初中数学竞赛辅导讲义：第17讲--解直角三角形(含习题解答)

第十七讲 解直角三角形

利用直角三角形中的已知元素 (起码有一条是边 )求得其他元素的过程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下双方面的应用：

1．为线段、角的计算供给新的门路．

解直角三角形的基础是三角函数的观点，

三角函数使直角三角形的边与角得以转变，

打破纯粹几何 关系的限制．

2．解实质问题．

丈量、航行、工程技术等生活生产的实质问题，很多问题可转变为解直角三角形获解，解决问题的重点是在理解相关名词的意义的基础上，正确把实质问题抽象为几何图形，从而转变为解直角三角形．

【例题求解】

【例 1】 如图，已知电线杆 AB

直立于地面上，它的影子恰巧照在土坡的坡面 CD

和地面 BC

上，假如

CD

与地面成

45°，∠

A ＝ 60°， CD ＝ 4m， BC ＝ ( 4 6

2 2 )m，则电线杆

AB

的长为

．

思路点拨

延伸

AD

交

BC

于 E，作

DF⊥BC

于 F，为解直角三角形创建条件．

【例 2】 如图，在四边形 ABCD 中， AB= 4 2 ，BC-1 ，CD= 3 ，∠ B=135 °，∠ C＝90°，则∠ D 等

于 ( )

A． 60° B． 67．5° C． 75° D．没法确立思路点拨 经过对内切割或向外补形，结构直角三角形．

注：因直角三角形元素之间有好多关系，故用已知元素与未知元素的门路常不唯一，选择如何的门路最有效、最合理呢？请记着：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除．

在没有直角的条件下，常经过作垂线结构直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，常常先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最后可解．

【例 3】 如图，在△ ABC 中，∠ =90°，∠ BAC=30 °， BC=l ，D 为 BC 边上一点， tan∠ ADC 是方程

3(x 2 1 ) 5(x 1 ) 2 的一个较大的根 ?求 CD 的长．

x2 x

思路点拨 解方程求出 tan∠ ADC 的值，解 Rt△ABC 求出 AC 值，为解 Rt△ ADC 创建条件．

【例 4】 如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形 ABCD ，AB=3 米，BC=0 ．5 米 ，车厢底部距离地面 1．2米，卸货时，车厢倾斜的角度 θ =60°．问此时车厢的最高点 A 距离地面多少米 ?(精准到 1 米 ) 思路点拨 作协助线将问题转变为解直角三角形，如何作协助线结构基本图形，睁开空间想象，就能获得不一样的解题寻路

【例 5】 如图，甲楼楼高 16 米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至正午 12 时太阳光芒与水平

面的夹角为 30°，此时，求：

(1) 假如两楼相距 20 米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高 ?

(2) 假如甲楼的影子恰巧不落在乙楼上，那么两楼的距离应该是多少米 ?

思路点拨 (1) 设甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处，则图中 CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高； (2)设点 A 的影子落在地面上某一点 C，求 BC 即可．

注：在解决一个数学识题后， 不可以只知足求出问题的答案， 同时还应付解题过程进行多方面剖析和观察，思虑一下有没有多种解题门路，每种门路各有什么长处与缺点，哪一条门路更合理、更简捷，从中又能

给我们带来如何的启示等． 若能养成这类优秀的思虑问题的习惯，则可逐渐培育和提升我们剖析探究能力．

学历训练

1．如图，在△ ABC 中，∠ A=30 °， tanB= 1 ， BC= 10 ，则 AB 的长为 ．

3

2．如图，在矩形 ABCD 中． E、 F、 G、 H 分别为 AB 、BC 、 CD、 DA 的中点，若 tan∠AEH

= 4 ，四边形 EFGH 的周长为 40cm，则矩形 ABCD 的面积为 ．

3

3．如图，旗杆 AB ，在 C 处测得旗杆顶 A 的仰角为 30°，向旗杆前北进 10m，达到 D，在 D 处测得 A

的仰角为 45°，则旗杆的高为 ．

4．上午 9 时，一条船从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度向正东方向航行， 9时30分抵达 B处，从

A 、B 两处罚别测得小岛 M 在北偏东 45°和北偏东 15°方向，那么 B 处船与小岛 M 的距离为 ( )

A ．20 海里 B． 20 海里 C． 15 3 海里 D．20 3

5．已知 a、 b、 c 分别为△ ABC 中∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边，若对于 x 的方程 (b c)x 2 2ax c b 0

有两个相等的实根，且 sinB ·cosA —cosB· sinA ＝ 0，则△ ABC 的形状为 ( )

A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C．等边三角形D．等腰直角三角形

6．如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝ 135°，∠ B= ∠ D=90 °， BC= 2 3 ，AD=2 ，则四边形 ABCD 的面

积是( )

A．4 2 B．4 3 C． 4 D．6

7．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90 °， CD⊥ AB 于 D ， CD=1 ，已知 AD 、 BD 的长是对于 x 的方程

x2 px q 0 的两根，且 tanA — tanB=2，求 p 、 q 的值．

8．如图，某电信部门计划修筑一条连接 B、 C 两地的电缆，丈量人员在山脚

角分别为 30°、 45°，在 B 地测得 C 地的仰角为 60°．已知 C 地比 A 地高

多少米 ?(精准到 0.1 米 )

A 点测得 B、 C 两地的仰

200 米，则电缆 BC 起码长

9．如图，在等腰

Rt△ ABC

中，∠

C=90 °，∠

CBD ＝ 30，则

AD

=

． DC

10．如图，正方形

ABCD

中， N

是

DC

的中点．

M 是

AD

上异于

D 的点，且∠

NMB=

∠ MBC ，则

tan

∠ABM ＝ ．

11．在△ ABC 中，AB= 6 2 ，BC=2 ，△ ABC 的面积为 l ，若∠ B 是锐角，则∠ C 的度数是 ．

12 ．已知等腰三角形的三边长为 a、 b、c，且 a c ，若对于 x 的一元二次方程 x 2 2bx c 0 的两根之

差为 2 ，则等腰三角形的一个底角是 ( )

A． 15°B． 30°C．45°D ． 60°

13 ．如图，△ ABC 为等腰直角三角形，若 AD= 1 AC ，CE= 1 BC，则∠ 1 和∠ 2 的大小关系是 ( )

3 3

A．∠ 1>∠2 B．∠ 1<∠2 C．∠ 1＝∠ 2 D．没法确立

14 ．如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 上一点， AE ⊥ AF ，点 E 在 CB 的延伸线上， EF 交 AB 于点 G．

(1)求证： DF×FC ＝BG× EC；

(2)当 tan∠ DAF= 1 时，△ AEF 的面积为 10，问当 tan∠DAF= 2 时，△ AEF 的面积是多少 ?

3 3

15．在一个三角形中，有一边边长为 16，这条边上的中线和高线长度分别为 10 和 9，求三角形中此边

所对的角的正切值．

16．台风是一种自然灾祸，它以台风中心为圆心在四周数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的损坏

力．据气象观察，距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心，此中心最狂风力为 12 级，

每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以 15 千米／时的速度沿北偏东 30°

方神往 C 处挪动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超出四级，则称为受台风影响．

(1) 该城市能否会遇到此次台风的影响 ?请说明原因．

(2) 若会遇到台风影响，那么台风影响该城市的连续时间有多长 ?

(3) 该城市遇到台风影响的最狂风力为几级?

17．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物 ABCD ，且建筑物四周没有宽阔平坦地带．该建筑物顶端宽度 AD 和高度 DC 都可直接测得，从 A、 D、 C 三点可看到塔顶端 H．可供使用的丈量工拥有

皮尺、测角器．

(1) 请你依据现有条件， 充分利用矩形建筑物，

设计一个丈量塔顶端到地面高度

HG

的方案． 详细要求如 下：

①丈量数据尽可能少；

②在所给图形上，画出你设计的丈量平面图，并将应测数据标志在图形上 (假如测 A 、 D 间距离，用

表示；假如测 D 、 C 间距离，用 n 表示；假如测角，用 α、 β 、 γ等表示．测角器高度不计 )．

m

(2) 依据你丈量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG( 用字母表示 )．

参照答案