2024年山东省济南市高新区中考数学一模试卷及答案解析
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第1页（共8页）2024年山东省济南市高新区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（）
A
．B
．
C
．D
．
2．（4分）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重
量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为（）
A．3×10﹣5
B．3×10﹣4
C．0.3×10﹣4
D．0.3×10﹣5
3．（4分）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE、
DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝160°，∠CDF＝150°，则∠EPF
的度数是（）
A．20°B．30°C．50°D．70°
4．（4分）下列式子计算正确的是（）
A．m+m＝m2
B．（﹣3m）2
＝6m2
C．（m+2n）2
＝m2
+4n2
D．（m+3n）（m﹣3n）＝m2
﹣9n2
5．（4分）如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180°后得到的图案（）第2页（共8页）A
．B
．C
．D
．
6．（4分）解分式方程1
﹣
＝，去分母后得到的方程正确的是（）
A．1﹣（2﹣x）＝﹣2xB．（2﹣x）+1＝2x
C．（x﹣2）﹣1＝2xD．（x﹣2）+1＝2x
7．（4分）若0＜m＜n，则直线y＝﹣5x+m与直线y＝﹣x+n的交点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（4分）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸
出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙
获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（）
A．3B．4C．1D．2
9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，CD＝4，∠B＝60°，BE：EC＝2：1，依据尺规
作图的痕迹，则平行四边形ABCD的面积为（）
A．12B．12C．12D．12
10．（4分）二次函数y＝ax2
+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分
对应值如表：
x…﹣2﹣1012…
y＝ax2
+bx+c…tm﹣2﹣2n…
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
①abc＜0；②m＝n；③﹣2和3是关于x的方程ax2
+bx+c＝t的两个根；④a＜．
其中，正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4第3页（共8页）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．（4分）计算（x+3）（x﹣2）＝．
12．（4分）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做
好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作
记号的频率稳定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼条．
13．（4分）已知一元二次方程x2
﹣5x+2m＝0有一个根为2，则另一根为．
14．（4分）如图，将长为6，宽为4的长方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到长
方形A'B'CD'，则阴影部分的面积为．
15．（4分）甲、乙两个工程组同时挖掘成渝高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，
合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖
掘的长度之和y（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多m．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为AB上一点，连接DE，将△ADE
沿DE折叠，点A落在A
1处，连接A
1C，若F、G分别为A
1C、BC的中点，则FG的最小值为．第4页（共8页）三、解答题：（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）计算：．
18．（6
分）求不等式组，的正整数解．
19．（6分）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AD和BC上，且AE＝CF．
求证：∠BAF＝∠DCE．
20．（8分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城
门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于水平
地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，且AB＝6米，OA：OB＝2：1．当点A位于最
高点时，∠AOM＝127°．
（1）求点A位于最高点时到地面的距离；
（2）当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A
1时，求此时水桶B上升的高度．
（参考数据：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）
21．（8分）某校初三年级一共有1200名学生，某一次体育测试后，彭老师为了了解本校初
三学生体考成绩的大致情况，随机抽取了男、女各40名考生的体考成绩，并将数据进行
整理分析，给出了下面部分信息：
数据分为A，B，C，D四个等级分别是：A：49≤x≤50，B：45≤x＜49，C：40≤x＜45，
D：0≤x＜40．
40名男生成绩的条形统计图以及40名女生成绩的扇形统计图如图．
40名男生和40名女生成绩的平均数，中位数，众数如下：第5页（共8
页）
性别平均数中位数众数
男生48a47
女生48.54847.5
男生成绩在B组的考生的分数为45，45，46，46，46.5，46.5，47，47，47，47，47，
47，48，48，48.5；
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空a＝，女生成绩为B等对应的扇形的圆心角为，并补
全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测试中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由；
（3）请估计该年级所有参加体考的学生中，成绩为A等级的考生人数．
22．（8分）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C作圆O的切线交AB的
延长线于点P，连接CA，CO，CB．
（1）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
23．（10分）学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下表：
甲种足球
购买费用：2000元
单价：x元/个
数量：个第6页（共8页）
乙种足球
购买费用：1400元
单价：（x+20）元/个
数量：
个
（1）在上表中用含x的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量；
（2）若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商
场的销售单价；
（3）为满足学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对
两种足球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了10%，乙种足球的销售单价比上次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过
2950元，求这所学校最多可以购买乙种足球的数量．
24．（10分）【综合与实践】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一
块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考．
【特例感知】：（1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，S
△ABC＝1.5m2
，AB＝
1.5m，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形DEFG的边长
是．
【问题解决】：若木板是面积仍然为1.5m2
的锐角三角形ABC，按照如图（乙）所示的方第7页（共8页）式加工，记所得的正方形DEFG的面积为S，如何求S的最大值呢？某学习小组做了如
下思考：
设DE＝x，AC＝a，AC边上的高BH＝h，则S
△ABC
＝ah，∴h
＝，由△BDE∽△BAC
得：，从而可以求得x
＝，若要内接正方形面积S最大，即就是求x的最大
值．因为S＝1.5为定值，因此只需要分母最小即可．
（2）小组同学借鉴研究函数的经验，令y＝a+h＝a
+（a＞0）．探索函数y＝a
+
的图象和性质：
①下表列出了y与a的几组对应值，其中m＝；
a…1234…y…
129m4
334
4…
②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象；③结合表格观察函数y＝a+图象，以下说法正确的是．
A．当a＞1时，y随a的增大而增大B．该函数的图象可能与坐标轴相交．
C．该函数图象关于直线y＝a对称．
D．当该函数取最小值时，所对应的自变量a的取值范围在1～2之间．
25．（12分）问题发现第8页（共8页）（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG，直接写出CF与DG之间的数量关系：．
拓展探究
（2）将正方形AEFG绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，连接DG，CF，试猜想CF
与DG之间的数量关系，并说明理由．
类比迁移
（3）如图3，已知菱形ABCD和菱形AEFG，∠DAB＝60°，将菱形AEFG绕点A顺时
针旋转α（0°＜α≤90°），连接DG，CF，请在备用图中画出草图，判定CF与DG之
间的数量关系是否随着α的变化而变化，并说明理由．
26．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2
+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）
两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，
设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将线段CA绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为A′，判断点A′是否落在抛
物线上，并说明理由；
（3）求PM+2BH的最大值；
（4）如果△PMC是等腰三角形，直接写出点P的横坐标m的值．
