补充习题
1. 耦合谐振子的Hamilton量为
H = y-（ + P；） + ^fna>2 （x： + 工；）+ AXjX2
其中 - '
四=_谕白， P，=_滴白 （2）
OXA - dx2
X|、Pl和名、P2分属于不同的自由度，设/t<〃Z©2,试求这耦合谐振子的能 级。
解：如没有耦合项石内，就成为二维各向同性谐振子，Hamilton量为
H0 = Hl+H2=^-pf + m（o2xf + 土 °；+?"1况¥； ⑶
用分离变量法即可化成两个独立的-•维谐振子问题，能级和本征函数为 E* 如=（弓+%+1）上。 （4）
% （心易）=%,（而肱（工2） ⑸
%,仇=°，1，2, ........
其中％（》）为一维谐振子的能量本征函数。
对于耦合振子，可以用坐标变换的办法将问题化成两个独立的一维
谐振子问题。令
也=±°""）' "=去（凶一）‘2） （6）
即
"士（…） （&） 蚌+云=弁+犬
工内=!（井一乂）
a2 a2 a2 伊
--- + --- = -- + ---
dxf dx^ dyf dy}
因此，Hamilton量可以表示成
容易证明
当苴*生+_
2m[dy； + oy； ) + ：〃以2（），《+）'；） + 务2一£）
(8)
其中 + }网将 +!，g；y；
=^2 + —, CO； = CD1 -—
tn 」 (9)
MM=0,l,2,…式（8）正是两个独立谐振子（频率田，例）能量算符之和。
本征值和本征函数为 因此，能量
=（可+?力使膈2 (10)
WN、形（凹，v2）=w* （乂）w/ y2） on 2. 利用Hermite多项式的递推关系式和求导公式，证明
d"! 2
-TV W〃 (x) = %「(x) -(2〃 + \)甲〃(X)+ J(〃 + l)(〃 + 2)“ 心 2 (x)]
ax^ 2 1- J
" = 2〃… T（X）+j 号板，Md（X）
第五章习题解
5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0rr的区域有影响，对0rr的区域无影响。据题意知
)()(ˆ0rUrUH
其中)(0rU是不考虑这种效应的势能分布，即
rzerU024）（
)(rU为考虑这种效应后的势能分布，在0rr区域，
rZerU024)(
在0rr区域，)(rU可由下式得出，
rEdrerU)(
)( 4 )( ,4344102003003303420rrrZerrrrZerrZerE
00)(rrrEdreEdrerU
002023002144rrrdrrZerdrrZe
)3(84)(822030020022203002rrrZerZerrrZe )( 0rr
)( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020rrrrrZerrrZerUrUH
由于0r很小，所以)(2ˆˆ022)0(rUHH，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态raZeaZ02/1303)0(1)(） dHE)0(1*)0(1)1(1ˆ
000220222030023034]4)3(8[rraZdrrerZerrrZeaZ
第五章 微扰理论
经常遇到许多问题，体系哈密顿算符比较复杂，不能精确解，只能近似解，微扰论就是其中一个近似方法，其基本思想是逐级近似。微扰论方法也就是抓主要矛盾。
如何分？假设 本征值及本征函数较容易解出或已有现成解， 是小量能看成微扰，在已知解的基础上，把微
代入方程
同次幂相等
（ （1） (2)
(3)
① 求能量的一级修正
(2)式左乘 并对整个空间积分
能量的一级修正 等于 在 态中的平均值。
②求对波函数一级修正
将
仍是方程 (2) 的解，选取 a 使展开式不含
将上时代入式 (2)
以 左乘上式，对整个空间积分
令
上式化简为：
③求能量二级修正
把 代入(3)式， 左乘方程（3）式，对整个空间积分
左边为零
讨论：（1）微扰论成立的条件： (a) 可分成 ， 是问题主要部分，精确解已知或易求
(b) <<1
（2）可以证明
例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场 作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。
【解】
是 的偶函数
利用递推公式
波函数的一级修正
利用能级移动可以直接准确求出
令：
§5.2 简并情况下的微扰理论
假设 是简并的
k 度简并
已正交归一化
代入上式
以 左乘上式两边，对整个空间积分
左边 右边
§15.5 量子力学的基本概念和基本原理
描述微观粒子运动的系统理论是量子力学,它是薛定谔、海森伯等人在1925～1926年期间初步建立起来的.本节介绍量子力学的基本概念和基本方程.
一、波函数极其统计解释
在经典力学中我们已经知道,一个被看作为质点的宏观物体的运动状态,是用它的位置矢量和动量来描述的.但是,对于微观粒子,由于它具有波动性,根据不确定关系,其位置和动量是不同时具有确定值的,所以我们就不可能仍然用位置、动量及轨道这样一些经典概念来描述它的运动状态.微观粒子的运动状态称为量子态,是用波函数来描述的,这个波函数所反映的微观粒子的波动性,就是德布罗意波.这是量子力学的一个基本假设.
例如一个沿X轴正方向运动的不受外力作用的自由粒子,由于能量E和动量p都是恒量,由德布罗意关系式可知,其物质波的频率ν和波长λ也都不随时间变化,因此自由粒子的德布罗意波是一个单色平面波.
对机械波和电磁波来说,一个单色平面波的波函数可用复数形式表示为
)(2）x/λνtπiAety(x,
但实质是其实部.类似地,在量子力学中,自由粒子的德布罗意波的波函数可表示为
)/(0）(PxEtietx,
式中0是一个待定常数, /0iPxe相当于x处波函数的复振幅,而iEt/e则反映波函数随时间的变化.
对于在各种外力场中运动的粒子,它们的波函数要随着外场的变化而变化.力场中粒子的波函数可通过下面要讲的薛定谔方程来求解.
经典力学中的波函数总代表某一个物理量在空间的波动,然而量子力学中的波函数又代表着什么呢？对此,历史上提出了各种不同的看法,但都未能完善的解释微观粒子的波—粒二象性,直到1926年玻恩(M.Born,1882—1970)提出波函数的统计解释才完善的解释了微观粒子的波—粒二象性.玻恩认为：实物粒子的德布罗意波是一种几率波；t 时刻,粒子在空间 r 附近的体积元dV中出现的几率dW与该处波函数的模方成正比,即
