三重积分计算方法

第18卷第1期Vol.18No.1吕梁高等专科学校学报JournalofLuliangHigherCollege2002年3月Mar.2002

[文章编号]1008一7834(2002)01一0010一02

三重积分的计算方法

张慧琴

(吕梁高等专科学校数学系，山西离石033000)

〔摘要]本文通过举例说明将三重积分转化为三次积分时确定积分限的两种方法

〔关键词」三重积分;三次积分;积分限的确定

【中图分类号〕1206.6[文献标识码」A

在通常情况下，重积分的计算是通过累次积分进行的，把重积分化为累次积分的过程中，确定各次积分限是关键的一步，对于二重积分，用平面作图的方法简单地确定出各次积分的积分限，对于三重积分，需作一个空间图形，再通过该空间图形来确定出各次积分的积分限，然而此办法对于积分区域比较简单的三重积分的定限比较方便，对于较复杂的积分区域来说，学生常感到麻烦且易出错。下面通过两组例题具体说明计算三重积分转化为三次积分时确定积分限的两种方法。设f(x,y,z)在积分区域上可积，且三次积分存在1在林面坐标下积分限的确定假定三重积分，一皿f(x,y,z)dxdydz，其中。为积分区域，在柱面坐标下

rcoso

rsinO0

y󰀀即今f|少、|、贝。原积分域。变为积分域V，且，一皿_f(二，y,的rd0drdz如何将此三重积分转化为三次积分呢?

①据原积分区域0在10y面_r先定出0的变化范围a毛0镇Q，则I

其中R。为任固定一6后，二，z的积分区域厂Qrr一}。dda’妒rcoso,rsinU)rdrdz

②任固定一0=80(a<00

③据前面作出的区域R-，利用化二重积分为累次积分的方法把于(rcose,rsine)rdrdz化为󰀀，二的二次积分，并且把60

还原成9，就得到三次积分

例1:计算曲面x2十尹+尸厂Rfr,(B)f二。(，-1一Jad"Jr-1(e)rdrJ二.(󰀀.})f(rcose,rsine，二)dz

双重积分与三重积分的计算方法

积分是微积分的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程等领域中。在多元函数中，双重积分和三重积分是常见的积分形式，用于求解曲面面积、体积以及质量等问题。本文将介绍双重积分和三重积分的计算方法，以及一些应用示例。

一、双重积分的计算方法

双重积分用于计算二维平面上的曲线面积。设有函数f(x,y)，定义在区域D上，其双重积分表示为：

∬D f(x,y) dA

其中，D表示积分区域，dA表示面积微元。双重积分的计算方法主要有以下两种：

1. 通过直角坐标系计算

在直角坐标系中，双重积分可以被表示成两个变量的积分形式。具体计算步骤如下：

步骤一：确定积分区域D，并建立相应的坐标系。

步骤二：将双重积分转化为重叠曲线面积的求和形式。

步骤三：按照求和形式进行面积的计算。

2. 通过极坐标系计算 对于圆形或具有某种对称性的区域D，使用极坐标系计算双重积分更为方便。具体计算步骤如下：

步骤一：确定积分区域D，并建立相应的极坐标系。

步骤二：将双重积分转化为极坐标下的积分形式。

步骤三：按照积分形式进行面积的计算。

二、三重积分的计算方法

三重积分用于计算三维空间中的体积、质量等问题。设有函数f(x,y,z)，定义在区域E上，其三重积分表示为：

∭E f(x,y,z) dV

其中，E表示积分区域，dV表示体积微元。三重积分的计算方法主要有以下两种：

1. 通过直角坐标系计算

在直角坐标系中，三重积分可以被表示成三个变量的积分形式。具体计算步骤如下：

步骤一：确定积分区域E，并建立相应的坐标系。

步骤二：将三重积分转化为区域体积的求和形式。

步骤三：按照求和形式进行体积的计算。

2. 通过柱坐标系或球坐标系计算 对于具有某种对称性的区域E，使用柱坐标系或球坐标系计算三重积分更为方便。具体计算步骤如下：

步骤一：确定积分区域E，并建立相应的柱坐标系或球坐标系。

步骤二：将三重积分转化为柱坐标系或球坐标系下的积分形式。

三重积分的计算方法

三重积分是微积分中的重要概念，它在物理、工程、经济学等领域都有着广泛的应用。在实际问题中，我们经常需要对三维空间中的函数进行积分，而三重积分就是用来描述这种情况的工具。本文将介绍三重积分的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

首先，我们来看三重积分的定义。对于一个定义在三维空间内的函数 f(x, y, z)，其在某个区域 V 上的三重积分可以表示为：

∭V f(x, y, z) dV。

其中，dV 表示体积元素。在直角坐标系中，体积元素可以表示为 dV = dx dy dz，而在柱坐标系或球坐标系中，体积元素的表示形式会有所不同。根据被积函数在不同坐标系下的表示形式，我们可以选择合适的坐标系进行计算，以简化积分的计算过程。

接下来，我们将介绍三重积分的计算步骤。首先，我们需要确定被积函数的积分区域 V，并确定合适的坐标系。然后，我们需要将积分区域 V 划分成小的体积元素，这可以通过直角坐标系、柱坐标系或球坐标系下的积分区域划分方法来实现。在确定了积分区域的划分方式后，我们可以利用定积分的性质，将三重积分化为三次定积分的形式进行计算。

在进行具体的计算时，我们需要注意积分的次序。根据被积函数在不同坐标系下的表示形式，我们可以选择合适的积分次序，以简化计算过程。通常情况下，我们可以先对 z 进行积分，然后对 y

进行积分，最后对 x 进行积分，这样的积分次序在某些情况下可以大大简化计算过程。

除了利用积分次序简化计算外，我们还可以利用对称性简化计算过程。在某些情况下，被积函数具有一定的对称性，这时我们可以利用对称性简化积分的计算过程，从而减少计算的复杂度。

总的来说，三重积分的计算方法并不复杂，但在具体的计算过程中需要注意选择合适的积分次序和利用对称性简化计算。通过本文的介绍，相信读者对三重积分的计算方法有了更清晰的认识，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

三重积分的计算方法：

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分

（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

如果先做定积分2

1),,(z

zdzzyxf，再做二重积分



DdyxF),(，就是“投影

法”，也即“先一后二”。步骤为：找

及在xoy面投影域D。多D上一

点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；

进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”

这一步。ddzzyxfdvzyxf

Dz

z

2

1]),,([),,(

如果先做二重积分

zDdzyxf),,(再做定积分

2

1)(c

cdzzF，就是“截面法”，

也即“先二后一”。步骤为：确定

位于平面

21czcz与之间，即

],[

21ccz，

过z作平行于xoy面的平面截

，截面

zD。区域

zD的边界曲面都是z的

函数。计算区域

zD上的二重积分



zDdzyxf),,(，完成了“先二”这一步（二

重积分）；进而计算定积分2

1)(c

cdzzF，完成“后一”这一步。

dzdzyxfdvzyxfc

cD

z]),,([),,(2

1



当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且

zD的面积

)(z容

易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可

以按以下几点考虑：将积分区域

投影到xoy面，得投影区域D(平面)

（1）D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当

的边界曲面

中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）

（2）D是圆域（或其部分），且被积函数形如

)(),(22

xy

fyxf时，可

选择柱面坐标系计算（当

为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐

标计算）

（3）

是球体或球顶锥体，且被积函数形如

)(222zyxf时，可选

择球面坐标系计算

以上是一般常见的三重积分的计算方法。对

向其它坐标面投

影或

不易作出的情形不赘述。

三重积分的计算方法小结：

1.

对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)