平行； 方法二：② 内错角相等，两直线平行； 方法三：③ 同旁内角互补，两直线平行。

一个重要结论：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

练习巩固：
1.下列说法错误的是( )
A.同位角不一定相等
B.内错角相等
C.对顶角相等
D.同位角相等,两直线平行。

2. .如图2所示,如果∠D=∠EFC,那么( )
A. AD ∥BC
B. EF ∥BC
C. AB ∥DC
D. AD ∥EF 3.在同一平面内,若直线a,b,c 满足a ⊥b,a ⊥c,则b 与c 的位置关系是______. 4、如图，AB 、CD 相交于点O ，∠A=∠1，∠B=∠2，试说明：∠C =∠D .
5.如图，根据下列条件可判断哪两条直线平行，并说明理由。

（1）∠1=∠2 （2）∠3=∠A （3）∠A+∠2+∠4=180°
（4题）
6.如图所示,已知∠1=∠2,AC 平分∠DAB,试说明DC ∥AB.
（6题）平行线的性质
1、平行线的性质：
性质1：① 两直线平行，同位角相等；如图∵ ，∴ 。

2 性质2：② 两直线平行，内错角相等；如图∵ ，∴ 。

性质3：③ 两直线平行，同旁内角互补。

如图∵ ，∴ 。

6 注意：是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行”。

一个结论：平行线间的距离处处相等。

练习巩固：
A B C D
E F 1 5 3 4
F
E D C
B
A A B
C
D O 1 2
D
C
B
A
2
1
3
1、如图所示,把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠,若∠EFG=50°,求∠DEG 的度数.
2、如图，点A 在直线MN 上，且MN//BC ，求证∠BAC+∠B+∠C=180°
B C 3、如图，M 、N 、T 和A 、B 、C 分别在同一直线上， 且∠1=∠3，∠P=∠T ， 求证：∠M=∠R 。

4、 如图所示,已知AB ∥CD,分别探索下列四个图形中∠P 与∠A,∠C 的关系,•请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.
P
D
C
B
A P D
C
B
A
P
D
C
B A P
D
C
B A A
C
D
B P
(1) (2) (3) (4) （5） 5、如图，已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立(要求给出两个以上答案)
6、如图，已知∠ABC=40°，射线DE 与AB 相交于点O ，且DE ∥BC ，解答以下（1）、（2）两题：
（1）画∠EDF ，使∠EDF 的另一边DF ∥AB ，请在下图①或图②中画出符合题意的图形，并求∠EDF 的度数；
A B
C
E
O
（图①）
A
B
C
E
O
（图②）
C
D
F
E B
1
2
N
M
G F E
D
C B
A
（2）如果∠EDF 的顶点D 在∠ABC 的内部，边DE ⊥AB ，另一边DF ⊥BC ，请在下图③或图④中画出相应的图形，并使用量角器分别测量出∠ABC 与∠EDF 的度数后，直接写出．．．．∠ABC 与∠DEF 的关系，不必说明理由.
命题
判断一件事情的语句叫命题。

命题包括“题设”和“结论”两部分，可写成“如果……那么……”的形式。

例如：“明天可能下雨。

”这句语句______命题，而“今天很热，明天可能下雨。

”这句语句_____命题。

(填“是”或“不是”)
① 命题分为真命题 与 假命题，真命题指题设成立，结论也成立的命题（或说正确的命题）。

假命题指题设成立，
但结论不一定或根本不成立的命题（或说错误的命题）。

② 逆命题：将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题。

注：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题，同理，原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题。

例如：“对顶角相等”是个真命题，但其逆命题“___________________________________”却是个假命题。

不论是真命题还是假命题，都要学会能非常熟练地把一个命题写成“如果……那么……”的形式。

例:把“等角的补角相等”写成“如果…… 那么……”的形式为:_____________________________________________________。

再例：把“三角形的内角和等于180度。

”写成包含题设与结论的形式：__________________________________。

平 移 变 换
1、相关定义
①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。

②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点 ③连接各组对应点的线段平行且相等 2、平移的特征：
①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。

图④）
（图③）
②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。

典型例题：如图，△ABC经过平移之后成为△DEF，那么：
⑴点A的对应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵点B的对应点是点＿＿＿＿＿＿。

⑴＿＿＿＿＿的对应点是点F；
⑵线段AB的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；
⑶线段BC的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；
⑷∠A的对应角是＿＿＿＿＿＿。

⑸＿＿＿＿的对应角是∠F。