《机械能》经典讲义

1 第一讲 功

一：功

1、做功的两个因素:

一是作用在物体上的力;

二是物体在力的方向上移动的位移.

2、功的定义式：cosFLW

：力与位移方向的夹角，决定力做的是正功还是负功。

正功的意义是：力对物体做正功，表明此力的效果是促进物体的运动，是动力。

负功的意义是：力对物体做负功，表明此力的效果是阻碍了物体运动，是阻力。

一个力对物体做负功，也可说成物体克服这个力做了功（正值）。

功是标量，但有正负。正负只表示做功的力的效果。功的正负决不表示方向也不表示大小。即：表示动力或阻力做功。

3、求多个力的总功的方法有两种:

1.求出合力,合力做的功就是总功;

2.求出每个力做的功,则这些功的代数各就是总功.

例1. 人以恒力50N推小车在水平路面上前进了5m, 人放手后, 小车还前进了1m, 求人对小车所做的功是多少?

例2. 一个重量为10N的物体, 在15N的水平拉力的作用下，一次在光滑水平面上移动0.5m，另一次在粗糙水平面上移动相同的距离，粗糙面与物体间的滑动摩擦力为2N。在这两种情况下，拉力所做的功各是多少? 所做的功是否相同?

例3. 质量为1kg的物体静止在水平桌面上, 物体受到一个与水平面成53F=5N的作用后由静止开始运动了3m, 已知物体与地面间动摩擦因数μ=0.25, sin53=0.8, cos53=0.6, g取10m/s2, 求在这一过程中:

①重力G对物体所做的功;

②拉力F对物体所做的功;

③摩擦力 f 对物体所做的功;

④外力对物体所做的总功.

练习1.F1和F2是作用在物体P上的两互相垂直的水平恒力, 大小分别为: F1=3N, F2=4N. 这两个力共同作用下, 物体P由静止开始沿水平面移动5m的过程中, 它们对物体各做多少功?

它们对物体做功的代数和是多少? F1、F2的合力对P做多少功?

2 F

P Q O

A 练习2. 如图所示. A为静止在水平桌面上的物体, 其右有一个动滑轮O, 跨过动滑轮的细绳的P端固定在墙壁上,于细绳的另一端Q用水平力F向右拉,物体向右滑动s的过程中, 力F对物体做多少功? (上、下两段绳均保持水平)

练习3.如图所示，A、B两物体始终保持相对静止，并一起沿水平方向向右匀速移动距离s。已知物体B的质量为m，斜面的倾角为θ ，求物体在运动过程中：

（1）重力对物体B做的功；

（2）支持力N对物体B做的功；

（3）摩擦力对物体B做的功；

(4) 物体A对B所做的功

4、变力做功的计算

①分段法：

例1、以一定的初速度竖直向上抛出一个小球, 小球上升的最大高度为h, 空气阻力的大小恒为f，则从抛出点到回至原出发点的过程中, 空气阻力对小球做的功为: ( )

A. 0 B. -fh C. -2fh D. -4fh

练习、质量为m的物体从固定斜面上h高处滑下, 再在水平面上滑动距离s后停下, 已知斜面倾角为, 物体与斜面和水平面间的动摩擦因数均为. 则物体整个运动过程中, 重力对物体做功是多少? 摩擦力对物体做功是多少?

②微元法：

例2、力F=10N作用于半径为R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致, 则转动一周这个力F做的功应为多少? 若力F的作用点是一个小球, 且球与圆心O是用长为R的细绳连结，则转动一周绳的拉力做的功为多少?

③平均值法：方向不变, 大小随位移均匀变化的力,

如弹簧的弹力(F=kx). 因力的平均值为221FFF,所以这类力做的功可表示为：cosLFW。

例3、一轻质弹簧劲度系数为k, 左端固定在竖直墙壁上, 右端连接一物体，物体放置在光滑的水平地面上静止。现用一外力水平向左推物体移动距离x, 则弹簧弹力对物体做功多少? B

A

θ

3

练习、用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多少深度 ? (设铁锤每次做功相等)

④.利用Ｆ－Ｓ图像，Ｆ－Ｓ图线与坐标轴所包围的面积即是力Ｆ做功的数值。

⑤动能定理。

三、一对作用力和反作用力做功之和不一定为零。

1、一子弹以水平速度射入置于光滑水平面上原来静止的木块, 并留在木块中,在此过程中子弹钻入木块的深度为d, 木块的位移为s，木块对子弹的摩擦力大小为f．求这一过程中木块对子弹的摩擦力做的功和子弹对木块的摩擦力做的功分别是多少?

四、摩擦力做功的特点:

1）.静摩擦力做功的特点

（1）静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。

（2）在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能．

（3）相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总为零。

1.AB两物体叠放在水平面上，保持相对静止一起向右做匀加速运动移动S， 则摩擦力f1对A做 功，f2对B做 功。

2.小木块置于旋转的水平转台上，随转台一起匀速转动，小木块受到的摩擦力对木块做

功。若小木块随转台一起加速转动而没有相对滑动，则小木块受到的摩擦力对木块做 功。

3.AB两物体叠放在水平面上，A物体用线系在墙上，B 物体在力 F作用下向右运动，则f1对A做 功，f2对B做 功。

4.正在运动的水平传送带上轻轻放一个小木块，小木块受到的摩擦力对小木块做 功。

5.AB两物体叠放在水平面上，A物体在力 F作用下在B物体上相对滑动，则f1对A做 功，f2对B做 功。

2).滑动摩擦力做功的特点

(1）滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，当然也可以不做功。

(2）一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方面：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能。

(3)一对滑动摩擦力的总功等于W=- fΔS.式中ΔS指物体间的相对位移

(4)转化为内能的量值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积,即W=Q（即摩擦生热）

(5）滑动摩擦力、空气摩擦阻力等，在曲线运动或往返运动时等于力和路程（不是位移）的乘积。

4 1、质量为M的长板放在光滑水平面上，一个质量为ｍ的滑块以速度v沿木板表面从A点滑到B点，在木板上前进了L，而木板在水平面上前进了s，如图，设滑块与木板间的动摩擦(1)摩擦力对滑块做的功；

(2)摩擦力对木板做的功；

(3)摩擦力做的总功；

(4)上述过程中机械能转化为内能的大小.

2、在光滑水平面上放一木板，木板的左端放一物体，对物体施加一水平恒力F，将物体由静止开始从木板右端拉出，如果第一次木板被固定在地面上，第二次木板未被固定，则这两种情况下

（ ）

(A)摩擦力大小相同 (B)F做的功相同

(C)摩擦产生热相同 (D)物体获得的动能相同

五、弹力做功的特点:

弹力对物体可以做正功,可以不做功， 也可以做负功。

1、小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上。从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力 （ ）

A．垂直于接触面，做功为零

B．垂直于接触面，做功不为零

C．不垂直于接触面，做功为零

D．不垂直于接触面，做功不为零

a. 板长为L，板的B端放有质量为m的小物体，物体与板的动摩擦因素为μ，开始时板水平，若缓慢转过一个小角度α的过程中，物体与板保持相对静止，则这个过程中（ ）

A. 摩擦力对P做功为 μmgLcosα(1-cosα)

B. 摩擦力对P做功为mgLsinα(1-cosα)

C. 弹力对P做功为mgLcosαsinα

D. 板对P做功为mgLsinα

b. 一个木箱放置在匀加速上升的自动扶梯上，随自动扶梯一起上升，跟扶梯保持相对静止。木箱所受的重力对木箱做 功，木箱所受的弹力对木箱做 功。木箱所受的摩擦力对木箱做 功。

c. 质量为m的物体A置于粗糙的斜面上, 斜面位于水平面上， 用力推斜面向左匀速移动

位移S时，斜面对物体A的弹力做功 ？斜面对物体A的摩擦力做功 ？

5 第二讲 功率

一、功率的概念：

(1)定义：

在物理学中，一个力所做的功W跟完成这些功所用时间t的比值w/t，叫做功率．用P表示，则p＝w/t．

(2)功率的物理意义：功率是描述力对物体做功快慢的物理量．它由物体做的功与做这些功所需的时间决定，并不单纯地由做多少功决定，只有在做功时间相同的情况下，才能认为做功多则功率大。

p＝w/t是功率的定义式，也是功率的量度式，P与W、t间无比例关系，做功的快慢由做功的物体本身决定．

根据这一公式求出的是平均功率．

同时这个公式变形后给我们提供了一种求功的方法：W=pt．

(3)单位：瓦(W) lW=lJ/s

国际单位制中，功率的单位为"瓦特"，简称"瓦"，符号是"W"，lW=lJ/s．即力在l秒钟内做的功为1w，则该力的功率为1瓦特．

"瓦"这个单位较小，技术上常用"千瓦"(kW)作功率的单位，lkW=l000W．

2、功率是标量：功有正负，功率也有正功率和负功率。负功率通常说成是物体克服阻力做功的功率(取绝对值)，所以计算功率时，一般不带正负号。

二．额定功率和实际功率

实际功率：指机器工作中实际输出的功率．

额定功率：指机器正常工作时的最大输出功率，也就是机器铭牌上的标称值．

额定功率和实际功率的关系是什么?

机器不一定都在额定功率下工作．实际功率总是小于或等于额定功率．实际功率如果大于额定功率容易将机器损坏．

在机车启动和运行过程中，发动机的功率是指的牵引力的功率。

三.功率和速度

由功率的定义式P=W/t和功的计算式W=F·lcos可知 p=w/t=Flcos/t

上式中的l/t即物体在时间t内的平均速度v，则有p=F·vcos．

四.平均功率和瞬时功率

(1)平均功率：描述力在一段时间内做功的快慢，用P=w/t计算，若用P=Fvcos计算，v为t时间内的平均速度．

平均功率对应一段时间或一个过程。

(2)瞬时功率：如果时间t足够小，P=w/t，表示的就是瞬时功率。若用P=Fvcos计算，v为瞬时速度．

瞬时功率对应于运动物体的某一时刻或某一位置。

(3)如果力的大小是F，在△t时间内，在力的方向上发生的位移是△l，那么，力F做的功是△w=Fl．

五.对公式P=Fv讨论：

①当F一定时，物体的运动速度越大，功率P也越大，例如汽车、轮船的牵引力一定时，速