最佳平方逼近多项式

2016-2017（1）专业课程实践论文

用最佳平方逼近法求逼近函数

肖夏， 29，R数学12-1班

一、算法理论

设函数组𝜑0,𝜑1,…，𝜑𝑚都是[𝑎,𝑏]上的连续函数，并且在[𝑎,𝑏]上线性无关。以此函数组为基，生成空间𝐶[𝑎,𝑏]上的一个子空间

𝐻=𝑆𝑝𝑎𝑛{𝜑0,𝜑1,…，𝜑𝑚}

则𝐻中的任意一个元素为

𝑝(𝑥)=∑𝑐𝑗𝜑𝑗(𝑥)𝑚𝑗=0

对空间𝐶[𝑎,𝑏]的任意两个函数𝑓，g，定义内积

(𝑓,𝑔)=∫𝜔(𝑥)𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎

对于给定的函数𝑓(𝑥)∈𝐶[𝑎,𝑏]，若𝑝∗(𝑥)∈𝐻，满足

(𝑓−𝑝∗,𝑓−𝑝∗)=min𝑝∈𝐻(𝑓−𝑝,𝑓−𝑝)

则称𝑝∗(𝑥)为子空间𝐻中对于𝑓(𝑥)的最佳逼近平方元素。

特别地，若𝜑𝑗(𝑥)=𝑥𝑗，𝑗=0,1,…𝑚则称满足条件的𝑝∗(𝑥)∈𝐻，为函数𝑓(𝑥)在区间[𝑎,𝑏]上带权𝜔(𝑥)的𝑚次最佳平方逼近多项式。

设𝑓(𝑥)∈𝐶[𝑎,𝑏]，𝑝∗(𝑥)∈𝐻是子空间𝐻中对于𝑓(𝑥)的最佳平方逼近元素的充分必要条件是(𝑓−𝑝∗,𝜑𝑗)=0，(𝑗=0,1,…,𝑚)或对于任意一个𝑝(𝑥)，总有(𝑓−𝑝∗,𝑝)=0。

求最佳平方逼近元素𝑝∗(𝑥)=∑𝑐𝑘∗𝜑𝑘(𝑥)𝑚𝑘=0，只要求出𝑐𝑘∗。

因

(𝑓−𝑝∗,𝜑𝑗)=(𝑓,𝜑𝑗)−∑𝑐𝑘∗(𝜑𝑖,𝜑𝑗)=0𝑚𝑘=0

得

∑𝑐𝑘∗(𝜑𝑖,𝜑𝑗)=(𝑓,𝜑𝑗)𝑚𝑘=0

得

((𝜑0,𝜑0)⋯(𝜑0,𝜑𝑚)⋮⋱⋮(𝜑𝑚,𝜑0)⋯(𝜑𝑚,𝜑𝑚))(𝑐0∗⋮𝑐𝑚∗)=((𝑓,𝜑0)⋮(𝑓,𝜑𝑚))

第３３卷第１期　２０１０年２月　四川电力技术　Ｓｉｃｈｕａｎ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃ　Ｐｏｗｅｒ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｖｏ１．３３．Ｎｏ．１　Ｆｅｂ．。２０１０　负荷凹陷敏感度最佳平方逼近估计法　涂建　，陈卫东。。肖先勇。　（１．成都电业局，四川成都６１００２１；２．四川大学电气信息学院，四川成都６１００６５）　摘要：提出了基于最佳平方逼近法来评估敏感负荷电压凹陷敏感度的新方法。该方法利用勒让德多项式来拟合敏　感度参数的概率密度函数，并采用累积求和的方式评估敏感负荷凹陷敏感度。与传统的概率评估法相比，最佳平方　逼近法直接根据样本信息来推断概率分布模型，避免了主观假设方法的不足，使得评估结果更加合理、客观。通过对　４种典型概率分布与相应的最佳平方逼近概率模型的逼近检验，结果表明所得到的逼近多项式有很好的拟合性能。　利用该方法对ＰＣ机进行凹陷敏感度评估，结果证明了其正确性和有效性。　关键词：电压凹陷；敏感度；概率模型；最佳平方逼近；评估方法　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ａｓｓｅｓｓ　ｔｈｅ　ｖｏｌｔａｇｅ　ｓａｇ　ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ　ｏｆ　ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ　ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｂｅｓｔ　ｓｑｕａｒｅ　ａｐｐｒｏｘｉ—　ｍａｒｉｏｎ．Ｔｈｅ　Ｌｅｇｅｎｄｒｅ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ　ａｒｅ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｆｉｔ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｖｏｌｔａｇｅ　ｓａｇ　ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ，ａｎｄ　ｃｕｍｕｌａｔｉｖｅ　ｓｕｍｍａｔｉｏｎ　ｉｓ　ａｄｏｐｔｅｄ　ｔｏ　ａｓｓｅｓｓ　ｔｈｅ　ｖｏｌｔａｇｅ　ｓａｇ　ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ　ｏｆ　ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ　ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ．Ｃｏｍｐａｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ　ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄｓ，ｔｈｅ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｉｎｆｅｒｒｅｄ　ｄｉｒｅｃｔｌｙ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｓａｍｐｌｅ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ａｖｏｉｄｉｎｇ　ｔｈｅ　ｉｎａｄｅｑｕａｃｙ　ｏｆ　ｓｕｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ　ａｎｄ　ｍａｋｉｎｇ　ｔｈｅ　ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｍｏｒｅ　ｒｅａｓｏｎａｂｌｅ　ａｎｄ　ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｔｅｓｔ　ｆ０ｒ　４　ｔｙｐｉｃａｌ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ．ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　ｈａｓ　ａ　ｇｏｏｄ　ｆｉｔｔｉｎｇ　ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ．Ｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓ　ａｎｄ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｖａｌｉｄａｔｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｖｏｌｔａｇｅ　ｓａｇ　ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ　ｏｆ　ＰＣ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｖｏｌｔａｇｅ　ｓａｇ；ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ；ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ　ｍｏｄｅｌ；ｂｅｓｔ　ｓｑｕａｒｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ；ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ　中图分类号：ＴＭ７１４文献标志码：Ａ文章编号：１００３—６９５４ｆ２０１０）０１—００６６—０４　０引　言　近２Ｏ年来，随着计算机应用技术、电力电子技术　等高新技术的迅速发展，各种敏感负荷在电力系统中　大量投入使用，导致电网电能质量严重下降　Ｊ。在　电能质量的各种现象中，电压凹陷（ｖｏｌｔａｇｅ　ｓａｇ）是造　成电压敏感设备不能正常工作的主要原因。例如计　算机（Ｐｃ）、可调速电机（ＡＳＤ）、交流接触器（ＡＣＣ）、　可编程逻辑控制器（ＰＬＣ）Ｈ－６１，它们对电压凹陷非常　敏感，在生产中容易受到凹陷的影响，造成巨大的经　济损失。因此，准确评估电压凹陷对敏感设备的影　响，对经济风险评估具有很好的指导意义。　敏感负荷由于生产厂家、使用环境、剩余寿命、运　行状态等因素的不同，各元件对电压凹陷的敏感度存　在明显的差异。根据ＩＥＥＥ　１３４６标准　，敏感设备对　电压凹陷的敏感度存在一定的不确定区域（见图１）。　在实际评估中，要考虑到这些不确定区域对敏感设备　凹陷敏感度的影响。目前评估的方法主要有实测　法　－６　和概率评估法［７　。。。前者是通过直接实际测　．６６・　量确定负荷敏感度的方法，但对所有设备都进行测试　是不现实的。概率评估法是通过确定敏感度参数各　随机变量的概率特性，并用一定的概率分布模型进行　描述。算法考虑了负荷敏感等级不同与敏感度醢线　的不确定性，但其概率密度函数的确定主要是基于主　观假设，并通过参数估计来确定概率密度函数的分布　参数。但在许多实际问题中，人们往往对总体分布形　式知之甚少，有时数据并不是来自所假定分布的总　体，此时就很难对总体分布形式做出正确的假定。采　用经典微分方法求解的最大熵原理可以客观根据样　本信息确定概率密度函数，但计算过程复杂而且不易　收敛。　所以，提出了基于最佳平方逼近的评估方法，运　用了勒让德多项式基函数，根据各阶样本矩来拟合敏　感度参数各随机变量的概率密度函数，并用概率累积　求和的方式评估敏感负荷凹陷敏感度。研究结果表　明，该方法克服了主观假设上的不足，更注重充分利　用样本信息，可以按任意阶数的高阶矩信息，达到满　意的计算精度。

学 生 实 验 报 告

实验课程名称 应用数值分析

开课实验室

学 院 数学与统计学院 年级

专 业 班

学 生 姓 名 学 号

开 课 时 间 2014 至 2015 学年第 一 学期

总 成 绩

教师签名

数学与统计学院制

开课学院、实验室： 实验时间 ： 2014 年 10月 17日

实验项目

名 称 用多项式作最佳平方逼近 实验项目类型

验证 演示 综合 设计 其他

指导教师 王坤 成 绩

一． 实验目的

1.了解用多项式作最佳平方逼近的基本方法和整体思想

2.用MATLAB编写程序做最佳平方逼近实验。

3.以例题验证，观察。

二．实验内容

例

在[-1,1]上，分别求函数f（x）=|x|在Φ1=span{1，x，x3}和Φ2={1，x2，x4}中的最佳平方逼近函数

三．实验原理、方法（算法）、步骤

原理：

设,fxCab，若存在*01,,,mspan，使

2*2222||||min||||minbaffxfxxdx

则称*是fx在中的最佳平方逼近函数。

取21,0,1,1,,,,mxfxCspanxxx，则逼近函数为多项式

2012mmxaaxaxax 其中101,,,1iijiiffxxdxdij，法方程的系数矩阵为Hilbert矩阵

11112311111234211113453111112321mmGmmmmm…

例1、

已知函数表

x-112

()fx

-304

求的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。

()fx

解：

（1）由题可知

kx

-112

ky-304

插值基函数分别为





12

0

010212

1

()12

11126xxxxxx

lxxx

xxxx







02

1

101212

1

()12

11122xxxxxx

lxxx

xxxx









01

2

202111

1

()11

21213xxxxxx

lxxx

xxxx





故所求二次拉格朗日插值多项式为



2

2

0

2()

111

312012411

623

14

1211

23

537

623kk

kLxylx

xxxxxx

xxxx

xx











（2）一阶均差、二阶均差分别为





01

01

01

12

12

12

0112

012

02303

,

112

04

,4

12

3

4

,,

5

2

,,

126fxfx

fxx

xx

fxfx

fxx

xx

fxxfxx

fxxx

xx





















均差表为

kx

()

kfx

一阶二阶

-1-3

103/2

2445/6

故所求Newton二次插值多项式为



2001001201

2,,,

35

3111

26

537

623Pxfxfxxxxfxxxxxxx

xxx

xx





例2、

设，，试求在[0, 1]上关于，2

()32fxxx[0,1]x()fx()1x



的最佳平方逼近多项式。

span1,x解：

若，则，，且，这样，有

span1,x

0()1x



1()xx

()1x







11

2

0011