经典学而思全等三角形全套

一、选择题1．（铜仁）如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（）A．5B．4C．3D．22．（凉山州）如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（西宁）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（S．S．S．）B．（S．A．S．）C．（A．S．A．）D．（A．A．S．）4．（江西）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．∠BCA=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠B=∠D=90°D．CB=CD5．（沈阳）如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对6．（成都）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B=∠E，BC=EF B．BC=EF，AC=DFC．∠A=∠D，∠B=∠E D．∠A=∠D，BC=EF7．（十堰）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．（临沂）如图：在平行四边形ABCD中，AB≠BC，AE、CF分别为∠BAD、∠BCD的平分线，连接BD，分别交AE、CF于点G、H，则图中的全等三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对9．（乌鲁木齐）如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：（1）AB=DE；（2）BC=EF；（3）AC=DF；（4）∠A=∠D；（5）∠B=∠E；（6）∠C=∠F．以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC与△DEF全等的是（）A．（1）（5）（2）B．（1）（2）（3）C．（4）（6）（1）D．（2）（3）（4）10．（四川）下列说法中，正确的是（）A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B．两锐角对应相等的两个直角三角形全等C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等D．面积相等的两个三角形全等11．（温州）如图，AC、BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．（贵港）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，若CD⊥AB，DE⊥BC垂足分别是D、E．则图中全等的三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对13．（遵义）如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC=（）A．60°B．50°C．45°D．30°14．（厦门）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF15．（双鸭山）如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，其中正确结论的个数是（）①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．A．1个B．2个C．3个D．4个16．（鄂州）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A．B．4C．D．517．（乌兰察布）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为（）A．45°B．60°C．55°D．75°18．（滨州）如图，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB＜AC，则BE与CD之间的大小关系是（）A．BE=CD B．BE＞CDC．BE＜CD D．大小关系不确定19．（临沂）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB；那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边20．（随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．不能确定21．（龙岩）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）A．4B．3C．2D．22．（聊城）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE=AF．如果∠AED=62°，那么∠DBF=（）A．62°B．38°C．28°D．26°23．（丽水）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（）A．B．C．D．724．（綦江县）如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④25．（重庆）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S △APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是（）A．①③④B．①②⑤C．③④⑤D．①③⑤26．（黄冈）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（）A．BE=AF B．∠DAF=∠BECC．∠AFB+∠BEC=90°D．AG⊥BE27．（安顺）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，有如下四个结论：①AC=BD；②AC⊥BD；③等腰梯形ABCD是中心对称图形；④△AOB≌△DOC．则正确的结论是（）A．①④B．②③C．①②③D．①②③④28．（包头）如图，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD，AC于点F，G．则旋转后的图中，全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对29．（眉山）如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与△ADB重合B．△ACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与△DAC重合C．沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合D．沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合30．（临安市）如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠BCD=45°，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（）A．1B．2C．3D．不能确定二、填空题1．（中山）如图，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=_______°．2．（遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC 全等的三角形，这样的三角形一共能作出_______个．3．（中山）如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有_______对．4．（十堰）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC-BD，则∠B：∠C的值是_______．5．（天津）如图，OA=OB，OC=OD，∠O=60°，∠C=25°，则∠BED等于_______°．6．（荆州）如图，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE=_______°．7．（河南）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为_______．8．（安徽）如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是_______．9．（安顺）已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．E、F分别是边AD、CD上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，则EF的长为_______cm．10．（宿迁）如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是_______．三、解答题1．（扬州）（1）计算：；（2）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．2．（南京）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD．3．（保山）如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O．（1）图中有哪些三角形是全等的？（2）选出其中一对全等三角形进行证明．4．（宁德）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：_______，并给予证明．5．（柳州）如图，在8×8的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=_______°，BC=_______．（2）请你在图中找出一点D，再连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．6．（吉林）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CE⊥BE，CE与AB相交于点F，AD⊥CF于点D，且AD平分∠FAC，请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对加以证明．7．（达州）如图所示，将一长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D 落在点E处，折痕为MN，图中有全等三角形吗？若有，请找出并证明．8．（长春）如图，△ABC中，AB=AC，延长BC至D，使CD=BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边做▱CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G，连接BG，DE．（1）∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由；（2）求证：△BCG≌△DCE．9．（丽水）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF．判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．10．（吉林）如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，AD=AE，AB平分∠DAE交DE 于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．11．（宜昌）如图，在△ABC与△ABD中，BC=BD．设点E是BC的中点，点F 是BD的中点．（1）请你在图中作出点E和点F；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）（2）连接AE，AF．若∠ABC=∠ABD，请你证明△ABE≌△ABF．12．（衢州）如图，AB∥CD．（1）用直尺和圆规作∠C的平分线CP，CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）中作出的线段CE上取一点F，连接AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）．13．（盐城）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC=DF，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？证明你的结论．14．（河池）如图所示，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，FC⊥BD，垂足分别为E，F．（1）写出图中所有的全等三角形；（2）选择（1）中的任意一对全等三角形进行证明．15．（大连）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是BE、CD的交点．请写出图中两组全等的三角形，并选出其中一组加以证明．（要求：写出证明过程中的重要依据）16．（常州）已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．17．（河南）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC中内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连结BQ、CP则BQ=CP．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．之后，他将点P移到等腰三角形ABC外，原题中其它条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．18．（宁波）如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF 相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．19．（金华）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD=BE．（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．你添加的条件是_______．（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形_______．（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）20．（顺义区）已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．求证：AD=AE．21．（绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C 点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）22．（南充）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．请你判断AD是△ABC 的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．23．（内江）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．24．（漳州）如图，AD∥BC，∠A=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AD于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，求证：AB=FC．25．（梧州）如图，AB是∠DAC的平分线，且AD=AC．求证：BD=BC．26．（乐山）如图，AC∥DE，BC∥EF，AC=DE．求证：AF=BD．27．（深圳）如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）若AD=1，BD=2，求CD的长．28．（内江）如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．29．（淮安）已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE，求证：AE=BD．30．（德州）如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE 交于点O．（1）求证：AB=DC；（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．31．（楚雄州）如图，点A，E，B，D在同一直线上，AE=DB，AC=DF，AC∥DF．请探索BC与EF有怎样的位置关系？并说明理由．32．（黄石）如图，C、F在BE上，∠A=∠D，AC∥DF，BF=EC．求证：AB=DE．33．（赤峰）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC，CF．求证：CA是∠DCF的平分线．34．（北京）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．求证：AB=FC．35．（重庆）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．36．（云南）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，若点M为线段AD 上任意一点（M与A、D不重合）．问：当点M在什么位置时，MB=MC，请说明理由．37．（泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，B，C，E在同一条直线上，连接DC．（1）请找出图2中与△ABE全等的三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE．38．（安徽）已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画出图表示．39．（张家界）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点（不与A重合），在E移动过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．40．（南昌）如图，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，AE=CE，AB与CF有什么位置关系？证明你的结论．41．（黄冈）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF，连接BE，AF．求证：BE=AF．42．（北京）已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．43．（岳阳）如图△ADF和△BCE中，∠A=∠B，点D、E、F、C在同-直线上，有如下三个关系式：①AD=BC；②DE=CF；③BE∥AF．（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③）（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．44．（陕西）如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．（1）图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；（2）求证：∠MAE=∠NCF．45．（日照）如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连接AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．46．（内江）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：（1）AB=AC；（2）AD=AE；（3）∠1=∠2；（4）BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题．（要求写出已知，求证及证明过程）47．（海南）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；（2）求证：AE=FC+EF．48．（防城港）如图，在△ABC和△ABD中，现给出如下三个论断：①AD=BC；②∠C=∠D；③∠1=∠2．请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题．（1）写出所有的真命题（写成“_______⇒_______”形式，用序号表示）：（2）请选择一个真命题加以证明．你选择的真命题是_______⇒_______．49．（长春）如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB 与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F．求证：PM=QM．50．（安徽）如图，已知长方形ABCD，过点C引∠A的平分线AM的垂线，垂足为M，AM交BC于E，连接MB，MD．（1）求证：BE=DC；（2）求证：∠MBE=∠MDC．51．（武汉）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知∠ADC=∠BCD，AD=BC，求证：AO=BO．52．（广安）某学校花台上有一块形如图所示的三角形ABC地砖，现已破损．管理员要对此地砖测量后再去市场加工一块形状和大小与此完全相同的地砖来换，今只有尺子和量角器，请你帮他设计一个测量方案，使其加工的地砖能符合要求，并说明理由．53．（武汉）你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA′、BB′有何数量关系，为什么？54．（韶关）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．55．（娄底）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．56．（宜宾）已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．57．（中原区）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．当∠A为多少时，点D恰为AB的中点？写出一个你认为适当的角度，并利用此角的大小证明D为AB的中点．58．（河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（2）求证：△AB′O≌△CDO．59．（南充）已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．60．（莱芜）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．61．（常德）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．62．（江西）如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA 上的点，（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．63．（上海模拟）如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．（1）求证：EF=AB；（2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．64．（自贡）已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．65．（大田县）如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）若AD=5，BD=12，求DE的长．66．（内江）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论．67．（宿迁）已知如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：∠ADF=∠CBE．68．（潍坊）如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=2，BE∥AC，DE交AC 的延长线于F点，交BE于E点．（1）求证：EF=DF；（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求DE的长．69．（昆明）己知：如图，点P为平行四边形ABCD中CD边的延长线上一点，连接BP，交AD，于点E，探究：当PD与CD有什么数量关系时，△ABE≌△DPE．画出图形并证明△ABE≌△DPE．70．（梅州）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．（1）请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）：①分别以A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，弧在AC两侧的交点分别为P，Q．②连接PQ，PQ分别与AB，AC，CD交于点E，O，F；（2）求证：AE=CF．71．（德阳）如图，已知平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，延长DE，AB相交于点F．求证：CD=BF．72．（厦门）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且∠DAF=∠BCE．（1）求证：△DAF≌△BCE；（2）若∠ABC=60°，∠ECB=20°，∠ABC的平分线BN交AF与M，交AD于N，求∠AMN的度数．73．（莆田）已知：如图在平行四边形ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F．（1）观察图形并找出一对全等三角形：△_______≌△_______，请加以证明；（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？74．（衢州）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．75．（黔东南州）如图，在平行四边形ABCD中，过A、C分别作对角线的垂线，垂足分别为E、F．（1）图中有哪几对三角形全等请指出来；（2）求证：AE=CF．76．（长春）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．（1）求证：△ABC≌△EAD；（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数．77．（泸州）如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．线段DF与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．即DF=_______．（写出一条线段即可）78．（嘉兴）如图，矩形ABCD中，M是CD的中点．求证：（1）△ADM≌△BCM；（2）∠MAB=∠MBA．79．（潼南县）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长．80．（陕西）如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC，分别以AB，BC 为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN=EC．81．（青海）如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，O A1交AB于点E，OC1交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△BOF；（2）如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？82．（随州）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．83．（长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．84．（崇左）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A 到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：（1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由．（2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由．85．（资阳）如图，已知四边形ABCD、AEFG均为正方形，∠BAG=α（0°＜α＜180°）．（1）求证：BE=DG，且BE⊥DG；（2）设正方形ABCD、AEFG的边长分别是3和2，线段BD、DE、EG、GB 所围成封闭图形的面积为S．当α变化时，指出S的最大值及相应的α值．（直接写出结果，不必说明理由）86．（湘潭）如图，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG，DE．（1）观察图形，猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若延长BG交DE于点H，求证：BH⊥DE．87．（南充）如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．求证：AF=BF+EF．88．（佛山）如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．若CE=10cm，求DF的长．89．（肇庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．（1）求证：AE=BF；（2）若BC=cm，求正方形DEFG的边长．90．（丽水）如图，正方形ABCD中，E与F分别是AD，BC上一点．在①AE=CF，②BE∥DF，③∠1=∠2中，请选择其中一个条件，证明BE=DF．（1）你选择的条件是_______（只需填写序号）．（2）证明．91．（肇庆）如图，已知点E为正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，延长DG交AB于点F．求证：BF=CE．92．（茂名）如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，延长BC 到点F使CF=AE．（1）若把△ADE绕点D旋转一定的角度时，能否与△CDF重合？请说明理由．（2）现把△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ABH，AH交ED于点G．求证：AH⊥ED，并求AG的长．93．（淮安）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于E．（1）求证：∠DEF=∠CBE；（2）请找出图中与EB相等的线段（不另添加辅助线和字母），并说明理由．94（长春）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=60°，AD=CD，E、F分别在AD、CD上，DE=CF，AF、BE交于点P．请你量一量∠BPF的度数，并证明你的结论．95．（梅州）用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转．（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H 时，如图甲，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论并证明你的结论；（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．96．（临沂）如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．97．（锦州）如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD．（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由．98．（岳阳）如图，已知正方形ABCD，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与A重合，两边分别与AB、AD重合．将直角绕点A按逆时针方向旋转，当直角的一边与BC相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点时，作∠EAF的平分线交CD于G，连接EG．求证：（1）BE=DF；（2）BE+DG=EG．99．（宜昌）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E为AD中点．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）若BE平分∠ABC，且AD=10，求AB的长．100．（深圳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上一点，∠BAE=∠MCE，∠MBE=45°．（1）求证：BE=ME；（2）若AB=7，求MC的长．101．（湘潭）如图，梯形ABCD，AB∥DC，AD=DC=CB，AD、BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F．（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）；（2）从你写出的4组相等的线段中选一组加以证明．102．（北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F分别在AB、DC上，且BE=2EA，CF=2FD．求证：∠BEC=∠CFB．103．（重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E 是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．（1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB；（2）求证：∠MPB=90°-∠FCM．104．（盐城）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．（1）求∠AED的度数；（2）求证：AB=BC；（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30°，求的值．105．（泰安）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD．（1）求证：BE=AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．106．（北京）问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图；观察图形，AB与AC的数量关系为_______；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为_______；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_______；（2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．107．（乐山）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，G是边AB上的一点，过点G作GE∥DC交BC边于点E，F是EC的中点，连接GF并延长交DC的延长线于点H．求证：BG=CH．108．（桂林）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．（1）图中共有_______对全等三角形；（2）写出你认为全等的一对三角形，并证明．109．（湛江）如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O．请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明．。

第二节 全等三角形的应用1．实际问题运用全等三角形的知识来解决生活中的实际问题． 2．二次全等有的问题通过一次全等不能解决，需要二次全等才能解决． 3．全等三角形基本模型 (1)平移型此类题中条件一般不会直接给“将一个三角形平移得到另一个三角形”作为条件，主要是通过平移型来找到需证的两个全等三角形． (2)对称型此类题中主要存在隐含的公共边或公共角作为证明全等三角形的一组条件，经常会出现复杂的证明题中． (3)旋转型此类题中一般条件会直接给出三角形的旋转从而应用全等性质或者根据旋转型来寻找需证的全等三角形，对于比较难的题会考查旋转型全等的思路作为解题突破口，1.实际问题解题规律： 解决问题数学问题生活问题结合数学知识抽象成−−−−→−−−→− 2.证明线段相等的方法(1)等量代换；(2)等边加减公共边（等边）；(3)面积法：若两个三角形面积相等，底等则高等（高等则底等）； (4)证明两条线段所在的两个三角形全等． 3.证明角度相等的方法 (1)对顶角相等； (2)平行线性质； (3)外角定理；(4)同角（等角）的余角（补角）相等； (5)等角加减公共角；(6)证明两个角所在的两个三角形全等． 4.二次全等证明思路(1)由已知条件出发确定哪两个三角形易证明全等；(2)从结论出发找到需要证明哪两个三角形全等和已有的证明二次全等的条件； (3)结合一次全等能得到的结论和题中未用条件来找到所需的对应边或对应角相等． 5.常见辅助线添加例1．如图2-2-1所不，已知,,,BC AD BD AD BC AC =⊥⊥,,AB DF AB CE ⊥⊥垂足分别为,,F E试证明：.DF CE =122--检测1.如图2-2-2所示，在四边形ABCD 中，,,,,BD CF BD AE DF BE CD AB ⊥⊥==对角线AC ，BD 相交于点O.求证：.OF OE =例2．如图2-2-3所示，点D C B A ,,,在同一直线上，,CD AB =作,,AD BF AD CE ⊥⊥且.DF AE =(1)证明：EF 平分线段BC ；(2)若△BFD 沿AD 方向平移得到图2-2-4时，其他条件不变，(1）中的结论是否仍成立？请说明理由．222-- 322-- 422--检测2．如图2-2-5所示，D C B A ,,,在同一直线上，,//,AF DE CD AB =且.AF DE =求证：.DEB AFC ∆≅∆如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，如图2-2-6所示，B 点与C 点重合时；如图2-2-7所示，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说明理由．522-- 622-- 722--例3．（浙江拱墅区一模）如图2-2-8所示，锐角△ABC 中，O BAC ,60ο=∠是BC 边上的一点，连接AO ，以AO 为边向两侧作等边△AOD 和等边△AOE，分别与边AB ，AC 交于点F ，G ．求证：.AG AF =822--检测3． 复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图2-2-9所示，已知在△ABC 中，P ,AC AB = 是△ABC 内任意一点，将AP 绕点A 顺时针旋转至AQ ．使,BAC QAP ∠=∠连接,,CP BQ 则,CP BQ =小琳是个爱动脑筋的同学，他通过对图2-2-9的分析，证明了,ACP ABQ ∆≅∆从而证明CP BQ =之后，他将点P 移到等腰三角形ABC 之外，原题中其他条件不变，发现,CP BQ =仍然成立，请你就图2 -2 - 10给出证明．922-- 1022--例4．如图2 -2- 11所示，F E DC BC AD AB ,,,==分别是DC ，BC 的中点，求证：.AF AE =1122--检测4． 如图2 -2- 12所示，AC 与BD 相交于点,,,DC AB DB AC O ==求证：.C B ∠=∠1222--第二节 全等三角形的应用(建议用时:30分钟)实战演练1．要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图 2 -2—1所示的卡钳，点0为卡钳两柄交点，且有,OD OC OB OA ===如果圆形工件恰好通过卡钳AB ，则此工件的外径必是CD 之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件( )SSS A . SAS B . ASA C . AAS D .2．如图2-2-2所示，P 是正△ABC 内的一点，且BP 是ABC ∠的角平分线，若将△PBC 绕点B 旋转到,PBA ∆则PBP ∠ 的度数是( )o A 45. ο60.B ο90.C ο120.D122-- 222-- 322--3．（广东深圳二模）两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”，如图2-2-3，四边形ABCD 是一个筝形，其中,,CB AB CD AD ==在探究筝形的性质时，得到如下结论：≅∆ABD ①;;BD AC CBD ⊥∆②③四边形ABCD的面积.21BD AC ⋅=其中正确的结论有( ) A ．0个 B.1个 C ．2个 D ．3个4．（山东武城一模）如图2-2-4所示，已知BE AF AF AC AB ,,==与CF 交于点D ．连接AD ．则对于下列结论：;ACF ABE ∆≅∆①;CDE BDF ∆≅∆②③D 在∠BAC 的平分线上，其中正确的是( )①.A ②.B ①和②.C ①②③.D422-- 522-- 622--5．（江苏锡山区期末）如图2-2-5所示，,401,,90οο=∠==∠=∠DC BC D B 则=∠26．如图2-2-6所示，,100,ο=∠=∠=C E AC AE ,35,ο=∠=D BC ED .10ο=∠CAD 则=∠BAE7．（江苏宜兴市期末）如图2-2-7所示，锐角△ABC 的高AD ．BE 相交于点F ，若,AC BF =,2,7==CD BC 则AF 的长为8．（广东越秀区期末）如图2-2-8所示，若,20,,ο=∠==B CD BD AC AB ,120ο=∠BDC 则A ∠等于 度．722-- 822-- 922--9．（甘肃永登县期末）如图2-2-9所示，有一湖的湖岸在A ，B 之间呈一段圆弧状，A ，B 间的距离不能直接测得，你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A ，B 间的距离吗？10.（山东黄岛区期末）如图2-2 - 10所示，,//DF AC 点B 为线段AC 上一点，连接BF 交DC 于点H ，过点A 作BF AE //分别交DF DC ,于点G ，E 两点，.CH DG =求证：.CAG DFH ∆≅∆1022--11．如图2 -2 - 11所示，已知,,,BF CE DF AE DC AB ===试说明：.DE AF =1122--12.（广东香洲区期末改编）如图2-2 -12所示，点D 是△ABC 的边BC 的中点，,AC DE ⊥,AB DF ⊥垂足分别为点,,F E 且.AE AF =求证：.C B ∠=∠1222--13.（重庆模拟）如图2-2 - 13所示，四边形ABCD 中，,,CD AD CB AB ==对角线BD AC ,相交于点,,,CB OF AB OE O ⊥⊥垂足分别是点E ．F ．求证：.OF OE =1322--14.如图2-2 -14所示，,BD BC =点E 为BC 中点，点F 为BD 中点，连接=AE AF AE ,,.AF 求证：.D C ∠=∠1422--15.如图2-2 - 15所示，点E 是等边△ABC 内一点，且ABC EB EA ∆=,外一点D 满足,AC BD =且BE 平分,DBC ∠ 求BDE ∠的度数．1522--拓展创新16．如图2 -2 - 16所示，在直角三角形ABC 中，,90ο=∠BAC 分别以AB 和AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，探究△ABC 和△AEG 的面积之间的关系，并说明理由．1622--拓展1．如图2 -2 - 17所示，如果将16题中的三角形ABC 改为任意三角形，试判断△ABC 和 △AEG 面积之间的关系，并说明理由．1722--拓展2．园林小路，曲径通幽，生活中经常会在公园里见到环形小路，如图2 -2 - 18所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成．已知中间的所有正方形面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形面积之和是6平方米，这条小路一共占地 平方米，1822--极限挑战17．如图2 -2 -19所示，.8,6,90,===∠∆BC AC ACB ABC ο中点P 从A 点出发沿A-C-B 路径向终点运动，终点为B 点；点Q 从B 点出发沿B-C-A 路径向终点运动，终点为A 点．点P 和Q 分别以每秒1个单位和每秒3个单位的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作i PE ⊥于i QF E ⊥,于F ．问：点P 运动多少时间时，△PEC 与△QFC 全等？请说明理由．1922--答案。

39初二秋季·第4讲·尖子班·学生版等等…腰漫画释义满分晋级阶梯4全等三角形的 经典模型（二）三角形11级特殊三角形之直角三角形 三角形10级 勾股定理与逆定理 三角形9级全等三角形的经典模型（二）40 初二秋季·第4讲·尖子班·学生版OFEC B A A F COBEDHABCDO EOGFE CBA“手拉手”数学模型：⑴ ⑵ ⑶【引例】 如图，等边三角形ABE 与等边三角形AFC 共点于A ，连接BF 、CE ，求证：BF =CE 并求出 EOB 的度数. 知识互联网思路导航例题精讲题型一：“手拉手”模型41初二秋季·第4讲·尖子班·学生版【解析】 ∵△ABE 、△AFC 是等边三角形∴AE =AB ，AC =AF ，60∠=∠=︒EAB FAC ∴∠+∠=∠+∠EAB BAC FAC BAC 即∠=∠EAC BAF ∴AEC ABF △≌△∴BF =EC ∠=∠AEC ABF 又∵AGE BGO ∠=∠ ∴60∠=∠=︒BOE EAB ∴60∠=︒EOB【例1】 如图，正方形BAFE 与正方形ACGD 共点于A ，连接BD 、CF ，求证：BD =CF 并求出∠DOH 的度数.典题精练OHGDFECBA42 初二秋季·第4讲·尖子班·学生版NMCBABNC【例2】 如图，已知点C 为线段AB 上一点，ACM △、BCN △是等边三角形．⑴ 求证：AN BM =.⑵ 将ACM △绕点C 按逆时针方向旋转180°，使点A 落在CB 上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形；⑶ 在⑵得到的图形中，结论“AN BM =”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑷ 在⑵所得的图形中，设MA 的延长线交BN 于D ，试判断ABD △的形状，并证明你的结论．【例3】 在ABC △中，90∠=BAC °，⊥AD BC 于D ，BF 平分∠ABC 交AD 于E ，交AC 于F .求证：AE=AF .54321A BCDE F【例4】 如图，已知ABC △中，90ACB ∠=°，CD AB ⊥于D ，ABC ∠的角平分线BE 交CD 于G ，交AC 于E ，GF AB ∥交AC 于F ． 典题精练题型二：双垂+角平分线模型43初二秋季·第4讲·尖子班·学生版NMDCBA求证：AF CG =．【例5】 已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交线段CB DC 、于点M N 、.求证BM DN MN +=.典题精练题型三：半角模型54321G FEDC BA44 初二秋季·第4讲·尖子班·学生版【例6】 如图，在四边形ABCD 中，180∠+∠=︒=B D AB AD ，，E 、F 分别是线段BC 、CD 上的点，且BE +FD =EF . 求证：12∠=∠EAF BAD .ABCDEF【例7】 在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为三角形ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC . 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系．AM N BCDCBN M A图1 图2⑴如图1，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； ⑵如图2，点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想⑴问的结论还成立吗？写 出你的猜想并加以证明.45初二秋季·第4讲·尖子班·学生版PNMH GFEDCBAFE D CBA题型一 手拉手模型 巩固练习【练习1】 如图，正五边形ABDEF 与正五边形ACMHG 共点于A ，连接BG 、CF ，则线段BG 、CF 具有什么样的数量关系并求出∠GNC 的度数．题型二 双垂+角平分线模型 巩固练习【练习2】 已知AD 平分∠BAC ，⊥DE AB ，垂足为E ，⊥DF AC , 垂足为F ，且DB =DC ，则EB 与FC 的关系（ ）A. 相等B. EB <FCC. EB >FCD.以上都不对【练习3】 已知等腰直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AE 平分∠CAB 交CD 于E ，在DB 上取点F ，使DF =DE .求证：CF 平分∠DCB ．题型三 半角模型 巩固练习 复习巩固F EDCBAFEDC BA46 初二秋季·第4讲·尖子班·学生版【练习4】 如图，在四边形ABCD 中，180∠+∠=︒B ADC ， AB AD =，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且12EAF BAD =∠∠，求证：EF BE FD =-【练习5】 在正方形ABCD 中，3BE =，5EF =，4DF =，求BAE DCF ∠+∠为多少度.FEDCBA训练1. C 为线段AE 上一动点（点C 不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和思维拓展训练(选讲)47初二秋季·第4讲·尖子班·学生版正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ以下九个结论：①AD =BE ②PQ //AE ③AP =BQ ④DE =DP ⑤60∠=︒AOB ⑥PCQ △为等边三角形 ⑦OC 平分AOE ∠⑧OA OB OC =+⑨OE OC OD =+ 恒成立的有 (把你认为正确的序号都填上)训练2. 正方形ABCD 中，45∠=︒EAF ，连接对角线BD 交AE 于M ，交AF 于N ，求证：以DN 、BM 、MN 为三边的三角形为直角三角形.NMAB C D EF训练3. 条件：正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，45MAN ∠=︒．结论：⑴ MN DN BM =-；⑵ AH AB =.O Q P ED C BA48 初二秋季·第4讲·尖子班·学生版B C D A EE A D C B A B C D EDEC B A A BMCHND训练4. 如图，等腰三角形ABC 与等腰三角形DEC 共点于C ，且BCA ECD ∠=∠．连接BE 、AD ．若 BC AC =，EC DC =．求证：BE AD =．若将等腰DEC △绕点C 旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗？为什么？⑴ ⑵ ⑶ ⑷49 初二秋季·第4讲·尖子班·学生版第十五种品格：创新学会变通，变则通一天早上，一位贫困的牧师，为了转移哭闹不止的儿子的注意力，将一幅色彩缤纷的世界地图，撕成许多细小的碎片，丢在地上，许诺说：“小约翰，你如果能拼起这些碎片，我就给你二角五分钱。

八上全等模型汇编(学而思)八上全等模型汇编（学而思）一、什么是全等模型？全等模型是数学中一种非常重要的几何模型，通过证明两个图形之间的一系列对应关系相等，从而得到这两个图形全等的方法。

全等模型能够帮助我们研究图形的相等性质，并在解决各种几何问题中起到关键作用。

全等模型主要包括以下几种：1. SSS（边边边）全等模型SSS 全等模型是指当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。

以图形表示，即当三角形 ABC 的边长与三角形 DEF的边长分别相等时，我们可以得出三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

注意：三角形 ABC 全等于三角形 DEF，并且其中的对应边对应角都相等。

2. SAS（边角边）全等模型SAS 全等模型是指当两个三角形的两条边及其夹角分别相等时，这两个三角形全等。

以图形表示，即当三角形 ABC 的边长 AB、边长 AC 和夹角 A 相等于三角形 DEF 的边长 DE、边长 DF 和夹角 D 时，我们可以得出三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

注意：三角形 ABC 全等于三角形 DEF，并且其中的对应边对应角都相等。

3. ASA（角边角）全等模型ASA 全等模型是指当两个三角形的两个角和夹边分别相等时，这两个三角形全等。

以图形表示，即当三角形 ABC 的角 A、角 B 和夹边 AB 相等于三角形 DEF 的角 D、角 E 和夹边 DE 时，我们可以得出三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

注意：三角形 ABC 全等于三角形 DEF，并且其中的对应边对应角都相等。

4. HL（斜边和一条直角边）全等模型HL 全等模型是指当两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等时，这两个直角三角形全等。

以图形表示，即当直角三角形 ABC 的斜边 AC 和直角边 AB 相等于直角三角形 DEF 的斜边 DF 和直角边 DE 时，我们可以得出直角三角形 ABC 全等于直角三角形 DEF。

注意：直角三角形 ABC 全等于直角三角形 DEF，并且其中的对应边对应角都相等。

全等三角形经典习题汇集 第一讲全等三角形的性质及判定【例 1 】 如图，AC // DE , BC // EF , AC = DE .求证： AF =BD .【例2】 已知：如图， B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上， AB=DC , BE =CF , . B=.C .求证:OA =0D .【补充】已知：如图， AD =BC , AC =BD ，求证：.C =/D .【例3】 如图，AB , CD 相交于点0 , OA =OB , E 、F 为CD 上两点，AE // BF , CE =DF .求证:AC // BD .【补充】如图所示: AB // CD , AB =CD .求证： AD // BC .【补充】 如图, 证： 在梯形 FC =AD .ABCD 中，AD //BC , E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点D【补充】已知，如图， AB =AC , CE _AB , BF _ AC ，求证：BF =CE .【例4】 如图，£DCE =90 ,CD =CE , AD _ AC , BE _ AC ，垂足分别为 A,B ，试说明 AD A^ BE【例10】如图所示， 已知AB =DC , AE =DF , CE =BF ，证明：AF = DE .【补充】 E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点， GE _ EF , GE =EF •求证: BG CF =BC.【例11】E 、 F 分别是正方形 ABCD 的BC 、CD 边上的点，且 BE =CF .求证:C【补充】如图所示： AF =CD , BC =EF , AB=DE , . A =/D •求证：BC // EF .【例13】(1)如图，△ ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形 ABDE 和正方形ACFG 连结EG,试判 断厶ABC 与厶AEG 面积之间的关系，并说明理由 .(2 )园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是 a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？【例 14】如图，.ABC 中，AB =BC ，乙ABC =90 , D 是 AC 上一点，且 CD =CB =AB , DE _ AC 交 AB 于E 点•求证：AD =DE =EB .【例12】在凸五边形中,BC =DE ,M 为CD 中点.求证: DF CAM _CD .匚外ADE【例15】-ABC中，.B =90 , M为AB上一点，使得AM = BC ,N为BC上一点，使得CN = BM，连AN、CM交于P点.试求.APM的度数，并写出你的推理证明的过程.【例16】如图，I是厶ABC的内心，且CA・AI=BC .若/ BAC =80，求乙ABC和.AIB的大小.【例17】已知：BD、CE是ABC的高，点P在BD的延长线上，BP = AC，点Q在CE上，CQ = AB , 求证：⑴ AP 二AQ ;(2) AP _AQ .【例18】⑴ 如左下图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且AC =CE , F为AE的中点.求证：BF _ FD .⑵ 如右下图，在厶ABC中，BE、CF分别为边AC、AB的高，D为BC的中点，DM _ EF于M .求证：FM 二EM .118.补充：如图，已知/ABD MACD =60，且.ADB =90 BDC .求证：.ABC 是2等腰三角形.【例19】如图，JABC为边长是1的等边三角形，.：BDC为顶角（MBDC）是120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB于M , AC 于N，连接MN，形成一个.：AMN •求.：AMN的周长.【习题1 】已知：如图，AB II DE , AC // DF , BE =：CF . 求证：AB=DE .ACA D【习题2】已知：△ DEF^A MNP，且EF= NP,/ F=Z P,Z D= 48° / E= 52° MN = 12cm，求：/ P 的度数及DE 的长.【习题3】如图，矩形ABCD中，E是AD上一点, 且CE =EF，求AE的长.【习题4】在四边形ABCD中，AD // BC , . A的平分线AE交DC于E .求证：当BE是.B的角平分线时，有AD +BC =AB .CE _EF交AB于F点，若DE =2，矩形周长为16 , 月测备选【备选1】如图所示：AB =AC , AD = AE, CD、BE相交于点O .求证:OA 平分.DAE .DCA【备选2】如图所示，在△ ABC中，AD _ BC于点D , . B = 2. C .求证：AB - BD =CD •【备选3】如图，△ ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE丄DF,交AB于点E,连结EG EF(1) 求证：BG= CF.(2) 请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由第二讲全等三角形与中点问题版块一倍长中线A【例1】在厶ABC中，AB =5, AC =9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？/ \B D C1【补充】已知：JABC中，AD是中线.求证：AD ：：：?(AB - AC).【例2】已知：如图，梯形ABCD中，AD // BC，点E是CD的中点, 于点F .求证：厶BCE也厶FDE .BE的延长线与AD的延长线相交AA D F【例6】 如图所示，在 ABC 和 A B C 中，AD 、AD 分别是BC 、B C 上的中线，且 AB=AB ，,【例3】 如图，在ABC 中，D 是BC 边的中点，F ,■BDE CDF .E 分别是AD 及其延长线上的点， CF // BE .求证:【例4】 如图，UABC 中，AB<AC ，AD 是中线.求证： £DAC</DAB .【例5】 如图，已知在「ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长 BE 交 AC 于 F , AF=EF ，求证：AC =BE .AC =AC , AD =AD ABC 也 A BC .C'【例7】 如图，在 ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF II AD 交CA 的延长线于点 F ,交EF 于点G ，若BG =CF ，求证： AD 为MBC 的角平分线.【例8】 已知AD 为 ABC 的中线，.ADB ， /ADC 的平分线分别交 AB 于E 、交AC 于F .求证: BE CF ■ EF .【例9】 在BC 中，/A =90，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为 AB 、AC 上的点，且ED _ FD .以 线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝 角三角形？【例10】已知△ ABC,/ B =Z C, D , E 分别是 AB 及AC 延长线上的一点，且 BD =CE,连接DE 交底BC 于G , 求证GD =GE.E DCCA【例11】如图所示，在.：ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果BM 2 CN^ DM 2 DN2，求证AD2=丄AB2 AC2.（勾股定理的内容，选做）4【例10】在Rt ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足/DFE =90 .若AD =3 ,BE =4，则线段DE的长度为 ____________.【习题1】 如图，在等腰 “BC 中，AB =AC , D 是BC 的中点，过A 作AE _ DE , AF _ DF ,且AE =AF . 求证：.EDB=. FDC .【习题3】 如右下图，在 ,ABC 中，若.B =2. C ，AD_BC ， E 为BC 边的中点.求证： AB=2DE .【备选1】如图，已知 AB =DC, AD =BC , O 是BD 中点，过O 点的直线分别交 DA 、BC 的延长线于E , F . 求证：/E=Z F【备选2】如图，「ABC 中，AB =AC ，乙BAC =90 , D 是BC 中点, 与 AC交于 F .求证：BE =AF , AE =CF.【习题2】如图，已知在ABC 中，AD 是BC 边上的中线, E 是AD 上一点，且BE 二AC ，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么?F第三讲 全等三角形与角平分线问题【例1】 在「ABC 中，D 为BC 边上的点，已知.BAD 二/CAD , BD =CD ，求证： AB = AC .【例2】 已知「ABC 中，AB =AC , BE 、CD 分别是.ABC 及.ACB 平分线•求证： CD =BE .【例3】 如图，在 ABC 中，./B=60 , AD 、CE 分别平分/BAC 、./BCA ,且AD 与CE 的交点为F .求 证：FE 二FD .【例4】 如图，已知 ABC 的周长是21 , OB , OC 分别平分.ABC 和.ACB , 0D _ BC 于D ，且0D = 3 , 求.ABC 的面积.【补充】如图所示： AB =AC , AD =AE , CD 、BE 相交于点O .求证：OA 平分DAE.DA B【例8】 如图所示，已知,ABC 中，AD 平分.BAC , E 、F 分别在BD 、AD 上. DE =CD , EF = AC .求 证：EF // AB【例10】如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分三BAD ，过C 作CE _ AB 于E ，并且AE =》（AB - AD ），则ABC ADC 等于多少？【例5】 已知「ABC 中，.A =60； , BD 、CE 分别平分CD 、BC 的数量关系，并加以证明..ABC 和.ACB , BD 、CE 交于点O ,试判断BE 、【例6】 如图，已知 E 是AC 上的一点，又.1 = . 2 , .3=/4 .求证：ED =EB •【例7】如图所示, OP 是乙AOC 和乙BOD 的平分线, OA =OC , OB =OD .求证: AB = CD .B【补充】长方形ABCD中，AB=4, BC= 7,/ BAD的角平分线交BC于点E, EF丄ED交AB于F，则EF = .【补充】在ABC中，AB AC , AD 是^BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证：AB - AC • PB - PC .【例11】如图，在AABC中，N B=：2.Z：C，乙BAC的平分线AD交BC与D .求证：AB - BD =AC .【例12】如图，ABC中，AB=AC , . A =108 , BD平分.ABC交AC于D点.求证：B^ AC CD .【巩固】已知等腰「ABC , • A =100 , ■ ABC的平分线交AC于D，贝U BD A^BC .A14\ D/【例13】如图所示，在,ABC中，AD平分.BAC , AD二AB , CM _ AD于M，求证AB AC=2AM .【例14】如图，.'ABC中，AB=AC , BD、CE分别为两底角的外角平分线，AD _ BD于D , AE _ CE 于E •求证：AD二AE .【例15】如图，Z A E D =180 , BE平分ZABC , CE平分ZBCD，点E在AD 上.①探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系.②探讨线段BE与CE之间的位置关系.D【习题2】如图，在 JABC 中，AB • BD =AC , /BAC 的平分线 AD 交BC 与D .求证：£B =2./C .4】如图所示，AD 平行于 BC /DAE 二 WEAB ，•匕ABE 二匕EBC , AD =4, BC=2，那么 AB =nA' E ：【习题3】AD 是. ABC 的角平分线, BE _ AD 交AD 的延长线于 E , EF // AC 交AB 于F .求证：AF 二FB .【习题 C【习题5 V ABC 中，D 为BC 中点，DE _ BC 交.BAC 的平分线于点 E , EF _ AB 于F EG _ AC 于G .求 证：BF=CG .【备选2】如图，已知在 厶ABC 中，.ABC =3 C , . 1=2 , BE _ AE .求证： AC-AB=2BE .月测备选【备选1】在AABC 中，AD 平分.BAC ,AB BD =AC •求.B: .C 的值.GC【备选3】如图所示，在四边形ABCD中，AD // BC , . A的平分线AE交DC于E，求证：当BE是.B 的平分线时，有AD +BC =AB •第四讲全等三角形与旋转问题【例1】已知：如图，点C为线段AB上一点，.'ACM、CBN是等边三角形. (1)求证：AN 二BM •(2)求证：CD=CE(3) 求证：CF平分/MCNCN(4)求证：DE// AB【例3】 如图，等边三角形 「ABC 与等边 DEC 共顶点于C 点.求证：AE=BD .【例2】 如图，四边形 ABCD 、DEFG 都是正方形，连接 AE 、CG .求证： AE =CG.【例4】 如图，D 是等边「ABC 内的一点，且 BD =AD , 否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由.BP=AB , ■ DBP =/DBC ，问.BPD 的度数是EC【补充】如图，正方形 OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为 E 、F ，求证：AE • CF 二AB .【例5】 如图，等腰直角三角形 ABC 中，/ B =90 , AB 二a , O 为AC 中点, 为定值. EO _OF .求证：BE BF【例6】（2004河北）如图，已知点 E 是正方形 ABCD 的边CD 上一点，点EA_AF .求证：DE =BF .F 是CB 的延长线上一点，且AC2【补充】如图所示，在四边形 ABCD 中，ADC =/ABC =90 , AD =CD , DP _ AB 于P ,若四边形 ABCD 的面积是16,求DP 的长.【例7】E 、F 分别是正方形 ABCD 的边BC 、CD 上的点，且/ EAF =45 , AH _ EF , H 为垂足，求 证：AH 二AB .交BC 边于点E .⑴求证：AF =DF +BE .⑵设DF =x( 0 < x w 1) , ：ADF 与 ABE 的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时 x 的值及S •若不存在，请说明理由.【补充】(1)如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD , Z B = Z D = 90 , E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且1Z EAF 二丄 Z BAD .求证：EF =BE FD ;【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分/BAFF(2)如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD , Z B+Z D = 180 , E 、F 分别是边 BC 、CD 上的点，且Z EAF=1 Z BAD,(1)中的结论是否仍然成立？不用证明.2【习题2】(湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意 一点，过点D【习题1】如图，已知JABC 和 ADE 都是等边三角形, 相等的理由.D 在一条直线上, 试说明CE 与AC CD家庭作业』tr\rlrtririD作DF丄DE交BC的延长线于点F .求证：DE =DF .2【习题3】 在梯形ABCD 中，AB // CD , . A =90 , AB =2 , BC =3 , CD =1 , E 是AD 中点，试判断EC与EB 的位置关系，并写出推理过程.【习题4】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，.：ACM 、厶CBN 是等边三角形.CG 、CH 分别是.：ACN 、■：MCB 的高•求证： CG =CH .MQ _MP 交AC 于点Q ，试说明「MPQ 的形状和面积将如何变化.月测备选【备选1】在等腰直角「ABC 中,.ACB =90「, AC 二 BC , M 是 AB 的中点，点 P 从B 出发向C 运动,C【补充】在 ABC 中，AB =AC , BC=BD , AD = ED 二 EB .求 .24【备选2】 如图，正方形 ABCD 中，.FAD 二/FAE .求证：BE • DF =AE .【备选3】等边 ABD 和等边-CBD 的边长均为1, E 是BE _ AD 上异于A D 的任意一点, 点，满足AE+CF =1，当E 、F 移动时，试判断 iBEF 的形状.F 是CD 上一第五讲轴对称和等腰三角形【例1】在ABC 中,AB = AC , BC = BD = ED =EA •求乙A .AFDC【例2】ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若.BAC • . DAE =150，求.BAC .【例3】如图，点O是等边AO =AD内一点，.AOB =110；, /BOC - ：•.将△ BOC绕点C按顺时针方向旋转••• 190。

第一节 全等三角形的性质与判定1. 基本概念(1)全等图形：能够重合的两个图形叫全等图形． 注：平移、对称、旋转前后的图形全等．(2)全等三角形：能够重合的两个三角形叫做全等三角形．(3)对应顶点、对应边、对应角：两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 表示符号“全等”可用符号“≌”来表示，如图2-1-1所示，中△ABC 和ABC ∆全等，记做.ABC ABC ∆≅∆112--注：书写全等三角形时要求对应顶点必须写在对应位置． 3. 寻找全等三角形的对应角、对应边的一般规律(1)把其中一个图形通过平移、翻折或旋转，能与另一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角．(2) 一般情况有公共边时，则公共边为对应边；有公共角时，则公共角为对应角（对顶角为对应角）．最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角． 4、 全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长相等，面积相等．(2)全等三角形的对应边上中线，对应边上高线，对应角的角平分线相等．（此结论在证明中不能直接使用） 5、 全等三角形的判定(1)一般三角形全等的判定方法①三条边分别对应相等的两个三角形全等（简记为“边边边”或“SSS”）．②两边及这两边的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）． ③两角及这两角的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）． ④两角及其中一角对边对应相等的两个三角形全等（简记为“角角边”或“AAS”）．注：①两个三角形的“三个角对应相等”不能判定这两个三角形全等．②两个三角形的“两边及其中一边的对角对应相等”（一般称为“边边角”或“SSA”）不能判定这两个三角形全等．(2)直角三角形全等的判定方法①特殊方法：斜边及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为“斜边、直角边”或“HL”）．②一般方法：SAS ，ASA, AAS.注：①使用HI 。

第一节 全等三角形的性质和判定一、课标导航二、核心纲要1.基本概念(1)全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形．(2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(3)对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．如下图所示：A 与B A ,/与C B ,/与/C 是对应顶点；AB 与AC B A ,//与BC C A ,//与//C B 是对应边；A ∠与B A ∠∠,/与C B ∠∠,/与/C ∠是对应角．2．表示符号“≌”；如右图所示，.ABC ABC ∆≅∆注：书写全等三角形时要求对应顶点写在对应位置上．3．要想正确地表示两个三角形全等，找对应边和对应角是关键，常用的方法有(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边是对应边．(4)有公共角的，公共角是对应角．(5)有对顶角的，对顶角是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小；角 是对应边（或对应角）.4．全等量角形的性质(1)全等三角形对应边相等．(2)全等三角形对应角相等．(3)全等三角形的周长、面积相等．(4)全等三角形对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等．（此结论在证明中不能直接用）5．全等三角形的判定(1) -般三角形全等判定方法①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；．③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）．(2)直角三角形全等判定方法①特殊方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）；②一般方法：SAS ，ASA ，AAS.注：切记“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；判定两个三角形全等必不可少的条件至少有一条边对应相等．6．判定三角形全等的基本思路（“题目中找，图形中看”）7．全等三角形的图形有以下几种典型形式(1)平移全等型(2)对称全等型(3)旋转全等型本节重点讲解：一个概念，一个思路，三类图形，四个性质，五个判定，三、全能突破基 础 演 练1．如图12-1-1所示，将△AOB 绕点0按逆时针方向旋转 45后得到,//OB A ∆若,15=∠AOB 则AOB ∠的度数是( )． o A 20. 30.B 35.C 40.D2．如图12 -1-2所示，给出下列四组条件：;,,DF AC EF BC DE AB ===①;,,EF BC E B ED AB =∠=∠= ② ;,,F C EF BCE B ∠=∠=∠=∠③.,,E B DF AC DE AB ∠=∠==④其中，能使△A BCcn△DEF 的条件共有( )．A.1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组3．如图12 -1-3所示，BD AC CB AD CD AB 、,,==相交于点0，图中有( )对全等三角形．2.A3.B4.C5.D4．如图12 -1-4所示，△ABC 绕点A 旋转o180得到△AED ，(1)则DE 与BC 的位置关系是 ，数量关系是 (2)若,24=∆ABC s 则=∆ADE s(3)若ADE BC AC ∆==,4,2的周长为偶数，则AE 的长为5．如图12 -1-5所示，OP OD OB OC OA CD AB ,,,===是BOD ∠的平分线，求证：.COP AOP ∠=∠6．如图12 -1-6所示，点A 、C 、B 、D 在同一条直线上，.,,//FD AB F A DF BE =∠=∠求证：.FC AE =7．如图12 -1-7所示，,//ED AB 点F 、点C 在AD 上，,,//DE AB EF BC =求证：.DC AF =8．如图12 -1-8所示，.,,,AC ED BA AE AB BC AB AE ==⊥⊥求证：.AC ED ⊥9．如图12 -1-9所示，给出五个等量关系：,BC AD =① ,BD AC =② ,DE CE =③ ,C D ∠=∠④=∠DAB ⑤.CBA ∠请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．已知：求证：证明：能 力 提 升10．如图12 -1-10所示，将Rt△ABC(其中90,34=∠=∠C B )绕A 点按顺时针方向旋转到11C AB ∆的位置，使得点1B A C 、、在同一条直线上，那么旋转角最小等于( ) 56.A o B 68. 124.C o D 180.11．如果△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为,23,3-x ,12-x 若这两个三角形全等，则x 等于( )． 37.A 3.B 373.或C 4.D12.如图12 -1-11所示，△ABC 是不等边三角形，DE=BC ，以D 、E 为两个顶点画位置不同的三角形，使所画的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可画出( )个．2.A 4.B 6.C 8.D13.如图12 -1-12所示，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折形成的，若,138=∠BAC 则∠EFC 的度数为14.如图12 -1-13所示，点A 在DE 上，点F 在AB 上，且,321,3,∠=∠=∠==AB CE AC 则DE 的长为15.如图12 -1-14所示，已知AC 与BD 相交于点,,,,1,DEC ADC BE AD DC AE AB AE E ∠=∠==-=则CE 的长为16.如图12 -1-15所示，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且.,CD FD AC BF ==求证：;AC BF ⊥17.如图12 -1-16所示，已知,,,,AC AF AB AE AC AF AB AE ==⊥⊥求证：.)2(;)1(BF EC BF FC ⊥=18．在△ABC 中，,,90BC AC ACB ==∠直线L 经过顶点C ，过A 、B 两点分别作Z 的垂线AE 、BF ，垂足分别为E 、F ．(1)如图12-1-17(a)所示，当直线L 不与底边AB 相交时，求证：.BF AE EF +=(2)当直线L 绕点C 旋转到图12-1-17(b)的位置时，猜想EF 、AE 、BF 之间的关系，并证明．(3)当直线L 绕点C 旋转到图12-1-17(c)的位置时，猜想EF 、AE 、BF 之间的关系，直接写出结论．19．(1)如图12 -1-18所示，BD 、CE 是△ABC 的高，点P 在BD 的延长线上，,BP CA =点Q 在CE 上，QC,AB =探究PA 与AQ 之间的关系；(2)若把(1)中的△ABC 改为钝角三角形，A AB AC ∠>,是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论，中 考 链 接20.（2012．北京）如图12 -1-19所示，点E 、A 、C 在同一条直线上，.,,//CD AC CE AB CD AB ==求证：.ED BC =21．（2012．湖南衡阳）如图12 -1- 20所示，,//,EF BC DC AF =请只补充一个条件，使得△ABC ≌△DEF，并说明理由．22．（2011．四川内江）如图12 -1- 21所示，在Rt△ABC 中，AC BAC ,90=∠,2AB =点D 是AC 的中点，将一块锐角为o 45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连接BE 、EC.试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．巅 峰 突 破23.如图12 -1- 22所示，在△ABC 中，E 、D 分别是边AB 、AC 上的点，BD 、CE 交于点F ，AF 的延长线交BC 于点H ，若,,21AD AF =∠=∠则图中全等三角形共有( )对．4.A5.B6.C7.D24.若两个三角形的两边和其中一边上的高对应相等，则这两个三角形第三边所对的角的关系是25．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于点F ，且,AC BF =则∠ABC 的度数为。

作弊？三角形9级全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一）三角形7级 倍长中线与截长补短 满分晋级漫画释义3全等三角形的 经典模型（一）DCBA45°45°CBA等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545︒︒°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4.图1 图2图3 图4思路导航知识互联网题型一：等腰直角三角形模型ABCOMN AB COMN【例1】 已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点，⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明． 【解析】 ⑴OA =OB =OC⑵连接OA ,∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM∴△ANO ≌△CMO∴ON =OM∴∠=∠NOA MOC∴90∠+∠=∠+∠=︒NOA BON MOC BON ∴90∠=︒NOM∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形，证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ，∵在△ANO 和△CMO 中，AN CM BAO C AO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ， 又∵∠COM -∠AOM =90°，典题精练A BCOMNFE DCB AN M 12A BCDEF3∴△OMN 为等腰直角三角形．【例2】 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由．【解析】EMC △是等腰直角三角形．证明：连接AM ．由题意，得,90,90.DE AC DAE BAC DAB =∠+∠=∠=∴DAB △为等腰直角三角形. ∵DM MB =，∴,45MA MB DM MDA MAB ==∠=∠=． ∴105MDE MAC ∠=∠=， ∴EDM △≌CAM △．∴,EM MC DME AMC =∠=∠．又90EMC EMA AMC EMA DME ∠=∠+∠=∠+∠=． ∴CM EM ⊥，∴EMC △是等腰直角三角形．【例3】 已知：如图，ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=°，D 是AC 的中点，AF BD ⊥于E ，交BC 于F ，连接DF ． 求证：ADB CDF ∠=∠． 【解析】 证法一：如图，过点A 作AN BC ⊥于N ，交BD 于M ．∵AB AC =，90BAC ∠=°， ∴345DAM ∠=∠=°． ∵45C ∠=°，∴3C ∠=∠． ∵AF BD ⊥，∴190BAE ∠+∠=° ∵90BAC ∠=°，∴290BAE ∠+∠=°． ∴12∠=∠．在ABM △和CAF △中， 123AB AC C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABM CAF △≌△．∴AM CF =． 在ADM △和CDF △中，M EDCBA MEDCBAM12A BCDEF 3P C B A PCBAD AD CD DAM C AM CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADM CDF △≌△． ∴ADB CDF ∠=∠．证法二：如图，作CM AC ⊥交AF 的延长线于M ． ∵AF BD ⊥，∴3290∠+∠=°， ∵90BAC ∠=°， ∴1290∠+∠=°， ∴13∠=∠．在ACM △和BAD △中， 1390AC ABACM BAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩° ∴ACM BAD △≌△． ∴M ADB ∠=∠，AD CM = ∵AD DC =，∴CM CD =． 在CMF △和CDF △中， 45=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩CF CF MCF DCF CM CD ° ∴CMF CDF △≌△．∴M CDF ∠=∠ ∴ADB CDF ∠=∠．【例4】 如图，等腰直角ABC △中，90AC BC ACB =∠=，°，P 为ABC △内部一点，满足 PB PC AP AC ==，，求证：15BCP ∠=︒．【解析】 补全正方形ACBD ，连接DP ，易证ADP △是等边三角形，60DAP ∠=︒，45BAD ∠=︒， ∴15BAP ∠=︒，30PAC ∠=︒，∴75∠=︒ACP ，∴15BCP ∠=︒．【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。

买玻璃漫画释义满分晋级1全等三角形的认识三角形4级 全等三角形的认识三角形5级 全等中的 基本模型 三角形6级 特殊三角形之 等腰三角形暑期班 第一讲暑期班 第二讲暑期班 第四讲一、概念全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形． 对应顶点：完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点． 对应角：完全重合时，互相重合的角为对应角． 对应边：完全重合时，互相重合的边为对应边．如图，若ABC △与A B C '''△全等，记作“ABC A B C '''△≌△”，其中顶点A 、B 、C 分别与顶点A '、B '、C '对应．注意：寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规律是：⑴把其中一个图形通过平移、翻折或旋转，能与另一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，表示两个三角形全等时，要把对应字母写在对应位置上． ⑵有公共边时，则公共边为对应边；有公共角时，则公共角为对应角（对顶角为对应角）；最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角．模块一 全等三角形的概念和性质知识导航知识互联网CB A B'A'二、全等三角形的性质⑴全等三角形的对应边相等； ⑵全等三角形的对应角相等；⑶全等三角形的周长相等，面积相等．【例1】 ⑴ 如果ABC DEF △≌△，则AB 的对应边是_______，AC 的对应边是_______ ，C∠的对应角是_______ ，DEF ∠的对应角是__________．两个三角形的周长ABC C △______DEF C △，两个三角形的面积ABC S △_____DEF S △（填“>”、“=”、“<”）．⑵ 如图，若ABC AEF △≌△，AB AE =，B E ∠=∠，则对应结论①AC AF =；②FAB EAB ∠=∠；③EF BC =； ④EAB FAC ∠=∠中 正确结论共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个⑶如图所示，若△ABE ≌△ACF ，且AB =5，AE =3，则EC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．2.5【例2】 如图，已知ABC ADE △≌△，且10CAD ∠=︒，25B ∠=︒，120EAB ∠=︒，求DFB ∠的度数.模块二 全等三角形的判断夯实基础能力提升F E CBA F G EDCBAF E CBA全等三角形的判定方法：⑴如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS ．⑵如果两个三角形的两边及这两边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS ． ⑶如果两个三角形的两个角及这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA ．⑷如果两个三角形的两个角及其中的一个角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS ．⑸如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为HL ．两个三角形中对应相等的边或角 是否全等全等：√ 不全等：×公理或推论（简写）三条边 √ SSS 两边一角 两边夹角√ SAS 两边与其中一边对角 × 两角一边 两角和夹边 √ ASA 两角与其中一角对边√ AAS 三角×特殊：直角三角形中，除以上几种方法外还可选用斜边直角边“HL ”．1. 全等三角形的判定（一）——SSS尺规作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC B'C'BC ===，，． 并判断A B C '''△和ABC △C BA【引例】已知：如图，AB DE AC DF BE CF ===，，．求证：AC DF ∥．分析：要证AC DF ∥，需证ACB DFE ∠=∠，只要证__________≌___________．知识导航夯实基础知识导航证明：∵BE CF =（ ）∴BE EC CF EC +=+（ ） 即BC =_____． 在ABC △和DEF △中，()()()__________________AB BC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴__________≌___________（ ）∴ACB DFE ∠=∠（ ）∴AC DF ∥（ ）【解析】 分析：只要证ABC DEF △≌△．证明：∵BE CF =（已知）∴BE EC CF EC +=+（等量加等量和相等） 即BC EF =．在ABC △和DEF △中， AB DEBC EFAC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴ABC DEF △≌△（SSS ）．∴ACB DFE ∠=∠（全等三角形的对应角相等）．∴AC DF ∥（同位角相等，两直线平行）【例3】 已知：如图，A 、F 、C 、D 四点在同一直线上，AB =DE ，BF =EC ，AC =DF ．⑴求证：AB ∥DE ；⑵又知∠D =30°，∠DEC =15°，求∠CFB 的度数．2. 全等三角形的判定（二）——SAS尺规作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC A'A ==∠=∠，，． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．知识导航能力提升FDBA A D FC B EC BA【例4】 如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90º，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC ． ⑴求证：△ABE ≌△CBD ；⑵若∠CAE=30º，求∠BCD 的度数．3. 全等三角形的判定（三）——ASA &AAS尺规作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使B'C'BC B'B C'C =∠=∠∠=∠，，． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．知识导航能力提升ECDB AC BA思考：若将C'C ∠=∠改成A'A ∠=∠呢？画出的A'B'C'△和ABC △全等吗？【例5】 已知，如图，点D 在边BC 上，点E 在△ABC 外部，DE 交AC 于F ，若AD =AB ，∠1=∠2=∠3．求证：BC=DE ．4. 全等三角形的判定（四）——HL尺规作图：已知Rt ABC △，画一个Rt A B C '''△，使B'C'BC A'B'AB ==，．并判断A B C '''△和ABC △是否全等．C BA知识导航能力提升321F ED CB A【例6】 已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC =DC ，求证：BE =DF ．【例7】 如图所示为我国边境线上某界河，其中A 点在境外，我国地质勘探人员在不跨越国界的情况下要测量河两岸相对的两点A 、B 间的距离，请你给出解决方案并加以证明．能力提升能力提升模块三 全等三角形判定的应用F EDCBAA【例8】如图所示，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，⑴你能找出图中的全等三角形吗？如果再加上AB AC=呢？⑵在⑴的基础上，连接EF交AD于M，你能找出图中的全等三角形吗？⑶在⑵的基础上，当∠BAC=90︒时，你能找出图中的全等三角形吗？探索创新FED CBA训练1. 已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB DC ∥，AB DC =．⑴ 求证：AC 与BD 互相平分； ⑵ 若过O 点作直线l ，分别交AB DC 、于E F 、两点， 求证：OE OF =．训练2. 如右图所示，AB CD ∥，AC DB ∥，AB CD =，AD 与BC 交于O ，AE BC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，那么图中全等的三角形有哪几对？并简单说明理由．训练3. 请分别按给出的条件画ABC △（不写画法），并说明所作的三角形是否唯一；如果有不唯一的，想一想，为什么？⑴ 1202cm 4cm B AB AC ∠=︒==，，；⑵ 902cm 3cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑶ 302cm 3cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑷ 302cm 2cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑸ 302cm 1cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑹ 302cm 1.5cm B AB AC ∠=︒==，，；训练4. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？⑴ 请你画图举例说明两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不全等；思维拓展训练(选讲)AF E O D C Bl OF E DCB A⑵ 阅读与证明：对于两个三角形均为锐角三角形，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形它们全等. 可证明如下：已知：ABC △、111A B C △均为锐角三角形，11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠．求证：111ABC A B C △≌△．（先把文字语言转化成符号语言） 证明：分别过点B ，1B 作BD AC ⊥于D ，1111B D AC ⊥于1D ，则11190BDC B D C ∠=∠=︒，（如果需要添加辅助线，先说明辅助线做法）DCBAD 1C 1B 1A 1∵在BCD △和111B C D △中，11111190BDC B D C C C BC B C∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴111()BCD B C D AAS △≌△ ∴11BD B D =∵在ADB △和111A D B △中，111111190BD B D AB A B ADB A D B =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴ 111()ADB A D B HL △≌△，∴ 1A A ∠=∠， ∵在ABC △和111A B C △中，1111A A C C BC B C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ 111()ABC A B C AAS △≌△．对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等你们来试试吧！ ⑶归纳与叙述：由⑴、⑵可得到一个正确结论，请你写出这个结论．实战演练题型一 全等三角形的概念和性质 巩固练习【练习1】 ① 判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ． ② 两个三角形具备下列（ ）条件，则它们一定全等． A ．两边和其中一边的对角对应相等 B ．三个角对应相等C ．两角和一组对应边相等D ．两边及第三边上的高对应相等 ③ 下列命题错误的是（ ）A ．全等三角形对应边上的高相等B ．全等三角形对应边上的中线相等C ．全等三角形对应角的角平分线相等D ．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等【练习2】 如图，在ABC △中，D E 、分别是边AC BC 、上的点，若ADB EDB EDC △≌△≌△，则C ∠的度数为______________．题型二 全等三角形的判定 巩固练习【练习3】 已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =．求证：AC CD =．【练习4】 如图所示，已知AC BC ⊥，AD BD ⊥，AD BC =，CE AB ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，试证明CE DF =．FE DCBA ACEDBDC BA题型三 全等三角形判定的应用 巩固练习【练习5】 ⑴如图，AB CD =，AD 、BC 相交于点O ，要使ABO DCO △≌△，应添加的条件为 ．(添加一个条件即可)⑵在ABC △和A B C '''△中，AB A B ''=，B B '∠=∠，补充条件后仍不一 定能保证ABC A B C '''△≌△，则补充的这个条件是( )A ．BCBC ''= B ．A A '∠=∠ C ．AC A C ''=D ．C C '∠=∠O DCBA第十五种品格：创新想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉.严格地说，想象力是科学研究的实在因素.所以创新是时代的必须，也是所有人快速进步的必要手段.【创新的三个层次】一、处处是创造之处，人人是创造之人；二、敢想敢做，有付出定会有收获；三、坚持敢于创新的理念，持之以恒，追求奋斗，终会辉煌.钓鱼钓出食品冷冻法1940年，美国皮革商巴察在出售了自己的食品冷冻法专利后得到了3000万美元.这笔财富的获得完全得益于他的钓鱼爱好.巴察经常去纽芬兰海岸，在结了冰的海上凿洞钓鱼.从海水中钓起的鱼放在冰上立即被冻得硬梆梆的.当几天后食用这些冻鱼时，巴察发现只要鱼身上的冰不溶化，鱼味就不变.根据这一发现，巴察着手试验将肉和蔬菜冰冻起来.他高兴地发现，只要把肉和蔬菜冻得像那些鱼一样，就能保持新鲜.经过反复试验，他进一步发现：冰冻的速度和方法不同，会影响食品冰冻后的味道和保鲜程度.经过几个月废寝忘食的摸索，巴察为他发明的食物冰冻法申请了专利.由于这是一种具有极大潜力和应用范围的新技术，所以找上门来的人很多.巴察待价而沽，最终，通用食品公司以3000万美元的巨款把这项专利拿到了手.处处留心自己身边的机会，锲而不舍地加以探究，便会开发出新的财富.。

八上全等模型汇编(学而思)八上全等模型汇编(学而思)什么是全等模型？全等模型是数学中一种常见的模型，用于描述两个几何图形或物体完全重合的情况。

当两个图形具有相同的形状和大小时，我们可以说这两个图形是全等的。

在几何学中，全等模型被广泛应用于解决各种几何问题。

通过使用全等模型，我们可以确定两个图形的相等性，从而进一步推导出一些几何性质。

全等模型的条件两个图形全等的条件通常有以下三种：1. 边边边全等（SSS）：当两个三角形的三条边分别相等时，我们可以说这两个三角形是全等的。

2. 边角边全等（SAS）：当两个三角形的两条边和夹角分别相等时，我们可以说这两个三角形是全等的。

3. 角边角全等（ASA）：当两个三角形的两个角和一条边分别相等时，我们可以说这两个三角形是全等的。

全等模型的应用全等模型在解决几何问题中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 证明图形全等通过使用全等模型的条件，我们可以证明两个图形全等。

例如，已知两个三角形的三个角分别相等，我们就可以推断它们全等。

2. 推导几何性质通过已知图形全等的条件，我们可以推导出一些几何性质。

例如，如果两个三角形全等，则它们的对应边相等。

3. 解决几何问题通过应用全等模型，我们可以解决一些几何问题。

例如，已知一个三角形的三个角，我们可以通过与其他已知图形的全等关系，推导出它的边长。

全等模型是解决几何问题中常用的工具之一。

通过使用全等模型的条件，我们可以证明图形的全等关系，推导出几何性质，以及解决各种几何问题。

对于八上学而思的全等模型汇编，我们将学习全等模型的定义、条件和应用，通过实际例题的讲解来提高我们的全等模型运用能力。

通过深入学习全等模型，我们可以更好地理解几何图形的相等性，并在解决几何问题时更加得心应手。

第一讲全等三角形的性质及判定【例 1】如图，AC // DE , BC // EF , AC = DE .求证：AF = BD .【补充】如图所示：AB // CD , AB = CD .求证：AD / BC .【补充】如图，在梯形ABCD 中，AD 〃 BC , E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F .求 证：FC = AD .【例3】 如图，AB , CD 相交于点O , OA = OB , E 、F 为CD 上两点，AE / BF , CE = DF .求证: AC/ BD ．【例2】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB = DC , OA = OD . BE = CF , ZB = Z C . 求证：C【补充】已知：如图，AD = BC , AC = BD ，求证：Z C = Z D .【补充】已知，如图，AB = AC , CE1 AB , BF 1 AC ,求证：BF = CE .【例4】如图，Z DCE = 90。

，CD = CE, AD 1 AC, BE 1 AC ,垂足分别为A, B，试说明AD + AB = BE 【例10］如图所示，已知AB = DC , AE = DF , CE = BF，证明：AF = DE .【例11】E、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的点，且BE = CF .求证:【补充】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GE 1 EF , GE = EF .求证: BG + CF = BC .E【例12］在凸五边形中，/B = Z E , Z C = Z D , BC = DE , M为CD中点.求证：AM 1 CD .A【补充】如图所示：AF = CD , BC = EF , AB = DE, Z A = Z D .求证：BC // EF .【例13］（1）如图，△ ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结EG,试判断^ABC与^AEG面积之间的关系，并说明理由.（2）园林小路,曲径通幽,如图所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是。

1初二春季·第3讲·尖子班·教师版函数6级 一次函数的应用函数7级 一次函数与全等三角形综合函数8级反比例函数的基本性质春季班 第十一讲春季班 第二讲梦游记漫画释义满分晋级阶梯3一次函数与 全等三角形综合2初二春季·第3讲·尖子班·教师版题型切片（两个）对应题目题型目标一次函数与全等三角形的综合 例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3； 一次函数与面积综合例5，例6，练习4，练习5．本讲内容主要分为两个题型，题型一主要是一次函数与全等三角形几个经典模型的综合，在这类题目上，解题方法无外乎以下几种：⑴数形结合，利用三角形的三边关系求解；⑵由函数到图形得全等，边角关系求解；⑶由图形，或函数关系得到所探究题目的隐藏条件，再充分运用所学几何知识得解（一般这种探究题是比较活的，对运用考察较强）；⑷以结论证条件，以条件猜结论．题型二的面积问题重点应落在铅垂线法求解三角形面积，这种方法与平面直角坐标系有天然的联系，在一次函数部分考查方式较灵活，也较多，需熟练掌握．本讲的最后一道例题是2013年西城的期末考试题，考查了一次函数的图象和性质，与等腰三角形作法的结合，根据直线位置分类讨论求解图形面积，综合性较强，难度中上，不失为全面题型切片编写思路知识互联网3初二春季·第3讲·尖子班·教师版考查和总结一次函数部分的一道好题．几种全等模型的回顾：AB CE FAB CDEF AB CEABCDEFEDCBA图1 图2 图3 图4 图5图1、图2为“两垂直”全等模型，图1中将ABC △绕点C 逆时针旋转90°得到DEC △，此时可得结论：ACD BCE △△，均为等腰直角三角形；DE AB ⊥.图2中ABC DBE △≌△图3、图4为“三垂直”全等模型，其中ABC △为等腰直角三角形，AE EC BF CF ⊥⊥，，E C F ，，三点共线，则有ACE CBF △≌△，图3中EF AE BF =+，图4中EF AE BF =-图5中，AB AC =，延长AB 到F 使得BF EC =，则有结论ED DF =，若ED DF =，则有BF EC =【引例】 平面直角坐标系内有两点()40A ，和()04B ，，点P 在直线AB 上运动．⑴ 若P 点横坐标为2P x =-，求以直线OP 为图象的函数解析式（直接写出结论）；⑵ 若点P 在第四象限，作BM ⊥直线OP 于M ，AN ⊥直线OP 于N ，求证：MN BM AN =+； ⑶ 若点P 在第一象限，仍作直线OP 的垂线段BM 、AN ，试探究线段MN 、BM 、AN 所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明．（实验中学单元测试）例题精讲思路导航题型一：一次函数与全等三角形综合4初二春季·第3讲·尖子班·教师版【解析】 ⑴ 设直线AB 函数解析式为y kx b =+04144k b k b b =+=-⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩4y x =-+ 当x 为2-时，6y =，∴P 的坐标为()26-， ∵直线OP 过原点，∴解析式为3y x =-⑵ 如图1，由题意可证Rt Rt BMO ONA △≌△ ∴BM ON =，AN MO =，∴MN BM AN =+⑶ 如图2，证明Rt Rt BMO ONA △≌△ 可得结论MN BM AN =-M NPy x OBA图2xy OA BPM N N MP BAO y x图1 图2【例1】 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，，点B C ，在x 轴上，作BE AC ⊥，垂足为E （点E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴交于点D ，若BD AC =． ⑴ 求点B 的坐标；⑵ 设OC 长为m ，BOD △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．【解析】 ⑴ 如图，由BOD AOC △≌△可知4BO AO ==∴B 点坐标为()40-，⑵ 由⑴可知DO OC m ==，∴142S m =⨯⋅，2S m =，m 的取值范围是04m <<典题精练(0,4)Oy xE DC BA5初二春季·第3讲·尖子班·教师版【例2】 已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为()40A ，，()04B -，，P 为y 轴上B 点下方一点，()0PB m m =>，以AP 为边作等腰直角三角形APM ，其中PM PA =，点M 落在第四象限．⑴ 求直线AB 的解析式；⑵ 用m 的代数式表示点M 的坐标；⑶ 若直线MB 与x 轴交于点Q ，判断点Q 的坐标是否随m 的变化而变化，写出你的结论并说明理由．（西城期末） 【解析】 ⑴ 4y x =-⑵ 作MC y ⊥轴，交y 轴于C ，9090AP PM MPC APO OAP APO PMC PMC MPC APO =⎫⎪∠=︒-∠=∠⇒⎬⎪∠=︒-∠=∠⎭△≌△ 由此可知()48M m m +--， ⑶ 由⑵中的全等可知4MC m =+，4BC m =+，∴MC BC = 45CBM ∠=︒，可得QO OB =()4,0Q - ∴Q 点坐标不随m 的变化而变化.【点评】 此题最关键一步是如何利用线段长表示点坐标，学生极易在此犯错！要记住线段长为正，而点坐标要根据其所在象限判断正负.【例3】 如图1，直线1:33l y x =+与x 轴交于B 点，与直线2l 交于y 轴上一点A ，且2l 与x 轴的交点为()10C ，．⑴ 求证：ABC ACB ∠=∠⑵ 如图2，过x 轴上一点()30D -，，作DE AC ⊥于E ，DE 交y 轴于F 点，交AB 于G 点，求G 点的坐标； ⑶ 如图3，将ABC △沿x 轴向左平移，AC 边与y 轴交于点P （P 不同于A 和C 两点），过P 点作一直线与AB 的延长线交于Q 点，与x 轴交于点M ，且CP =BQ .在ABC △平移的过程中，线段OM 的长度是否发生变化？若不变，请求出它的长度．若变化，确定其变化范围．6初二春季·第3讲·尖子班·教师版图3图2图1M QPDG F El 2l 1ABCOxy ABCO xy y xOCBA【解析】 ⑴ 由题意得()10B -，，BO OC =，又∵AO BC ⊥ ∴AB AC ABC ACB =∠=∠，⑵ 由题意得ABO DFO △≌△，∴1OF BO ==,∴()01F ，∴DE 解析式为113y x =+由11333y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩ 解得3434x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴3344G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ⑶ 不变，1OM =如图过P 作PN AB ∥交BC 于N ，可知PN PC BQ ==， 从而PNM QBM △≌△， ∴BM NM =，又NO CO =∴112OM BC ==【例4】 如图，在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足()2240a b --．⑴求直线AB 的解析式；⑵若点M 为直线y =mx 上一点，且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形，求m 值； ⑶过A 点的直线y =kx -2k 交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为1-，过N 点的直线22k k y x =-交AP 于点M ，试证明PM PNAM -的值为定值． N Axy B COM PQABO M y A PMNyx O7初二春季·第3讲·尖子班·教师版【解析】 ⑴y =24x -+⑵易证阴影部分三角形全等，得到M （3，3） 故而m =1⑶过N 点做直线垂直于y 轴，交PM 于G 点，另直线NM 与坐标轴交点分别为O 、I （如图所示），连接IG 并做MF ⊥x 轴于F ，易知N 、G 两点横坐标分别为1-和1，将其分别代入MN 、MP 的解析式中，求得两点坐标为N （1-，k -）G （1，k -），易证△NHP ≌△GHP ， ∴NP =GP 易求I （1，0）， ∴IG ⊥x 轴易证△IGA ≌△FMA ， ∴MA =AG ∴2PM PN MGAM AM-==解决平面直角坐标系中的图形面积问题通常可采用的方法有： 1. 公式法：三角形、特殊四边形等面积公式；2. 割补法：通过“割补”转化为易求图形面积的和或差；3. 容斥法； 思路导航题型二：一次函数与面积综合h 2h 1P CB A Oxyy MO BA I H GA MN PyxO8初二春季·第3讲·尖子班·教师版4. 等积变换法：①平行线法：构造同底等高；②直角三角形：=ab ch ；5. 铅垂线法：如右图所示()1212ABC S AP h h =⋅+△，AP 称为铅垂高， 12h h +称为水平宽． 必要时需分类讨论．【例5】 已知：平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx b k =+≠与直线()0y mx m =≠交于点()24A -，．⑴求直线()0y mx m =≠的解析式；⑵若直线()0y kx b k =+≠与另一条直线2y x =交于点B ，且点B 的横坐标为4-，求ABO △的面积．（西城期末试题）【解析】 ⑴∵点(24)A -，在直线(0)y mx m ==/上，∴42m =-，2m =-∴2y x =-⑵ 解法一：作AM y ⊥轴于M ，BN y ⊥轴于N （如上图） ∵点B 在直线y =2x 上，且点B 的横坐标为4-． ∴点B 的坐标为B （4-，8-） ∵1()2ABNM S AM BN MN =+⋅梯形1(24)(48)362=⨯+⨯+= 1124422AOM S AM MO =⋅=⨯⨯=△ 11481622BON S BN NO =⋅=⨯⨯=△ ∴ABO AOM BON ABNM S S S S =--△△△梯形3641616=--=解法二：设直线(0)y kx b k =+=/与x 轴交于点C （如下图）． ∵点B 在直线y =2x 上，且点B 的横坐标为4-．∴点B 的坐标为（4-，8-）典题精练y =kx+by =2x y =mxyOABMN C AB Oxyy =mxy =2xy =kx+b9初二春季·第3讲·尖子班·教师版∵直线()0y kx b k =+≠经过点A （2-，4）和点B （4-，8-）， ∴4284k b k b =-+⎧⎨-=-+⎩，616k b =⎧⎨=⎩∴616y x =+令y =0．可得83x =-∴点C 的坐标为803C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴181848162323ABO AOC BOC S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△．【教师备选】如图所示，直线OP 经过点P （4，43），过x 轴上的点1、3、5、7、9、11······分别作x 轴的垂线，与直线OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为1S 、2S 、3S ······n S ，则n S 关于n 的函数关系式是________．【解析】()843n S n =-⨯．【例6】 已知：一次函数132y x =+的图象与正比例函数y =kx 的图象相交于点A （a ，1）． ⑴求a 的值及正比例函数y =kx 的解析式； ⑵点P 在坐标轴上（不与点O 重合），若P A =OA ，直接写出P 点的坐标；⑶直线x =m 与一次函数的图象交于点B ，与正比例函数图象交于点C ，若△ABC 的面积记为S ，求S 关于m 的函数关系式（写出自变量的取值范围）．（2013西城期末）【解析】 ⑴∵一次函数132y x =+的图象与正比例函数y =kx 的图象相交于点A （a ，1）， ∴1312a += ∴a =﹣4，即A （﹣4，1）． ∴﹣4k =1 解得14k =-．∴正比例函数的解析式为14y x =-；真题赏析1191357Pxy10初二春季·第3讲·尖子班·教师版⑵如图1，P 1（﹣8，0）或P 2（0，2）；⑶依题意，得点B 的坐标为（m ，132m +），点C 的坐标为（m ，14m -）．作AH ⊥BC 于点H ，H 的坐标为（m ，1）． 以下分两种情况： ①当m ＜﹣4时， 11342BC m m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭=334m --．AH =4m --．则S △ABC =12BC ∙AH ()133424m m ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭∴S=23368m m ++；②当m ＞4-时，11333244BC m m m ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭．AH =m +4． 则S △ABC =12BC∙AH =12（334m +）（4+m ） ∴S=23368m m ++；综上所述，()23S 3648m m m =++≠-．【教师备选】已知四条直线3y mx =-，1y =-，y =3，x =1所围成的四边形的面积为12，求m11初二春季·第3讲·尖子班·教师版的值．【解析】 ∵3y mx =-，1y =-，x =1交于ABCDEF∴A （6m ，3），B （2m ,-1），C （1，-1），D （1，3），E （6m ，3），F （2m，-1） ① ()2ABCD CD BC AD S +=2621112mm ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭= ∴m =－2② ()2CFED CD ED CF S +=6221112mm ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭= ∴m =1综上说述，2m =-或m=1．-3y =3x12初二春季·第3讲·尖子班·教师版训练1. 如图，AOB △为正三角形，点B 的坐标为()20，，过点()20C -，作直线l 交AO 于D ，交AB 于E ，且ADE △与DCO △的面积相等，求直线l 的解析式.【解析】 由ADE △与DCO △的面积相等可知，AOB BCE S S =△△.∵(20)C -，,设直线l 的解析式为y kx b =+，∴20k b -+=， ∴2b k =∴直线l 的解析式为：2y kx k =+又AB 的解析式为：323y x =-+，故点E 的坐标满足下式： 2433(2)3y kx kk y y x k =+⎧⎪⇒=⎨=--+⎪⎩， 故14313423223BCE AOB k S S k k =⨯⨯==⨯⨯⇒=+△△故直线l 的解析式为：3(2)y x =+. 训练2. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =-+经过点()2,0A ，交y 轴于点B .点D 为x 轴上一点，且1ADB S =△.⑴ 求m 的值；⑵ 求线段OD 的长；⑶ 当点E 在直线AB 上（点E 与点B 不重合），且BDO EDA ∠=∠，求点E 的坐标.（备用图）(海淀期末试题) 【解析】 ⑴ ∵直线y x m =-+经过点()2,0A ，思维拓展训练(选讲)y xl ED C O BA13初二春季·第3讲·尖子班·教师版∴02m =-+. ∴2m =.⑵ ∵直线2y x =-+交y 轴于点B ， ∴点B 的坐标为()0,2. ∴2OB =. ∵112ADB S AD OB =⋅=△， ∴1AD =.∵点A 的坐标为()2,0， ∴点D 的坐标为()1,0或()3,0. ∴1OD =或3OD =.⑶ ①当点D 的坐标为()1,0时，如图所示.取点()'0,2B -，连接'B D 并延长，交直线BA 于点E .∵'OB OB =，'AO BB ⊥于O ， ∴OD 为'BB 的垂直平分线. ∴'DB DB =. ∴12∠=∠. 又∵23∠=∠， ∴13∠=∠.设直线'B D 的解析式为()20y kx k =-≠. ∵直线'B D 经过点()1,0D ， ∴02k =-.14初二春季·第3讲·尖子班·教师版∴2k =.∴直线'B D 的解析式为22y x =-. 解方程组2,22,y x y x =-+⎧⎨=-⎩得 4,32.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点E 的坐标为42,33⎛⎫⎪⎝⎭.②当点D 的坐标为()3,0时，如图所示. 取点()'0,2B -，连接'B D ，交直线BA 于点E . 同①的方法，可得12∠=∠，直线'B D 的解析式 为223y x =-. 解方程组22,32,y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩得12,52.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴点E 的坐标为122,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上所述，点E 的坐标为42,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或122,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.训练3. 已知：直线1l ：1y kx k =+-与直线2l ：(1)y k x k =++（k 是正整数）及x 轴围成的三角形的面积为k S ．⑴ 求证：无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点； ⑵ 求1232008S S S S ++++的值．（西城期末试题）【解析】 ⑴ 联立12l l ，的解析式，求得交点坐标为()11--，，∴交点为定点.⑵ 设直线12l l ，分别与x 轴交于A ，B 两点，则1001k k A B k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，，，，∴()1111k k AB k k k k --=-=++ ∴ ()11121k S k k =+××15初二春季·第3讲·尖子班·教师版123200*********21223200820092009S S S S ⎛⎫++++=++⋅⋅⋅+=⎪⎝⎭×××训练4. 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为()10，，点B 在y 轴正半轴上，且AOB △是等腰直角三角形，点C 与点A 关于y 轴对称，过点C 的一条直线绕点C 旋转，交y 轴于点D ，交直线AB 于点()P x y ，，且点P 在第二象限内. ⑴ 求B 点坐标及直线AB 的解析式；⑵ 设BPD △的面积为S ，试用x 表示BPD △的面积S .（朝阳期末试题）【解析】 ⑴ ∵AOB △是等腰直角三角形且()10A ，，∴()01B ，∴过点()10A ，、()01B ，的直线的解析式为1y x =-+ ⑵ ∵点C 与点A 关于y 轴对称，∴()10C -， 又点P 在直线AB 上，则()1P x x -+， 设过P 、C 两点的直线的解析式为y kx b =+ ∵()10C -，在直线y kx b =+上， ∴0k b -+=. ∴k b =,y bx b =+ ∵点()1P x x -+，在直线y bx b =+上， ∴1bx b x +=-+,解得b =11x x -++. ∴点D 的坐标为101x x -+⎛⎫ ⎪+⎝⎭，∵点P 在第二象限内，∴0x <①当10x -<<时，如图.12P S BD x =⋅⋅=1(1)()2b x -⋅-11(1)()21x x x -+=-⋅-+12()21xx x -=⋅⋅-+21x x =+ ②当1x <-时，如图.12P S BD x =⋅⋅=1(1)()2b x -⋅-11(1)()21x x x -+=-⋅-+21x x =-+ 综上所述， 22(10),1(1).1x x x S x x x ⎧-<<⎪⎪+=⎨⎪-<-⎪+⎩16初二春季·第3讲·尖子班·教师版题型一 一次函数与全等三角形综合 巩固练习【练习1】如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，，点B C ，在x 轴上，C 点坐标为()0m ，.作BE AC ⊥，垂足为E （点 E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴 交于点D ，BD AC =．第一象限内有一点P ，坐标为()4m m +，，连接PA ，DC ，求证：PAC BDC ∠=∠.【解析】 如图，连接PC ，过A 作AH PC ⊥于H ，可知PH AH m ==45PAH APH ∠=∠=°由BOD AOC △≌△可知BDO ACO ∠=∠又∵AH OC ∥，∴ACO HAC ∠=∠，∴BDO HAC ∠=∠又由OD OC =可得45ODC ∠=°，∴ODC PAH ∠=∠ ∴BDC PAC ∠=∠【练习2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为()10-，、()40，，点D 在y轴上 AD BC ∥，点E 在CD 上，且满足AE 、BE 分别平分DAB ∠、CBA ∠． ⑴ 请你判断此时线段CE 与DE 是否相等，并证明你的结论；⑵ 已知60DAB ∠=°，直接写出线段BC 的长．-15142O ED CBA y x D'EDCB A542-11【解析】 ⑴ 相等，证明如下如上右图，在AB 上取点D '，使AD AD '=，连接D E '，复习巩固HP (m,m+4)AB C DExy O (0,4)P (m,m+4)(0,4)AO y xE DC B17初二春季·第3讲·尖子班·教师版可证ADE AD E '△≌△，∴DE D E '= 由AD BC ∥，AE 、BE 平分DAB ∠与ABC ∠ 可得90AEB ∠=° 从而可知D EB CEB '∠=∠由此，CEB D EB '△≌△，∴EC ED '= ∴DE EC =⑵ ∵60DAB ∠=°，∴30ADO ∠=°，∴22AD AO ==由⑵可知，2AD AD '==∴523BC BD '==-=．【练习3】如图，已知直线OA 的解析式为y=x ，直线AC 垂直x 轴于点C ，点C 的坐标为()20，，直线OA 关于直线AC 的对称直线为AB 交x 轴于点B ．⑴ 写出点A 及点B 的坐标；⑵ 如图，直线AD 交x 轴于点D ，且ADB △的面积为1，求点D 的坐标；⑶ 若点D 为⑵中所求，作OE AD ⊥于点E ，交AC 于点H ，作BF AD ⊥于点F ，求证：OE AF =，并直接写出点H 的坐标．【解析】 ⑴ ()22A ，,()40B ，⑵ ∵AC BD ⊥于点C ，2AC =，1ADB S =△，∴112122ADB S BD AC BD =⋅=⨯=△．∴1BD =∴413OD OB BD =-=-= ∴()30D ， ⑶ 由直线OA 的解析式为y x =，可知OC AC =．又90ACO ∠=°， ∴45OAC AOC ∠=∠=°．∵直线OA 关于直线AC 的对称直线为AB ， ∴45BAC OAC ∠=∠=°，OA BA =． ∴90OAB ∠=°． ∴90BAF OAE ∠=-∠°． 在AOE △中，90OEA ∠=°， ∴90AOE OAE ∠=-∠°． ∴BAF AOE ∠=∠在AOE △与BAF △中， 90AOE BAF OEA AFB OA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩° ∴AOE BAF △≌△ ∴OE AF =又由OCH ACD △≌△可求得()21H ，18初二春季·第3讲·尖子班·教师版题型二 一次函数与面积的综合 巩固练习【练习4】⑴如图，点A 、B 、C 在一次函数2y x m =-+的图象上，它们的横坐标依次为1-、1、2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图 中阴影部分的面积和是（ ）．A ．1B ．3C ．3(1)m -D ．3(2)2m -⑵ 如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ， CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，ABP △的面积 为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则BCD △的面 积是（ ）． A ．3 B ．4C ．5D ．6【解析】 ⑴ B ⑵ A ， 由图2可知23BC CD ==，.【练习5】直线23y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．若在x 轴上有一点Q ，并且满足:8:3BAQ AOB S S =△△，求Q 点坐标．【解析】 1393224AOB S =⨯⨯=△，∴98643BAQ S =⨯=△∵3BO =，∴4AQ =，又∵32A x =-∴35422Q x =-+=或311422Q x =--=-∴Q 坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1102⎛⎫- ⎪⎝⎭，图12O5 xAB CP D 图2O C BA21-1yx第十六种品格：感恩包拯辞官侍母包公即包拯（公元999-1062年），字希仁，庐州合肥（今安徽合肥市）人，父亲包仪，曾任朝散大夫，死后追赠刑部侍郎。

一次函数与全等一次函数与全等、、相似三角形一、 一次函数与全等三角形 二、 一次函数与相似三角形 三、 一次函数与特殊角 四、 一次函数与折叠一、 一次函数与全等三角形1. 【易】（理工附期中试题改编）如图，直线1y x =+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角ABC △，90BAC ∠=°，且点()1P a ，为坐标系中的一个动点 ⑴ 求ABC △的面积⑵ 求点C 的坐标以及点C 关于直线AB 的对称点C ′的坐标 ⑶ 证明不论a 取任何实数，BOP △的面积是一个常数【答案】⑴ 2ABC S =△⑵1C+，1C ′−，⑶ 12BOP S =△2. 【中】（北京海淀期中）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点．直线y kx b=+经过()02A ，、()40B ，两点．⑴ 求直线AB 的解析式；⑵ 点C 的坐标为(01)，，过点C 作CD AO ⊥交AB 于D ．x 轴上的点P 和A 、B 、C 、D 、O 中的两个点所构成的三角形与ACD ∆全等，这样的三角形有________个，请在图中画出其中两个三角形的示意图．【答案】⑴ 122y x =−+⑵ 有4+1+2+1=8个（POA △有2个，PCD △有2个，PCO △有2个，PBD △有1个，POD △有1个.图略（注：任意两个即可，答案不唯一））3. 【中】（2011年中考模拟试卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，10OA cm =，6OC cm =.P 是线段OA 上的动点，从点O 出发，以1/cm s 的速度沿OA 方向作匀速运动，点Q 在线段AB 上，已知A Q 、两点间的距离是O P 、两点间距离的a 倍；若用()a t ，表示经过时间()t s 时，OCP PAQ CBQ △△△、、中有两个三角形全等，请写出()a t ，的所有可能情况___________.【答案】()14，或655，或()010，4. 【中】直线24y x =−+分别与x 轴，y 轴交于点A 和B ,如果线段CD 两端点在坐标轴上滑动(点C 在y 轴上,点D 在x 轴上)，且CD AB =.⑴ 当COD △和AOB △全等时，求C D 、两点的坐标.⑵ 是否存在经过第一、二、三象限的直线CD ，使CD AB ⊥?如果存在,请求出直线CD的解析式；如果不存在请说明理由.【答案】⑴ 由题意，得()20A ，，()04B ，，即2AO =，4OB =．①当线段CD 在第一象限时，点()04C ，，()20D ，或()02C ，，()40D ，．②当线段CD 在第二象限时，点()04C ，，()20D −，或()02C ，，()40D −，． ③当线段CD 在第三象限时，点()04C −，，()20D −，或()02C −，，()40D −，． ④当线段CD 在第四象限时，点()04C −，，()20D ，或()02C −，，()40D ， ⑵ ()02C ，，()40D −，． 直线CD 的解析式为122y x =+．5. 【中】（2012年北京四中练习）已知：在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，、点B 和点C 在x 轴上（点B 在点C 的左边），点C 在原点的右边，作BE AC ⊥，垂足为E （点E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴交于点D ，若BD AC = ⑴ 求点B 的坐标⑵ 设OC 长为m ，BOD △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围【答案】⑴ 根据题意，分两种情况：①当B 在原点左边时，如下图，∵9012AOC BOD ACO ACO ∠=∠=°∠+∠=∠+∠，， ∴12∠=∠， ∵AC BD =，∴AOC BOD △≌△， ∴OA OB =， ∵()04A ，， ∴()40B −，；②当B 在原点右边时，同①可证4OA OB ==， ∴()40B ，∴()40B −，或()40，； ⑵ 当B 在原点左侧时， ∵AOC BOD △≌△， ∴OC DO m ==，()12042S OB OD m m =⋅=＜＜当B 在原点右侧时，同理可得24S m m =（，＞），∴204S m m m =≠（，＞，）；6. 【中】如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，，点B C ，在x 轴上，C 点坐标为()0m ，.作BE AC ⊥，垂足为E （点E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴交于点D ，BD AC =．第一象限内有一点P ，坐标为()4m m +，，连接PA ，DC ，求证：PAC BDC ∠=∠.【答案】如图，连接PC ，过A 作AH PC ⊥于H ，可知PH AH m ==45PAH APH ∠=∠=°由BOD AOC △≌△可知BDO ACO ∠=∠4)又∵AH OC ∥，∴ACO HAC ∠=∠，∴BDO HAC ∠=∠ 又由OD OC =可得45ODC ∠=°，∴ODC PAH ∠=∠ ∴BDC PAC ∠=∠7. 【中】（2010年北京崇文区期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 、D 的坐标分别为()10−，、()40，、(0，AD BC ∥，点E 在CD 上，且满足AE 、BE 分别平分DAB ∠、CBA ∠．⑴ 求直线BC 的解析式；⑵ 请你判断此时线段CE 与DE 是否相等，并证明你的结论； ⑶ 已知60DAB ∠=°，直接写出线段BC 的长．【答案】⑴)4y x =−=−；⑵ 相等，证明如下如图，在AB 上取点D ′，使AD AD ′=，连接D E ′，可证ADE AD E ′△≌△，∴DE D E ′=由AD BC ∥，AE 、BE 平分DAB ∠与ABC ∠可得90AEB ∠=°从而可知D EB CEB ′∠=∠由此，CEB D EB ′△≌△，∴EC ED ′=∴DE EC =⑶ ∵60DAB ∠=°，∴30ADO ∠=°，∴22AD AO == 由⑵可知，2AD AD ′== ∴523BC BD ′==−=．8. 【中】（手拉手模型）如图，直角坐标系中，点A 的坐标为()10，，以线段OA 为边在第四象限内作等边AOB △，点C 为x 正半轴上一动点(1)OC ＞，连结BC ，以线段BC 为边在第四象限内作等边CBD △，直线DA 交y 轴于点E . ⑴ OBC △与ABD △全等吗？判断并证明你的结论；⑵ 随着点C 位置的变化，点E 的位置是否会发生变化?若没有变化，求出点E 的坐标； 若有变化，请说明理由.【答案】⑴OBC △与ABD △全等∵AOB △、CBD △都是等边三角形 ∴60OBA CBD ∠=∠=°∴OBA ABC CBD ABC ∠+∠=∠+∠，即OBC ABD ∠=∠∵OB AB BC BD ==，∴OBC ABD △≌△ ⑵点E 位置不变 ∵OBC ABD △≌△∴60BAD BOC ∠=∠=°，180606060OAE ∠=°−°−°=°在Rt EOA △中，tan 60EO OA =⋅°=30AEO ∠=°，得2AE =∴OE ∴点E的坐标为(09. 【中】（三垂直模型）已知，在平面直角坐标系xOy 中，点()10C ，，点B C ，在x 轴上，点A 在y 轴上，作BE AC ⊥，垂足为E （点E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴交于点D ，若BD AC =，求则D 点坐标.【答案】(01)，10. 【中】（三垂直模型）在平面直角坐标系中，点，点，点在直线上运动；⑴ 若P 点横坐标为2P x =−，求以直线OP 为图象的函数解析式（直接写出结论）； ⑵ 若点在第四象限，作于点，于点，求证：；⑶ 若点在第一象限，仍作于点，于点，试探究线段所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明。

一次函数与全等一次函数与全等、、相似三角形一、 一次函数与全等三角形 二、 一次函数与相似三角形 三、 一次函数与特殊角 四、 一次函数与折叠三、 一次函数与特殊角1. 【易】（2011年苏州）如图，已知A 点坐标为()50，，直线0y x b b =+（＞）与y 轴交于点B ，连接AB ，75α∠=°，则b 的值为（）A.3 C.4 【答案】B解：由直线0y x b b =+（＞），可知145∠=°，∵75α∠=°，∴180457560ABO ∠=°°°=°﹣﹣，∴tan OB OA ABO =÷∠=．∴点B 的坐标为0 ，∴b2. 【易】已知：如图，平面直角坐标系中，，，，过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点.⑴ 求的度数及直线的解析式； ⑵ 若与的面积相等， ① 求直线的解析式；② 若轴上一点满足，请直接写出点的坐标.【答案】⑴ ，直线的解析式为：⑵ ① ∵∴，即 得到则直线的解析式为 ②3. 【中】在平面直角坐标系中，点()10A ，，()21B −，，()03C ，，求OCA OCB ∠+∠的度数【答案】45OCA OCB ∠+∠=°4. 【中】(2013年山东省济南市天桥一区中考一模试题)()10A ，()01B ，()10C −，C l C y D AB E OAB ∠AB OCD △BDE △CE y P 45APE ∠=°P 45OAB ∠=°AB 1y x =−+OCD BDE S S =△△OCD BDE ODEA ODEA S S S S +=+△△四边形四边形12ACE BOA S S ==△△1122E，CE 1133y x =+()00P，如图，已知一次函数y kx b =+的图象经过()21A −−，，()13B ，两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，⑴ 求该一次函数的解析式；⑵ 求tan OCD ∠的值； ⑶ 求证：135AOB ∠=°．【答案】⑴由123k bk b −=−+ =+ ，解得==3534b k ，所以3534+=x y ⑵504C − ，，503D，．在Rt OCD △中，35=OD ，45=OC ，∴OCD ∠tan 34==OC OD ．⑶取点A 关于原点的对称点()21E ，， 则问题转化为求证°=∠45BOE ．由勾股定理可得，5=OE ，5=BE ，10=OB ，∵222BE OE OB +=，∴EOB △是等腰直角三角形． ∴°=∠45BOE ． ∴135AOB ∠=°．5. 【中】（2012年海淀二模）如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于点()20A −，、()02B ，.⑴ 求一次函数的解析式;⑵ 若点C 在x轴上，且OC =，请直接写出ABC ∠的度数.【答案】解：⑴ 依题意设一次函数解析式为2y kx =+.∵点()20A −，在一次函数图象上， ∴022k =−+.∴1k =.∴一次函数的解析式为2y x =+. ⑵ ABC ∠的度数为15105°°或．6. 【难】如图l ，6y x =−+与坐标轴交于A B 、两点，点C 在x 轴负半轴上，OBC AOB S S =△△．⑴ 求直线BC 的解析式；⑵ 直线EF ：y kx k =−交AB 于E 点，与x 轴交于D 点，交BC 的延长线于点F ，且13OBC AOB S S =△△，求k 的值；(3) 如图2，()24M ，，点P 为x 轴上一动点，AH PM ⊥，垂足为H 点．取HG HA =，连CG ，当P 点运动时，CGM ∠大小是否变化，并给予证明．【答案】⑴设()()00C x x −>，，∵易得()06B ，，()60A ， ∴1166186322AOB OBC S S x x =××==×=△△， 又∵13OBC AOB S S =△△∴36x = ∴2x =∴()20C −，，:36BC y x =+ ⑵当0y =时，1x =，∴()10D ， 联立y kx k =−与36y x =+得6933k k x y k k +==−−， ∴6511k k F k k +++， 联立y kx k =−与6y x =−+得6511k kx y k k +==++ ∴6511k k E k k +++， 过B 作EF 的垂线，易由BED FBD S S =△△ 得出ED FD = ∴D 为EF 的中点 ∴66231k k k k +++=−+ 解得37k =⑶ 证明：设()G x y ，图2图1∵HG HA =，AH PM ⊥ ∴MP 与AG 夹角恒为45°MP 斜率142y k x −=−，AG 斜率26yk x =− 1212tan 4511k k k k −°==+得到G 轨迹方程224812x y x y +−+=是一个圆，A 、C 点代入方程可得A 、C 在圆上∵同弦所对的圆周角都相等，即CGA ∠是个常数 ∴CGM ∠也是常数，不变化7. 【难】如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A B 、两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， ⑴ 求直线2l 的解析式；⑵ 过A 点在ABC △的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E ，过点C 分别作CF ⊥3l 于F ，请画出图形并求证：BE CF EF =+⑶ ABC △沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP CQ =，在ABC △平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值，在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值【答案】⑴ 直线2l 的解析式为：3y x =−−⑵ ∵直线2l 与直线1l 关于x 轴对称∴AB AC =∵1l 与2l 为象限平分线的平行线， ∴OAC △与OAB △为等腰直角三角形 ∴EBA FAC ∠=∠ ∵3BE l ⊥，3CF l ⊥ ∴90BEA AFC ∠=∠=° ∴BEA AFC △≌△∴BE AF EA FC ==，，∴BE CF AF EA EF +=+=； ⑶ ①对，3OM =过Q 点作QH y ⊥轴于H ，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称 ∵∠90POB QHC BP CQ =∠=°=，， 又∵AB AC =，∴ABO ACB HCQ ∠=∠=∠， 则QCH PBO AAS △≌△（），∴QH PO OB CH === ∴QHM POM △≌△∴HM OM =∴OM BC OB CM BC CH CM BC OM =−+=−+=−（）（） ∴132OM BC ==四、 一次函数与折叠8. 【中】（2012年浙江丽水一模）在平面直角坐标系中，已知直线343+−=x y 与x 轴、y 轴分别交于A B 、两点，点()0C n ，是y 轴上一点.把坐标平面沿直线AC 折叠，使点B 刚好落在x 轴上，则点C 的坐标是（ ）A.304，B.403，C.()03，D.()04，【答案】B9. 【中】（天津河西区2011年初中毕业生学业考试模拟试卷（一）数学）直线与轴、轴分别交于两点，把沿翻折，点落在处，则点的坐标是（ ）26y x =−+x y P Q ，POQ △PQ O R RA ．B ．C ．D ．【答案】D10. 【中】如图，直线483y x =−+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上一点，若将ABM △沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点'B 处，则直线AM 的解析式为___________211. 【中】（沈阳）如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO ，OC 长为9，BC 长为15，将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B ′，折痕为CE ，那么折痕CE 所在直线的解析式是____________．【答案】193y x =−+根据题意可得15CB CB OA ′===，BE B E ′=9123OC OB AB ′′=∴=∴=∵，设AE x =，则9BE x =−通过勾股定理可得4x =，则E 点坐标为()15,4，则可得CE 的解析式为193y x =−+12. 【中】（2012北京西城初三二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线483y x =−+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将DAB △沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处.((14733，241255 ，⑴ 求AB 的长和点C 的坐标； ⑵ 求直线CD 的解析式．【答案】解：⑴根据题意得()60A ，，()08B ， 在Rt OAB △中，9068AOB OA OB ∠=°==，，，∴ 10AB ==.∵DAB △沿直线AD 折叠后的对应三角形为DAC △，∴ 1AC AB ==0.∴ 16OC OA AC OA AB =+=+=. ∵ 点C 在x 轴的正半轴上，∴ 点C 的坐标为()160C ，. ⑵设点D 的坐标为()()00D y y ，＜ 由题意可知CD BD =，22CD BD =.由勾股定理得22216(8)y y +=−.解得12y =−.∴ 点D 的坐标为()012D −，.可设直线CD 的解析式为 ()120y kx k =−≠.∵ 点()160C ，在直线12y kx =−上， ∴ 16120k −=. 解得34k =. ∴直线CD 的解析式为3124y x =−.13. 【中】（2012年北塘区一模）已知一个直角三角形纸片OAB ，其中90AOB ∠=°，2OA =，4OB =．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．⑴ 折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；⑵ 若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ′，设OB x ′=，OC =y ，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；⑶ 若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ′，且使B D OB ′∥，求此时点C 的坐标．【答案】⑴302 ，；⑵2132282y x y=−，≤≤；⑶()016，14. 【中】（天津市耀华中学初二年级期末阶段性形成检测数学试卷）把矩形纸片ABCO 放入直角坐标系xOy 中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴的正半轴上，连结AC ，已知AC =:1:2OC OA =，⑴求A 、C 两点的坐标；⑵求AC 所在直线的解析式；⑶将纸片OABC 翻折，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，求折叠后纸片重叠部分的面积．【答案】⑴ 设OC x =，:1:22，OC OA OA x =∴=∵，运用勾股定理，则()(2222x x +=解得4x =，则A 、C 坐标分别为()()8,0,0,4A C ⑵ AC 所在直线的解析式为142y x =−+⑶ 易得CE AE CF ==，设,8则OE x AE x ==−那么()22248x x +=−，解得3x =，则5CF = 因此154102CEF S ∆=××= 15. 【中】已知：1:2l y x m =+经过点()32−−，，它与x 轴，y 轴分别交于点B A 、，直线2:l y kx b =+经过点()22−，，且与y 轴交于点()03C −，，它与x 轴交于点D ⑴ 求直线1l ，2l 的解析式；⑵ 若直线1l 与2l 交于点P ，求:ACP ACD S S △△的值【答案】解：⑴ 将()32−−，代入2y x m =+得：()223m −=×−+，解得4m =所以1l 解析式为:24y x =+将()22−，与()03−，代入y kx b =+得：223k b b −=+ −= 解得123k b = =− 所以2l 的解析式为132y x =− ⑵ 解方程组24132y x y x =+ =−得：143163x y =− =−即141633P −− ， 在24y x =+中，令0x =，则4y =，所以()04A ，所以7AC = 在132y x =−中，令0y =，则6x =，所以()60D ， 所以114497233ACP S =××=△ 176212ACD S =××=△ 所以49::217:93ACP ACD S S ==△△。