专题六 机械振动与机械波

OPMx专题六 机械振动和机械波

【基本内容】

一、机械振动

1、物体在它的平衡位置附近所作的往复运动．如声源的振动、钟摆的摆动等．

2、产生振动的条件：有恢复力的作用且所受阻力足够小．

3、回复力：物体离开平衡位置时所受到的指向平衡位置的力．

二、简谐振动

1、简谐振动：如果一个物体振动的位移按余弦（或正弦）函数的规律时间变化,称这种运动为简谐振动．

2、周期与频率：物体进行一次全振动（振动物体运动状态完全重复一次）所需要的时间,称为振动的周期T；单位时间的全振动次数称为频率,2秒内的全振动次数称为圆频率．

3、振幅A：质点离开平衡位置的最大位移的绝对值,称为振幅．

4、相位：振动方程中的t称为相位．

5、简谐振动的振动曲线：振动位移时间的变化关系曲线称为振动曲线．如图所示．

6、旋转矢量表示法

如图所示,当矢量OM绕其始点（坐标原点）以角速度做匀速转动时,其末端在x轴上的投影点P的运动简谐振动．

三、简谐振动的能量与共振

1、以弹簧振子为例,简谐振动的能量为

222212121kAkxmvEEEPK

2、阻尼振动：在阻尼作用下振幅逐渐减少的振动称为阻尼振动,其振动方程为 -10 x/cm

t/s 0 10

1 2 (a) 10

5

0

-10 1 x/cm

t/s

(b)

0cos()txAet

式中, 为阻尼因子, 为振动的圆频率,它与固有圆频率0和阻尼因子关系为220．

3、受迫振动：在周期性外力作用下的振动,称为受迫振动,在稳定情况下,受迫振动是简谐振动,振动频率等于外力的频率,与振动系统的固有频率无关,其振幅为

22'22'220(2)()hA

当强迫力的频率等于系统固有频率时,系统将有最大的振动振幅,这种现象称为共振．强迫力的频率偏离系统的固有频率越大,振幅则越小．

四、两个简谐振动的合成

有如下四种形式的合成：

1、同方向、同频率的简谐振动合成,合成的结果仍然是与分振动同方向、同频率的简谐振动,合振动的振幅和相分别为

221212212cos()AAAAA

11221122sinsintancoscosAAAA

2、同方向、频率相近的简谐振动的合成,合成的结果不再是简谐振动,合振动的振幅随时间缓慢地周期性变化,称为“拍”的频率．拍的频率12

3、相互垂直的同频率简谐振动的合成,合成运动的轨迹方程是

22221212212122cos()sin()xyxyAAAA

4、相互垂直、频率之比为整数比的两简谐振动合成,这时是有一定规律的稳定闭合曲线,形成李萨如图形．

五、机械波

1、机械振动在弹性媒质中的传播,称为机械波．当质点振动方向和波的传播方向垂直时,称为横波；当振动方向与波的传播方向一致时,称为纵波．

2、波的周期（频率）、波长和波速

一个完整波通过媒质中某点所需的时间,称为波的周期,在波源和观察（接收）者相对媒质静止时,波的周期就是各媒质元的振动周期,用符号T表示．

单位时间内通过媒质中某点的完整波的数目,称为波的频率,波的频率就是各媒质元的振动频率,用符号表示,周期和频率反映了波在时间上的周期性,有关系式 1T ．

沿波的传播方向上相位差为2的两点间的距离,一个完整波形的长度,称为波的波长,用符号表示,波长反映了波在空间的周期性．

单位时间内某振动状态传播的距离,称为波速,又称相速,用符号u表示,上述各量之间有如下关系uT．

3、波面和波线

波动过程中,介质中振动相位相同的点连成的面称为波阵面,简称波面,而某一时刻,最前面的波面,称为该时刻的波前．

沿波的传播方向所作的有向曲线称为波射线,简称波线．

六、平面简谐波

若波源和波线上各质点都作简谐振动的连续波称为简谐波,y0 xAA0

简谐波是最基本的波,各种复杂的波都可以看成许多不同频率的简谐波的合成．

在波动中,每一个质点都在进行振动,对一个波的完整的描述,应该是给出波动中任一质点的振动方程,这种方程称为波函数,平面简谐在理想的无吸收的均匀无限大介质中传播的波函数表达式为

2cos()cos2()cos()xtxyAtAAxutuT

式中,“-”代表沿轴正方向传播的波,“+”代表沿轴反方向传播的波．

七、波的能量、能流和能流密度

波的能量包括媒质中质元的振动动能和因媒质形变产生的弹性势能,可以采用能量密度表示,即媒质单位体积内的波动能量,称为波的能量密度,用表示,有

222sindExAtdVu

考虑一个周期内能量的平均值,称为平均能量,用表示,则有

220112TdtAT

伴随波的传播,波的能量也在传播,将单位时间通过传播方向上单位面积的(平均)能量,称为平均能流密度,又称波的强度．用符号I表示,有

Iu

八、波的干涉和衍射

1、惠更斯原理

在波的传播过程中,波阵面上的一点都可以看做是发射子波的波源,在其后的任一时刻,这些子波的包迹就成为新的波阵面,这就是惠更斯原理．

2、波的叠加原理

几列波在同一介质空间相遇时,每一列波都将独立地保持自已原有的特性,并不会因其他波的存在而改变,在它们重叠区域内,一点的振动是各列单独在该点引起振动的矢量和,波的这种性质称为波的叠加原理．

3、波的干涉

满足相干条件的波在空间相遇叠加时,某些点的振动始终加强,另一些点的振动始终减弱,在空间形成一个稳定的分布,这种现象称为波的干涉,两束相干波的合振幅为

2212122cosAAAAA

其中21212()rr

4、波的衍射

波在传播中遇到障碍物时改变传播方向,传到障碍“阴影”区域的现象叫做波的衍射．发生明显衍射现象的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小,或者跟波长相差不多．

九、驻波

由两列同振幅,相向传播的相干波叠加而成的波,称为驻波,相应的驻波方程为

22coscos2yAx

十、声波

弹性媒质中,各质点振动的传播过程称为“声波”,它是一种机械波．起源于发声体的、振动频率在2020000Hz的声波能引起人的听觉,又称可听声波,频率在41020Hz的机械波称为次声波,频率在48210210Hz的机械波称为超声波．

1、声波的反射、干涉和衍射

声波遇到障碍物而改变原来传播方向的现象称为声波的反射．

围绕发生的音叉转一周听到忽强忽弱的声音,这种现象实际上就是声波的干涉．

由于声波的波长在17cm17m之间,声波很容易绕过障碍物进行传播．我们把这一现象叫声波的衍射．

2、声音的共鸣

共鸣就声音的共振现象．

3乐音与噪音

好听、悦耳的声音叫乐音,是由周期性振动的声源发出的．嘈杂刺耳的声音为噪音,是由非周期性振动的声源产生的．

4、音调、响度和音品是乐音的三要素

音调：基音频率的高低,基频高则称音调高．

响度：声音强弱的主观描述,跟人、声强（单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的能量）等有关．

音品：俗称音色,它反映了不同声源发出的声音具有不同的特色,音品由声音所包含的语言的强弱和频率决定．

十一、多普勒效应

当波源、观察者相对传播波的介质运动时,观察接受到的频率偏离波源频率的现象,称为多普勒现象,有如下关系

RRsRuu

式中,R为观察接收的频率,依赖于观察者相对于媒质的速率(Rv)和波源相对于媒质的速率(sv),sv为波源的频率,u为波速．

【例题】

例1 如图所示，弹簧下端固定在水平桌面上，当质量为1m的A物体连接在弹簧的上端并保持静止时，弹簧被压缩了长度a。现有质量为2m的B物体，从高为h处自由落下，试求：

1） B物体和A物体发生完全非弹性碰撞，弹簧振子的振幅和初位相各为多少？周期多大？

2） B物体和A物体发生弹性碰撞，弹簧振子的振幅和周期多大？写出振动方程（只考虑一次碰撞）。

设设弹簧的质量可以略去不计，把弹簧开始运动时作为时间的起点，x轴以向下为正。

解：1）B和A粘在一起运动，总质量为12mm，振动周期

1212122ammmmTkmg

设平衡位置为O点，B和A发生碰撞处离O点的位移20,mgbbxk为初位置。

碰撞后共同速度为20122mghvmm，它的方向和x轴方向相同。

由振动能量公式得

2221200111222mmvkxkA 所以 ABh

22222122200211122mmmamhaAxvkmmmm

由初始条件0000cos,sinxAvA，得