对勾函数和

对勾函数f(x)=ax+的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：

当x>0时，。 a>0 b>0 a<0 b<0

对勾函数的图像（ab同号）

对勾函数的图像（ab异号） 当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：

(三) 对勾函数的定义域、值域

由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性

(五) 对勾函数的渐进线

由图像我们不难得到：

(六) 对勾函数的奇偶性

对勾函数在定义域内是奇函数， y

X O

y=ax

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第十周 对勾函数模型

重点知识梳理

1．对勾函数定义

对勾函数是指形如：y＝ax＋bx(ab>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”．

2．对勾函数y＝ax＋bx(a>0，b>0)的性质

(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(2)值域：(－∞，－2ab ]∪[2ab，＋∞)．

(3)奇偶性：在定义域内为奇函数．

(4)单调性：(－∞，－ba)，(ba，＋∞)上是增函数；(－ba，0)，(0，ba)上是减函数．

3．y＝ax＋bx(a>0，b>0)的单调区间的分界点：±ba.

求分界点方法：令ax ＝bx⇒x＝±ba.

特殊的，a>0时，y＝x＋ax的单调区间的分界点：±a.

4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解．

5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：

若a>0，b>0，则x>0时，ax＋bx≥2ab.

当且仅当ax ＝bx，x＝ba时取等号．

在应用这个不等式时，要注意使用的前提条件是“一正、二定、三相等”，即加号两边的项ax和bx都是正项，且二者乘积为定值，同时ax＝bx中等号可取到．若等号取不到，则应根据对勾函数单调性求解．

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典型例题剖析

例1 已知f(x)＝x＋5x，求f(x)在下列区间的最小值．

(1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[－3，－1]．

变式训练 已知函数f(x)＝x2＋5x2＋4，求f(x)的最小值，并求此时x的值．

例2 求函数f(x)＝x2－2x－1x＋2(0≤x≤3)的值域．

变式训练 求函数f(x)＝x2－4x＋12x－1，x∈[]2，5的值域．

例3 某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)＝kn＋1(k>0，k为常数，n∈Z且n≥0)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．

对勾函数知识点总结

一、什么是勾函数

勾函数是一种连续函数，它的函数表达式为：f(x)=1/x。

二、勾函数在数学中的应用

1. 在概率论中，勾函数用于表示受试者和控制者之间的期望。

2. 勾函数也用于测量偏差和抽样误差。

3. 勾函数在统计中可以用于拟合不确定的数据，确定概率分布和数字分布的函数形式。

4. 勾函数还可以用于求解复杂的微积分问题。

5. 在信号处理中，勾函数可以用于表征频谱分析中的尺度变换函数，也可以表征复变振荡器的特性。

三、勾函数的特点

1. 勾函数是个连续函数。

2. 勾函数是一个奇函数。

3. 勾函数在原点处不可导。

4. 勾函数在原点处取极限值为无穷大。

5. 勾函数的图像有一条对称轴，它穿过原点。

6. 从原点开始，勾函数图像呈现“大图式”。

7. 勾函数的曲线实点对称。

8. 勾函数是无穷小的无穷大极限函数。

第 1 页 共 2 页 对勾函数题目

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目录

1.对勾函数的概念和基本形式

2.对勾函数的性质和应用

3.解对勾函数题目的方法和技巧

4.练习题及解答

正文

一、对勾函数的概念和基本形式

对勾函数，又称为反比例函数，是一种特殊的函数形式。其基本形式为 y=k/x（k≠0），其中 k 为常数，x、y 为变量。对勾函数的图像特点是在直角坐标系中，函数图像关于原点、y 轴和 x 轴对称。

二、对勾函数的性质和应用

1.性质：对勾函数具有以下性质：

（1）当 k>0 时，函数在第一、第三象限，且在每个象限内，y 随 x

的增大而减小；

（2）当 k<0 时，函数在第二、第四象限，且在每个象限内，y 随 x

的增大而减小；

（3）函数图像关于原点、y 轴和 x 轴对称。

2.应用：对勾函数在实际生活和科学研究中有广泛应用，如物理中的能量守恒问题、化学中的浓度问题等。

三、解对勾函数题目的方法和技巧

1.确定函数类型：根据题目所给函数形式，判断是否为对勾函数。 第 2 页 共 2 页 2.分析题目条件：根据题目条件，判断 k 的取值范围，确定函数的象限。

3.利用函数性质解题：根据对勾函数的性质，结合题目条件，求解函数的零点、极值等。

4.数形结合：在解题过程中，可结合函数图像进行分析，提高解题效率。

四、练习题及解答

例题：已知函数 y=k/x（k≠0），当 x=2 时，y=2，求 k 的值。

解答：由已知条件可得，当 x=2 时，y=2，代入函数解析式得 2=k/2，解得 k=4。