广东省深圳市南山区南山实验教育集团南海中学2023-2024学年上学期九年级期中考试数学试卷
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南山实验教育集团南海中学2023-2024学年第一学期九年级期中考试数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0B．x2+1＝0C．y2+x＝1D．+x2＝1
2．若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
3．一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球，1个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子
中随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6B．x1+x2＝﹣6C．x1x2＝D．x1x2＝7
5．根据下列表格的对应值：x11.11.21.3
x2+12x﹣15﹣2﹣0.590.842.29
由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（ ）
A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．x＞1.3
6．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝8，则AD的长度是（ ）
A．5B．4﹣4C．2D．4+
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC＝8，S
菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）
A．3B．4C．4.8D．5
8．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A
开始沿
AB
边运动，速度为
2
cm
/
s
；
动点
Q
从点
B
开始沿
BC
边运动，速度为
4
cm
/
s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（ ）秒时△QBP
与△ABC相似．A．2秒B．4秒C．2或0.8秒D．2或4秒
9．如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，4）
10．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，
连接CG、BG、BD、DG，下列结论：①BC＝DF；②∠ABG+∠ADG＝180°；③AC：BG＝：1；④若
＝，则4S△BDG＝25S△DGF．正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二．填空题（共5小题）
11．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
12．已知，则＝ ．
13．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持
脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小艺的眼睛离地面高
度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米，则旗杆的高度
为
米．14．如图，在▱ABCD中，E为AD边上的点，AE＝2DE，连接BE交AC于点F，△AEF的面积为4cm2，
则△ABC的面积为 cm2．
15．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上一点，其中AE：ED＝1：2．线段BE的垂直平分线分别
交AB、BE、CD于点F，G，H，则的值为 ．
三．解答题（共55分）
16．（12分）解方程：
（1）x2﹣1＝4x；（2）2x2﹣7x+3＝0；
（3）3x（x﹣2）＝4﹣x2；（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．
17．（6分）△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3），以原点O为
位似中心，在第三象限内，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2，并
写出A'，B'，C'
的坐标．18．（6分）随着中国传统节日“端午节”的临近，某商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，
在商场大厅设置了如图所示的两个可以自由转动的转盘，在端午节当天消费的顾客可以参与转盘活
动．已知这两个转盘都被平均分成了3份，并在每份内均标有数字．规则如下：
①分别转动转盘A、B；
②两个转盘停止后，将两个指针所指区域内的数字相乘（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指
针指向某一区域为止），若数字之积为3的倍数则可以领取3枚粽子；若数字之积为5的倍数则可以
领取5枚粽子．
（1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）在端午节当天，李老师参与了转盘活动，求李老师领取到5枚粽子的概率．
19．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，
连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）若AF是∠DAB的平分线．若CF＝6，BF＝8，求DC的长．20．（8分）如图，AD是△ABC的高，点E、F在BC边上，点G在AC边上，点H在BC边上，BC＝
21cm，高AD＝15cm，四边形EFGH是△ABC内接正方形，
（1）△AHG与△ABC相似吗？为什么？
（2）求内接正方形EFGH边长EF．
21．（8分）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份
该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
（1）求该公司销售A产品每次的增长率；
（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价
措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获
利70万元，则每套A
产品需降价多少？22．（9分）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D为BC边上的一点．过点D作射线DE
⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F．
问题发现
（1）如图1，当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，＝ ；
（2）若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图2位置时，＝ ；
类比探究
（3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程；
问题解决
（4）如图3，连接EF，当CD＝ 时，△DEF与△ABC相似．南海中学九年级期中参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0B．x2+1＝0C．y2+x＝1D．+x2＝1
【解答】解：A、2x+1＝0是一元一次方程，故A错误；
B、x2+1＝0是一元二次方程，故B正确；
C、y2+x＝1是二元二次方程，故C错误；
D、+x2＝1是分式方程，故D错误；
故选：B．
2．若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【解答】解：A．因为＝，所以5m＝4n，不符合题意；
B．因为＝，所以4m＝5n，符合题意；
C．因为＝，所以5m＝4n，不符合题意；
D．因为＝，所以mn＝20，不符合题意．
故选：B．
3．一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球，1个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子
中随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：画树状图如下：
总计有6种可能结果，其中我们关注的事件两个都是红球的情况有2种，
∴随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为：＝．
故选：B．
4．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0
的两个根，则（ ）A．x1+x2＝6B．x1+x2＝﹣6C．x1x2＝D．x1x2＝7
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，
∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，
故选：A．
5．根据下列表格的对应值：x11.11.21.3
x2+12x﹣15﹣2﹣0.590.842.29
由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（ ）
A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．x＞1.3
【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，
x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，
∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0，
即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2，
故选：B．
6．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝8，则AD的长度是（ ）
A．5B．4﹣4C．2D．4+
【解答】解：∵点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），
∴，
∵AB＝8，
∴AD＝，
故选：B．
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC＝8，S
菱形ABCD＝24，则OH
的长为（ ）
A
．
3
B
．
4
C．4.8D．5
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，∵AC＝8，S菱形ABCD＝AC•BD＝24，
∴×8•BD＝24，
∴BD＝6，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∵DO＝BO，
∴OH＝BD＝3，
故选：A．
8．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q
从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（ ）秒时△QBP
与△ABC相似．
A．2秒B．4秒C．2或0.8秒D．2或4秒
【解答】解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，
则AP＝cm，BP＝cm，BQ＝cm，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当 时，△BPQ∽△BAC，
即 ，
解得：t＝2，
当 时，△BPQ∽△BCA，
即 ，
解得：t＝0.8，
综上所述：经过0.8s或2s秒时，△QBP与△ABC相似，
故选：C．
9．如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C
的坐标是（ ）
