函数的概念的认识

§２对函数的进一步认识

2．1函数概念

整体设计

教学分析

在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关

系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，课本采用了从

实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念．

三维目标

1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y＝f(x)的含义；通过学习函数

的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括

能力；启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出

问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．

2．掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概

念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学生学习的积极性．

重点难点

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．

教学难点：符号“y

＝f

(x

)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一

地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.北京时间2005年10月12日9时整，万众瞩目的“神舟六号”飞船胜利发射升

空，5天后圆满完成各项任务并顺利返回．在“神舟六号”飞行期间，我们时刻关注“神舟

六号”离我们的距离y随时间t是如何变化的，本节课就对这种变量关系进行定量描述和

研究．引出课题．

思路2.问题：已知函数y

＝1，x

∈?

RQ，

0，x

∈?

RQ，请用初中所学函数的定义来解释y

与x

的

函数关系？学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，

引出课题．

推进新课

新知探究

提出问题

1给出下列三种对应：幻灯片

①一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面

的高度h单位：m随时间t单位：s变化的规律是h＝130t－5t2

.

时间t

的变化范围是数集A

＝{t

|0≤t

≤26}，h

６　审。７擞・７（２０１１年第６期・初中版）　．教材教法．　

借助函数概念的发展史引入函数概念　

１０００５４　北京教育学院宣武分院二部　彭林　１０００５３北　京　十　四　中童纪元　

１　函数概念的三种定义　

函数一词是由莱布尼兹１６７３年最早引入的，用来　

表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量．例如，　

曲线上点的坐标、点的斜率、曲率半径等等．其后，伯努　

利把函数看作一个变量和一个常数组成的表达式．欧拉　

在伯努利之后把函数看作是含有变量和常数的任何方　

程和公式．不难看出，他们对函数的界定都没有跳出“表　

达式”的范围．　

后来，人们又给出了这样的定义：“如果一个量依赖　

着另一个量，当后一个变化时前一个量也随着变化，那　

么第一个量称为第二个量的函数．”这个定义虽然还没　

有道出函数的本质，但是，却把变化、运动注入到函数定　

义中去，是可喜的进步．　

１８３４年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：　

“　的函数是这样的一个数，它对于每个　都有确定的值，　

并且随着　一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以　

由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的　

方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”　

这个定义跳出了“表达式”的框框，建立了变量与函数之　

间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对　

应”是函数概念的一种本质属性与核心部分．　

１８３７年，德国数学家狄里克莱认为。怎样去建立　

与Ｙ之间的关系无关紧要，所以他的定义是“如果对于　

的每一个值，ｙ总有完全确定的值与之对应，则），是　的　

函数．”　

根据这个定义，即使象如下表述的，它仍然被说成　

是函数（狄里克莱函数）：　：｛　；．＇　

在这个函数中，如果　由０逐渐增大地取值，则厂（　）　

忽０忽１．在无论怎样小的区间里　）无限制地忽０忽　１．因此，它很难用一个或几个式子来加以表示，甚至究　

竟能否找出表达式也是一个问题．但是，不管其能否用　

表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个ｆ（　）仍是一个　

中小学1对1课外辅导专家

精锐教育网站： 精锐教育·教务管理部 1 精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号

学员编号： 年 级： 课时数：

学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：

课 题 函数的概念和运算

授课日期及时段

教学目标 1、 理解函数的概念，掌握定义域和解析式的求解；

2、 掌握函数关系式的建立；

3、 掌握函数的运算。

教学内容

一、上次课内容检测：

1、 已知集合A={(x,y)|y=x+3}，B={(x,y)|y=3x-1}，则A∩B=________；

已知集合A＝{y|y＝－x2－2x－1}，集合B＝{y|y＝2x＋1}，A∩B=_____________。

2、 集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0}有且仅有两个子集，则a=_________。

3、2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是（ ）

A．－21＜x＜3 B．－21＜x＜0

C．－3＜x＜21 D．－1＜x＜6

4、已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．

本题考查反证法，对于这类“至多”或“至少”的命题，常采用逆向思维的方法处理，先反设，求出相应的集合，再求此集合的补集，问题将流畅简便得多．

【解】 假设三个方程均无实根，则有

1 授课类型 T - 函数的概念 C - 正比例函数的概念 C 正比例函数的图像与性质

授课日期及时段

教学内容

函数的概念

知识要点一：常量和变量

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，而数值始终保持不变的量为常量.

判断一个量是常量还是变量，需看两个方面：

①看它是否在一个变化的过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况。

知识要点二：定义

在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依么变 量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量。

自变量与函数概念的形成过程：①一个变化过程；②两个变量；③一个量随另一个量的变化而变化。

若两个量满足上述三个条件，就说这两个量具有函数关系。

对于函数的关系，即两个变量的对应关系，有三种表示方法：（1）解析法（2）列表法（3）图象法

表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式.

知识要点三：定义域与函数值

函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。

求自变量的取值范围的两个依据是：（1）自变量取值范围是使函数解析式(即是函数表达式)有意义．

（2）自变量取值范围要使实际问题有意义．

对自变量x在定义域内的每一个值，变量y都有唯一确定的值与它对应。在定义域内，取x=a对应的y值叫x=a时的函数值。

有时把y用fx来代替，所以x=a时的函数值也可以用fa来表示。如

2 211,0,1,,12xfxffffax求

理解函数概念把握三点：①一个变化过程，②两个变量，③一种对应关系。判断两个量是否具有函数关系也以这三点为依据。

各类型函数的定义域（1）整式-----一切实数 （2）分式-----分母不为零

（3）根式-------被开方数为一切实数奇数根式被开方数偶数根式0