2015-2016高中数学 2.1.2演绎推理学案 新人教A版选修2-2

】 用三段论的模式依次证明：(1)DF∥AE， (2)四边形 AEDF 为平行四边形， (3)DE＝AF.
【自主解答】 (1)同位角相等，两直线平行，(大前提) ∠BFD 和∠A 是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提) 所以 DF∥AE.(结论) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DE∥BA 且 DF∥EA，(小前提) 所以四边形 AFDE 为平行四边形．(结论)
演绎推理的含义
【问题导思】 “因为铜是金属，所以铜能导电”，这是一种什么样的 推理？
【提示】 演绎推理．
演绎推理的含义 (1)含义：从一般性的原理出发，推出 某个特殊情况下 的结论，我们把这种推理称为演绎推理． (2)特点：演绎推理是由 一般到特殊 的推理.
三段论
【问题导思】 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个 推理可以分为几段？每一段分别是什么？
把演绎推理写成三段论
(1)(2013· 宁波高二检测)“∵四边形 ABCD 为矩 形，∴四边形 ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前 提为 ( )
A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形
(2)试将下列演绎推理写成“三段论”的形式 ①一次函数是单调函数，函数 y＝2x－1 是一次函数，所 以 y＝2x－1 是单调函数； ②等差数列的通项公式具有形式 an ＝ pn＋ q(p ，q 是常 数)，数列 1,2,3，…，n 是等差数列，所以数列 1,2,3，…，n 的通项具有 an＝pn＋q 的形式．
【提示】 可分为三段：第一段为“所有的金属都能导
电”；第二段为“铜是金属”；第三段为“铜能导电”．
三段论 (1)三段论的模式 ①大前提——已知的

2013年高中数学 2.1 2演绎推理教案新人教A版选修2-2 教学目标：1. 知识与技能：了解演绎推理的含义。

2. 过程与方法：能正确地运用演绎推理进行简单的推理。

3. 情感、态度与价值观：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学设想：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．教学过程：学生探究过程：一．复习:合情推理归纳推理从特殊到一般类比推理从特殊到特殊从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。

类比――提出猜想二．问题情境。

观察与思考1所有的金属都能导电铜是金属,所以，铜能够导电2.一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇数，所以， (2100+1)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数,tan α是三角函数,所以，tan α是周期函数。

提出问题：像这样的推理是合情推理吗？二．学生活动：1.所有的金属都能导电←————大前提铜是金属, ←-----小前提（小前提）是二次函数函数12++=x x y 所以，铜能够导电 ←――结论2.一切奇数都不能被2整除 ←————大前提(2100+1)是奇数，←――小前提所以， (2100+1)不能被2整除. ←―――结论3.三角函数都是周期函数, ←——大前提tan α 是三角函数, ←――小前提所以，tan α是 周期函数。

←――结论三，建构数学演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式M —P （M 是P ） （大前提）S —M （S 是M ） （小前提）S —P （S 是P ） （结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P.四、数学运用例1.把“函数21y x x =++的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论. 解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）例2.已知m =2lg ,计算8.0lg解 ：)0(lg lg >=a a n a n---------大前提 结论）的图象是一条抛物线（所以，函数12++=x x y32lg 8lg =————小前提2lg 38lg =————结论 )0,0(lg lg lg >>-=b a b a ba ——大前提 108lg 8.0lg =——－小前提 112lg 310lg 8lg 8.0lg -=-=-=m ——结论例3.如图;在锐角三角形ABC 中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E 是垂足,求证AB 的中点M 到D,E 的距离相等.解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形, -----大前提在△ABC 中,AD⊥BC,即∠ADB=90° —-小前提所以△ABD 是直角三角形 ——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提因为 DM 是直角三角形斜边上的中线, ——小前提所以 DM=21AB ——结论 同理 EM=21AB 所以 DM=EM.由此可见，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提．但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略．再来看一个例子．例4.证明函数2()2f x x x =-+在(,1)-∞内是增函数． 分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a, b ）内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增．小前提是2()2f x x x =-+的导数在区间(,1)-∞内满足'()0f x >，这是证明本例的关键． 证明：'()22f x x =-+.当(,1)x ∈-∞时，有10x ->，所以'()222(1)0f x x x =-+=->.于是，根据“三段论”得，2()2f x x x =-+在(,1)-∞内是增函数．在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．还有其他的证明方法吗？思考:因为指数函数x y a =是增函数，——大前提 而1()2x y =是指数函数， ——小前提 所以1()2xy =是增函数． ——结论(1)上面的推理形式正确吗？(2)推理的结论正确吗？为什么？上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当01a <<时，指数函数x y a =是减函数），所以所得的结论是错误的．思考: 合情推理与演绎推理的主要区别是什么？归纳和类比是常用的合情推理从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．人们在认识世界的过程中，需要通过观察、将积累的知识加工、整理，使之条理化、实验等获取经验；也需要辨别它们的真系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色.就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．课堂练习：1．用演绎法证明y=x 2是增函数时的大前提是 增函数的定义 。

第8课时合情推理、演绎推理、综合法、分析法合情推理：一、归纳推理例1．已知数列{}na的第1项11a=，且1(1,2,)1nnnaa na+==+，试归纳出这个数列的通项公式。

例2、设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.3、已知：223sin30cos60sin30cos604++=，223sin20cos50sin20cos504++=。

223sin15cos45sin15cos454++=观察上述三等式的规律，请你猜想出一般性的结论：__________________________。

二类比推理：也是等差数列21的任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e λλ+=．类比．．“平面向量基本定理”，写出空间向量基本定理．3．半径为R 的圆的面积()2S R R π= ，周长()2C R R π=若将R 看作()0,+∞上的变量，则()2'2R Rππ=可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

类比，对于半径为R 的球，若将R 看作(0,)+∞上的变量，则_______________，可用语言叙述为： ______。

2.1.2 演绎推理◆应用示例例1．如图所示，在锐角三角形ABC 中，AD BC ⊥,BE AC ⊥，D 、E 是垂足。

求证AB 的 中点M 到D 、E 的距离相等（证明时请注明大前提、小前提和结论）。

例2. 证明函数2()2f x x x =-+在(,1)-∞内是增函数。

例3、 已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a >0，且a ≠1).(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值.【合情推理与演绎推理巩固练习】1.观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于 ( )A.28 B.76 C.123 D.199 2.定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：1*1=1，（2）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于 ( ) A.n B.n ＋1 C.n －1 D.n 23.下列推理是归纳推理的是 ( )A.A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆B.由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C.由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证：a <b .证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B .∴a <b ，其中，画线部分是演绎推理的 ( )A.大前提B.小前提C.结论D.三段论5.若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn)也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A.d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB.d n ＝c 1·c 2·…·c nnC.d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD.d n ＝nc 1·c 2·…·c n综合法 ◆应用示例例1．在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且A,B,C 成等差数列，三边,,a b c 成等比数列，求证ABC ∆为等边三角形。

2.1.2 演绎推理[学习目标] 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.[知识链接]1.演绎推理的结论一定正确吗？答演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确.2.如何分清大前提、小前提和结论？答在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义.例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义.3.演绎推理一般是怎样的模式？答“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.[预习导引]1.演绎推理2.三段论3.要点一用三段论的形式表示演绎推理例1把下列演绎推理写成三段论的形式.(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数.解(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提水会沸腾.结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提2100＋1是奇数，小前提2100＋1不能被2整除.结论(3)三角函数都是周期函数，大前提y＝tan α是三角函数，小前提y＝tan α是周期函数.结论规律方法用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略.在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.跟踪演练1试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；(4)等差数列的通项公式具有形式a n＝pn＋q(p，q是常数)，数列1,2,3，…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式.解(1)大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行；小前提：海王星是太阳系里的大行星；结论：海王星以椭圆形轨道绕太阳运行.(2)大前提：所有导体通电时发热；小前提：铁是导体；结论：铁通电时发热.(3)大前提：一次函数都是单调函数；小前提：函数y＝2x－1是一次函数；结论：y＝2x－1是单调函数.(4)大前提：等差数列的通项公式具有形式a n＝pn＋q；小前提：数列1,2,3，…，n是等差数列；结论：数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式.要点二演绎推理的应用例2正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长均为a，D、E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G.(1)求证：A1B⊥AD；(2)求证：CE∥平面AB1D.证明(1)连接BD.∵三棱柱ABC－A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，∴A 1ABB 1为正方形， ∴A 1B ⊥AB 1. ∵D 是C 1C 的中点， ∴△A 1C 1D ≌△BCD ， ∴A 1D ＝BD ， ∵G 为A 1B 的中点， ∴A 1B ⊥DG ，又∵DG ∩AB 1＝G ，∴A 1B ⊥平面AB 1D . 又∵AD ⊂平面AB 1D ，∴A 1B ⊥AD .(2)连接GE ，∵EG ∥A 1A ，∴GE ⊥平面ABC . ∵DC ⊥平面ABC ，∴GE ∥DC ，∵GE ＝DC ＝12a ，∴四边形GECD 为平行四边形，∴CE ∥GD .又∵CE ⊄平面AB 1D ，DG ⊂平面AB 1D ， ∴CE ∥平面AB 1D .规律方法 (1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提. 跟踪演练2 求证：函数y ＝2x －12x ＋1是奇函数，且在定义域上是增函数.证明 y ＝(2x ＋1)－22x ＋1＝1－22x＋1， 所以f (x )的定义域为R .f (－x )＋f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x＋1 ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋2·2x2x ＋1＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0.即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数. 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－221x ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－222x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＋1－121x ＋1＝2·21x－22x(22x ＋1)(21x＋1). 由于x 1<x 2，从而21x<22x ，21x－22x <0，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )为增函数. 要点三 合情推理、演绎推理的综合应用例3 如图所示，三棱锥A －BCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，O 为点A 在底面BCD 上的射影. (1)求证：O 为△BCD 的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明.(1)证明 ∵AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，AB ∩AC ＝A ， ∴AD ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC . ∴AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ，AO ⊥BC ， ∵AD ∩AO ＝A ，∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DO ，同理可证CD ⊥BO ， ∴O 为△BCD 的垂心.(2)解 猜想：S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S 2△BCD .证明：连接DO 并延长交BC 于E ，连接AE ， 由(1)知AD ⊥平面ABC ， AE ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AE ，又AO ⊥ED ， ∴AE 2＝EO ·ED ，∴⎝⎛⎭⎫12BC ·AE 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·EO ·⎝⎛⎭⎫12BC ·ED ， 即S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .同理可证：S 2△ACD ＝S △COD ·S △BCD ， S 2△ABD ＝S △BOD ·S △BCD .∴S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S △BCD ·(S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD )＝S △BCD ·S △BCD ＝S 2△BCD .规律方法 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).跟踪演练3 已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝na 1a 2…a n (n ∈N *)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论. 解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn 也是等差数列.证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝na 1＋n (n －1)d 2n ＝a 1＋d2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列.1.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B.某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式[答案] A[解析] A 是演绎推理，B 、D 是归纳推理，C 是类比推理.2.“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝logx是增函数(结论).”下列说法正确的是()13A.大前提错误导致结论错误B.小前提错误导致结论错误C.推理形式错误导致结论错误D.大前提和小前提都错误导致结论错误[答案]A[解析]y＝log a x是增函数错误.故大前提错.3.把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：________；小前提：________；结论：________.[答案]二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线4.“如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”.证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC>BC，①所以AD>BD，②于是∠ACD>∠BCD.③则在上面证明的过程中错误的是________.(只填序号)[答案]③[解析]由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误.1.演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确.2.在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.。