人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题(含答案) (57)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题（含答案)

如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和边AB上的高，如果BD＝CE，试证明BE＝CD．

【答案】见详解.

【解析】

【分析】

由BD、CE分别是△ABC的边AC和边AB上的高得出∠BDC=∠CEB=90°，再根据“HL”证△BDC≌△CEB得BE＝CD.

【详解】

证明：∵BD、CE分别是△ABC的边AC和边AB上的高，

∴∠BDC=∠CEB=90°，

在Rt△BDC和Rt△CEB中，

∵BDCEBCCB ，

∴△BDC≌△CEB（HL），

∴BE＝CD. 【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．

62．如图，如果AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，那么△ADF和CBE全等吗？请说明理由．

【答案】全等，理由见详解.

【解析】

【分析】

由AD∥BC可得∠A=∠C，由AE=CF可得AF=CE，已知AD=CB，从而由“SAS”可证得△ADF≌△CBE．

【详解】

解：全等

∵AD∥BC

∴∠A=∠C

∵AE=CF

∴AF=CE

在△ADF和△CBE中， ∵ADCBACAFCE

∴△ADF≌△CBE（SAS）．

【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，考查三角形全等的判定，注意条件不同判定也不同，由已知条件得出判定全等所需要的条件是比较关键的．

63．（1）（问题情境）

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图①，在①ABC中，AD是△ABC的中线，若AB＝10，AC＝8，求AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：

①.由已知和作图能得到①ADC①①EDB，依据是________．

A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA

①.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是________．

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．

（2）（学会运用） 如图①，AD是 △ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,

∠BAC=∠BCA, 求证：AE=2AD．

【答案】（1）Ⅰ.B；Ⅱ. 1＜AD＜9；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）Ⅰ.根据全等三角形的判定定理解答；

Ⅱ.根据三角形的三边关系定理可得AB−BE＜AE＜AB＋BE，结合BE=AC可确定AE的取值范围，易得AD的取值范围；

（2）首先延长AD至M，使DM＝AD，先证明△ABD≌△MCD，进而得出MC＝AB，∠B＝∠MCD，即可得出∠ACM＝∠ACE，再证明△ACM≌△ACE，即可证明结论．

【详解】

解：（1）Ⅰ.在△ADC和△EDB中，BDCDBDECDADEAD＝＝＝，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

故选：B；

Ⅱ.∵△ADC≌△EDB，

∴BE=AC，

∵AB−BE＜AE＜AB＋BE，

∴AB− AC＜AE＜AB＋AC，即2＜AE＜18，

∴1＜AD＜9，

故答案为：1＜AD＜9； （2）延长AD至M，使DM＝AD，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，

在△ABD和△MCD中，BDCDADBMDCADDM＝＝＝，

∴△ABD≌△MCD（SAS），

∴MC＝AB，∠B＝∠MCD，

∵AB＝CE，

∴CM＝CE，

∵∠BAC＝∠BCA，

∴∠B＋∠BAC＝∠ACB＋∠MCD，即∠ACE＝∠ACM，

在△ACE和△ACM中，ACACACEACMCMCE＝＝＝，

∴△ACM≌△ACE（SAS），

∴AE＝AM，

∵AM＝2AD，

∴AE＝2AD．

【点睛】

本题考查的是三角形三边关系以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理利用倍长中线得出辅助线是解题关键．

64．如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，E、F是垂足，AE=DF，AB=DC．求证：AC=DB．

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

根据垂直的定义得到∠AEB＝∠AEC＝∠DFB＝∠DFC＝90°，推出Rt△ABE≌Rt△DCF，根据全等三角形的性质得到BE＝CF，推出BF＝CE，证得△AEC≌△DFB，根据全等三角形的性质即可得结论．

【详解】

证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，

∴∠AEB＝∠AEC＝∠DFB＝∠DFC＝90°，

在Rt△ABE和Rt△DCF中，ABDCAEDF＝＝，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），

∴BE＝CF，

∴BF＝CE， 在△AEC和△DFB中，AEDFAECDFBCEBF＝＝＝，

∴△AEC≌△DFB（SAS），

∴AC＝DB．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

65．如图，B、D、E在一条直线上，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，

（1）求证：BD=CE

（2）猜想∠1、∠2、∠3的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）∠3=∠1+∠2，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）首先求出∠BAD =∠CAE，然后利用SAS证明△BAD≌△CAE可得BD=CE；

（2）根据全等三角形对应角相等求出∠ABD=∠2，由三角形外角的性质可得∠3=∠1+∠2.

【详解】

（1）∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD =∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ABACBADCAEADAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE；

（2）∠3=∠1+∠2，

理由：∵△BAD≌△CAE，

∴∠ABD=∠2，

∵∠3=∠1+∠ABD，

∴∠3=∠1+∠2.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，能证明△BAD≌△CAE是解此题的关键.

66．已知：如图，AB=DE，BE=CF，∠B=∠DEF．求证：∠A=∠D

证明：∵BE=CF（ ）

∴BE+EC=CF+EC

即(________)

在△ABC和△DEF中， ()(? )(? )ABDEBDEFBCEF已知

∴ABCDFE（ ）

∴∠A=∠D（ ）

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

首先求出BC=EF，然后根据SAS证明ABCDFE即可得到∠A=∠D.

【详解】

证明：∵BE=CF（已知），

∴BE+EC=CF+EC，

即(BC=EF) ，

在△ABC和△DEF中，

()()()ABDEBDEFBCEF已知已知已证，

∴ABCDFE（SAS），

∴∠A=∠D（全等三角形，对应角相等）.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.

67．如图，,..CDCEDEAEBE求证：

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

根据ASA直接证明△AEC≌△BED即可得到AE=BE.

【详解】

证明：在△AEC和△BED中，

∵CDCEDECEADEB，

∴△AEC≌△BED（ASA），

∴AE=BE.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.

68．如图①，RtABC中，90C∠，D是AB的中点，过点D作DEAC于点E；过点B作BFED，交ED的延长线于点F. （1）求证：DFBDEA；

（2）某数学兴趣小组解答（1）后发现，在图中只需将AED剪下来拼到BFD处，就可得到一个与ABC等面积的矩形EFBC继续讨论后又发现，任意三角形也可以剪拼成一个等面积的矩形，请你在图②中画出一种剪拼示意图，并简要说明作法（不需要证明）

【答案】（1）见解析；（2）如图见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用AAS即可证明DFBDEA；

（2）找AC、BC的中点，构造以AB为边的矩形即可.

找AC、AB的中点，构造以BC为边的矩形即可.

找AB、BC的中点，构造以AC为边的矩形即可.

【详解】

（1）证明：∵DEAC，BFED，D是AB的中点，

∴90AEDBFD，ADBD，

∵ADEBDF，即DFBDEA.

（2）如图：方法比较多

作法① ：找AC、BC的中点，作垂线，构造以AB为边的矩形即可.

作法②：找AC、AB的中点，作垂线，构造以BC为边的矩形即可. 作法③：找AB、BC的中点，作垂线，构造以AC为边的矩形即可.

【点睛】

本题考点涉及三角形全等，（2）难度较大，根据题意分析，找出方法是解答本题的关键.

69．如图，点B、E、C、F在同一直线上，且AB=DE，AC=DF，BE=CF，请将下面说明ΔABC≌ΔDEF的过程和理由补充完整。

解：∵BE=CF （ ）

∴BE+EC=CF+EC

即BC=EF

在ΔABC和ΔDEF中

AB= （ ）

=DF（ ）

BC=

∴ΔABC≌ΔDEF （ ）

【答案】已知；DE；已知；AC；已知；EF；SSS.

【解析】

【分析】

根据三角形全等的判定方法，出现题中已知条件的需写已知．对应线段写在对应位置．三边对应相等的两个三角形全等，利用的是定理：SSS．