人教数学九年级上册-中心对称知识讲解人教版
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专题23.4 中心对称（知识讲解）
【学习目标】
1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；
2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标；
3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、
平移和旋转的组合进行图案设计．【要点梳理】
要点一、中心对称和中心对称图形
1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称中心对称图形
区
别①指两个全等图形之间的
相互位置关系．②对称中心不定．①指一个图形本身成中心
对称．
②对称中心是图形自身或
内部的点．
联
系如果将中心对称的两个图
形看成一个整体（一个图
形），那么这个图形就是中
心对称图形．如果把中心对称图形对称
的部分看成是两个图形，
那么它们又关于中心对
称．
要点二、关于原点对称的点的坐标特征
关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.要点三、中心对称、轴对称、旋转对称1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：
2.中心对称图形与轴对称图形比较：
特别说明：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同
点是灵活运用的前提.
【典型例题】类型一、中心对称图形与轴对称图形的识别
1．1．下列四个银行标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A
．B
．C
．D
．
【答案】A
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，
这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图
形重合，那么就说这个图形是中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的概念分析
判断即可．
解：A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D. 是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的知识，理解轴对称图形和中心
对称图形的概念是解题关键．
举一反三：
【变式1】 习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一
语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的
是（ ）
A
． B
． C
．D
．【答案】B
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可；
解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形
重合，那么这个图形叫做中心对称图形；
故符合题意的是选项B；
故选：B．
【点拨】本题主要考查中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解题的关
键．
【变式2】 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A
． B
． C
． D
．【答案】B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项错误；
B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确；
C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项错误；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项错误．
故答案为B．
【点拨】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻
找对称轴，中心对称图形是要寻找对称中心旋转180度后与原图重合．类型二、利用中心对称图形作图
2．如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以ABCA下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作关于点对称的；ABCAOABCV
（2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上ABCAA
的．ABCV
【分析】
（1）分别作出A，B，C三点关于O点对称的点，，，然后顺次连接即可得ABC
；ABCV
（2）计算得出AB=，AC=5，再根据旋转作图即可．25
解：（1）如图1所示；
（2）根据勾股定理可计算出AB=，AC=5，再作图，如图2所示．25
【点拨】本题考查复杂-应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结
合的思想解决问题．
举一反三：
【变式1】如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．
【分析】根据关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心作图.
解：连接CC′，BB′，两条线段相交于当O，
则点O即为对称中点．
【点拨】本题考查的是中心对称的性质，掌握关于中心对称的两个图形，对应点的连
线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键.
【变式2】 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直
角坐标系△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）
（1）先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单
位长度得到△A2B2C2；
（2）△A2B2C2与△ABC是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标；
若不是，请说明理由.
【答案】（1）画图见分析；（2）（0，2）.
解：分析：（1）根据中心对称和平移性质分别作出变换后三顶点的对应点，再顺次连
接可得；
（2）根据中心对称的概念即可判断．
详解：（1）如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求；
（2）由图可知，△A2B2C2与△ABC关于点（0，2）成中心对称．
【点拨】本题考查了中心对称作图和平移作图，熟练掌握中心对称的性质和平移的性
质是解答本题的关键. 中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关
于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
类型三、利用中心对称图形性质求值
3.如图，与关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且ABOACDO△
AF=CE．
求证：FD=BE．
【分析】根据中心对称得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根据SAS推出△
DOF≌△BOE即可．
证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，∴OB=OD，OA=OC．
∵AF=CE，∴OF=OE．
∵在△DOF和△BOE中，，BOEOBODDOFOFOE
∴△DOF≌△BOE（SAS）．
∴FD=BE．
举一反三：
【变式1】如图，在中，D为BC上任一点，交AB于点ABCA//DEAC
交AC于点F，求证：点关于AD的中点对称．//EDFAB，EF，
试题分析：根据题意推知四边形AEDF是平行四边形，则该四边形关于点O对称．
证明：如图，连接EF交于点O．
交AB与交AC于F，//DEAC//EDFAB，
四边形AEDF是平行四边形，
点关于AD的中点对称． EF，
【变式2】如图,D是△ABC边BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD，连接
BE．
(1)图中哪两个图形成中心对称；
(2)若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．
【答案】（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）8．
【分析】
（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可；
（2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高
确定ABD的面积，从而确定ABE的面积．
解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；
（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8．
【点拨】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较
小．类型四、坐标系中的中心对称图形
4、在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到点B1与点C1距离之和最小，请直接写出P
B1+P C1的最小值为 ．
【答案】（1）画图见分析；（2）画图见分析；（3）26
【分析】
（1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征，分别描出点A、B、C的对应点
A1、B1、C1，即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点，根据旋转的性质画出点A、B旋转后的对应点A2、B2，即可得到
△A2B2C；
（3）作C1（或B1）点关于x轴的对称点，根据勾股定理即可求解．
解：（1）（2）如图所示
（3）如图，
作C1点关于x轴的对称点C4
在RtΔC4DB1中，C4B1= 221526故答案为：．26
举一反三：
【变式1】已知点P（x，y）的坐标满足方程（x+3）2+=0，求点P分别关于x4y
轴，y轴以及原点的对称点坐标．
【答案】点P关于x轴，y轴以及原点的对称点坐标分别为（﹣3，4），（3，﹣4），
（3，4）．
【分析】先根据非负数的性质通过方程式求得、的值，即得到点的坐标，然后xyP
求点分别关于轴，轴以及原点的对称点坐标.Pxy
