误差理论和测量数据处理

第一章 绪论

1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差

解：

绝对误差等于：

相对误差等于：

1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？

%5.22%100%1002100%测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差

该电压表合格

1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为m11和m9；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm。其测量误差为m12，试比较三种测量方法精度的高低。

相对误差

0.01%110111mmmI

0.0082%11092mmmI

%008.0150123mmmI

123III第三种方法的测量精度最高

2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。20.001520.001620.001820.001520.00115x

20.0015()mm

5210.0002551iiv

正态分布 p=99%时，t2.58

limxxt 21802000180oo%000031.010000030864.00648002066018021802＝o0.000252.585

0.0003()mm

测量结果：lim(20.00150.0003)xXxmm

2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa）为102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。

误差理论与数据处理

实验报告

姓名：黄大洲

学号：3111002350

班级：11级计测1班

指导老师：陈益民 实验一 误差的基本性质与处理

一、实验目的

了解误差的基本性质以及处理方法

二、实验原理

（1）算术平均值

对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。

1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n而得的值成为算术平均值。

设 1l，2l，…,nl为n次测量所得的值，则算术平均值

121...ninillllxnn

算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x必然趋近于真值0L。

iv il-x

il——第i个测量值，i=1,2,...,;n

iv——il的残余误差（简称残差）

2、算术平均值的计算校核

算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。

残余误差代数和为：11nniiiivlnx

当x为未经凑整的准确数时，则有：1niiv0

1）残余误差代数和应符合： 当1niil=nx，求得的x为非凑整的准确数时，1niiv为零；

当1niil>nx，求得的x为凑整的非准确数时，1niiv为正；其大小为求x时的余数。

当1niil

2）残余误差代数和绝对值应符合：

当n为偶数时，1niiv2nA;

当n为奇数时，1niiv0.52nA

式中A为实际求得的算术平均值x末位数的一个单位。

（2）测量的标准差

测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。

1、测量列中单次测量的标准差

2222121...nininn

式中 n—测量次数（应充分大）

i —测得值与被测量值的真值之差

211niivn

2、测量列算术平均值的标准差：xn 三、实验内容：

基本概念题

1．误差的定义是什么？它有什么性质？为什么测量误差不可避免？ 答：误差=测得值-真值。

误差的性质有：

误差具有随机性；

误差具有不确定性；

误差是未知的。

由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，受人们认识能力所限，测量或实 验所得数据和被测量真值之间不可避免地存在差异，因此误差是不可避免的。

2．什么叫真值？什么叫修正值？修正后能否得到真值？为什么？

答：真值：在观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。

修正值：为消除系统误差用代数法加到测量结果上的值，它等于负的误差值。

修正后一般情况下难以得到真值。 因为修正值本身也有误差， 修正后只能得到较测得值更为 准确的结果 。

3．测量误差有几种常见的表示方法？它们各用于何种场合？

答：绝对误差、相对误差、引用误差

绝对误差——对于相同的被测量，用绝对误差评定其测量精度的高低。

低。

引用误差——简化和实用的仪器仪表示值的相对误差（常用在多档和连续分度的仪表中）。

4．测量误差分哪几类？ 它们各有什么特点？ 答：随机误差、系统误差、粗大误差 随机误差： 在同一测量条件下， 多次测量同一量值时， 绝对值和符号以不可预定方式变化着 的误差。

系统误差： 在同一条件下， 多次测量同一量值时， 绝对值和符号保持不变， 或在条件改变时， 按一定规律变化的误差。

粗大误差：超出在规定条件下预期的误差。误差值较大，明显歪曲测量结果。

5．准确度、精密度、精确度的涵义分别是什么？它们分别反映了什么？

答：准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度。

精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。

精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度。

准确度反映测量结果中系统误差的影响程度。精密度反映测量结果中随机误差的影响程度。

精确度反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度。1） 误差永远不等于零；

相对误差——对于不同的被测俩量以及不同的物理量， 采用相对误差来评定其测量精度的高 6．将下列各个数据保留四位有效数字：

第三章 测量误差的传递

在间接测量中，待求量通过间接测量的方程式),,,(21nxxxfy获得。通过测量获得量nxxx,,,21的数值后，即可由上面的函数关系计算出待求量y的数值。那么测量数据的误差怎样作用于间接量y，即给定测量数据nxxx,,,21的测量误差，怎样求出所得间接量y的误差值?

对于更一般的情形，测量结果的误差是测量方法各环节的诸误差因素共同作用的结

果。这些误差因素通过一定的关系作用于测量结果。现研究怎样确定这一传递关系，即怎样由诸误差因素分量计算出测量的总误差。

研究测量误差的传递规律有重要意义，它不仅可直接用于已知系统误差的传递计算，

并且是建立不确定度合成规则的依据，因而是精度分析的基础①。

3.1 按定义计算测量误差

现在按测量误差的定义给出测量结果的误差，这是研究误差传递关系的基本出发点。

若对量Y用某种方法测得结果y，则按测量误差的定义，该数据的测量误差应为

Yyy (3-1)

设有如下测量方程

),,,(21nxxxfy

式中 y——间接测量结果；

nxxx,,,21——分别为各直接测得值。

直接量的测量数据nxxx,,,21的测量误差分别为

111Xxx,

222Xxx

……………

nnnXxx

式中，X1，X2，…，Xn分别为相应量的实际值(真值)。

则间接测量结果的误差可写为

nnXXXfxxxfYyy,,,,,,2121

nnnXXXfxXxXxXf,,,,,,212211 (3-2)

上式给出了由测量数据的误差计算间接量y的误差的传递关系式，这一误差关系是

准确无误的。

直接按定义计算测量结果误差的方法在误差传递计算中经常使用，特别是在单独分